Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή έρευνα. Επιχειρησιακή Έρευνα

ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή Έρευνα Προβλήματα Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Γραφική λύση Επίλυση με τη μέθοδο Simplex Δρ. Ζαχαρούλα Καλογηράτου 1

Πρόβλημα 1. Εργαστήριο παράγει 2 τύπους κορνίζες, ο τύπος κορνίζας Α έχει μεταλλικό σκελετό, ενώ ο τύπος κορνίζας Β έχει ξύλινο σκελετό. Το εργαστήριο μπορεί σε μια ημέρα να κατασκευάσει 15 ξύλινους και 12 μεταλλικούς σκελετούς. Το εργαστήριο δεν έχει τη δυνατότητα να συναρμολογήσει πάνω από 22 κορνίζες σε μια ημέρα. Το κέρδος από την πώληση μιας κορνίζας τύπου Α είναι 10 ενώ από την πώληση μιας κορνίζας τύπου Β είναι 15. Να βρεθεί ο αριθμός κορνιζών από κάθε τύπο που πρέπει να παράγει το εργαστήριο έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος του. Τύπος Α Τύπος Β Σκελετοί 12 15 Κέρδος 10 15 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έστω x1, x 2ο αριθμός κορνιζών τύπου Α και τύπου Β αντίστοιχα. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ «Το εργαστήριο μπορεί σε μια ημέρα να κατασκευάσει 15 ξύλινους και 12 μεταλλικούς σκελετούς.» x x 1 2 12 15 «δεν έχει τη δυνατότητα να συναρμολογήσει πάνω από 22 κορνίζες σε μια ημέρα.» x + x 1 2 22 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ «Το κέρδος από την πώληση μιας κορνίζας τύπου Α είναι 10 ενώ από την πώληση μιας κορνίζας τύπου Β είναι 15.» Θέλουμε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος, η συνάρτηση κέρδους είναι: Z ( x, x ) = 10x + 15x 1 2 1 2 2

Πρόβλημα 2. Βιοτεχνία κατασκευάζει φούστες και παντελόνια από την κάθε φούστα κερδίζει 5 ενώ από κάθε παντελόνι 4. Για την κατασκευή μιας φούστας απαιτούνται 1.2 μέτρα ύφασμα και 0.5 εργατοώρες. Για την κατασκευή ενός παντελονιού απαιτούνται 1.5 μέτρα ύφασμα και μία εργατοώρα. Η βιοτεχνία έχει στη διάθεση της 120 μέτρα υφάσματος και 70 εργατοώρες, επίσης θα πρέπει να παραχθούν το πολύ 80 παντελόνια. Να οργανώσετε την παραγωγή έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος. Φούστες Παντελόνια Συνολικά Διαθέσιμα Ύφασμα 1.2 1.5 120 Ώρες εργασίας 0.5 1.0 70 Κέρδος 5 4 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έστω x1, x 2ο αριθμός από φούστες και παντελόνια που κατασκευάζονται. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Έχουμε τρεις περιορισμούς το διαθέσιμο ύφασμα (120 μέτρα), τις διαθέσιμες ώρες εργασίας (70 ώρες), ότι πρέπει να παραχθούν το πολύ 80 παντελόνια άρα οι περιορισμοί είναι: 1.2x1+ 1.5x2 120 0.5 x1+ x2 70 x 80 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θέλουμε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος και γνωρίζουμε ότι «από την κάθε φούστα κερδίζει 5 ενώ από κάθε παντελόνι 4», η συνάρτηση κέρδους είναι: Z ( x, x ) = 5x + 4x 1 2 1 2 2 3

Πρόβλημα 3. Βιοτεχνία κατασκευάζει φούστες και φορέματα από ένα συγκεκριμένο ύφασμα το οποίο αγοράζει 15 το μέτρο. Για την κατασκευή ενός φορέματος απαιτούνται 2 μέτρα ύφασμα ενώ για την κατασκευή μιας φούστας απαιτούνται 1.2 μέτρα ύφασμα. Επίσης για την κατασκευή ενός φορέματος χρειάζονται 1.5 εργατοώρες ενώ για την κατασκευή μιας φούστας 0.5 εργατοώρες. Επίσης δαπανώνται χρήματα για κουμπιά, κλωστές, φόδρες κ.α. τα οποία ανέρχονται σε 5 για το φόρεμα και 2 για τη φούστα. Η βιοτεχνία έχει στη διάθεση της 25,000 και μπορεί να απασχολήσει το εργατικό δυναμικό έως 600 εργατοώρες. Μία εργατοώρα κοστίζει 10 με Η τιμή στην οποία πουλά είναι 60 για το φόρεμα και 35 τη φούστα. Να βρεθεί ο αριθμός φορεμάτων και φουστών που πρέπει να παράγει η βιοτεχνία έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος της. Φόρεμα Φούστα Περιορισμοί Ύφασμα 2 μ. 1.2 μ. -- Ώρες εργασίας 1.5 0.5 600 Άλλα έξοδα 5 2 -- Τιμή πώλησης (1 τεμαχίου) 60 35 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έστω x1, x 2 αντίστοιχα ο αριθμός από φορέματα και φούστες που κατασκευάζονται. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Έχουμε δύο περιορισμούς από τον συνολικό αριθμό διαθέσιμων ωρών εργασίας (600 εργατοώρες) 1.5x1+ 0.5x2 600 από τα κεφάλαιο που μπορεί να χρησιμοποιήσει η βιοτεχνία (25,000 ) θα πρέπει να αγοράσει ύφασμα προς 15 το μέτρο άρα για ύφασμα θα πληρώσει: 15(2x + 1.2 x ) = 30x + 18x 1 2 1 2 θα πρέπει να πληρώσει για την εργασία 10 ανά ώρα 10(1.5x + 0.5 x ) = 15x + 5x 1 2 1 2 για κουμπιά, φόδρες κ.α. θα πληρώσει 5x1+ 2x 2 άρα συνολικά απαιτούνται 50x1+ 25x 2 και επομένως ο περιορισμός είναι: 50x + 25x 25,000 1 2 4

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θέλουμε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της βιοτεχνίας. Το κέρδος είναι έσοδο μείον έξοδο: τα έξοδα βρέθηκαν παραπάνω ίσα με 50x1+ 25x 2 τα έσοδα προκύπτουν από την πώληση και είναι 60x1+ 35x 2 Άρα η αντικειμενική συνάρτηση είναι: Z ( x, x ) = 10x + 10x 1 2 1 2 5

