Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

8.1 Εισαγωγή Η φυσική απόκριση των κυκλωμάτων RL και RC είναι φθίνουσα εκθετική. Όταν δεν υπάρχει πηγή όλα τα ρεύματα και οι τάσεις ακολουθούν τη φθίνουσα εκθετική συνάρτηση. Χαρακτηριστικό μέγεθος της φθίνουσας εκθετικής συμπεριφοράς των κυκλωμάτων RL ή RC είναι η σταθερά χρόνου, που εξαρτάται από τις τιμές των στοιχείων του κυκλώματος. Πως συμπεριφέρονται όμως τα κυκλώματα αυτά όταν εφαρμόζεται μία συνεχής πηγή; Θα μοντελοποιήσουμε τη λειτουργία του διακόπτη με μαθηματική συνάρτηση, ώστε να ενεργοποιούμε πηγές σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές και να μελετήσουμε πως αποκαθίστανται ρεύματα και τάσεις σε κυκλώματα με ένα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας.

8.2 Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση Η λειτουργία του διακόπτη μοντελοποιείται μαθηματικά με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η τιμή της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι ίση με μηδέν για κάθε αρνητική τιμή του ορίσματός της και ίση με τη μονάδα για κάθε θετική τιμή του ορίσματός της: 1 0 u(t) t Η τιμή της συνάρτησης για τη χρονική στιγμή t=0 δεν ορίζεται, αλλά θεωρούμε ότι η μεταβολή από την τιμή 0 στην τιμή 1 γίνεται ακαριαία. Συχνά αυτό δηλώνεται γράφοντας u(t )=0 και u(t )=1.

8.2 Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση Εάν η ακαριαία μεταβολή της τιμής ενός σήματος δεν γίνεται τη χρονική στιγμή t=0, αλλά γίνεται κάποια άλλη χρονική στιγμή t=t 0, η συνάρτηση που μας δίνει το αποτέλεσμα αυτό είναι η u(tt 0 ): V V(t) t 0 t 0 Χρησιμοποιώντας τη βηματική συνάρτηση μοντελοποιούμε την εφαρμογή μιας πηγής τάσης μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή: V t=t 0 V(t)=V u(tt 0 )

8.2 Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση Η βηματική συνάρτηση μας επιτρέπει να εκφράσουμε μαθηματικά και έναν παλμό τάσης ή ρεύματος, από τη χρονική στιγμή t=t 1 μέχρι τη χρονική στιγμή t=t 2. V V(t) 0 t 1 t 2 t Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση: V(t) Εάν t 1 >t 2, τότε ο παλμός είναι αρνητικός. 0 V t 2 t 1 t

Έχουμε ένα πηνίο συνδεδεμένο σε σειρά με μία αντίσταση. Τη χρονική στιγμή μηδέν το πηνίο δεν διαρρέεται από ρεύμα. Τη χρονική στιγμή μηδέν εφαρμόζουμε μία σταθερή τάση V στο κύκλωμα. Ποιο θα είναι το ρεύμα και οι τάσεις του κυκλώματος αφού εφαρμόσουμε την πηγή τάσης; i(t) R V R Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι, λόγω της φυσικής απόκρισης του κυκλώματος, θα υπάρχει ένα μεταβατικό φαινόμενο που θα είναι εκθετικής μορφής, έστω: V t=0 V L L όπου Α μια σταθερά που θα δούμε πως θα την υπολογίσουμε.

Σε άπειρο χρόνο το φαινόμενο αυτό θα έχει εκλείψει και θα είμαστε στη μόνιμη κατάσταση, όπου το πηνίο θα ισοδυναμεί με βραχυκύκλωμα: V t=0 i(t) R V R V L L Λόγω του θεωρήματος της επαλληλίας το ρεύμα του κυκλώματος θα ισούται με το άθροισμα του ρεύματος της μεταβατικής κατάστασης και του ρεύματος της μόνιμης κατάστασης:

Θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι το αρχικό ρεύμα είναι μηδέν για τον υπολογισμό της σταθεράς Α: t=0 i(t) R V R V V L L Αντικαθιστώντας την τιμή της σταθεράς που βρήκαμε, το ρεύμα του κυκλώματος θα πρέπει να δίνεται από τη σχέση:

Το αποτέλεσμα φαίνεται σωστό. Το ρεύμα ξεκινά από την τιμή 0 για t=0 και αυξάνεται εκθετικά προς την τιμή V/R. Φτάνει την τελική του τιμή σε λίγες σταθερές χρόνου. Η τάση της αντίστασης προκύπτει από το νόμο του Ωμ: V t=0 i(t) R V R V L L

