ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητά τα επιμέρους προβλήματα και να δοθούν λύσεις μέσω των παραδειγμάτων. Μεταξύ άλλων δίδονται παραδείγματα στα προβλήματα προγραμματισμού παραγωγής σε σχέση με τα Υλικά καθώς και προβλήματα διανομής(μεταφοράς προϊόντων)
Περιεχόμενα ενότητας Το πρόβλημα Μίξης της Παραγωγής Το πρόβλημα της Δίαιτας Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου Το πρόβλημα Προγραμματισμού Παραγωγής Το πρόβλημα Διανομής Πρόβλημα Μεταφοράς Πρόβλημα Συντομότερη Διαδρομής 5
Το πρόβλημα Μίξης της Παραγωγής Το πρόβλημα Μίξης της Παραγωγής αφορά στις ποσότητες των προϊόντων που πρέπει να παραχθούν, όταν είναι διαθέσιμα συγκεκριμένες ποσότητες πόρων (υλικών και ανθρώπινων) έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος ή να ελαχιστοποιείται το κόστος. Παρουσιάσθηκε αναλυτικά στην περιγραφή του Γραμμικού Προγραμματισμού 6
Πρόβλημα 1 Η εταιρεία DogFood παράγει δυο προϊόντα σκυλοτροφής. Α) Το προϊόν Α είναι ένα μείγμα από ένα κιλό δημητριακά και 1,5 κιλό κρέας και χρησιμοποιείται συγκεκριμένη μονάδα συσκευασίας. Το κέρδος για το προϊόν Α είναι 0,56 Ευρώ ανά συσκευασία. Το προϊόν Β είναι ένα μείγμα από κιλά δημητριακά και 1 κιλό κρέας και το κέρδος ανά συσκευασία είναι 0, Ευρώ Στις αποθήκες της εταιρείας βρίσκονται διαθέσιμα 0.000 κιλά δημητριακά και 180.000 κιλά κρέας για τον επόμενο μήνα. Η δυναμικότητα του εξοπλισμού συσκευασίας εργοστασίου για το προϊόν Α είναι για 110.000 συσκευασίες το μήνα. Να κατασκευάστε το γραμμικό μοντέλο έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της Εταιρείας προσδιορίζοντας τη ποσότητα που πρέπει να παράγει για κάθε προϊόν η Εταιρεία. Να λύσετε το πρόβλημα (γραφικά ή αλγεβρικά). 7
Πρόβλημα Ένας αγρότης πρέπει να καθορίσει πόσα στρέμματα σιταριού και κριθαριού θα φυτέψει για την τρέχουσα χρονικά. Ένα στρέμμα σιταριού παράγει κατά μέσο όρο 0 τόνους καρπού και απαιτεί περίπου 11 ώρες εργασία την εβδομάδα. Ένα στρέμμα κριθαριού αποφέρει 1 τόνους καρπού και απαιτεί 5 ώρες εργασίας την εβδομάδα. Η τρέχουσα τιμή του σιταριού είναι 0 ο τόνος και του κριθαριού είναι 8 ο τόνος. Η καλλιεργήσιμη έκταση που διαθέτει είναι 1 στρέμματα και για την καλλιέργεια απασχολείται μόνος τους με 0 ώρες εργασίας την εβδομάδα. Επιπρόσθετα έχει την συμβατική υποχρέωση να παράγει το τρέχον έτος τουλάχιστον 5 τόνους σιταριού.. Να βρεθεί η καλύτερη λύση έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του αγρότη. 8
