ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Ι ΑΣΚΩΝ: ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΒΕΛΓΑΚΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ / ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Στη σειρά των φροντιστηρίων αυτών καταβάλλεται µια προσπάθεια να κατανοηθούν και να εµπεδωθούν κάποιες έννοιες και εφαρµογές του µαθήµατος της Φυσικής ΙΙ και επ ουδενί λόγω µπορεί να αποτελέσουν οδηγό της ύλης του µαθήµατος... HΛEKTPIKO ΦOPTIO: είναι το αίτιο των ηλεκτρικών δυνάµεων (εµπειρική αντίληψη. AΓΩΓOI - MONΩTEΣ: Oι αγωγοί επιτρέπουν την ελεύθερη διακίνηση του ηλεκτρικού φορτίου µέσα στην ύλη, ενώ οι µονωτές δεν το επιτρέπουν. ΦOPEIΣ HΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦOPTIOY: Mέταλλα: ελεύθερα ηλεκτρόνια Hλεκτρολύτες: ελεύθερα ιόντα Hµιαγωγοί: προσµίξεις σε µονωτικό υλικό Κατανοµή ηλεκτρικού φορτίου µέσα σε αγωγό και διαµόρφωση του ηλ. πεδίου µέσα/έξω του αγωγού
NOMOΣ COULOMB: Σηµειακά φορτία, σε απόσταση µεταξύ τους F k 9 Νt m ˆ, όπου k 9 0 4πε Cb - Cb και ε 8.85 0 : διηλεκτρική σταθερά ο Νt m κενού ΣYNEXHΣ KATANOMH ΦOPTIOY: Γραµµική πυκνότης φορτίου: Eπιφαν. πυκνότης φορτίου: Πυκνότης φορτίου όγκου: ο Q L dq dl λ (L: µήκος γραµµής Q A dq da σ (A: εµβαδόν επιφ Q dq ρ (V: όγκος σώµατος V dv
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ν. COULOMB: Να υπολογιστεί η δύναµη που ασκείται πάνω σε φορτίο στο σηµείο Ρ του σχήµατος από φορτισµένη ράβδο συνολικού φορτίου Q. Είναι γνωστά η απόσταση και το µήκος της ράβδους a. Λύση: Επιλέγοµε το σύστηµα συντεταγµένων - κατά το σχήµα. Η ασκούµενη δύναµη από το στοιχειώδες φορτίο dqλd Q a d, είναι: dq df k + Οι συνιστώσες κατά τους άξονες και είναι: ˆ df df cos α kdq + + kλ ( d + 3 / df df sin α kdq + + kλ ( d + 3 / 3
Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνοµε: F kλ a 0 ( d + 3 / kλ + a 0 kq + a F ή kλ a 0 ( d + 3 / F kλ kq + a + i j ( a a 0 a kq + a kq kq Για >>, έπεται F και F. a (γιατί δεν µπορούµε να εφαρµόσοµε το ν. Gauss? YNAMIKH ENEPΓEIA ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣHMEIAKΩN ΦOPTIΩN Θεωρούµε δύο σηµειακά φορτία απόσταση µεταξύ τους., σε 4
Η µεταβολή της (ηλεκτροστατικής δυναµικής ενέργειας του φορτίου όταν τούτο µετακινείται από το σηµείο Ρ στο σηµείο Ρ ορίζεται ως εξής (θεωρώντας το ακίνητο: U U(P ( - U(P -WP P όπου το έργο W ορίζεται ως W P P P F dl H δύναµη F k ˆ είναι συντηρητική. Παρατηρούµε ότι: F dl k ˆ dl και ˆ dl dl cosθ d, άρα το έργο ισούται, P W P P k d k d. Το ολοκλήρωµα ισούται, P P d +, 5
