ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι πολύτιμα για τη μελέτη των διανυσματικών συναρτήσεων ηλεκτρικού πεδίου [E(, t )] και μαγνητικού πεδίου [B(, t) ], που αποτελούν τις κεντρικές ποσότητες του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Με την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου, θα μπορείτε να: γράψετε μετασχηματισμούς διανυσμάτων κάτω από στροφές ορίσετε το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων βρείτε την κλίση και τη Λαπλασιανή βαθμωτής συνάρτησης, καθώς και την απόκλιση και την περιστροφή διανυσματικών συναρτήσεων σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων διατυπώσετε και να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Gauss και του Stokes. Έννοιες κλειδιά διάνυσμα περιστροφή διανύσματος σύστημα συντεταγμένων περιστροφή συστήματος συντεταγμένων εσωτερικό γινόμενο εξωτερικό γινόμενο κλίση βαθμωτής συνάρτησης απόκλιση διανυσματικής συνάρτησης
περιστροφή διανυσματικής συνάρτησης Λαπλασιανή θεώρημα Gauss θεώρημα Stokes κυλινδρικές συντεταγμένες σφαιρικές συντεταγμένες Ενότητα.: Ορισμοί Στροφές διανυσμάτων Ένα διάνυσμα σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται ως: y zk (.) όπου,, k είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους καρτεσιανούς άξονες και, yzοι, αντίστοιχες συντεταγμένες. Αν περιστρέψουμε το σύστημα συντεταγμένων κατά γωνία θ (π.χ. γύρω από το k ) έτσι ώστε,, k ', ', k', τότε, αν και το διάνυσμα δε μεταβάλλεται (η αρχή και το τέλος του διανύσματος μένουν σταθερά), οι συντεταγμένες του διανύσματος αλλάζουν (, yz, ', y', z') στο νέο σύστημα συντεταγμένων. Έτσι: '' y' ' zk ' ' y zk (.) Από τη σχέση (.) οι νέες συντεταγμένες ', y', z ' προκύπτουν εύκολα συναρτήσει των παλαιών πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη διαδοχικά με,, k. Για παράδειγμα, για τη ' έχουμε: και όμοια για τα y' και z '. ' ' ' y' z' k (.) Έτσι, γενικά, μπορούμε να γράψουμε το μετασχηματισμό συντεταγμένων από το παλιό στο νέο σύστημα ως ένα πίνακα R, ως:
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ' y' R y z' z (.4) όπου R είναι ο πίνακας που προκύπτει από την (.). Μπορεί να δειχτεί ότι ο R είναι ορθογώνιος, δηλαδή T RR I. Θα λέμε ότι το διάνυσμα της θέσης y zk μετασχηματίζεται κάτω από στροφές του συστήματος συντεταγμένων σύμφωνα με την (.4). Γενικεύοντας ορίζουμε ως διάνυσμα A μια ποσότητα με τρεις συνιστώσες όταν ισχύει A A A y z ' A ' R A ' A y z (.5) δηλαδή οι συνιστώσες του A μετασχηματίζονται όπως το διάνυσμα θέσης στη σχέση (.). Άσκηση: είξτε ότι στην ειδική περίπτωση στροφής του συστήματος συντεταγμένων γύρω από το μοναδιαίο k κατά γωνία θ ο πίνακας στροφής είναι: cosθ snθ 0 R snθ cosθ 0 (.6) 0 0 Το ηλεκτρικό πεδίο Ε και το μαγνητικό πεδίο Β αποτελούν παραδείγματα διανυσμάτων. Η πυκνότητα φορτίου ρ () μένει αναλλοίωτη κάτω από στροφές και αποτελεί παράδειγμα βαθμωτού μεγέθους. Ενότητα.: Πράξεις μεταξύ διανυσμάτων A και B.. Εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο Ορίζεται ως: A B A B A B A B AB AB X X Y Y Z Z (.7)
όπου,, και Α Α Χ, A AY κ.ο.κ. Στην τελευταία ισότητα παραλείψαμε το σύμβολο ακολουθώντας το συμβολισμό Ensten, όπου το άθροισμα σε δείκτη εννοείται πάντα όταν σε ένα γινόμενο ο ίδιος δείκτης (π.χ. ) εμφανίζεται δύο φορές. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. ίνονται δύο διανύσματα Α και B σε σφαιρικές συντεταγμένες ως A 0 ϑ 5ϕ και B 5θ ϕ. Βρείτε το μέτρο της προβολής του B στη διεύθυνση του Α. Άσκηση: είξτε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι βαθμωτό, δηλαδή μένει αναλλοίωτο κάτω από περιστροφές... Εξωτερικό γινόμενο Ορίζεται ως: ˆ ˆ kˆ A B A A A B B B (.8) δηλαδή είναι ένα διάνυσμα του οποίου η συνιστώσα είναι: A B A B A B (.9) k k όπου (,, k) κυκλική μετάθεση των (,, ), δηλαδή:, k, k (.0), k Χρησιμοποιώντας τον τανυστή Lev-Cvta ε που είναι αντισυμμετρικός κάτω από k εναλλαγή των δεικτών του ενώ ε (δηλαδή ε -, ε, ε - κ.ο.κ.), μπορούμε να γράψουμε τη συνιστώσα του εξωτερικού γινομένου ως: A B ε AB ε AB k k k k k (.)
