Βελτιστοποίηση Προγραμματισμού Παραγωγής σε Χημική Βιομηχανία Παραγωγής Ρητίνης PE * Ολυμπία Χατζηκωνσταντίνου, Γιώργος Λυμπερόπουλος, Γιώργος Κοζανίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, ohatzikon@mie.uth.gr Περίληψη Σε αυτή την εργασία, διατυπώνεται το πρόβλημα του χρονικού προγραμματισμού παραγωγής ενός εργοστασίου παραγωγής ρητίνης PE με τη μορφή ενός προβλήματος μεικτού ακέραιου προγραμματισμού. Το εργοστάσιο παράγει τέσσερα διαφορετικά τελικά προϊόντα που αποθηκεύονται σε οκτώ σιλό. Από εκεί, είτε παραδίδονται άμεσα σε πελάτες σε μορφή χύδην (φόρτωση σε φορτηγά/βυτία), είτε συσκευάζονται σε σάκους και αποθηκεύονται σε εξωτερική αποθήκη πριν παραδοθούν σε πελάτες. Ο αντικειμενικός στόχος του προγραμματισμού είναι να ελαχιστοποιηθεί ο αριθμός των αλλαγών της παραγωγής από προϊόν σε προϊόν, επειδή τέτοιες αλλαγές οδηγούν στην παραγωγή ασταθούς ποιοτικά προϊόντος με μη τυποποιημένα χαρακτηριστικά. Το μορφοποιημένο πρόβλημα επιλύεται με το λογισμικό βελτιστοποίησης προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού CPLEX. Λέξεις-κλειδιά: χημική βιομηχανία, χρονικός προγραμματισμός παραγωγής, μεικτός ακέραιος προγραμματισμός. Εισαγωγή Η παρούσα εργασία παρουσιάζει τα αποτελέσματα από μια εφαρμογή σε μια μεγάλη χημική βιομηχανία παραγωγής ρητίνης PE που αποτελεί την πρώτη ύλη για την κατασκευή πλαστικών φιαλών για τις βιομηχανίες ποτών και αναψυκτικών. Η παραγωγή της ρητίνης PE περιλαμβάνει δύο διαδοχικά στάδια διεργασιών συνεχούς ροής με έναν ενδιάμεσο αποθηκευτικό χώρο τριών σιλό, χωρητικότητας 400 τόνων έκαστο. Στην πράξη, χρησιμοποιείται μόνο το ένα από τα τρία σιλό, ενώ τα άλλα δύο χρησιμοποιούνται σπάνια, μόνο σε περιπτώσεις έκτακτης ανάγκης, όπως είναι η διακοπή της παραγωγικής διαδικασίας λόγω απρόβλεπτης βλάβης του εξοπλισμού ή για την εκτέλεση προληπτικής συντήρησης. Η παραγωγή και στα δύο στάδια είναι συνεχής και αδιάκοπη με ίδιο σταθερό ρυθμό που καθορίζεται σε ένα μικρό εύρος τιμών γύρω στους 200 τόνους ημερησίως. Στο ο στάδιο (πολυμερισμός υγρής φάσης) καθορίζεται το χρώμα (σκούρο ή ανοιχτό) και στο 2 ο (πολυσυμπύκνωση στερεάς φάσης) το ιξώδες (χαμηλό ή υψηλό) του παραγόμενου προϊόντος. Η χωρητικότητα του 2 ου σταδίου είναι 200 τόνοι. Σε κάθε χρονική στιγμή, εξέρχεται από το 2 ο στάδιο παραγωγής ένα τελικό προϊόν ρητίνης με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά χρώματος και ιξώδους. Οι αποδεκτοί συνδυασμοί χρώματος και ιξώδους οδηγούν σε τέσσερα διαφορετικά τελικά προϊόντα: ) Water Grade ή WG (ανοιχτό χρώμα και χαμηλό ιξώδες), Soft Drink ή SD (ανοιχτό χρώμα και υψηλό ιξώδες), 3) Grey ή G (ενδιάμεσο χρώμα και υψηλό ιξώδες), και 4) Fast Heat ή FH (σκούρο χρώμα και υψηλό ιξώδες). Το G είναι το ενδιάμεσο τελικό προϊόν που παράγεται αναγκαστικά λόγω των μεταβάσεων από το FH στο SD