1-1 1. ΚΥΛΙΝ ΡΩΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών τηγµάτων χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή συνεχών φύλλων ή φιλµ µε συµπίεση του τήγµατος µεταξύ ζεύγους θερµαινόµενων και αντίρροπα στρεφόµενων κυλίνδρων. Η σύγχρονη διεργασία αποτελεί βελτίωση και συνέχεια της διεργασίας κυλίνδρωσης υφασµάτων και ελαστικού καουτσούκ, µε αναφορές που φθάνουν πίσω στις αρχές του 19ου αιώνα. Τα βιοµηχανικά συστήµατα κυλίνδρωσης αποτελούνται συνήθως από 3-6 περιστρεφόµενους κυλίνδρους σε τοποθέτηση Ζ ή L [ΤΑD 79]. Η βασική διεργασία κυλίνδρωσης γίνεται από τους κυλίνδρους έλασης, και συνήθως επακολουθεί πρόσθετη επεξεργασία του παραγόµενου πλαστικού φύλλου ή φιλµ. Η διεργασία όπως γίνεται σήµερα παρουσιάζεται σχηµατικά στο Σχήµα 1.1. Το πολυµερικό Σχήµα 1.1 Σχηµατική παράσταση της διεργασίας κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων ή φιλµ. τήγµα τροφοδοτείται στους κυλίνδρους έλασης, προερχόµενο από αναµείκτη Banbr και σύστηµα άλεσης δύο ρολών, ή πιο συχνά από εκβολέα. Με τη συµπίεση και έλαση παράγεται φύλλο µικρότερου
1- πάχους, το οποίο στη συνέχεια περνά από άλλους κυλίνδρους ψύξης, συσκευές ελέγχου οµοιοµορφίας του πάχους του, και αποκοπτήρες των άκρων, και οδηγείται τελικά σε κυλίνδρους περιτύλιξης. Οι κύλινδροι έλασης φθάνουν σε διάµετρο µέχρι τα 9 cm και σε µήκος τα 5 cm, ενώ η παραγωγή φθάνει µέχρι και τα 4 kg/hr [TAD 79]. Οι (γραµµικές ταχύτητες έλασης των κυλίνδρων µπορούν να φθάσουν µέχρι τα m/s για ορισµένα λεπτά εύκαµπτα φιλµ (πάχους µικρότερου του.1 mm. Τα κυριότερα πλαστικά που χρησιµοποιούνται στη διεργασία κυλίνδρωσης είναι το πλαστικοποιηµένο και το άκαµπτο PVC, αλλά και πολυαιθυλένια (LDPE, HDPE, καθώς επίσης και ελαστικό (καουτσούκ. Λόγω του κινδύνου θερµικής αποσύνθεσης του PVC, οι γραµµές κυλίνδρωσής του δουλεύουν σε µικρότερες ταχύτητες και θερµοκρασίες. Οι θερµοκρασίες κυλίνδρωσης του τήγµατος είναι γύρω στους 175-185 C για το PVC, και γύρω στους - C για το LDPE, και 4-6 C για το ΗDPE. Οι κύλινδροι θερµαίνονται αντίστοιχα. Η διεργασία λειτουργεί στις µέγιστες δυνατές θερµοκρασίες, πιέσεις, και ταχύτητες. Αποτελεί διεργασία πολύ ακριβή ως προς τα µηχανήµατα και το κεφάλαιο επένδυσης. Για το λόγο αυτό ανταγωνιστικές διεργασίες είναι η εκβολή και χύτευση φύλλων και φιλµ, αφού το κόστος του εκβολέα είναι µικρό σε σχέση µε το κόστος του συστήµατος κυλίνδρωσης. Όµως η κυλίνδρωση επιτυγχάνει υψηλότερη ποιότητα και αυξηµένη παραγωγή που την κάνουν να προτιµάται, ιδίως για υλικά που είναι θερµικά ευαίσθητα. Εποµένως πρόκειται για διεργασία υψηλής τεχνολογίας και ποιότητας µε πολύ µικρές ανοχές στα τελικά προϊόντα. Σε αντίθεση µε τις προηγούµενες διεργασίες εκβολής µε φύσηµα, εκβολής ινών, και χύτευσης φύλλων, η διεργασία
1-3 κυλίνδρωσης (όπως και η διεργασία επίστρωσης καλωδίων διέπεται από τις εξισώσεις διατµητικής ροής µε τοιχώµατα, στην οποία τον κύριο ρόλο παίζει το ιξώδες διάτµησης. Όµως, πριν και µετά την έλαση µέσα από τους κυλίνδρους, το προς έλαση φύλλο αποκτά ελεύθερη επιφάνεια, στην οποία δεν παίζουν µεγάλο ρόλο οι διατµητικές τάσεις. Εποµένως, για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της παρούσας διεργασίας, υπάρχει αρκετά καλή δυνατότητα πρόβλεψης, λόγω κυρίως του ότι τα σηµαντικά µηχανικά φαινόµενα λαµβάνουν χώρα στο µικρό άνοιγµα ανάµεσα στους κυλίνδρους έλασης. Για τη µοντελοποίηση, χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη συµπεριφορά του πολυµερούς σε διατµητική παραµόρφωση, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας. Ο Middleman [MID 77] δίνει τις σχέσεις για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών µεγεθών της διεργασίας, κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής θεωρίας λίπανσης (Lbrication Approimation Theor, LAT και θεωρώντας το ρευστό ως γενικευµένο Νευτωνικό (µε σταθερό ιξώδες ή µε ιξώδες που υπακούει τον εκθετικό νόµο. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σαν αρχή για τις περαιτέρω αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ. 1.. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 1..1. Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Νευτωνικό Μοντέλο Η ανάλυση της διεργασίας κυλίνδρωσης φύλλων ακολουθεί την ανάλυση που δίνεται από το Middleman [MID 77], όπου το πολυµερές θεωρείται να ρέει υπό συνθήκες µόνιµης διατµητικής ροής. Για ρευστά πολυµερικά τήγµατα µεγάλου ιξώδους, οι ιξώδεις δυνάµεις
1-4 υπερισχύουν των δυνάµεων αδράνειας, βαρύτητας και επιφανειακής τάσης, που θεωρούνται αµελητέες. Η γεωµετρία της διεργασίας επιβάλλει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, που ορίζεται από την αξονική κατεύθυνση έλασης και την κάθετη στη ροή κατεύθυνση, ενώ το πλάτος του ελασσόµενου φύλλου είναι στην κατεύθυνση z (βλ. Σχήµα 1.. Σχήµα 1. Σχηµατική παράσταση της διεργασίας κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων και ορισµός του συστήµατος συντεταγµένων. Oι περιστρεφόµενοι κύλινδροι συµπαρασύρουν το πολυµερές και το ελάσσουν µέσα από το µικρό άνοιγµα. Πρόκειται για απλή αξονική οπισθέλκουσα ροή µε πτώση πίεσης (combined drag-pressre h( Η Η Η f λ λ R U Σχήµα 1.3 Σχηµατική παράσταση για την προσεγγιστική ανάλυση της διεργασίας κυλίνδρωσης φύλλων (συµµετρική θεώρηση.
