Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

Αναλυτικός Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης Απόκριση στο πεδίο χρόνου Προσομοίωση

Περιεχόμενα Πρόβλημα Αρχικών Συνθηκών σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης και 2 ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Μηδενικές Ιδιοτιμές Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης Παραδείγματα

Το μαθηματικό πρόβλημα που θα λυθεί Πρόβλημα Αρχικών Συνθηκών σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης και 2 ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμικές Εξισωσεις: Συστήματα ΣΔΕ Συνήθως ένα σύστημα περιγράφεται από Ν > 1 Β.Ε. ή ισοδύναμα από S > 1 Μ.Κ. Οι δυναμικές εξισώσεις που το περιγράφουν είναι ντότε συστήματα ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές Ως προς τους Ν Β.Ε. q είναι Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C q + K q = G f(t) Ως προς τις Μ.Κ. είναι S ΣΔΕ 1 ης τάξης x = Α x + Β f(t) * Και στις δύο περιπτώσεις τα μητρώα M, Κ, C, G, A, B περιέχουν μόνο σταθερούς συντελεστές Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Γραμμικοποίηση Σύστημα Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Γενίκευση Δυναμικές Εξισωσεις: Συστήματα ΣΔΕ ΣΔΕ 1 ης τάξης τ x + x = f(t) ΣΔΕ 2 ης τάξης m q + c q + k q = f(t) Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης x = Α x + Β f(t) Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C q + K q = G f(t)

Συστήματα Ενδιαφέροντος: Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης Τα γραμμικά συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς τους Ν Β.Ε. q M q + C q + K q = G f(t) Χρησιμοποιούνται κυρίως για την μοντελοποίηση κατασκευών Το σύστημα ΣΔΕ προκύπτει είτε από μοντέλο διακριτών στοιχείων είτε από την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Ο αριθμός των Β.Ε. μπορεί να είναι πολύ μεγάλος (π.χ. δεκάδες χιλιάδες) Στα συστήματα αυτά η απόσβεση είναι μικρή και πολλές φορές δύσκολο να υπολογιστεί με ακρίβεια. Για να απλοποιηθεί η ανάλυση, το μητρώο C πολλές φορές αμελείται M q + K q = G f(t)

Συστήματα Ενδιαφέροντος: Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης Τα γραμμικά συστήματα S ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις S M.K. x x = Α x + Β f(t) Χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση συστημάτων με έντονη απόσβεση ή συστημάτων που αποτελούνται από υποσυστήματα διαφορετικού είδους Το σύστημα ΣΔΕ προκύπτει συνήθως από ένα μοντέλο διακριτών στοιχείων Ένα σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης μπορεί να μετατραπεί σε σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης. Αυτό όμως δεν είναι απαραίτητο και συνήθως σε μοντέλα κατασκευών δεν γίνεται. Σε μηχανικά συστήματα ο πίνακας Α περιέχει τις συνεισφορές των αδρανειακών, ελαστικών δυνάμεων και των δυνάμεων απόσβεσης

ΠΑΣ σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ Πρόβλημα αρχικών συνθηκών (ΠΑΣ) σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ 2 ης τάξης: Υπολογίστε την απόκριση των Ν Μ.Κ. q(t) σε διέγερση f(t) όταν τα q(t) και f(t) συνδέονται μέσω συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης: M q + C q + K q = G f(t) και οι αρχικές συνθήκες q(0) και q(0) είναι γνωστές ΠΑΣ σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ 1 ης τάξης: Υπολογίστε την απόκριση των S Μ.Κ. x(t) σε διέγερση f(t) όταν τα x(t) και f(t) συνδέονται μέσω συστήματος S ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = Α x + Β f(t) και οι αρχικές συνθήκες x(0) είναι γνωστές

Γενική Μορφή Λύσης Η συνολική απόκριση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης: Συστηματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς τους Β.Ε. q(t): q t = q h t + q p t Συστηματα S ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις Μ.Κ. x(t): x t = x h t + x p t

Γενική Μορφή Λύσης Συνολική Λύση: q t = q h t + q p t Ομογενής λύση Η μορφή της ομογενούς λύσης εξαρτάται ΜΟΝΟ από το σύστημα και περιγράφει το πώς αποκρίνεται το σύστημα σε Α.Σ. Οι παράμετροι της ομογενούς λύσης εξαρτώνται από την ειδική λύση (αν υπάρχει) και τις συγκεκριμένες Α.Σ. Ειδική λύση Η μορφή της ειδικής λύσης εξαρτάται τόσο από το σύστημα όσο και από την μορφή της διέγερσης f(t) Οι παράμετροι της ειδικής λύσης είναι τέτοιοι ώστε η ειδική λύση να ικανοποιεί την ΣΔΕ. Δεν εξαρτώνται από Α.Σ.

Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Οι ιδιότητες των γραμμικών ΣΔΕ (επαλληλία, χρονική ανεξαρτησία, παραγώγηση και ολοκλήρωση) ισχύουν για τα συστήματα ΣΔΕ 1 ης & 2 ης τάξης Παράδειγμα: H συνολική απόκριση q(t) σε αρχικές διεγέρσεις (ΑΣ) και εξωτερικές διεγέρσεις (ΕΔ) είναι το άθροισμα της απόκρισης σε Α.Σ. q ΑΣ t και της απόκρισης σε ΕΔ q ΕΔ t q(t) = q ΑΣ t + q ΕΔ (t) Μ q + C q(0) = q 0 q + K q = 0 q(0) = q 0 q ΑΣ (t) Μ q + C q + K q = G f(t) q(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 Μ q + C q(0) = 0 q + K q = G f(t) q(0) = 0 q ΕΔ (t)

Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Αντίστοιχα, οι ιδιότητες των γραμμικών συστημάτων ισχύουν και για την επίλυση συστημάτων ΣΔΕ 1 ης τάξης: x(t) = x ΑΣ t + x ΕΔ (t) x = A x + B f(t) x(0) = x 0 x = A x x(0) = x 0 x = A x + B f(t) x(0) = 0 x ΑΣ (t) x ΕΔ (t) x(t)

Ξεκινάμε από την απλούστερη περίπτωση όπου η απόσβεση αμελείται Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) Από θεωρεία ΣΔΕ, η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Προς το παρών μελετούνται συστήματα χωρίς απόσβεση (C = 0, βλέπε παραπάνω) που δεν έχουν μηδενικές ιδιοτιμές!

Σύνοψη Μεθοδολογίας Λύσης ΠΑΣ σε Συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης 1. Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών/ιδιοανυσμάτων Κατάστρωση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου υπολογισμός Ν ζευγαριών ιδιοτιμών (συνολικά 2Ν ιδιοτιμών λ i ) Υπολογισμός 2Ν ιδιοανυσμάτων που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές 2. Με βάση τις ιδιοτιμές λ i και την διέγερση f t επιλέγεται η κατάλληλη μορφή της ειδικής λύσης q p t, η οποία αντικαθίσταται στην ΣΔΕ και υπολογίζονται οι παράμετροι της 3. Οι 2N παράμετροι της ομογενούς q h t υπολογίζονται έτσι ώστε η συνολική λύση q t = q h t + q p t να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: q 0, q(0) * Τα 3 βήματα αυτά ισχύουν ανεξάρτητα από είδος ιδιοτιμών!

Ομογενής Λύση Για το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ΣΔΕ: Μ q + K q = 0 Αναζητείται λύση της μορφής q t = φ e λ t Όπου λ είναι μια ιδιοτιμή και φ είναι το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα. Αντικαθιστώντας την λύση στo σύστημα ΣΔΕ προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: (λ 2 M + K) φ = 0 Επειδή αναζητούνται μη-τετριμένα διανύσματα φ, οι ιδιοτιμές πρέπει να ικανοποιούν την σχέση λ 2 M + K = 0

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Η ορίζουσα λ 2 M + K = 0 δίνει το χαρακτηριστικό πολυόνυμο τάξης 2Ν ως προς λ. Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών: λ = ± i ωj, i = 1, 2,, N όπου i ω είναι η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήματος Επομένως, ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση έχει Ν ζευγάρια ιδιοτιμών ± i ωj (συνολικά 2Ν ιδιοτιμές λ i ) Γενίκευση του συστήματος 1 Β.Ε. χωρίς απόσβεση που έχει ιδιοτιμές = ±ωj

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα φ, το οποίο υπολογίζεται από την σχέση (λ 2 M + K) φ = 0 Σε συστήματα χωρίς απόσβεση, τα ιδιοανύσματα για τις δύο ιδιοτιμές λ = ± i ω j που αντιστοιχούν σε μια ιδιοσυχνότητα i ω είναι κοινά, συμβολίζονται με i φ και υπολογίζονται από το σύστημα εξισώσεων: ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Επομένως, η παραπάνω σχέση δίνει το κοινό ιδιοάνυσμα φ για το ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην i-ιοστή ιδιοσυχνότητα i ω

Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα συνιστωσών από 2Ν ιδιοανυσμάτα/ιδιοτιμές Σχόλια q h t = N i=1 {c i i φ e j i ω t + c i i φ e j i ω t } Μιγαδικός συζηγής Γενικά, οι άγνωστες σταθερές c i είναι μιγαδικοί αριθμοί. Όμως, επειδή τα στοιχεία της q h (t) είναι πραγματικοί αριθμοί, ο συντελεστής c i για την ιδιοτιμή j i ω πρέπει να είναι ο μιγαδικός συζηγής του συντελεστή c i για την μιγαδική συζηγή ιδιοτιμή j i ω Οι Ν άγνωστες μιγαδικες σταθερές c i μπορούν να βρεθούν από τις 2Ν Α.Σ.

Ομογενής Λύση Για να αποφύγουμε τους μιγαδικούς εκθέτες, η ομογενής απόκριση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως: q h t = N i=1 {c i i φ cos( i ω t + φ i )} = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c όπου Φ είναι το Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων, και diag cos i ω t + φ i = cos 1 ω t + φ 1 Φ = 1 φ Ν φ c = c 1 c N T cos N ω t + φ N Οι παραπάνω 2Ν άγνωστες σταθερές της ομογενούς (c i, φ i ) είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ αριθμοί που θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.

Ομογενής Λύση Iσοδύναμα, η ομογενής απόκριση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως: q h t = N i=1 { i φ (c i cos i ω t + d i sin i ω t } = = Φ (diag(cos( i ω t)) c + diag(sin( i ω t)) d) Όπου Φ = 1 φ Ν φ είναι το Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων, και cos 1 ω t diag cos ω t = cos N ω t c = c 1 c N T d = d 1 d N T Οι παραπάνω 2Ν άγνωστες σταθερές της ομογενούς (c i, d i ) είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ αριθμοί που θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.