Το πρόβλημα της Δίαιτας Αφορά τον συνδυασμό τροφών έτσι ώστε να ικανοποιούνται συγκεκριμένες διατροφικές απαιτήσεις σχετικά με τα θρεπτικά συστατικά και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται το κόστος. Παράδειγμα: Μια εταιρεία τροφίμων σκοπεύει να παρασκευάσει ένα νέο προϊόν (Corn flakes) με χαμηλά λιπαρά: σε 1 κιλό θα περιέχονται τουλάχιστον 6 γραμμάρια φυτικών ινών, το πολύ 9 γραμμάρια λιπαρών και το πολύ 9 γραμμάρια πρωτεΐνης. Το προϊόν αυτό προκύπτει από τη μίξη δύο δημητριακών Α και Β, τα οποία έχουν διαφορετική σύσταση (γραμμάρια/κιλό) ως προς τα θρεπτικά συστατικά και κόστος : Φυτικές ίνες Λιπαρά Πρωτεΐνη Κόστος/Κιλό Προϊόν Α 6 6 1 6 Προϊόν Β,5 9 9 8 Πόση ποσότητα θα χρησιμοποιήσει από το καθένα δημητριακό έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το κόστος. 9
Πρόβλημα Ο ελάχιστος αριθμός των θερμίδων που μπορούμε να λαμβάνουμε καθημερινά είναι 000. Επίσης, σε καθημερινή βάση απαιτείται να προσλαμβάνουμε μια ελάχιστη ποσότητα πρωτεϊνών και ασβεστίου, ενώ παράλληλα επιθυμούμε να δαπανούμε το ελάχιστο δυνατό ποσό κάθε μέρα για την αγορά των τροφίμων. Ο πίνακας παρουσιάζει τις παρεχόμενες πρωτεΐνες και ασβέστιο (σε milligrams ανά μερίδα) που εξασφαλίζει συγκεκριμένη ποσότητα (δηλαδή, η τυπική δοσολογία) κάθε είδους τροφής που έχουμε στη διάθεση μας, οι θερμίδες που περιέχουν και η τιμή τους σε Ευρώ. Είδος τροφής Δοσολ. θερμ.(kcal) Πρωτ.(gr) Ασβ.(mg) Τιμή(ευρώ) (1) Δημητριακά 8 γρ. 110 0. () Κοτόπουλο 100 γρ... 05 1. () Αβγά 160 1 5 1. () Γάλα 7κ.ε. 160 8 85 0.9 (5) Γλυκό 170 γρ. 0.0 (6) Χοιρινό 60 γρ 60 1 80 1.9 Απαιτήσεις 000 55 800 10
Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (α) Αφορά προβλήματα που αντιμετωπίζονται συνήθως σε ΧρηματοΠιστωτικούς Οργανισμούς και Επενδυτικούς Φορείς. Στα προβλήματα αυτά υπάρχει διαθέσιμο ένα Κεφάλαιο το οποίο απαιτείται να επενδυθεί σε ένα ορισμένο σύνολο διαφορετικλων επενδυτικών προϊόντων (μετοχές, ομολογα, αγορά ξένου νομίσματος. Οι περιορισμοί συνήθως προέρχονται από εξωγενείς παράγοντες όπως έπίσης και από την μείωση του επενδυτικού Κινδύνου. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση του αναμενόμενου κέρδους. 11
Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (β) Μια επιχείρηση θέλει να επενδύσει για συγκεκριμένη χρονική περίοδο 50.000 σε μετοχές. Το Οικονομικό τμήμα της επιχείρησης μετά από έρευνα της αγοράς κατέληξε σε αξιόπιστες προβλέψεις για την απόδοση κοινών και προνομιούχων μετοχών συγκεκριμένων εταιρειών του ΧΑΑ σε σύγκριση με την απόδοση διαφόρων άλλων εναλλακτικών λύσεων όπως τίτλων δημοσίου, πιστοποιητικών κατάθεσης και ομολόγων κρατικών επιχειρήσεων Το οικονομικό τμήμα της επιχείρησης πιστεύει επίσης ότι δεν θα υπάρξουν σημαντικές αυξομειώσεις στις παραπάνω αποδόσεις στο χρονικό διάστημα του προγραμματισμού και επομένως μπορούν να θεωρηθούν σταθερές. Επένδυση Αναμενόμενη Απόδοση Κοινές Μετοχές 1% Προνομιούχες Μετοχές 1% Ομόλογα Κρατικών Επιχειρήσεων 11% Κρατικά Ομόλογα 1% Αγορά Συναλλαγματος 8,5% 1