και αντίστροφα και δεν είναι επιθυμητό στην αγορά. Κάθε τέτοια μετάβαση διαρκεί 4 ώρες και πραγματοποιείται με την αλλαγή χρώματος στο ο στάδιο, ενώ το ιξώδες στο δεύτερο στάδιο παραμένει υψηλό. Η μετάβαση από το SD στο WG και αντίστροφα διαρκεί 24 ώρες και πραγματοποιείται με την αλλαγή του ιξώδους στο 2 ο στάδιο παραγωγής, ενώ το χρώμα στο ο στάδιο παραμένει σκούρο. Παρότι το τελικό προϊόν που παράγεται κατά τη διάρκεια αυτής της μετάβασης έχει μεταβαλλόμενο ιξώδες, σύμφωνα με την πολιτική του εργοστασίου, το τελικό προϊόν που παράγεται κατά το πρώτο ήμισυ του * Η εκπόνηση αυτής της εργασίας υποστηρίχθηκε από το έργο «Βελτιστοποίηση προγραμματισμού παραγωγής και διανομής προϊόντων σε χημική βιομηχανία παραγωγής ρητίνης PE» που συγχρηματοδοτείται στο πλαίσιο του ΠΕΝΕΔ από τη ΓΓΕΤ (85%) και μεγάλη χημική βιομηχανία παραγωγής ρητίνης PE (5%).
χρόνου μετάβασης, δηλαδή στις πρώτες 2 ώρες, θεωρείται ότι ανήκει στον τύπο του τελικού προϊόντος πριν τη μετάβαση, ενώ το τελικό προϊόν που παράγεται κατά το δεύτερο ήμισυ του χρόνου μετάβασης, δηλαδή στις τελευταίες 2 ώρες, θεωρείται ότι ανήκει στον τύπο του τελικού προϊόντος μετά τη μετάβαση. Το παραγόμενο προϊόν αποθηκεύεται σε ένα από οκτώ σιλό αποθήκευσης, χωρητικότητας 430 τόνων έκαστο. Από εκεί, ανάλογα με την μορφή της ζήτησης, είτε φορτώνεται σε φορτηγά-κοντέινερ χωρητικότητας 26 τόνων με ρυθμό 7,3 τόνους ανά ώρα ή σε σιλοφόρα-βυτία χωρητικότητας 28 τόνων με ρυθμό 56 τόνους ανά ώρα, είτε συσκευάζεται μέσω μίας σακιστικής μηχανής σε σάκους του, τόνου με ρυθμό 0 τόνους ανά ώρα που στη συνέχεια αποθηκεύονται σε εξωτερική αποθήκη χωρητικότητας 3.000 σάκων (= 3.300 τόνων). Μια σχηματική απεικόνιση της παραγωγικής και αποθηκευτικής διαδικασίας φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα : Απεικόνιση Παραγωγικής Διαδικασίας Ο χρονικός προγραμματισμός παραγωγής του εργοστασίου γίνεται σε εβδομαδιαία βάση με την χρήση εμπειρικών κανόνων από τον Διευθυντή Παραγωγής του εργοστασίου. Βασικό εισαγόμενο για τον προγραμματισμό είναι η πρόβλεψη της ζήτησης σε φορτηγά-κοντέινερ, σιλοφόρα-βυτία, και σάκους, που γίνεται από το Τμήμα Πωλήσεων της εταιρείας. Δεδομένης της δεδηλωμένης από τη Διοίκηση του εργοστασίου επιτακτικής ανάγκης να συστηματοποιηθεί και να βελτιστοποιηθεί ο χρονικός προγραμματισμός της παραγωγής, με απώτερο στόχο την βελτίωση της ποιότητας των προϊόντων και της εξυπηρέτησης της ζήτησης, σε αυτή την εργασία διατυπώνεται το πρόβλημα του χρονικού προγραμματισμού της παραγωγής του εργοστασίου με τη μορφή ενός προβλήματος μεικτού ακέραιου προγραμματισμού. Για κάθε περίοδο του ορίζοντα προγραμματισμού, οι βασικές μεταβλητές απόφασης είναι ο τύπος του προϊόντος που θα παράγει το εργοστάσιο, ο καθορισμός του σιλό αποθήκευσης όπου θα αποθηκεύεται το παραγόμενο προϊόν, η ποσότητα