ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισµός Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

Transcript

1 Νικόλαος Ατρέας ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισµός Συναρτήσεων µιας Μεταλητής ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 3

2 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών σελ 4 ιατεταγµένα σώµατα Αξίωµα πληρότητας Πληθάριθµος συνόλου 3 Η τοπολογία του 4 Το επεκτεταµένο σύνολο Ασκήσεις Κεφάλαιο : Συναρτήσεις Οριο-Συνέχεια σελ 8 Ορισµοί Πράξεις µε συναρτήσεις 3 Οριο συνάρτησης 4 Συνέχεια Θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων 5 Γνωστές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους Ασκήσεις Κεφάλαιο 3: Παράγωγος συνάρτησης σελ 44 3 Ορισµοί 3 Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου 33 Ιδιότητες της παραγώγου 34 Εφαρµογές της παραγώγου 35 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Ασκήσεις Κεφάλαιο 4: Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών σελ 6 4 Ορισµοί 4 Συγκλίνουσες ακολουθίες 43 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών 44 Υπακολουθίες Ανώτερο και κατώτερο όριο Ακολουθίες Cuchy Ασκήσεις Κεφάλαιο 5: Σειρές πραγµατικών αριθµών σελ 73 5 Ορισµοί

3 5 Σειρές θετικών όρων Κριτήρια σύγκλισης 53 Εναλλάσουσες σειρές Ασκήσεις Κεφάλαιο 6: υναµοσειρές Σειρές Tylor σελ 86 6 Ορισµοί 6 Πολυώνυµο Τylor 63 Σειρά Tylor Ασκήσεις Κεφάλαιο 7: Το ορισµένο ολοκλήρωµα σελ 97 7 Εισαγωγή 7 Κριτήρια ολοκληρωσιµότητας 73 Ιδιότητες ολοκληρώµατος Riem 74 Θεωρήµατα µέσης τιµής ολοκληρωτικού Λογισµού 75 Αντιπαράγωγος και ορισµένα ολκληρώµατα Ασκήσεις Κεφάλαιο 8: Το αόριστο ολοκλήρωµα σελ 8 8 Ορισµοί 8 Μέθοδοι ολοκλήρωσης 83 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων 84 ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων Ασκήσεις Κεφάλαιο 9: Εφαρµογές ορισµένου ολοκληρώµατος σελ 34 9 Εµαδόν χωρίου 9 Μήκος καµπύλης 93 Ογκος στερεού εκ περιστροφής και εµαδόν παρπα λευρης επιφάνειας στερεού εκ περιστροφής Ασκήσεις Κεφάλαιο : Μη γνήσια ολοκληρώµατα σελ 4 3

4 KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αελιανή οµάδα, δηλαδή + y Σ, y Σ, + y = y+, y Σ, ( + y) + z = + ( y+ z), y, z Σ, µοναδικό µηδενικό στοιχείο του Σ: + = + = Σ, µοναδικό αντίθετο στοιχείο Σ : + = + = Το αντίθετο στοιχείο του στο εξής θα συµολίζεται µε στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη τoυ πολ/σµού ως προς την οποία το σύνολο Σ είναι επίσης αελιανή οµάδα, δηλαδή y Σ, y Σ y= y, y Σ, ( y) z= ( yz), y, z Σ, µοναδικό µοναδιαίο στοιχείο του Σ: = = Σ, µοναδικό αντίστροφο στοιχείο Σ : = = Το αντίστροφο στοιχείο του στο εξής θα συµολίζεται µε - Eπιπλέον ο πολ/σµός είναι πράξη επιµεριστική ως προς την πρόσθεση δηλαδή: Η πράξη της αφαίρεσης ορίζεται ως εξής ενώ η πράξη της διαίρεσης ορίζεται ως ( + y) z = z+ y z, y, z Σ y = + ( y), y Σ, 4

5 / y = y, y Σ, y 3 υπάρχει µία διάταξη στο σύνολο Σ, δηλαδή θεωρούµε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο Θ του συνόλου Σ κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού το οποίο καλείται σύνολο των θετικών στοιχείων του Σ έτσι ώστε Σ να ισχύει ο νόµος της τριχοτοµίας: Λέµε τότε Θ ή Θ ή = < y y Θ Aπό τον παραπάνω ορισµό έπεται ότι Θ > Eύκολα διαπιστώνουµε τις κάτωθι ιδιότητες της διάταξης, y Σ < y ή > y ή = y Αν < y και y< z < z Αν < y και z > z< y z Από τη στιγµή που έχουµε ορίσει σε ένα σώµα Σ µία διάταξη (συµολικά <), µπορούµε πλέον να µιλάµε για υποσύνολα του Σ άνω και κάτω φραγµένα Πράγµατι, έστω Σ είναι ένα διατεταγµένο σώµα Ενα υποσύνολο Α του Σ καλείται άνω φραγµένο εάν Σ: A, κάτω φραγµένο εάν Σ: A, φραγµένο εάν είναι άνω και κάτω φραγµένο Αν το στοιχείο α Σ είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α, τότε κάθε στοιχείο α Σ τέτοιο ώστε α > α είναι επίσης ένα άνω φράγµα του Α, οπότε είναι φυσικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει κάποιο ελάχιστο άνω φράγµα του Α Ορισµός Εστω Α είναι ένα άνω φραγµένο υποσύνολο του Σ Θα λέµε ότι το στοιχείο α Σ είναι ελάχιστο άνω φράγµα του συνόλου Α εάν το είναι ένα άνω φράγµα του συνόλου Α, αν α είναι ένα άλλο άνω φράγµα του συνόλου Α τότε Ορισµός Εστω Α είναι ένα κάτω φραγµένο υποσύνολο του Σ Θα λέµε ότι το α Σ είναι µέγιστο κάτω φράγµα του συνόλου Α εάν 5

6 το είναι ένα κάτω φράγµα του συνόλου Α, αν α είναι ένα άλλο κάτω φράγµα του Α τότε Σηµείωση Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα (εάν υπάρχουν), ενός συνόλου Α είναι µοναδικά Πράγµατι αν α, α είναι δύο ελάχιστα άνω φράγµατα του Α τότε και, οπότε = Το ελάχιστο άνω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει) καλείται supremum (sup) του συνόλου Α, ενώ το µέγιστο κάτω φράγµα συνόλου Α (αν υπάρχει), καλείται ifimum (if) του συνόλου Α Σηµείωση Το ελάχιστο άνω φράγµα και το µέγιστο κάτω φράγµα µπορεί να ανήκουν ή να µην ανήκουν στο σύνολο Α Πρόταση Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α Σ Τότε: ( i) ειναι ανω φραγµα του A = sup A ( ii) ε > A: > ε Aπόδ Eστω α = supa Τότε το α είναι άνω φράγµα του Α Εστω ε > Εάν για κάθε A ίσχυε ε τότε το α-ε θα ήταν επίσης άνω φράγµα του Α, άρα ε ε (άτοπο) Αρα: ε > A: > ε Aντίστροφα έστω ότι ικανοποιούνται οι (i) και (ii) Aν υποθέσουµε ότι sup A τότε θα υπάρχει = sup A και < α Αφού λοιπόν η (ii) ισχύει για κάθε ε > θα ισχύει και για ε = α- > Τότε όµως A : > (άτοπο) Οµοίως αποδεικνύεται ότι Πρόταση Εστω Α είναι ένα υποσύνολο συνόλου Σ και έστω α Σ Τότε ( i) ειναι κ ατω φραγµα του A = if A ( ii) ε > A: < + ε Για να διασφαλίσουµε την ύπαρξη των sup και if χρειαζόµαστε το ακόλουθο: Aξίωµα (Πληρότητας ή συνέχειας): Θα λέµε ότι ένα διατεταγµένο σώµα Σ ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας αν σε οποιαδήποτε τοµή L και R του σώµατος Σ υπάρχει αριθµός ξ Σ έτσι ώστε κάθε αριθµός µικρότερος του ξ να ανήκει στο σύνολο L και κάθε αριθµός µεγαλύτερος του ξ να ανήκει στο σύνολο R Eνα διατεταγµένο σώµα Σ που ικανοποιεί το αξίωµα της πληρότητας καλείται ολικά ή πλήρως διατεταγµένο σώµα και σε ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Σ κάθε µη κενό και φραγµένο υποσύνολο Α έχει ifimum α Σ και supremum Σ 6

