www.olieclaroom.gr.ουρεσ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ως ουρά αναμονής ή ισοδύναμα ένα σύστημα εξυπηρέτησης, ορίζεται το σύστημα το οποίο παρέχει εξυπηρέτηση σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό. Πρόκειται για τη μοντελοποίηση ενός συστήματος εισόδου - εξόδου πελατών. Το αντικείμενο του προβλήματος είναι να βρεθεί η ισορροπία μεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους αναμονής στην ουρά έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό κόστος του συστήματος (αναμονής και εξυπηρέτησης). Τυπικά παραδείγματα ουρών αναμονής που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι τα ταμεία των τραπεζών, τα τηλεφωνικά κέντρα εξυπηρέτησης πελατών, το τηλεφωνικό δίκτυο, το διαδίκτυο καθώς και τοπικά δίκτυα υπολογιστών, οι γραμμές παραγωγής μιας βιομηχανικής μονάδας, συγκοινωνιακά δίκτυα κλπ. Παράδειγμα Στο χιονοδρομικό κέντρο Βασιλίτσας Γρεβενών οι σκιέρ συνωστίζονται τις ώρες αιχμής για να αγοράσουν τη σχετική κάρτα - εισιτήριο για χρήση της καρέκλας που τους ανεβάζει στο βουνό καθώς και άλλων ευκολιών. Στο σημείο που βρίσκεται ο υπάλληλος που είναι υπεύθυνος για τις κάρτες καταφθάνουν κατά μέσο όρο σκιέρ το λεπτό (διαδικασία oio) και απαιτούνται κατά μέσο όρο δευτερόλεπτα για την εξυπηρέτηση ενός σκιέρ (εκθετική κατανομή). Το κόστος εργασίας του υπαλλήλου ανέρχεται σε, ευρώ ανά λεπτό ενώ το κόστος για έναν σκιέρ που εξυπηρετείται ή περιμένει, ανέρχεται σε, ευρώ ανά λεπτό. Η διοίκηση του κέντρου επιθυμεί να προσδιορίσει με την παρούσα διαμόρφωση λειτουργίας τα εξής μέτρα απόδοσης:. Βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου του κέντρου. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ. Μέσος αριθμός σκιέρ σε αναμονή 4. Μέσος αριθμός σκιέρ είτε σε αναμονή είτε σε εξυπηρέτηση 5. Μέσος χρόνος αναμονής ενός σκιέρ 6. Μέσος χρόνος παραμονής ενός σκιέρ στο σύστημα 7. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος έκδοσης καρτών (ανά λεπτό) Η διοίκηση του κέντρου σκέφτεται να χρησιμοποιήσει ακόμη έναν υπάλληλο (με ίδιες δυνατότητες και αμοιβή με τον πρώτο) για να εξυπηρετεί και αυτός τους σκιέρ (με την ίδια ουρά αναμονής) με στόχο να μειώσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό). 8. Εξετάστε αν με δύο άτομα να εξυπηρετούν τελικά θα μειωθεί το κόστος του συστήματος Στη συνέχεια προσδιορίστε τα εξής μέτρα απόδοσης: 9. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ. Μέσος χρόνος αναμονής ενός σκιέρ. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός σκιέρ
www.olieclaroom.gr Διαδικασία πριν την επίλυση Η μεταβλητή λ δείχνει το μέσο όρο προσέλευσης πελατών στο σύστημα. Επίσης η μεταβλητή λ καθορίζει και τη μονάδα μέτρησης. «καταφθάνουν κατά μέσο όρο σκιέρ το λεπτό». Συνεπώς λ =. Η μεταβλητή μ δείχνει το ρυθμό εξυπηρέτησης, «απαιτούνται κατά μέσο όρο δευτερόλεπτα για την εξυπηρέτηση ενός σκιέρ». Οι μεταβλητές λ και μ πρέπει απαραίτητα να είναι εκφρασμένες στην ίδια μονάδα μέτρησης. Σε περίπτωση που δεν υπάρχει ταύτιση τότε μετατρέπεται η μεταβλητή μ ώστε να ταιριάζει με τη μεταβλητή λ. Η μετατροπή θα γίνεται πάντα με την απλή μέθοδο των τριών. Δηλαδή Ο ένας () σκιέρ εξυπηρετείται σε δευτερόλεπτα πόσοι (μ) σκιέρ εξυπηρετούνται σε 6 δευτερόλεπτα ( λεπτό) ; 6 Επομένως. Δηλαδή μ =. Επομένως με έναν υπάλληλο έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/ με ρυθμό αφίξεων λ= σκιέρ το λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης μ= πελάτες το λεπτό. Ο βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου δίνεται από τη σχέση Επομένως, 67, δηλαδή 67%, το οποίο είναι μικρότερο της μονάδας (,67< ). Επομένως υπάρχει ισορροπία στο σύστημα. Εφόσον ρ =,67 σημαίνει ότι ο υπάλληλος εργάζεται - εξυπηρετεί περίπου όσο και το 67% του εργάσιμου χρόνου του.. Η πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ δίνεται από τη σχέση Επομένως,67, που σημαίνει ότι η πιθανότητα ένας σκιέρ να εξυπηρετηθεί άμεσα είναι.. Ο μέσος αριθμός σκιέρ σε αναμονή δίνεται από τη σχέση ( ), δηλαδή % 4 Επομένως, σκιέρ ( ) ( )
www.olieclaroom.gr 4. Ο μέσος αριθμός σκιέρ που βρίσκονται είτε σε αναμονή είτε σε εξυπηρέτηση δίνεται από τη σχέση Επομένως σκιέρ 5. Ο μέσος χρόνος αναμονής (σε λεπτά) ενός σκιέρ δίνεται από τη σχέση W ή από τη σχέση W ( ) W W ( ) W ( ),67 ή εναλλακτικά,4 W,67, λεπτά δηλαδή περίπου 4 δευτερόλεπτα (,67 6 = 4,). 6. Ο μέσος χρόνος παραμονής (σε λεπτά) ενός σκιέρ στο σύστημα δίνεται από τη σχέση W Επομένως W W W λεπτό. Δηλαδή από τα 6 δευτερόλεπτα τα 4 αναλώνονται για την αναμονή και τα υπόλοιπα για την εξυπηρέτηση. 7. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι =, ευρώ ανά λεπτό κόστος εξυπηρέτησης (το κόστος εργασίας του υπαλλήλου) w =, ευρώ ανά λεπτό κόστος αναμονής (το κόστος για έναν σκιέρ που εξυπηρετείται ή περιμένει). Επομένως Το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος έκδοσης καρτών, δηλαδή το κόστος του υπαλλήλου δίνεται από τη σχέση S Επομένως w w S,,,7 ευρώ ανά λεπτό.
www.olieclaroom.gr Αν προστεθεί και δεύτερος υπάλληλος θα έχουμε το σύστημα Μ/Μ/ με ρυθμό αφίξεων λ= σκιέρ το λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης μ= σκιέρ το λεπτό. 8. Το συνολικό κόστος δίνεται από τον τύπο: = S w όπου = υπάλληλοι και το πρέπει να επανυπολογιστεί. Αρχικά υπολογίζουμε την πιθανότητα για = έχουμε: 4 6!,4489!!!!,5,,5,67. Δηλαδή η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας σκιέρ στο σύστημα είναι 5%. Το μέσο πλήθος σκιέρ στην ουρά αναμονής δίνεται από τη σχέση!. Επομένως,8,5 6,67,446,5 4!! σκιέρ Το μέσο πλήθος σκιέρ στο σύστημα δίνεται από τη σχέση Επομένως 75,,8 σκιέρ Άρα το συνολικό κόστος με δύο υπαλλήλους θα είναι :,45,,5,,,75 S w ευρώ το λεπτό Συνοψίζοντας έχουμε ότι το κόστος με έναν υπάλληλο είναι,7 ευρώ ανά λεπτό ενώ με δύο υπαλλήλους θα είναι,45 ευρώ το λεπτό. Συνεπώς αν η διοίκηση του κέντρου χρησιμοποιήσει δύο υπαλλήλους το κόστος του συστήματος θα μειωθεί κατά,75 ευρώ το λεπτό.
www.olieclaroom.gr 9. Η πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ σε ένα σύστημα με = είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων + Από προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι =,5 o,5,67,5,!! Άρα + =,5+, =,8. Δηλαδή η πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ σε ένα σύστημα με = υπαλλήλους είναι 8%.. Ο μέσος χρόνος αναμονής ενός σκιέρ στο σύστημα δίνεται από τη σχέση Από προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι =,8 W,8 Επομένως W W W, 4 λεπτά. Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός σκιέρ δίνεται από τη σχέση W Από προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι =,75,75 Επομένως W= W W W, 75 λεπτά. E-mail: ifo@olieclaroom.gr