KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Αντί να συµβολίζουµε τις τιµές της µε α(), α(),,(), γράφουµε α, α,, α, και λέµε ότι ο α είναι ο νιοστός όρος της ακολουθίας. Συνήθως µία ακολουθία συµβολίζεται µε {α } N, ή α ή (α ). ιάγραµµα ή γραφική παράσταση µιας ακολουθίας : καλείται το σύνολο των σηµείων του επιπέδου {(, ): } Γ=. Όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα το διάγραµµα µιας ακολουθίας είναι ένα σύνολο διακεκριµένων σηµείων του επιπέδου..9.8.7.6 5 5 Μία ακολουθία µπορεί να ορισθεί ως εξής: (α) µε τη βοήθεια ενός γενικού τύπου όποτε αυτός έχει νόηµα, π.χ. α = +: α = +=, α = +=5, α = +=, (β) µε τη βοήθεια ενός αναδροµικού ή αναγωγικού τύπου ο οποίος συνδέει µε µία ισότητα διαδοχικούς όρους της ακολουθίας, π.χ. α =, α =3, α + = α +α -. Tότε: α 3 = α + α =3+=4, α 4 = α 3 + α =4+3=7, α 5 = α 4 + α 3 =7+4=, Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι η α είναι µία αναδροµική ακολουθία. Mία ακολουθία α καλείται άνω φραγµένη εάν 68

M M. : H α καλείται κάτω φραγµένη εάν M M. : H α καλείται φραγµένη εάν mm, : m M. Ισοδύναµα η α είναι φραγµένη εάν M > : M,. H α καλείται γνησίως αύξουσα (αντ. αύξουσα) εάν < (αντ. ). + + H καλείται γνησίως φθίνουσα (αντ. φθίνουσα) εάν > (αντ. ). + + Αν µία ακολουθία είναι (γνησίως) µονότονη. 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα τότε λέµε ότι η Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι η µελέτη του ορίου σε ένα σηµείο έχει νόηµα µόνον όταν το είναι σηµείο συσσώρευσης. Είδαµε επίσης παραπάνω ότι όλα τα σηµεία µιας ακολουθίας είναι αποµονωµένα. Εφόσον κάθε αποµονωµένο σηµείο ΕΝ είναι σηµείο συσσώρευσης, άρα όσον αφορά τις ακολουθίες το µόνο σηµείο συσσώρευσης αυτών είναι το +. Οσον αφορά τη συνέχεια είδαµε στο Κεφάλαιο ότι κάθε αποµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης ΕΙΝΑΙ σηµείο συνέχειας της συνάρτησης, άρα ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι µόνον η περίπτωση + µένει να µελετηθεί. Oρισµός 4.. Θα λέµε ότι η ακολουθία α έχει όριο τον πραγµατικό αριθµό, συµβολικά + =, αν ε > : > < ε. Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στο ακόλουθο σχήµα: Οποιοδήποτε ε> και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός έτσι ώστε για κάθε φυσικό αριθµό µεγαλύτερο του όλες οι τιµές της ακολουθίας εγκλωβίζονται εκατέρωθεν του πραγµατικού αριθµού α στο διάστηµα (α-ε,α+ε). 69

Oρισµός 4.. Θα λέµε ότι η ακολουθία α έχει όριο το +, συµβολικά =+, αν + ε > ( ε) : > > ε. Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθο σχήµα: Οποιοδήποτε ε> και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός έτσι ώστε για κάθε φυσικό αριθµό µεγαλύτερο του όλες οι τιµές της ακολουθίας α είναι µεγαλύτερες του ε. 8 6 4 5 5 5 3 Oρισµός 4..3 Θα λέµε ότι η ακολουθία α έχει όριο το -, συµβολικά =, αν + ε > ( ε) : > < ε. Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθο σχήµα: Οποιοδήποτε ε> και αν επιλέξουµε υπάρχει πάντα ένας φυσικός αριθµός έτσι ώστε για κάθε φυσικό αριθµό µεγαλύτερο του όλες οι τιµές της ακολουθίας α είναι µικρότερες του -ε. 7