Απόκριση q ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 (δεν υπάρχει εξωτερική διέγερση) τότε N q t q ΑΣ t = q h t = {c i i φ cos( i ω t + φ i )} i=1 Οι 2Ν άγνωστες πραγματικές σταθερές c i, φ i θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.: N q 0 = {c i i φ cos(φ i )} i=1 N q 0 = {c i i ω i φ sin(φ i )} i=1

Απόκριση q ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 (δεν υπάρχει εξωτερική διέγερση) και q 0 = 0 τότε q t q ΑΣ t = q h t = Φ diag(cos( i ω t)) Φ 1 q 0 Αν τα ιδιοανύσματα έχουν κανονικοποιηθεί ώστε Φ Τ Φ = Ι, (βλέπε επόμενη ενότητα) τότε: q t q ΑΣ t = q h t = Φ diag(cos( i ω t)) Φ Τ q 0

Ομογενής Λύση: Σημασία Ιδιοτιμών και Ιδιοανυσμάτων Σε ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση, οι 2Ν ιδιοτιμές λ i είναι φανταστικές και προκύπτουν σαν Ν ζευγάρια ± i ω j ΔΕΝ εξαρτώνται από την διέγερση Περιγράφουν πως το σύστημα αποκρίνεται ΧΡΟΝΙΚΑ σε Α.Σ Το σύστημα θα κάνει ταλάντωση χωρίς απόσβεση Τα ιδιοανύσματα i φ περιγράφουν το σχετικό εύρος κίνησης των Ν Β.Ε. όταν ταλαντώνονται με τις ιδιοτιμές ± i ωj Περισσότερα στην επόμενη ενότητα

Ειδική Λύση Η ειδική λύση q p t είναι μη μηδενική όταν f t 0 Η μορφή της ειδικής λύσης q p t εξαρτάται από Την μορφή της διέγερσης f t Τις ιδιοτιμές λ i του συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Βλέπε μάθημα ΣΔΕ (Κεφάλαιο 6, βιβλίο Σταυρακάκη) Εδώ, ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης λύνεται αναλυτικά για δύο μοντέλα διεγέρσεων: βηματική, αρμονική

Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 1. Η ειδική λύση q p t που αναζητείται εξαρτάται από την μορφή της διέγερσης f t και την πολλαπλότητα κ μιας κρίσιμης ιδιοτιμής Λ Αν το σύστημα ΣΔΕ δεν έχει σαν ιδιοτιμή την τιμή Λ τότε κ = 0 Όνομα διέγερσης Μορφή διέγερσης f(t) Κρίσιμη Ιδιοτιμή Λ Ειδική Λύση y p t Βηματική u s (t) 0 Γ t κ u s (t) Εκθετική e a t u s (t) α Γ t κ e a t u s (t) Αρμονική cos(ω t + φ) u s (t) ±Ω j t κ Γ cos Ω t + φ + Δ sin Ω t + φ u s (t) Αποσβένουσα Αρμονική e a t cos(ω t + φ) u s (t) α ± Ω j e a t t κ Γ cos Ω t + φ + Δ sin Ω t + φ u s (t)

Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 2. Οι παράμετροι της ειδικής λύσης (Γ και Δ) υπολογίζονται αντικαθιστώντας την ειδική λύση q p t στο σύστημα ΣΔΕ και λύνοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς τα Γ και Δ Για τον υπολογισμό των παραμέτρων της ειδικής λύσης αμελείται η ομογενής λύση

Συνολική Απόκριση Με βάση τα παραπάνω, η συνολική απόκριση είναι: q t = q h t + q p t = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c + q p t Η ειδική λύση σε αυτό το σημείο είναι πλήρως γνωστή Οι 2Ν παράμετροι c i και φ i της ομογενούς υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ. q 0 = Φ diag(cos(φ i )) c + q p 0 q 0 = Φ diag( i ω sin(φ i )) c + q p 0

Απόκριση q ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = u s (t) και q 0 = q 0 = 0, αν το σύστημα των Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή, αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = Γ t 0 u s t = Γ u s t Αντικαθιστώντας στο σύστημα ΣΔΕ, για t 0 προκύπτει ότι Μ q p + K q p = G f(t) Μ 0 + K Γ = G 1 Γ = K 1 G Επομένως η ειδική λύση είναι q p t = K 1 G u s t

Απόκριση q ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Η συνολική λύση θα είναι q t = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c + K 1 G u s t Οι άγνωστες παράμετροι c i, φ i υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ.: q 0 = q 0 = 0 Αντικαθιστώντας στην συνολική λύση προκύπτει: φ i = 0 c = Φ Τ K 1 G Οπότε η συνολική απόκριση σε βηματική είσοδο είναι: q t = q ΕΔ t = (Ι Φ diag cos i ω t Φ Τ ) K 1 G

Απόκριση q ΕΔ t σε Κρουστική Διέγερση Στην περίπτωση q 0 = q 0 = 0, η απόκριση h t του συστήματος ΣΔΕ σε κρουστική διέγερση f t = δ(t) προκύπτει (λόγω ιδιότητας παραγώγησης) παραγωγίζοντας την απόκριση σε βηματική διέγερση για μηδενικές Α.Σ.: h t = d dt (Ι Φ diag cos i ω t Φ Τ ) K 1 G h t = Φ diag i ω sin i ω t Φ Τ K 1 G