7 Σηµείωση Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι άνω φραγµένο θα γράφουµε ότι sup A =+ Στην περίπτωση που ένα σύνολο Α δεν είναι κάτω φραγµένο θα γράφουµε ότι if A = H άση των αριθµών ρίσκεται στην απλή απαρίθµηση δηλαδή στους φυσικούς αριθµούς =,,3,,,, { } όπου ορίζουµε τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού Σηµείωση 4 Το σύνολο των φυσικών αριθµών ορίζεται συχνά σαν το µικρότερο επαγωγικό σύνολο, δηλαδή σαν το µικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τις ιδιότητες:, Αν τότε + Ισχύει µάλιστα Θεώρηµα (Αρχή της επαγωγής) Εστω Π() είναι µια µαθηµατική πρόταση που εξαρτάται από το φυσικό αριθµό Aν η Π() είναι αληθής και αν για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει Π() αληθής Π(+) αληθής, τότε η πρόταση Π() είναι αληθής για κάθε φυσικό αριθµό Το σύνολο έχει αδυναµίες, πχ δεν υπάρχει αντίθετος ενός φυσικού αριθµού και έτσι δεν µπορούµε να αφαιρέσουµε φυσικούς αριθµούς Η άρση της αδυναµίας αυτής γίνεται µε τον ορισµό του συνόλου των ακεραίων: {,,,,,,, } =, αλλά και αυτό το σύστηµα παρουσιάζει αδυναµίες, πχ δεν υπάρχει πάντα ο αντίστροφος ενός ακεραίου και άρα δεν µπορούµε να διαιρέσουµε δύο οποιουσδήποτε ακέραιους αριθµούς (µε το αποτέλεσµα εντός του συνόλου ) Ετσι λοιπόν ορίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών m = : m, Z, το οποίο είναι πλέον διατεταγµένο σώµα Μάλιστα είναι το µικρότερο διατεταγµένο σώµα, αφού µπορούµε να δείξουµε ότι κάθε άλλο διατεταγµένο σώµα περιέχει το σύνολο 7

8 Μία ακόµη σηµαντική ιδιότητα του συνόλου των ρητών αριθµών (και γενικότερα ενός διατεταγµένου σώµατος) είναι ότι η διάταξή του είναι πυκνή, δηλαδή εάν < y z : < z< y Πράγµατι, αρκεί να ορίσουµε: + y z = ( + y)(+ ) = υστυχώς και το σύνολο των ρητών αριθµών έχει αδυναµίες, πχ αν θεωρήσουµε το σύνολο Q :, { } τότε το σύνολο αυτό δεν έχει supremum Πράγµατι, ισχύει: Πρόταση 3 εν υπάρχει ρητός αριθµός α τέτοιος ώστε: = Aπόδ Eστω ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί pq, N : = q και οι p,q είναι πρώτοι µεταξύ τους Επειδή p = p = q q ο p είναι άρτιος, άρα και ο p είναι άρτιος Eστω p = k, τότε: p = q k = q, άρα και ο q είναι άρτιος, συνεπώς και ο q είναι άρτιος το οποίο είναι άτοπο διότι υποθέσαµε ότι οι p,q είναι πρώτοι µεταξύ τους Υπάρχουν λοιπόν αριθµοί που δεν είναι ρητοί Αυτοί οι αριθµοί καλούνται άρρητοι αριθµοί Για να επιλύσουµε την παραπάνω αδυναµία του συνόλου των ρητών αριθµών, πρέπει να δεχθούµε ένα επιπλέον αξίωµα αυτό της πληρότητας, ορίζοντας έτσι ένα νέο σύνολο, αυτό των πραγµατικών αριθµών εχόµαστε λοιπόν ότι Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Αποδεικνύεται µάλιστα ότι: Θεώρηµα Υπάρχει µόνον ένα πλήρως διατεταγµένο σώµα Ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις: Πρόταση 4 Για κάθε υπάρχει µοναδικός ακέραιος m : m < m+ O µοναδικός αυτός ακέραιος καλείται ακέραιο µέρος του και συµολίζεται ως [] 8

9 Πρόταση 5 (Aρχιµήδεια ιδιότητα) Αν ε > και τότε υπάρχει φυσικός αριθµός : ε > Πρόταση 6 Αν y, τότε υπάρχει ρητός αριθµός p : < p< y Η πρόταση αυτή υπονοεί ότι κάθε άρρητος αριθµός προσεγγίζεται από έναν ρητό αριθµό µε όσο σφάλµα θέλουµε Πληθάριθµος συνόλων Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Α καλείται πληθάριθµος του συνόλου Α ύο σύνολα καλούνται ισοδύναµα όταν υπάρχει µία - αντιστοιχία µεταξύ των στοιχείων τους ύο ισοδύναµα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθµο Το σύνολο των φυσικών αριθµών είναι το µικρότερο σε πλήθος στοιχείων άπειρο σύνολο Σύνολα ισοδύναµα µε το καλούνται αριθµήσιµα σύνολα Σύνολα που δεν είναι αριθµήσιµα καλούνται υπεραριθµήσιµα Αποδεικνύεται ότι τόσο το σύνολο των ακεραίων, όσο και το σύνολο των ρητών αριθµών είναι αριθµήσιµα σύνολα Όµως το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο σύνολο (οπότε και οι άρρητοι αριθµοί είναι σύνολο υπεραριθµήσιµο) Γενικά το αξίωµα της πληρότητας κάνει ένα διατεταγµένο σύνολο υπεραριθµήσιµο 3 Τοπολογία του Εστω α,b πραγµατικoί αριθµοί Το σύνολο { : } I = < < b καλείται ανοικτό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµολίζεται ως (α,b) Oµοίως το σύνολο I = : b { } καλείται κλειστό διάστηµα µε άκρα τα α και b και συµολίζεται µε [α,b] Tα σύνολα { : } { : } I = < b I = < b καλούνται ηµιανοικτά διαστήµατα µε άκρα τα α και b και συµολίζονται µε [α,b) και (α,b] αντίστοιχα Oρισµός 3 Eστω Καλούµε περιοχή π ε ( ) κέντρου και ακτίνας ε το ανοικτό διάστηµα 9

10 ( ) π ( ) = ε, + ε ε Oρισµός 3 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται ανοικτό σύνολο αν ε > : π ε ( ) A A Τα σύνολα, είναι ανοικτά σύνολα Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο, ενώ η ένωση οσονδήποτε ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Oρισµός 33 Eνα υποσύνολο Α του συνόλου των πραγµατικών αριθµών καλείται κλειστό σύνολο αν το συµπλήρωµά του -A είναι ανοικτό σύνολο Oρισµός 34 Eνα σηµείο καλείται σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν ε >, π ε ( ) { } A To σύνολο Α των σηµείων συσσώρευσης ενός συνόλου Α καλείται παράγωγο σύνολο του Α Το σύνολο A A καλείται κλειστότητα του Α Αποδεικνύονται οι ακόλουθες προτάσεις: Πρόταση 3 Α είναι κλειστό το Α περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσης του Πρόταση 3 Αν είναι ένα σηµείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α τότε σε κάθε περιοχή π ε ( ) του υπάρχουν άπειρα στοιχεία του συνόλου Α Πρόταση 33 Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο του έχει ένα τουλάχιστον σηµείο συσσώρευσης Πόρισµα 3 Τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης 4 Το επεκτεταµένο σύνολο Ορίζουµε το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών ως εξής όπου { } = -,+, + + = = - (+ ) ( + ) = + (+ ) ( - ) = - (- ) ( - ) = + (- ) ( + ) = - α ± = ±, α α (± ) = ±, α>

11 α / (± ) =, α ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οι κάτωθι πράξεις είναι απροσδιόριστες µορφές, δηλαδή το αποτέλεσµά τους ΕΝ είναι εκ των προτέρων µονοσήµαντα ορισµένο: / + - ή - + (± ) (±) / (±) / ± (+) - Χρήσιµες Ταυτότητες-Ανισότητες ( + ) + + = ( + )(+ ) + + = 6 3 b ( b)( b b b b ),,, b = Εφαρµογή Για α =, b, η παραπάνω ισότητα γίνεται b = ( b)( + b+ b + + b + b ), ή ισοδύναµα b + b+ b + + b + b = (άθροισµα -όρων γεωµετρικής προόδου) b ιωνυµικό ανάπτυγµα + b = b k = k ( ) k k,! o που =,!=,! = 3, k k!( k)! Ανισότητα Cuchy-Schwrz b k k k bk, k, bk k= k= k= Aνισότητα γεωµετρικού-αριθµητικού-αρµονικού µέσου

12 , i >, ( ) Aνισότητα Βeroulli + +, >, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε το sup, if και το παράγωγο σύνολο Α των κάτωθι υποσυνόλων της πραγµατικής ευθείας: { } A= : ( )( b)( c) <, < b< c B = + ( ) :, { } + ( ) C = + ( ) + : Λύση (α) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι A = (, ) ( b, c), άρα if A=, sup A= c Το παράγωγο σύνολο Α είναι A = [, ] [ b, c] () Προφανώς Β = {,}, το οποίο υπολογίζεται επιλέγοντας =k (άρτιος) ή =k+ (περιττός) αντίστοιχα, άρα: if B=, sup B= Το παράγωγο σύνολο A = διότι τα πεπερασµένα σύνολα δεν έχουν σηµεία συσσώρευσης (γ) Προφανώς το σύνολο C µπορεί να γραφεί ως εξής /, περιττος C =, (/ ), ρτιος άρα if C = (επειδή lim + = ) και supc = (επειδή lim + = ) Το παράγωγο σύνολο A = {, }, διότι οσοδήποτε µικρή περιοχή των δύο αυτών σηµείων και αν θεωρήσουµε, αυτή πάντοτε θα περιέχει στοιχεία του συνόλου C Να δείξετε ότι το σύνολο { : < < } δεν έχει supremum στο Λύση Εστω p είναι ένα στοιχείο του συνόλου, τότε p < Θα δείξουµε ότι για κάθε στοιχείο του συνόλου υπάρχει πάντοτε ένα µεγαλύτερο αυτού που είναι επίσης στοιχείο του συνόλου Υποθέτουµε λοιπόν ότι h είναι ένας ρητός αριθµός τέτοιος ώστε < h < και υπολογίζουµε