Πρόβλημα 4 Ένας γεωργός έχει διαθέσιμα για την επόμενη εποχή τα εξής: 60 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης υψηλής ποιότητας 40 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης χαμηλής ποιότητας 10,000 χ. μ. κεφάλαιο Επίσης υπάρχει διαθέσιμο εργατικό δυναμικό με κόστος 3 χ. μ. ανά εργατοώρα. Τα προϊόντα που ίσως καλλιεργηθούν είναι: Σιτάρι (Σ) και Φασόλια (Φ). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται η παραγωγή σε κιλά ανά στρέμμα για κάθε προϊόν, οι εργατοώρες που απαιτούνται, άλλα κόστη (π. χ. λίπασμα, εργαλεία κ. λ. π.) ανά στρέμμα, καθώς επίσης και τα συνολικά έσοδα ανά κιλό προϊόντος που παράγεται. Προϊόν Παραγωγή / στρέμμα (σε κιλά) Εργατικό δυναμικό ανά στρέμμα (εργατοώρες) Άλλα κόστη ανά στρέμμα (χ. μ.) Συνολικά έσοδα ανά κιλό (χ. μ.) Υψηλή Ποιότητα Χαμηλή Ποιότητα Σ 100 90 30 90 4 Φ 90 70 40 120 5 Ο γεωργός θέλει να σχεδιάσει την παραγωγή των προϊόντων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Θέλουμε να βρούμε τον τρόπο με τον οποίο ο γεωργός θα κατανείμει τα στρέμματα γης υψηλής και χαμηλής ποιότητας για την καλλιέργεια καθενός από τα δυο (2) αγροτικά προϊόντα Σιτάρι (Σ) και Φασόλια (Φ). Απαιτούνται 4 μεταβλητές: Προϊόν Στρέμματα Γης Στρέμματα Γης υψηλής ποιότητας χαμηλής ποιότητας Σ Χ 1 Χ 3 Φ Χ 2 Χ 4 Θεωρούμε ότι Χ 1 στρέμματα γης υψηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια σιταριού (Σ), Χ 2 στρέμματα γης υψηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια φασολιών (Φ), Χ 3 στρέμματα γης χαμηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια σιταριού (Σ), Χ 3 στρέμματα γης χαμηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια φασολιών (Φ). ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θα σχηματίσουμε πρώτα την αντικειμενική συνάρτηση, το κέρδος είναι ίσο με τα συνολικά έσοδα μείον τα συνολικά έξοδα. Τα συνολικά έσοδα είναι αυτά που προκύπτουν από την πώληση του κάθε προϊόντος, μας είναι γνωστά: Τα έσοδα ανά κιλό για το κάθε προϊόν Η απόδοση σε κιλά κάθε στρέμματος γης υψηλής και χαμηλής ποιότητας. 6

Γνωρίζουμε ότι για ένα στρέμμα γης υψηλής ποιότητας δίνει 100 κιλά σιτάρι και ένα στρέμμα γης χαμηλής ποιότητας δίνει 90 κιλά σιτάρι, συνεπώς τα παραγόμενα κιλά σιταριού είναι 100Χ 1 +90Χ 3. Ανάλογα σκεπτόμενοι για τα φασόλια η απόδοση σε κιλά είναι 90Χ 2 +70Χ 4. Προϊόν Απόδοση σε κιλά Σ 100Χ 1 +90Χ 3 Φ 90Χ 2 +70Χ 4 Επίσης γνωρίζουμε ότι τα έσοδα από την πώληση ενός κιλού σιταριού είναι 4 χρηματικές μονάδες, συνεπώς τα έσοδα από την πώληση του σιταριού είναι 4(100Χ 1 +90Χ 3 ) χρηματικές μονάδες. Ανάλογα σκεπτόμενοι για τα φασόλια τα συνολικά έσοδα σε χρηματικές μονάδες είναι 5(90Χ 2 +70Χ 4 ). Προίόν Συνολικά έσοδα Σ 4(100Χ 1 +90Χ 3 ) Φ 5(90Χ 2 +70Χ 4 ) Άρα τα συνολικά έσοδα είναι: R = 4(100Χ 1 +90Χ 3 ) + 5(90Χ 2 +70Χ 4 ) = 400Χ 1 +450Χ 2 +360Χ 3 +350Χ 4. Τα έξοδα είναι δυο ειδών: Κόστος εργατικού δυναμικού και Άλλα κόστη ανά στρέμμα. Για εργατικό δυναμικό χρειαζόμαστε 30 εργατοώρες για την καλλιέργεια σιταριού σε ένα στρέμμα γης (ανεξαρτήτως ποιότητας), δηλαδή για την καλλιέργεια σιταριού απαιτούνται 30(Χ 1 +Χ 3 ) εργατοώρες. Το κόστος ανά εργατοώρα είναι 3 χρηματικές μονάδες, συνεπώς το κόστος για την καλλιέργεια σιταριού είναι 3*30*(Χ 1 +Χ 3 )= 90(Χ 1 +Χ 3 ) χρηματικές μονάδες. Το συνολικό κόστος για την κάθε καλλιέργεια ανά στρέμμα είναι: Προϊόν Στρέμματα καλλιέργειας Κόστος εργασίας Άλλα κόστη Συνολικό κόστος Σ Χ 1 +Χ 3 90(Χ 1 +Χ 3 ) 90(Χ 1 +Χ 3 ) 180(Χ 1 +Χ 3 ) Φ Χ 2 +Χ 4 120(Χ 2 +Χ 4 ) 120(Χ 2 +Χ 4 ) 240(Χ 2 +Χ 4 ) C = 180(Χ 1 +Χ 3 ) + 240(Χ 2 +Χ 4 ) = 180Χ 1 +240Χ 2 +180Χ 3 +240Χ 4. Μπορούμε σύμφωνα με τα παραπάνω να γράψουμε την αντικειμενική συνάρτηση, η οποία είναι το κέρδος (έσοδα έξοδα): Z(Χ 1,Χ 2,Χ 3,Χ 4 ) = R-C= =400Χ 1 +450Χ 2 +360Χ 3 +350Χ 4-180Χ 1-240Χ 2-180Χ 3-240Χ 4 = =220Χ 1 +210Χ 2 +180Χ 3 +110Χ 4. 7