1-5 aial flow. Θεωρούµε πλήρη συµµετρία και θέτουµε το σύστηµα αναφοράς στο κέντρο του ελάχιστου ανοίγµατος µεταξύ των δύο κυλίνδρων. Η ανάλυση γίνεται για ιξώδες ρευστό που υπακούει το Νευτωνικό νόµο υπό ισοθερµοκρασιακές συνθήκες µόνιµης κατάστασης. Θεωρούµε ότι τα πιο σηµαντικά δυναµικά γεγονότα λαµβάνουν χώρα γύρω από την περιοχή του ελάχιστου διαχωρισµού των κυλίνδρων, δηλ. του ελάχιστου ανοίγµατος Η. Στην περιοχή αυτή και σε αµφότερες τις κατευθύνσεις (δηλ. στην κατεύθυνση ± σε απόσταση τάξης µεγέθους =λ (βλ. Σχήµα 1.3, οι επιφάνειες των κυλίνδρων είναι σχεδόν παράλληλες αν ισχύει Η << R (το οποίο συνήθως συµβαίνει. Τότε είναι λογικό να παραδεχθούµε ότι η ροή είναι σχεδόν παράλληλη, ώστε << και / << /. Οι παραδοχές αυτές αποτελούν ακριβώς την προσεγγιστική θεωρία λίπανσης (Lbrication Approimation Theor, LAT του Renolds. παροχή Q Η εξίσωση διατήρησης της µάζας δίνει για την ογκοµετρική h Q = d = HU (1.1 όπου = είναι η αξονική ταχύτητα, h( είναι το (µισό τοπικό άνοιγµα, H είναι το πάχος του ελασσόµενου φύλλου στην έξοδο, και U είναι η (γραµµική ταχύτητα έλασης (ίδια και για τους δύο κυλίνδρους λόγω συµµετρίας. Οι µόνες δυνάµεις που δρούν στο πολυµερές είναι δυνάµεις ιξώδους διατµητικής τάσης και δυνάµεις πίεσης λόγω της γεωµετρίας των κυλίνδρων που συµπιέζουν το πολυµερές, δηλ. dp dτ = (1. d d Η τάση τ δίνεται από το Νευτωνικό νόµο
1-6 d τ = µ (1.3 d Αντικατάσταση της Εξ. (1.3 για την τάση τ δίνει d 1 dp = d µ d (1.4 Περαιτέρω ολοκλήρωση είναι δυνατή µε τις εξής οριακές συνθήκες = U στο = h( (1.5α d d = στο = (1.5β και δίνει για το προφίλ της ταχύτητας U = 1+ h ( dp µ U d (1.6 Παρατηρούµε ότι η Εξ. (1.6 δίνει το άµεσα σα συνάρτηση του και έµµεσα σα συνάρτηση του, µέσω των h( και P(. Αφού το P( είναι άγνωστο µέχρι τώρα στην ανάλυση, η επίλυση για το δεν είναι ακόµα πλήρης. Ας εξετάσουµε πρώτα το h(, την απόσταση δηλ. στην κατεύθυνση µεταξύ της γραµµής συµµετρίας και της επιφάνειας του κυλίνδρου. Από την εξίσωση της γεωµετρίας κύκλου έχουµε h = H (1.7 1/ + R ( R Η εισαγωγή της Εξ. (1.7 στην Εξ. (1.6 περιπλέκει την άλγεβρα. Αφού όµως η ανάλυση περιορίζεται σε τόξο κύκλου που αντιστοιχεί σε << R, µπορούµε να προσεγγίσουµε την παραπάνω εξίσωση µε παραβολή, δηλ. h = H 1 + (1.8 H R Στο σηµείο αυτό είναι επιθυµητό να εισάγουµε αδιάστατες µεταβλητές για να κάνουµε την επίλυση πιο γενική. Έτσι ορίζουµε
1-7 ' = RH ' = U (1.9α ' = H P'= PH µ U (1.9β Τότε η Εξ. (1.6 γράφεται dp' [ ' (1 + ' ] H ' = 1+ (1.1 8R d' Μπορούµε να βρούµε έκφραση για την άγνωστη πτώση πίεσης (dp /d κάνοντας χρήση της έκφρασης για την ογκοµετρική παροχή και ολοκληρώνοντας το προφίλ της ταχύτητας. Τότε παίρνουµε h ( Q = h( U 3µ dp d (1.11 Λύνοντας για το dp/d, βρίσκουµε σε αδιάστατη µορφή dp' = d' 18R H ' λ 3 (1 + ' (1.1 όπου λ είναι η αδιάστατη ογκοµετρική παροχή που ορίζεται ως εξής Q λ = 1 (1.13 UH Έτσι έχουµε αντικαταστήσει την άγνωστη πτώση πίεσης µε την (ακόµα άγνωστη ογκοµετρική παροχή λ. Για να προχωρήσουµε χρειαζόµαστε επιπλέον παραδοχές, ιδίως για το τι συµβαίνει στην περιοχή αποκόλλησης του πολυµερικού φύλλου από τους κυλίνδρους έλασης. Και αυτό επειδή στο σηµείο όπου το φύλλο αποκολλάται από τους κυλίνδρους, δηλ. στο =H και =, οποιαδήποτε παραδοχή έχει µεγάλη επίδραση στα χαρακτηριστικά της όλης διεργασίας και εποµένως και του µοντέλου ανάλυσης. Με αναφορά στο Σχήµα 1.4, εισάγουµε δύο απλές παραδοχές.
1-8 U = Σχήµα 1.4 = Σχηµατική παράσταση της περιοχής αποκόλλησης του πολυµερικού φύλλου από τους κυλίνδρους έλασης. Πέρα από την αποκόλληση, για >, το φύλλο κινείται µε εµβολικό προφίλ, που αντιστοιχεί στην ελεύθερη κίνηση του φύλλου στην ατµόσφαιρα. Πριν από την αποκόλληση, για <, αλλά κοντά στο σηµείο αποκόλλησης, η ταχύτητα θα είναι συνάρτηση του σύµφωνα µε την Εξ. (1.1. Γίνεται η παραδοχή ότι ακριβώς στο σηµείο αποκόλλησης, στο =, το προφίλ της ταχύτητας είναι εµβολικό. Αυτό αντιστοιχεί στο d / d = και d / d =, και από την Εξ. (1.4 φαίνεται ότι dp dp' = = στο = (1.14 d d' Επιπλέον αγνοούµε τις δυνάµεις που δρουν στο σηµείο αποκόλλησης (π.χ. επιφανειακή τάση, και οι τάσεις µέσα στο ρευστό είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική πίεση. Αφού το προφίλ της ταχύτητας είναι εµβολικό, οι ιξώδεις τάσεις µηδενίζονται στο =, και θέτοντας την ατµοσφαιρική πίεση σαν την πίεση αναφοράς, έχουµε P ' = στο = (1.15 Από τις Εξισώσεις (1.14 και (1.1 έχουµε = λ (1.16 ' εποµένως ένας άλλος ορισµός του λ είναι η αδιάστατη απόσταση αποκόλλησης (leave-off distance. Αν παραδεχθούµε ότι το φύλλο εξέρχεται από τους κυλίνδρους µε ταχύτητα U, τότε από την εξίσωση διατήρησης µάζας (1.1 έχουµε
1-9 H λ = 1 (1.17 H Εποµένως, αν το Η έχει µετρηθεί, το λ µπορεί να βρεθεί, και το ' βρίσκεται από την Εξ. (1.16. Η Εξ. (1.1 µπορεί να ολοκληρωθεί ως προς, και µε εφαρµογή της οριακής συνθήκης Εξ. (1.15, το Ρ ( βρίσκεται να είναι P' = 9R 3H ' (1 3λ 1 5λ (1 + ' 1+ 3λ λ + + λ 1 1 ' + (1 3λ (tan ' tan 1 (1.18 λ Το Σχήµα 1.5 δείχνει τη µορφή της κατανοµής πίεσης. Η µέγιστη πίεση συµβαίνει λίγο πριν από το σηµείο ελάχιστης απόστασης στο =λ και έχει την τιµή Σχήµα 1.5 Μορφή της κατανοµής πίεσης ανάµεσα στους κυλίνδρους έλασης. P ' ma 3C( λ R = (1.19 H όπου 1+ 3λ 1 C ( λ = λ (1 3λ tan λ (1. 1+ λ
1-1 Από την Εξ. (1.1, και όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.5, η κλίση της πίεσης έχει τρία ακρότατα: (α στο =λ, η µηδενική κλίση συµβαίνει όπου και Ρ =, (β στο = λ, η µηδενική κλίση συµβαίνει όπου έχουµε τη µέγιστη πίεση Ρ =Ρ ma, (γ στο =, η µηδενική κλίση συµβαίνει όπου και Ρ = (βλ. Εξ. 1.1. Η πίεση στο «σηµείο» αυτό βρίσκεται θέτοντας = στην Εξ. (1.18. Έτσι βρίσκουµε + = λ 9R 1 3 π P '( ' λ (1 3λ + tan 1 λ (1.1 3H 1+ λ Αν εφαρµοζόταν εξωτερική πίεση στην είσοδο µακριά από την περιοχή ελάχιστης απόστασης, τότε θα µπορούσε να υπολογιστεί το λ σα συνάρτηση της πίεσης αυτής από την Εξ. (1.1. Συνήθως δεν επιβάλλεται τέτοια πίεση στη διεργασία της κυλίνδρωσης. Η πιο λογική παραδοχή θα ήταν ότι P '( ' = (1. από την οποία συνεπάγεται ότι το λ έχει συγκεκριµένη τιµή, δηλ. λ =.475 (1.3 Στην περίπτωση αυτή έχουµε από την Εξ. (1.17 H H = 1+ λ = 1.6 (1.4 και ότι το πάχος του παραγόµενου φύλλου εξαρτάται µόνο από το Η. Αν δεν θεωρήσουµε ότι το πολυµερικό τήγµα προέρχεται από λουτρό τήγµατος σε άπειρη απόσταση από το σηµείο αναφοράς, αλλά από πολυµερικό φύλλο που έρχεται σε επαφή µε τους κυλίνδρους σε απόσταση λ, και µηδενίσουµε εκεί την πίεση, τότε προκύπτει η απόσταση επαφής (contact distance λ σα µοναδική συνάρτηση της απόστασης αποκόλλησης λ. Η σχέση αυτή δίνεται γραφικά στο Σχήµα 1.6 για τα Νευτωνικά ρευστά.
1-11 Σχήµα 1.6 Σχέση µεταξύ της απόστασης επαφής λ, όπου το πολυµερικό φύλλο έρχεται σε πρώτη επαφή µε τους κυλίνδρους, και της απόστασης αποκόλλησης λ (Νευτωνικό µοντέλο. Το πρόβληµα θεωρείται επιλυµένο στο σηµείο αυτό. Έχουµε την κατανοµή ταχύτητας και πίεσης, και µε κάποια παραδοχή για την πίεση στην είσοδο ή µε µέτρηση του Η, µπορεί να υπολογιστεί το λ. Το προφίλ της ταχύτητας (, γράφεται ως + 3λ (1 η ' ' (, = (1 + ' (1 3η (1.5 όπου το έχει αδιαστατοποιηθεί µε το h( αντί για το Η µε τη νέα αδιάστατη µεταβλητή η=/h(. Σχήµα 1.7 Κατανοµή των προφίλ ταχύτητας στην περιοχή ανάµεσα στους κυλίνδρους έλασης.
