5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι μόνο το x) iv) Παραγοντοποιώ v) Διακρίνω περιπτώσεις 5.1 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να λυθούν οι εξισώσεις : α) λ 2 x λ = 2 + 4χ β) λ 3 x λ 2 = 2 + λ(x+3) γ) (λ-1)χ= 2μ+4 α) λ x λ = 4x + 2 λ x 4x = λ + 2 x(λ 4) = λ + 2 x(λ 2)(λ + 2) = λ + 2 i) Αν (λ 2)(λ + 2) 0 λ 2 λ 2 (λ )(λ ) (λ )(λ ) = (λ) (λ )(λ ) x = λ ii) Αν (λ 2)(λ + 2) = 0 λ=2 λ= 2 λ = 2: x(2 2) (2+2) = 2+2 x 0 4 = 4 x 0 = 4 ΑΔΥΝΑΤΗ λ = 2: x( 2 2) ( 2+2) = 2+2 x 0 = 0 ΑΟΡΙΣΤΗ β) λ x λ = 2 + λ(x + 3) λ + 3λ + 2 = 0 λ x λ = 2 + λx + 3λ α = 1, β = 3, γ = 2, Δ = 9 8 = 1 > 0

λ x λx = λ + 2 + 3λ λx(λ 1) (λ + 1) = (λ + 1) (λ + 2) λ 1 i) Αν λ(λ 1)(λ + 1) 0 λ 1 λ 0 λ(λ )(λ ) λ(λ )(λ ) = (λ)(λ) λ(λ )(λ ) x = λ λ(λ) λ=1 ii)αν λ(λ 1)(λ + 1) = 0 λ= 1 λ=0 λ, = ± = 1 2 λ = 1: 1x(1 1) (1+1) = 6 x 0 = 6 ΑΔΥΝΑΤΗ λ = 1: -1x( 1 1) ( 1+1) =0 x 0 = 0 ΑΟΡΙΣΤΗ λ= 0 : 0χ=2 ΑΔΥΝΑΤΗ γ) (λ 1)x = 2μ + 4 Π ) λ 1 0 λ 1, x = μ λ Π ) λ 1 = 0 λ = 1, 0x = 2μ + 4 α) Αν 2μ + 4 = 0 μ = 2 0x = 0 TAYTOTHTA β) Αν 2μ + 4 0 μ 2 0x 0 ΑΔΥΝΑΤΗ 5.2Αν η εξίσωση λ(χ-1)=4χ-μ+1 είναι ταυτότητα να δείξετε οτι η εξίσωση μ(χ+1)+(λ-9)χ=λ(λ+μ) είναι αδύνατη

λ(x 1) = 4x μ + 1 λx λ = 4x μ + 1 λx 4x = λ μ + 1 x(λ 4) = λ μ + 1 (1) Αφού η (1) είναι ταυτότητα πρέπει λ 4 = 0 και λ μ + 1 = 0. λ 4 = 0 λ = 4 λ μ + 1 = 0 4 μ + 1 = 0 μ = 5 μ(x+1) + (λ 9)x = λ(λ+μ) μx + μ + λx 9x = λ + λμ μx + λx 9x = μ + λ + λμ x(μ + λ 9) = μ + λ(λ + μ) Για λ = 4 και μ = 5 έχουμε 0x = 31 που είναι αδύνατη. 5.3 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α) =81 η) +1=0 β) =7 θ) 2 +3=0 γ) =0 ι) =125 δ)! " =0 κ) ( +2)( +5x)=0 ε) # = 2 λ) (x+2) 3 +6=0 ζ) $ = 1 α) x ' = 81 x = ± 81 β) y * = 7 y = 7 γ) t = 0 t = 0 δ) w " = 0 w = 0 ε) λ # = 2 Αδύνατη - ζ) μ = 1 μ = 1 x = ±3 μ = 1

