Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Διάλεξη 7 Εξίσωση Slutsk Τι θα συµβεί όταν µειωθεί η τιµή ενός αγαθού; Αποτέλεσµα υποκατάστασης : το αγαθό γίνεται σχετικά πιο φτηνό και γι αυτό ο καταναλωτής υποκαθιστά το σχετικά πιο ακριβό µε το σχετικά πιο φτηνό αγαθό.!1!2 1 2 Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Αποτέλεσµα εισοδήµατος: Το εισόδηµα του καταναλωτή µπορεί να αγοράσει περισσότερα από πριν, ως εάν το εισόδηµα του καταναλωτή αυξήθηκε, µε αποτέλεσµα να υπάρχουν επιδράσεις του εισοδήµατος στις ζητούµενες ποσότητες. 2 p 2 Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Το εισόδηµα του καταναλωτή σε. Αρχική επιλογή!3!4 3 4
Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής 2 p 2 Το εισόδηµα του καταναλωτή σε. Η µείωση στην τιµή του αγαθού 1 περιστρέφει τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα έξω. 2 p 2 ' p2 Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Το εισόδηµα του καταναλωτή σε. Η µείωση στην τιµή του αγαθού 1 περιστρέφει τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα έξω. Το εισόδηµα που χρειάζεται τώρα είναι για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι στις νέες τιµές, ως εάν το εισόδηµα του καταναλωτή να αυξήθηκε κατά -.!5 5 6 Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Οι µεταβολές στις ζητούµενες ποσότητες, που οφείλονται σ αυτό το «επιπλέον» εισόδηµα είναι το αποτέλεσµα εισοδήµατος λόγω µεταβολής της τιµής. Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Ο Slutsk ανακάλυψε ότι οι µεταβολές στη ζήτηση από µια µεταβολή της τιµής είναι πάντα το άθροισµα ενός αµιγούς αποτελέσµατος υποκατάστασης και ενός αποτελέσµατος εισοδήµατος.!7!8 7 8
Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος Ο Slutsk διαπίστωσε ότι αν, στις νέες τιµές, Απαιτείται λιγότερο εισόδηµα για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι, τότε το «πραγµατικό εισόδηµα» αυξάνεται. Περισσότερο εισόδηµα απαιτείται για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι, τότε το «πραγµατικό εισόδηµα» µειώνεται.!9 2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή!10 9 10 Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος 2 2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός: Το πραγµατικό εισόδηµα έχει αυξηθεί!11!12 11 12
Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος 2 2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός!13!14 13 14 Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός: Το πραγµατικό εισόδηµα έχει µειωθεί!15 Ο Slutsk αποµόνωσε τη µεταβολή στη ζήτηση που οφείλεται µόνο στη µεταβολή των σχετικών τιµών µε το να θέσει το ερώτηµα «ποια είναι η µεταβολή στη ζήτηση όταν το εισόδηµα του καταναλωτή προσαρµόζεται έτσι ώστε, στις νέες τιµές, να µπορεί να αγοράσει ακριβώς το αρχικό καλάθι;»!16 15 16
2 Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 2!17!18 17 18 2 Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 2 2!19!20 19 20
2 2 Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 2 Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης Η µικρότερη p 1 κάνει το αγαθό 1 σχετικά πιο φτηνό και προκαλεί µια υποκατάσταση από το αγαθό 2 στο αγαθό 1. 2 2!21!22 21 22 Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης 2 2 2 Η µικρότερη p 1 κάνει το αγαθό 1 σχετικά πιο φτηνό και προκαλεί µια υποκατάσταση από το αγαθό 2 στο αγαθό 1. (, 2 ) (, 2 ) είναι το αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης. Και το αποτέλεσµα εισοδήµατος 2 2 (, 2 ) 2!24 23 24