και ο τύπος του προϊόντος που θα εξέρχεται από κάθε σιλό, είτε για να συσκευασθεί σε σάκους, είτε για να παραδοθεί άμεσα σε μορφή χύδην, και η ποσότητα και ο τύπος των σάκων που θα παραδίδονται σε πελάτες από την αποθήκη. Ο αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αριθμού των αλλαγών της παραγωγής από προϊόν σε προϊόν, επειδή τέτοιες αλλαγές οδηγούν στην παραγωγή ασταθούς ποιοτικά προϊόντος με μη τυποποιημένα χαρακτηριστικά. Για τον χρονικό προγραμματισμό παραγωγής λαμβάνονται υπόψη διάφοροι περιορισμοί, μεταξύ των οποίων είναι ότι ο ρυθμός παραγωγής παραμένει σταθερός κατά τη διάρκεια του ορίζοντα προγραμματισμού, η αλλαγή από προϊόν σε προϊόν μπορεί να γίνει με συγκεκριμένη σειρά και διαρκεί συγκεκριμένο χρόνο, η αποθήκευση διαφορετικών τελικών προϊόντων πρέπει να γίνεται σε ξεχωριστά σιλό, η συσκευασία του προϊόντος μπορεί να γίνεται από μία συσκευαστική μηχανή, η ζήτηση κάθε τελικού προϊόντος σε κάθε μορφή που αυτό ζητείται (συσκευασμένο και χύδην) πρέπει να ικανοποιείται, κτλ. Το μορφοποιημένο πρόβλημα 2
κωδικοποιείται στη γλώσσα αλγεβρικής μοντελοποίησης AMPL και επιλύεται με το λογισμικό βελτιστοποίησης μαθηματικού προγραμματισμού CPLEX της ILOG []. Η βιβλιογραφία σε προβλήματα προγραμματισμού παραγωγής σε χημικές βιομηχανίες είναι εκτενής. Μέθοδοι βελτιστοποίησης για μοντέλα προγραμματισμού παραγωγής έχουν αναπτυχθεί από τους Mendez et al. [4], ενώ επιπρόσθετα, μοντέλα προγραμματισμού παραγωγής σε χημικές βιομηχανίες έχουν αναπτυχθεί από τον Kallrath [2,3]. Συνεχή μοντέλα προγραμματισμού παραγωγής έχουν εξεταστεί από τους Suerie [6] και Pinto [3], μεταξύ άλλων. 2. Ανάπτυξη Μαθηματικού Μοντέλου Για τις ανάγκες της διατύπωσης του προβλήματος του χρονικού προγραμματισμού ως προβλήματος μεικτού ακέραιου προγραμματισμού, διακριτοποιούμε τον χρονικό ορίζοντα του προγραμματισμού (7 ημέρες) σε 48 ίσες περιόδους των 4 ωρών, επειδή ) οι 4 ώρες είναι ο ελάχιστος χρόνος παραγωγής ενός τελικού προϊόντος (του G) που συμπίπτει με το χρόνο μετάβασης από ανοιχτό σε σκούρο χρώμα στο ο στάδιο, ο χρόνος μετάβασης (24 ώρες) από χαμηλό σε υψηλό ιξώδες στο 2 ο στάδιο μπορεί να εκφραστεί ως ακέραιο πολλαπλάσιο του 4, και 3) μια βάρδια των 8 ωρών μπορεί να εκφραστεί ως ακέραιο πολλαπλάσιο του 4. Με βάση αυτή τη διακριτοποίηση, χωρίζουμε το σιλό αποθήκευσης ενδιάμεσων προϊόντων σε N διακριτές θέσεις, όπου η κάθε θέση αντιστοιχεί σε παραγωγή 4 ωρών ή ισοδύναμα σε 33,3 (= 200 τόνοι ανά ημέρα 6 περίοδοι (4-ωρα) ανά ημέρα) τόνους προϊόντος. Το N εξαρτάται από τη ποσότητα του ενδιάμεσου προϊόντος που βρίσκεται στο σιλό αρχικά. Για παράδειγμα, αν αρχικά στο σιλό βρίσκονται 200 τόνοι ενδιάμεσου προϊόντος, τότε Ν = 6. Ομοίως, χωρίζουμε και το δεύτερο στάδιο παραγωγής χωρητικότητας 200 τόνων σε Μ = 6 θέσεις, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Για