η) x +1 = 0 x = 1 x * = 1 x = 1 θ) 2x +3 = 0 2x = 3 x = Αδύνατη ι) λ = 125λ λ 125λ = 0 λ (λ 125) = 0 λ = 0 λ = 0 ή λ 125 = 0 λ * = 125 λ = 125 κ) (x +2)( x +5x) = 0 x +2 = 0 x * = 2 x = 2 ή λ = 5 x +5x = 0 x(x +5) = 0 x = 0 ή x +5 = 0 x = 5 Αδύνατη λ) (x+2) + 6 = 0 (x+2) * * = 6 x + 2 = 6 x = 6 2 6.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 6.1Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις α) 2x 5 = 7 β) 3x 1 = 1 γ) δ) 3x 1 = x 3 ε) 3 x 13 = 5 = στ) 3 x + 2 x+1 = 4 α) 2x 5 = 7 2x 5 = 7 2x = 7 + 5 2x = 12 x = 6 ή 2x 5 = 7 2x = 7 + 5 2x = 2 x = 1

β) Η εξίσωση 3x 1 = 1 είναι αδύνατη αφού το απόλυτο είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. γ) 60 60 = 60 60 20 2x 1 12 2 4x = 5 15 6x 3, ΕΚΠ = 60 Βγάζοντας κοινό παράγοντα το 2 και το 3 έχουμε: 20 2x 1 24 1 2x = 5 45 2x 1 20 2x 1 24 1 2x + 45 2x 1 = 5 2x 1 = 5 2x 1 = 5 x = 3 ή 2x 1 = 5 x = 2 δ) 3x 1 = x 3 Γνωρίζουμε ότι την ίδια απόλυτη τιμή έχουν οι ίσοι ή αντίθετοι αριθμοί. Άρα: 3x 1 = x 3 ή 3x 1 = ( x 3) Άρα 3x 1 = x 3 3x x = 1 3 2x = 2 x = 1 ή 3x 1 = x + 3 3x + x = 1 + 3 4x = 4 x = 1 ε) 3 x 13 = 5 οπότε x 1 = 5 (1) ή x 1 = 5 (2) (1) x 1 = 5 x = 6 x = 6 ή x = 6 (2) x 1 = 5 x = 4 που είναι αδύνατη στ) 3 x + 2 x+1 = 4 (1) Επειδή οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα είναι διαφορετικές δημιουργούμε έναν πίνακα προσήμων ως εξής:

3 x > 0 x > 3 x < 3 x + 1 > 0 x > 1 οπότε η εξίσωση λύνεται με τρεις περιπτώσεις i) Αν x < 1 (1) 3 x + 2( x 1) = 4 3 x 2x 2 = 4 x 2x = 4 3 + 2 3x = 3 x = 1 που απορρίπτεται ii) Αν 1 x 3 (1) 3 x + 2(x + 1) = 4 3 x + 2x + 2 = 4 x = 4 3 2 x = 1 Δεκτό iii) Αν x > 3 (1) 3 + x + 2(x+1) = 4 3 + x + 2x + 2 = 4 3x = 4 + 3 2 3x = 5 x = που απορρίπτεται Άρα x = 1 6.2 Να λυθεί η εξίσωση: x 3 ψ + 1+ 2χ+ ψ 5 = 0 Επειδή το άθροισμα δύο μη αρνητικών είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι: x 3y+1 = 0 και 2x+y 5 = 0 οπότε (1) x 3y+1=0 6 2x+y 5=0 6x 3y= 1 2x+y=5 6x 3y= 1 6x+3y=15 2 και από την (1) 2 3y+1=0 3y = 3 y = 1 Άρα x = 2 και y = 1 7x = 14 x =

6.3Για τον πραγματικό αριθμό x, να αποδείξετε ότι: 2d(x, 1) = d(x, -1) d(x, 5 3 ) = 4 3. Γνωρίζουμε ότι η απόσταση δύο αριθμών είναι το απόλυτο της διαφοράς τους. Άρα: d(x,1) = x 1, d(x 1) = x+1 και d(x, ) = 7x 7 άρα η ζητούμενη γίνεται: 2 x 1 = x+1 7x 7 = οπότε 2 x 1 = x+1 2(x 1) = x+1 2x 2 = x + 1 x = 3 ή 2(x 1) = x 1 2x 2 = x 1 x = Επίσης: 7x 7 = x = x = + x = 3 ή x = x = x =

