ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο
Υπολογισμός Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή Παράδειγμα 1 Έστω ότι η μέση διάρκεια μιας υπεραστικής κλήσης είναι 2 λεπτά. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων Ε 1 : μια κλήση να υπερβεί τα 6 λεπτά Ε 2 : μια κλήση να διαρκέσει από 4 έως 6 λεπτά Ε 3 : να υπερβεί τα 10 λεπτά δοθέντος ότι έχει διαρκέσει ήδη 4 λεπτά Ε 4 : μια κλήση να διαρκέσει ακριβώς 4 λεπτά Εάν η τ.μ. Χ παριστά τη διάρκεια μιας υπεραστικής κλήσης σε λεπτά, τότε Χ~ Εκθετική(θ=1/2) και για την επίλυση του παραδείγματος πρέπει να υπολογιστούν οι πιθανότητες: P(Ε 1 )=P(X > 6)=1-P(X 6) P(Ε 2 )=P(4 X 6)=P(X 6)-P(X<4) P(Ε 3 )=P(X >10 X 4)=P(X>6+4)/P(X 4)=P(X>6) P(Ε 4 )=P(X = 4) (αμνήμων ιδιότητα της εκθετικής) + + P( X > x) = f ( t) dt = θe dt = - e = e P( X x) = 1-e x X x -θt -θt -θx -θx x ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 2
Υπολογισμός Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή a. σε νέο Data Set βάζουμε στη στήλη x τις τιμές (0) 4, 6 και 10 που μας ενδιαφέρουν εδώ b. για Target Variable επιλέγω cdfexp_0.5 (ή dfexp_0.5 ) c. για Function group επιλέγουμε CDF & Noncentral CDF (ή PDF & Noncentral PDF) d. για Functions and Special Variables επιλέγουμε CDF.EXP(x,1/2) (ή PDF.EXP(x,1/2)) και έτσι υπολογίζουμε την P(X x) ή την f X (x) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 3
Υπολογισμός Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή οπότε παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα P(X 4)=0.8647 f X (4)=0.0677 P(X 6)=0.9502 P(X 10)=0.9933 και άρα P(Ε 1 )= 0.0498 P(Ε 2 )= 0.0855 P(Ε 3 )= P(Ε 1 )= 0.0498 P(Ε 4 )=0 f X (4) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 4
Γραφικές παραστάσεις της σ.π. και της α.σ.κ. Εκθετική Κατανομή a. σε νέο Data Set βάζουμε στη στήλη x πολύ πυκνές τιμές 0, 0.2, 0.4, 0.6,,10 οι τιμές που μας ενδιαφέρουν εξαρτώνται από την τιμή της παραμέτρου b. δημιουργούμε στήλες με τις PDF.EXP(x,παράμετρος) CDF.EXP(x,παράμετρος) για διάφορες τιμές της παραμέτρου (εδώ για θ=0.5 και θ=2) c. παίρνουμε τις γραφικές παραστάσεις ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 5
Γραφικές παραστάσεις της σ.π. και της α.σ.κ. Εκθετική Κατανομή c. παίρνουμε τις γραφικές παραστάσεις Click Graphs > Legacy Dialogs > Lines d. επιλέγουμε Simple, click define e. επιλέγουμε Category Axis x f. μετακινούμε το dfexp ή το cdfexp στο Variable g. στο Change Statistic επιλέγουμε Sum of values h. Continue i. Ok ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 6
Γραφικές παραστάσεις της σ.π. και της α.σ.κ. Εκθετική Κατανομή θ=0.5 θ=2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 7
Υπολογισμός Πιθανοτήτων Κανονική Κατανομή Παράδειγμα 2 Έστω ότι το επίπεδο του Na στο ανθρώπινο αίμα ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 140mg/ml και τυπική απόκλιση 7mg/ml. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων Ε 1 : σε ένα άτομο το επίπεδο του Na είναι μικρότερο του 130 Ε 2 : σε ένα άτομο το επίπεδο του Na είναι μεταξύ 135 και 145 Ε 3 : σε ένα άτομο το επίπεδο του Na είναι μεγαλύτερο του 160 Εάν η τ.μ. Χ παριστά επίπεδο του Na στο ανθρώπινο αίμα, τότε Χ~ Ν(μ=140,σ 2 = 7 2 ) και Z=(X-μ)/σ ~ Ν(μ=0,σ 2 = 1) για την επίλυση του παραδείγματος πρέπει να υπολογιστούν οι πιθανότητες: P(Ε 1 )=P(X < 130)=P((X-μ)/σ <(130-140)/7)=P(Z<-1.43)=1-Φ(1.43) P(Ε 2 )=P(135 X 145)=P(X 145)-P(X<135) =P((X-μ)/σ 0.714)-P((X-μ)/σ -0.714) =P(Z 0.714)-P(Z -0.714) =2Φ(0.714)-1 P(Ε 3 )=P(X >160)=1- P(X 160)=1- P((X-μ)/σ 2.86)= P(Z 2.86)=Φ(2.86) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 8