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Περιορισμούς έχουμε από την διαθέσιμη εδαφική έκταση. Ο γεωργός έχει 60 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης υψηλής ποιότητας Χ 1 +Χ 3 60 Ο γεωργός έχει 40 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης υψηλής ποιότητας Χ 2 +Χ 4 40 Τέλος ο γεωργός έχει διαθέσιμο κεφάλαιο 10.000 χρηματικές μονάδες από όπου θα καλύψει τα έξοδα για το εργατικό δυναμικό και τα άλλα κόστη. 180Χ 1 +240Χ 2 +180Χ 3 +240Χ 4 10.000. Πρόβλημα 5 Ένας γεωργός έχει διαθέσιμα για την επόμενη εποχή τα εξής: 80 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης υψηλής ποιότητας 72 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης χαμηλής ποιότητας 50,000 χ. μ. κεφάλαιο Επίσης υπάρχει διαθέσιμο εργατικό δυναμικό με κόστος 3 χ. μ. ανά εργατοώρα. Τα προϊόντα που ίσως καλλιεργηθούν είναι: Σιτάρι (Σ), Φασόλια (Φ), Ντομάτες (Ν), Πατάτες (Π), Μπιζέλια (Μ). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται η παραγωγή σε κιλά ανά στρέμμα για κάθε προϊόν, οι εργατοώρες που απαιτούνται, άλλα κόστη (π. χ. λίπασμα, εργαλεία κ. λ. π.) ανά στρέμμα, καθώς επίσης και τα συνολικά έσοδα ανά κιλό προϊόντος που παράγεται. Προϊόν Παραγωγή / στρέμμα (σε κιλά) Εργατικό δυναμικό ανά στρέμμα (εργατοώρες ) Άλλα κόστη ανά στρέμμα (χ. μ.) Συνολικά έσοδα ανά κιλό (χ. μ.) Υψηλή Ποιότητα Χαμηλή Ποιότητα Σ 88 80 30 95 2.80 Φ 84 81 34 128 3.20 Ν 82 64 130 460 12.50 Π 86 72 42 126 3.90 Μ 62 48 8 48 1.80 Ο γεωργός θέλει να σχεδιάσει την παραγωγή των προϊόντων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του. Θέλουμε να βρούμε τον τρόπο με τον οποίο ο γεωργός θα κατανείμει τα στρέμματα γης υψηλής και χαμηλής ποιότητας για την καλλιέργεια καθενός από τα πέντε (5) αγροτικά προϊόντα Σιτάρι (Σ), Φασόλια (Φ), Ντομάτες (Ν), Πατάτες (Π), Μπιζέλια (Μ). Απαιτούνται 10 μεταβλητές Στρέμματα γης υψηλής ποιότητας Στρέμματα γης χαμηλής ποιότητας Σ Φ Ν Π Μ X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 8

Θεωρούμε ότι X 1 στρέμματα γης υψηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια σιταριού (Σ), X 2 στρέμματα γης υψηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια φασολιών (Φ), X 6 στρέμματα γης χαμηλής ποιότητας θα χρησιμοποιηθούν για την καλλιέργεια σιταριού (Σ), κ. ο. κ.. Θα σχηματίσουμε πρώτα την αντικειμενική συνάρτηση, το κέρδος είναι ίσο με τα συνολικά έσοδα μείον τα συνολικά έξοδα. Τα συνολικά έσοδα είναι αυτά που προκύπτουν από την πώληση του κάθε προϊόντος, μας είναι γνωστά: τα έσοδα ανά κιλό για το κάθε προϊόν η απόδοση σε κιλά κάθε στρέμματος γης υψηλής και χαμηλής ποιότητας. Γνωρίζουμε ότι ένα στρέμμα γης υψηλής ποιότητας δίνει 88 κιλά σιτάρι και ένα στρέμμα γης χαμηλής ποιότητας δίνει 80 κιλά σιτάρι, συνεπώς τα παραγόμενα κιλά σιταριού είναι 88 X 1 + 80 X 6. Ανάλογα σκεπτόμενοι και για τα άλλα προϊόντα γράφουμε την απόδοση σε κιλά για κάθε προϊόν στον παρακάτω πίνακα Προιον Αποδοση σε κιλα Σ 88x + 80x Φ 84x + 81x Ν 82x + 64x Π 86x + 72x Μ 62x + 48x 1 5 2 7 3 8 4 9 5 10 Επίσης γνωρίζουμε ότι τα έσοδα από την πώληση ενός κιλού σιταριού είναι 2.80 χρηματικές μονάδες, συνεπώς τα έσοδα από την πώληση του σιταριού είναι 2.80 ( 88 X 1 + 80 X 6 ) χρηματικές μονάδες. Ανάλογα σκεπτόμενοι και για τα άλλα προϊόντα γράφουμε τα συνολικά έσοδα ως εξής: Προιον Συνολικα Εσοδα Σ Φ Ν Π 2.80(88x1+ 80 x5) 3.20(84x 2 + 81 x 7) 12.50(82x 3 + 64 x 8) 3.90(86x 4 + 72 x 9) Μ 1.80(62x + 48 x ) 5 10 9

Άρα τα συνολικά έσοδα είναι: R = 2.80(88x1+ 80 x6) + 3.20(84x2 + 81 x7) + 12.50(82x3 + 64 x8) + 3.90(86x4 + 72 x9) + 1.80(62x5 + 48 x10) = = 246.4x1+ 168.8x2 + 102.5x3 + 335.4x4 + 116x5 + 224x + 259.2x + 80x + 280.8x9 + 86.4x10 6 7 8 Τα έξοδα είναι δύο ειδών: κόστος εργατικού δυναμικού και άλλα κόστη ανά στρέμμα. Για εργατικό δυναμικό χρειαζόμαστε 30 εργατοώρες για την καλλιέργεια σιταριού σε ένα στρέμμα γης (ανεξαρτήτως ποιότητας), δηλαδή για την καλλιέργεια σιταριού απαιτούνται 30 ( X 1 + X 6 ) εργατοώρες. Το κόστος ανά εργατοώρα είναι 3 χ. μ., συνεπώς το κόστος για εργατικό δυναμικό για την καλλιέργεια σιταριού είναι 90 ( X 1 + X 6 ) χρηματικές μονάδες. Το συνολικό κόστος για εργατικό δυναμικό είναι: Προιον Στρεμματα Κοστος Αλλα Συνολικο καλιεργειας εργασιας κοστη κοστος Σ x1+ x6 90( x1+ x6) 95( x1+ x6) 185( x1+ x6) Φ x 2 + x7 102( x2 + x7) 128( x2 + x7) 230( x2 + x7) Ν x 3 + x8 390( x3 + x8) 460( x3 + x8) 950( x3 + x8) Π x4 + x9 126( x4 + x9) 126( x4 + x9) 252( x 4 + x 9) Μ x + x 24( x + x ) 48( x + x ) 72( x + x ) 5 10 5 10 5 10 5 10 C = 185( x + x ) + 230( x + x ) + 950( x + x ) + 1 6 2 7 3 8 252( x + x ) + 72( x + x ) = 4 9 5 10 = 185x + 230x + 950x + 252x + 72x + 1 2 3 4 5 185x + 230x + 950x + 252x + 72x 6 7 8 9 10 Αντικειμενική Συνάρτηση Μπορούμε σύμφωνα με τα παραπάνω να γράψουμε την αντικειμενική συνάρτηση Ζ ( X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6, X 7, X 8, X 9, X 10 ) = = 61.4 X 1 + 38.8 X 2 + 175 X 3 + 83.4 X 4 + 75.6 X 5 + 39 X 6 + 29.2 X 7-50 X 8 + 28.9 X 9 +14.4 X 10 Περιορισμοί Περιορισμούς έχουμε από τη διαθέσιμη εδαφική έκταση. Ο γεωργός έχει 80 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης υψηλής ποιότητας 10