13 ( ) ( ) ( ) p + h = p + ph+ h = p + p+ h h< p + p+ h, p οπότε αν ορίσουµε h = αντικαθιστώντας στο δεξιό µέλος της παραπάνω p + σχέσης παίρνουµε ( p+ h) <, άρα ( p+ h) { : < } Q 3 Nα δείξετε ότι (α) + + =, k k k! o που =, = και! = 3, k k!( k)! () ( ) k k + b = b k = k Λύση (α)!! + = + k k ( k )!( ( k ))! k!( k)!!! = + ( k )!( k)!( k+ ) ( k )! k ( k)! (! k) + (! ( k+ ))! ( + ) = = ( k )! k ( k)!( k+ ) k! ( k+ )! ( + )! + = = k! ( + k)! k () Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για = ισχύει η πρόταση Υποθέτουµε ότι για λ = ισχύει + b = b k = k ( ) και θα δείξουµε ότι για λ = + ισχύει Πράγµατι ( ) k k k + k + b = b k = k + k k ( + b) = ( + b) ( + b) = b ( + b) k = k 3

14 = b + b k= k k= k k+ k k + k = b + b + b λ= λ k = k k += λ + λ + λ k + k + λ r = + b + b + b r= r r= r k= = + r + r r + r + = + + b + b + r + r + r= r r + + = + b + b = b r= r r= r + + r + r + r + r ( ) + + +, >, 4 Nα δείξετε ότι ( ) Λύση Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο της επαγωγής Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για = ισχύει η πρόταση Υποθέτουµε ότι για k = ισχύει και θα δείξουµε ότι για k = + ισχύει ( ), ( + ) ( + ) ( ) ( ) Πράγµατι: + ( ) ( + ) = ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( ) = + ( + ) + + ( + ) ( ) Εάν ε > ισχύει α < b + ε να δειχθεί ότι α b Λύση Θα εργασθούµε µε την εις άτοπον απαγωγή Αν υποθέσουµε ότι ισχύει α > b, α b τότε αφού η σχέση α < b + ε ισχύει ε > θα ισχύει και για ε = > Τότε 4

15 b b b b α α + + ε = + = < α (άτοπο), άρα δεν ισχύει η υπόθεσή µας α > b, άρα από το νόµο της τριχοτοµίας α b 6 Αν Α,Β είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών να δειχθεί ότι if( A+ B) = if A+ if B Λύση Εφόσον Α,Β είναι φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών έχουν µέγιστο κάτω φράγµα ifa, ifb Eστω A+ B = y+ z, y A, z B = y+ z if A+ if B Α+Β είναι κάτω φραγµένο if A+ if B είναι ένα κάτω φράγµα του Α+Β Εφόσον το σύνολο Α+Β έχει µέγιστο κάτω φράγµα if(a+β) και εφόσον το if A + if B είναι ένα κάτω φράγµα του έχουµε if( A+ B) if A+ if B Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι if( A+ B) if A+ if B Θα εργασθούµε µε τη µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής Υποθέτουµε ότι τότε if( A+ B) if A> if B, άρα υπάρχει z B: οπότε υπάρχει y A: if( A+ B) > if A+ if B, (α) if( A+ B) if A> z if( A+ B) z > if A, if( A+ B) z > y if( A+ B) > y+ z A+ B, άτοπο, διότι if( A+ B) A+ B άρα δεν ισχύει η αρχική µας υπόθεση (α), οπότε αναγκαστικά if( A+ B) if A+ if B Εφόσον λοιπόν αποδείξαµε ότι if( A+ B) if A+ if B και ταυτόχρονα if( A+ B) if A+ if B, από το νόµο της τριχοτοµίας έχουµε ότι: if( A+ B) = if A+ if B 7 Να αποδειχθεί η ανισότητα Cuchy-Schwrz: b k k k bk, k, bk k= k= k= 5

16 Λύση Eστω λ, τότε k λ bk k λ kbk λ bk k= k= k= k= = + To δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας είναι ένα τριώνυµο του λ µη αρνητικό για κάθε τιµή του λ, άρα πρέπει η διακρίνουσά του να είναι µικρότερη ή ίση του µηδενός, δηλαδή: b k k k bk k= k= k= 4 4, οπότε προκύπτει το ζητούµενο ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε το sup, if και το παράγωγο σύνολο Α των κάτωθι υποσυνόλων της πραγµατικής ευθείας: A = + ( ) + :, 3 +, = 3k B=, = 3k+, k + ( ), = 3k + Με τη µέθοδο της επαγωγής να δείξετε ότι: ( + ) + + = ( + )(+ ) + + = 6 3 Nα δείξετε ότι Αν Α,Β φραγµένα υποσύνολα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, να δείξετε ότι: ( i) sup( A+ B) = sup A+ sup B, ( ii) if( A B) = mi{ if A,if B}, λif A, λ > ( iii) if( λa) =, λ λsup A, λ < 6

17 5 Nα δειχθεί ότι = (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το διωνυµικό ανάπτυγµα) 6 Αν, b > i µε i i = και b b b =, να δείξετε ότι: ( b b b ) (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα Cuchy-Schwrz) 7 Nα δειχθεί ότι +! (Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την ανισότητα γεωµ-αριθµ µέσου) 7

18 KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ενώ το σύνολο Β καλείται σύνολο άφιξης της συνάρτησης f Κάθε στοιχείο y του συνόλου Β καλείται εικόνα του στοιχείου µέσω της συνάρτησης f και συµολίζεται ως y = f() Aν το σύνολο Β είναι υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών τότε η f καλείται πραγµατική συνάρτηση Αν το πεδίο ορισµού της f είναι υποσύνολο του τότε η f καλείται συνάρτηση πραγµατικής µεταλητής Στο εξής θα ασχοληθούµε µόνο µε πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταλητής Εστω f : A Τότε: Το σύνολο f ( A) = { y : y = f( ) } f Προφανώς f( A) καλείται πεδίο τιµών της συνάρτησης H f καλείται αµφιµονότιµη συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της εάν, A: f( ) f( ) ή ισοδύναµα εάν, A: f( ) = f( ) = Η f καλείται επί του συνόλου B αν y B A: f( ) = y Προφανώς η f είναι επί του πεδίου τιµών της f(α) Σηµείωση Μία αµφιµονότιµη συνάρτηση f : A f( A) καλείται συνάρτηση - Η f καλείται άνω φραγµένη στο Α εάν M : f( ) M A Η f καλείται κάτω φραγµένη στο Α εάν M : f( ) M A Η f καλείται φραγµένη στο Α εάν 8

19 mm, : m f( ) M A Ισοδύναµα η f καλείται φραγµένη στο Α εάν M > : f( ) M A H f καλείται γνησίως αύξουσα (αντ αύξουσα) στο Α εάν, A: < ( αντ ) f( ) < f( ) ( αντ f( ) f( )) Η f καλείται γνησίως φθίνουσα (αντ φθίνουσα) στο Α εάν, A: < ( αντ ) f( ) > f( ) ( αντ f( ) f( )) Αν µία συνάρτηση f είναι (γνησίως) αύξουσα ή (γνησίως) φθίνουσα στο Α τότε λέµε ότι η f είναι (γνησίως) µονότονη στο Α Η f καλείται άρτια συνάρτηση στο Α εάν για κάθε A, A και f ( ) = f( ) Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y y Η f καλείται περιττή συνάρτηση στο Α εάν για κάθε A, A και f ( ) = f( ) Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Η f καλείται Τ- περιοδική συνάρτηση αν για κάθε A, + T A και f ( + T) = f( ), όπου ο Τ είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει η παραπάνω ισότητα Οι γραφικές παραστάσεις περιοδικών συναρτήσεων είναι επαναλαµανόµενες κόπιες ανά διαστήµατα µήκους Τ ύο συναρτήσεις f: A f( A), f : A f( A) καλούνται ίσες όταν έχουν κοινό πεδίο ορισµού και ίδιο τύπο, δηλαδή όταν Α = Α και f( ) = f( ), A 9