1-1 Το Σχήµα 1.7 δείχνει το προφίλ της ταχύτητας σε διαφορετικές θέσεις κατά µήκος του κυλίνδρου. Λόγω της κατανοµής της πίεσης που αυξάνεται, φθάνει σε µέγιστο, και µετά µειώνεται (βλ. Σχήµα 1.5, υπάρχει ροή προς τα πίσω για < λ, η οποία υπερτίθεται στην οπισθέλκουσα ροή. Σηµειώνουµε ότι η ταχύτητα στον άξονα συµµετρίας µηδενίζεται (σηµείο ηρεµίας, stagnation point όταν ' = + 3λ (1.6 Όταν λ =.45, το σηµείο ηρεµίας συµβαίνει στην είσοδο λ, και τότε = λ = 1.64. Για λ >.45 ( < 1.64, υπάρχει αρνητική ροή στον άξονα συµµετρίας, που οδηγεί σε πλήρη ανάπτυξη στροβίλων. Ένα σηµαντικό συµπέρασµα της παραπάνω ανάλυσης είναι ότι, όπως γίνεται φανερό από το Σχήµα 1.5, αναπτύσσεται θετική πίεση ανάµεσα στους κυλίνδρους. Είναι ενδιαφέρον να εξετάσουµε τις συνέπειες αυτού του πεδίου πίεσης στη διεργασία. Μια άµεση συνέπεια είναι η κάµψη των κυλίνδρων (roll bowing στην τρίτη διάσταση (z, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.8. Οι κύλινδροι κρατιώνται στη θέση τους στα άκρα µε στατήρες (bearings. Αν οι κύλινδροι είναι αρκετά επιµήκεις (π.χ. µπορούν να φθάσουν µέχρι τα 6 m σε ορισµένες εφαρµογές, τότε η πίεση που αναπτύσσεται σαν αντίδραση από το πιεζόµενο ρέον πολυµερικό φύλλο, µπορεί να διανοίξει τους κυλίνδρους και να προκαλέσει ανοµοιοµορφία στο άνοιγµα διαχωρισµού των κυλίνδρων. Προφανώς, τούτο έχει σαν αποτέλεσµα την πρόκληση ανοµοιοµορφίας στο πάχος του παραγόµενου φύλλου. ιάφορες χαρακτηριστικές παράµετροι λειτουργίας ειδικές για τη διεργασία κυλίνδρωσης είναι:
1-13 Σχήµα 1.8 Σχηµατική παράσταση του φαινοµένου κάµψης των κυλίνδρων που προκαλείται από την ανάπτυξη πίεσης ανάµεσα στους κυλίνδρους έλασης. Γίνεται η παραδοχή ότι οι δυνάµεις που χρειάζονται για τη διατήρηση της γεωµετρίας εφαρµόζονται µόνο στους στατήρες. (α Η δύναµη αποχωρισµού των κυλίνδρων, που υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της πίεσης, δηλ. F W = R P( d = µ U P' d' H λ (1.7 που δίνει σαν αποτέλεσµα F µ UR = G( λ (1.8 W H όπου G(λ δίνεται από τη σχέση 4G( λ 1+ 3λ = 1+ λ 3 1+ λ lim φ π / tanφ (1 3λ ( φ tan 1 1+ 3λ λ + λ 1+ λ (1.9 Η τιµή του G(λ =1. για την περίπτωση του λ =.475. Εποµένως F µ UR = 1. (1.3 W H τήγµα (β η ροπή που εφαρµόζεται από κάθε κύλινδρο στο ελασσόµενο
1-14 dp T = W τ Rd = WR = h( d (1.31 h( d Εισάγοντας το Νευτωνικό νόµο για την διατµητική τάση τ παίρνουµε R T = 3WURµ M ( λ (1.3 H όπου 1 π M ( λ = (1 λ tan λ + λ (1.33 Η τιµή του Μ(λ =1.8 για την περίπτωση του λ =.475. Εποµένως R T = 4.58WURµ (1.34 H (γ η ισχύς που απαιτείται για την περιστροφή και των δύο κυλίνδρων = h( W = W τ Ud (1.35 Εισάγοντας το Νευτωνικό νόµο για την διατµητική τάση τ παίρνουµε R W = 3WU µ M ( λ (1.36 H Η τιµή του Μ(λ =1.8 για την περίπτωση του λ =.475. Εποµένως R W = 4.58WU µ (1.37 H (δ η µέση αύξηση της θερµοκρασίας, που οφείλεται στην ενέργεια ιξώδους τριβής και βρίσκεται µε την παραδοχή αδιαβατικού ενεργειακού ισοζύγιου, δίνεται από τη σχέση W ( T ave = (1.38 Qρc p Παράδειγµα 1.1 Για την κυλίνδρωση πολυµερικών φύλλων χρησιµοποιείται συµµετρικό σύστηµα κυλίνδρων µε διαστάσεις R=15 cm, W=18 cm, H =.635 cm. Η γραµµική ταχύτητα έλασης είναι
1-15 U=1 cm/s. Το πολυµερικό υλικό θεωρείται Νευτωνικό µε ιξώδες µ=1 Pa s στις συνθήκες που επικρατούν ανάµεσα στους κυλίνδρους. Να υπολογιστούν: (α το πάχος του παραγόµενου φύλλου (β η µέγιστη πίεση στο σύστηµα (γ η δύναµη διαχωρισµού των κυλίνδρων (δ η ροπή που εφαρµόζεται στους δύο κυλίνδρους (ε η ισχύς που προσδίδεται στο τήγµα από τους δύο κυλίνδρους (στ η αδιαβατική αύξηση της θερµοκρασίας στο φύλλο. Επίλυση: (α Με την παραδοχή µηδενικής πίεσης µακριά από την περιοχή ελάχιστης απόστασης των κυλίνδρων, και κάνοντας χρήση της Εξ. (1.4 βρίσκουµε Η = 1.6Η =.779 cm (το πάχος του φύλλου είναι βέβαια Η. (β Κάνοντας χρήση της Εξ. (1.19 βρίσκουµε µ U Pma =. 535 H R H =.41 MPa (γ Κάνοντας χρήση της Εξ. (1.3 βρίσκουµε F µ UR = 1. = 88 N/cm W H (δ Κάνοντας χρήση της Εξ. (1.34 βρίσκουµε R T = 4.58WURµ = 61 N-m H (ε Κάνοντας χρήση της Εξ. (1.37 βρίσκουµε
1-16 W = 4.58 WU µ R H = 5.37 hp = 47 W (στ Για την εύρεση της αδιαβατικής αύξησης της θερµοκρασίας θέτουµε ρ = 1 g/cm 3 και c p =.1 J/g C. Η ογκοµετρική παροχή δίνεται από Q = UHW = 84 cm 3 /s Κάνοντας χρήση της Εξ. (1.38 βρίσκουµε W ( T ave = <.7 C Qρc p 1... Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Με την εισαγωγή των απλουστεύσεων, όπως προκύπτουν από την προσεγγιστική θεωρία λίπανσης (LAT, αρχίζουµε την µη- Νευτωνική ανάλυση µε την εξίσωση διατήρησης της ορµής dp d dτ = (1.39 d H διατµητική τάση τ δίνεται κατ αρχήν από τον εκθετικό νόµο n 1 d d τ = m (1.4 d d όπου m είναι ο δείκτης συνέπειας και n είναι ο εκθετικός δείκτης. Η απόλυτη τιµή τίθεται για την αποφυγή του προβλήµατος ύψωσης κλασµατικού αριθµού σε αρνητική δύναµη. Από τη Νευτωνική επίλυση αναµένουµε δύο περιοχές ροής, µία µε θετική βαθµίδα ταχύτητας και αρνητική βαθµίδα πίεσης ( λ < < λ και µία µε αντίθετες βαθµίδες ( < < λ. Ολοκλήρωση της Εξ. (1.39 γίνεται χωριστά σε κάθε περιοχή και δίνει
1-17 για < < λ, για λ < < λ, U U 1/ n q q 1 1 dp [ h ( ] = 1+ (1.41α q m d U 1/ n q q 1 1 dp [ h ( ] = 1 (1.41β q m d U όπου q = (n+1/n. Η ολοκλήρωση οποιασδήποτε από τις δύο παραπάνω εξισώσεις µάς δίνει την ογκοµετρική παροχή, και όπως µε τη Νευτωνική περίπτωση µπορεί να επιλύσει κανείς περαιτέρω για τη βαθµίδα της πίεσης. Τα αποτελέσµατα µπορούν να γραφούν ως dp' d' n 1 n n + 1 R ( λ ' λ ' = n+ 1 n H (1 + ' (1.4 και η σχέση αυτή ενσωµατώνει και τις δύο περιοχές: για < < λ, dp /d >, και για λ < < λ, dp /d <. Όπως και στη Νευτωνική περίπτωση, τα ακρότατα της κατανοµής της πίεσης συµβαίνουν στα σηµεία =, λ, +λ. Όλες οι αδιάστατες µεταβλητές έχουν ορισθεί όπως και προηγουµένως, εκτός από την πίεση που ορίζεται ως εξής n P H P' = (1.43 m U Περαιτέρω ολοκλήρωση της Εξ. (1.4 είναι δυνατή µε την εξής οριακή συνθήκη: P ( = =, και δίνει n + 1 P' = n n R H ' λ ' n 1 (1 + ' ( ' λ d' n+ 1 (1.44 Η ολοκλήρωση πρέπει να γίνει αριθµητικά. Είναι όµως υπολογιστικά πιο εύκολο να ολοκληρωθεί η Εξ. (1.4 από λ (όπου Ρ = µέχρι, µε το αποτέλεσµα λ n 1 λ ' ( λ n+ 1 (1 + ' ' n n + 1 R ' P ' = d' (1.45 n H
