ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγω Μηχ. και Μηχ. Υπολογιστώ Τοµέας Ηλεκτρικής Ισχύος Επιστηµοικός Συεργάτης Κ. Ντελκής Παραγωγή Ηλεκτρικής Εέργειας Ατµοηλεκτρικοί Σταµοί η Εότητα: εύτερο Θερµοδυαµικό Αξίωµα Ετροπία - ιαεσιµότητα (Aailability) Κλειστού και Αοικτού Θερµοδυαµικού Συστήµατος - Εξέργεια (Exergy) (Θεωρία - Εφαρµογές - Ασκήσεις). ιατύπωση του ευτέρου Θερµοδυαµικού Αξιώµατος Η µετατροπή της ερµότητας σε µηχαική εέργεια πραγµατοποιείται µε τις ερµικές µηχαές σχ.. Θερµοδοχείο Υηλής Θερµοκρασίας Τ Θ q Θερµική Μηχαή Μηχαικό Έργο w q Ψ Θερµοδοχείο Χαµηλής Θερµοκρασίας Τ Ψ Σχ. Όλες οι ερµικές µηχαές χαρακτηρίζοται από τις ακόλουες λειτουργίες:
λαµβάου ερµότητα q Θ από έα ερµοδοχείο υηλής ερµοκρασίας, όπως είαι ο άλαµος καύσης του πετρελαίου ή του άρακα κ.λ.π. µετατρέπου έα µέρος της ερµότητας σε µηχαικό έργο (συήως πάω σε άξοα) απορρίπτου το υπόλοιπο ποσό ερµότητας q σε έα ερµοδοχείο χαµηλότερης ερµοκρασίας. λειτουργού σε κύκλο, το οποίο εκτελεί έα εργαζόµεο µέσο και το αποκαλούµε ερµοδυαµικό κύκλο. Ειδικότερα, το εργαζόµεο µέσο χρησιµοποιείται για τη παραλαβή της ερµότητας από το ερµοδοχείο υηλής ερµοκρασίας, στη συέχεια για τη παραγωγή µηχαικού έργου και τέλος επαέρχεται στη αρχική του κατάσταση µετά τη απόρριη της ερµότητας στο ερµοδοχείο χαµηλής ερµοκρασίας. Έτσι ο ερµοδυαµικός κύκλος είαι η αποτύπωση τω έσεω ερµοδυαµικής ισορροπίας του εργαζόµεου µέσου κατά τη εκτέλεση εός πλήρη κύκλου. Σε έα ατµοηλεκτρικό σταµό το εργαζόµεο µέσο είαι το ερό. Το ερό παραλαµβάει τη ερµότητα, που προέρχεται από τη καύση του καυσίµου, καώς διέρχεται από τις εγκαταστάσεις του λέβητα και αλλάζει φάση, γίεται ατµός. Στη συέχεια εκτοώεται στο ατµοστρόβιλο και παράγεται µηχαικό έργο. Μετά τη εκτόωση περάει από το υγείο και απορρίπτει ερµότητα. Τέλος µε τη βοήεια της τροφοδοτικής ατλίας αυξάεται η πίεσή του και επαέρχεται στη αρχική του κατάσταση, η οποία είαι η κατάσταση στη είσοδο του λέβητα και έτσι τελειώει ο κύκλος. Η διάκριση τω ερµοδυαµικώ συστηµάτω σε κλειστά και αοικτά συστήµατα µπορεί α χρησιµοποιηεί και για τη κατάταξη τω ερµικώ µηχαώ στις ακόλουες δύο κατηγορίες: Τις ερµικές µηχαές ασυεχούς ροής, τω οποίω ο σχεδιασµός βασίζεται στο µοτέλο του κλειστού ερµοδυαµικού συστήµατος, όπου µια σταερή µάζα αερίου εγκλωβισµέη από τα όρια του συστήµατος υφίσταται κυκλικές µεταβολές. Η κατηγορία αυτή περιλαµβάει πρακτικά µόο τις µηχαές εσωτερικής καύσης, στις οποίες η καύση και η παραγωγή έργου πραγµατοποιείται µέσα στις ίδιες τις µηχαές. Στις µηχαές εσωτερικής καύσης το εργαζόµεο µέσο είαι ο αέρας και το καύσιµο, καώς και το καυσαέριο