ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΠΡΩΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ.)
. Την /, το πόλοιπο ενός λογαριασμού είναι.700. Την /5, το πόλοιπο έχει φθάσει 3.04 και γίνεται μια κατάθεση ύψος 80. Την /, το πόλοιπο έχει φθάσει 3.40 και γίνεται μια ανάληψη ύψος.34. Στο τέλος το έτος, το πόλοιπο είναι πάλι.700. Να βρεθούν η εσωτερική απόδοση (IRR) και η χρονοσταθμισμένη απόδοση (TWRR) το λογαριασμού μεταξύ / και 3/. IRR (%) TWRR (%) (Α) 0,6 6 (Β) 0,6 8 (Γ) 0,86 6 (Δ) 0,86 8 (Ε) 0,96 6
. Ποια από τα παρακάτω αληθεύον; Ι. d κ κ i κ ΙΙ. n n d δ ΙΙΙ. n κ δ κ n i n n! (Α) Μόνον το Ι (Β) Μόνον το ΙΙ (Γ) Μόνον τα Ι, ΙΙ (Δ) Μόνον τα Ι, ΙΙΙ (Ε) Μόνον τα ΙΙ, ΙΙΙ
3. Η ένταση ανατοκισμού είναι τ.μ. Δ με ροπογεννήτρια Δ κ επιτόκιο πο αντιστοιχεί στη Δ). κ M. Να βρεθεί I 0 E (Ι το (Α) (Β) (Γ) (Δ) (Ε)
4. Στην αρχή κάθε έτος και επί n έτη, ο Χ καταθέτει μια μονάδα σε λογαριασμό πο αποδίδει επιτόκιο i. Στο τέλος κάθε έτος, ο Χ αποσύρει τος τόκος και τος τοποθετεί σε άλλο λογαριασμό με επιτόκιο j i για το οποίο ισχύει n n. Στο τέλος των n ετών, ο Χ κλείνει και τος δύο λογαριασμούς και τοποθετεί όλα τα ποσά σε νέο λογαριασμό με επιτόκιο κ τέτοιο n ώστε κ n το; s j. Τι ποσό θα περιέχει ο νέος ατός λογαριασμός n χρόνια μετά το άνοιγμά (Α) 3 n (Β) n (Γ) n (Δ) 3n (E) n
5. lim κ κ n0 n κ (Α) i (Β) i κ (Γ) δ (Δ) κ d (Ε) d
6. Με επιτόκιο 4%, η διαφορά ανάμεσα στα αθροίσματα α και n α είναι 0 n n 0 n n (Α) 66,655 (Β) 0,0876 (Γ) 90,5939 (Δ) 65,5639 (Ε) 5,0300
7. Μια μετοχή αναμένεται να καταβάλει μερίσματα ίσα με το πρώτο έτος, το δεύτερο έτος,..., 0 το δέκατο έτος και μετά 0 στο διηνεκές. Τα μερίσματα φορολογούνται 5% και ο επενδτής αποβλέπει σε απόδοση πο αντιστοιχεί σε προεξοφλητικό επιτόκιο d 0, 05. Πόσο μεγαλύτερη είναι η μέγιστη τιμή πο θα δεχθεί να καταβάλει ο επενδτής για αγορά της μετοχής αν λάβει πόψη το όλα τα μερίσματα στο διηνεκές από τη μέγιστη τιμή πο προκύπτει αν ο επενδτής λάβει πόψη το μόνον τα μερίσματα της πρώτης 0ετίας; (Α) 57,90 (Β) 68, (Γ) 7,7 (Δ) 84,36 (Ε) 9,6
8. Έστω D η μέση διάρκεια πο σνδέεται με την παρούσα αξία κ και D η μέση διάρκεια κ πο σνδέεται με την παρούσα αξία 3. Ποια η τιμή το επιτοκίο αν D 3 ; 3 κ D (Α) 3 3 (Β) (Γ) 3 3 3 (Δ) 3 (Ε) 3