Απόκριση q ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = cos Ω t και q 0 = q 0 = 0, αν το σύστημα των Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης δεν έχει ιδιοτιμές τα ±Ωj, τότε αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = Γ cos Ω t + Δ sin Ω t u s (t) Αντικαθιστώντας στο σύστημα ΣΔΕ, για t 0 προκύπτει ότι Μ q p + K q p = G f(t) M Ω 2 Γ + Κ Γ G cos Ω t + M Ω 2 Δ + Κ Δ sin Ω t = 0 M Ω2 Γ + Κ Γ G = 0 M Ω 2 Δ + Κ Δ = 0 Γ = ( Ω2 M + K) 1 G Δ = 0 Επομένως η ειδική λύση είναι q p t = ( Ω 2 M + K) 1 G cos(ω t) u s t

Απόκριση q ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Η συνολική λύση θα είναι q t = Φ (diag(cos( i ω t)) c + diag(sin( i ω t)) d) +( Ω 2 M + K) 1 G cos(ω t) u s t Οι άγνωστες παράμετροι c i, d i υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ.: q 0 = 0 c = Φ 1 ( Ω 2 M + K) 1 G q 0 = 0 d = 0 Οπότε η συνολική απόκριση σε αρμονική διέγερση (μηδέν Α.Σ.) είναι: q t = q ΕΔ t = (Ι cos(ω t) Φ diag(cos( i ω t)) Φ 1 ) ( Ω 2 M + K) 1 G

Κίνηση στερεού σώματος!!!! Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Μηδενικές Ιδιοτιμές

Φυσικό Νόημα Μηδενικής Ιδιοτιμής Μηδενικές ιδιοτιμές περιγράφουν κίνηση στερεού σώματος: Μεταφορική ή περιστροφική κίνηση που εκτελούν όλες οι αδράνειες του συστήματος σαν να ήταν ένα στερεό σώμα Παράδειγμα 1: στο αριστερό μεταφορικό μηχανικό σύστημα, μια κίνηση όπου οι δύο μάζες κινούνται ως προς το αδρανειακό ΣΣ με x 1 = x 2 είναι κίνηση στερεού σώματος. Το ελατήριο k μένει απαραμόρφωτο και δεν συμμετέχει Y Χ m 1 x 1 k m 2 x 2 θ 1 θ 2 Ι 1 Ι 2 Παράδειγμα 2: στο δεξί περιστροφικό μηχανικό σύστημα, μια κίνηση όπου οι δύο αδράνειες περιστρέφονται με την ίδια γωνία θ 1 = θ 2 είναι κίνηση στερεού σώματος. Το στρεπτικό ελατήριο k Τ μένει απαραμόρφωτο και δεν συμμετέχει k Τ

Μηδενικές Ιδιοτιμές σε Μηχανικά Συστήματα Χωρίς Απόσβεση Σε μηχανικά συστήματα που δεν συνδέονται με το αδρανειακό σ.σ. μέσω στοιχείων ελαστικότητας ή απόσβεσης, υπάρχουν μηδενικές ιδιοσυχνότητες i ω = 0 οι οποίες αντιστοιχούν σε ζευγάρια μηδενικών ιδιοτιμών λ = 0. Ένα ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών (ισοδύναμα μια μηδενική ιδιοσυχνότητα) για κάθε μεταφορική ή περιστροφική κατεύθυνση που μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώματος x 1 x 2 x 1 x 2 Y Χ m 1 k m 2 Y Χ m 1 k m 2 k Το σύστημα των δύο αδρανειών δεν συνδέεται με το αδρανειακό ΣΣ μέσω κάποιας ελαστηκότητας ή αδράνειας μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώματος στον άξονα X θα έχει 1 ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών Το σύστημα των δύο αδρανειών συνδέεται με το αδρανειακό ΣΣ μέσω ελαστηκότητας ΔΕΝ μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώμαρτος ΔΕΝ έχει ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών

Κίνηση Στερεού Σώματος 39

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Μηδενικές Ιδιοτιμές Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) H συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Χαρακτηριστικό γνώρισμα των συστημάτων αυτών είναι ότι ο συμμετρικός πίνακας K δεν είναι αναστρέψιμος: Κ = 0 rank Κ < N

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Το χαρακτηριστικό πολυόνυμο από όπου υπολογίζονται οι ιδιοτιμές/ιδιοσυχνότητες είναι πάλι λ 2 M + K = 0 Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών λ = ± i ω j, όπου i ω είναι η i-ιοστή (μημηδενική) ιδιοσυχνότητα του συστήματος Ν Μ ζεύγη μηδενικών ιδιοτιμών λ = 0 που αντιστοιχούν σε Ν Μ μηδενικές ιδιοσυχνότητες i ω = 0 Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε μόνο με την περίπτωση Ν Μ = 1 Συνολικά για ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Ν Ν + Ν Μ = Ν