στο οποίο αυτά µεταστοιχειώοται κατά τη καύση. Η ποσότητα του µίγµατος αέρα- καυσίµου ααπληρώεται σε κάε κύκλο συεχώς. Τις ερµικές µηχαές συεχούς ροής, τω οποίω ο σχεδιασµός βασίζεται στο µοτέλο του αοικτού ερµοδυαµικού συστήµατος, όπου έχουµε συεχή ροή του εργαζόµεου µέσου. Η κατηγορία αυτή περιλαµβάει πρακτικά τους ατµοστροβίλους και τους αεριοστροβίλους. Στους ατµοστροβίλους το εργαζόµεο µέσο, το ερό, είαι χωριστά από το καύσιµο και γι αυτό το λόγο οι ατµοστρόβιλοι χαρακτηρίζοται ως µηχαές
εξωτερικής καύσης. Εώ στους αεριοστροβίλους διακρίουµε δύο περιπτώσεις: Στη πρώτη έχουµε αάµειξη του εργαζόµεου µέσου, που είαι ο αέρας, µε το καύσιµο, όπως συµβαίει στις µηχαές εσωτερικής καύσης και ο αεριοστρόβιλος οοµάζεται αοικτού κυκλώµατος. Στη δεύτερη δε έχουµε αάµειξη του εργαζόµεου µέσου µε το καύσιµο, όπως συµβαίει στις µηχαές εξωτερικής καύσης και ο αεριοστρόβιλος οοµάζεται κλειστού κυκλώµατος. Η µετατροπή της ερµικής εέργειας σε µηχαική υπακούει στις αρχές του πρώτου ερµοδυαµικού αξιώµατος, σχέση, αλλά δε είαι πλήρης, δηλαδή w < q Θ. w = q Θ - q () Ο ερµικός βαµός απόδοσης (thermal efficiency) της ερµικής µηχαής ορίζεται µε τη σχέση : η = w q () Η αδυαµία της πλήρους µετατροπής της ερµότητας σε µηχαικό έργο αποτελεί τη ουσία του δευτέρου ερµοδυαµικού αξιώµατος, το οποίο έχει τύχει και άλλω διατυπώσεω όπως ααφέρεται στη συέχεια. ιατύπωση κατά Clausius: Είαι αδύατο α µεταβεί ερµότητα από σώµα χαµηλότερης προς σώµα υηλότερης ερµοκρασίας «αφ εαυτής» (από µόη της, µε τη έληση της). Η έκφραση αφ εαυτής είαι σηµατική και υποδηλώει ότι είαι αδύατη η µετάβαση χωρίς α παραµείει στο περιβάλλο του εξεταζόµεου συστήµατος καµιά άλλη µεταβολή. Η διατύπωση του Clausius συδέεται µε τη λειτουργία της υκτικής µηχαής και της ατλίας ερµότητας. Ειδικότερα ορίζει ότι είαι αδύατο α κατασκευασεί µια υκτική µηχαή, η οποία α µεταφέρει εέργεια από έα υχρότερο σώµα σε έα ερµότερο χωρίς τη βοήεια µηχαικού έργου. ηλαδή αποκλείεται η κατασκευή µηχαής του σχ. q = q Ψ
Θερµοκρασίας Τ Θ q Μηχαή q Ψ Θερµοδοχείο Χαµηλής Θερµοκρασίας Τ Ψ Σχ. ιατύπωση κατά Kelin - Planck: Είαι αδύατο η κατασκευή µηχαής, η οποία λειτουργεί σε κύκλο και η οποία αυώει έα βάρος, δηλαδή παράγει µηχαικό έργο, ύχει έα ερµοδοχείο και δε επιφέρει στο περιβάλλο καµιά άλλη αλλαγή. Με άλλα λόγια είαι αδύατο α κατασκευάσουµε ερµική µηχαή η οποία α ύχει έα ερµοδοχείο, α παράγει µηχαικό έργο και α µη απορρίπτει ερµότητα σε έα χαµηλότερης ερµοκρασίας ερµοδοχείο. ηλαδή αποκλείεται η κατασκευή µηχαής του σχ, η οποία έχει ερµικό βαµό απόδοσης 00%. Θερµοδοχείο Υηλής Θερµοκρασίας Τ Θ q Θερµική Μηχαή w = q Σχ.. Ατιστρεπτές