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 80 Ο γεωργός έχει 80 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης χαμηλής ποιότητας X 6 + X 7 + X 8 + X 9 + X 10 72 Τέλος, ο γεωργός έχει διαθέσιμο κεφάλαιο 50,000 χ.μ., από όπου θα καλύψει τα έξοδα για το εργατικό δυναμικό καθώς και τα άλλα κόστη. 185 ( X 1 + X 6 ) + 230 ( X 2 + X 7 ) + 850 ( X 3 + X 8 ) + + 252 ( X 4 + X 9 ) + 72 ( X 5 + X 10 ) 50,000 11

Πρόβλημα 6 Έστω τρεις αγροτικές κοινότητες (Κ1, Κ2, Κ3) που συνεργάζονται μεταξύ τους και παράγουν τρία αγροτικά προϊόντα (Π1, Π2, Π3). Κάθε κοινότητα περιορίζεται από τη διαθέσιμη έκταση αρδεύσιμου εδάφους και τη διαθέσιμη ποσότητα νερού. Τα δεδομένα δίνονται στον παρακάτω πίνακα Κοινότητα Διαθέσιμο έδαφος σε στρέμματα Διαθέσιμη ποσότητα νερού σε τόνους Κ1 400 600 Κ2 600 800 Κ3 300 400 Το Υπουργείο γεωργίας επιβάλλει μέγιστο όριο στην συνολική έκταση που μπορεί να διατεθεί για την καλλιέργεια καθενός από τα προϊόντα Π1, Π2, Π3. Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται το παραπάνω όριο, η ποσότητα νερού ανά στρέμμα καλλιέργειας που απαιτείται για καθένα από τα προϊόντα καθώς η καθαρή απόδοση ανά στρέμμα σε χρηματικές μονάδες δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Προϊόν Μέγιστη έκταση καλλιέργειας (στρέμματα) Κατανάλωση νερού ανά στρέμμα Καθαρή απόδοςη χ.μ. ανά στρέμμα Π1 600 3 400 Π2 500 2 300 Π3 300 1 100 Οι τρεις κοινότητες έχουν συμφωνήσει να καλλιεργούν το ίδιο ποσοστό αρδεύσιμου εδάφους. Ζητείται να γίνει ο προγραμματισμός της καλλιέργειας έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική καθαρή απόδοση. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Θα χρειαστούμε 9 μεταβλητές για κάθε κοινότητα και προϊόν, όπως φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Κ1 Κ2 Κ3 Π1 Π2 Π3 x1 x2 x3 x 4 x5 x6 x x x 7 8 9 Δηλαδή x 1 είναι τα στρέμματα εδάφους της κοινότητας 1 (Κ1) που θα διατεθούν για την καλλιέργεια προϊόντος 1 (Π1), x 2 είναι τα στρέμματα εδάφους της κοινότητας 1 (Κ1) που θα διατεθούν για την καλλιέργεια προϊόντος 2 (Π2), κ.ο.κ. Μπορούμε να μεταφέρουμε και κάποια από τα δεδομένα του προβλήματος στον πίνακα αυτόν: 12

Διαθεσιμο Διαθεσιμο Π1 Π2 Π3 Εδαφος Νερο Κ1 x x x 400 600 1 2 3 Κ2 x x x 600 800 4 5 6 Κ3 x x x 300 400 7 8 9 Μεγιστη εκταση 600 500 300 ανα προιον Απαιτουμενο νερο 3 2 1 ανα στρεμμα Καθαρη αποδοση 400 300 100 ανα στρεμμα ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Διαθέσιμο έδαφος σε στρέμματα κάθε κοινότητας: x + x + x 400 1 2 3 x + x + x 600 4 5 6 x7 + x8 + x9 300 Διαθέσιμη ποσότητα νερού σε τόνους για κάθε κοινότητα: 3x + 2x + x 600 1 2 3 3x + 2x + x 800 4 5 6 3x7 + 2x8 + x9 400 Μέγιστη επιτρεπόμενη καλλιέργεια ανά προϊόν: x + x + x 600 1 4 7 x + x + x 500 2 5 8 x3 + x6 + x9 300 «το ίδιο ποσοστό αρδεύσιμου εδάφους.» x + x + x x + x + x x + x + = = x 400 600 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θέλουμε να μεγιστοποιηθεί το καθαρή απόδοση, η οποία δίνεται ανά στρέμμα για κάθε προϊόν. Έτσι αφού θα καλλιεργηθούν x1+ x4 + x7 στρέμματα με προϊόν Π1 η καθαρή απόδοση από το προϊόν αυτό είναι 400( x1+ x4 + x7). Όμοια για τα άλλα δύο προϊόντα, οπότε έχουμε την συνάρτηση: Z ( x, x, K, x ) = 400( x + x + x ) + 300( x + x + x ) + 100( x + x + x ) 1 2 9 1 4 7 2 5 8 3 6 9 13

Πρόβλημα 7. Η εταιρεία επενδύσεων ενδιαφέρεται να επενδύσει σε χρεόγραφα ένα μέρος από τα ρευστά διαθέσιμα της, το οποίο ανέρχεται σε 100,000. Ο χρηματοοικονομικός αναλυτής της εταιρείας προτείνει να επενδυθεί το ποσό σε δύο μετοχές από τον κλάδο των υπηρεσιών και τρεις από τον κλάδο της πληροφορικής. Επίσης προτείνει και 2 αμοιβαία κεφάλαια. Οι προσδοκώμενες ετήσιες αποδόσεις παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα Επενδύσεις Ετήσιο ποσοστό απόδοσης (%) Μετοχή Α κλάδος υπηρεσιών 16% Μετοχή Β κλάδος υπηρεσιών 20% Μετοχή Γ κλάδος πληροφορικής 15% Μετοχή Δ κλάδος πληροφορικής 20% Μετοχή Ε κλάδος πληροφορικής 17% Αμοιβαίο Κεφάλαιο 1 10% Αμοιβαίο Κεφάλαιο 2 12% Ο χρηματοοικονομικός αναλυτής έδωσε επιπλέον και τις ακόλουθες οδηγίες: 1. Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές ενός κλάδου να μην υπερβαίνει το ένα δεύτερο του συνολικού διαθέσιμου ποσού. 2. Για κάθε κλάδο το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή με την υψηλότερη απόδοση να μην υπερβαίνει το 60% του συνολικού ποσού που θα επενδυθεί στον κλάδο αυτό. 3. Το ποσό που θα επενδυθεί σε αμοιβαία κεφάλαια να είναι τουλάχιστον το 25% της συνολικής επένδυσης. Ζητείται να διαμορφωθεί το χαρτοφυλάκιο έτσι ώστε να δίνει το μέγιστο κέρδος. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έστω x 1 το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή Α, x 2 το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή Β, κ.ο.κ., όπως φαίνεται και στον πίνακα: Επενδύσεις Ποσό που θα επενδυθεί Μετοχή Α κλάδος υπηρεσιών x 1 Μετοχή Β κλάδος υπηρεσιών x 2 Μετοχή Γ κλάδος πληροφορικής x 3 Μετοχή Δ κλάδος πληροφορικής x 4 Μετοχή Ε κλάδος πληροφορικής x 5 Αμοιβαίο Κεφάλαιο 1 x 6 Αμοιβαίο Κεφάλαιο 2 x 7 14