οπότε η δυναµική ενέργεια ( γράφεται: U( - U( k ( +. Εστω ότι δίδονται οι εξής συνοριακές συνθήκες: στο σηµείο υποθέτουµε U( 0, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται (παραλείποντας το δείκτη από το. k U( Κατ επέκταση, η δυναµική ενέργεια (ή ενέργεια αλληλεπίδρασης συστήµατος N σηµειακών φορτίων είναι: U( N i, j ij όπου ij είναι η απόσταση των σηµειακών φορτίων i και j. k i j 6
ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: είναι το ολικό έργο που δαπανάται για να συγκεντρωθούν τα φορτία στο χώρο όγκου Ω και δίδεται από τη σχέση συναρτήσει του πεδίου, U Ω ε ο Ε dω όπου το ολοκλήρωµα υπολογίζεται στον όγκο του πεδίου Ω. Η ποσότης ε ο Ε ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου καλείται πυκνότης HΛEKTPIKO ΠE IO: είναι ο χώρος µέσα στον οποίο φερόµενο ένα ηλεκτρικό φορτίο (που καλείται υπόθεµα υφίσταται ηλεκτρική δύναµη. ENTAΣH HΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠE IOY: Ορίζεται ως η ασκούµενη δύναµη στη µονάδα φορτίου του υποθέµατος, F Ε (µονάδες: Νt/Cb ή Volt/m 7
Παράδειγµα: Περίπτωση σηµειακού φορτίου Q E O Q E F Q k Ε ˆ Η µορφή του πεδίου γύρω από το φορτίο ΣΕ ΣYNEXH KATANOMH ΦOPTIOY: Ε Σ dq k ˆ 8
Hλεκτρική ροή: Η ποσότης dφ Ε da E da cosθ oρίζεται ως στοιχειώδης ηλεκτρική ροή που διαπερνά τη στοιχειώδη επιφάνεια dα (µονάδες ηλ. ροής: Nt m /Cb ή Volt m Η συνολική ηλεκτρική ροή που διαπερνά µια επιφάνεια Α ορίζεται ως Φ Ε da Ε, όπου το A διπλό ολοκλήρωµα υπολογίζεται πάνω στην επιφάνεια Α. Το Ε είναι η τιµή του πεδίου στη στοιχειώδη περιοχή d Α. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Σηµειακό φορτίο βρίσκεται σε απόσταση s από επίπεδο απείρων διαστάσεων. Να υπολογιστεί η ηλεκτρική ροή που διαπερνά το επίπεδο. Λύση: Θεωρούµε ότι το επίπεδο είναι κατακόρυφο και ταυτίζεται µε το - επίπεδο. Ακόµη υποθέτουµε ότι η κάθετος από το φορτίο ταυτίζεται µε τον άξονα z και ότι το ίχνος 0 της καθέτου από το σηµείο Σ στο επίπεδο σαν αρχή των αξόνων. Έστω στοιχειώδη επιφάνεια στο επίπεδο -, εµβαδού 9
dadd, στο σηµείο Ν. Ως διάνυσµα το εµβαδόν da είναι παράλληλο µε τον άξονα z. Η ηλεκτρική ροή που διαπερνά την επιφάνεια da είναι dφ Ε da EdAcos θ, όπου cosθs/ (γιατί; και Ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Ν, δηλ. Ε k. Η συνολική ροή που διαπερνά το επίπεδο - είναι: Φ Ε da EdAcosθ. Το ολοκλήρωµα είναι διπλό και υπολογίζεται πάνω στο - επίπεδο. Θα δουλέψουµε σε πολικές συντεταγµένες: daddρdρdφ µε όρια ρ: 0, φ: 0 π. Τότε το ολοκλήρωµα γράφεται: Φ 0 π 0 k s ρdρ π ρdρdφ ks 3 / dφ 0 (s + ρ 0 0
ks s - + ρ ρ ρ 0 όπου χρησιµοποιήσαµε τη σχέση: π πk s + ε ρ ο! ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ: η δυναµική ενέργεια δια του φορτίου του υποθέµατος, U V (µονάδες: Volts Η δυναµική ενέργεια ορίζεται ως εξής: U(P P - U(P l P E d Στη -διάσταση, η σχέση αυτή γράφεται U( - U( E d η οποία ακόµη γράφεται, lim ( - 0 U( -U( ( - lim ( - 0 ( - E d
