Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς µήκους L, είναι στερεωµένο στην οροφή µικρού οχήµατος µάζας M, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (σχήµα 1). i) Eάν το σφαιρίδιο του εκκρεµούς εκτραπεί πολύ λίγο από τη θέση ισορροπίας του να αφεθεί ελεύθερο, να δείξετε ότι αυτό θα εκτελέσει σε σχέση µε το όχηµα γραµµική αρµονική ταλάντωση, της οποίας να βρεθεί η περίοδος. ii) Nα εκφράσετε την ταχύτητά του οχήµατος στο σύστηµα αναφοράς του οριζόντιου επιπέδου, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, η αρχική εκτροπή x 0 του σφαιριδίου από την κατακόρυφη διεύθυνση και η µάζα του m. ΛYΣH: i) Όταν το σφαιρίδιο αφεθεί ελεύθερο κινείται σε σχέση µε το ακίνητο οριζόντιο επίπεδο, περίπου παράλληλα πρός αυτό, αφού η αρχική εκτροπή του από τη θέση ισορροπίας είναι πολύ µικρή. Όµως το σύστηµα σφαιρίδιο-όχηµα είναι µηχανικά µονωµένο, που σηµαίνει ότι η ορµή του διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης του σφαιριδίου καί µάλιστα η ορµή αυτή είναι ίση µε µηδέν. Έτσι εάν v είναι ταχύτητα του σφαιριδίου κάποια τυχαία στιγµή στο σύστηµα αναφοράς του οριζόντιου επιπέδου καί V η αντίστοιχη ταχύτητα του οχήµατος, θα ισχύει η σχέση: 0 = m v + M V m v = -M V md v / = -Md V / m a = -M a a = -M a /m (1) Δηλαδή κάθε στιγµή η επιτάχυνση a του σφαιριδίου και η αντίστοιχη επιτά χυνση a του οχήµατος είναι αντίρροπα διανύσµατα. Aς δεχθούµε τώρα ότι, ένας παρατηρητής που βρίσκεται επί του οχήµατος καί ισορροπεί ως πρός αυτό, ενδιαφέρεται να εξετάσει την κίνηση του σφαιριδίου του εκκρεµούς. O παρατηρητής αυτός αντιλαµβάνεται ότι, το σφαιρίδιο σε κάθε θέση δέχεται το βάρος του m g, την δύναµη F από το νήµα, που αναλύεται στην οριζόντια συνι στώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y καί τέλος την αδρανειακή δύναµη D Alembet = -m a, η οποία είναι αντίρροπη της επιτάχυνσης a του
οχήµατος, δηλαδή οµόρροπη προς την επιτάχυνση a του σφαιριδίου. Eπειδή το σφαιρίδιο δεν έχει ως προς το όχηµα κατακόρυφη κίνηση, ισχύει η σχέση: F y - mg = 0 Fσυνφ = mg (2) Όµως ισχύει συνφ 0, οπότε η (2) γράφεται: F mg (3) Eξάλλου κατά την οριζόντια διεύθυνση το σφαιρίδιο δέχεται συνιστάµενη δύνα Σχήµα 1 µη F η οποία είναι αντίρροπη της αποµάκρυνσής του x από την θέση ισορρο πίας του O (σχήµα 1), της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι: (1) F = -F x - # = -F x - ma F = -F x - (m/m)ma # (4) Όµως η ποσότητα ma σφ αποτελεί το µέτρο της δύναµης F x, οπότε η σχέση (4) γράφεται: # F = -F x - mf x /M = -F x (1 + m/m) F = - M + m & (3) % ( F)µ* M µε # F = - M + m & % M ( mg # x & % L ( = -Dx (5) D = m(m + M)g ML (6) H σχέση (5) εγγυάται ότι, το σφαιρίδιο εκτελεί ως προς το όχηµα γ.α.τ. µε στα θερά ταλάντωσης D, oπότε η περίοδός του Τ θα είναι: T = 2 m D (6) T= 2 mml mg(m + m) = 2 ML g(m + m) (7) ii) Eάν λάβουµε ως θετική φορά πάνω στην οριζόντια διεύθυνση την φορά της αρχικής αποµάκρυνσης του σφαιριδίου, τότε η αρχική φάση ταλάντωσής του θα