1-18 Η µέγιστη πίεση συµβαίνει στο = λ, άρα µπορούµε να γράψουµε P n λ n n + 1 R ( λ ' ' ma = n+ 1 n H (1 + ' λ d' (1.46 Η αδιάστατος παράµετρος λ της ογκοµετρικής παροχής µπορεί να βρεθεί από την Εξ. (1.45, αφού έχουµε υποθέσει ότι P ( = =. Εποµένως το λ βρίσκεται από τη σχέση λ n 1 λ ' ( λ = n+ 1 (1 + ' ' d' (1.47 Σηµειώνουµε ότι το σύµβολο λ αναφέρεται πάλι σε εκείνη την τιµή του λ που αντιστοιχεί στην οριακή συνθήκη εισόδου P ( = =. Η εξάρτηση του λ από τον εκθετικό δείκτη n δίνεται στο Σχήµα 1.9, όπου είναι προφανές ότι η µη-νευτωνική ψευδοπλαστική συµπεριφορά του πολυµερούς συνίσταται στο να αυξάνει το πάχος του παραγόµενου φύλλου. Σχήµα 1.9 Το πάχος του παραγόµενου από κυλίνδρωση φύλλου, δοσµένο ως λ ή Η/Η, σαν συνάρτηση του εκθετικού δείκτη n. από τη σχέση Όταν το λ (n είναι γνωστό, η µέγιστη πίεση µπορεί να βρεθεί n λ n P' ma n + 1 ( λ ' ( n = = n+ 1 R / H n (1 + ' λ P d' (1.48
1-19 Το Σχήµα 1.1 δίνει το P(n. Σχήµα 1.1 Οι συναρτήσεις P, F, και E [Εξ. (1.48,(1.49,(1.5] σα συνάρτηση του εκθετικού δείκτη n. Όπως και στη Νευτωνική περίπτωση έχουµε τις εξής σχέσεις για τις διάφορες χαρακτηριστικές παραµέτρους λειτουργίας: (α Η δύναµη διαχωρισµού των κυλίνδρων, που υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της πίεσης, δίνεται από F W = P( d = m U H n RF ( n (1.49 Το Σχήµα 1.1 δίνει το F(n. (β η ισχύς που απαιτείται για την περιστροφή των δύο κυλίνδρων W U R WU d WU m E ( n = h( H = τ = (1.5 H Το Σχήµα 1.1 δίνει το E(n. n 1
1- Στο σηµείο αυτό µπορούν να γίνουν ορισµένες παρατηρήσεις για το πάχος του εξερχόµενου φύλλου και την εξάρτησή του από τις συνθήκες λειτουργίας. Σύµφωνα µε το µοντέλο ανάλυσης που παρουσιάστηκε στα προηγούµενα, το πάχος εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία του συστήµατος. Αυτό συνάγεται από την παραδοχή ότι ρυθµίζεται το Η και είναι δεδοµένο. Σε ορισµένα συστήµατα κυλίνδρωσης ρυθµίζεται ο διαχωρισµός των κυλίνδρων µε τη «φόρτισή» τους, δηλ. εφαρµόζοντας µια σταθερή δύναµη στους κυλίνδρους. Στην περίπτωση αυτή το άνοιγµα καθορίζεται από την αντίδραση των δυνάµεων που αναπτύσσονται από το υλικό που υφίσταται την κυλίνδρωση για να ισορροπήσουν την εφαρµοζόµενη δύναµη φόρτισης των κυλίνδρων. Αν το υλικό υπακούει τον εκθετικό νόµο, το άνοιγµα Η βρίσκεται από την Εξ. (1.49, δηλ. H mrf ( n = U F / W 1/ n (1.51 Για τη λειτουργία του συστήµατος, η περίπτωση φόρτισης των κυλίνδρων απαιτεί περισσότερη ρύθµιση από την περίπτωση σταθερής γεωµετρίας. Όπως φαίνεται από την Εξ. (1.51, το άνοιγµα Η, και εποµένως και το πάχος του παραγόµενου φύλλου Η, εξαρτάται από την ταχύτητα έλασης U και τις ρεολογικές παραµέτρους m και n. ιακυµάνσεις στο U θα παράγουν διακυµάνσεις στο Η σε γραµµική αναλογία. Αφού n < 1, διακυµάνσεις στο m, που οφείλονται, π.χ., σε διακυµάνσεις της θερµοκρασίας, θα προκαλέσουν µη-γραµµικές µεταβολές στο Η. Εποµένως, είναι πιο δύσκολο να ρυθµιστεί το πάχος του παραγόµενου φύλλου στην περίπτωση αυτή. Μπορούµε να αναπτύξουµε ένα απλό µοντέλο για την ευαισθησία του πάχους κυλίνδρωσης σε θερµοκρασιακές
1-1 διακυµάνσεις. Θεωρούµε ότι η εξάρτηση του m από τη θερµοκρασία δίνεται ως συνήθως από τον εκθετικό νόµο [ ( T ] m = m ep β T (1.5 όπου m είναι ο συντελεστής συνέπειας σε θερµοκρασία αναφοράς Τ, και β είναι ο συντελεστής µετατόπισης της θερµοκρασίας. Γράφουµε την Εξ. (1.51 ως H 1/ n β = Am = H ep ( T n T (1.53 όπου H είναι το (µισό άνοιγµα σε θερµοκρασία Τ. Τότε η ευαισθησία του Η ως προς Τ βρίσκεται παίρνοντας την παράγωγο ή dh dt β = H n dh βdt = (1.54 H n Για µικρές µεταβολές µπορούµε να γράψουµε την Εξ. (1.54 ως H β T = (1.55 H n Παράδειγµα 1. Τυπικό πολυµερές έχει β=.5 C -1 και n=1/3, και υφίσταται θερµοκρασιακές διακυµάνσεις της τάξης του Τ=±3 C. Ποιά είναι η ποσοστιαία µεταβολή στο παραγόµενο φύλλο του πολυµερούς από κυλίνδρωση; Επίλυση: Η ποσοστιαία µεταβολή του Η (η οποία θα είναι η ίδια µε την ποσοστιαία µεταβολή του πάχους του παραγόµενου φύλλου είναι H H β T n.5( ± 3 = = 1/3 = ±.5 ή.5%
1- Εποµένως, διακυµάνσεις της τάξης των 3 C θα προκαλέσουν διακυµάνσεις µεγαλύτερες του % στο πάχος του παραγόµενου φύλλου! 1..3. Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου για Φύλλο εδοµένου Πάχους Στην προηγούµενη ανάλυση µε το µοντέλο εκθετικού νόµου έχει γίνει η παραδοχή ότι το σύστηµα κυλίνδρωσης τροφοδοτείτο µε ρευστό σε άπειρη απόσταση πριν από τη διέλευση του φύλλου από το άνοιγµα των δύο κυλίνδρων (δηλ. από λουτρό τήγµατος. Στην πραγµατικότητα οι κύλινδροι τροφοδοτούνται από πολυµερικό φύλλο δεδοµένου πάχους, το οποίο ακολούθως συµπιέζεται και λεπταίνει από την κυλίνδρωση, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.11. Στην περίπτωση αυτή µια νέα οριακή συνθήκη χρειάζεται, δηλ. στο = f, P = (1.56 λ H f Η f Σχήµα 1.11 Σχηµατική παράσταση της περίπτωσης κυλίνδρωσης φύλλου δεδοµένου πάχους. και η Εξ. (1.44 αντικαθίσταται από
1-3 n + 1 P' = n n R H ' ' f λ ' n 1 (1 + ' ( ' λ d' n+ 1 (1.57 και η Εξ. (1.47 από ' f n 1 λ λ ' ( λ ' = d' (1.58 n+ 1 (1 + ' Το πάχος του εισαγόµενου φύλλου Η f µπαίνει στην ανάλυση από τον ορισµό 1/ H f ' 1 f = (1.59 H Η Εξ. (1.58 µπορεί να επιλυθεί για το λ σαν συνάρτηση του n και του H f /H, και τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα 1.1. Μπορούµε να κάνουµε διάφορες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. Κατ αρχήν παρατηρούµε ότι το παραγόµενο πάχος µειώνεται για όλες τις τιµές του n, σε σχέση µε την περίπτωση του λουτρού τήγµατος. Ενώ όµως ο λόγος Η f /Η = αποτελεί αρκετά µεγάλη τιµή ώστε το λ να είναι πρακτικά ίσο µε το λ για το Νευτωνικό ρευστό, Σχήµα 1.1 Το πάχος του παραγόµενου από κυλίνδρωση φύλλου, δοσµένο ως λ, σαν συνάρτηση του λόγου Η f /Η για διάφορες τιµές του εκθετικού δείκτη n, για φύλλα µε δεδοµένο πάχος εισόδου.