Tο πρώτο µέρος παριστάνει τη παράγωγο της δυναµικής ενέργειας, ενώ το δεύτερο µέρος ισούται µε την ένταση του πεδίου E( [διότι, Ε( Ε(ξ για ξ (,, οπότε το δεύτερο µέρος γράφεται: lim E(ξ d lim E(ξ E( ]. ( - 0 ( - ( - 0 Συνεπώς η προηγούµενη σχέση γράφεται, du( E( ( d Εισάγοντας το δυναµικό V προκύπτει dv( E( ( d Στις 3-διαστάσεις, οι σχέσεις ( και ( παίρνουν τη µορφή, U(,,z E(,,z V(,,z E(,,z (3 Παράδειγµα: υναµικό στο σηµείο Σ σε απόσταση από σηµειακό φορτίο Q. Οι εξισώσεις ( ή (3 γράφονται για την συντεταγµένη,
V E( (4 όπου οι συναρτήσεις V ή E είναι συναρτήσεις των σφαιρικών συντεταµένων (,θ,φ γενικώς. Στη περίπτωση του σηµειακού φορτίου έχοµε: Q Ε k Ε(, δηλ. η ένταση Ε (όπως και το δυναµικό V εξαρτάται µόνο από το, οπότε η (4 ολοκληρώνεται, V - V Εd όπου V V( και V V(. Το ολοκλήρωµα υπολογίζεται, V - V d kq kq kq Αν πάρουµε σαν συνοριακές συνθήκες:, V( 0, τότε η προηγούµενη σχέση γράφεται (παραλείποντας τον δείκτη από το : V( kq 3
Το ηλεκτρικό δίπολο Θεωρούµε δύο αντίθετα φορτία +, - που βρίσκονται σε απόσταση α µεταξύ τους. Ορίζεται σαν διπολική ροπή του διπόλου η ποσότης pα. H διπολική ροπή του µορίου Η Ο είναι: p.84debes 6. 0-30 Cb-m. Υπολογίζουµε το δυναµικό και την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Ρ που απέχει απόσταση από το κέντρο του διπόλου (που λαµβάνεται ως αρχή των αξόνων, 0 z P + 0 θ E - υναµικό στο σηµείο P: V k( 4
Για α<<, ισχύει: - acosθ και, οπότε η σχέση γράφεται, V (,θ k pcosθ Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι: άρα Ε V ( ˆ + θˆ θ cosθ sinθ kp( ˆ + θˆ 3 3 kp Ε ( cosθ ˆ + 3 cosθ kp sinθ θˆ 5
ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΙΠΟΛΟΥ ΜΕΣΑ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ Ε: Το ζεύγος των δυνάµεων πάνω στο δίπολο H ροπή του ζεύγους: τ α F + α Ε p Ε Στη περίπτωση του σχήµατος έχοµε: τ pe sinθ zˆ, όπου η γωνία θ ορίζεται ως προς τη διεύθυνση του πεδίου. Η µεταβολή της δυναµικής ενέργειας του διπόλου όταν περιστραφεί από γωνία θ θ, ως προς το εξωτερικό πεδίο Ε, είναι U( θ -U( θ -W( θ θ - τ dθ θ θ pe sinθ dθ pe θ θ pe(cosθ cosθ sinθ θ θ dθ 6
Αν πάρουµε ως θ 90 ο και ορίσουµε U(θ 0, η δυναµική ενέργεια του διπόλου µέσα σε εξωτερικό πεδίο Ε παίρνει τη µορφή (παραλείποντας τον δείκτη από τη γωνία, U( θ pe cosθ p E δηλ. η δυναµική ενέργεια του διπόλου γίνεται ελάχιστη όταν θ0, συνεπώς τα δίπολα τείνουν να προσανατολίζονται κατά τη διεύθυνση του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου Ε. (Σ αυτό ακριβώς το γεγονός στηρίζεται και η πόλωση του διηλεκτρικού, δηλ. ο συλλογικός προσανατολισµός όλων των διπολικών µορίων του διηλεκτρικού υλικού κατά την διεύθυνση του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου Ε. 7