Το Πρόβλημα του Χαρτοφυλακίου (γ) Η διεύθυνση της επιχείρησης έχει θέσει ορισμένους κανόνες που αφορούν στην καλύτερη κατανομή του κεφαλαίου για επένδυση. Οι κανόνες αυτοί είναι. Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές κοινές και προνομιούχες δεν θα ξεπερνά το 5% του Κεφαλαίου που θα επενδυθεί, καθώς παρουσιάζουν μεγαλύτερο επενδυτικό κίνδυνο. Το ποσό που θα επενδυθεί σε κρατικά ομόλογα θα πρέπει να είναι μικρότερο του ποσού που θα επενδυθεί σε Αγορά Συναλλάγματος Το συνολικό ποσό που θα επενδυθεί σε ομόλογα δεν θα ξεπερνά το 0% του συνολικού ποσού της επένδυσης Το ποσό που θα επενδυθεί σε μετοχές δεν θα ξεπερνά το 55% της συνολικής επένδυσης Να προσδιορισθούν τα ποσά που θα επενδυθούν σε κάθε εναλλακτική επένδυση με στόχο την μεγιστοποίηση της αναμενόμενης απόδοσης. 1
Το πρόβλημα Προγραμματισμού Παραγωγής Προβλήματα στα οποία πρέπει να προγραμματιστεί η παραγωγή έτσι ώστε να καλυφθεί η ζήτηση για μια συγκεκριμένη περίοδο. Περιορισμοί υπάρχουν ως προς τη διαθεσιμότητα των πόρων, την διατήρηση ενός αποθέματος. 1
Πρόβλημα Προγραμματισμού Παραγωγής (1) Μία εταιρία κατασκευάζει τέσσερα προϊόντα (Α,Β,Γ,Δ) χρησιμοποιώντας μηχανές (Χ και Υ). Ο χρόνος (σε λεπτά) που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας από κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή είναι: Για το προϊόν Α, 8 λεπτά με τη Χ και με τη Υ, Για το προϊόν Β, 1 λεπτά με τη Χ και με τη Υ, Για το προϊόν Γ, 15 λεπτά με τη Χ και 6 με τη Υ και Για το προίόν Δ, 10 λεπτά με τη Χ και 7 με τη Υ, Το κέρδος ανά μονάδα των προϊόντων Α, Β, Γ,Δ είναι αντίστοιχα 0,, 60 και 8 αντίστοιχα. 15
Πρόβλημα Προγραμματισμού Παραγωγής () Το προϊόν Α πρέπει να παραχθεί χρησιμοποιώντας και τις δύο μηχανές, ενώ τα προϊόντα Β, Γ και Δ μπορούν να παραχθούν από οποιαδήποτε από τις δύο μηχανές. Η εταιρία διαθέτει περιορισμένο χώρο για αποθήκευση των προϊόντων. Η παραγωγή μιας εβδομάδος αποθηκεύεται σε χώρο εμβαδού 50 τ.μ. με τα προϊόντα Α, Β, Γ και Δ να καταλαμβάνουν ανά μονάδα 0.1, 0.16, 0. και 0.08 τ.μ. αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις απαιτήσεις των πελατών της εταιρίας, η εβδομαδιαία παραγωγή του προϊόντος πρέπει να είναι περίπου διπλάσια της παραγωγής του προϊόντος. Οι μηχανές Χ και Υ βρίσκονται εκτός λειτουργίας (για συντήρηση ή λόγω βλάβης) για το 5% και το 7% του χρόνου λειτουργίας τους αντίστοιχα. Υποθέτοντας μία εβδομάδα 0 εργασίμων ωρών, η εταιρία ενδιαφέρεται για ένα πρόγραμμα παραγωγής των τεσσάρων προϊόντων που να μεγιστοποιεί το κέρδος της. 16