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ Τα ρευστά διαθέσιμα της εταιρείας ανέρχονται σε 100,000 x x x x x x x 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 100,000 Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές ενός κλάδου να μην υπερβαίνει το ένα δεύτερο του συνολικού διαθέσιμου ποσού. x + x 50,000 1 2 x + x + x 50,000 3 4 5 Για κάθε κλάδο το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή με την υψηλότερη απόδοση να μην υπερβαίνει το 60% του συνολικού ποσού που θα επενδυθεί στον κλάδο αυτό. x2 0.6( x1+ x2) 3x1+ 2x2 0 x 0.6( x + x + x ) 3x + 2x 3x 0 4 3 4 5 3 4 5 Το ποσό που θα επενδυθεί σε αμοιβαία κεφάλαια να είναι τουλάχιστον το 25% της συνολικής επένδυσης x6 + x7 0.25( x1+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7) x + x + x + x + x 3x 3x 0 1 2 3 4 5 6 7 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ζητούμενο είναι η μεγιστοποίηση της απόδοσης: Z ( x, x, x, x, x, x, x ) = 16x + 20x + 15x + 20x + 17x + 10x + 12x \ 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15

Πρόβλημα 8. Μια εταιρεία κατασκευάζει ένα προϊόν το οποίο πωλεί σε τρεις αγορές Α1, Α2 και Α3. Το κέρδος από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος είναι διαφορετικό σε κάθε αγορά και εκτιμάται σε 80, 120, 100 χ. μ. για τις αγορές Α1, Α2, και Α3 αντίστοιχα. Η πώληση γίνεται μέσω πωλητών και διαφημιστικής εκστρατείας. Η εταιρεία έχει 6 πωλητές που αντιστοιχούν σε 12,000 εργατοώρες επαφής με τους πελάτες. Επίσης διαθέτει για διαφήμιση 8 εκατομμύρια δραχμές. Από παλαιότερη εμπειρία προκύπτει ότι για την πώληση μιας μονάδας προϊόντος στην αγορά Α1 χρειάζεται μισή ώρα πωλητού και 1000 χ. μ. κόστος διαφήμισης, στην αγορά Α2 χρειάζονται 15 λεπτά επαφής με τον πωλητή και 500 χ. μ. κόστος διαφήμισης ενώ για την αγορά Α3 χρειάζονται μία ώρα επαφής με τον πωλητή και 300 χ. μ. κόστος διαφήμισης. Η εταιρεία έχει θέσει σαν στόχο να πετύχει τουλάχιστον 3,000 πωλήσεις σε κάεθ μία από τις αγορές. Να βρεθεί η κατανομή πωλήσεων η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της εταιρείας. Πρόβλημα 9. Μία επιχείρηση θέλει πρόκειται να εισάγει στην αγορά ένα νέο προϊόν και θέλει να κάνει μια δοκιμαστική διαφήμιση του προϊόντος στην τηλεόραση. Μετά από συζήτηση με την διαφημιστική εταιρεία αποφασίστηκε να προβληθεί η διαφήμιση σε δύο κανάλια και για μια εβδομάδα. Το κόστος προβολής καθώς και η ακροαματικότητα της μίας προβολής διαφέρουν ανάλογα με το κανάλι την ώρα της ημέρας και την ημέρα και φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Κόστος μίας προβολής σε Μονάδες αναμενόμενης ακροαματικότητας μιας προβολής Κανάλι Α Καθημερινή πρωί 800 3,000 Κανάλι Β Καθημερινή πρωί 1000 4,000 Κανάλι Α Σάββατο βράδυ 1500 7,000 Κανάλι Β Σάββατο βράδυ 1500 6,000 Κανάλι Α Κυριακή βράδυ 1200 6,000 Κανάλι Β Κυριακή βράδυ 1300 7,500 Κανάλι Α Τετάρτη βράδυ πριν και κατά τη διάρκεια σημαντικού ποδοσφαιρικού αγώνα. Κανάλι Α καθημερινή πριν το κεντρικό δελτίο ειδήσεων Κανάλι Β καθημερινή πριν το κεντρικό δελτίο ειδήσεων 2000 10,000 1400 5,500 1200 5,000 Η επιχείρηση διαθέτει για τη δοκιμαστική διαφήμιση 200,000 ΕΥΡΩ, και ο αντικειμενικός σκοπός της είναι η μεγιστοποίηση της ακροαματικότητας, επιπλέον έχει θέσει τους εξής περιορισμούς: 1. Ο συνολικός αριθμός προβολών κατά των καθημερινών να είναι το πολύ το 50% του συνολικού αριθμού προβολών. 2. Ο αριθμός προβολών το Σάββατο και την Κυριακή βράδυ τη νύχτα να είναι το 65% των νυχτερινών προβολών. 16

3. Το συνολικό ποσό που θα διατεθεί για προβολές στο κάθε κανάλι να μην υπερβαίνει τα 100,000. Να διατυπώσετε το πρόβλημα σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (μεταβλητές, αντικειμενική συνάρτηση, περιορισμοί). Πρόβλημα 10. Επιχείρηση ζωοτροφών πρόκειται να εισάγει στην αγορά μια νέα ζωοτροφή η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες διατροφικές προδιαγραφές σε βιταμίνες, πρωτεΐνες και θερμίδες όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Για την παρασκευή της ζωοτροφής μπορεί να γίνει ανάμειξη τεσσάρων το πολύ βασικών συστατικών καθένα από τα οποία περιέχει βιταμίνες, πρωτεΐνες και θερμίδες όπως φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Τέλος, στον πίνακα φαίνεται και το κόστος ανά μονάδα συστατικού. Απαιτούμενο διατροφικό στοιχείο Αριθμός διατροφικών στοιχείων ανά μονάδα συστατικού Διατροφική απαίτηση ανά μονάδα ζωοτροφής Συστατικό Σ1 Σ2 Σ3 Σ4 Βιταμίνη Α 80 115 100 90 80 Βιταμίνη Γ 110 90 85 100 100 Βιταμίνη Ε 50 70 105 80 60 Πρωτεΐνες 250 300 210 240 260 Θερμίδες 480 510 470 530 2300 Κόστος ανά μονάδα συστατικού 180 160 145 200 Ζητείται να βρεθεί η σύσταση της ζωοτροφής έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω περιορισμοί και να ελαχιστοποιείται το κόστος παρασκευής της. 17