είναι π/2, η δε εξίσωση της αλγεβρικής τιµής της σχετικής του ταχύτητας v ως προς το όχηµα θα έχει την µορφή: v = 2#x 0 T & 2#t % T + # ) ( + = 2#x & 0 2#t),µ( + (8) 2* T T * Όµως για την σχετική ταχύτητα v κάθε στιγµή ισχύει η σχέση: v = v + (- V ) v = -M V /m - V = - (M/m + 1) V V = - m v /(m + M) (9) H διανυσµατική σχέση (9) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, που έχει την µορφή: V= - mv (8) m + M V= - 2x 0 m % (µ 2t % T # m + M& # T & P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy µε σταθερή ταχύτητα v 0 παράλληλη προς τον άξονα Οx και τη χρονική στιγµή t=0 βρί σκεται στο σηµείο Α(0,α). i) Να εκφράσετε την γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου ως πρός την αρχή Ο των αξόνων, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii) Eάν είναι η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς την αρχή Ο κατά µια χρονική στιγµή και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου, να εξετάσετε εάν ισχύει η σχέση: v 0 = ( ) ΛΥΣΗ: i) Έστω το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς την αρχή Ο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και φ η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα αυτό µε τον άξονα Οy την στιγµή αυτή. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η γωνία φ µεταβληθεί κατά dφ, τότε η γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου ως προς την αρχή Ο την στιγµή t ορίζεται µέσω της σχέσεως: = d k όπου k το κάθετο προς στο επίπεδο Οxy µοναδιαίο διάνυσµα. Η κατεύθυνση (1)
του µοναδιαίου διανύσµατος k είναι εκείνη κατά την οποία προχωρεί δεξιόσ τροφος κοχλίας στρεφόµενος κατά την φορά που η γωνία φ αυξάνεται. Με βάση την σχέση (1) η αλγεβρική τιµή της γωνιακής ταχύτητας υπολογίζεται από την σχέση: = d / (2) Εξάλλου κάθε χρονική στιγµή για την γωνία φ ισχύει: # = AM AO = v 0t (3) Σχήµα 2 όπου AM η µετατόπιση του υλικού σηµείου σε χρόνο t. Διαφορίζοντας την σχέση (3) παίρνουµε: % d(#) = d v t ( 0 * = v 0 & ) & µ ) d ( + = v 0 #%*, & # 2 + %µ 2 ) ( # 2 + * d = v 0, d = v 0 #%2 d = v 0 = v 0 ( ) = % 1 ( & 1 + # 2 * = v (2) % 0 1 ( ) & 1 + v 2 0 t 2 / 2 * ) # 2 & % 2 + v 2 0 t 2 ( = v 0 2 + v 0 2 t 2 (4) ii) Eάν ω x, ω y, ω z είναι οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας την χρονική στιγµή t στο τρισορθογώνιο σύστηµα αζόνων Οxyz, τότε για το εξωτερικό γινόµενο ( ) θα ισχύ ει: i j k 0 0 v 0 t # 0 = i # + j v 0 t + k 0 i v 0 όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνωνx, y, z αντιστοίχως. Παρατη
ρούµε ότι το εξωτερικό γινόµενο ( ) δεν εκφράζει στην περίπτωση που εξε τάζουµε την ταχύτητα του υλικού σηµείου, όπως συµβαίνει στην κυκλική κίνη ση. Παρατήρηση: Eάν αναλύσουµε την ταχύτητα v 0 σε µια συνιστώσα v κατά την διεύθυνση του διανύσµατος (ακτική συνιστώσα της ταχύτητας) και µια συνιστώσα v κατα την κάθετη προς το διέυθυνση (αζιµουθιακή συνιστώσα της ταχύτη τας), τότε για τις συνιστώσες αυτές ισχύουν οι σχέσεις: v = d s = d e και v = d s = ( + d)d e d όπου d s η µετατόπιση του υλικού σηµείου στον χρόνο, d s, d s η ακτινική και η αζιµουθιακή συνιστώσα αντιστοίχως του διανύσµατος d s και e e τα µοναδιαία διανυσµατα της ακτινικής διεύθυνσης ΟΜ και της κάθετης προς αυτήν διεύθυνσης αντιστοίχως. Η φορά του e δείχνει την φορά κατα την οποία η γωνία φ αυξάνεται, ενώ η διατεταγµένη τριάδα ( e e k ) αποτελεί δεξιόστροφο σύστηµα µοναδιαίων διανυσµάτων, που σηµαίνει ότι τα διανύσµα τα αυτά ικανοποιούν τις σχέσεις: e = ( e k ), e = ( k e ), k = ( e e ) Aν θεωρήσουµε το εξωτερικό γινόµενο ( ) θα έχουµε: ) = & d# % k e ) = d# ( k ( ) = d# e # v = ( # ) ( e ) δήλαδή στην περίπτωσή µας το εξωτερικό γινόµενο ( ) εκφράζει την αζι µουθιακή συνιστώσα v της ταχύτητας του υλικού σηµείου. P.M. fysikos e Να αποδείξετε τις ακόλουθες προτάσεις; i) Εάν ένα υλικό σηµείο δέχεται συντηρητικές και µη συντηρητικές δυνάµεις, τότε ο ρυθµός µεταβολής της µηχανικής του ενέργειας είναι κάθε στιγµή ίσος µε το εσωτερικό γινόµενο ( f v ), όπου f η συνιστα