και µη ατιστρεπτές (αατίστρεπτες) µεταβολές. Όπως ααφέρηκε, το δεύτερο ερµοδυαµικό αξίωµα ορίζει ότι καµιά ερµική µηχαή δε µπορεί α έχει ερµικό βαµό απόδοσης 00%. Έτσι αακύπτει το ερώτηµα: Ποιος είαι ο υηλότερος βαµός απόδοσης που µπορεί α έχει µια ερµική µηχαή; Πρι δώσουµε απάτηση στο ερώτηµα, είαι αάγκη α ορίσουµε τη ιδαική µεταβολή (διεργασία), τη οποία εισήγαγε S. Carnot. Αυτή είαι η ατιστρεπτή µεταβολή και ορίζεται ως εξής: Α έα σύστηµα, στο οποίο συέβη µια µεταβολή, µπορεί α επααφερεί στη αρχική του κατάσταση, χωρίς α παραµείει οποιαδήποτε µεταβολή στο περιβάλλο, τότε η µεταβολή αυτή οοµάζεται ατιστρεπτή. Στη ατίετη περίπτωση, ότα παραµέου µεταβολές στο περιβάλλο, η µεταβολή οοµάζεται µη ατιστρεπτή ή αατίστρεπτη. Σύµφωα µε το ορισµό, ουσιαστικό στοιχείο για α χαρακτηρισεί µια µεταβολή ως ατιστρεπτή είαι α µη παραµείου µεταβολές σε όλα τα άλλα συστήµατα που αποτελού το περιβάλλο του συστήµατος που εξετάζουµε, ότα αυτό επααφερεί στη αρχική του κατάσταση.
Όλες οι µεταβολές στη φύση είαι µη ατιστρεπτές, δηλαδή µετά τη ολοκλήρωση κάε πραγµατικής µεταβολής δε είαι δυατό α πετύχουµε τη αρχική κατάσταση του συστήµατος, χωρίς α παραµείου µεταβολές στο περιβάλλο. Οι ατιστρεπτές µεταβολές µπορεί α εωρηού ως εξιδαικευµέες ακραίες (οριακές) περιπτώσεις µη ατιστρεπτώ µεταβολώ. Η τριβή, η ελεύερη εκτόωση, η αάµιξη δύο αερίω, η µεταφορά ερµότητας ότα υπάρχει πεπερασµέη διαφορά ερµοκρασίας, η καύση κ.λ.π. είαι παράγοτες που οδηγού σε µη ατιστρεπτές µεταβολές. Μια µεταβολή µπορεί α είαι συολικά ατιστρεπτή ή απλά ατιστρεπτή ότα η ατιστρεπτότητα εκτείεται στο περιβάλλο και στο σύστηµα ή εσωτερικά µόο ατιστρεπτή ότα η ατιστρεπτότητα περιορίζεται µόο µέσα στα όρια του συστήµατος. Έτσι εά µέσα στα όρια του συστήµατος δε υπάρχει η παρουσία παραγότω που οδηγού σε µη ατιστρεπτές µεταβολές, τότε γίεται λόγος για εσωτερικά ατιστρεπτή µεταβολή. Κατά τη διάρκεια µιας εσωτερικά ατιστρεπτής µεταβολής το σύστηµα περάει µέσα από µια σειρά καταστάσεω ισορροπίας, και ότα η διαδικασία ατιστραφεί τότε και πάλι το σύστηµα α περάσει από τις ίδιες έσεις ισορροπίας. Έτσι η οιοεί στατική µεταβολή, όπως προκύπτει από το ορισµό της, µπορεί α χαρακτηρισεί ως εσωτερικά ατιστρεπτή µεταβολή, γιατί όλες οι εδιάµεσες καταστάσεις είαι καταστάσεις ισορροπίας. Οι γωστές µεταβολές που εξετάσαµε για το κλειστό σύστηµα κυλίδρου - εµβόλου µε εργαζόµεο µέσο το τέλειο αέριο, όπως π.