20 Πράξεις µε συναρτήσεις Εστω f: A f( A), f : A f( A) είναι πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταλητής, τότε ορίζουµε τις κάτωθι πράξεις: Πρόσθεση: ( ) A A, f + f ( ) = f ( ) + f ( ) Aφαίρεση: ( ) A A, f f ( ) = f ( ) f ( ) Πολ/σµός: ( ) A A, f f ( ) = f ( ) f ( ) ιαίρεση: { } ( ) A A : f ( ) =, f / f ( ) = f ( )/ f ( ) Σύνθεση συναρτήσεων: Eστω f : A f(a), g: f(a) B, τότε ορίζουµε τη σύνθεση g f : A B των συναρτήσεων f και g ως εξής ( ) g f( ) = g f( ) Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι για να ορίζεται η σύνθεση g f θα πρέπει πάντοτε το πεδίο τιµών της συνάρτησης f να ταυτίζεται µε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g Αντίστροφη συνάρτηση: Eστω f : A f( A), y = f( ) είναι µία - συνάρτηση, τότε ορίζεται η συνάρτηση f f A A f y : ( ) : = ( ), η οποία καλείται αντίστροφη συνάρτηση της f() και ισχύει ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) f f = f f = f f = f f = Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f( ) και συµµετρικές ως προς την ευθεία y = z = f ( ) είναι Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλης Θεωρούµε ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας και ορίζουµε τις συναρτήσεις : I ( I): = ( t) : I ( I): y = ( t) Για κάθε t I τα σηµεία µε συντεταγµένες ((t),(t)) ορίζουν µία καµπύλη του επιπέδου όχι κατ ανάγκη γραφική παράσταση συνάρτησης

21 Οι συναρτήσεις =α(t), y=(t), t I καλούνται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης Eάν η συνάρτηση α(t) είναι - τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση t = α - (), oπότε oρίζεται η συνάρτηση 3 Οριο συναρτήσεων ( ) y: I ( I): y = ( t) = ( ( )) = ( ) Εστω f : A f( A) είναι µία πραγµατική συνάρτηση και έστω είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού Α της f Θα λέµε ότι η f έχει όριο στο σηµείο τον αριθµό λ όταν µπορούµε να ρούµε πάντοτε µία περιοχή του σηµείου τέτοια ώστε όλες οι τιµές f() που αντιστοιχούν στη συγκεκριµένη περιοχή να ρίσκονται εγκλωισµένες οσοδήποτε κοντά θέλουµε σε µία περιοχή του αριθµού λ Τι εννοούµε όµως όταν µιλάµε για περιοχή σηµείου; Υπενθυµίζουµε ότι στο Κεφάλαιο (σελ ) ορίσαµε την περιοχή π ε ( ) ενός σηµείου κέντρου και ακτίνας ε να είναι το ανοικτό διάστηµα ( ε, + ε ) Θα επεκτείνουµε αυτό τον ορισµό στην περίπτωση = ± Oρισµός 3 Eστω ε> Καλούµε περιοχή του σηµείου το ανοικτό διάστηµα ( ε, + ε), οταν πε ( ) = ( ε, + ), οταν =+ (, ε), οταν = Eχοντας πλέον ορίσει την έννοια της περιοχής σηµείου µπορούµε να περιγράψουµε µε µαθηµατικό τρόπο τον ορισµό του ορίου που δώσαµε διαισθητικά Εχουµε λοιπόν Oρισµός 3 Εστω f : A f( A) και είναι ένα σηµείο συσσώρευσης του Α Θα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο τον αριθµό λ, συµολικά lim f( ) = λ, αν ( ) ε > δε (, ) > : π( ) { } A f( ) π( λ) δ Ο παραπάνω ορισµός παριστάνεται γραφικά στα ακόλουθα ενδεικτικά σχήµατα: Σχήµα Εστω, λ Οποιο ε> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ)-{ } η αντίστοιχη τιµή f() εγκλωίζεται εκατέρωθεν του πραγµατικού αριθµού λ στο διάστηµα (λ-ε,λ+ε) ε

22 Σχήµα Εστω, λ=+ Οποιο Μ> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ) )-{ } η αντίστοιχη τιµή f() είναι µεγαλύτερη του Μ Σχήµα 3 Εστω, λ=- Οποιο Μ> και αν επιλέξουµε, υπάρχει πάντα ένα διάστηµα ( -δ, +δ), έτσι ώστε για κάθε A ( -δ, +δ)-{ }, η αντίστοιχη τιµή f() είναι µικρότερη του -Μ Σηµείωση Το σηµείο συσσώρευσης δεν ανήκει κατ ανάγκη στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης f H f δεν έχει όριο στο σηµείο αν ισχύει η άρνηση του ορισµού, δηλαδή: ε > : δ > A π ( ) { }: f( ) π ( λ) δ ε

23 Για να υπάρχει το όριο f( ) lim f ( ) δεν είναι αναγκαίο να ορίζεται η τιµή Σηµείωση 3 Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών καλείται ακολουθία Αποδεικνύεται ότι: lim f( ) = λ ( ) : lim = lim f( ) = λ (3) + + H σχέση (3) είναι πολύ χρήσιµη σε περιπτώσεις όπου θέλουµε να δείξουµε ότι δεν υπάρχει το όριο lim f ( ) Αρκεί να ρούµε δύο ακολουθίες και y : lim = lim y = και lim f( ) lim f( y ) + + Πρόταση 3 Το όριο µιας συνάρτησης (εάν υπάρχει) σ ένα σηµείο συσσώρευσης είναι µοναδικό Πρόταση 3 Αν lim f( ) = λ τότε υπάρχει περιοχή του σηµείου όπου η f() διατηρεί το πρόσηµο του ορίου λ Πρόταση 33 Αν f()> (αντίστ f()<) σε µία περιοχή ενός σηµείου τότε lim f( ) (αντίστ lim f( ) ) υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Υποθέτουµε ότι ένα σηµείο κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την κατεύθυνση ενός σηµείου κινούµενο εξ αριστερών του σηµείου, δηλαδή < και Αν ισχύει f() λ όταν κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι η συνάρτηση f έχει εξ αριστερών όριο στο σηµείο τον αριθµό λ και γράφουµε: lim ( ) = f λ Υποθέτουµε τώρα ότι ένα σηµείο κινείται πάνω στην πραγµατική ευθεία προς την κατεύθυνση ενός σηµείου κινούµενο εκ δεξιών του σηµείου, δηλαδή > και Αν ισχύει f() λ όταν κατά την κίνηση που περιγράψαµε λέµε ότι η συνάρτηση f έχει εκ δεξιών όριο στο σηµείο τον αριθµό λ και γράφουµε: Προφανώς lim f( ) λ + = lim f( ) = λ lim f( ) = lim f( ) = λ + Σηµείωση 4 Ενδείκνυται η χρήση πλευρικών ορίων στις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) όταν, το είναι ρίζα του αριθµητή ή του παρονοµαστή µιας ρητής συνάρτησης f() και το πρόσηµο της f εναλλάσσεται εκατέρωθεν του, 3

24 () όταν υπάρχει ακέραιο µέρος στον τύπο της f, ο είναι ακέραιος αριθµός και εντός του ακεραίου µέρους, (γ) όταν υπάρχει απόλυτη τιµή στον τύπο της f, και το είναι ρίζα της ποσότητας µέσα στο απόλυτο ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΟΡΙΑ Eστω lim f( ) = λ και lim g ( ) = λ, (λ,λ ) Τότε Πρόταση 34 (Παρεµολή) ( f g ) ( f g ) = ( f g ) lim ( ) ± ( ) = λ ± λ lim ( ) ( ) lim ( ) / ( ) = λ / λ, λ lim f( ) = λ, f( ), λ lim f( ) = λ f( ) g( ) λ λ λ λ Εάν f( ) g( ) h( ) και lim f( ) = lim h( ) = λ Τότε lim g ( ) = λ Πρόταση 35 Εστω f : A f( A) : y = f( ), g: f( A) B: z = g( y) Εάν υπάρχει το lim f( ) = λ και το lim ( ) y λ g y = m και αν υπάρχει περιοχή π ε ( ) του σηµείου τέτοια ώστε f ( ) λ π ε ( ) { }, τότε lim ( g f)( ) = m ΓΝΩΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ηµ ( ) +, > lim =, lim + = < lim + + = e ηµ εφ Για να υπολογίσουµε όρια συναρτήσεων εφαρµόζουµε τις ιδιότητες ορίων, εφόσον όµως δεν προκύπτουν απροσδιόριστες µορφές Στην περίπτωση που έχουµε απροσδιόριστες µορφές θα πρέπει να άρουµε την απροσδιοριστία ώστε στη συνέχεια να µπορέσουµε να χρησιµοποιήσουµε τις συνήθεις ιδιότητες των ορίων Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές της µορφής /, /, -, συνήθως χρησιµοποιούµε τεχνικές όπως πχ ο πολ/σµός και διαίρεση µε συζυγή παράσταση 4