Πρόβλημα 11. Ένας γεωργός έχει στη διάθεση του για καλλιέργεια 100 στρέμματα γης και σε αυτά θέλει να καλλιεργήσει πατάτες (Π), σιτάρι (Σ), φασόλια (Φ) και ντομάτες (Ν). Έχει επίσης διαθέσιμο κεφάλαιο 50,000 χρηματικές μονάδες και υπάρχει διαθέσιμο εργατικό δυναμικό με κόστος 3 χρηματικές μονάδες ανά εργατοώρα. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται η παραγωγή ανά στρέμμα για κάθε προϊόν καθώς και οι εργατοώρες που απαιτούνται για την καλλιέργεια ενός στρέμματος προϊόντος και τέλος τα συνολικά έσοδα ανά κιλό προϊόντος που παράγεται. Προϊόν Παραγωγή / Εργατοώρες / Συνολικά έσοδα / στρέμμα σε κιλά στρέμμα κιλό προϊόντος Π 80 40 3.50 Σ 90 30 7.00 Φ 70 40 4.00 Ν 60 100 2.50 Δηλαδή, η καλλιέργεια ενός στρέμματος με πατάτες απαιτεί 40 εργατοώρες εργασία και αποδίδει 80 κιλά πατάτας, ενώ το ένα κιλό πατάτας φέρνει έσοδο 3.50 χρηματικές μονάδες. Ο γεωργός θέλει να σχεδιάσει την παραγωγή έτσι ώστε να μεγιστοποιεί το κέρδος του. Ο γεωργός θέλει να σχεδιάσει την παραγωγή των προϊόντων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του. 18

Πρόβλημα 12. Αλυσίδα αρτοποιείων παράγει μεταξύ άλλων και ένα βασικό είδος άρτου για την τροφοδοσία εστιατορίων, νοσοκομείων, κ.ά. Η παρασκευή του προϊόντος αυτού γίνεται σε τρεις διαφορετικές εγκαταστάσεις-φούρνους, ΦΙ, Φ2 και Φ3, με ημερήσια δυναμικότητα 5,000 κιλά, 5,000 κιλά και 10,000 κιλά αντιστοίχως. Η παραγωγή των τριών φούρνων απορροφάται από τέσσερις βασικούς πελάτες Π1-Π4, που είναι χώροι μαζικής εστίασης. Το κόστος πρώτων υλών και εργασίας για ένα κιλό ψωμί είναι 0,70 ευρώ. Κάθε κιλό ψωμί επιβαρύνεται με διάφορα άλλα στοιχεία κόστους, τα οποία είναι 5, 7 και 10 λεπτά αντιστοίχως για τους φούρνους ΦΙ, Φ2 και Φ3. Το προϊόν μεταφέρεται στους πελάτες με ιδιόκτητα οχήματα της εταιρείας και με κόστος μεταφοράς ανά μονάδα προϊόντος, που εμφανίζεται στον ακόλουθο πίνακα Κόστος μεταφοράς ανά τεμάχιο προϊόντος Παραγωγική Πελάτης Εγκατάσταση Π1 Π2 Π3 Π4 Φ1 10 10 15 10 Φ2 15 10 10 15 Φ3 5 5 5 10 Η αλυσίδα πωλεί το προϊόν σε διαφορετική τιμή σε κάβε πελάτη, ανάλογα με τη συμφωνία που είχε γίνει, και είναι 1 ευρώ για τον Π1, 1,25 ευρώ για τον Π2 και 1,10 δραχμές για τον Π3 και τον Π4. Οι καθημερινές απαιτήσεις των πελατών είναι 5.000 κιλά για τον Π1, 4,000 κιλά για τον Π2, 7.000 κιλά για τον Π3 και 5.000 κιλά για τον Π4. Επίσης, ο φούρνος Φ2 δεν προμηθεύει τον πελάτη Π3 λόγω διαφωνίας που προέκυψε μεταξύ των διοικήσεων των δυο εταιρειών. 19

Πρόβλημα 13. Εταιρεία επενδύσεων σκοπεύει να επενδύσει ένα μέρος από τα ρευστά διαθέσιμα της ανερχόμενο στο ποσό των 200 χιλιάδες ευρώ σε χρηματιστηριακούς τίτλους. Ο χρηματοοικονομικός αναλυτής της εταιρείας μετά από σχετική ανάλυση των μετοχών του χρηματιστηρίου αξιών πρότεινε στον οικονομικό διευθυντή να επενδυθεί το ποσό αυτό στις δύο πλέον αποδοτικές μετοχές τριών συγκεκριμένων κλάδων καθώς και σε κρατικά ομόλογα. Πιο συγκεκριμένα, οι προτεινόμενες μετοχές ήσαν, οι μετοχές Α και Β του τραπεζικού κλάδου, οι μετοχές Γ και Δ του εμποροβιομηχανικού κλάδου και οι μετοχές Ε και Ζ των εταιρειών επενδύσεων. Μάλιστα έδωσε ακόμα στο διευθυντή του τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει τα αναμενόμενα ετήσια ποσοστά απόδοσης των επενδύσεων. Επένδυση Αναμενόμενο ποσοστό απόδοσης (%) Τραπεζική μετοχή Α 14 Τραπεζική μετοχή Β 19 Εμποροβιομηχανική μετοχή Γ 14 Εμποροβιομηχανική μετοχή Δ 11 Μετοχή εταιρειών επενδύσεων Ε 16 Μετοχή εταιρειών επενδύσεων Ζ 13 Κρατικά ομόλογα 10 Ο οικονομικός διευθυντής, αφού συνέκρινε τις παραπάνω αποδόσεις με αντίστοιχες άλλων οικονομικών αναλυτών, που είχαν δημοσιευθεί στον ημερήσιο και εβδομαδιαίο οικονομικό τύπο κατά το τελευταίο χρονικό διάστημα, έδωσε στο χρηματοοικονομικό αναλυτή του τις εξής οδηγίες: Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές ενός κλάδου να μην υπερβαίνει το ένα τρίτο του συνολικού διαθέσιμου ποσού. Για κάθε κλάδο το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή με τη μεγαλύτερη απόδοση στον κλάδο να μην υπερβαίνει το 70% του συνολικού ποσού που θα επενδυθεί στο συγκεκριμένο κλάδο. Το ποσό που θα επενδυθεί σε κρατικά ομόλογα να είναι τουλάχιστον το 20% του ποσού που θα επενδυθεί στις τραπεζικές μετοχές. 20

Πρόβλημα 14. Εταιρεία σκοπεύει να επενδύσει ένα μέρος από τα ρευστά διαθέσιμα της ανερχόμενο στο ποσό των 200 χιλιάδες ευρώ σε χρηματιστηριακούς τίτλους. Ο χρηματοοικονομικός αναλυτής της εταιρείας μετά από σχετική ανάλυση των μετοχών του χρηματιστηρίου αξιών πρότεινε στον οικονομικό διευθυντή να επενδυθεί το ποσό αυτό σε 3 μετοχές, 2 αμοιβαία κεφάλαια και 2 κρατικά ομόλογα. Έδωσε στο διευθυντή του τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει τα αναμενόμενα ετήσια ποσοστά απόδοσης των επενδύσεων. Ετήσια απόδοση επενδύσεων Επένδυση Αναμενόμενο ποσοστό απόδοσης (%) Μετοχή Α 14 Μετοχή Β 20 Μετοχή Γ 12 Αμοιβαίο Κεφάλαιο 1 9 Αμοιβαίο Κεφάλαιο 2 7 Κρατικό Ομόλογο 1 5,5 Κρατικό Ομόλογο 2 5 Ο οικονομικός διευθυντής έδωσε στο χρηματοοικονομικό αναλυτή του τις εξής οδηγίες: Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές να μην υπερβαίνει το ποσό που θα επενδυθεί στα κρατικά ομόλογα. Το ποσό που θα επενδυθεί στη μετοχή με τη μεγαλύτερη απόδοση να μην υπερβαίνει το 50% του συνολικού ποσού που θα επενδυθεί σε μετοχές. Το ποσό που θα επενδυθεί σε αμοιβαία κεφάλαια να είναι τουλάχιστον το 30% του ποσού ου θα επενδυθεί σε μετοχές. 21