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7.ΕΠΙ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 7.1 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 9x 2 3(1+ 2) x+ 2 = 0 β) χ 2 -α(α+β)χ+α 3 β=0 α,β>0 γ) x ( 5 + 3)x + 15 = 0 α) 9x 3(1+ 2)x + 2 = 0 α = 9, β = 3 3 2, γ = 2 Δ = 8+3+3 29 4(9 2) = (9 + 18 2 + 18) 36 2 = + 9 + 18 2 + 18 36 2 = + 27 18 2 = 9 + 18 18 2 = 83 3 29 x, = ( )±;( )< # = = = # # # = # = β) x α(α+β)x+α β=0 (α, β > 0) α = 1, β = α αβ, γ = α β Δ = ( α αβ) 4α β = +(α + 2α β + α β ) 4α β = + α + 2α β + α β 4α β = + α 2α β + α β = + α (α 2αβ + β ) = α (α β) x, = (α< αβ)±>α < (αβ) < = = γ)α = 1, β = 5 3, γ = 15 α < αβα < αβ α < αβα < αβ = α< = α = αβ = αβ Δ = ( 5 3) 4 15 = ( 5+ 3) 4 15 = 5 + 2 15 + 3 4 15 = 5 + 3 2 15 = ( 5 3) > 0

±;( )< x, = = x = ( ) = ( ) x = = = = 5 = = 3 7.2 Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 6 2x + 2 3x+ 1= 2χ? + 2 3x + 1 = 0? α = 2, β = 2 3, γ = 1? Δ = 82 39 * * 4 2 = 4 3 4 2 = 4( 3 2) > 0 * 3 0 * > 2 3 > 2 9 > 8 Άρα Δ > 0 και άρα έχει δύο άνισες ρίζες (πραγματικές). 7.3 Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση λχ 2 (λ 1)χ+ 2λ 2 = 0 έχει μια διπλή ρίζα; λx (λ 1)x + 2λ 2 = 0 α = λ, β = λ+1, γ = 2λ 2, Δ = 0 Δ = ( λ+1) 4[λ(2λ 2)] = λ 2λ + 1 4(2λ 2λ) = λ 2λ + 1 8λ + 8λ = λ + 6λ + 1 8λ = 7λ + 6λ + 1 = 0 Οπότε: Δ=36+28=64 και λ= ±# δηλαδή λ=1 η λ=- " 7.4 Να προσδιορίσετε το μ ώστε η εξίσωση: (2μ-1)χ 2 +(μ-1)χ+μ-1=0 να έχει δύο ίσες ριζες.

(2μ 1) x + (μ 1)x + μ 1 = 0 α = 2μ 1, β = μ 1, γ = μ 1 Δ = 8μ 19 4[(2μ 1)( μ 1)] = 0 μ 2μ + 1 4(2μ 2μ μ + 1) = 0 μ 2μ + 1 8μ + 8μ + 4μ 4 = 0 7μ + 10μ 3 = 0 α = 7, β = 10, γ = 3 Δ = 100 4(+21) = 16 > 0 μ, = @± = = = " =1 7.5Να αποδείξετε οτι η εξίσωση 3μχ 2 -(2μ+3ν)χ+2ν=0 έχει πάντοτε ρίζες. 3μx (2μ + 3ν)x + 2v = 0 (1) α = 3μ, β = 2μ 3ν, γ = 2ν Δ = ( 2μ 3ν) 24μν = 4μ + 12μν + 9ν 24μν = 4μ 12μν + 9ν = (2μ 3ν) 0 Άρα η εξίσωση (1) έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες. 7.6 Για ποιές τιμές των κ, λ η εξίσωση 5χ 2 + (2κ-1)χ+ λ+ 4 =0 έχει μοναδική λύση το 0; 5x + (2κ 1)x + λ + 4 = 0