25 και τον κανόνα L Hospitl που θα αναφέρουµε στο επόµενο κεφάλαιο (λέπε επίσης άσκ 5 (δ), (η)) Οσον αφορά τις απροσδιόριστες µορφές,, -,(+), εργαζόµαστε ως εξής: Εστω f : A [, +), g: A Τότε lim f( ) λ > = η +, εαν lim λ f( ) + {,}, lim λ g( ) =± g ( λ ) g( ) f( λ), εαν lim λ f( ), lim λ g( ) ± Aν συµεί κάποια από τις απροσδιόριστες µορφές ( ) εξής:,,, + εργαζόµαστε ως Εστω h ( ) f( ) g ( ) =, τότε g( ) ( h) ( f ) ( h) ( g ( f ) ) lim l ( ) = lim l ( ) l lim ( ) = lim ( )l ( ) λ λ λ λ Για να υπολογίσουµε το lim λ ( g ( )l ( f( ) )) χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospitl (απροσδιοριστία την οποία µετασχηµατίζουµε σε απροσδιοριστία / ή / και παίρνουµε τελικά λ g f lim f( ) e g( ) lim ( ( )l( ( ))) λ = 4 Συνέχεια-Θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων Oρισµός 4 Εστω f : A f( A), A Θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο Α εάν ε > δε (, ) > : A π( ) f( ) π( f( )) δ ε Επειδή στην περίπτωση αυτή το σηµείο και η τιµή f( ) είναι πραγµατικοί αριθµοί, οι περιοχές πδ( ), π ε( f( )) είναι ανοικτά διαστήµατα (λέπε σελ 8) και ο παραπάνω ορισµός µπορεί να γραφεί ως εξής: ε > δε (, ) > : A: < δ f( ) f( ) < ε Σηµειώνουµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε µεµονωµένα σηµεία του πεδίου ορισµού της Τελικά έχουµε: Εστω f : A f( A), A, Α H f είναι συνεχής στο σηµείο αν (α) το είναι µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της, () το είναι σηµείο συσσώρευσης του πεδίου ορισµού της, υπάρχει το και επιπλέον lim f ( ) = f( ) lim f ( ) 5

26 Στο εξής θα θεωρούµε ότι το Α είναι σηµείο συσσώρευσης του Α Τότε f συνεχής στο lim f ( ) = lim f( ) = + f( ) Επίσης ισχύει f συνεχής στο f( + h) f( ), h Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο και αν υποθέσουµε ότι το είναι σηµείο συσσώρευσης τότε ισχύει η σχέση (3) σελ 3 για λ = f( ), oπότε: άρα: ( ): f( ) f( ), ( ) lim f ( ) = f( ) = f lim + + Ετσι προκύπτει και η ακόλουθη: Πρόταση 4 Αν f : A f( A) είναι συνεχής στο A και η g: f( A) B συνεχής στο f( ), τότε και η σύνθεση g f είναι συνεχής στο A και ισχύει είναι lim ( g f)( ) = g( f( )) = g(lim f( )) Η πρόταση αυτή µας επιτρέπει να κάνουµε αλλαγή µεταλητής στον υπολογισµό ορίων Για παράδειγµα ( ) y= ( y) ηµ lim ηµ + = lim y = lim y y ηµ ( y) =, y αφού οι συναρτήσεις y = /, y = ηµ είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους Σηµεία ασυνέχειας-συνεχής επέκταση Όταν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο λέµε ότι το είναι σηµείο ασυνέχειας της f Yπάρχουν δύο ειδών σηµεία ασυνέχειας: Σηµεία ασυνέχειας ου είδους: υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι διαφορετικά Σηµεία ασυνέχειας ου είδους: ένα ή και τα δύο πλευρικά όρια είτε δεν υπάρχουν είτε δεν είναι πεπερασµένα Αν τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίδια, τότε λέµε ότι η ασυνέχεια είναι απαλείψιµη και µπορούµε να επεκτείνουµε συνεχώς τη συνάρτηση µας 6

27 Oρισµός 4 Εστω f : A, είναι σηµείο συσσώρευσης του Α, A Αν υπάρχει συνάρτηση g: A { } έτσι ώστε f() = g() A και g ( ) = lim f( ) θα λέµε ότι η g() είναι συνεχής επέκταση της f() cos Παράδειγµα Εστω f : {} +, f( ) = Εστω > Παρατηρούµε ότι: si si cos f( ), = = = άρα υπάρχει η συνεχής επέκταση της f: Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων f( ), {} g ( ) =, = Πρόταση 43 Αν f, g: A είναι συνεχείς στο A τότε και οι f( ) ± g( ) f( ) g( ) f( ) / g ( ), µε g ( ) είναι επίσης συνεχείς στο A Επίσης η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Πρόταση 43 Αν f : A είναι συνεχής στο A τότε δ > έτσι ώστε η f να είναι φραγµένη στο ανοικτό διάστηµα ( -δ, +δ) Βασικά θεωρήµατα συνεχών συναρτήσεων Θεώρηµα 4 (Βοlzo) Αν f :[, b] είναι συνεχής µε f(α)f(b) <, τότε υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = στο ανοικτό διάστηµα (α,b) Θεώρηµα 4 (ενδιαµέσων τιµών) Αν f :[, b] είναι συνεχής µε f(α) f(b), τότε η f() παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών f() και f(b), είναι φραγµένη στο [α,b] και το πεδίο τιµών της είναι κλειστό διάστηµα Θεώρηµα 43 Αν f :[, b] είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στο κλειστό διάστηµα [α,b] τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής η οποία έχει το ίδιο είδος µονοτονίας µε την f 7

28 Θεώρηµα 44 Αν f : I f( I) είναι συνεχής και - σε διάστηµα Ι τότε είναι γνησίως µονότονη στο Ι 5 Μερικές γνωστές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους Η εκθετική συνάρτηση Oρίζουµε ως εκθετική συνάρτηση µε άση ένα θετικό πραγµατικό αριθµό α τη συνάρτηση f : + : f( ) = Iδιότητες: Το πεδίο τιµών της εκθετικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα (,+) Για κάθε τιµή του α > ισχύει εαν > εαν < < f f γνησιως αυξουσα γνησιως φθινουσα Eάν α = προφανώς έχουµε τη σταθερή συνάρτηση f() = H εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής και - συνάρτηση Ο άξονας είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της εκθετικής συνάρτησης ( ) =,,, > ( ) ( ) =, y y =,, y y + y =, y, b = b,,, b > Η συνάρτηση Log Eφόσον η εκθετική συνάρτηση είναι συνάρτηση - για κάθε α > (α ) ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής που καλείται λογαριθµική συνάρτηση µε άση το θετικό αριθµό α: 8

29 log : +, α >, α Iδιότητες: Το πεδίο ορισµού της λογαριθµικής συνάρτησης είναι το ανοικτό διάστηµα (,+) Για κάθε τιµή του α > ισχύει: >, < <, f f γνησιως αυξουσα γνησιως φθινουσα H λογαριθµική συνάρτηση είναι συνεχής και - συνάρτηση Ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της λογαριθµικής συνάρτησης ( ) log log + = =,, ( ) ( ) + log y = log + log y,, y, + log / y = log log y,, y, b ( ) + log = b log,, b, log =, log = log + log b =,, b, >, b, logb >, o ταν > log > < <, o ταν < < y'y H συν άρτηση fhl=log ' y'y H συν άρτηση fhl=log ' -5 Εάν α = e, παίρνουµε τον νεπέριο λογάριθµο που συνήθως συµολίζουµε µε l Oταν γράφουµε log συνήθως εννοούµε το λογάριθµο µε άση το 3 Tριγωνοµετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους (α) Η συνάρτηση ηµίτονο, ηµ: [-,] είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών το κλειστό διάστηµα [-,] 9

30 fhl=si 5 π π π π ' -5 - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ηµ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως µονότονη στο διάστηµα [-π/,π/] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ-π/, kπ+π/], k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο ηµιτόνου και συµολίζουµε ως τοξηµ ή rcsi ή si - ως εξής: :[,] k π π τοξηµ π, kπ +, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο ηµιτόνου (k = ): π π τοξηµ :[,], fhl=rcsi ' () Η συνάρτηση συνηµίτονο, συν: [-,] είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών το κλειστό διάστηµα [-,] fhl=cos 5-5 π π 3 π π ' - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση συν είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως µονότονη στο διάστηµα [,π] (και γενικότερα στα διαστήµατα [kπ, kπ+π], k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο συνηµιτόνου και συµολίζουµε ως τοξσυν ή rccos ή cos - : [ ] τοξσυν :[,] kπ, kπ + π, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνηµιτόνου (k = ): 3