τη διατύπωση του προβλήματος του χρονικού προγραμματισμού χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους συμβολισμούς, όπου οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων για τη εφαρμογή του προτύπου στο συγκεκριμένο εργοστασίου που εξετάσθηκε και παρουσιάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 3 φαίνονται εντός παρενθέσεων: Δείκτες: i: δείκτης χρώματος, i I (= {, 2, 3}) j: δείκτης τελικού προϊόντος, j J (= {, 2, 3, 4}) k: δείκτης ιξώδους, k K (={, 2}) q: δείκτης σιλό, q Q (= {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}) t: δείκτης χρονικού ορίζοντα, t =, 2,, Τ (= 48 + Ν + Μ) Μεταβλητές Απόφασης: X it : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν κατά την περίοδο t εισέρχεται προϊόν χρώματος i από το ο στάδιο παραγωγής στο ενδιάμεσο σιλό αποθήκευσης, και 0 αλλιώς a t : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν στην αρχή της περιόδου t ξεκινάει στο 2 ο στάδιο παραγωγής μετάβαση από υψηλό σε χαμηλό ιξώδες ή αντίστροφα, και 0 αλλιώς z kt : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν κατά την περίοδο t εξέρχεται προϊόν ιξώδους k, και 0 αλλιώς Y jt : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν κατά την περίοδο t εξέρχεται τελικό προϊόν j από το 2 ο στάδιο παραγωγής, και 0 αλλιώς S : απόθεμα τελικού προϊόντος j στο τελικό σιλό αποθήκευσης q στο τέλος της περιόδου t, W : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν στο τελικό σιλό αποθήκευσης q περιέχεται τελικό προϊόν j κατά την περίοδο t, και 0 αλλιώς g : δυαδική μεταβλητή απόφασης που παίρνει την τιμή αν κατά την περίοδο t εισέρχεται τελικό προϊόν j στο τελικό σιλό αποθήκευσης q, και 0 αλλιώς 3
G : ποσότητα τελικού προϊόντος j που εξέρχεται από το τελικό σιλό αποθήκευσης q την περίοδο t B : ποσότητα τελικού προϊόντος j που βγαίνει από το σιλό q, σακιάζεται και αποθηκεύεται στην εξωτερική αποθήκη την περίοδο t R jt : απόθεμα τελικού προϊόντος j στην εξωτερική αποθήκη στο τέλος της περιόδου t Παράμετροι: ds jt : ζήτηση των σιλοφόρων-βυτίων για τελικό προϊόν j την περίοδο t dbc jt : ζήτηση των φορτηγών-κοντέινερ για τελικό προϊόν j την περίοδο t dbb jt : ζήτηση σε σακιά τελικού προϊόντος j την περίοδο t P: ρυθμός παραγωγής (= 33,3 τόνοι ανά 4ωρο) N: αριθμός θέσεων στο ενδιάμεσο σιλό αποθήκευσης (= 6 θέσεις των 33,3 τόνων έκαστη που αντιστοιχούν σε αρχικό απόθεμα 200 τόνων) M: αριθμός θέσεων στο 2 ο στάδιο παραγωγής (= 6 θέσεις των 33,3 τόνων έκαστη) C: κόστος ανά μετάβαση από χαμηλό σε υψηλό ιξώδες και αντίστροφα (= ) D: κόστος ανά μετάβαση από ανοιχτό σε σκούρο χρώμα και αντίστροφα (= ) u S : ταχύτητα φόρτωσης προϊόντων σε σιλοφόρα (= 56 4 = 224 τόνοι ανά 4ωρο) u BC : ταχύτητα φόρτωσης προϊόντων σε κοντέινερ (= 7,3 4 = 69,2 τόνοι ανά 4ωρο) u BΒ : ταχύτητα σακιάσματος (= 0 