Πρόβλημα 15. Έστω δύο αγροτικές κοινότητες (Κ1, Κ2) που συνεργάζονται μεταξύ τους και παράγουν τέσσερα αγροτικά προϊόντα (Π1, Π2, Π3, Π4). Κάθε κοινότητα περιορίζεται από τη διαθέσιμη έκταση αρδεύσιμου εδάφους και τη διαθέσιμη ποσότητα νερού. Τα δεδομένα δίνονται στον παρακάτω πίνακα Κοινότητα Διαθέσιμο έδαφος σε στρέμματα Διαθέσιμη ποσότητα νερού σε τόνους Κ1 400 600 Κ2 600 800 Το Υπουργείο γεωργίας επιβάλλει μέγιστο όριο στην συνολική έκταση που μπορεί να διατεθεί για την καλλιέργεια καθενός από τα προϊόντα Π1, Π2, Π3, Π4. Στον ακόλουθο πίνακα δίνεται το παραπάνω όριο, η ποσότητα νερού ανά στρέμμα καλλιέργειας που απαιτείται για καθένα από τα προϊόντα καθώς η καθαρή απόδοση ανά στρέμμα σε χρηματικές μονάδες δίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Προϊόν Μέγιστη έκταση καλλιέργειας (στρέμματα) Κατανάλωση νερού ανά στρέμμα Καθαρή απόδοςη χ.μ. ανά στρέμμα Π1 600 3 400 Π2 500 2 300 Π3 300 1 100 Π4 400 5 500 Οι δύο κοινότητες έχουν συμφωνήσει να καλλιεργούν το ίδιο ποσοστό αρδεύσιμου εδάφους. Ζητείται να γίνει ο προγραμματισμός της καλλιέργειας έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική καθαρή απόδοση. 22

Πρόβλημα 16. Βιομηχανική επιχείρηση πρόκειται να εισάγει στην αγορά ένα νέο προϊόν. Οι υπεύθυνοι του τμήματος διαφήμισης, μετά από διενέργεια της κατάλληλης έρευνας, αποφάσισαν να κάνουν μια δοκιμαστική διαφήμιση στην τηλεόραση ένα συγκεκριμένο τριήμερο Παρασκευής -Σαββάτου-Κυριακής. Το κόστος μιας προβολής, καθώς επίσης και η ακροαματικότητα της μιας προβολής του επιλεγμένου καναλιού διαφέρουν ανάλογα με την ώρα και την ημέρα και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Διαφημιστικό μέσο Κόστος μιας προβολής (σε ευρώ) 1. Παρασκευή - ήμερα 1100 5.000 2. Σάββατο - ημέρα 1200 5.500 3. Κυριακή - ημέρα 1200 5.700 4. Παρασκευή - νύχτα 1300 7.500 5. Σάββατο - νύχτα 1300 8.200 6. Κυριακή - νύχτα 1350 8.400 Μονάδες αναμενόμενης ακροαματικότητας μιας προβολής Αντικειμενικός σκοπός είναι η μεγιστοποίηση της συνολικής ακροαματικότητας, λαμβάνοντας υπόψη τους ακόλουθους περιορισμούς: α) Το συνολικό ποσό που θα δοθεί για όλες τις προβολές του τριημέρου να μην υπερβαίνει τα 120 χιλιάδες ευρώ. β) Το ποσό που θα δοθεί για τις προβολές της Παρασκευής να μην είναι μεγαλύτερο από 33 χιλιάδες ευρώ ενώ για τις προβολές του Σαββάτου να μην είναι μεγαλύτερο από 45 χιλιάδες ευρώ. γ) Ο συνολικός αριθμός τον προβολών που θα γίνουν κατά τη διάρκεια της ημέρας να είναι τουλάχιστον 20, ενώ ο συνολικός αριθμός των προβολών που θα γίνουν κατά τη διάρκεια της νύχτας να είναι τουλάχιστον το 50% του συνολικού αριθμού των προβολών. 23

Πρόβλημα 17. Μια εταιρεία θέλει να διαφημίσει ένα νέο προϊόν άθλησης που παράγει για το σκοπό αυτό θα κάνει μια μεγάλη διαφημιστική εκστρατεία μια εβδομάδα πριν από έναν πολύ σημαντικό ποδοσφαιρικό αγώνα που θα μεταδώσει το τηλεοπτικό κανάλι 1. Για την διαφήμιση έχουν επιλεγεί δύο τηλεοπτικά κανάλια. Το συνολικό ποσό που θα διατεθεί για την διαφημιστική εκστρατεία είναι 200 χιλιάδες ευρώ. Το κόστος μιας προβολής, καθώς επίσης και η ακροαματικότητα της μιας προβολής του επιλεγμένου καναλιού διαφέρουν ανάλογα με την ώρα και την ημέρα και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Διαφημιστικό μέσο Κόστος μιας προβολής (σε ευρώ) Μονάδες αναμενόμενης ακροαματικότητας μιας προβολής Τηλεοπτικό κανάλι 1 Καθημερινές απογευματινή ζώνη 400 4.000 Καθημερινές βραδινή ζώνη 500 5.000 Σάββατο απογευματινή ζώνη 450 5.500 Σάββατο βραδινή ζώνη 600 6.000 Κυριακή 2 ώρες πριν τον αγώνα 700 8.000 Κυριακή κατά τη διάρκεια του 900 10.000 αγώνα Τηλεοπτικό κανάλι 2 Καθημερινές απογευματινή ζώνη 300 5.000 Καθημερινές βραδινή ζώνη 400 6.000 Σάββατο απογευματινή ζώνη 600 7.000 Σάββατο βραδινή ζώνη 700 7.000 Η εταιρία ζητά την μέγιστη ακροαματικότητα με δεδομένους τους ακόλουθους περιορισμούς: α) Σε κάθε ένα από τα δύο κανάλια να γίνει τουλάχιστον το 30% των συνολικών προβολών β) Οι καθημερινές προβολές να μην υπερβαίνουν το 30% των συνολικών προβολών γ). Το ποσό που θα δαπανηθεί για προβολές την Κυριακή στο κανάλι 1 να είναι τουλάχιστον το 60% του ποσού που θα δαπανηθεί για διαφήμιση στο κανάλι αυτό δ) Οι προβολές στην απογευματινή ζώνη τις καθημερινές να είναι το πολύ το 50% των βραδινών προβολών (τις καθημερινές) 24