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ όπου στην τελευταία ισότητα κάναμε χρήση του συμβολισμού Ensten. Ο συνδυασμός συμβολισμού δεικτών με συμβολισμό Ensten απλοποιεί σημαντικά τις αποδείξεις πολλών ταυτοτήτων διανυσματικής άλγεβρας, όπως: A B C A B (.) C Σε πολλές τέτοιες αποδείξεις γίνεται χρήση της ταυτότητας ε ε δ δ δ δ (.) l m m l k lm k k όπου δ είναι ο τανυστής δέλτα του Konecke, που ορίζεται ως: δ 0 (.4) Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα (.) για τον τανυστή Α ( B C) B( A C) C( A B) ε k για να δείξετε ότι Άσκηση αυτοαξιολόγησης. είξτε ότι A ( B C) ( A B) C Η γεωμετρική ερμηνεία του εσωτερικού και του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων A και B περιέχεται στις εξισώσεις A B A B cosθ A B A B snθ n (.5) όπου θ η γωνία μεταξύ A και B και n μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των A και B με φορά αυτή του δεξιόστροφου κοχλία που βιδώνει από το A προς το B. Έτσι, το εσωτερικό γινόμενο προκύπτει ως το γινόμενο του μέτρου της προβολής του ενός διανύσματος πάνω στο άλλο ( A cos θ ) επί το μέτρο του άλλου ( B ). Ακόμα, το εξωτερικό γινόμενο είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των A και B και μεγιστοποιείται όταν τα A και B είναι κάθετα μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή όμως το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν.
ΕΝΟΤΗΤΑ.: ιανυσματικοί διαφορικοί τελεστές.. Κλίση (Gadent) βαθμωτής συνάρτησης Σε καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζεται ως: k e e y z (.6) όπου θέσαμε,, k e, e, e και κάναμε χρήση δεικτών και συνθηκών Ensten. Ο τελεστής της κλίσης (gadent) δηλαδή δρα σε βαθμωτή συνάρτηση και παράγει τη διανυσματική συνάρτηση e. Η κλίση δίνει το ρυθμό μεταβολής της ως προς χωρική μετατόπιση d. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.4 είξτε ότι η μεταβολή d βαθμωτής συνάρτησης μετά από απειροστή μετατόπιση ds δίνεται από τη σχέση d ds. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.5 ίνεται ορθογώνιο σύστημα αυθαίρετων συντεταγμένων (, ) μέτρο της απειροστής μετατόπισης ds γράφεται ως: (,, ) (,, ) (,, ) d ds d d,, μέσω των οποίων το Χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα της Άσκησης αυτοαξιολόγησης.4 για να εκφράσετε την κλίση στο νέο αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων... Λαπλασιανή (Laplasan) βαθμωτής συνάρτησης Η Λαπλασιανή είναι η απόκλιση της κλίσης βαθμωτής συνάρτησης και σε καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζεται ως: ( ) λ y z (.7)
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.. Περιστροφή (Rotaton) διανυσματικής συνάρτησης Σε καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζεται ως: y z y z e ε k k (.8) Ο τελεστής της περιστροφής παράγει άλλη διανυσματική συνάρτηση. δηλαδή δρα σε διανυσματική συνάρτηση και Άσκηση αυτοαξιολόγησης.6 είξτε ότι 0, δηλαδή η περιστροφή της κλίσης είναι μηδέν...4 Απόκλιση (Dvegence) διανυσματικής συνάρτησης Σε καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζεται ως: y y z z (.9) Ο τελεστής της απόκλισης (dvegence) μετρά τη «ροή» της διανυσματικής συνάρτησης μέσα από στοιχειώδη όγκο στο σημείο. Όταν δεν υπάρχουν «πηγές» ( ) διανυσματικής ροής μέσα στο στοιχειώδη όγκο γύρω από το, τότε η ροή που μπαίνει είναι μηδέν στο. στον όγκο είναι ίση με τη ροή που βγαίνει και η απόκλιση της Όταν υπάρχουν «πηγές» (ή καταβόθρες) διανυσματικής ροής στο, τότε η ροή που βγαίνει (ή μπαίνει) στο στοιχειώδη όγκο δεν ισούται με τη ροή που μπαίνει (ή βγαίνει) στον όγκο και η απόκλιση στο είναι μη μηδενική. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.7 Χρησιμοποιήστε τον ανεξάρτητο συντεταγμένων ορισμό της απόκλισης ds lm S για να βρείτε την έκφραση της απόκλισης σε σύστημα αυθαίρετων 0