31 [ π ] τοξσυν :[,], fhl=rccos ' (γ) Η συνάρτηση εφαπτοµένη, εφ: -{kπ+π/: k } είναι π-περιοδική συνάρτηση µε πεδίο τιµών όλο το Oι ευθείες = kπ ± π/ είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της εφ fhl=t ' Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση εφ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως αύξουσα στο ανοικτό διάστηµα (-π/,π/), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ-π/, kπ+π/) k Z), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο εφαπτοµένης και συµολίζουµε ως τοξεφ ή rct ή t - : : k π π τοξεφ π, kπ +, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο εφαπτοµένης (k = ): π π τοξεφ :, fhl=rct ' (δ) Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη, σφ: -{kπ: k } είναι π-περιοδική µε πεδίο τιµών όλο το Oι ευθείες = kπ±π είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της σφ 3

32 fhl=cot ' Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση σφ είναι - συνάρτηση και µάλιστα γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστηµα (,π), (και γενικότερα στα διαστήµατα (kπ, kπ+π), k ), oπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία καλούµε τόξο συνεφαπτοµένης και συµολίζουµε ως τοξσφ ή rccot ή cot - : ( ) τοξσφ : kπ, kπ + π, k Συνήθως χρησιµοποιούµε το λεγόµενο πρωτεύον τόξο συνεφαπτοµένης (k = ): ( π ) τοξσφ :, Χρήσιµες τριγωνοµετρικές ταυτότητες ηµ ( ± y) = ηµ συνy± συν ηµ y συν ( ± y) = συν συν y ηµ ηµ y εφ± εφ y εφ( ± y) = εφεφ y ηµ ( ) = ηµ συν συν ( ) = ηµ = συν ηµ ( + y) + ηµ ( y) = ηµ συνy συν ( + y) + συν ( y) = συν συν y συν ( + y) συν ( y) = ηµ ηµ y 4 Υπερολικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους (α) Η συνάρτηση e sih :, sih = e καλείται υπερολικό ηµίτονο Είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο 3

33 fhl=sih ' -5 - Αφού η sih είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο, oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµολίζουµε µε sih - : () Η συνάρτηση e cosh : [, + ), cosh= καλείται υπερολικό συνηµίτονο Είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση µε πεδίο τιµών το διάστηµα [,+) + e fhl=cosh ' Παρατηρούµε ότι η cosh είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση στο [,+), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµολίζουµε µε cosh - : co h s :[, ) [, ) + + (γ) Η συνάρτηση e th : (,), th= e καλείται υπερολική εφαπτοµένη Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο τιµών το ανοικτό διάστηµα (-,) e + e fhl=th ' -5-33

34 Παρατηρούµε ότι η th είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο, oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµολίζουµε µε th - : th : (,) (δ) Η συνάρτηση e coth : -{} (, ) (, + ), coth= e καλείται υπερολική συνεφαπτοµένη Είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση µε πεδίο τιµών την ένωση διαστηµάτων (-,-) (,+), ενώ οι ευθείες y = ± είναι οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της coth + e e fhl=coth ' - -4 Παρατηρούµε ότι η coth είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σε καθένα από τα διαστήµατα (-,-), (,+), oπότε oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής την οποία συµολίζουµε µε coth - : coth : (, ) (, ) + -{} Xρήσιµες ιδιότητες των υπερολικών συναρτήσεων = cosh sih sih( ± y) = sih coshy ± cosh sihy cosh( ± y) = cosh coshy ± sih sihy th ± th y th( ± y) = ± th th y sih( ) = sih sihy cosh( ) sih cosh = + = 5 Πολυωνυµικές συναρτήσεις Κάθε συνάρτηση της µορφής: f f = :, ( ), i, καλείται πολυωνυµική συνάρτηση αθµού 34

35 Για = παίρνουµε τις γραµµικές συναρτήσεις f ( ) = +, οι οποίες καλούνται έτσι διότι η γραφική τους παράσταση είναι µία ευθεία γραµµή Για = παίρνουµε τα τριώνυµα f( ) = + +,, οι γραφικές παραστάσεις των οποίων είναι παραολές Εάν >, οι παραολές στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω, ενώ εάν < οι παραολές στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω Οι ρίζες του τριωνύµου υπολογίζονται από τη σχέση ρ, ± =, όπου είναι η διακρίνουσα: = 4 Yπενθυµίζουµε ότι το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες ρ,ρ, αν και µόνον αν η διακρίνουσά του είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός Ακόµη: ρ+ ρ =, ρρ = Τέλος όσον αφορά το πρόσηµο του τριωνύµου αυτό είναι ετερόσηµο του συντελεστή της µεγιστοάθµιας δύναµης του (δηλαδή του α ) στο διάστηµα εντός των ριζών, δηλαδή στο (ρ,ρ ), όπου ρ <ρ Αν ρ =ρ, τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α Αν η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική τότε το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α Οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους: οι πολυωνυµικές οι τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφές τους 3 οι εκθετικές 4 οι λογαριθµικές 5 οι υπερολικές και οι αντίστροφές τους 35

36 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δείξετε ότι η συνάρτηση 3 f( ) =, είναι αµφιµονότιµη + Λύση Αρκεί να δειχθεί ότι f( ) = f( y) = y,, y Εχουµε λοιπόν: y f f y y y y y y + y ( ) = ( ) = ( + ) = ( + ) ( ) + ( ) = ( y)( + y+ y ) + ( y) ( y) = ( y)( + y+ y + ( y) ) =, άρα = y, διότι + y+ y + ( y) Εστω f, g, h: τέτοιες ώστε ( g f)( ) = και ( h g)( ) = για κάθε Να δειχθεί ότι f = h Λύση Iσχύει: ( ) ( g f)( ) = h( g f) ( ) = h ( ) ( h ( g f))( ) = h ( ) (( ) ) ( )( ) h g f ( ) = h ( ) h g f( ) = h ( ) f( ) = h ( ) Παρατήρηση: Iσχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: ( h g) f = h ( g f ) 3 Να δείξετε ότι: π τοξηµ(συν)=, π π ηµ ( τοξεφ ) =, < + Απόδ π π τοξηµ(συν)= τοξηµ ηµ = ηµ(τοξεφ ) ηµ(τοξεφ ) α() = εφ( τοξεφ )= = =, συν(τοξεφ ) -ηµ (τοξεφ ) - α() όπου το αρνητικό πρόσηµο µπροστά από τη ρίζα απορρίπτεται διότι η συνάρτηση συν(τοξεφ) είναι θετική συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της Λύνουµε ως προς α και παίρνουµε: = ( ), + όπου το αρνητικό πρόσηµο απορρίπτεται λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση ( ) = ηµ(τοξεφ ) είναι θετική στο ηµιανοικτό διάστηµα [,π/) 36

37 4 Mε χρήση του ορισµού να δειχθεί ότι: lim = +, lim l + = ( ) Λύση Ισχύει ο oρισµός που δώσαµε στη σελ : lim ( ) = λ ε > δ( ε, ) > : π ( ) { } ( ) π ( λ) f o δ f ε Ο παραπάνω ορισµός συγκεκριµενοποιείται ως εξής (λέπε επίσης σελ ): (α) f()=/(-), =, λ = +, π δ ( ) = (-δ,+δ), π ε (λ) = (ε,+), άρα ο ορισµός του ορίου γίνεται: lim ( ) =+ ε > δ > : ( δ, + δ) {} ( ) ( ε, + ) f f Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f( ) ( ε, + ) ή ισοδύναµα ότι f() > ε Εχουµε: f( ) = >, ( ) δ διότι ( δ, + δ) δ < < + δ δ < < δ < δ > δ Θέτουµε ε = δ δ = ε, οπότε ισχύει: άρα lim = + ( ) ε > δ = : ( δ, δ) f( ) ε, ε + > δ = () f()=l(/), = +, λ = -, π δ ( ) = (δ,+ ), π ε (λ) = (-,-ε), άρα ο ορισµός του ορίου γίνεται: lim ( ) = + ε > δ > : ( δ, +) ( ) (, ε) f f Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f( ) (, ε ) ή ισοδύναµα ότι f() < - ε Εχουµε: f( ) = l = l l = l < lδ, διότι η συνάρτηση l() είναι γνησίως αύξουσα και 37

38 ( δ, +) > δ l> lδ l< lδ µε την προϋπόθεση ότι δ> Θέτουµε ε = lδ δ = e ε και παίρνουµε: ε > δ = e ε > : ( δ, +) f( ) < l δ = ε, άρα lim + l = 5 Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: ( ) lim 3, () lim ηµ, (γ) lim συν e 3 + ( ) ( δ ) lim, (ε) lim, (στ) lim ( ζ ) lim, (η) lim ( + ) + + Λύση (α) Παρατηρούµε ότι το σηµείο συσσώρευσης = 3 είναι ρίζα του παρονοµαστή, οπότε χρησιµοποιούµε πλευρικά όρια (λέπε σελ 4) και έχουµε: άρα δεν υπάρχει το όριο lim lim = + 3, = 3 () Εστω f() = ηµ(/) Θα δείξουµε ότι δεν υπάρχει το όριο χρησιµοποιώντας την παρατήρηση στη σελίδα 3 Ορίζουµε λοιπόν δύο ακολουθίες ( ), (y ) που τείνουν στο ίδιο σηµείο συσσώρευσης που στην προκειµένη περίπτωση είναι το =, αλλά οι αντίστοιχες ακολουθίες f( ), f(y ) δεν τείνουν στο ίδιο όριο Πράγµατι έστω =,, y =, π π+ ( π /) *, τότε, y, ( +), αλλά: π * f( ) = ηµ ( π ), y = ηµ π +,, άρα: f( ) =, f( y ) =, οπότε δεν υπάρχει το όριο 38