4 = 40 τόνοι ανά 4ωρο) S max : μέγιστη χωρητικότητα τελικού σιλό αποθήκευσης q (= 430 τόνοι) S j,min : ελάχιστο συνολικό απόθεμα τελικού προϊόντος j σε όλα τα τελικά σιλό αποθήκευσης στο τέλος του ορίζοντα προγραμματισμού (= 50 τόνοι) R max : μέγιστη χωρητικότητα εξωτερικής αποθήκης (= 3.300 τόνοι) R j,min : ελάχιστο απόθεμα τελικού προϊόντος j σε σακιά στην εξωτερική αποθήκευσης στο τέλος του ορίζοντα προγραμματισμού (= 50 τόνοι) MI: ένας πολύ μεγάλος αριθμός Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω συμβολισμούς, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: min C at + D X2t () t t με τους περιορισμούς: X it =, t = N + M +,, ( i I X t + X 3t +, t = N + M +,, (3) X3t + X t +, t = N + M +,, (4) t+ 5 as, t N M 4,, 5 (5) s= t ( at ) ( z t+ 3 z2t+ ( z t+ 3 z2t+ at ( at ) ( z2t+ 3 z t+ ( z2t+ 3 z t+ at at + ( z t+ 3 z t+ 0 ( t 3 t z + z + at at ( z2t+ 3 z2t+ + 0 ( z z ) a + 0, t = N + M +,, 3 (6) + 0, t = N + M +,, 3 (7) 2t+ 3 2t+ 2 t X2t N M+ z t, t = N + M + 4,, (8) X3t N M+ z t z + z =, t = N + M + 4,, (9) t 2t 4
Y t z t + X t N M Y2t z2t + X t N M, t = N + M + 4,, Y3t z2t + X2t N M Y4t z2t + X3t N M (0) Yjt =, t = N + M + 4,, () G = ds + dbc + B, j, t = N + M +,, ( jt jt B ubb,,, t = N + M + (3) R = R + B dbb, j, t = N + M +,, (4) jt jt jt R jt Rmax,,, t = N + M + (5) Rj Rj,min, j (6) S = S + gp G, q, j, t = N + M +,, (7) S SmaxW, q, j, t = N + M +,, (8) Sqj Sj,min, j (9) W, q, t = N + M +,, (20) g =, t = N + M +,, (2) g + W Yjt, q, j, t = N + M +,, W Yjt g (2 dsjt + dbc jt + B, q, j, t = N + M +,, us ubc ubb (23) G W MI, q, j, t = N + M +,, (24) W W W,, + q j, t = N + M +,, (25) W S MI, q, j, t = N + M +,, (26) Η αντικειμενική συνάρτηση () ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος που προκύπτει από τον αριθμό των αλλαγών στο ιξώδες, καθώς επίσης και από την ποσότητα του ενδιάμεσου προϊόντος που παράγεται κατά την διαδικασία αλλαγής χρώματος. Ο περιορισμός ( ορίζει ότι το προϊόν που παράγεται σε κάθε χρονική περίοδο μπορεί να έχει μόνο ένα χρώμα, ενώ οι περιορισμοί (3) και (4) ορίζουν ότι δεν είναι επιτρεπτή η παραγωγή FH (σκούρου χρώματος) και NON-FH (ανοιχτού χρώματος) σε δύο διαδοχικές χρονικές περιόδους, αφού πρέπει να μεσολαβήσει μία περίοδος παραγωγής G (ενδιάμεσου χρώματος). Ο περιορισμός (5) ορίζει ότι μόνο μια αλλαγή στο ιξώδες είναι επιτρεπτή σε έξι διαδοχικές περιόδους, δηλαδή σε 24 ώρες. Οι ομάδες περιορισμών (6) και (7) ορίζουν ότι αν υπάρξει αλλαγή στο ιξώδες την περίοδο t, το ιξώδες της περιόδου t + 3 αντιστρέφεται σε σχέση με αυτό της περιόδου t + 2, ενώ αν δεν υπάρξει, παραμένει το ίδιο. Η ομάδα περιορισμών (8) και ο περιορισμός (9) ορίζουν ότι δεν είναι εφικτός ο συνδυασμός χαμηλού ιξώδους με G ή FH και ότι σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο το ιξώδες θα είναι είτε υψηλό είτε χαμηλό. Η ομάδα περιορισμών (0) ορίζει τους δυνατούς συνδυασμούς των τελικών προϊόντων που είναι εφικτοί. Ο περιορισμός () ορίζει ότι δεν μπορεί να παραχθεί πάνω από ένα τελικό προϊόν την ιδία χρονική περίοδο. Ο περιορισμός ( ορίζει ότι η συνολική ποσότητα τελικού προϊόντος j που εξέρχεται από κάθε τελικό σιλό αποθήκευσης q κατά την περίοδο t ισούται 5