4 9. Δάνειο ύψος εξοφλείται με 0 δόσεις ύψος. Ο τόκος πο περιέχεται στην δόση είναι 400, 00,,..., 0. Να βρεθεί το επιτόκιο. 6 (Α) 6 (Β) 4 6 (Γ) 5 6 (Δ) 6 6 (Ε) 8
0. Ποια από τα παρακάτω αληθεύον για το βήτα μιας μετοχής και για το σντελεστή σσχέτισης ρ μεταξύ της απόδοσης της μετοχής και της απόδοσης της αγοράς εν γένει; Ι. Η β ρ ισχύει γενικά. β ΙΙ. Η ισχύει μόνον αν β. ρ ΙΙΙ. Ο λόγος ρ β είναι ανεξάρτητος από το μέγεθος της σνδιακύμανσης των δύο αποδόσεων. (Α) Όλα (Β) Κανένα (Γ) Μόνον το Ι (Δ) Μόνον το ΙΙ (Ε) Μόνον το ΙΙΙ
. Με επιτόκιο 5%, τα ποσά 0,6559098 στο 0 και 0,34435385 στο ανοσοποιούν ποχρέωση ίση με μια μονάδα στο ε (0 ε ). Ποια η χρονική στιγμή ε; (Α) 4 (Β) 3 (Γ) (Δ) 3 (Ε) 4 3
. Τα επιτόκια για μελλοντικές τοποθετήσεις διάρκειας ενός έτος (forward raes) f ικανοποιούν 0 τη σχέση f,,,... Να βρεθεί η τιμή μιας 0ετούς ομολογίας με ονομαστική 9 αξία, ετήσια τοκομερίδια r 0, 05 και αξία στη λήξη. (Α) 0 39 (Β) 3 40 39 40 (Γ) (Δ) 40 (Ε) 40
3. Με επιτόκιο 5%, η χρηματορροή α κ τις άρτιες χρονικές στιγμές κ = 0,, 4,... είναι ισοδύναμη με τη χρηματορροή α κ εκ κατά τις περιττές χρονικές στιγμές κ =, 3, 5,.... Ποια η τιμή το ε; (Α) 0,03749 (Β) 0,0345 (Γ) 0,0589 (Δ) 0,08434 (Ε) 0,0567
4. Οι αποδόσεις R i μιας μετοχής και οι αποδόσεις το χρηματιστηρίο είναι R i R M R M της αγοράς σε έξι διαδοχικές σνεδριάσεις Ποιο το βήτα της μετοχής και ποιος ο σντελεστής σσχέτισης ρ μεταξύ των δύο αποδόσεων; β ρ (Α) / / (Β) / /3 (Γ) /3 / (Δ) /3 /3 (Ε) 3/ /3
5. 0ετές δάνειο ύψος εξοφλείται με τη σνήθη χρεολτική μέθοδο και με επιτόκιο για το οποίο ισχύον α 0 3, 50409 και s 0 30. Ποια δόση το δανείο περιέχει κεφάλαιο 0,044077; (Α) Η τρίτη (Β) Η έβδομη (Γ) Η όγδοη (Δ) Η δέκατη (Ε) Η ενδέκατη
6. Ποια από τα παρακάτω αληθεύον; Ι. n α i n n n α ΙΙ. α d Dα κ n κ 0 n ΙΙΙ. nα α Iα n κ n κ (Α) Μόνον το Ι (Β) Μόνον τα Ι, ΙΙ (Γ) Μόνον τα Ι, ΙΙΙ (Δ) Μόνον τα ΙΙ, ΙΙΙ (Ε) Όλα
7. Για =,,..., n, τα επιτόκια για μελλοντικές τοποθετήσεις με ετήσια διάρκεια (forward raes) 0,05 είναι f. Ποια από τα παρακάτω αληθεύον; 0,95 0,05 Ι. Η καμπύλη αποδόσεων είναι αντεστραμμένη. ΙΙ. Το επιτόκιο για σημερινές τοποθετήσεις διάρκειας ετών είναι s 0,05. ΙΙΙ. Η τιμή, χρόνια από σήμερα ( =,,..., n), μιας ομολογίας χωρίς τοκομερίδια πο θα λήξει 0,05 n χρόνια από σήμερα είναι P n. 0,05n (Α) Μόνον το Ι (Β) Μόνον το ΙΙ (Γ) Μόνον τα Ι, ΙΙΙ (Δ) Μόνον τα ΙΙ, ΙΙΙ (Ε) Όλα