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα φ, το οποίο υπολογίζεται από την σχέση (λ 2 M + K) φ = 0 Όπως αναλύθηκε παραπάνω για κάθε ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην i-ιοστή ιδιοσυχνότητα i ω το αντίστοιχο κοινό ιδιοάνυσμα υπολογίζεται ως ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Παρόμοια, για κάθε ζεύγος μηδενικών ιδιοτιμών που αντιστοιχούν σε μια μηδενική ιδιοσυχνότητα, το κοινό ιδιάνυσμα υπολογίζεται ως i ω 2 M + K i φ = K i φ = 0 Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε μόνο με την περίπτωση Ν Μ = 1. Το ιδιοάνυσμα που αντιστοιχεί στην κίνηση στερεού σώματος θα συμβολιστεί με 0 φ

Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα των συνιστωσών από Ν Ν ζεύγη μη-μηδενικών ιδιοτιμών και Ν Μ ζεύγη μηδενικών ιδιοτιμών. Για την περίπτωση Ν Μ = 1: q h t = N Ν {c i i=1 i φ cos( i ω t + φ i )} + 0 φ (c 01 + c 02 t) Συνεισφορά από τα N Ν ζεύγη ιδιοτιμών που αντιστοιχούν σε μη-μηδενικές ιδιοσυχνότητες Περιγράφουν ταλάντωση χωρίς απόσβεση Συνεισφορά από το ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην μηδενική ιδιοσυχνότητα Περιγράφει κίνηση στερού σώματος

Ειδική Λύση σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση που υπάρχει ζεύγος μηδενικών ιδιοτιμών, η μορφή της απόκρισης σε βηματική διέγερση f t = u s (t) διαφέρει επειδή το σύστημα έχει πολλαπλότητα κ = 2 στην κρίσιμη ιδιοτιμή Λ = 0 Αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = (Γ t 2 + Δ) u s (t) Αντικαθιστώντας στις ΣΔΕ προκύπτει ότι το διάνυσμα Γ είναι παράλληλο του 0 φ, και επειδή rank K < N το διάνυσμα Δ έχει Ν-1 μη-μηδενικά στοιχεία. q p t = (α 0 φ t 2 + Δ) u s (t) Οι Ν άγνωστοι παράμετροι (Ν-1 μη-μηδενικά στοιχεία του Δ και η παράμετρος α) υπολογίζονται από Ν εξισώσεις. Δείτε το παράδειγμα 2 στο τέλος της θεματικής ενότητας (θέμα επαναληπτικής εξέτασης 2013)

Η πιο γενική και πολύπλοκη περίπτωση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Απόσβεση Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + C q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) H συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Ο υπολογισμός και η ανάλυση σε συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης με απόσβεση είναι πολύ πιο πολύπλοκος από αυτά χωρίς απόσβεση

Ομογενής Λύση Για το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ΣΔΕ: Μ q + C q + K q = 0 Αναζητείται πάλι λύση της μορφής q t = φ e λ t Όπου λ είναι μια ιδιοτιμή και φ είναι το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα. Αντικαθιστώντας στo σύστημα ΣΔΕ προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: (λ 2 M + λc + K) φ = 0 Οι ιδιοτιμές είναι πάλι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: λ 2 M + λc + K = 0

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Οι 2Ν ιδιοτιμές του συστήματος μπορεί να είναι διάφορων ειδών Ν C ζεύγη μιγαδικών συζηγών ιδιοτιμών λ = α ± β j, όπου i ω είναι η i- ιοστή (μη-μηδενική) ιδιοσυχνότητα του συστήματος Ν R πραγματικές ιδιοτιμές (αρνητικές, μηδενικές ή θετικές) Μηδενικές ιδιοτιμές περιγράφουν κίνηση στερεού σώματος Συνολικά 2 Ν C + N R = 2 N * Οι ιδιοτιμές (και των δύο ειδών) μπορούν να έχουν πολλαπλότητα. Σε αυτό το μάθημα για απλοποίηση θα θεωρηθούν να έχουν πολλαπλότητα κ=1

Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ j αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα j φ, που υπολογίζεται από την σχέση (λ j 2 M + λ j C + K) j φ = 0 Για κάθε ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοτιμών i α ± i β j προκύπτει ένα ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοανυσμάτων R j φ ± I j φ j Για κάθε πραγματική ιδιοτιμή προκύπτει ένα πραγματικό ιδιοάνυσμα j φ

Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα των συνιστωσών λύσεων από 2Ν ιδιοτιμές. Με την παραδοχή ότι όλες οι ιδιοτιμές έχουν πολλαπλότητα 1, προκύπτει η ομογενής λύση: q h t = N C { R i φ i=1 Ι i φ e i a t cos i β t sin i β t sin i β t cos i β t c i d i } + N R l i i=1 i φ e λ i t Συνεισφορά από τα N C ζεύγη μιγαδικών ιδιοτιμών Συνεισφορά από τις πραγματικές ιδιοτιμές Οι 2Ν πραγματικές σταθερές c i (i = 1,, N C ), d i (i = 1,, N C ), και l i (i = 1,, N R ) θα προκύψουν από τις Α.Σ. δεδομένης της ειδικής λύσης q p. Αν κάποια ιδιοτιμή έχει πολλαπλότητα κ > 1, η συνεισφορά της είναι πιο πολύπλοκη (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ)

Η απόσβεση εδώ δεν αμελείται.. Γενική μέθοδος Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 1 ης Τάξης Θα υπολογιστεί η συνολική λύση x t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν x = A x + B f(t) x(0) = x 0 x(t) Από θεωρεία ΣΔΕ, η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς x h t και της ειδικής λύσης x p t : x t = x h t + x p t Η παρακάτω ανάλυση είναι γενική και συμπεριλαμβάνει συστήματα με ή χωρίς απόβεση, με ή χωρίς μηδενικές ιδιοτιμές κτλ.