Εφόσον το x = 0 είναι ρίζα της εξίσωσης αντικαθιστώντας όπου x το 0 έχουμε λ + 4 = 0 λ = 4 Αφού το 0 είναι η μοναδική λύση πρέπει Δ = 0 οπότε: Δ = (2κ 1) 4[5(λ +4)] = 0 4κ 4κ + 1 4(5λ +20) = 0 4κ 4κ + 1 20λ 80 = 0 4κ 4κ + 1 + 80 80 = 0 4κ 4κ + 1 = 0 α = 4, β = 4, γ = 1 Δ = 16 16 = 0 κ = # = = 7.7Να δειχθεί ότι: αν η εξίσωση (2α-β) x 2 4αx + 4β = 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση (α 2 + β 2 ) x 2 2x + 3(α β) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες. (2α β) x 4αx + 4β = 0 α = 2α β, β = 4α, γ = 4β Αφού το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα, άρα πρέπει Δ =0. Δ = 16α 4[(2α β)4β] = 0 16α 4(8αβ 4β ) = 0 16α 32αβ + 16β = 0 : α 2αβ + β = 0 (α β) = 0

α β = 0 α = β Για να έχει το τριώνυμο δύο άνισες ρίζες πρέπει να δείξω ότι Δ > 0. (α + β )x 2x + 3(α β) = 0 α = α + β, β = 2, γ = 3α 3β Δ = 4 4[(α + β )( 3α 3β)] = 4 4(3α 3α β + 3αβ 3β ) = 4 12α + 12α β 12αβ + 12β = Άρα Δ > 0. 7.8 Να λυθούν οι εξισώσεις : α) χ 4 13χ 2 +36 = 0 β) 4x 2 17 x + 4= 0 γ) x6-9x3 + 8 = 0 α) x 13x + 36 = 0 (1) Θέτω x = y οπότε η (1) γίνεται y 13y + 36 = 0 Δ = ( 13) 4 1 36 = 169 144 = 25 y, = ± y = 9, y = 4 Οπότε x = 9 ή x = 4 x = ±3 ή x = ±2 β) 4x 17 x + 4 = 0 (1) Επειδή γνωρίζουμε ότι x = x η (1) γίνεται 4 x 17 x + 4 = 0 και θέτοντας y = x έχουμε 4y 17y + 4 = 0 Δ = ( 17) 4 4 4 = 289 64 = 225 Άρα y, = "± # y = 4, y = Άρα x = 4 ή x = x = ±2 ή x = ± γ) x 9x + 8 = 0 (1)

θέτω x = y οπότε η (1) γίνεται: y 9y + 8 = 0 Δ = 81 4 8 = 81 32 = 49 Άρα y, = C±" y = 8, y = 1 Άρα x = 8 ή x = 1 x = 2 ή x = 1 8.ΤΥΠΟΙ VIETA x, x. Αν 2 Δίνεται η εξίσωση αx + βx+ γ=0, α 0, με ρίζες 1 2 S = x1 + x2 είναι το άθροισμα των ριζών και P= x1 x2 είναι το γινόμενο των ριζών, τότε H εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες > 0 H εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες = 0 H εξίσωση είναι αδύνατη < 0 H εξίσωση έχει ρίζες 0 H εξίσωση έχει ρίζες ετερόσημες Δ>0 P<0 H εξίσωση έχει ρίζες θετικές ( 0, P>0, S>0) H εξίσωση έχει ρίζες αρνητικές ( 0, P>0, S<0) H εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες ( 0, S=0) H εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες ( 0, P=1) 8.1 Αν, οι ρίζες της εξίσωσης x 2 6x + 4 = 0 αντιστοιχείστε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1) + α) 2) β) 96 3) + γ) 4 4) + D E D < δ) 6 5) + ε) 7

6) D E D < + D < D E στ) 4 7) ( ) 2 ζ) 20 8) 4 + 4 η) 28 1) x + x = 6 2) x x = 4 θ) 144 3) x + x = x + 2x x + x 2x x = (x + x ) 2x x = =6 2 4=36 8=28 4) G< GE EH EH + = E < < E < + E E < = E < E < = 5) x + x = (x + x )( x x x + x ) = 6 (28 4) = 6 24 = 144 6) GE G< GE I G< + I = E < < = # = 7 < E E < 7) (x x ) = x 2x x + x = 28 2 4 = 28 8 = 20 8) 4x x + 4x x = 4x x (x + x ) = 4 4 6 = 96 8.2Άν χ 1 και χ 2 ρίζες της εξίσωσης χ 2-3χ+γ=0,να βρεθεί το γ ώστε να ισχύει: 5 x 3 x + 5x 3 x 4x 2 x 4x 2 x = 2γ + 3 1 2 2 1 1 2 2 1 x 3x + γ = 0 x + x = β x α + x = +3 x x = γ x α x = γ x + x = (x + x + 2x x ) 2x x = (x + x ) 2x x = 9 2γ