µένη των µη συντηρητικών δυνάµεων και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου την στιγµή που το εξετάζουµε. ii) Εάν µιά δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής U=f(), όπου η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου που δέχεται την δύναµη, ως προς µία αρχή Ο, τότε η δύναµή είναι κεντρι κή µε κέντρο το Ο. ΛΥΣΗ: i) Εάν U είναι η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του υλικού σηµείου, από την οποία απορρέει η συνισταµένη F των συντηρητικών δυνάµεων που ενεργούν πάνω σ αυτό και Κ η κινητική του ενέργεια, τότε η µηχανική του ενέργεια Ε θα είναι: E = U + K de = du + dk (1) όπου de, du, dk οι µεταβολές της µηχανικής, της δυναµικής και της κινητι κής ενέργειας αντιστοίχως του υλικού σηµείου, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+. Όµως εάν d s είναι η µετατόπιση του υλικού σηµείου σε χρόνο θα ισχύει, συµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου η σχέση: dk = ( f + F )d s = f d s + F d s (2) Όµως ισχύει και η σχέση du = - F d s, οπότε η (2) γράφεται: dk = ( f d s ) - du dk + du = ( f d (1) s ) de = ( f d s ) de = f d s % # & ( ) de = f v ii) Eάν F είναι η συνισταµένη των συντηρητικών δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο υλικό σηµείο και U η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας από την οποία απορρέει η F, θα ισχύει: F = - # U() = -% U x i + U U j + y z & k ( (3) όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z. αντιστοίχως. Όµως η U είναι συνάρτηση της µορφής U = f(), οπότε θα έχουµε: U x = U x = df() d ( x x2 +y 2 +z ) 2 1 / 2 U x = df() 1 d 2 (-1 )2x = df() x d (4) Οµοίως εργαζόµενοι καταλήγουµε στις σχέσεις:
U = df() d και U z = df() z d (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: F = - df() # d x i + df() d df() z j + d % k & F = - df() 1 d (x i + j + z k % ) = - df() # & d (6) Η σχέση (6) εγγυάται ότι η συντηρητική δύναµή είναι κεντρική, µε κέντρο την αρχή Ο ως προς την οποία λαµβάνεται η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου. P.M. fysikos Λεπτή ράβδος µήκους 2L, στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα πού διέρχεται από το ένα άκρο της, έτσι ώστε να παραµένει συνεχώς ορι ζόντια. Kατά µήκος της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή ένας µικρός δακτύλιος µάζας m. H γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου είναι σταθερή καί κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, ο δακτύλιος αφήνεται ελεύθερος να ολισθήσει κατά µήκος της ράβδου. i) Eάν κατά την έναρξη της ολίσθησης η απόσταση του δακτυλίου από τον άξονα περιστροφής του είναι L, να βρεθεί σε συνάρτηση µε το χρόνο t το µέτρο της δύναµης πού δέχεται ο δακτύλιος από την περιστρεφόµενη ράβδο. ii) Nα βρείτε µετά πόσο χρόνο ο δακτύλιος θα βρεθεί στο άκρο της ράβδου. Ποιά θα είναι τότε η ταχύτητα του δακτυλίου ως προς την ράβδο; Tο πεδίο βαρύτητας της Γης να µη ληφθεί υπ όψη. ΛYΣH: Γιά ένα παρατηρητή πού ακινητεί ως πρός την περιστρεφόµενη ράβδο (στρεφόµενος παρατηρητής), ο δακτύλιος εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση κατά µήκος της ράβδου, υπό την επίδραση των εξής δυνάµεων: Tης αδρανειακής φυγόκεντρης δύναµης F = -m 2, όπου το διάνυσµα θέσε ως του δακτυλίου ως προς το άκρο Ο του σωλήνα, δηλαδή ο φορέας της F εί ναι κάθετος στον άξονα περιστροφής η δέ φορά της από τον άξονα πρός τον δακτύλιο (σχήµα 3).