με τη συνολική ποσότητα που φορτώνεται στα σιλοφόρα και στα φορτηγά-κοντέϊνερ και αποθηκεύεται στην αποθήκη με τη μορφή σάκων. Με τον περιορισμό (3) ορίζεται ότι ο ρυθμός συσκευασίας της σακιστικής μηχανής δεν μπορεί να ξεπεράσει την μέγιστη τιμή των 40 τόνων ανά 4ωρο. Ο περιορισμός (5) ορίζει ότι η ποσότητα τελικού προϊόντος j στην αποθήκη δεν μπορεί να ξεπεράσει την χωρητικότητα της. Ακόμη, ο (4) είναι περιορισμός διατήρησης αποθέματος στην εξωτερική αποθήκη και ο (7) είναι περιορισμός διατήρησης αποθεμάτων στα σιλό αποθήκευσης. Ο περιορισμός (6) εξασφαλίζει ότι υπάρχει μια ελάχιστη ποσότητα από κάθε είδος τελικού προϊόντος σε συσκευασμένα σακιά στην εξωτερική αποθήκη στο τέλος του χρονικού ορίζοντα, και ο περιορισμός (9) εξασφαλίζει ότι υπάρχει μια ελάχιστη ποσότητα από κάθε είδος τελικού προϊόντος μέσα στα τελικά σιλό αποθήκευσης στο τέλος του χρονικού ορίζοντα. Ο (8) είναι περιορισμός χωρητικότητας των τελικών σιλό αποθήκευσης, ο (20) ορίζει ότι το πολύ ένα τελικό προϊόν μπορεί να υπάρχει μέσα σε κάθε τελικό σιλό αποθήκευσης και ο (2) ότι μόνο ένα τελικό προϊόν μπορεί να εισέλθει σε ένα τελικό σιλό αποθήκευσης σε μια περίοδο. Ακόμη, ο περιορισμός (2 ορίζει ότι αν εισέλθει κάποιο τελικό προϊόν σε κάποιο τελικό σιλό αποθήκευσης τότε το είδος του προϊόντος που εισέρχεται πρέπει να συμπίπτει με αυτό που υπάρχει ήδη μέσα, ενώ οι περιορισμοί (25) και (26) ορίζουν ότι για να αλλάξει το τελικό προϊόν που υπάρχει σε κάποιο τελικό σιλό αποθήκευσης, θα πρέπει πρώτα το σιλό αυτό να αδειάσει. Τέλος ο περιορισμός (23) είναι περιορισμός ρυθμού εξόδου από κάθε τελικό σιλό αποθήκευσης, ενώ ο περιορισμός (24) ορίζει ότι δεν μπορεί να εξέλθει τελικό προϊόν από κάποιο τελικό σιλό αποθήκευσης αν αυτό είναι άδειο. Είναι αξιοσημείωτο ότι οι περισσότεροι περιορισμοί ισχύουν για τις χρονικές περιόδους από N + M + και μετά. Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε μετατοπίσει το δείκτη του χρόνου έτσι ώστε οι περίοδοι,, Ν + Μ να αφορούν στο παρελθόν, ενώ οι περίοδοι Ν + Μ +, Ν + Μ + 2, να ανήκουν στο μέλλον. Ο λόγος που έγινε αυτή η μετατόπιση είναι ότι ο προγραμματισμός της παραγωγής εξαρτάται από την αρχική κατάσταση του συστήματος, δηλαδή την κατάσταση στο χρόνο «μηδέν». Η αρχική αυτή κατάσταση όμως διαμορφώθηκε με βάση την τιμές των μεταβλητών απόφασης του παρελθόντος. Θα πρέπει λοιπόν, εκτός από τις παραμέτρους και τους περιορισμούς του προβλήματος, να ορισθεί και η