5x x + 5x x 4x x 4x x = 2γ + 3 5x x (x + x ) 4x x (x + x ) = 2γ + 3 5γ(9 2γ) 12γ = 2γ + 3 45γ 10γ 12γ 2γ 3 = 0 10γ + 31γ 3 = 0 α = 10, β = 31, γ = 3 Δ = 961 120 = 841 γ, = ±C @ 3 = J1K 10 8.3 Για ποιες τιμές του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της 2χ 2 4λχ + 2λ -1 = 0 είναι 1; x + x = 1 2x 4λx + 2λ 1 = 0 S = x + x = λ = 2λ Ρ = x x = λ x + x = 1 x + 2x x + x 2x x = 1 (x + x ) 2x x = 1 4λ (2λ 1) = 1 4λ 2λ + 1 = 1 2λ(2λ 1) = 0

2λ = 0 λ = 0 ή 2λ 1 = 0 2λ = 1 λ = 8.4 Αν μία ρίζα της αχ 2 +βχ +γ =0είναι διπλάσια της άλλης, να δείξετε ότι 9αγ = 2β 2. Εφόσον η μία ρίζα είναι διπλάσια της άλλης έστω x = 2x. S = x + x = β α 2x + x = β α 3x = β α (1) Ρ = x x = γ α 2x x = γ α 2x = γ α (2) Από (1): x = β α * E x = β α Από (2): 2( β α ) = γ α 2 β< Cα < = γ α β< Cα < = γ α 9α γ = 2β α 8.5Να βρεθούν οι τιμές του λ є R για να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3x 2 2x + 3(λ 7) = 0 α) θετικές β) ετερόσημες γ) ίσες

Δ = 4 4 3 3(λ 7) = 4 36λ + 252 = 256 36λ α) θετικές ρίζες S > 0, P > 0 Δ > 0 256 36λ > 0 λ < =7,11 S =, P = (λ") = λ 7 Άρα λ 7 > 0 λ > 7 7< λ < =7,11 β)αντίστροφες ρίζες Ρ < 0 Δ > 0 256 36λ > 0 λ < = 7,11 λ 7 < 0 λ < 7 Άρα λ < 7 γ) ίσες ρίζες Δ = 0 Δ = 0 256 36λ = 0 λ = λ = C 8.6Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης χ 2 -(λ-1)χ+λ-2=0 να είναι : α)αντίθετες β)αντίστροφες γ)η μία διπλάσια της άλλης Δ = 8λ 19 4(λ 2) = λ 2λ + 1 4λ + 8 = λ 6λ + 9 = = 8λ 39 0 α) αντίθετες ρίζες S = 0, P < 0 S = λ 1 = 0 λ = 1 Ρ = λ 2 < 0 λ < 2 β) αντίστροφες ρίζες Ρ = 1 S = λ 1 Ρ = λ 2 = 1 λ = 3 Άρα S = 3 1 = 2 γ) μία διπλάσια της άλλης S = 3x, P = 2x S = λ 1 = 3x λ = 3x +1 (1) Ρ = λ 2 = 2x () 3x +1 2 = 2x 3x 1 2x = 0 () LMN 2x 3x + 1 = 0 Δ = 9 8 = 1 > 0 x, = ± = 1 2

8.7 Αν x, x ρίζες της εξίσωσης x 3x + 1 = 0 φτιάξτε την εξίσωση που έχει σαν ρίζες τα: i) x,x ii) E, < iii) x +, x + < E x + x = 3, x x = 1 i) x,x S = x + x = (x + x ) 2x x = 9 2 = 7 P = x x = (x x ) = 1 = 1 x 7x + 1 = 0 ii) E, < S = E + < = E < E < = 3 P = E < = x 3x + 1 = 0 E < = 1 iii) x + <, x + E S = x + < + x + E = 3 + E < E < = 6 P = (x + < ) (x + E ) = x x + 1 + 1 + x 6x + 4 = 0 E < = 4