Η τάση του πηνίου προκύπτει αφαιρώντας την τάση της αντίστασης από την τάση της πηγής: t=0 i(t) R V R V V L L Εναλλακτικά, η τάση του πηνίου προκύπτει από τη σχέση τάσηςρεύματος του πηνίου:

Ας πάμε από την αρχή να βρούμε το ρεύμα του κυκλώματος, ξεκινώντας από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: t=0 i(t) R V R V V L L

t=0 i(t) R Το αποτέλεσμα που έδωσε η εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff μετά από αρκετές μαθηματικές πράξεις είναι το ίδιο με αυτό που βρήκαμε εφαρμόζοντας την αρχή της υπέρθεσης της μόνιμης με τη μεταβατική απόκριση του κυκλώματος. V V R V L L

Η ισχύς που καταναλώνει το πηνίο είναι: V t=0 i(t) R V R V L L Η αποθηκευμένη ενέργεια του πηνίου σε άπειρο χρόνο θα είναι:

Έστω τώρα ότι έχουμε ένα πηνίο παράλληλα με μία αντίσταση. Όταν το κύκλωμα βρεθεί σε μόνιμη κατάσταση όλο το ρεύμα της πηγής ρεύματος θα περνάει από το πηνίο και το ρεύμα της αντίστασης θα είναι μηδέν. Το ρεύμα του πηνίου είναι το άθροισμα του μεταβατικού ρεύματος και του ρεύματος μόνιμης κατάστασης: I u(t) V(t) i R (t) R i L (t) L Τη χρονική στιγμή μηδέν το ρεύμα του πηνίου είναι μηδέν και δεν μπορεί να μεταβληθεί ακαριαία:

Άρα το ρεύμα του πηνίου είναι: i R (t) i L (t) Το ρεύμα της αντίστασης προκύπτει από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: I u(t) V(t) R L Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι ίδια με την τάση στα άκρα της αντίστασης, αφού τα δύο στοιχεία συνδέονται παράλληλα, που υπολογίζεται εύκολα από το νόμο του Ωμ: Η ενέργεια που θα αποθηκεύσει το πηνίο μέχρι να μηδενιστεί η τάση στα άκρα του ισούται με:

Το κύκλωμα αυτό όμως έχει την ιδιαιτερότητα ότι και η αντίσταση θα καταναλώσει πεπερασμένη ενέργεια σε άπειρο χρόνο, αφού μετά από λίγες σταθερές χρόνου δεν θα διαρρέεται πλέον από ρεύμα. Η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση είναι: I u(t) V(t) i R (t) R i L (t) L Η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση ισούται με την ενέργεια που θα αποθηκεύσει το πηνίο.

Αν θέλουμε να επιλύσουμε το κύκλωμα αγνοώντας τη μέθοδο της επαλληλίας της φυσικής και της εξαναγκασμένης απόκρισης, θα ξεκινήσουμε από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: I u(t) V(t) i R (t) R i L (t) L Παραγωγίζοντας την παραπάνω εξίσωση θα χάσουμε την πληροφορία του ρεύματος της πηγής:

Θα ολοκληρώσουμε από την αρχική στιγμή t=0 που εφαρμόζεται η πηγή ρεύματος στο κύκλωμα μέχρι μια οποιαδήποτε στιγμή t. Τη χρονική στιγμή t=0, πριν εφαρμοστεί η πηγή ρεύματος στο κύκλωμα, όλες οι τάσεις και τα ρεύματα είναι μηδέν. Τη χρονική στιγμή t=0, μόλις εφαρμόζεται η πηγή ρεύματος, το ρεύμα του πηνίου δεν μπορεί να αλλάξει απότομα, άρα όλο το ρεύμα της πηγής θα περάσει από την αντίσταση, αναπτύσσοντας τάση στα άκρα της ίση με I R. I u(t) V(t) i R (t) R i L (t) L

Ολοκληρώνουμε και βρίσκουμε: I u(t) V(t) i R (t) R i L (t) L Έχοντας βρει την τάση του κυκλώματος μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε το ρεύμα της αντίστασης και του πηνίου. Τα αποτελέσματα είναι ίδια με αυτά που βρήκαμε αξιοποιώντας την υπέρθεση της φυσικής και της εξαναγκασμένης απόκρισης του κυκλώματος.