39 (γ) Εχουµε: + + συν ( e ) = συν ( e ),, άρα από το κριτήριο της παρεµολής το ζητούµενο όριο είναι το µηδέν (δ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή / Βγάζουµε κοινό παράγοντα από αριθµητή και παρονοµαστή ξεχωριστά την µεγιστοάθµια δύναµη του και στη συνέχεια εφαρµόζουµε ιδιότητες των ορίων (Θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε L Hospitl) lim lim = lim lim + = = ( ) = (ε) Παρατηρούµε ότι το όριο της άσης είναι όριο του εκθέτη είναι lim + = +, άρα lim + + = + (λέπε (δ)), ενώ το + + lim + = = + (στ) Παρατηρούµε ότι το όριο της άσης είναι lim + = (λέπε (δ)), ενώ το + 5 όριο του εκθέτη είναι lim + = +, άρα έχουµε απροσδιόριστη µορφή Εργαζόµαστε ως εξής (λέπε σελ 6): y ( ) = lim + l ( y ( )) = lim + l Aρα l + 5 = = = + 5 / lim + l lim + ' ( ) ( L Hospitl) lim + l lim + y ( ) = lim y ( ) = e = + (ζ) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή (+) Εργαζόµαστε ως εξής (λέπε σελ 6): άρα: l l y = = e = e, 39

40 l l lim + lim + lim + e e e = = = = (η) Εχουµε απροσδιόριστη µορφή +- Πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε τη συζυγή παράσταση: άρα: ( )( ) = = , lim +( + ) = lim + = lim = lim + lim + = () ()= Εστω, f( ) = Να ρεθεί η τιµή του α ώστε η f() να είναι συνεχής, > Λύση Προφανώς η f() είναι συνεχής για κάθε {} Για το σηµείο =, έχουµε: lim + f ( ) =, lim f( ) =, f() =, άρα για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει άρα α = lim f ( ) = lim f ( ) = f () =, + 7 Εστω f συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: 5 3 f( )( ) 6 + = + Nα ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f Λύση Εστω, τότε: f( ) = Για = έχουµε απροσδιόριστη µορφή 5 / Επειδή όµως η f είναι συνεχής συνάρτηση στο το όριο αυτό πρέπει να υπάρχει και να ισούται µε την τιµή f() Πράγµατι πολλαπλασιάζω και διαιρώ µε συζυγή παράσταση (α 3-3 = (α-) (α +α+ ), για α = και = ): 4

41 f() = lim f( ) = lim 3 5 = lim ( )( ) ( + 6) ( )( )( ) ( + 6) = lim ( )( + ) 3 ( )( )( ) ( + 6) ( + ) = lim = 5 3 ( )( ) ( + 6) Eστω f συνεχής στο κλειστό διάστηµα [,α] µε f() = f(α) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,α) έτσι ώστε: f( ) = f( +α) Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση g() = f() f(+α) Η g είναι συνεχής στο [,α] και άρα g g ( f f ) g() = f() f( ), g( ) = f( ) f( ) = f( ) f() () ( ) = () ( ), συνεπώς το ζητούµενο προκύπτει µε εφαρµογή του θεωρήµατος Bolzo 9 Εστω f συνάρτηση για την οποία ισχύει f(+y) = f() + f(y), για κάθε,y Aν η f() είναι συνεχής στο = να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής σε όλο το Λύση Εστω y =, τότε f(+) = f() + f() f()= Για να δείξω τη συνέχεια σε όλο το αρκεί να δείξω ότι f( + h) f( ), h για κάθε Πράγµατι: f( + h) f( ) = f( ) + f( h) f( ) = f( h) = f( h) = f( h) f() όταν h, αφού υποθέσαµε ότι η f είναι συνεχής στο = Εστω, > f( ) = Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο =, = Λύση Eστω >, τότε (/) < Αρα [/] =, συνεπώς f() = Eστω < < Αν /(+) < /,, τότε: / < +, συνεπώς f() = -, άρα: 4

42 , > f( ) =, < < + Eχoυµε λοιπόν για < < : + f( ) f() = f( ) = <, +, + άρα η f είναι συνεχής στο = ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Με χρήση ιδιοτήτων ορίων να υπολογίσετε τα κάτωθι όρια: 4 + ηµ 3 ( ) lim, () lim, (γ) lim + ηµ + 3 π / ( δ ) lim, (ε) lim, (στ) lim + + π + 3 ηµ ( ζ ) lim, (η) lim ( ( + )( + ) ), (θ) lim + συν [ ] Nα δείξετε ότι οι συναρτήσεις ηµ, συν είναι συνεχείς στο 3 Εστω f ( ) = lim (cos ) +, Για ποιες τιµές του η συνάρτηση f είναι συνεχής; ηµ, 4 Εστω f( ) = Yπολογίστε την τιµή του α ώστε η f να είναι, = συνεχής στο 5 Εστω, f( ) =, Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο 6 Εστω f πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε: 4

43 f( + ) = f( ), f k λ µ 3 ( ) = + + +, [,) Nα ρεθεί η τιµή f() και η συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε η f να είναι συνεχής στο 7 Aν οι πραγµατικές συναρτήσεις f, φ ικανοποιούν την f ( ) + ϕ ( ) = όπου, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f, φ είναι συνεχείς στα σηµεία = και = - υπό την προϋπόθεση ότι τα lim f ( ) και lim ϕ( ) υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί 8 Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = [ ] + [ ] είναι συνεχής στο 9 Nα δείξετε ότι αν α> τότε υπάρχει µοναδικός θετικός αριθµός τέτοιος ώστε = * α, 43

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 Ορισµοί Ορισµός 3 Εστω f : A f( A), A πραγµατική συνάρτηση και έστω Α είναι σηµείο συσσώρευσης του Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο εάν υπάρχει λ : f( ) f( ) lim = λ Ισοδύναµα: f( + h) f( ) lim h = λ, + h A h Το µοναδικό αυτό όριο (αν υπάρχει), καλείται παράγωγος της f στο σηµείο και συµολίζεται µε f ( ) Eφόσον η παράγωγος συνάρτησης είναι ένα όριο µπορούµε να ορίσουµε τα πλευρικά όρια και έχουµε: Ορισµός 3 Εστω f : A f( A) όπως παραπάνω Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη από δεξιά (αντ από αριστερά) του σηµείου εάν υπάρχει λ : f( + h) f( ) f( + h) f( ) lim + = λ, αντ lim λ h = h h h Τ παραπάνω όρι (αν υπάρχoυν), καλούνται παράγωγος της f εκ δεξιών (αντ εξ f ( ) αντ f ( ) Προφανώς: αριστερών) του σηµείου και συµολίζονται µε ( ) + f παραγωγισιµη στο f ( ) = f ( ) = f ( ) + Σηµείωση Αν οι παράγωγοι εκ δεξιών και εξ αριστερών της f στο υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικές µεταξύ τους, ή αν κάποια από αυτές (ή και οι δύο) δεν υπάρχει (δεν υπάρχουν) τότε θα λέµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο Είναι δυνατόν µία συνάρτηση να µην είναι παραγωγίσιµη σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της Πρόταση 3 Αν η f : A f( A), A είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο Α τότε η f είναι συνεχής στο f( ) f( ) f( ) f( ) = f ( ) =, Απόδ ( ) άρα f ( ) f( ) 44

45 Σηµείωση Το αντίστροφο της Πρότασης 3 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = Πράγµατι: f( + h) f() h lim + = lim + =, h h h h ενώ f( + h) f() h lim = lim + = h h h h Εφόσον τα πλευρικά όρια στο σηµείο = είναι διαφορετικά µεταξύ τους η f() δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = Ορισµός 33 Εστω f : A f( A), A πραγµατική και παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο του Α Τότε ορίζεται η συνάρτηση g = f : A : g( ) = f ( ), η οποία καλείται παράγωγος συνάρτηση της f Eάν υπάρχει η g, τότε λέµε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο Α και γράφουµε g ( ) = f ( ) Γενικά χρησιµοποιούµε το συµολισµό k ( k ) d f( ) f ( ) = k d για να δηλώσουµε την k-παράγωγο µιας συνάρτησης f Aν η f έχει άπειρες παραγώγους, τότε λέµε ότι είναι απειροδιαφορίσιµη συνάρτηση 3 Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου Εστω f : A f( A), A και η f είναι πραγµατική συνάρτηση παραγωγίσιµη σε σηµείο Eστω +h Α και P(,f()), Q(+h,f(+h)) είναι σηµεία της γραφικής παράστασης της f (λέπε σχήµα 3) Σχήµα 3 Το ευθύγραµµο τµήµα PQ έχει κλίση ίση µε: f ( + h) f( ) εφ( θ ( h)) =, h 45