1-4 για έντονα µη-νευτωνικό ρευστό µε n=.5, χρειάζεται πολύ µεγαλύτερος λόγος, π.χ. Η f /Η =, για να επιτευχθεί το ίδιο λ. Μια πιο ενδιαφέρουσα παρατήρηση που προκύπτει από την ανάλυση αυτή είναι ότι για φύλλα µε δεδοµένο πάχος εισόδου δεν είναι πλέον σωστό το συµπέρασµα ότι η επίδραση της µη-νευτωνικότητας είναι να αυξάνει το πάχος του παραγόµενου φύλλου, χωρίς να δοθούν περαιτέρω εξηγήσεις (και παράµετροι. Γενικά, είναι προφανές ότι σχετικά µε το πάχος του παραγόµενου φύλλου δεν υπάρχουν µεγάλες µεταβολές στο λ µε µεταβολές στο n ή µε λογικές µεταβολές στο Η f /Η. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι θέτουµε Η/Η = 1.5 για συγκεκριµένες συνθήκες λειτουργίας, και να είµαστε σωστοί µε µικρό ποσοστό λάθους. Αν όµως µιλάµε για κυλίνδρωση υψηλής ακρίβειας, αυτό το µικρό ποσοστό λάθους µπορεί να είναι αρκετά σηµαντικό στη διεργασία. Είναι επίσης σηµαντικό να γίνει αντιληπτό ότι τα προηγούµενα σχόλια αφορούν διεργασίες µε ρύθµιση του ανοίγµατος Η, και αναφέρονται στο λ. Αν το σύστηµα λειτουργεί µε ρύθµιση της φόρτισης F/W, όπως αναφέρθηκε στο τέλος της προηγούµενης παραγράφου, τότε το Η µπορεί να υπόκειται σε µεγάλες διακυµάνσεις αν αλλάζουν οι συνθήκες λειτουργίας. Αν και µπορούµε να πούµε εκ των προτέρων ότι Η/Η = 1.5±.3, η πραγµατική τιµή του παραγόµενου πάχους θα µεταβάλλεται µε τις διακυµάνσεις του Η, που όντως µπορούν να είναι σηµαντικές. 1..4. Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου µε Ολίσθηση στα Τοιχώµατα
1-5 Πειραµατικές µελέτες της διεργασίας κυλίνδρωσης έχουν δείξει ότι συµβαίνει ολίσθηση στα τοιχώµατα των κυλίνδρων έλασης, ιδίως όταν ελάσσεται το PVC [CHA 79]. Την αντίστοιχη ανάλυση για ισοθερµοκρασιακή κυλίνδρωση µε το µοντέλο εκθετικού νόµου και ολίσθηση στα τοιχώµατα έχουν κάνει οι Vlachopolos και Hrmak [VLA 8]. Βασισµένοι σε µετρήσεις των Chafforea et al. [CHA 79], η ταχύτητα ολίσθησης υπακούει τον εξής εκθετικό νόµο 1 α = U τ s + (1.6 β w όπου τ w είναι η διατµητική τάση στο τοίχωµα, και U, β και α είναι πειραµατικές σταθερές. Η ανάλυση αρχίζει όπως και πριν µε την απλοποιηµένη εξίσωση διατήρησης της ορµής (Εξ. 1.39 και τον εκθετικό νόµο (Εξ. 1.4. Η µόνη διαφορά είναι στην εφαρµογή της οριακής συνθήκης στο τοίχωµα, η οποία στην περίπτωση αυτή γράφεται ως στο 1 α = h( s = U U τ w (1.61 β Με την ολοκλήρωση της εξίσωσης ορµής και την εφαρµογή των δύο οριακών συνθηκών (η άλλη είναι η συνθήκη συµµετρίας στο =, d/d=, λαµβάνεται η εξής σχέση για την περιοχή όπου η βαθµίδα της πίεσης είναι θετική n 1 dp = n + 1 m d 1/ n α ( n+ 1 / n ( n+ 1 / n 1 dp α [ h( ] + U U h( β d (1.6α και η εξής σχέση για την περιοχή όπου η βαθµίδα της πίεσης είναι αρνητική
1-6 n 1 dp = n + 1 m d 1/ n α ( n+ 1 / n ( n 1 / n 1 dp α [ + h( ] + U U h( β d (1.6β Οποιαδήποτε από τις παραπάνω σχέσεις µπορεί να ολοκληρωθεί για να δώσει την ογκοµετρική παροχή Q α 1/ n Q 1 dp α n 1 dp ( n+ 1 / n = U U h( h( h( β d n + 1 m d (1.63 Εισάγοντας τις απαραίτητες αδιάστατες µεταβλητές, έχουµε στην παρούσα περίπτωση ' = (1.64 RH Q λ = 1 (1.65 ( U U H και από γεωµετρικές σχέσεις h ( = H (1 + ' (1.66 Μετά από τροποποιήσεις και στις δύο πλευρές της Εξ. (1.63 λαµβάνουµε dp dp B d' d' α 1 dp + C d' (1 n / n A = (1.67 όπου U U A = ( ' λ (1.68 (1 + ' 1 α α / H (1 + ' ( α B = RH (1.69 β
1-7 C 1/ n n 1 1/ n ( n+ 1 / n ( n+ 1 / n = (RH H (1 + ' (1.7 n + 1 m Η Εξ. (1.67 επιλύεται µόνο αριθµητικά, χρησιµοποιώντας µια τεχνική τροποποιηµένης γραµµικής παρεµβολής που δίνει τη βαθµίδα πίεσης dp/d για ένα µεγάλο εύρος θέσεων. Η κατανοµή πίεσης υπολογίζεται ακολούθως µε την εισαγωγή των τιµών της βαθµίδας πίεσης στην αριθµητική µέθοδο επίλυσης απλών διαφορικών εξισώσεων Rnge-Ktta 4ης τάξης, αρχίζοντας από το = λ και Ρ=. 1..5. Μη-Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Για τη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση υποθέτουµε αµελητέα αξονική θερµική αγωγή αλλά µη-αµελητέα κάθετη στη ροή θερµική αγωγή, µη-αµελητέα αξονική θερµική συναγωγή και ενέργεια λόγω ιξώδους τριβής (παρουσία τοιχωµάτων. Η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας για τη θερµοκρασία απλοποιείται στην εξής µορφή T T c p = k ρ + τ (1.71 όπου c P είναι η ειδική θερµική χωρητικότητα του πολυµερούς και k είναι η θερµική του αγωγιµότητα. Οι οριακές συνθήκες για την εξίσωση της ενέργειας είναι (θεωρώντας συµµετρία στο σύστηµα T = Tw στο = h( (1.7α T = στο = (1.7β T = Tm στο = (1.7γ
1-8 όπου Τ w είναι η θερµοκρασία της επιφάνειας των κυλίνδρων και Τ m η θερµοκρασία του λουτρού πολυµερικού τήγµατος ή του πολυµερικού φύλλου στην είσοδο της διεργασίας κυλίνδρωσης. Η πυκνότητα, η θερµική χωρητικότητα, και η θερµική αγωγιµότητα είναι συνήθως συναρτήσεις της θερµοκρασίας για τα πολυµερή. Για το άκαµπτο ή πλαστικοποιηµένο PVC δίνονται σα γραφικές παραστάσεις της θερµοκρασίας [CHA 79]. Το ιξώδες µ σε θερµοκρασία Τ είναι µια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση της θερµοκρασίας και δίνεται από σχέση όπως η Εξ. (1.5. Στην περίπτωση του εκθετικού νόµου, αντί για το ιξώδες µ θέτουµε το δείκτη συνέπειας m. Στην περίπτωση του άκαµπτου PVC, υπάρχει ιδιαιτερότητα όσον αφορά την εξάρτηση τόσο του m όσο και του εκθετικού δείκτη n από τη θερµοκρασία, και δίνονται σα γραφικές παραστάσεις της θερµοκρασίας, όπως και οι θερµικές ιδιότητες [CHA 79]. Ο Πίνακας 1.1 δίνει τυπικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων για άκαµπτο πολυβινυλοχλωρίδιο (rigid PVC που χρησιµοποιείται ειδικά στην κυλίνδρωση πολυµερικών φύλλων για χρήση στα παράθυρα των µέσων συγκοινωνίας (λεωφορεία, τρένα, κλπ. [CHA 79] [VLA 8]. Πίνακας 1.1 Τιµές των παραµέτρων για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις για άκαµπτο πολυβινυλοχλωρίδιο (rigid PVC [CHA 79], [VLA 8]. Ιδιότητα (Μονάδες Τιµή Τιµές των παραµέτρων του εκθετικού νόµου
1-9 ρ (g cm -3 σε 97 C, P=.98 MPa ρ (g cm -3 σε 97 C, P=3.33 MPa ρ (g cm -3 σε 97 C, P=6.664 MPa c p (J g -1 C -1 σε 15 C c p (J g -1 C -1 σε 175 C c p (J g -1 C -1 σε C k (J cm -1 s -1 C -1 σε 157 C k (J cm -1 s -1 C -1 σε 159 C k (J cm -1 s -1 C -1 σε 183 C 1.358 1.361 1.363 1.84 1.88 1.8.176.163.138 Σε 16.456 C, τ =.781 γ MPa Σε 17.39 C, τ =.56 γ MPa Σε 18.3 C, τ =.56 γ MPa Σε 19.41 C, τ =.8 γ MPa Σε.479 C, τ =.138 γ MPa Σε 1.583 C, τ =.59 γ MPa Ταχύτητα ολίσθησης: s =18.1τ.8 w cm/s Η γενική περίπτωση του µη-ισοθερµοκρασιακού µοντέλου εκθετικού νόµου δεν έχει αναλυτική λύση, και έτσι είναι απαραίτητη η αριθµητική επίλυση του προβλήµατος. Αυτό γίνεται µε το λογισµικό πρόγραµµα CAL-LAT [MIT 88]. Η επίλυση έχει δώσει ένα πολύ ενδιαφέρον πεδίο θερµοκρασιών, κυρίως λόγω της ενέργειας ιξώδους τριβής, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.13 [TOR 74]. Επίσης φαίνεται ότι είναι δυνατή η αύξηση της θερµοκρασίας κατά αρκετούς βαθµούς λόγω ακριβώς της ενέργειας ιξώδους τριβής, αυτή δε η αύξηση µπορεί να έχει επιζήµια επίδραση σε υλικά που είναι θερµικά ευαίσθητα, όπως το PVC.