χ η ισοπιεστική, η ισόογκος, η ισοερµοκρασιακή, η αδιαβατική µπορεί α χαρακτηρισού ως οιοεί στατικές µεταβολές, εφόσο διασφαλίζεται ότι οι εδιάµεσες καταστάσεις είαι καταστάσεις ισορροπίας, δηλαδή ισχύει η καταστατική εξίσωση P = R. Οι ατιστρεπτές µεταβολές, αάλογα µε τη περίπτωση, ή απαιτού το µικρότερο ή παράγου το µεγαλύτερο µηχαικό έργο. Εποµέως η επιδίωξη ατιστρεπτώ µεταβολώ στο κύκλο µιας ερµικής µηχαής είαι δεδοµέη.. Κύκλος CARNO Κατά τη διάρκεια του κύκλου µιας ερµικής µηχαής το εργαζόµεο µέσο παράγει και κατααλίσκει έργο. Η µεταξύ τους διαφορά είαι το κααρό έργο w της ερµικής µηχαής. Εά οι επιµέρους µεταβολές που συέτου το κύκλο είαι ατιστρεπτές τότε έχουµε µεγιστοποίηση του βαµού απόδοσης, γιατί οι ατιστρεπτές µεταβολές, αάλογα µε τη περίπτωση, ή απαιτού το µικρότερο µηχαικό έργο ή παράγου το µεγαλύτερο κατά τη διάρκεια του κύκλου. 5
Ο κύκλος Carnot είαι έας ατιστρεπτός κύκλος, γιατί αποτελείται από επιµέρους ατιστρεπτές µεταβολές. Ειδικότερα αποτελείται από δύο ατιστρεπτές ισοερµοκρασιακές (εκτόωση και συµπίεση ) και δύο ατιστρεπτές αδιαβατικές (εκτόωση και συµπίεση ) σχ.. P dq=0 Τ Θ Τ Ψ dq=0 Σχ. Τ Θ Τ Ψ Τ Ψ Τ Θ Τ Θ Τ Ψ q =q dq=0 dq=0 q =q Ψ Ατιστρεπτή ισοερµοκρασιακή εκτόωση (µεταβολή, ΤΘ =σταερή) Η µεταβολή εωρείται ως οιοεί στατική µεταβολή, άρα εσωτερικά ατιστρεπτή και επειδή η διαφορά ερµοκρασίας µεταξύ του ερµοδοχείου υηλής ερµοκρασίας ΤΘ και του κλειστού συστήµατος είαι κάε φορά απειροελάχιστη γι αυτό το λόγο η µεταβολή είαι συολικά ατιστρεπτή ή απλά ατιστρεπτή. Κατά τη µεταβολή µεταφέρεται από το ερµοδοχείο στο σύστηµα ποσό ερµότητας q =q και το κλειστό σύστηµα παράγει έργο ογκοµεταβολής w =q. Η ααλυτική έκφραση τω ε λόγω µεγεώ, σύµφωα µε τα όσα έχου ααφερεί στο σχετικό κεφάλαιο, έχει ως εξής: 6
Θερµότητα, µεταφερόµεη από το ερµοδοχείο στο συστηµα : q = q = R ln () Παραγόµεο από το σύστηµα έργο : w = q = R ln Μεταβολή εέργειας εσωτερικής : u = 0 Ατιστρεπτή αδιαβατική εκτόωση (µεταβολή, q =0) Η µεταβολή εωρείται ως οιοεί στατική µεταβολή, άρα εσωτερικά ατιστρεπτή και επειδή είαι και αδιαβατική, γι αυτό το λόγο η µεταβολή είαι συολικά ατιστρεπτή ή απλά ατιστρεπτή. Κατά τη µεταβολή το κλειστό σύστηµα παράγει έργο ογκοµεταβολής w. Η ααλυτική του έκφραση, σύµφωα µε τα όσα έχου ααφερεί στο σχετικό κεφάλαιο, έχει ως εξής: Συαλλασσόµεη µε το σύστηµα ερµότητα : q = 0 () Παραγόµεο από το σύστηµα έργο Σχέση µεταξύ τω όγκω αρχικής και τελικής κατάστασης R k w ( ) : = : = k Ατιστρεπτή ισοερµοκρασιακή συµπίεση 7