Το πρόβλημα Διανομής (α) Στόχος των προβλημάτων αυτών είναι να βρεθεί ο οικονομικότερος συνδυασμός δρομολογίων (φορτηγά, πλοία, τραίνα) σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, έτσι ώστε και να μεταφερθούν οι διαθέσιμες ποσότητες και να καληφθεί η ζήτηση σε προϊόντα στους προορισμούς. Επιπρόσθετοι περιορισμοί είναι η δυνατότητες μεταφοράς των μεταφορικών μέσων και οι δυναμικότητα παραγωγής (διαθέσιμα πορϊόντα) και οι χρόνοι φόρτωσης, εκφόρτωσης και ταξιδιού. 17
Πρόβλημα Μεταφοράς (β) Τα δυο εργοστάσια μιας τσιμεντοβιομηχανίας ( Α και Β) προμηθεύουν με τσιμέντο τα κέντρα διανομής (Κ1, Κ, Κ) που βρίσκονται σε τρεις διαφορετικές πόλεις. Τα κέντρα διανομής με τη σειρά τους με τη σειρά τους προμηθεύουν τα τέσσερα σημεία πωλήσεως Π1, Π, Π, Π. Τα εργοστάσια έχουν εβδομαδιαία παραγωγή 0 και 00 τόνοι τσιμέντου αντίστοιχα και η Εβδομαδιαία ζήτηση στα σημεία πωλήσεων είναι 90. 10, 160, 10 αντίστοιχα. Το κόστος μεταφοράς ανά διαδρομή δίδεται στο παρακάτω δίκτυο. Να προσδιορισθεί το πρόγραμμα μεταφοράς ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος. Α Β 7 5 Κ1 Κ Κ 8 8 9 5 7 Π1 Π Π Π 18
Πρόβλημα Μεταφοράς - Μοντελοποίηση -Ελαχιστοποίηση του αθροίσματος τους κόστους όλων των διαδρομών (αντικ. συνάρτηση) min Σχ ij Περιορισμοί -Το άθροισμα των εκροών από τους κόμβους αφετηρίας είναι μικρότερο ή ίσο της παραγωγής. -Το άθροισμα των εισροών σε κάθε σημείο πώλησης είναι μεγαλύτερο ή ίσο της αντίστοιχης ζήτησης -Το άθροισμα των εισροών σε κάθε κόμβο ισούται με το άθροισμα των εκροών Χ ij 0 Το Γραμμικό Μοντέλο Min (X AK1 + Χ AK + Χ BK1 + 5Χ BK + 7Χ BK + Χ K1Π1 + Χ Κ1Π + 8Χ Κ1Π + Χ ΚΠ1 + Χ ΚΠ + 5Χ ΚΠ + 8Χ ΚΠ + 9Χ ΚΠ + 7Χ ΚΠ + Χ ΚΠ ) Α Β 7 5 Κ1 Κ Κ 8 8 9 5 7 Π1 Π Π Π με περιορισμούς: Χ ΑΚ1 +Χ ΑΚ 0 Χ ΒΚ1 +Χ ΒΚ +Χ ΒΚ 00 Χ Κ1Π1 +Χ ΚΠ1 90 Χ Κ1Π +Χ ΚΠ +Χ ΚΠ 10 Χ Κ1Π +Χ ΚΠ +Χ ΚΠ 160 Χ ΚΠ +Χ ΚΠ 10 Χ ΑΚ1 +Χ ΒΚ1 -Χ Κ1Π1 -Χ Κ1Π -Χ Κ1Π =0 Χ ΑΚ + Χ ΒΚ - Χ ΚΠ1 - Χ ΚΠ - Χ ΚΠ -Χ ΚΠ =0 Χ ΒΚ -Χ ΚΠ -Χ ΚΠ -Χ ΚΠ =0 Χ IJ 0 19
Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής Αποτελεί παραλλαγή του προβλήματος μεταφοράς. Υπάρχει ένας αφετηρίας και ένας κόμβος προορισμού και ενδιάμεσοι κόμβοι. Η παραγωγή και η ζήτηση στους κόμβους αφετηρίας είναι ίσες (μονάδα). Για κάθε σύνδεση μεταξύ των κόμβων i και j υπάρχει κόστος x ij Ζητείται να ευρεθεί η διαδρομή από την αφετηρία προς τον προορισμός με το μικρότερο κόστος. Παράδειγμα. 5 Το γραμμικό πρόβλημα 1 1 -Ελαχιστοποίηση του αθροίσματος κόστους όλων των διαδρομών -Στην αφετηρία το άθροισμα των εκροών ισούται με την μονάδα -Στον προορισμός το άθροισμα των εισροών ισούται με μονάδα -Σε κάθε κόμβο το άθροισμα των εισροών ισούται με το άθροισμα των εκροών 6 7 8 Min(x 1 +1x 1 +x +x +x+x +x 5 +x 6 +x 56 +x 67 +x 76 +x 58 +x 68 +x 78) X 1 +x 1 =1 X 1 +x -x -x =0 X 1 +x -x -x 7 =0 X +x -x 5 -x 6 =0 X 5 -x 56 -x 58 =0 x 6 +x 56 +x 76 -x 67 -x 68 =0 X 67 +x 7 -x 76 -x 78 =0 X 8 +x 68 +x 78 =1, x ij 0 0
Τέλος Ενότητας