8. Να βρεθούν το ονομαστικό επιτόκιο j και το αποτελεσματικό επιτόκιο i πο αντιστοιχούν στο χρονικό διάστημα, όταν η ανατοκιστική σνάρτηση είναι C. j i (Α) (Β) (Γ) (Δ) (Ε)
9. Οι τιμές των καταβολών μιας προκαταβαλλόμενης διηνεκούς ράντας επαναλαμβάνονται κάθε έξι χρόνια (εμφανίζον δηλαδή μια "εξαετή περίοδο"). Οι έξι εν λόγω τιμές είναι,, 3, 3,,. Ποια η παρούσα αξία ατής της ράντας; (Α) 3 (Β) 3 (Γ) 3 (Δ) 3 (Ε) 3
0. Με επιτόκιο 5% ισχύον οι σχέσεις d 30 και f d 80 ( n f 0 n 0 f μια αθαίρετη σνεχής χρηματορροή). Ποια θα είναι κατά προσέγγιση η ποσοστιαία μεταβολή στην παρούσα f αν το επιτόκιο μεταβληθεί από 5% σε 4,6%; αξία της (Α),87% (Β),9% (Γ),40% (Δ),5% (Ε) 3,8%
. Ένα δάνειο ύψος α n εξοφλείται χρεολτικά με ετήσιες δόσεις ίσες με. Ποιο είναι το ανεξόφλητο κεφάλαιο μετά την πληρωμή της π' αριθ. n δόσης; (Α) s n (Β) α n (Γ) n i i (Ε) n (Δ) n
. Τα επιτόκια για μονοετείς, διετείς και τριετείς τοποθετήσεις είναι 0,030, s 0, 035 και s s 3 0,040. Ποια η απόδοση μέχρι τη λήξη (ΥΤΜ) μιας τριετούς ομολογίας με τοκομερίδιο r = 0,05 και ποιο το αντίστοιχο τοκομερίδιο (par yield) για μια τριετή ομολογία αγορασμένη στο άρτιο; ΥΤΜ Par Yield (Α) 3,968% 3,96% (Β) 3,968% 3,974% (Γ) 3,968% 3,98% (Δ) 3,974% 3,96% (Ε) 3,974% 3,98%
3. Ένα εξαμηνιαίο έντοκο γραμμάτιο το Δημοσίο με αξία στη λήξη 0.000 πωλείται προς 9.700. Ένα ετήσιο έντοκο γραμμάτιο με εξαμηνιαία κοπόνια ύψος 400 και αξία στη λήξη 0.000 πωλείται προς 0.000. Να βρεθεί η τρέχοσα εξαμηνιαία απόδοση (spo rae) s και η απόδοση πρόσω (forward rae) f για το δεύτερο εξάμηνο. s f (Α) 3,000% 5,050% (Β) 3,046% 5,00% (Γ) 3,093% 4,95% (Δ) 3,093% 4,900% (Ε) 3,86% 4,854%
4. Επενδτής αγοράζει 8ετή ληξιπρόθεσμη ράντα καταβάλλοντας 45.000. Το ετήσιο έσοδο από τη ράντα αποδίδει 5% στον επενδτή και τατόχρονα το επιτρέπει να ανακτήσει το τίμημα της ράντας στο τέλος της 8ετίας κάνοντας ίσες ετήσιες καταθέσεις σε λογαριασμό πο αποδίδει 3,5%. Ποιο είναι το ετήσιο έσοδο (ετήσια δόση της ράντας); (Α) 4.750 (Β).50 (Γ).750 (Δ) 0.50 (Ε) 8.750
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (μ. μ.μ.)