αρχική κατάσταση του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, θα πρέπει να ορισθούν ) το χρώμα των προϊόντων που καταλαμβάνουν τις N (= 6) θέσεις του ενδιάμεσου σιλό και τις M (= 6) θέσεις του 2 ου σταδίου παραγωγής, η περίοδος έναρξης και ο τύπος (από-προς) μετάβασης του ιξώδους στο 2 ο στάδιο παραγωγής, αν μια τέτοια μετάβαση είναι σε εξέλιξη στο χρόνο «μηδέν», και 3) η ποσότητα και ο τύπος τελικού προϊόντος στα οκτώ σιλό, και η ποσότητα και ο τύπος προϊόντων σε σακιά στην εξωτερική αποθήκη. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το προϊόν που καταλαμβάνει την η θέση του ενδιάμεσου σιλό στο χρόνο «μηδέν» παρήχθη μια περίοδο πριν τον χρόνο «μηδέν», ενώ το προϊόν που καταλαμβάνει την τελευταία θέση στο 2 ο στάδιο παραγωγής παρήχθη Ν + Μ περιόδους πριν το χρόνο «μηδέν», θα πρέπει να ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών X it, i I, για τις Ν + Μ πιο πρόσφατες περιόδους, δηλαδή για t =,, Ν + Μ. Επίσης, θα πρέπει να ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών a t για τις 5 πιο πρόσφατες περιόδους, δηλαδή για t = Ν + Μ 4,, Ν + Μ, επειδή αν έγινε μια έναρξη μετάβασης του ιξώδους μέσα σε μία από αυτές τις περιόδους, τότε θα βρίσκεται σε εξέλιξη στο χρόνο «μηδέν», δηλαδή στην αρχή της περιόδου Ν + Μ +. Ομοίως, θα πρέπει να ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών z kt, k K, για τις 3 πιο πρόσφατες περιόδους καθώς και για τις 3 πρώτες περιόδους, δηλαδή για t = Ν + Μ 2,, Ν + Μ + 3, επειδή αν έγινε μια έναρξη μετάβασης του ιξώδους στην αρχή μίας από αυτές τις περιόδους, ας πούμε την t, τότε το ιξώδες παραμείνει αμετάβλητο για τις περιόδους t, t +, t + 2, (= 2 ώρες), και θα αντιστραφεί για τις περιόδους t + 3, t + 4, t + 5. Έχοντας ορίσει τις αρχικές τιμές των X it, i I, t =,, Ν + Μ, και z kt, k K, t = Ν + Μ 2,, Ν + Μ + 3, εμμέσως έχουμε ορίσει και τον τύπο τελικού προϊόντος που θα παραχθεί από το 2 ο στάδιο τις πρώτες 3 περιόδους δηλαδή έχουμε ορίσει τις τιμές των μεταβλητών Y jt, j J, t = N + M +,, Ν + Μ + 3. Τέλος, θα πρέπει να ορίσουμε και τις αρχικές τιμές της ποσότητας και του τύπου κάθε τελικού προϊόντος σε κάθε τελικό σιλό αποθήκευσης και στην εξωτερική αποθήκη, δηλαδή θα πρέπει να ορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών S qj(ν+μ), W qj(ν+μ), και R j(ν+μ), q Q, k K. 6
3. Εφαρμογή του Προτύπου και Συμπεράσματα Ξεκινώντας με αρχικά αποθέματα που φαίνονται στον Πίνακα, επιλύσαμε το πρόβλημα του χρονικού προγραμματισμού παραγωγής που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη ενότητα για τρία διαφορετικά σενάρια ζήτησης, με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητα της μαθηματικής μορφοποίησης από την ορθολογικότητα των αποτελεσμάτων. Στο πρώτο σενάριο ζήτησης, ο τύπος του τελικού προϊόντος που ζητείται είναι πάντα ο ίδιος για