1-3 Σχήµα 1.13 Σχηµατική παράσταση της κατανοµής του θερµοκρασιακού πεδίου λόγω της ενέργειας ιξώδους τριβής στη διεργασία κυλίνδρωσης [ΤΟR 74]. 1..6. Γενική Θεώρηση ιδιάστατου Μοντέλου για Κυλίνδρωση Φύλλων Σε ό,τι ακολουθεί παρουσιάζουµε ένα γενικό διδιάστατο µοντέλο για την κυλίνδρωση πολυµερικών φύλλων βασισµένο στην ανάλυση των Mitsolis et al. [MIT 85] [VLA 88]. Η ανάγκη για πλήρη διδιάστατη ανάλυση προκύπτει από την αδυναµία της προσεγγιστικής θεωρίας λίπανσης να περιγράψει ροή σε γεωµετρίες µε µεγάλες γωνίες και για περιπτώσεις όπου δηµιουργούνται στρόβιλοι, όπως αποδείχθηκε ότι συµβαίνει στο πολυµερικό λουτρό τήγµατος στην είσοδο της διεργασίας. Το πεδίο ροής δίνεται στο Σχήµα 1.14, και γίνεται χρήση καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων (,,z µε σηµείο αναφοράς το κέντρο συµµετρίας στο µέσο του ελάχιστου ανοίγµατος Η. Σχήµα 1.14 Σχηµατική παράσταση για τη διδιάστατη ανάλυση της διεργασίας κυλίνδρωσης. (α Εξισώσεις ιατήρησης και Ρεολογικές Καταστατικές
1-31 Οι γενικές εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας γράφονται αντιστοίχα ως = + (1.73 p + + = + τ τ ρ (1.74 p + + = + τ τ ρ (1.75 + = + T T k T T c p ρ + + + + τ τ τ (1.76 Για το Νευτωνικό ρευστό η ρεολογική καταστατική εξίσωση δίνει = µ τ, = µ τ, + = µ τ (1.77 Για το γενικευµένο Νευτωνικό ρευστό, το ιξώδες µ αντικαθίσταται από το φαινοµενικό ιξώδες η, που είναι συνάρτηση του µέτρου του τανυστή ρυθµών παραµόρφωσης γ. Για το µοντέλο εκθετικού νόµου αυτό δίνεται από τη σχέση ( 1 1 1 1 ( + + = = = n n m I m γ γ γ γ η η (1.78 όπου Ι είναι η δεύτερη αναλλοίωτη του τανυστή ρυθµών παραµόρφωσης γ µε στοιχεία + = = = γ γ γ,, (1.79 (β Αδιάστατοι Αριθµοί Πριν προχωρήσουµε µε τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουµε τους αδιάστατους
1-3 αριθµούς στη διεργασία, οι οποίοι πάντοτε πρέπει να υπολογίζονται εξ αρχής για να έχουµε µια γενική εικόνα για τη σχετική σπουδαιότητα των διαφόρων µεγεθών στο υπόψη πρόβληµα. Οι αδιάστατοι αριθµοί υπολογίζονται σε θερµοκρασία αναφοράς, που εδώ λαµβάνεται ως η θερµοκρασία εισόδου του τήγµατος Τ m. Σαν χαρακτηριστικό µήκος θεωρείται το ελάχιστο άνοιγµα µεταξύ κυλίνδρων Η (θα µπορούσε να θεωρηθεί και το πάχος του παραγόµενου φύλλου Η, που συνήθως είναι περί τα 1.5Η. Σαν χαρακτηριστική ταχύτητα θεωρείται η ταχύτητα έλασης U. Ο χαρακτηριστικός ρυθµός διάτµησης δίνεται από U γ = (1.8 H και το χαρακτηριστικό ιξώδες από η = η γ, T (1.81 ( m Για πολυµερές που υπακούει τον εκθετικό νόµο, U n 1 n 1 η = m( T m γ = m( Tm H (1.8 Με τις παραπάνω χαρακτηριστικές τιµές είναι τώρα δυνατός ο ορισµός των ακόλουθων αδιάστατων αριθµών. 1. Η σχετική σπουδαιότητα των δυνάµεων αδράνειας στην εξίσωση ορµής εκτιµάται από τον αριθµό Renolds ρ UH Re = (1.83 η T m Γενικά στις διεργασίες µορφοποίησης πολυµερών, Re << 1, και ισχύει η προσέγγιση έρπουσας ροής (Re =. Εποµένως, οι όροι αδράνειας στην εξίσωση διατήρησης της ορµής (Εξ. 1.74, 1.75 δεν λαµβάνονται υπόψη στους υπολογισµούς.
1-33 Η σχετική σπουδαιότητα του κάθε όρου στην εξίσωση διατήρησης της ενέργειας (Εξ. 1.76 εκτιµάται από τους ακόλουθους αδιάστατους αριθµούς.. Ο αριθµός Peclet ρc puh Pe = (1.84 k T m αποτελεί µέτρο σύγκρισης της µεταφοράς θερµότητας µε συναγωγής σχετικά µε τη µεταφορά θερµότητας µε διάχυση. Υψηλές τιµές του αριθµού Ρe σηµαίνουν ροή που διέπεται από συναγωγή. Η παρούσα διεργασία δίνει τιµές του αριθµού Ρe µεταξύ 1 και 1. 3. Ένας άλλος αδιάστατος αριθµός που σχετίζεται µε τον αριθµό Ρe, είναι ο αριθµός Graetz Gz c UH p H = ρ = (1.85 kl Tm Pe L Tm όπου L είναι το µήκος της επαφής φύλλου µε τους κυλίνδρους έλασης. Ο αριθµός Gz αντιστοιχεί στο λόγο του χρόνου που απαιτείται για διάχυση της θερµότητας από το κέντρο του αγωγού προς τα τοιχώµατα, προς το µέσο χρόνο παραµονής στον αγωγό. Όπως και µε τον αριθµό Ρe, υψηλές τιµές του αριθµού Gz σηµαίνουν ότι συναγωγή θερµότητας στην αξονική κατεύθυνση είναι πιο σηµαντική από διάχυση θερµότητας προς τα τοιχώµατα. 4. Ο αριθµός Nahme βη U Na = (1.86 k T m αποτελεί µέτρο σύγκρισης της ενέργειας ιξώδους τριβής µε τη διάχυση της θερµότητας. Εποµένως αποτελεί δείκτη της σύζευξης των εξισώσεων διατήρησης ορµής και ενέργειας µέσω των τάσεων. Για
1-34 τιµές Να µεγαλύτερες από.1 -.5 (εξαρτάται από τη γεωµετρία και τις θερµικές οριακές συνθήκες, η ενέργεια ιξώδους τριβής οδηγεί σε σηµαντική σύζευξη των εξισώσεων διατήρησης, καθιστώντας την µηισοθερµοκρασιακή ανάλυση απαραίτητη. 5. Η σχετική σπουδαιότητα του τρόπου µεταφοράς θερµότητας στα τοιχώµατα εκφράζεται από τον αδιάστατο αριθµό Biot T h( b Bi = T T s b (1.87 όπου h( είναι το τοπικό άνοιγµα µεταξύ κυλίνδρων, T s είναι η θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου, και T b είναι η τοπική θερµοκρασία του τοιχώµατος του κυλίνδρου. Γενικά ισχύει ότι για υψηλές τιµές του Bi (Bi > 1, έχουµε ισοθερµοκρασιακές συνθήκες (Bi, ενώ για χαµηλές τιµές του Bi (Bi < 1, έχουµε αδιαβατικές συνθήκες (Bi. Για τη διεργασία της κυλίνδρωσης και λόγω της καλής ρύθµισης της θερµοκρασίας τους, θεωρούµε ότι ισχύουν ισοθερµοκρασιακές συνθήκες (T s = T b. (γ Οριακές Συνθήκες Οι παραπάνω εξισώσεις χρειάζονται για την επίλυσή τους ένα σύνολο οριακών συνθηκών, οι οποίες γράφονται ως εξής: 1. στις κινούµενες επιφάνειες των κυλίνδρων, επιβάλλεται η γραµµική ταχύτητα έλασης, δηλ., =Ucosθ, =Usinθ.. Στην είσοδο του εισερχόµενου προς κυλίνδρωση φύλλου, το προφίλ της ταχύτητας είναι γραµµικό, και είναι, n =, t =U(n. 3. Στην ελεύθερη επιφάνεια, επιβάλλεται µηδενική κάθετη ταχύτητα, δηλ. n=.
1-35 4. Για τη θερµοκρασία, θεωρείται γνωστή η θερµοκρασία στις επιφάνειες των κυλίνδρων, Τ l, στον κάτω κύλινδρο, Τ, στον πάνω κύλινδρο, ενώ στην είσοδο γνωρίζουµε τη θερµοκρασία του εισερχόµενου πολυµερικού τήγµατος, Τ m. 1.3. ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων που διέπουν τη διεργασία έχουν γίνει: (α για το µονοδιάστατο προσεγγιστικό µοντέλο LAT µε την αριθµητική µέθοδο Newton-Raphson για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, και (β για το διδιάστατο γενικό µοντέλο µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM, που είναι πιο γενική και ισχύει και για συνήθεις και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Η επίλυση µε τη FEM είναι αρκετά περίπλοκη για τις πλήρεις διδιάστατες εξισώσεις διατήρησης, και δεν δίνεται εδώ (βλ. [ΜΙΤ 83]. Γενικά αναφέρεται όµως, ότι η διεργασία κυλίνδρωσης, σαν διεργασία που διέπεται από διατµητική ροή (παρουσία τοιχωµάτων, είναι υπολογιστικά πιο εύκολη από τις προηγούµενες περιπτώσεις που διέπονται από εφελκυστική ροή (έλλειψη τοιχωµάτων, παρουσία ελευθέρων επιφανειών. Οι άγνωστοι του προβλήµατος µε το µοντέλο LΑΤ είναι η αξονική ταχύτητα, η κλίση της πίεσης dp/dz, και η θερµοκρασία T, κατά µήκος του πεδίου ροής. Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε λογισµικό κώδικα (CAL-LAT, γραµµένο ειδικά για προσοµοιώσεις της διεργασίας κυλίνδρωσης [MIT 88]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη-νευτωνικά ψευδοπλαστικά (καθαρώς ιξώδη ρευστά που διέπονται από διάφορες κατηγορίες µοντέλων. Για µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις, το ιξώδες διορθώνεται τοπικά σύµφωνα µε την Eξ. (1.5 και γίνεται επίλυση της εξίσωσης διατήρησης της ενέργειας (Εξ. 1.71 µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών.