ορθογώνιων συντεταγμένων (,, ) ds d d d που ορίζονται από τη σχέση, όπου ds απειροστή μετατόπιση στο χώρο. Η περιστροφή e ε k k μετρά τη διανυσματική περιστροφική κυκλοφορία της βρόχων γύρω από το σημείο. (.0) κατά μήκος στοιχειωδών Όταν η διανυσματική αυτή κυκλοφορία μεγιστοποιείται γύρω από το βρόχο στο σημείο, αντίστοιχα μεγιστοποιείται και η συνιστώσα της που είναι κάθετη στο συγκεκριμένο βρόχο. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.8 είξτε ότι, αν ορίσουμε την απόκλιση διανυσματικής συνάρτησης (, t) lm 0 S ds όπου ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια S, τότε ισχύει: y y z z ως: ΕΝΟΤΗΤΑ.4: Θεωρήματα με ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων.4. Θεώρημα Gauss Η ροή διανυσματικής συνάρτησης προς το εξωτερικό κλειστής επιφάνειας S ισούται με το ολοκλήρωμα της απόκλισης της συνάρτησης στον περιεχόμενο από την επιφάνεια όγκο, δηλαδή: da d (.) S όπου da στοιχειώδες διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια, με μέτρο το στοιχειώδες εμβαδόν της επιφάνειας da.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Άσκηση αυτοαξιολόγησης.9,t Έστω ρ η πυκνότητα ρευστού και v (, t) ρ t που ισχύει για το ρευστό γράφεται ως ( ρ v) 0 η ταχύτητά του. Η εξίσωση συνεχείας. είξτε ότι η ροή μάζας προς το εξωτερικό κλειστής επιφάνειας S ισούται με το ρυθμό μείωσης της μάζας στον περικλειόμενο όγκο. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.0 Επιβεβαιώστε το θεώρημα του Gauss (ή το θεώρημα απόκλισης) για το διανυσματικό πεδίο A y y z yz και επιφάνεια κύβου με μοναδιαία ακμή, κορυφή στην αρχή των αξόνων και λοιπές κορυφές με θετικές συντεταγμένες..4. Θεώρημα Stokes Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης κατά μήκος κλειστής καμπύλης C ισούται με τη ροή της περιστροφής της μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια S έχει όριο τη C, δηλαδή: dl ( ) da (.) όπου dl είναι στοιχειώδες μήκος της C. C S Η φορά της C ορίζεται ως η φορά στροφής δεξιόστροφου κοχλία που βιδώνει προς το διάνυσμα που αντιστοιχεί στην επιφάνεια S. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. είξτε ότι από το θεώρημα του Stokes προκύπτει ότι ( Α ) ds 0 επιφάνεια σφαίρας. S, όπου S κλειστή
ΕΝΟΤΗΤΑ.5: ιαφορικοί τελεστές και στοιχειώδεις όγκοι σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες,, z, ϕ, z, zk Σχέση με καρτεσιανές συντεταγμένες: cosϕ, y snϕ, z z.5. Κυλινδρικές συντεταγμένες ( ϕ ) Στοιχειώδης όγκος: d ddydz ddϕdz Κλίση: ϕ k ϕ z ϕ z ϕ z Απόκλιση: ( ) Λαπλασιανή: Περιστροφή: ϕ z e ϕ k ϕ z ϕ z.5. Σφαιρικές συντεταγμένες ( θ ϕ),,, θ, ϕ, Σχέση με καρτεσιανές συντεταγμένες: snθ cosϕ, y snθ snϕ, z cosθ Στοιχειώδης όγκος: d ddydz sn θ ddθdϕ Κλίση: θ ϕ θ snθ ϕ ϕ θ snθ θ snθ ϕ Απόκλιση: ( ) ( snθ ) Λαπλασιανή: snθ snθ θ θ sn θ ϕ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Περιστροφή: e eθ eϕ snθ snθ θ ϕ snθ θ ϕ Λύσεις Ασκήσεων αυτοαξιολόγησης Λύση. B A B A A 0 5 5,78 4 Λύση. A B C ( ε k A B C l m m l ( δ δ δ δ ) A ε A B C ( A B C A B C ) l ε klm l B C ( A C) B ( A B) C A ( B C) B ( A C) C ( A B) ε l m k m m klm l m l m όπου χρησιμοποιήσαμε διαδοχικά τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου με χρήση δεικτών και τη συνθήκη Ensten, την αντισυμμετρία του ε k τον ορισμό του δ (.4), που δίνει, π.