ΠΑΣ σε ΣΔΕ 1 ης Τάξης Ξενικώντας από την επίλυση του ΠΑΣ ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = a x + b f t, x 0 = x 0 Πολλαπλασιάζοντας με e αt και φέρνοντας τον όρο a x αριστερά: e αt x e αt a x = e αt b f(t) d dt (e αt x(t)) = e αt b f(t) Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη από t = 0 έως t προκύπτει η συνολική λύση: x t = e αt x 0 + 0 t e α(t τ) b f τ dτ Ομογενής λύση x h t Ειδική λύση x p t (ολοκλήρωμα συνέλιξης)

ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 1 ης Τάξης Αντίστοιχα, η επίλυση του ΠΑΣ ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = A x + B f t, x 0 = x 0 Η συνολική λύση είναι: x t = e Αt x 0 + Ομογενής λύση x h t 0 t e Α(t τ) B f τ dτ Ειδική λύση x p t (ολοκλήρωμα συνέλιξης) Κλειδί είναι η ομογενής λύση ο εκθετικός πίνακας e Αt, του οποίου η μορφή εξαρτάται από τις ιδιοτιμές & τα ιδιοανύσματα του πίνακα Α Βλέπε εδάφιο 6.4, «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις», Νίκου Σταυρακάκη

Ομογενής Λύση: Εκθετικός Πίνακας Για το σύστημα S ΣΔΕ 1 ης τάξης x = A x, ο εκθετικός πίνακας υπολογίζεται ως: e Αt = W(t) W 1 (0) Όπου W(t) είναι ο θεμελιώδης πίνακας του συστήματος, η i-ιοστή στήλη του οποίου είναι η i-ιοστή λύση (i) x t της ομογενούς: W t = (1) x t (S) x t Η μορφή i-ιοστής λύσης (i) x t εξαρτάται από την μορφή (πραγματική, μιγαδική) και την πολλαπλότητα της i-ιοστής ιδιοτιμής λ i και του αντίστοιχου ιδιοανύσματος i ξ του πίνακα A.

Ομογενής Λύση: Ιδιοτιμές και Ιδιοανύσματα Οι ιδιοτιμές λ και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ξ του S S τετραγωνικού πίνακα A ικανοποιούν την σχέση: (Α λ I) ξ = 0 Οι S ιδιοτιμές λ i προκύπτουν από το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο τάξης S ως προς λ: Α λ I = 0 Οι ιδιοτιμές μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί λ i = α (αρνητικοί, μηδέν, θετικοί) ή ζευγάρια συζηγών μιγαδικών αριθμών λ i = a ± b j Για την i-ιοστή ιδιοτιμή λ i αντιστοιχεί το ιδιοάνυσμα i ξ (Α λ i I) i ξ = 0 Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις (βλέπε επόμενα slides)

Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 1. Έστω λ i πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα A πολλαπλότητας κ = 1 Η ιδιοτιμή λ i = α μπορεί να είναι αρνητική, θετική, ή μηδέν Το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα i ξ περιέχει μόνο πραγματικά στοιχεία και ικανοποιεί την σχέση (Α λ i I) i ξ = 0 Α i ξ = i ξ λ i Η αντίστοιχη λύση (i-ιοστή στήλη του θεμελιώδη πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t

Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 2. Έστω λ i = i a + i b j και λ i+1 = i a i b j ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών του πίνακα A πολλαπλότητας κ = 1 Το ιδιοάνυσμα i ξ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i και ικανοποιεί: (Α λ i I) i ξ = 0 Το i ξ έχει μιγαδικά στοιχεία και γράφεται i ξ = R i ξ + I i ξ j όπου τα R i ξ και I i ξ περιέχουν μόνο πραγματικά στοιχεία Το ιδιοάνυσμα i+1 ξ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i+1 = i a i b j είναι το μιγαδικό συζηγές του i ξ: i+1 ξ = R i ξ I i ξ j

Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 Tα δύο ιδιοανύσματα ικανοποιούν τις σχέσεις: Α R i ξ I i ξ = R i ξ I i ξ i a i b i b i a Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i και i+1 του W(t)) είναι (i) x t = (R i ξ cos i b t i I ξ sin i b t ) e i a t (i+1) x t = (R i ξ sin i b t + I i ξ cos i b t ) e i a t

Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας κ 3. Έστω λ i πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα A πολλαπλότητας κ Αυτό το μάθημα θα περιοριστεί στην περίπτωση κ = 2 (οι περιπτώσεις κ > 2 είναι αρκετά πιο πολύπλοκες), όπου διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: a) Aν rank Α λ i I = S 2 τότε η επίλυση της (Α λ i I) i ξ = 0 δίνει 2 ανεξάρτητα πραγματικά ιδιοανυσμα i ξ και i+1 ξ για τα οποία ισχύει (Α λ i I) i ξ = 0 (Α λ i I) i+1 ξ = 0 Α i ξ i+1 ξ = i ξ i+1 ξ Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i, i+1 του πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t (i) x t = i+1 ξ e λ i t λ i 0 0 λ i Η μορφή των λύσεων ταυτίζεται με την περίπτωση πραγματικών ιδιοτιμών με κ=1

Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας κ b) Aν rank Α λ i I = S 1 τότε η επίλυση της (Α λ i I) i ξ = 0 δίνει 1 ανεξάρτητο πραγματικό ιδιοανυσμα i ξ. Το δεύτερο γενικευμένο ιδιοανυσμα i ξ προκύπτει ως εξής: i (Α λ i I) ξ = i ξ Οπότε τα δύο ιδιοανύσματα περιγράφονται ως: (Α λ i I) (Α λ i I) i ξ = 0 i ξ = i ξ Α i ξ i ξ = i ξ i ξ λ i 1 0 λ i Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i, i+1 του πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t (i+1) x t = ( i ξ t + i ξ) e λ i t

Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα S συνιστωσών από τις λύσεις (i) x t S N R x h t = c i (i) x t = {c i i ξ e λi t } + i=1 i=1 N C + {d i1 i R ξ cos i=n R +2N M +1 N M i=n R +1 {c i1 i ξ e λi t + c i2 ( i ξ t + i ξ) e λi t } + i b t i I ξ sin i b t

Ομογενής Λύση H ομογενής λύση σε μητρωϊκή μορφή γράφεται x h t = W(t) c = Ξ e Λ(t) c Όπου W(t) είναι ο θεμελιώδης πίνακας. Οι στήλες του πίνακα Ξ περιέχουν τα S ιδιοανύσματα του συστήματος Ξ = N R Ξ N M Ξ N C Ξ N R Ξ = 1 ξ N R ξ N M Ξ = N R+1 ξ N R +1 ξ N R+N M ξ N R +N M ξ N C Ξ = N R +2N M +1 R ξ N R +2N M +1 N I ξ R +2N M +N C Rξ Το S 1 διάνυσμα c περιέχει τις S άγνωστες σταθερές c i, c 1i, c 2i, d 1i, d 2i N R +2N M +N C Iξ

Ομογενής Λύση Ο σύνθετος πίνακας e Λ(t) περιέχει ως διαγώνια στοιχεία τους πίνακες e Λ R(t), e Λ M(t) και e Λ C(t), που περιέχουν τις συναρτήσεις e λ it των διάφορων ειδών ιδιοτιμών e Λ(t) = e Λ R(t) e Λ M(t) e Λ C(t) e Λ C(t) = diag e ΛR(t) = diag(e λi t ), i = 1,, N R e ΛM(t) = diag 1 t 0 1 eλ i t, i = N R + 1,, N R + N M cos i b t sin i b t sin i b t cos i e i a t, i = N R + 2N M + 1,, N R + 2N M + Ν C b t

Απόκριση x ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 η συνολική λύση ταυτίζεται με την ομογενή λύση x t x ΑΣ t = x h (t) = W(t) c = Ξ e Λ(t) c Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. x 0 = x 0 Ξ e Λ(0) c = Ξ c = x 0 c = Ξ 1 x 0 Οπότε η λύση σε Α.Σ. είναι: x ΑΣ t = Ξ e Λ(t) Ξ 1 x 0 Εφόσον όταν f t = 0 η συνολική λύση εκφράζεται ως: x t = e Αt x 0 O εκθετικός πίνακας υπολογίζεται ως: e Αt = Ξ e Λ(t) Ξ 1

Απόκριση x ΕΔ t σε Κρουστική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = δ(t) και x 0 = 0, η ομογενής λύση e Αt x 0 είναι μηδέν και η συνολική απόκριση h(t) ταυτίζεται με την ειδική λύση: x ΕΔ t h t = 0 t e Α t τ B f τ dτ = 0 t eα t τ B δ τ dτ Με βάση τις ιδιότητες της συνάρτησης Dirac, η απόκριση προκύπτει: h t = e Αt B = Ξ e Λ(t) Ξ 1 B

Απόκριση x ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση x 0 = 0, η απόκριση h s t του συστήματος ΣΔΕ σε βηματική διέγερση f t = u s (t) προκύπτει ολοκληρώνοντας την απόκριση σε κρουστική διέγερση h t για μηδενικές Α.Σ.: h s t = 0 t h τ dτ = h s t = Α 1 0 t 0 t e Ατ Bdτ = 0 t Α 1 Α e Ατ dτ B Α e Ατ dτ B = Α 1 e Ατ t 0 B h s t = Α 1 (e Αt Ι) B

Απόκριση x ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Σε αρμονική διέγερση f t = cos Ω t με μηδενικές Α.Σ. x 0 = 0, η ομογενής λύση x h t = e Αt x 0 = 0 οπότε x ΕΔ t = x p t. Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή ±Ω j αναζητείται ειδική λύση x p t : x p t = Γ 1 cos Ω t + Γ 2 sin Ω t Aντικαθιστώντας την x p t στο σύστημα ΣΔΕ προκύπτει: x p = A x p + B f t cos Ω t Ω Γ 2 A Γ 1 B + sin Ω t Ω Γ 1 A Γ 2 = 0 A I Ω I Ω A Γ 1 = B Γ 2 0 Εφαρμόζοντας τον τύπο για τον αντίστροφο 2 2 σύνθετων πινάκων προκύπτει: Γ 1 = (Α 2 + Ι Ω 2 ) 1 Α Β Γ 2 = Ω Α 1 (Α 2 + Ι Ω 2 ) 1 Α Β