(µεταβολή, ΤΨ =σταερή) Η µεταβολή εωρείται ως οιοεί στατική µεταβολή, άρα εσωτερικά ατιστρεπτή και επειδή η διαφορά ερµοκρασίας µεταξύ του ερµοδοχείου χαµηλής ερµοκρασίας ΤΨ και του κλειστού συστήµατος είαι κάε φορά απειροελάχιστη γι αυτό το λόγο η µεταβολή είαι συολικά ατιστρεπτή ή απλά ατιστρεπτή. Κατά τη µεταβολή µεταφέρεται από το σύστηµα στο ερµοδοχείο ποσό ερµότητας q =q Ψ και το κλειστό σύστηµα κατααλίσκει έργο ογκοµεταβολής w =q Ψ. Η ααλυτική έκφραση τω ε λόγω µεγεώ, σύµφωα µε τα όσα έχου ααφερεί στο σχετικό κεφάλαιο, έχει ως εξής: Μεταφερόµεη ερµότητα από το σύστηµα στο ερµοδοχείο χαµηλής ερµοκρασίας q q R : = = ln (5) Κατααλισκόµεο από το σύστηµα έργο w q R : = = ln Ατιστρεπτή αδιαβατική συµπίεση (µεταβολή, q =0) Η µεταβολή εωρείται ως οιοεί στατική µεταβολή, άρα εσωτερικά ατιστρεπτή και επειδή είαι και αδιαβατική, γι αυτό το λόγο η µεταβολή είαι συολικά ατιστρεπτή ή απλά ατιστρεπτή. Κατά τη µεταβολή το κλειστό σύστηµα κατααλίσκει έργο w. Η ααλυτική του έκφραση, σύµφωα µε τα όσα έχου ααφερεί στο σχετικό κεφάλαιο, έχει ως εξής: Συαλλασσόµεη µε το σύστηµα ερµότητα Κατααλισκόµεο από το σύστηµα έργο : q = 0 (6) R w ( ) : = k 8
Σχέση µεταξύ τω όγκω αρχικής και τελικής κατάστασης : = k Από τις σχέσεις & 6 προκύπτει η ακόλουη µεταξύ τω όγκω σχέση: = Το παραγόµεο µηχαικό έργο, σύµφωα µε το πρώτο ερµοδυαµικό αξίωµα και τις σχέσεις, 5, 7 είαι ίσο µε: (7) w= q + q = q + q = R ln + R ln ( ) w= q q = q q = R ln (8) Ο ερµικός βαµός απόδοσης του κύκλου Carnot είαι ίσος µε: w η = = q ( ) ln ( ) R R ln = = (9) 9
Από τη σχέση (9) προκύπτει ότι ο βαµός απόδοσης του κύκλου Carnot εξαρτάται από τις ερµοκρασίες τω δύο ερµοδοχείω. Αποδεικύεται επίσης ότι η σχέση (9) ισχύει για οποιοδήποτε εργαζόµεο µέσο και όχι µόο για το τέλειο αέριο. ηλαδή ο βαµός απόδοσης του κύκλου Carnot είαι αεξάρτητος του εργαζόµεου µέσου και εξαρτάται µόο από τις ερµοκρασίες τω δύο ερµοδοχείω. Επίσης από τις σχέσεις, 5, 7 προκύπτει ότι ισχύου οι ακόλουες σχέσεις: q = R ln q q = Rln = Rln (0) q = q & q q + = 0 Οι δύο τελευταίες σχέσεις είαι χρήσιµες για το ορισµό της έοιας της ετροπίας, όπως α ααπτυχεί στη συέχεια.. Ετροπία Η τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος dq στη κλειστή γραµµή () του σχ., η οποία απεικοίζει το ατιστρεπτό κύκλο Carnot, σύµφωα µε τη εξίσωση (0) είαι ίση µε: q dq = + = 0 q () 0
dq Η σχέση () εκφράζει το γεγοός ότι η στοιχειώδης ποσότητα είαι τέλειο διαφορικό και παριστά τη στοιχειώδη µεταβολή µιας ιδιότητας του συστήµατος, η οποία εξαρτάται µόο από τη κατάσταση που βρίσκεται το σύστηµα, δηλαδή δε εξαρτάται από τις µεταβολές που οδήγησα το σύστηµα σ' αυτή τη κατάσταση. Η ιδιότητα αυτή οοµάσηκε ετροπία και συµβολίζεται µε το γράµµα S. Η ετροπία, όπως ααφέρηκε, είαι µια ιδιότητα της κατάστασης εός συστήµατος, όπως είαι η πίεση, η ερµοκρασία, η εαλπία, η εσωτερική εέργεια κ.λ.