χ., δ A A. l l, την ταυτότητα (.) και Λύση. A B C A ε B C ε A B C ε C A B C ( A B) k k k k k όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου με χρήση δεικτών και την αντισυμμετρία του ε k δύο φορές. k Λύση.4 Έχουμε: ds d dy y dz z
Άρα: ds d d dz z dy y d ds Η έκφραση αυτή είναι ανεξάρτητη συστήματος συντεταγμένων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός της κλίσης. Λύση.5 Έχουμε s d d () Ακόμα d d d d () d d d s d () Από τις (), (), () έχουμε: d d d d d d Για σφαιρικές συντεταγμένες έχουμε: sn ds d d d θ θ φ,, snθ φ φ θ θ θ sn. Λύση.6 0 k k k k k k k k ε ε ε ε
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ όπου χρησιμοποιήσαμε την αντισυμμετρία του k ε και την αντικατάσταση (αλλαγή ονομασίας) k και k στην προτελευταία ισότητα (το αποτέλεσμα δεν αλλάζει, γιατί οι δείκτες που αντικαταστάθηκαν είναι βωβοί [αθροίζονται]). Λύση.7 Θεωρώντας παραλληλεπίπεδο με κορυφή στο, έχουμε: S ds ] ]...... 0 lm ds όπου αγνοήσαμε όρους τάξης, (λόγω 0 ) και ορίσαμε:,0,0 0,,0 0,0, Λύση.8 Θεωρούμε ως επιφάνεια S ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με πλευρές, y, z με τη μία κορυφή στο σημείο. Τότε:
ds ( yz,, ) y z ( yz,, ) y z y( yz,, ) z S y z y(, yy, z) z z(, y, z) y z(, y, zz) y (, y, z) y z ( (, y, z) ) yz y(, y, z) z y z y z ( y (, y, z) y) z z(, y, z) y ( z(, y, z) z) y y z y z y z όπου αγνοήσαμε όρους δεύτερης τάξης ως προς, y, z. Άρα: y z lm ds 0 S y z Λύση.9 ρ ρ d dm ( ρ v) 0 ( ( ρ v) ) d d ρ vda ρd C t t S dt dt όπου χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Gauss. Λύση.0 Η απόκλιση του Α είναι: Α y 0 zy y z Άρα Α ( ) d y z ddydz z 0 y 0 0 y 0 z 0 y 0 Ακόμα Α ds d dyα ( z ) d dyα ( z 0) dy dzα ( ) S z z 0 0 0 0 0 0 Α ( 0) Α Α ( 0) dy dz d dz y d dz y y y 0 0 0 0 0 0 d dy y d dy 0 dy dz y dy dz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d 0 dz d dz 0 0 0
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Έτσι Ad AdS S, που επαληθεύει το θεώρημα του Gauss. Κατά την απόδειξη χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι οι απέναντι έδρες του κύβου έχουν διάνυσμα επιφάνειας με ίσο μέτρο αλλά αντίθετη φορά. Έτσι, εμφανίστηκαν τα πρόσημα (-) μπροστά από τα επιφανειακά ολοκληρώματα. Λύση. ds ds ds Έχουμε ( Α) ( Α) ( Α) S S S () όπου S και S οι επιφάνειες του βόρειου και νότιου ημισφαιρίου αντίστοιχα. Ακόμα ( Α) S ds Α ds () C από το θεώρημα Stokes, όπου C η καμπύλη του ισημερινού (όριο του βόρειου ημισφαιρίου). Α ds Α ds Α ds () Επίσης S C' C αφού η φορά της καμπύλης C ορίζεται από τη φορά που στρέφεται δεξιόστροφος κοχλίας καθώς βιδώνει προς τη φορά του διανύσματος της επιφάνειας. Οι φορές των διανυσμάτων επιφάνειας στο βόρειο και νότιο ημισφαίριο είναι αντίθετες, άρα και οι φορές των C και C θα είναι αντίθετες. Από τις (), () προκύπτει ότι () Α ds Α ds Α ds 0 S S είτε ακόμα PS, τα παραδείγματα του Κεφαλαίου, με έμφαση στα: Eample 5 (σελ. 7), Eample 6 (σελ. 9). Άλυτες ασκήσεις. Εκφράστε το A B σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. cosθ snθ. ίνεται το διανυσματικό πεδίο R ˆ ˆ θ (σφαιρικές συντεταγμένες). Εκφράστε το σε καρτεσιανές συντεταγμένες.