όλο τον χρονικό ορίζοντα. Σε αυτή την περίπτωση, το βέλτιστο πρόγραμμα δεν κάνει καθόλου αλλαγές και είτε καλύπτει τις ζητήσεις από την παραγωγή είτε από τα αποθέματα του συγκεκριμένου προϊόντος στα σιλό ή στην αποθήκη. Στο δεύτερο σενάριο, υπάρχουν ζητήσεις μόνο για τα προϊόντα WG και SD. Σε αυτή την περίπτωση, το βέλτιστο πρόγραμμα κάνει μία μόνο αλλαγή στο ιξώδες και καμία στο χρώμα, όπως θα περιμέναμε. Στο τρίτο και πιο απαιτητικό σενάριο, υπάρχουν ζητήσεις όλων των τύπων τελικών προϊόντων και μάλιστα εναλλάξ στο χρόνο. Το βέλτιστο πρόγραμμα ικανοποιεί όλες τις ζητήσεις κάνοντας το μικρότερο αριθμό αλλαγών ιξώδους και παράγοντας τη μικρότερη ποσότητα ενδιάμεσου χρώματος προϊόντος, με το να αδειάζει και να γεμίζει κατάλληλα τα τελικά σιλό αποθήκευσης. Ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος αυξάνει με το μέγεθος του προβλήματος, όπως θα περιμέναμε σε τέτοιου είδους προβλήματα μικτού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού. Υπάρχουν πολλές πιθανές κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα σε συνέχεια της παρούσας εργασίας, όπως περεταίρω αριθμητική διερεύνηση, ανάπτυξη ευρετικών αλγορίθμων για γρήγορη επίλυση, κτλ. Οι πιο ενδιαφέρουσες και κατά τη γνώμη μας πιο σημαντικές κατευθύνσεις είναι οι εξής δύο: ) ο σχεδιασμός των παραμέτρων S j,min και R j,min, που είναι τα ελάχιστα αποθέματα «ασφαλείας» στο τέλος του ορίζοντα προγραμματισμού και αποσκοπούν να εξασφαλίσουν ότι και στον επόμενο ορίζοντα προγραμματισμού θα μπορεί να ικανοποιηθεί η ζήτηση, και η εξαρχής μορφοποίηση όλου του προβλήματος σε συνεχή αντί για διακριτό χρόνος. S qj(n+m) j q = q = 2 q = 3 q = 4 q = 5 q = 6 q = 7 q = 8 R j(n+m) 70 0 90 70 0 0 0 0 00 2 0 80 0 0 0 0 40 70 00 3 0 0 0 0 0 0 0 0 30 4 0 0 0 0 0 00 0 0 00 Πίνακας : Αρχικές ιμές των S qj(n+m), και R j(n+m), για q Q, j J Βιβλιογραφικές Αναφορές ) R. Fourer, D.M. Gay, B.W. Kernighan (200. AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming. Duxbury Press. J. Kallrath (2002a). Combined Strategic and Operational Planning - An MILP Success Story in Chemical Industry. OR Spectrum vol. 24(3), pp. 35-34. 3) J. Kallrath (2002b). Planning and Scheduling in the Process Industry. OR Spectrum vol. 24 (3), pp. 29-250. 4) C. A.Mendez, J. Cerda, I. E. Grossmann, L. Harjunkoski, M. Fahl (2006). State-of-the Art Review of Optimization Methods for Short-term Scheduling of Batch Processes. Computers and Chemical Engineering vol. 30, pp. 93-946. 5) J.M. Pinto (997). A Continuous-ime MILP Optimization for Short-erm Scheduling of Batch Plants. Computers and Chemical Engineering vol 22(9), pp. 297-308. 6) C. Suerie (2005). ime Continuity in Discrete ime Models: New Approaches for Production Planning in Process Industries. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer. 7