Υπολογισμός Πιθανοτήτων Κανονική Κατανομή οπότε παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα P(X 130)=0.0766 P(X 135)=0.2375 P(X 145)=0.7625 P(X 160)=0.9979 Φ(1.43)=0.9236 Φ(0.714)=0.7624 Φ(2.86)=0.9979 και άρα P(Ε 1 )=0.0766 P(Ε 2 )=0.5249 P(Ε 3 )=0.0021 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 9
Προσομοίωση τυχαίου δείγματος Κανονική Κατανομή a. σε ένα νέο Data Set βάζουμε έναν αριθμό στην 1 η στήλη στο 100 ο κελί (για να πάρουμε 100 τιμές) b. Transform >Compute Variable c. επιλέγω Target Variable Χ 1, Χ 2, Χ 3, Χ 4, Χ 5 d. Function group επιλέγουμε Random Numbers e. για Functions and Special Variables επιλέγουμε RV.ΝΟRMAL(4,2) έτσι δημιουργούμε 5 ομάδες των 100 τυχαίων παρατηρήσεων από Ν(μ=4,σ 2 =2 2 ) έχουμε στην αρχή θέσει Random number generator Starting point 16410 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 10
Μετασχηματισμοί τυχαίου δείγματος Κανονική Κατανομή 2 Χ1-μ Εάν Χ1 Ν(μ,σ ) τότε η τ.μ. Z 1= Ν(0,1) σ Εάν Χ, Χ Ν(μ,σ ) τότε η τ.μ. D=Χ -Χ Ν(μ-μ=0,σ +σ =2σ ) 2 2 2 2 1 2 1 2 Χ +...+Χ n 2 2 1 n Εάν Χ 1,..., Χn Ν(μ,σ ) τότε η τ.μ. X = Ν(μ, ) σ n ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 11
Μετασχηματισμοί τυχαίου δείγματος Κανονική Κατανομή για να δούμε πόσο διαφέρουν τα τ.δ. από την αντίστοιχη θεωρητική κανονική κατανομή: a. Click Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies b. επιλέγουμε Variable Χ 1, Z 1, D, Xmean c. στα Statistics επιλέγουμε Mean, Variance, Range. d. στα Charts επιλέγουμε Histograms ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 12
Πόσο διαφέρουν τα τυχαία δείγματα από την αντίστοιχη θεωρητική Κανονική Κατανομή; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 13
Πόσο διαφέρουν τα τυχαία δείγματα από την αντίστοιχη θεωρητική Κανονική Κατανομή; ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 14
Πόσο διαφέρουν τα τυχαία δείγματα από την αντίστοιχη θεωρητική Κανονική Κατανομή; 2σ 2 =8=(2.828) 2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 15
Πόσο διαφέρουν τα τυχαία δείγματα από την αντίστοιχη θεωρητική Κανονική Κατανομή; σ 2 /n=4/5=(0.8944) 2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 16
Κατανομή δειγματικού μέσου Ομοιόμορφη Κατανομή 2 a+b (b-a) Εάν Χ 1,..., Χn U(a,b) τότε E(Χ i)= και Var(Χ i)= i=1,2,...,n 2 12 Χ 1+...+Χn a+b (b-a) και για την τ.μ. X n = ισχύει ότι E(X n)= και Var(X n)= n 2 12 n Όταν n>>25 από το Κ.Ο.Θ η κατανομή του X προσεγγίζε κατά κατανομή 2 2 a+b σ (b-a) την κανονική κατανομή δηλ: Xn Ν(μ=, = ) n 2 n 12 n n ται από a. σε ένα νέο Data Set δημιουργώ 10 Target Variable U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, U 6, U 7, U 8, U 9, U 10 (με 100 τιμές η καθεμία) b. Function group επιλέγουμε Random Numbers c. για Functions and Special Variables επιλέγουμε RV. UNIFORM(0,1) έτσι δημιουργούμε 10 τ.δ. των 100 παρατηρήσεων από U(0,1) 2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 17
Κατανομή δειγματικού μέσου Ομοιόμορφη Κατανομή Δημιουργούμε επίσης τις Target Variable U 5 mean, U 10 mean ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 18
Κατανομή δειγματικού μέσου Ομοιόμορφη Κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 19
Κατανομή δειγματικού μέσου Ομοιόμορφη Κατανομή επειδή n=5 «απέχει» της αντίστοιχης κανονικής σ 2 /n=1/(5*12)=(0.1291) 2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 20
Κατανομή δειγματικού μέσου Ομοιόμορφη Κατανομή για n=10 ακόμη «απέχει» της αντίστοιχης κανονικής σ 2 /n=1/(10*12)=(0.0913) 2 ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 3ο 21