. ίνονται τα διανύσματα: A ˆ yˆ B ˆ zˆ C yˆ zˆ Συγκρίνετε τα διανύσματα: ( A B) C και A ( B C).4 είξτε ότι A B C D ( A C) ( B D) ( A D) ( B C).5 ίνεται το διανυσματικό πεδίο χ A yˆ χ yˆ zˆ χ y Εκφράστε το σε κυλινδρικές συντεταγμένες..6 ίνεται το βαθμωτό πεδίο ( Q cosθ ), όπου Q σταθερά. είξτε ότι η γωνία μεταξύ και ẑ είναι ανεξάρτητη του..7 Βρείτε το ρυθμό μεταβολής του βαθμωτού πεδίου κατά μήκος του διανύσματος ˆ yˆ zˆ. R y z στο σημείο (,,).8 είξτε ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της κλίσης βαθμωτής συνάρτησης κατά μήκος κλειστής καμπύλης είναι 0..9 Νερό διαρρέει κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R με άξονα συμμετρίας τον άξονα z. Η ταχύτητα ροής είναι: R (, t) κ( )ˆ z. R o είξτε ότι η μάζα διατηρείται κατά τη ροή (δηλαδή δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες μάζας).
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.0 Βρείτε τη ροή του διανυσματικού πεδίου R(, ϕ, z) ˆ ˆ ϕ zzˆ που βγαίνει από τον ημικύλινδρο που ορίζεται από, 0 ϕ π, 0 z. Υπολογίστε την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου και επαληθεύστε το θεώρημα του Gauss.. είξτε ότι για κάθε κεντρικό πεδίο δυνάμεων R() ˆ η περιστροφή είναι μηδέν ( 0). Βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού ψ για την οποία ισχύει R ψ. μ I. ίνεται διανυσματική συνάρτηση B ˆ ϕ (κυλινδρικός συντελεστής), όπου μ ο π και Ι σταθερές. Βρείτε τη διανυσματική συνάρτηση A για την οποία ισχύει B A, με οριακή συνθήκη A 0 για 0.. Επιβεβαιώστε το θεώρημα του Stokes για το διανυσματικό πεδίο R (, θ, ϕ) ˆ ˆ θ ˆ ϕ με επιφάνεια το /8 της σφαίρας με, δηλαδή π π, 0 θ, 0 ϕ..4 είξτε ότι R ( ) ( ). Μετά βρείτε τη διαφορική εξίσωση που ικανοποιούν οι συνιστώσες δισδιάστατου διανυσματικού πεδίου B B (, y) ˆ B (, y) yˆ που έχει περιστροφή και απόκλιση 0. y.5 Βρείτε το διανυσματικό πεδίο με τις παρακάτω ιδιότητες: ) ) R() ˆ ) (0) 0
.6 Αποδείξτε το θεώρημα του Geen: Αν R( ) και g ( ) είναι δύο βαθμωτές συναρτήσεις, τότε: ( R g g R) ds ( R g g R) d είτε ακόμα PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου, με έμφαση στις:.4,.5,.8,.4,.6,.8,.5,.9.