46 όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το ευθύγραµµο τµήµα PQ µε τον άξονα H εξίσωση της ευθείας γραµµής που ορίζουν τα σηµεία P,Q είναι η ακόλουθη: y f( ) = εφ( θ( h)) ( ) H oριακή θέση του ευθυγράµµου τµήµατος PQ όταν Q P κατά µήκος της καµπύλης που ορίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() καλείται εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο Όταν όµως Q P κατά µήκος αυτής της καµπύλης τότε h, συνεπώς αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο µε τον άξονα, έχουµε: f( + h) f( ) limh = lim h εφ( θ( h)) = εφ( lim h θ( h) ) = εφω, h δηλαδή: f ( ) = εφω Κατ επέκταση, η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο γίνεται: y f( ) = f ( ) ( ) (3) ιαφορικό συνάρτησης Από τον ορισµό της παραγώγου έχουµε: f( + h) f( ) = h f ( ) + ε ( h) h, οπου ε ( h) οταν h Aν θέσουµε y = f(), =h=(+h)- και y=f(+h) f(), τότε η παραπάνω γίνεται: y = f ( ) + ε ( ), οπου ε ( ) οταν O όρος f ( ) καλείται διαφορικό της y ως προς και συµολίζεται µε dy ηλαδή: dy = df ( ) = f ( ) Aν µάλιστα θεωρήσουµε τη συνάρτηση f() =, τότε f () =, άρα dy = d =, oπότε: dy = df ( ) = f ( ) d, απ όπου δικαιολογείται και ο συµολισµός της παραγώγου λοιπόν έχουµε: f ( ) = dy Τελικά d y = dy+ ε ( ), οπου ε ( ) οταν, 46

47 δηλαδή το διαφορικό dy είναι µία προσέγγιση της µεταολής y µε την έννοια ότι η διαφορά τους γίνεται όσο µικρή θέλουµε για αρκετά µικρό Μία συνάρτηση f() για την οποία ορίζεται το διαφορικό της σ ένα σηµείο λέµε ότι είναι διαφορίσιµη στο και αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι η f παραγωγίσιµη στο µε πεπερασµένη παράγωγο Αν υπάρχει η f ( ) (και θεωρήσουµε ότι η ποσότητα d είναι σταθερή συνεπώς ανεξάρτητη του ), τότε ( ) ( ) ( ) ( ) d f ( ) d df ( ) d f ( ) d d f ( ) d f ( ) d d f ( ) d = = = = = Η ποσότητα d f( ) καλείται διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης f Εάν ορίσουµε τότε από η παραπάνω ισότητα γίνεται d ( d) =, d f( ) ( ) = ( ) ( ) = d d f f d f Γενικεύοντας παίρνουµε k ( k ) d f( ) f ( ) = k d 33 Iδιότητες της παραγώγου Πρόταση 33 Εστω f, g: A f( A), A είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο Α, και α, τότε oι συναρτήσεις αf, f+g, fg, f/g (g( ) ) είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο Α και ( f ) ( ) = f ( ) ( f ± g) ( ) = f ( ) ± g ( ) ( fg) ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) f f ( ) g( ) f( ) g ( ) ( ) = g ( g ( ) ) Απόδ Εφαρµογή του ορισµού Ενδεικτικά θα αποδείξουµε την ισότητα για την παράγωγο γινοµένου ( fg) ( ) ( ) fg ( + h) fg ( ) f ( + h) g( + h) f( ) g( ) ( ) = limh = limh h h 47

48 ( ( + ) ( )) ( + ) + ( )( ( + ) ( )) f h f g h f g h g = lim h h ( f( + h) f( )) ( g( + h) g( )) = lim h g( + h) + lim h f ( ) h h = f ( )lim g( + h) + g ( ) f ( ) = f ( ) g( ) + g ( ) f ( ), h λόγω συνεχείας της συνάρτησης g() Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες ιδιότητες Σηµείωση 3 H Πρόταση 33 ισχύει και για το διαφορικό συναρτήσεων Πόρισµα 33 (Leibitz) Eστω f, g: A f( A), A είναι -φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο Α, τότε: Aπόδ Επαγωγικά! fg ( ) = f ( ) g ( ), οπου = k = k k k!( k)! ( ) ( ) ( k) ( k) Πρόταση 33 (Κανόνας αλυσίδας) Εστω f : I J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο Ι και g: J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο f( ) J Τότε και η σύνθετη συνάρτηση ( g f )( ) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο Ι και ισχύει: g f ( ) = g f( ) f ( ) ( ) ( ) Πρόταση 333 (Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης) Εστω f : I είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση σε διάστηµα Ι, I, υπάρχει η f ( ) και ισχύει f ( ) Τότε η αντίστροφη συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο y = f( ) και ισχύει: ( f ) ( y) = f ( ) Παράδειγµα Να δειχθεί ότι για το πρωτεύων τόξο ηµιτόνου ισχύει τοξηµ =, (,) ( ) Εχουµε: y = τοξηµ = ηµ y, y (-π/,π/), άρα: ( τοξηµ ) = = = = συν y ηµ y ( ηµ y), 48

49 εφόσον συνy > όταν y (-π/,π/) Πίνακας παραγώγων ασικών συναρτήσεων f() f () f() = c, c=σταθερά f () = f() =, f () = -, f() = e f () = e f() = l, > f () = / f() =, > f () = l f() = ηµ f () = συν f() = συν f () = -ηµ f() = εφ f () = /συν f() = σφ f () = -/ηµ f() = sih f () = cosh F() = cosh f () = sih f() = τοξηµ, (-,) f () = / f() =τοξσυν, (-,) f () = -/ F() =τοξεφ f () = / ( + ) Πρόταση 334 (Κανόνας L Hospitl) Εστω ότι οι συναρτήσεις f, g: I είναι συνεχείς στο ανοικτό διάστηµα Ι, ο πραγµατικός αριθµός α είναι ένα άκρο του Ι και έστω lim f( ) = lim g( ) =, ή lim f( ) = lim g( ) =± Αν οι f ( ), g ( ) υπάρχουν σε όλα τα σηµεία του Ι, g ( ), g ( ) σε κάθε f ( ) σηµείο του Ι και αν το όριο lim είναι πραγµατικός αριθµός ή το ±, τότε: g ( ) lim f ( ) ( ) lim f = g ( ) g ( ) Σηµείωση 4 Αν ή lim f ( ) = lim g ( ) =, lim f ( ) = lim g ( ) =±, και όλες οι υπόλοιπες προϋποθέσεις του κανόνα L Hospitl ικανοποιούνται, τότε αν f ( ) υπάρχουν οι f ( ), g ( ) και επιπλέον αν το lim είναι πραγµατικός g ( ) αριθµός ή το ±, τότε: 49

50 f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim = ( ) = g g( ) g ( ) Σηµείωση 5 Μπορεί να µην υπάρχει το όριο f ( ) lim g ( ) lim f ( ) g ( ) αλλά να υπάρχει το όριο 34 Εφαρµογές της παραγώγου Ορισµός 34 Εστω A και f : A f( A) Θα λέµε ότι η f έχει τοπικό µέγιστο (αντ τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ Α, εάν υπάρχει ε> έτσι ώστε να ισχύει f ( ) f( ξ ) (αντ f ( ) f( ξ )) για κάθε π ε ( ξ ) A O αριθµός ξ καλείται τοπικό ακρότατο της f Θεώρηµα 34 (Fermt) Αν η f :(, ) ( b, ) ξ και είναι παραγωγίσιµη στο ξ τότε f ( ξ ) = b έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο Απόδ Ισχύει f ( ξ ) = f + ( ξ) = f ( ξ) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι το σηµείο ξ Α είναι τοπικό µέγιστο της f Τότε σε µία περιοχή του σηµείου ξ, ενώ f( ξ + h) f( ξ ) f + ( ξ ) = lim + h h f( ξ + h) f( ξ ) f ( ξ ) = lim h h σε µία περιοχή του σηµείου ξ, δηλαδή f ( ξ ) = f ( ξ) = f ( ξ) = + Το Θεώρηµα Fermt υπονοεί ότι όταν αναζητούµε τοπικά ακρότατα µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα στα οποία µηδενίζεται η η παράγωγος Τα σηµεία όπου δεν υπάρχει η παράγωγος Σηµείωση 6 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 34 δεν ισχύει Για παράδειγµα η 3 συνάρτηση f :(,), f( ) = ικανοποιεί την f () =, αλλά δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ξ = Θεώρηµα 34 (Rolle) Eστω α,b, α<b και f :[, b] Αν (i) η f είναι συνεχής στο [α,b], (ii) η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,b) και (iii) f (α) = f (b), 5