69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/
Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων όταν: α δεν υπάρχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής µορφής, β υπάρχουν, αλλά είναι τόσο πολύπλοκες, λ που η εκτίµηση της λύσης µε αριθμητικές μεθόδους να είναι πρακτικά πιο εύχρηστες γ δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται, αλλά τιµές της σε συγκεκριμένα σηµεία σαν αποτέλεσμα ενός πειράματος Το γενικό πρόβλημα προς επίλυση είναι της μορφής: συνεχής συνάρτηση στο [,]. Υπολογίστε το: d
Βασική μεθοδολογία. Θεωρούμε µια διαµέριση του διαστήματος [,] και n+ σημεία. = < < < n = Διακρίνουμε δυο συνήθως κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων, που συσχετίζονται µε τον τρόπο διαμέρισης του διαστήματος [,]. α Αν τα σημεία είναι ισαπέχοντα j+ j =, τότε οι μέθοδοι που συνήθως χρησιμοποιούνται λέγονται ewton Cotes. β Αν τα σημεία δεν είναι ισαπέχοντα μεταξύ τους, τότε οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι συνήθως οι μέθοδοι Guss. [Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά Guss χρησιμοποιούνται και στις περιπτώσεις που τα άκρα ολοκλήρωσης είναι µη πεπερασμένοι αριθμοί].. Προσεγγίζουμε την συνάρτηση με παρεμβολή πολυωνύμου n βαθμού στα n+ σημεία.. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του προσεγγιστικού πολυωνύμου.
ewton Cotes Γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα n+ σημεία i. i =i+, =, = /n Παρεμβολή με πολυώνυμα grnge Ολοκλήρωση των όρων grnge g δίνει τους συντελεστές w i ανεξάρτητοι ξ ρ η από την συγκεκριμένη συνάρτηση.
ewton Cotes για n= [κανόνας τραπεζίου] ί σημεία i. = ; =, =+ = Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = + P,, P d d P d P d! P E : ], [ '' Σφάλμα ολοκλήρωσης R :! d! E d '' '' O R
ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /] ί σημεία i. = /; =, = +, = += Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = + + P,,, P,,, d d P d Σφάλ λ λή R Σφάλμα ολοκλήρωσης R : E d O 9 - R O n+ n= Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους, R n = On, n=,,, O n+, n=,,6,
ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /8] σημεία i. = /; =, = +, = +, = += Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = + + + d P d 8 8 8 8 8 Σφάλμα ολοκλήρωσης R : - R O 68 Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους, R n = On n+, n= n=,,, O n+, n=,,6,
Σύνθετος κανόνας τραπεζίου Δ ό Ν ή Διαμερισμός σε Ν τμήματα. = /Ν; =, j = +j Εφαρμογή κανόνα τραπεζίου σε κάθε ένα από τα Ν τμήματα j.. n... Σφάλμα ολοκλήρωσης R: ' ' '' R
Σύνθετος κανόνας Simpson / Δ ό Ν ή Ν ζ ό Διαμερισμός σε Ν τμήματα Ν ζυγός. = /Ν; =, j = +j Εφαρμογή κανόνα Simpson σε Ν/ τμήματα.. /... Σφάλμα ολοκλήρωσης R: 8 9 R 8 9
Ολοκλήρωση Guss Tα n+ σημεία i βρίσκονται από ρίζες ορθογώνιων πολυωνύμων π.χ. πολυώνυμα egendre Παρεμβολή με πολυώνυμα grnge. Ολοκλήρωση των όρων grnge g δίνει τους συντελεστές w i ανεξάρτητοι ξ ρ η από την συγκεκριμένη συνάρτηση. d w i i Guss egendre Για ολοκλήρωση συνάρτησης ης από στο + τα i βρίσκονται από ρίζες του n+ πολυωνύμου egendre. Για άλλα όρια χρειαζόμαστε ή ρίζες άλλων ορθογώνιων πολυωνύμων ή μετατροπή: n i d ' ' d' n i w ' i i '
Συντελεστές και σημεία για ολοκλήρωση Guss egendre ttp://en.wikipedi.org/wiki/gussin_qudrture Σφάλμα ολοκλήρωση Guss egendre n+ points R n n [ n!] n n [ n!] n ttp://en.wikipedi.org/wiki/egendre_polynomils Αλγεβρική ακρίβεια ολοκλήρωσης Guss egendre με n+ σημεία n+: Οι κανόνες ολοκλήρωσης Guss υπολογίζουν ακριβώς το ολοκλήρωμα πολυωνύμων με βαθμό <= n+. Οι ewton Cotes κανόνες έχουν αλγεβρική ακρίβεια n για n=,,, και n+ για n=,,6,..
Σύγκριση ewton Cotes και Guss egendre ewton Cotes Guss egendre Σημεία n+ n+ Σφάλμα R n ~ n+ ξ n+, n=,,, R n ~ n+ ξ n+, n=,,6, R n ~ n+ ξ n+ Algeric* precision n, n=,,, n+, n=,,6, n+ * μέγιστος βαθμός πολυωνύμου που το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ακριβώς
παράδειγμα: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με την μέθοδο Simpson / και Guss egendre για n= d Αναλυτική λύση: d Simpson /: = = = = = = Guss =/9 /9+ +8/9 +/9 /9+ ]= / ο κανόνας Guss egendre n= υπολογίζει το ολοκλήρωμα πολυωνύμου έως ου βαθμού ακριβώς. ο Simpson / έως ου.