5 5 5 3 - -4-6 -8 Σηµείωση Συµφωνούµε να λέµε ότι µία ακολουθία α συγκλίνει όταν συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικό αριθµό α. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα λέµε ότι η ακολουθία αποκλίνει στο ± ή δε συγκλίνει (εάν το όριο δεν υπάρχει). Μία ακολουθία α δεν έχει όριο όταν + όταν ισχύει η άρνηση του ορισµού δηλαδή: ε > :, > : ε. Aποκλίνουσες ακολουθίες.5 4.5 -.5 3 4-3 4 - -4 4.3 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών Πρόταση 4.3. Το όριο κάθε συγκλίνουσας ακολουθίας είναι µοναδικό. b Απόδ. Εστω, b. Τότε αν θεωρήσουµε ε = έχουµε: ε > : > < ε, ε > : > b < ε. Aν λοιπόν = m{, }, τότε: b b = + b + b < ε = = b, (άτοπο). Αρα α = b. Πρόταση 4.3. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη. 7

Απόδ. ε > : > < ε ε < < + ε. Aν λοιπόν φραγµένη. M ε = m{ +,,,..., }, τότε < M,, άρα η α είναι Πρόταση 4.3.3 Αν, b (, ) b, τότε: ( ) ( b ) ( b ) + ± b + = ± b = b. / = / b, b + Απόδ. Θα δείξουµε ότι ( b ) + = b. Εχουµε: b b = b b + b b = ( ) b + ( b b) b + b b < ε M+ ε. Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες. Πρόταση 4.3.4 (i) Aν. (ii) Aν ( ), τότε όλοι οι όροι της ακολουθίας εκτός πεπερασµένου πλήθους έχουν το πρόσηµο του ορίου α. (iii) Aν και b φραγµένη τότε b. (iv) Aν, b b και < b b. (v) Aν, c και < b < c b (Παρεµβολή). Απόδ. (i) < ε. (ii) < < <, >. (iii) b < Mε. ε ε ε ε (iv) < + b + < b+ + = b+ ε b. ε < b c < + ε b < ε b. (v) Πρόταση 4.3.4 Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα. Απόδ. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι η ακολουθία α είναι αύξουσα. Αφού το σύνολο A= { : } είναι φραγµένο θα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγµα, έστω = sup A. Θα δείξουµε ότι. Εστω ε >. Εφόσον α-ε < α, ο α-ε δεν είναι άνω φράγµα του Α άρα από γνωστή Πρόταση (βλέπε Κεφ. ) υπάρχει 7

: > ε. Εφόσον η α είναι αύξουσα έχουµε ο α είναι άνω φράγµα έχουµε. ηλαδή: και εφόσον ε < < < + ε < ε. Aν τώρα η ακολουθία α είναι αύξουσα αλλά όχι άνω φραγµένη, τότε M > : > M, οπότε > ισχύει > M, άρα + =+. Σηµείωση Για την εύρεση ορίων ακολουθιών χρησιµοποιούµε τις παραπάνω ιδιότητες εφόσον δεν προκύπτουν απροσδιόριστες µορφές. Όταν προκύπτει απροσδιόριστη µορφή (βλέπε Κεφ. ) προσπαθούµε να άρουµε την απροσδιοριστία. Πολλές φορές, (όταν ο ορισµός της ακολουθίας γίνεται µε γενικό τύπο π.χ. α = ), για να υπολογίσουµε το όριο +, ορίζουµε την αντίστοιχη συνάρτηση f() θέτοντας στον τύπο της ακολουθίας όπου = και υπολογίζουµε το όριο της συνάρτησης f() όταν +. Πρόταση 4.3.5 (i) Aν α b για κάθε > και αν b + τότε +. (ii) Aν α b για κάθε > και αν b τότε. Aπόδ. (i) Από τον ορισµό, ε > ( ε) : > b > ε, άρα αφού α b για κάθε >, έχουµε (ii) Oµοια. { } ε > = > > +. m, : b ε + Πρόταση 4.3.6 (D Alembert) (i) Aν + = λ > τότε +. + (ii) Aν + = λ < τότε. Πρόταση 4.3.7 (Cuchy) (i) Aν + = λ < τότε. (ii) Aν + = λ > τότε +. Πρόταση 4.3.8 (Stolz) Eστω µία ακολουθία και µία ακολουθία b η οποία είναι γνησίως αύξουσα µε + b =+, τότε: + + = λ + = λ. b+ b b 73

ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΠΟΥ ΘΑ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΑ: < < + =, =. + > Πράγµατι αν ορίσουµε τη συνάρτηση f() = α (α>) τότε είναι γνωστό ότι + =, < <, ενώ + = +, >. + =, oταν < <. Ορίζουµε f() = α (<α<) (>), oπότε έχουµε απροσδιόριστη µορφή (+ ). Εφαρµόζουµε τον κανόνα L Hospitl -φορές: + =, b + = > b ( )( )... + =... = + =. b l b b (l b) + =, >. H ακολουθία b = + είναι γνησίως αύξουσα και φραγµένη. Επιπλέον: + b = e. Γενικότερα ισχύει: + e, +. 4.4 Yπακολουθίες-Ανώτερο και κατώτερο όριο-ακολουθίες Cuchy Oρισµός 4.4. Εστω φ :, είναι µία γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε η ακολουθία φ ( ) καλείται υπακολουθία της. Για παράδειγµα οι ακολουθίες, +,,,,... 3 = είναι υπακολουθίες της. Oρισµός 4.4. Ο αριθµός ξ καλείται οριακός αριθµός µιας ακολουθίας όταν σε κάθε περιοχή του σηµείου ξ (δηλαδή σε κάθε ανοικτό διάστηµα της µορφής (ξε,ξ+ε)) υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας. 74

ηλαδή οι οριακοί αριθµοί µιας ακολουθίας είναι: (α) τα σηµεία συσσώρευσης του συνόλου τιµών των όρων της, ή (β) κάθε τιµή των όρων της που επαναλαµβάνεται άπειρες φορές. Oρισµός 4.4.3 Ο µεγαλύτερος (αντ. µικρότερος) από τους οριακούς αριθµούς µιας ακολουθίας καλείται ανώτερο όριο της και συµβολίζεται µε η sup (αντ. η if ). Προφανώς µία ακολουθία είναι συγκλίνουσα αν και µόνον αν έχει ΜΟΝΑ ΙΚΟ οριακό αριθµό, δηλαδή: = =. Σηµείωση 3 Αν µία ακολουθία έχει περισσότερους του ενός οριακούς αριθµούς καλείται µη συγκλίνουσα ακολουθία. Παράδειγµα: H ακολουθία = ( ) είναι µη συγκλίνουσα ακολουθία. Πράγµατι: + =, + =, +. Άρα η ακολουθία = ( ) έχει δύο οριακούς αριθµούς το ±. Προφανώς: = =. Ορισµός 4.4.4 (ακολουθίες Cuchy) Mία ακολουθία καλείται ακολουθία Cuchy αν ε > N > < ε. :, m m Ισχύει δε η ακόλουθη: Πρόταση 4.4. (κριτήριο Cuchy) Mία ακολουθία είναι συγκλίνουσα η είναι ακολουθία του Cuchy. Σηµείωση 4 Η Πρόταση 4.4. είναι σηµαντική διότι µας δίνει τη δυνατότητα να αποδείξουµε ότι µία ακολουθία είναι συγκλίνουσα χωρίς να γνωρίζουµε εκ των προτέρων το όριό της όπως απαιτεί ο ορισµός της συγκλίνουσας ακολουθίας. Θεώρηµα 4.4. (Bolzo-Weierstrss) Kάθε φραγµένη ακολουθία έχει τουλάχιστον µία συγκλίνουσα υπακολουθία. Απόδ. Αν το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι πεπερασµένο τότε ένας τουλάχιστον όρος της ακολουθίας παρουσιάζεται άπειρες φορές οπότε έχουµε ένα 75