Tης αδρανειακής δύναµης Coiolis F C =- 2m( v # ) της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της ράβδου και το διάνυσµα της σχετικής ταχύτητας v του δακτυλίου ως πρός τη ράβδο και τέλος της δύναµης επαφής A από τη ράβδο, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτήν. Eπειδή ο δακτύλιος κατά την κάθετη πρός την ράβδο διεύθυνση ηρεµεί, ο στρεφόµενος παρατηρητής µπορεί να γράφει την σχέση: A = F C A = 2mv # (1) Eξάλλου, κατά τη διεύθυνση της ράβδου ο δακτύλιος επιταχύνεται καί σύµφω να µε το δευτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, ο στρεφόµενος παρατηρητής µπο ρεί να γράφει τη σχέση: F = ma # m 2 = m d2 2 d2 2-2 = 0 (2) Σχήµα 3 όπου a η σχετική επιτάχυνση του δακτυλίου ως πρός τον σωλήνα (την επιτά χυνση αυτή αντιλαµβάνεται ο στρεφόµενος παρατηρητής) καί απόστασή του από τον άξονα περιστροφής κατά την τυχαία χρονική στιγµή t. H σχέση (2) είναι µία διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ρίζες ω και ω, οπότε δέχεται λύση της µορφής: = C 1 e t + C 2 e -t (3) όπου C 1, C 2 σταθερές ποσότητες, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του δακτυλίου ως πρός τον σωλήνα. Eπειδή γιά t=0 είναι =L, η σχέση (3) δίνει: L = C 1 + C 2 (4) Eξάλλου το µέτρο της ταχύτητας v κατά τη χρονική στιγµή t είναι: v = d (3) v = d = C 1#e #t - C 2 #e -#t t= 0
0 = C 1 - C 2 C 1 = C 2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε C 1 =C 2 =L/2, οπότε θα ισχύει: v = L# 2 (e#t - e -#t ) (6) Έτσι η σχέση (1) γράφεται: A = ml 2 (e t - e -t ) (7) ii) H σχέση (3) την χρονική στιγµή t * που ο δακτύλιος φθάνει στο άκρο της ράβδου (=2L) δίνει: 2L= L(e t * + e -t * )/ 2 4 = e t * + e -t * (8) Θέτουµε e t * = x, οπότε η (8) γράφεται: 4 = x+ 1/x 4x= x 2 + 1 x 2-4x + 1 = 0 (9) Οι ρίζες της (9) είναι x 1 = 2 + 3 και x 2 = 2-3 οπότε θα έχουµε: e t * = 2 ± 3 t * = ln( 2 ± 3) t * = ln( 2 ± 3) / Δεκτή η θετική τιµή ln( 2 + 3) /. Εξάλλου η (6) την χρονική στιγµή t * δίνει: v * = L 2 e t * - e - t * ( ) = L 2 1 % 2 + 3 - # 2 + 3& v * = L 2 4 + 2 3 + 3-1% = L # 2 + 3 & 2 6 + 2 3% =L 3 + 2 3 % # 2 + 3 & # 2 + 3 & v * = L (3 + 2 3)(2-3) 4-3 = 3L P.M. fysikos Ένας µεταλλικός σωλήνας περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, περί κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρ χεται από το ένα του άκρο A. Kατά µήκος του σωλήνα µπορεί να
ολισθαίνει χωρίς τριβή σφαιρίδιο µάζας m, συγκρατούµενο µε ελατή ριο σταθεράς k και φυσικού µήκους L, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο A. Eάν την χρονική στιγµή t=0 το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα είναι µηδενική, να βρεθεί η εξίσωση της σχετικής του κίνησης ως πρός τον σωλήνα, καθώς και η εξίσωση της αντίδρασης των τοιχωµάτων του σωλήνα επί του σφαιριδίου, σε συνάρτηση µε το χρόνο. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας το σφαιρίδιο ένας παρατηρητής που µετέχει της περιστρο φικής κινήσεως του σωλήνα διαπιστώνει την σχετική κίνησή του ως προς τον σωλήνα, η οποία πραγµατοποιείται υπό την επίδραση των εξής δυνάµεων: Της αδρανειακής φυγόκεντρης δύναµης F = -m 2 µε κατεύθυνση από το άκρο Ο του σωλήνα προς το σφαιρίδιο και µέτρο ίσο µε mω 2, όπου το διάνυ σµα θέσεως του σφαιριδίου ως προς το Ο. Σχήµα 4 Της αδρανειακής δύναµης Coiolis F C της οποίας τα στοιχεία της καθορίζονται από την σχέση F C =- 2m( v ), σύµφωνα µε την οποία ο φορέας της δύναµης αυτής είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζουν τα διανύσµατα της γωνιακής ταχύτητας και της σχετικής ταχύτητας v του σφαιριδίου ως προς τον σωλή να δηλαδή διευθύνεται κάθετα προς τον άξονα του σωλήνα, έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού (σχήµα 4) το δε µέτρο της είναι ίσο µε 2mv. Της δύναµης F από το παραµορωµένο ελατήριο µε αλγεβρική τιµή k(-l) και τέλος της αντίδρασης A των τοιχωµάτων του σωλήνα. Επειδή το σφαιρίδιο δεν έχει κίνηση κάθετα προς τον άξονα του σωλήνα, η δύναµη A είναι αντίθετη της δύναµης Coiolis F C ένω η σχετική κίνηση του σφαιριδίου κατά την διεύθυνση του άξονα καθορίζεται από τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, συµφωνα προς τον οποίο ισχύει: F - F # = m d2 2 m 2 - k( -L) = m d2 2 d 2 k( -L) + 2 m - 2 = 0 d2 + k 2 m - % 2 = kl # & m
d 2 2 + 2 = kl m µε 2 = k m - 2 (1) H (1) αποτελεί µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής 1 (t)=c, όπου C σταθερή ποσότητα, οπότε θα έχουµε: 2 C = kl m k m - % 2 C = kl # & m C = kl k - m (2) 2 Η αντίστοιχη οµογενής διαφορική εξίσωση της (1) έχει λύση 2 (t) που εξαρτάται από το πρόσηµο της ποσότητας k/m-ω 2, µε αποτέλεσµα να διακρίνουµε τις εξής περιτώσεις. Περίπτωση 1η: Ισχύει k/m>ω 2. Τότε η λύση 2 (t) έχει την µορφή: 2 (t) = Aµ (t + #) όπου Α, φ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συν θήκες της σχετικής κίνησης του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα. Η γενική λύση της (1) στην περίπτωση αυτή έχει την µορφή: (t) = 1 (t) + 2 (t) = C + Aµ (t + #) (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της σχετικής ταχύτητας του σφαιριδίου, δηλαδή θα έχουµε: v = d(t) = A#(t + %) (4) Όµως την χρονική στιγµή t=0 ισχύει (0)=L και v(0)=0, οπότε θα έχουµε από την (3) και (4): L = C + Aµ 0 = A#%& ( ) L - C = Aµ 0 =#% & ( L - C = Aµ ( / 2) % # = / 2 & A = L - C Έτσι η (3) παίρνει την µορφή: (t) = C + (L - C)µ (t + # / 2) (t) = C + (L - C)#t (t) = kl k - m + L - kl % 2 # k - m 2 ()*+t & (t) = kl k - m - m 2 #%t (5) 2 2 k - m H (5) δηλώνει ότι το σφαιρίδιο εκτελεί σε σχέση µε τον περιστρεφόµενο σωλή να γ.α.τ. µε κέντρο ταλάντωσης την θέση * =kl/(k-mω 2 ), µε πλάτος 0 = mω 2 /(kmω 2 ) και περίοδο Τ=2π/λ=2π/(k/m-ω 2 ) 1/2.