00 0δ. (4 βαθμοί) Η ένταση ανατοκισμού Δ είναι κανονική τ.μ. με σ.π.π. e. (i) Να π πολογισθεί η διασπορά το επιτοκίο Ι με τη βοήθεια της ροπογεννήτριας της Δ. (Υπόδειξη : Δ VarI Vare ) (ii) Να γραφεί η σ.π.π. το επιτοκίο Ι. (iii) Με τη βοήθεια το (ii), να δειχθεί Pr 0,04 I 0,06 Pr,07798685 Z 0,868908, όπο Ζ ~ Ν(0, ). ότι 5. (6 βαθμοί) Σε ένα χαρτοφλάκιο 0ετών τίτλων κεφαλαιοποίησης με κεφάλαιο μία μονάδα, στο τέλος κάθε έτος κληρώνεται και εξοφλείται στο άρτιο το % των εν ισχύι τίτλων. Εξαγορές επιτρέπονται μόνο στο τέλος κάθε έτος και το ποσό πο καταβάλλεται στις εξαγορές έτος είναι,,,..., 9. Υπολογίζεται ότι κάθε έτος οι εξαγορές θα είναι 5% των εν ισχύι 0 τίτλων. Όσοι τίτλοι δεν κληρωθούν και δεν εξαγορασθούν εξοφλούνται στο τέλος της 0ετίας. Να πολογισθεί το ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο ενός τίτλο με σντελεστή προεξόφλησης 45. 47 3. (6 βαθμοί) Ένα χαρτοφλάκιο πρόκειται να σγκροτηθεί από κλάσμα x, 0 x, ενός αξιογράφο με μέση απόδοση 0 και διασπορά απόδοσης 4 και κλάσμα x ενός αξιογράφο με απόδοση 8 και διασπορά απόδοσης. Οι αποδόσεις των δύο αξιογράφων είναι ασσχέτιστες (ρ = 0). (i) Να δειχθεί ότι το χαρτοφλάκιο ελάχιστης διασποράς επιτγχάνεται 4 όταν x και ότι η ελάχιστη διασπορά είναι με αντίστοιχη μέση απόδοση 8,4. (ii) Να 5 5 δειχθεί ότι η σχέση μεταξύ της μέσης απόδοσης μ=μ(x) και της διασποράς V=V(x) το χαρτοφλακίο είναι 5 4 V μ 4 5 δειχθεί ότι η απόδοση πο μπορεί να επιτεχθεί είναι 4 5. (iii) Αν ο επενδτής ανέχεται διασπορά V =, να 4 6 μ και, για να επιτεχθεί, 5 6 απαιτείται x. (iv) Αν ο επενδτής επιθμεί απόδοση μ=9, να δειχθεί ότι η διασπορά 5 5 πο μπορεί να επιτεχθεί είναι V και, για να επιτεχθεί, απαιτείται x. 4 4. (6 βαθμοί) Η σημερινή τιμή μιας μετοχής είναι και μιας ακίνδνης ομολογίας επίσης. Στο τέλος μιας περιόδο, η αξία της ομολογίας θα είναι ενώ η τιμή της μετοχής θα έχει ή 0 0 ανέλθει στα ή κατέλθει στα. Προκειμένο να τιμολογήσομε ένα δικαίωμα προαιρετικής 0 αγοράς (μιας opion) της μετοχής στο τέλος της περιόδο και στην τιμή 0 9, σγκροτούμε ένα ιδεατό ισοδύναμο χαρτοφλάκιο αποτελούμενο από x μονάδες της μετοχής και από y μονάδες 6 της ομολογίας. (i) Να δειχθεί ότι x και y. (ii) Να δειχθεί ότι οι σχετικές 7 3 κινδνοδέτερες πιθανότητες είναι p, q και ότι το τίμημα για την απόκτηση το 4 4 δικαιώματος (η σημερινή αξία της opion) είναι C. 7
5. (4 βαθμοί) Δάνειο ύψος α εξοφλείται χρεολτικά με ετήσιες δόσεις ύψος προκειμένο να n εξοφληθεί σύντομα σε κ, κ n, δόσεις. (i) Να δειχθεί ότι το απαιτούμενο πλήθος δόσεων είναι ο ελάχιστος ακέραιος πο ικανοποιεί τη σχέση κ ln. (ii) Αν δάνειο ύψος α n 0 δ εξοφλείται ακριβώς σε 5 δόσεις (χωρίς δηλαδή να μένει, μετά την 5 η δόση, κάποιο κλασματικό ανεξόφλητο πόλοιπο), να δειχθεί ότι το επιτόκιο είναι