τουλάχιστον οριακό σηµείο. Αν το σύνολο των όρων της είναι άπειρο τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώρευσης, άρα έχουµε πάλι ένα τουλάχιστον οριακό σηµείο. Λαµβάνοντας υπόψην ότι τα οριακά σηµεία µιας ακολουθίας είναι όρια συγκλινουσών υπακολουθιών της έχουµε το ζητούµενο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Mε χρήση του ορισµού να δειχθεί ότι: + =, =+. + Λύση. (α) Αρκεί να δειχθεί ότι ε > ( ε): > < ε. Εχουµε: > = <., Θέτουµε ε = και λύνουµε ως προς ε, άρα: ε = = ε = ε, και επειδή ο είναι φυσικός αριθµός θεωρούµε = +, όπου [.] είναι το ε ακέραιο µέρος ενός αριθµού (βλέπε Κεφ. ), οπότε: ε > = : + > < = < = ε ε + ε ε (Υπενθύµιση: [] < []+), συνεπώς από τον ορισµό του ορίου έχουµε + =. (β) Αρκεί να δειχθεί ότι ε > ( ε): > > ε. Εχουµε >, >. Θέτουµε ε = και λύνουµε ως προς ε, άρα: ε = = ε, και επειδή ο είναι φυσικός αριθµός, θεωρούµε = ε +, οπότε: 76

( ) ( ) ε > = ε : ε ε + > > = + > = ε, συνεπώς από τον ορισµό του ορίου έχουµε + = +.. Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: + ( e ) συν ( ) +, (β) + (γ) + 3 3 3 3 + + + + + ( δ ), (ε), (στ) 4 3+ 3 + + 5 + +... + ( ζ ) +, (η) + ( + ) Λύση (α) Θέτουµε f( ) = και υπολογίζουµε το όριο + f( ) =+ 3 χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες ορίων συναρτήσεων. (β) συν ( ) + e ( ) + συν e, +, (παρεµβολή), άρα, +. (γ) Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως = 3 + υ, υ =,,. Τότε: 3+ υ 3+ υ υ υ υ υ υ 3 = = + + = + = 3 3 3 3 3 3 3 3 άρα η ακολουθία έχει 3 οριακά σηµεία τα,/3, /3 άρα δεν συγκλίνει. (δ) Ορίζουµε f( ) = + 3 4 3+ 3 και υπολογίζουµε το όριο f( ) =+. + + (ε) Ορίζουµε f( ) =. Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι + + + =, ενώ το όριο του εκθέτη είναι + = +, άρα έχουµε: + + + + = =. + 77

(στ) Ορίζουµε f( ) =. Παρατηρούµε ότι το όριο της βάσης είναι + 5 + =, ενώ το όριο του εκθέτη είναι + = +, άρα έχουµε + 5 απροσδιόριστη µορφή. Εχουµε: + + 5 l l + + 5 + 5 = + e = e LHosp '. =... = e =. (ζ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή /. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα Stolz: Eστω = + +... +, b =. Προφανώς η b είναι γνησίως αύξουσα και b +, άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος και εφόσον: + +... + = =+ = =+ b b b + + + + + + (η) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή + -. Εργαζόµαστε όπως στις (α), (δ),(ε),(στ). 3. 78

4. 5. 6. 79

7. 8

8. Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας! =. Λύση. ( + )! ( + ) + + + = + = + = <! e από το κριτήριο D Alembert. + ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: 8 4 ( ) + + + ( ) + b ( ) 3 + + + ( ) 4 5 6 + ( ) + ( ) ( ) l ( ) + + + + ( ) ηµ ( ) + ηµ + ( 7 ) + + + 5 ( 8 ) + 5 + ηµ 5 ( 9 ) + ( ) + συν ( 3 π /5) ( ) (l( + ) l( )) ( ) + 4+ 3 ( 3) + ( ) + ( ) 4 + + + +... + 8

. Να δείξετε ότι: +... + (α) αν, +. (β) µε χρήση της (α) να δείξετε ότι:..., +. 3. Χρησιµοποιώντας την άσκηση (β) να δείξετε ότι: λ + + =. λ Εφαρµογή: Υπολογίστε το όριο! =. 4. Η ακολουθία α ορίζεται από την αναδροµική σχέση: +, = =. +, > είξτε ότι, + 5. Η ακολουθία α ορίζεται από την αναδροµική σχέση: +, = = 3 + 4., > + 3 είξτε ότι. 6. Εστω µία φραγµένη ακολουθία τέτοια ώστε + +. είξτε ότι η ακολουθία b = + είναι συγκλίνουσα. 7. είξτε ότι αν η και + όρων συγκλίνουν), τότε. (οι υπακολουθίες των άρτιων και περιττών 8