1-36 Αντίθετα, µε το διδιάστατο µοντέλο οι άγνωστοι του προβλήµατος είναι οι δύο ταχύτητες,, η πίεση Ρ, και η θερµοκρασία Τ (διατύπωση -v-p-t. Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης FEM γίνεται µε λογισµικό κώδικα (MACVIP, γραµµένο για γενικές προσοµοιώσεις διεργασιών µορφοποίησης πολυµερών και σύνθετων υλικών [MIT 83]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη-νευτωνικά ψευδοπλαστικά (καθαρώς ιξώδη, ιξωδοπλαστικά και ιξωδοελαστικά ρευστά που διέπονται από διάφορες κατηγορίες µοντέλων. 1.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ 1.4.1. Μη-Ισοθερµοκρασιακή Κυλίνδρωση µε το Μοντέλο Εκθετικού Νόµου Αρχίζουµε µε την ανάλυση σε τυπική µονάδα κυλίνδρωσης µε τις συνθήκες λειτουργίας όπως δίνονται στον Πίνακα 1.. Θεωρούµε ότι το υλικό υπακούει τον εκθετικό νόµο (Εξ. 1.78. Σχήµα 1.15 Σύγκριση της κατανοµής θερµοκρασίας µεταξύ της προσεγγιστικής µονοδιάστατης και διδιάστατης ανάλυσης για κυλίνδρωση πρότυπου συστήµατος πολυµερικών φύλλων [ΜΙΤ 85].
1-37 Η επίλυση για την πίεση είναι η ίδια όπως προκύπτει από την προσεγγιστική θεωρία λίπανσης. Η θερµοκρασία όµως δίνεται στο Σχήµα 1.15, και δείχνει αρκετές διαφορές µεταξύ της µονοδιάστατης και διδιάστατης ανάλυσης. Οι διαφορές προέρχονται από την παρουσία στη διδιάστατη ανάλυση του όρου συναγωγής T / καθώς και των άλλων όρων που παρελήφθησαν στην προσεγγιστική θεωρία λίπανσης, και οι οποίοι δίνουν υψηλότερες τιµές στη θερµοκρασία τόσο στη γραµµή συµµετρίας όσο και στα µέγιστα του πεδίου ροής. Μια τριδιάστατη εικόνα της ανάπτυξης της θερµοκρασίας στο πολύπλοκο αυτό πεδίο δίνεται στο Σχήµα 1.16, όπου φαίνονται οι κοιλάδες και τα όρη της θερµοκρασίας κοντά στα τοιχώµατα και προς την έξοδο της διεργασίας. Πίνακας 1. Συνθήκες λειτουργίας γραµµής κυλίνδρωσης και δεδοµένα ιδιοτήτων για τυπικό πολυµερικό τήγµα [MIT 84]. Μέγεθος/Ιδιότητα (Μονάδες Τιµή Ακτίνα κυλίνδρων, R (cm 1 Ελάχιστο άνοιγµα κυλίνδρων, Η (cm.1 Ταχύτητα έλασης, U (cm/s 4 Θερµοκρασία λειτουργίας, T ( C 18 Πυκνότητα, ρ (g cm -3 1 Θερµική χωρητικότητα, c P (J g -1 K -1.1 Θερµική αγωγιµότητα, k (J cm -1 s -1 K -1.17
1-38 Σχήµα 1.16 Τρισδιάστατη παράσταση ανάπτυξης της θερµοκρασίας λόγω ενέργειας ιξώδους τριβής και συναγωγής στην κυλίνδρωση Νευτωνικών ρευστών [ΜΙΤ 85]. Οι Mitsolis et al. [MIΤ 85], έχουν αναπτύξει µέθοδο εύρεσης της ελεύθερης επιφάνειας του λουτρού πολυµερικού τήγµατος που ευρίσκεται στην είσοδο της διεργασίας. Η µέθοδος αρχίζει µε την παραδοχή µορφής ελεύθερης επιφάνειας, που να µοιάζει µε τυπικές φωτογραφίες από τη διεργασία. Κατόπιν και επαναληπτικά, η ελεύθερη επιφάνεια βελτιώνεται µε την κατασκευή ροϊκών γραµµών, που έχουν την ιδιότητα να µην επιτρέπουν ροή κάθετη στην επιφάνεια ( n=. Στο Σχήµα 1.17 φαίνονται οι ροϊκές γραµµές για Νευτωνικό ρευστό, όπου διαπιστώνεται η ύπαρξη τεράστιων σχεδόν συµµετρικών στροβίλων στο λουτρό του ρευστού προτού περάσει από το ελάχιστο άνοιγµα των κυλίνδρων. Η συνολική συµµετρία στο πεδίο ροής έχει ελαφρώς διαταραχτεί λόγω της τροφοδοσίας του φύλλου από τον κάτω κύλινδρο στο σύστηµα. Σχήµα 1.17 Τυπική εικόνα ροϊκών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία κυλίνδρωσης Νευτωνικών ρευστών [ΜΙΤ 85].
1-39 1.4.3. Μη-Ισοθερµοκρασιακή ιδιάστατη Ανάλυση για την Κυλίνδρωση µε το Γενικευµένο Νευτωνικό Μοντέλο - Σύγκριση µε Πειράµατα Σύγκριση των πλήρως διδιάστατων µη-ισοθερµοκρασιακών αριθµητικών προσοµοιώσεων κάνοντας χρήση του γενικευµένου ιξώδους µοντέλου εκθετικού νόµου (Εξ. 1.78 µε τα πειράµατα του Agassant [AGA 8] (βλ. δεδοµένα στον Πίνακα 1.1 και 1.3 παρουσιάζεται στο Σχήµα 1.18. Σηµειωτέον ότι για τις ταχύτητες έλασης που είναι γύρω στα 7.4 cm/s, οι χαρακτηριστικοί ρυθµοί διάτµησης είναι 17, και οι αδιάστατοι αριθµοί είναι ως εξής: Re=., Pe=41, Gz=67, Na=7.7, H /R=.4. Σχήµα 1.18 Σύγκριση προσοµοιώσεων [ΜΙΤ 85] από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση και το γενικευµένο ιξώδες µοντέλο εκθετικού νόµου (Εξ. 1.78 µε πειράµατα [AGA 8] για τη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC. Φαίνεται ότι λαµβάνεται καλή συµφωνία µεταξύ θεωρίας και πειραµατικών δεδοµένων. Η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση δίνει τα καλύτερα αποτελέσµατα όταν λαµβάνονται υπόψη οι θερµοκρασίες των τοιχωµάτων και του εισερχόµενου φύλλου. Η πλήρης ανάλυση
1-4 έχει τη δυνατότητα να δώσει λεπτοµερή αποτελέσµατα (όπως άλλωστε αναµένεται για όλες τις µεταβλητές του πεδίου ροής και θερµοκρασίας. Π.χ. στο Σχήµα 1.19 φαίνονται οι ροϊκές γραµµές, όπου διαπιστώνεται η παρουσίας δύο στροβίλων στο λουτρό του πολυµερικού τήγµατος σε συµφωνία µε τα πειράµατα. Πίνακας 1.3 Πρόσθετα δεδοµένα για τις προσοµοιώσεις κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [MIT 85]. Μέγεθος (Μονάδες Μαζική παροχή, m (kg hr -1 Πάχος εξερχόµενου φύλλου, H (cm Πλάτος εισερχόµενου φύλλου, W en (cm Πλάτος εξερχόµενου φύλλου, W e (cm ιάµετρος πολυµερικού λουτρού, d m (cm Θερµοκρασία εισερχόµενου φύλλου, T m ( C Θερµοκρασία κάτω κυλίνδρου, T 3 ( C Θερµοκρασία πάνω κυλίνδρου, T 4 ( C Ταχύτητα κάτω κυλίνδρου, U 3 (cm s -1 Ταχύτητα πάνω κυλίνδρου, U 4 (cm s -1 Ελάχιστο άνοιγµα κυλίνδρων, Η (cm Ακτίνα κυλίνδρων, R (cm Πλάτος κυλίνδρων, W (cm Τιµή 1..74.5 37. 1.5 17 163 183 7.366 7.383.6 1.5 45.
1-41 Σχήµα 1.19 Εικόνα ροϊκών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [ΜΙΤ 85]. Το Σχήµα 1. δίνει τo θερµοκρασιακό πεδίο, όπου φαίνεται ότι η υψηλότερη θερµοκρασία των 184 C βρίσκεται µέσα στο κέντρο του στροβίλου και είναι µέσα στα όρια της κρίσιµης θερµοκρασίας του PVC που δεν πρέπει να ξεπερνά τους 19 C για αποφυγή θερµικής αποικοδόµησης. Είναι εντυπωσιακό να δεί κανείς τι συµβαίνει όταν αντιστρέψουµε τις θερµοκρασίες των κυλίνδρων. Τόσο το πεδίο ροής όσο και το πεδίο θερµοκρασίας αλλάζουν κατά πολύ, όπως φαίνεται στα Σχήµατα 1.1 και 1. αντίστοιχα. Φαίνεται ότι ο στρόβιλος στην είσοδο µειώνεται σε µέγεθος και ένταση, ενώ ο µεγάλος στρόβιλος του λουτρού αυξάνεται κατά πολύ και σε µέγεθος και σε ένταση. Αυτές οι µεταβολές οφείλονται κατά κύριο λόγο στις αλλαγές του ιξώδους µε τη θερµοκρασία (εκθετική εξάρτηση. Τα αποτελέσµατα αυτά καθιστούν προφανές ότι οι θερµοκρασίες των κυλίνδρων παίζουν σηµαντικό ρόλο στον καθορισµό της ανάπτυξης στροβίλων στο λουτρό του τήγµατος προς κυλίνδρωση. Σχήµα 1. Εικόνα ισοθερµοκρασιακών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [ΜΙΤ 85].