i,964%. (iii) Ανεξάρτητα από την τιμή το επιτοκίο, το πλήθος των δόσεων δεν μπορεί να περβεί ένα σγκεκριμένο ακέραιο (πο είναι βέβαια σνάρτηση το n). Ποιος είναι ο ακέραιος ατός όταν n = 0; 6. (4 βαθμοί) Με το ίδιο τίμημα, ο Χ μπορεί να αποκτήσει μια επιχειρηματική δραστηριότητα πο θα αποδώσει μια μονάδα σε καθεμιά από τις χρονικές στιγμές =,,..., 0 ή μια άλλη επιχειρηματική δραστηριότητα πο θα αποδώσει 5 μονάδες στο = 3 και 4 μονάδες στο = 5. (i) Αν ποθέσομε ότι η ρεστότητα δεν απασχολεί τον Χ και μοναδικό κριτήριο είναι η απόδοση, ποια δραστηριότητα θα επιλέξει ο Χ αν επιδιώκει απόδοση 5% και ποια δραστηριότητα θα επιλέξει αν απαιτεί απόδοση %; (Αιτιολογημένες απαντήσεις!) (ii) Ποιο είναι το επιτόκιο αν ο Χ είναι αδιάφορος απέναντι στις δύο δραστηριότητες; 7. (4 βαθμοί) Η ένταση ανατοκισμού είναι τ.μ. Δ με σ.π.π. f δ και ροπογεννήτρια τώρα M Δ. Έστω A η τχαία σνεχής ράντα πο βασίζεται σε ένταση ανατοκισμού Δ. (i) Να δειχθεί ότι E A ΜΔ sds και να βρεθεί η A E 0 s A EV 0 E όταν fδ e, δ 0 δ. (ii) Να δειχθεί γενικά ότι ds, όπο V ο σντελεστής προεξόφλησης πο αντιστοιχεί στην ένταση ανατοκισμού Δ (και εφόσον βέβαια πάρχον οι μαθηματικές ελπίδες). Να δειχθεί κατά d σνέπεια ότι η γνωστή σχέση α εκτείνεται και στις μαθηματικές ελπίδες, δηλαδή ότι d d ισχύει EA EV. d 8. (4 βαθμοί) (i) Τα επιτόκια πρόσω (forward raes) είναι f 0,040, f 0,045, f3 0, 050. Έστω μια "μη παράλληλη" αύξηση των επιτοκίων ατών σε f 0,045, f 0,05, f3 0, 059. Να δειχθεί ότι οι αντίστοιχες αξήσεις στα σημερινά επιτόκια για μονοετείς, διετείς και τριετείς τοποθετήσεις (spo raes) είναι 0,005, 0,006 και 0,007. (ii) Να δειχθεί ότι γενικά η μεταβολή ε 3 στο spo rae για τριετείς τοποθετήσεις από μεταβολές δ, δ, δ3 στα f, f, f3 είναι περίπο ε 3 f 3 f 3 f3 3 δ f 3 f 3 f3 3 δ f 3 f 3 f3 3 δ3 3.
9. (6 βαθμοί) (i) Το πόλοιπο ενός λογαριασμού στην αρχή το ο, ο,..., ο μήνα πριν από την οποιαδήποτε κίνηση (κατάθεση ή ανάληψη) είναι Μήνας 3 4 5 6 7 8 9 0 Υπόλοιπο 4 5 8 6 9 3 4 7 6 8 Οι κινήσεις το λογαριασμού είναι καταθέσεις ύψος στην αρχή το ο, 3 ο, 5 ο, 7 ο, 9 ο και ο μήνα και αναλήψεις ύψος στην αρχή το ο, 4 ο, 6 ο, 8 ο, 0 ο και ο μήνα. Το πόλοιπο το λογαριασμού 3/ είναι 30. Να δειχθεί ότι η εσωτερική απόδοση είναι 75% και η χρονοσταθμισμένη απόδοση είναι 78,4%. (ii) Οι κινήσεις το λογαριασμού παραμένον όπως στο (i) (+ και -), το πόλοιπο όμως (πριν από τις κινήσεις) στην αρχή το κ μήνα είναι A3 A 6 A κ, κ,,...,, και στις 3/ A 3. Να δειχθεί ότι η εσωτερική απόδοση είναι A 4 3 κ και η χρονοσταθμισμένη απόδοση είναι A A 6 A A κ κ κ κ κ 6 A A. 0. (6 βαθμοί) Να βρεθεί το επιτόκιο πο καθιστά αληθή καθεμιά από τις ακόλοθες σχέσεις : s s (δ) s 0 0 n (i) α α 0,54363054, (ii) α 4 α, (iii) 3,48563503, (iv) 0 0 0 α α (δ) s (δ ένταση ανατοκισμού), (v) i δ. 0 0 n