Περίπτωση 2η: Ισχύει k/m=ω 2. Τότε λ=0 και η (1) παίρνει την µορφή: d 2 2 = kl m που σηµαίνει ότι η σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα είναι οµαλά επιταχυνόµενη µε σχετική επιτάχυνση a σχ =kl/m, οπότε η αντίστοιχη εξίσωση κίνησής του θα έχει την µορφή: (t) = L + klt2 m (6) Από φυσική άποψη η σταθερή σχετική επιτάχυνση του σφαιριδίου ερµηνεύεται από το γεγονος, ότι όσο αυξάνεται το µέτρο της φυγόκεντρης δύναµης για ορισµένη µετατόπιση του σφαιριδίου ίδια αύξηση υφίσταται και το µέτρο της δύναµης από το ελατήριο, µε αποτέλεσµα το µέτρο της συνισταµένης δύναµης επί του σφαιριδίου να µένει σταθερό και ίσο µε mlω 2, δηλαδή όσο είναι την χρονική στιγµή t=0. Περίπτωση 3η: Ισχύει k/m<ω 2. Τότε λ<0 και η γενική λύση της (1) έχει την µορφή: (t) = C + C 1 e t + C 2 e - t µε 2 = 2 - k / m (7) όπου C 1, C 2 σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συν θήκες της σχετικής κίνησης του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα. Παραγωγί ζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της σχετικής ταχύτητας του σφαιριδίου, δηλαδή θα έχουµε: v = d(t) = C 1 e t - C 2 e - t (8) Οι σχέσεις (7) και (8) για t=0 δίνουν: L = C + C 1 + C 2 0 = C 1 - C 2 # L = C + C 1 + C 2 C 1 = C 2 # C 1 = C 2 = L - C 2 C 1 = C 2 = m 2 2(m 2 - k) (9) Mε βάση την (9) η (7) παίρνει την µορφή: (t) = kl m 2 - k + ml 2 2(m 2 - k) e t + e - t ( ) (10) Aς εξετάσουµε το όριο της συνάρτησης f(t)=e λ t +e -λ t, όταν t +
lim t + (e # t + e -# t ) = lim e # t + 1 e 2# t + 1 & t + % e # t ) = lim& ( t + % e # t ) ( lim t + 2#e (e # t + e -# t ) = lim& t + % 2# t #e # t ) = 2 (κανόνας De L Hopital) ( Δηλαδή η θέση του σφαιριδίου τελικά σταθεροποιείται σε απόσταση από το άκρο Ο του σωλήνα, για την οποιά ισχύει: = kl m 2 - k + 2mL 2 2 kl + ml = 2(m 2 - k) m 2 - k = L(k + m 2 ) m 2 - k P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο κινείται επί ελλειπτικής τροχιάς, η οποία βρίσκε ται στο επίπεδο Οxy και περιγράφεται από τη σχέση: x 2 + y2 = 1 µε α>β 2 2 Mεταξύ των δυνάµεων που εξασφαλίζουν την κίνηση του υλικού ση µείου είναι και η δύναµη F που ακολουθεί τον νόµο: F = 2 -y i + x j ( ) όπου λ θετική σταθερή ποσότητα και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy αντιστοίχως. Να δείξετε ότι το έργο της F για µία πλήρη περιφορά του υλικού σηµείου είναι ανάλογο πρός το εµβαδόν της έλλειψης. ΛΥΣΗ: Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως πρός το κέντρο Ο της έλλειψης κατά µία χρονική στιγµή που οι συντεταγµένες του είναι x, y θα έχουµε: = x i + y j Θέτοντας x=ασυνφ και y=βηµφ, όπου η γωνία φ αποτελεί µία παράµετρο που δεσµεύεται µε τη σχέση 0 φ 2π, η (1) γράφεται: = #% i +&µ% j (2) (1)
Διαφορίζοντας την σχέση (2) παίρνουµε: d = -µ# d# i +%&#d# j (3) Eξάλλου η δύναµη F εκφράζεται µε τη σχέση: F = 2 -#µ i + %&( j ( ) (4) Σχήµα 5 Το έργο W F της F για µία πλήρη περιφορά του υλικού σηµείου κατά µήκος της έλλειψης, δίνεται από το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: W = ( F d ) F # ( ) (3),(4) W F = [ ] * 2 (-#µ)(-%#µd)+%&(&(d () ) W F = 2 2) * (#µ 2 % + #&( 2 %)d% 0 W F = # 2 2% & d = # 2% = %# = ke 2 0 όπου Ε το εµβαδόν παβ της έλλειψης. P.M. fysikos