Παραδείγματα

1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης 1 0 Δίνεται το σύστημα Μ q + K q = G f(t) με Μ = m 0 1 και K = k 2 1 1 1 Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοανύσματατου συστήματος. Λύση 1. Υπολογισμός ιδιοτιμών: Κατάστρωση και λύση Χ.Π.: Μ λ 2 + K = 0 m λ2 + 2k k k m λ 2 + k = m2 λ 4 + 3 k m λ 2 + k 2 = 0 Θέτωντας z = λ 2 προκύπτει ένα πολυώνυμο 2 ης τάξης ως προς z με ρίζες z = 3± 5 2 οι δύο αρνητικοί αριθμοί. Η πρώτη ρίζα του z δίνει το πρώτο ζευγάρι ιδιοτιμών k m που είναι και λ = ± 3 + 5 2 k m = ±0.618 Η δεύτερα ρίζα του z δίνει το δεύτερο ζευγάρι ιδιοτιμών k m j = ± 1 ω j λ = ± 3 5 2 k m = ±1.618 k m j = ± 2 ω j

1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Σχόλια στον υπολογισμό των ιδιοτιμών/ιδιοσυχνοτήτων: Εδώ οι ιδιοτιμές είναι φανταστικοί αριθμοί λόγω έλειψης απόσβεσης Κάθε ζευγάρι ιδιοτιμών εκφράζεται ως συνάρτηση μιας ιδιοσυχνότητας i ω, η οποία είναι k συνάρτηση του λόγου (αντιστοιχία με σύστημα ΣΔΕ m 2ης τάξης 1 Β.Ε. προφανής!). Οι ιδιοσυχνότητες εξαρτώνται τόσο από την συνολική αδράνεια/ελαστικότητα του συστήματος όσο και από την κατανομή τους στους Β.Ε. όπως αυτό περιγράφεται από τα μητρώα αδράνειας και ελαστικότητας αντίστοιχα.

1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης 2. Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων. Σε συστήματα χωρίς απόσβεση, κάθε ζευγάρι ιδιοτιμών ± i ω j (αντιστοιχούν στην ίδια i ω) έχει κοινό ιδιοάνυσμα i φ που υπολογίζεται ως (λ 2 M + K) i φ = 0 ή ισοδύναμα από την σχέση ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Υπολογισμός ιδιοανύσματος 1 φ για το πρώτο ζευγάρι ιδιοτιμών (πρώτη ιδιοσυχνότητα) 3 + 5 k 2 m M + K 1 1 0 φ = 0 0.382 k 0 1 + k 2 1 1 φ = 0 1 1 1.618 1 1 0.618 1 φ = 0 1 φ 1.618 1 1 0.618 1 1 φ = 0 0 Ο πίνακας στο αριστερό μέρος του 2 2 γραμμικού συστήματος έχει μηδενική ορίζουσα επομένως τα 2 στοιχεία 1 j φ του 1 φ είναι εξαρτημένα. Από την πρώτη γραμμή του συστήματος προκύπτει η σχέση εξάρτησης 1 2 φ = 1.618 1 1 φ επομένως το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα είναι 1 φ = 11 φ 1 φ = 1 1 φ 1.618 1 1 φ = 1 1.618 1 1 φ 1 1 φ = 1.618 2 2

1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Υπολογισμός ιδιοανύσματος 2 φ για το δεύτερο ζευγάρι ιδιοτιμών (δεύτερη ιδιοσυχνότητα) 3 5 k 2 m M + K 2 1 0 φ = 0 2.618 k 0 1 + k 2 1 2 φ = 0 1 1 0.618 1 1 1.618 2 φ = 0 1 φ 0.618 1 1 1.618 1 1 φ = 0 0 Πάλι τα 2 στοιχεία 1 j φ του 2 φ είναι εξαρτημένα. Από την πρώτη γραμμή του συστήματος προκύπτει η σχέση εξάρτησης 2 2 φ = 0.618 2 1 φ επομένως το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα είναι 2 φ = 12 φ 2 φ = 1 2 φ 0.618 2 = 1 0.618 1 2 φ 2 1 φ = 0.618 2 2

1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Σχόλια στον υπολογισμό των ιδιοανυσμάτων: Εδώ η σταθερά k απαλείφθηκε κατά τον υπολογισμό των ιδιοανυσμάτων διότι είναι μη μηδενική. Σε άλλα προβλήματα δεν είναι δυνατών να απαληφθούν όλες οι παράμετροι, οπότε τα ιδιοανύσματα υπολογίζονται ως συνάρτηση των παραμέτρων του προβλήματος Ένας καλός έλεγχος πράξεων είναι ότι η ορίζουσα του πίνακα i ω 2 M + K (αφού αντικατασταθεί μια τιμή ιδιοσυχνότητας i ω 2 ) είναι μηδέν Σε όρους γραμμικής άλγεβρας, η πράξη ( i ω 2 M + K) i φ = 0 σημαίνει ότι το διάνυσμα i φ βρίσκεται στο μηδενικό διανυσματικό χώρο (nullspace) του μετασχηματισμού που περιγράφει ο πίνακας i ω 2 M + K. Εδώ ο διανυσματικός χώρος αυτός έχει διάσταση 1, επομένως για κάθε i ω 2 υπάρχει μόνο 1 ιδιοάνυσμα. Σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις το nullspace έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1 επομένως υπάρχουν περισσότερα από ένα ιδιοανύσματα.