R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Παράδειγμα 81: Να βρεθούν τα ρεύματα και οι τάσεις στα στοιχεία του κυκλώματος. Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος είναι: V R1 10 u(t) V i 1 0,1 H α β V L R 1 =30 Ω V R23 i 2 i 3 Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: Το ρεύμα του πηνίου (όπως και κάθε άλλο μέγεθος) θα είναι της μορφής:

R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Το μόνιμο ρεύμα προκύπτει από την επίλυση ενός απλού κυκλώματος συνεχούς ρεύματος, αφού όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο το πηνίο αντικαθίσταται με βραχυκύκλωμα: V R1 10 V i 1 R 1 =30 Ω V R23 i 2 i 3 Αντικαθιστώντας, το ρεύμα του πηνίου γίνεται πιο συγκεκριμένο: Για να βρούμε τη σταθερά θα λάβουμε υπόψη μας την οριακή συνθήκη για t=0 :

Θέτοντας t=0 και εξισώνοντας το ρεύμα που δίνει η παραπάνω σχέση με το μηδέν, υπολογίζουμε τη σταθερά Α που μας λείπει: Άρα η εξίσωση που δίνει το ρεύμα του πηνίου συναρτήσει του χρόνου είναι: Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 1 είναι ίδιο με το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο. Τα ρεύματα των αντιστάσεων R 2 και R 3 μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος:

R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC i 1 α 0,1 H β V L i 2 i 3 V R1 R 1 =30 Ω 10 u(t) V V R23 Οι τάσεις στις αντιστάσεις μπορούν να υπολογιστούν με τη χρήση του νόμου του Ωμ:

R 2 =60 Ω R 3 =30 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η τάση στα άκρα του πηνίου μπορεί να υπολογιστεί από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff: V R1 i 1 0,1 H α β V L R 1 =30 Ω i 2 i 3 10 u(t) V V R23 Η ίδια τάση μπορεί να εξαχθεί παραγωγίζοντας το ρεύμα του πηνίου:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Παράδειγμα 82: Να βρεθούν τα ρεύματα και οι τάσεις στα στοιχεία του κυκλώματος. Η αντίσταση που βλέπει το πηνίο είναι: i 1 R 0,1 H 1 =150 Ω α β V s =100 u(t) V i 2 V L i 3 V R2 V R3 Η σταθερά χρόνου είναι: R 1 =150 Ω α R ΙΣ β Το ρεύμα του πηνίου θα είναι της μορφής:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Στη μόνιμη κατάσταση το πηνίο μπορεί να θεωρηθεί βραχυκύκλωμα: i 1 V s =100 V R 1 =150 Ω i 2 i 3 V R2 V R3 Οπότε: Η εξίσωση του ρεύματος του πηνίου γίνεται: Για να βρούμε τη σταθερά Α θα λάβουμε υπόψη μας την οριακή συνθήκη για t=0 :

Θέτοντας t=0 και εξισώνοντας το ρεύμα που δίνει η παραπάνω σχέση με το μηδέν, υπολογίζουμε τη σταθερά Α που μας λείπει: Άρα η εξίσωση που δίνει το ρεύμα του πηνίου συναρτήσει του χρόνου είναι: Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η τάση στα άκρα της R 3 είναι: i 1 R 1 =150 Ω α 0,1 H β Η τάση στα άκρα της R 2 είναι: V s =100 u(t) V i 2 V L i 3 V R2 V R3 Η τάση στα άκρα της R 1 είναι:

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC i 1 R 1 =150 Ω α 0,1 H β V s =100 u(t) V i 2 V L i 3 V R2 V R3

R 2 =300 Ω R 3 =100 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Τα ρεύματα στις R 1 και R 2 προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου του Ωμ: i 1 R 0,1 H 1 =150 Ω α β V s =100 u(t) V i 2 V L i 3 V R2 V R3 Επαναλαμβάνουμε το ρεύμα του πηνίου:

Πως συμπεριφέρεται ένα κύκλωμα RL όταν δεχτεί σαν είσοδο έναν ορθογωνικό παλμό; Οι τάσεις της αντίστασης και του πηνίου μπορεί να έχουν διαφορετική μορφή, ανάλογα με τη σχέση που έχει η διάρκεια του παλμού με τη σταθερά χρόνου του κυκλώματος. i(t) R=500 Ω V R V s =10 (u(t)u(t10 3 )) V L L=0,1 Η Το κύκλωμα τροφοδοτείται με έναν παλμό τάσης: Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι:

Το ρεύμα του κυκλώματος για το χρονικό διάστημα που υπάρχει ο παλμός, δηλαδή για το διάστημα 0<t<1 ms είναι: i(t) R=500 Ω V R V s =10 (u(t)u(t10 3 )) V L L=0,1 Η Η τάσεις στα άκρα της αντίστασης και του πηνίου είναι:

Μετά τη χρονική στιγμή t=1 ms η τάση της πηγής μηδενίζεται. Το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα που δίνεται από την παραπάνω σχέση εάν στο χρόνο βάλουμε t=1 ms: i(t) R=500 Ω V R V s =10 (u(t)u(t10 3 )) V L L=0,1 Η Στη συνέχεια το ρεύμα του πηνίου θα αρχίσει να μειώνεται εκθετικά:

Οι τάσεις στην αντίσταση και το πηνίο θα είναι:

R 2 =15 Ω R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Παράδειγμα 83: Να υπολογιστούν οι τάσεις και τα ρεύματα του κυκλώματος μετά την ενεργοποίηση της πηγής τάσης. Πριν ενεργοποιηθεί η πηγή τάσης το κύκλωμα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση και το πηνίο μπορεί να θεωρηθεί σαν βραχυκύκλωμα. V R1 10 u(t) V 0,1 H α β V L R 1 =10 Ω V R2 α β i 1 i 1 i 2 I s =1 A i 2 V R1 R 1 =10 Ω I s =1 A V R2

R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Πολύ χρόνο μετά την ενεργοποίηση της βηματικής πηγής τάσης πάλι έχουμε ένα κύκλωμα συνεχούς ρεύματος στο οποίο το πηνίο μπορεί να θεωρηθεί σαν βραχυκύκλωμα. Τα ρεύματα και οι τάσεις που θα έχουμε τώρα είναι αυτά που είχαμε όταν υπήρχε μόνο η πηγή ρεύματος συν αυτά που δημιουργεί η πηγή τάσης. Τα ρεύματα που οφείλονται στην πηγή τάσης είναι: V R1 10 V α R 1 =10 Ω β V R2 i 1 i 2 I s =1 A

R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Άρα τα ρεύματα του κυκλώματος είναι: α β i 1 i 2 V R1 R 1 =10 Ω I s =1 A Οι τάσεις υπολογίζονται από το νόμο του Ωμ: 10 V V R2 Έχουμε βρει για όλες τις τάσεις και τα ρεύματα από που ξεκινούν και που καταλήγουν. Για να περιγράψουμε τα ρεύματα και τις τάσεις στο μεταβατικό φαινόμενο θεωρούμε εκθετική μεταβολή, βρίσκουμε τη σταθερά χρόνου και λαμβάνουμε υπόψη τις οριακές συνθήκες, ξεκινώντας από το ρεύμα του πηνίου.

R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Η αντίσταση που βλέπει το πηνίο όταν οι πηγές είναι μηδενισμένες είναι: 0,1 H α β V L i 1 i 2 Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: V R1 10 u(t) V R 1 =10 Ω V R2 I s =1 A Το ρεύμα του πηνίου έχει τη μορφή: Αντικαθιστώντας την τιμή του τελικού ρεύματος του πηνίου και τη σταθερά χρόνου του κυκλώματος έχουμε:

R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Τη χρονική στιγμή t=0 όμως το ρεύμα του πηνίου είναι 0,6 A: 0,1 H α β V L i 1 i 2 V R1 R 1 =10 Ω I s =1 A Άρα το ρεύμα του πηνίου είναι: 10 u(t) V V R2 Η τάση του πηνίου είναι: Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 1 δίνεται από το νόμο του Ωμ:

R 2 =15 Ω 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Το ρεύμα της αντίστασης R 2 μπορεί να υπολογιστεί από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: V R1 0,1 H α β V L R 1 =10 Ω i 1 i 2 I s =1 A 10 u(t) V V R2 Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 2 δίνεται από το νόμο του Ωμ: Εναλλακτικά, η τάση της αντίστασης R 2 μπορεί να υπολογιστεί με την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff:

Παρατηρήστε ότι οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν κάθε χρονική στιγμή.

Ας δούμε την ενέργεια του πηνίου. Πριν ενεργοποιηθεί η βηματική πηγή τάσης (όταν υπάρχει μόνο η πηγή ρεύματος στο κύκλωμα) το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα 0,6 Α και έχει ενέργεια: Όταν έχει ενεργοποιηθεί η βηματική πηγή τάσης και μετά από αρκετές σταθερές χρόνου το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα 0,2 Α και έχει ενέργεια: Φαίνεται δηλαδή ότι το πηνίο έδωσε ενέργεια 16 mjoule στο κύκλωμα. Η ισχύς που καταναλώνει το πηνίο είναι:

Η ενέργεια που θα καταναλώσει το πηνίο μέχρι το κύκλωμα να έρθει σε μόνιμη κατάσταση (και να μηδενιστεί η τάση του πηνίου) είναι: Πράγματι, το πηνίο θα δώσει ενέργεια 16 mjoule στο κύκλωμα.