Πρόβλημα 18. Ένα Κέντρο Ελευθέρων Σπουδών ετοιμάζει μια διαφημιστική εκστρατεία για τις επόμενες 12 εβδομάδες με σκοπό να προσελκύσει μαθητές που δεν συγκέντρωσαν την απαιτούμενη βαθμολογία για την εισαγωγή τους στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Έχει τη δέσμευση να διαθέσει κατά μέγιστο το ποσό των 200 χιλιάδων ευρώ. Οι υπεύθυνοι επικοινωνίας αποφάσισαν να χρησιμοποιήσουν 2 εβδομαδιαία περιοδικά, 3 κυριακάτικες εφημερίδες, 3 ραδιοφωνικούς σταθμούς και 4 τηλεοπτικά κανάλια. Το κόστος μιας καταχώρισης / προβολής, καθώς επίσης και η αναγνωσιμότητα / ακροαματικότητα της μιας καταχώρησης / προβολής του επιλεγμένου μέσου δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Διαφημιστικό μέσο Μονάδες αναμενόμενης αναγνωσιμότητας/ ακροαματικοτητας (σε χιλιάδες). Κόστος μιας προβολής (σε ευρώ) Περιοδικό 1 20 50 Περιοδικό 2 40 60 Εφημερίδα 1 150 500 Εφημερίδα 2 100 400 Εφημερίδα 3 80 250 Ραδιοφωνικός Σταθμός 1 30 50 Ραδιοφωνικός Σταθμός 2 20 15 Ραδιοφωνικός Σταθμός 3 25 20 Τηλεοπτικό Κανάλι 1 500 2000 Τηλεοπτικό Κανάλι 2 400 1500 Τηλεοπτικό Κανάλι 3 350 1400 Τηλεοπτικό Κανάλι 4 250 1000 α) Το συνολικό ποσό που θα δοθεί για τηλεοπτικές προβολές να μην υπερβαίνει το 50% του συνολικού ποσού. β) Το ποσό που θα δοθεί για τις ραδιοφωνικές εκπομπές να μην είναι μικρότερο του 20% του ποσού που θα διατεθεί για τηλεοπτικές προβολές δ) στο τηλεοπτικό κανάλι με τη μέγιστη τηλεθέαση να διατεθεί το πολύ το 80% του ποσού που θα διατεθεί στα δύο κανάλια με την μικρότερη τηλεθέαση. ε) Το ποσό που θα διατεθεί για καταχωρήσεις σε εφημερίδες να είναι τουλάχιστον τριπλάσιο του ποσού που θα διατεθεί για καταχωρήσεις σε περιοδικά. στ) να γίνουν τουλάχιστον 70 καταχωρήσεις σε περιοδικά και τουλάχιστον 20 σε εφημερίδες 25

Ασκήσεις στη γραφική λύση 1.Να λυθεί γραφικά το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Να μεγιστοποιηθεί η zx ( 1, x2) = 2x1+ 3x2 με περιορισμούς: 4x + 2x 16 1 2 x + x 6 1 2 2x 6 1 x, x 0 1 2 2. Να λυθεί γραφικά το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση Ζ(x 1,x 2 ) = 5x 1 + 4x 2 με τους περιορισμούς x 1 200 x 1 + 5x 2 400 x 2 70 x 1, x 2 0 3.Να λυθεί γραφικά το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση Ζ(x 1,x 2 ) = 5x 1 + 4x 2 με τους περιορισμούς 3 x 1 + 2 x 2 240 x 1 + 2 x 2 100 x 1 + 5x 2 200 x 2 35 x 1, x 2 0 4.Να λυθεί γραφικά το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση Z( x1, x2) = 2x1+ 3x2 Με περιορισμούς x x x x 1 2 2 + x 5 2 + 2x 6 0, x 0 1 2 1 2 26

Ασκήσεις στη μέθοδο Simplex 1.Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= -x 1 +3x 2 +2x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 2x 1 - x 2-3x 3 14 x 1 + 10x 2 + 2x 3 6 -x 1 + 5x 2 30 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 2. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= x 1 +5x 2 +3x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 + 10x 2 + 2x 3 6 -x 1 + 5x 2 30 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 3. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 2x 1-6x 2 +12x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: x 1 + x 2 + x 3 16 2x 2 - x 3 2 x 1 + 2x 2 - x 3 8 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 4. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 2x 1 +3x 2 +6x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 2x 2 + 3x 3 50 5x 1 +2x 2 + x 3 200 4x 1 + 4x 2 +6x 3 200 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 5. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 4x 1 +2x 2 +5x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 2x 1 +x 2 + x 3 16 4x 1 - x 3 10 x 1 + 3x 2-2x 3 8 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 6. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 3x 1-2x 2 +x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: x 1 +3x 2 - x 3 8 x 2 +3x 3 4 2x 1 + x 2 +x 3 12 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 27

7. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 10x 1 +6x 2 +4x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: x 1 +x 2 + x 3 100 10x 1 +4x 2 +5x 3 600 2x 1 + 2x 2 +6x 3 300 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 8. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 4x 1-2x 2 +2x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 3x 1 +x 2 + x 3 180 x 1 - x 2 + 2x 3 30 x 1 + x 2 -x 3 60 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 9. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 20x 1 +6x 2 +8x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 8x 1 +2x 2 + 3x 3 200 4x 1 + 3x 2 100 2x 1 + x 3 50 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 10. Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: max z= 3x 1 +3x 2 +4x 3 με τους ακόλουθους περιορισμούς: 6x 1 +2x 2 + 5x 3 25 3x 1 + 2x 2 +5x 3 20 4x 1 + x 2 + x 3 30 x j 0, j=1,2,3 Να κατασκευαστούν οι δύο πρώτοι πίνακες της μεθόδου Simplex. 28

Βιβλιογραφία 1. Αβδελάς Γ., Σίμος Θ, «Εισαγωγή στη Επιχειρησιακή Έρευνα», Εκδόσεις ΣΥΜΕΩΝ, Αθήνα 2001. 2. Κώστογλου Β., «Επιχειρησιακή Έρευνα», Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη 2005. 3. Οικονόμου Γ., Τσιότρας Γ., «Ποσοτική Ανάλυση περιπτώσεων», Εκδόσεις Ευγ. Μπένου, Αθήνα 1996. 4. Οικονόμου Γ., Γεωργίου Α., «Ποσοτική Ανάλυση για τη λήψη διοικητικών αποφάσεων», Εκδόσεις Ευγ. Μπένου, Αθήνα 2000. 5. Παπαγεωργίου Ι., «Εισαγωγή εις την Επιχειρησιακή Έρευνα», Εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα 1973. 6. Ψωϊνός Δ.Π,, «Ποσοτική Ανάλυση», Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη 1980. 7. Hillier F., Lieberman G., Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 1985. 29