1-4 Σχήµα 1.1 Εικόνα ροϊκών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση µε αντιστροφή των θερµοκρασίων στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [ΜΙΤ 85]. Σχήµα 1. Εικόνα ισοθερµοκρασιακών γραµµών όπως προκύπτουν από την πλήρως διδιάστατη µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση µε αντιστροφή των θερµοκρασίων στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [ΜΙΤ 85]. 1.5. ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙ ΡΑΣΗ Ελάχιστες προσπάθειες έχουν γίνει για την ανάλυση της διεργασίας µε ιξωδοελαστικά µοντέλα, και τον ακριβή καθορισµό της επίδρασης της ιξωδοελαστικότητας στο πάχος του ελασσόµενου
1-43 πολυµερικού φύλλου. Μολονότι διάφοροι ερευνητές έχουν αναφερθεί στην σπουδαιότητα του αδιάστατου ιξωδοελαστικού αριθµού Weissenberg (Ws ή Deborah (De, τα αποτελέσµατα είναι µάλλον ασαφή. Η ανάλυση που έχει γίνει από τους Mitsolis et al. [MIT 85] µε το ιξωδοελαστικό µοντέλο Criminale-Ericksen-Filbe (CEF έδειξαν ότι η πίεση ελάχιστα επηρεάζεται από την ιξωδοελαστικότητα για χαµηλές σχετικά τιµές του αριθµού De (De 1. Για µεγαλύτερες τιµές δεν ήταν δυνατή η σύγκλιση του αριθµητικού σχήµατος, και εποµένως δεν µπορεί κανείς να εκφέρει συγκεκριµένα συµπεράσµατα. Η επίδραση των κάθετων τάσεων στην κατανοµή πίεσης µπορεί να εκτιµηθεί προσεγγιστικά (βλ. [MID 77], [TAD 79] αρχίζοντας µε την εξισώση διατήρησης της ορµής στην αξονική κατεύθυνση (αγνοώντας δυνάµεις αδράνειας p τ τ = + + (1.88 Προσθέτοντας και αφαιρώντας τον όρο παίρνουµε ( τ τ τ ( p τ + = τ και τροποποιώντας (1.89 Ο πρώτος όρος είναι τάξης µεγέθους [τ τ ]/[R] και ο δεύτερος όρος τάξης µεγέθους [τ ]/[Η ]. Ο λόγος τους είναι τ τ H τ R (1.9 Αφού το R είναι τυπικά 1 1 φορές µεγαλύτερο από το Η και ο λόγος (τ τ /τ συνήθως δεν υπερβαίνει το 1 πριν εµφανιστούν ροϊκές αστάθειες, το συνολικό κλάσµα της Εξ. (1.9
1-44 είναι πολύ µικρότερο της µονάδας. Εποµένως, φθάνουµε στο συµπέρασµα ότι οι κάθετες τάσεις δε συµβάλλουν σηµαντικά στην πίεση. Είναι όµως πιθανό, ότι οι κάθετες τάσεις µπορούν να επηρεάσουν αρκετά τη ροή και την ανάπτυξη στροβίλων στο λουτρό τήγµατος πριν τη διέλευση από τον ελάχιστο διαχωρισµό µεταξύ των κυλίνδρων. Το θέµα αυτό δεν έχει µελετηθεί ακόµα. 1.6. ΤΡΙ ΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ Είναι γνωστό από διάφορες πειραµατικές εργασίες ότι το πολυµερικό τήγµα εξαπλώνεται πλευρικά στην τρίτη διάσταση καθώς εισέρχεται στην περιοχή ελάχιστης απόστασης µεταξύ των κυλίνδρων. Αυτό οφείλεται στην αύξηση πίεσης που αναπτύσσεται από την οπισθέλκουσα ροή έλασης, και η οποία παράγει ροή τόσο στην αξονική κατεύθυνση ροής όσο και στην κάθετη στη ροή πλευρική κατεύθυνση. Η πλευρική αυτή ροή αποδείχτηκε πειραµατικά από τον Unkrüer [UNK 7], όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.3. Προφανώς οι αξονικές και πλευρικές αυτές κινήσεις του τήγµατος είναι υπεύθυνες για τον πολύπλοκο σχηµατισµό ροής που συµβαίνει στο σύστηµα.
1-45 Σχήµα 1.3 Πλευρική ροή στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [UNK 7]. Εποµένως, είναι φανερό ότι χρειάζεται µια πλήρης τριδιάστατη ανάλυση της ροής στο σύστηµα, για να µπορούν να προβλεφθούν τέτοια πολύπλοκα ροϊκά φαινόµενα. Μια τέτοια ανάλυση θα µπορούσε να εξηγήσει τις διαφορές πίεσης που έχουν παρατηρηθεί µεταξύ θεωρίας και πράξης (βλ. Σχήµα 1.1. Πράγµατι, µια απλή προκαταρκτική ανάλυση δείχνει ότι η µέγιστη πίεση στην πλευρική κατεύθυνση z θα έχει παραβολικό προφίλ, µε το µέγιστο των µεγίστων στο µέσο των κυλίνδρων και µηδέν στα άκρα, τα οποία είναι καθηλωµένα µε τους στατήρες. Αυτό δείχνουν και τα πειράµατα του Unkrüer [UNK 7] (βλ. Σχήµα 1.4. Είναι επίσης ενδιαφέρον το γεγονός ότι στα πειράµατα του Chafforea [CHA 79], το φύλλο εισέρχεται στους κυλίνδρους µε πλάτος cm και εξέρχεται µε πλάτος 37 cm, το οποίο δείχνει καθαρά την πλευρική ροή του φύλλου για διατήρηση της µάζας. Σχήµα 1.4 Τριδιάστατη ανάπτυξη πίεσης στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [UNK 7].
1-46 1.7. ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΦΥΛΛΩΝ ΣΤΗΝ ΚΥΛΙΝ ΡΩΣΗ Γενικά δεν υπάρχει αρκετή πληροφόρηση για τα ελαττώµατα και τις ατέλειες των φύλλων που παράγονται µε κυλινδρωση. Ό,τι αναφέρεται εδώ προέρχεται από την εργασία του Agassant [AGA 8] και αφορά αποκλειστικά το PVC. Οι ατέλειες για τα φύλλα του PVC µπορούν να ταξινοµηθούν στις ακόλουθες κατηγορίες: (α Ανοµοιοµορφίες στις διαστάσεις. Πρόκειται για µεταβολές του πάχους στην κατεύθυνση έλασης ή στην εγκάρσια κατεύθυνση z, λόγω της τάσης των κυλινδρων να κάµπτονται κάτω από την ανάπτυξη µεγάλων δυνάµεων αποχωρισµού των κυλίνδρων. Για να αποφευχθεί το φαινόµενο αυτό, γίνεται χρήση κυλίνδρων µε µεγαλύτερη διάµετρο στο κέντρο από τις άκρες. (β οµικές ατέλειες. Το PVC παρουσιάζει ορισµένες µεταβολές δοµής σωµατιδιακής ή κρυσταλλικής φύσης υπό την επίδραση αυξηµένων θερµοκρασιών και τάσεων, που µπορεί να οδηγήσουν στο σχηµατισµό ατελειών στα κυλινδριόµενα φύλλα. (γ Παρουσία τελειώµατος µατ. Πρόκειται για µικρο-ανωµαλία της επιφάνειας ή χάσιµο της στιλπνότητας του φιλµ που παρουσιάζεται µόνο στην επιφάνεια που δεν βρίσκεται σε επαφή µε τον κύλινδρο µετά την αποκόλληση του φύλλου από αυτόν. Το φαινόµενο αυτό φαίνεται να είναι της ίδιας φύσης µε το φαινόµενο θραύσης πολυµερούς (melt fractre και δέρµατος καρχαρία (shark-skin που εµφανίζονται σε εκβολή από µήτρες. Ο Agassant βρήκε ότι η εµφάνιση της ατέλειας αυτής συµβαίνει σε σταθερή τιµή της διατµητικής τάσης τ w =.5 ΜPa, που είναι περίπου διπλάσια απο τις κρίσιµες τιµές που ισχύουν για εκβολή από επίπεδες σχισµοειδείς µήτρες.
1-47 (δ Ατέλειες µορφής V. Πρόκειται για ατέλειες πάχους στην επιφάνεια (περί τα 3 µm στη µορφή κανονικών σχηµάτων τύπου V µε τους άξονες στο κέντρο του φύλλου. Σύµφωνα µε τον Agassant, οι ατέλειες αυτές προέρχονται από κυµατισµούς στο λουτρό τήγµατος, που προωθούνται από το κέντρο προς τις άκρες του φύλλου (βλ. Σχήµα 1.5. (ε Φυσαλλίδες αέρα. Φυσαλλίδες αέρα εγκλωβίζονται στους στροβίλους που δηµιουργούνται στο λουτρό τήγµατος και περνούν ανάµεσα από τους κυλίνδρους, επιµηκύνονται στο πέρασµά τους, και εµφανίζονται σαν επιµήκεις θύλακες αέρα µέσα στο παραγόµενο φύλλο. Για την εξαφάνισή τους βοηθά µερικές φορές η ανάπτυξη υψηλών πιέσεων µεταξύ των περιστρεφόµενων κυλίνδρων. Σχήµα 1.5 Ατέλειες µορφής V στη διεργασία κυλίνδρωσης πολυµερικών φύλλων άκαµπτου PVC [ΑGΑ 8]. 1.8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα περισσότερα µοντέλα ανάλυσης της διεργασίας κυλίνδρωσης βασίζονται στη µονοδιάστατη προσεγγιστική θεωρία λίπανσης για Νευτωνικά και µη-νευτωνικά υλικά που υπακούουν τον εκθετικό νόµο. Ολίσθηση στα τοιχώµατα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη στην κυλίνδρωση φύλλων PVC. Τα διάφορα αυτά µοντέλα δίνουν αξιόπιστες προβλέψεις για την κατανοµή πίεσης, τη δύναµη