Και το αποτέλεσµα εισοδήµατος 2 2 2 Το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι (, 2 ) (, 2 ). (, 2 ) Συνολική µεταβολή εισοδήµατος 2 2 2 Η µεταβολή στη ζήτηση από µια µείωση στην p 1 είναι το άθροισµα του αποτελέσµατος εισοδήµατος και υποκατάστασης (, 2 ) (, 2 ). (, 2 )!25 25 26 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κανονικά Τα περισσότερα είναι κανονικά (δηλαδή η ζήτηση αυξάνει µε το εισόδηµα). Το αποτέλεσµα υποκατάστασης και εισοδήµατος ενδυναµώνουν το ένα το άλλο, όταν η τιµή ενός κανονικού αγαθού αλλάζει. Τα αποτελέσµατα Slutsk για κανονικά 2 2 2 Το αγαθό 1 είναι κανονικό επειδή το υψηλότερο εισόδηµα αυξάνει τη ζήτηση (, 2 )!27 27 28
Τα αποτελέσµατα Slutsk για κανονικά 2 2 2 Το αγαθό 1 είναι κανονικό επειδή το υψηλότερο εισόδηµα αυξάνει τη ζήτηση, και εποµένως τα αποτελέσµατα εισοδήµατος και υποκατάστασης ενδυναµώνουν το ένα το άλλο. (, 2 ) Τα αποτελέσµατα Slutsk για κανονικά Αφού τόσο το αποτέλεσµα εισοδήµατος και το αποτέλεσµα υποκατάστασης δρουν στην ίδια κατεύθυνση, όταν µειώνεται η τιµή ενός αγαθού, η κλίση της κανονικής καµπύλης ενός κοινού (κανονικού) αγαθού είναι αρνητική.!30 29 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 30 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα Μερικά είναι κατώτερα (δηλαδή όταν αυξάνεται το εισόδηµα η ζήτηση µειώνεται). Το αποτέλεσµα εισοδήµατος και υποκατάστασης δρουν σε αντίθετη κατεύθυνση, όταν η τιµή ενός αγαθού µειώνεται. 2 2!31!32 31 32
Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 2 2 2 2!33!34 33 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 34 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 2 2 Το αποτέλεσµα υποκατάστασης είναι όπως για ένα κανονικό αγαθό. Αλλά,. 2 2 2 2!35!36 35 36
Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 2 2 2 Το αποτέλεσµα υποκατάστασης για ένα αγαθό είναι θετικό. Αλλά, το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι προς την άλλη κατεύθυνση. (, 2 ) Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 2 2 2 Το αποτέλεσµα υποκατάστασης για ένα αγαθό είναι θετικό. Αλλά, το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι προς την άλλη κατεύθυνση. Το αγαθό 1 είναι κατώτερο (, 2 ) 37 38 Τα αποτελέσµατα Slutsk για κατώτερα 2 2 2 Η συνολική µεταβολή στη ζήτηση είναι το άθροισµα των δύο αποτελεσµάτων. (, 2 ) Αγαθά Giffen Στην ακραία περίπτωση του κατώτερου αγαθού που το εισόδηµα εισοδήµατος είναι µεγαλύτερο από το αποτέλεσµα υποκατάστασης, η ζητούµενη ποσότητα µειώνεται όταν µειώνεται η τιµή του. Τέτοια λέγονται Giffen.!40 39 40
Τα αποτελέσµατα Slutsk για Giffen Τα αποτελέσµατα Slutsk για Giffen 2 Μια µείωση στην p 1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1. 2 2 Μια µείωση στην p 1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1. 2 2!41!42 41 42 Τα αποτελέσµατα Slutsk για Giffen Τα αποτελέσµατα Slutsk 2 2 2 2 Μια µείωση στην p 1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1. Ο διαχωρισµός του Slutsk της µεταβολής µιας τιµής σε αποτέλεσµα υποκατάστασης και εισοδήµατος εξηγεί γιατί ο νόµος της κατερχόµενης καµπύλης ζήτησης παραβιάζεται σε περίπτωση πολύ κατώτερων αγαθών. Αποτέλεσµα υποκατάστασης!43 Αποτέλεσµα εισοδήµατος!44 43 44
Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Θέλουµε να εξετάσουµε πώς η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού αλλάζει όταν αλλάζει το p / Η διαφοροποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης του προβλήµατος µεγιστοποίησης της χρησιµότητας θα µας δώσει αυτήν την παράγωγο Όµως αυτή η διαδικασία είναι περίπλοκη και δεν µας βοηθάει να κατανοήσουµε το τι συµβαίνει!45 Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Θα προτιµήσουµε µια έµµεση προσέγγιση Θυµηθείτε την συνάρτηση δαπανών Ελάχιστες δαπάνες E(p,p,U) Εξ ορισµού c (p,p,u) [p,p,e(p,p,u)] Η ζητούµενη ποσότητα είναι ίδια και για τις δύο συναρτήσεις όταν το εισόδηµα είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεται για να πετύχουµε την συγκεκριµένη χρησιµότητα!46 45 46 Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια c (p,p,u) [p,p, E(p,p,U)] Διαφορίζοντας τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης έχουµε c c +!47 c Ο πρώτος όρος είναι η κλίση της αντισταθµιστικής καµπύλης ζήτησης Η µαθηµατική µορφή του αποτελέσµατος υποκατάστασης!48 47 48
Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια c Ο δεύτερος όρος δείχνει το τρόπο που µια αλλαγή στο p επηρεάζει την ζήτηση του µέσω της επίδρασης που έχει στο εισόδηµα Η µαθηµατική µορφή του αποτελέσµατος εισοδήµατος!49 Το αποτέλεσµα υποκατάστασης µπορεί να γραφεί ως αποτέλεσµα υποκατάστασης U σταθερή Το αποτέλεσµα εισοδήµατος µπορεί να γραφεί ως αποτέλεσµα εισοδήµατος c m p!50 49 50 Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Προσέξτε πως το / µια αύξηση της τιµής p κατά 1 αυξάνει τις απαραίτητες δαπάνες κατά ευρώ Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Η υπόθεση της µεγιστοποίησης της χρησιµότητας δείχνει πως τα αποτελέσµατα υποκατάστασης και εισοδήµατος που απορρέουν από την µεταβολή της τιµής µπορεί να γραφούν µε αυτό τον τρόπο αποτέλεσµα U σταθερή υποκατάστασης + αποτέλεσµα εισοδήµατος I!51!52 51 52
Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια Τα αποτελέσµατα Slutsk: Μια U σταθερή I U σταθερή I Ο πρώτος όρος είναι το αποτέλεσµα υποκατάστασης Πάντα αρνητικός εφόσον ο MRS φθίνει Η κλίση της αντισταθµιστικής συνάρτησης ζήτησης είναι αρνητική Ο δεύτερος όρος είναι το αποτέλεσµα. εισοδήµατος Αν το είναι κανονικό αγαθό, τότε / I > 0 Το συνολικό αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι αρνητικό Αν το είναι κατώτερο, τότε / I < 0!53 Το συνολικό αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι θετικό!54 53 54 Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsk Μπορούµε να δούµε τα αποτελέσµατα υποκατάστασης και εισοδήµατος µελετώντας την επίδραση µιας µεταβολής της τιµής µε την συνάρτηση Cobb-Douglas U(,) 0.5 0.5 Η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης για το που είχαµε βρει είναι ( p, p, m) 0,5m p!55 Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsk Η Χικσιανή (αντισταθµιστική) συνάρτηση ζήτησης για ήταν Vp c ( p, p, V ) p 0.5 0.5 Η συνολική επίδραση της µεταβολής της τιµής στην ζητούµενη ποσότητα 0.5m 2 p!56 55 56
Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsk Το συνολικό αποτέλεσµα είναι η άθροιση των δύο αποτελεσµάτων Slutsk Το αποτέλεσµα υποκατάστασης το βρίσκουµε διαφορίζοντας την αντισταθµιστική συνάρτηση ζήτησης ως προς την τιµή αποτ. υποκατάστασης c 0.5Vp p 0.5 1.5!57 Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsk Μπορούµε να αντικαταστήσουµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας (V) ( V m 0.5 0.5 2 p p 0,5(0,5mp αποτ. υποκατάστασης p 0,5 1,5 p 0,5 ) p 0,5 0,25m p 2!58 57 58 Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsk Το αποτέλεσµα εισοδήµατος αποτ. εισοδήµατος 0,5m 0,5 0,25m [ ] m p p p Παρατηρούµε πως µε αυτήν την συνάρτηση τα δύο αποτελέσµατα είναι ίδια 2 Πρόσθετη Άσκηση (Ιούνιος 2010) Δύο άτοµα Α και Β έχουν συναρτήσεις ωφέλειας u Α (,)/3 1/3 και u Β (,) αντίστοιχα. Αν τα δύο αυτά άτοµα έχουν το ίδιο εισόδηµα και αγοράζουν τα προϊόντα στις ίδιες τιµές, τότε ισχύει ότι θα έχουν την ίδια ζήτηση και για τα δύο ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.!59!60 59 60
Πρόσθετη Άσκηση (Ιούνιος 2010) Απάντηση Τα δύο άτοµα θα έχουν την ίδια ζήτηση, αφού η συνάρτηση ωφέλειας του ενός είναι γνησίως αύξων µετασχηµατισµός της συνάρτησης ωφέλειας του άλλου, και συνεπώς, οι δύο συναρτήσεις ωφέλειας περιγράφουν ακριβώς τις ίδιες προτιµήσεις. Πράγµατι, τα δύο άτοµα έχουν ίδιους οριακούς λόγους υποκατάστασης (/), και, αφού έχουν ίδιο εισόδηµα, θα έχουν και ίδιους εισοδηµατικούς περιορισµούς, κάτι που σηµαίνει ότι η ζήτησή τους και για τα δύο θα είναι η ίδια.!61 61