π. Επίσης αποδεικύεται ότι η τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος dq στη κλειστή γραµµή () του σχ. είαι και πάλι ίση µε το µηδέ, α οι µεταβολές του κύκλου ήτα µόο εσωτερικά ατιστρεπτές. Σηµειώεται ότι στη περίπτωση αυτή οι ερµοκρασίες δε ααφέροται στις ερµοκρασίες τω δύο ερµοδοχείω αλλά ατίστοιχα στις δύο ισοερµοκρασιακές µεταβολές. Έτσι η στοιχειώδης µεταβολή της ετροπίας ορίζεται για µια εσωτερικά ατιστρεπτή µεταβολή του συστήµατος, σύµφωα µε τη παρακάτω σχέση: ds = dq εσωτ. ατ. () όπου, ds = η στοιχειώδης µεταβολή της ετροπίας εός συστήµατος σε µια στοιχειώδη εσωτερικά ατιστρεπτή µεταβολή. dq = η στοιχειώδης µεταβολή της συαλλασσόµεης ερµότητας µεταξύ του συστήµατος και του περιβάλλοτος. = η ερµοκρασία του συστήµατος κατά τη στιγµή που πραγµατοποιείται η στοιχειώδης ατιστρεπτή µεταβολή. Ας προσδιορίσουµε µε βάση τη σχέση () τις µεταβολές της ετροπίας µεταξύ τω καταστάσεω,, και του κύκλου Carnot. Μεταβολή S = S S Η µεταβολή είαι ατιστρεπτή, άρα και εσωτερικά ατιστρεπτή, συεπώς ισχύει:
S S = dq Με τη βοήεια του πρώτου ερµοδυαµικού αξιώµατος και µε τη υπόεση ότι το εργαζόµεο µέσο είαι τέλειο αέριο προκύπτει: S dq S = = du + PdV du PdV = + = mc d + mrd Με βάση τη προηγούµεη σχέση και επειδή η µεταβολή είαι ισοερµοκρασιακή και ισχύει επίσης η σχέση (), προκύπτει ότι: s s = c d + R d = 0+ Rn s s = Rn s s = q () Σηµειώεται ότι η σχέση, µε τη βοήεια της σχέσης p =R και ότι η µεταβολή είαι ισοερµοκρασιακή, οδηγεί στη ακόλουη σχέση: s s R n p = p Μεταβολή S = S S Η µεταβολή είαι ατιστρεπτή, άρα και εσωτερικά ατιστρεπτή, συεπώς ισχύει:
S S = dq Επειδή η µεταβολή είαι αδιαβατική, έχουµε µε το µηδέ: dq = 0 και το ολοκλήρωµα α είαι ίσο S S = 0 S = S () Από τη σχέση () προκύπτει ότι µια αδιαβατική και εσωτερικά ατιστρεπτή µεταβολή είαι και ισετροπική µεταβολή. Γεικά µια αδιαβατική µεταβολή δε είαι ισετροπική, εκτός εά είαι και εσωτερικά ατιστρεπτή. Όµως µια ισετροπική µεταβολή είαι και αδιαβατική. Μεταβολή S = S S Η µεταβολή είαι ισοερµοκρασιακή όπως και, εποµέως ισχύου οι ακόλουες σχέσεις: S S = Rn S S = q (5) Μεταβολή S = S S Η µεταβολή είαι αδιαβατική, συεπώς ισχύει: S S = 0 S = S (6)
Από τις σχέσεις,, 5 και 6 προκύπτει η ακόλουη διαγραµµατική παρουσίαση του κύκλου Carnot σε διάγραµµα, σχ. 5: - S Τ Τ Τ S = S S = S S Σχ. 5 5. ιαεσιµότητα (aailability) Κλειστού και Αοικτού Συστήµατος - Εξέργεια (exergy) Ας υποέσουµε ότι το κλειστό σύστηµα του σχ. 6 υπόκειται σε µια µεταβολή, από τη κατάσταση στη κατάσταση. p 0 p 0 Περιβάλλο Τ 0, p 0 V V Σχ. 6 Η µεταβολή υπακούει στο πρώτο και δεύτερο ερµοδυαµικό αξίωµα, σχέσεις 7 και 8 ατίστοιχα. Q = U U + W (7)
S ( S ) περ. παρ. = S + 0 συσ. περ. Q (8) όπου, S παρ. = Η παραγόµεη ετροπία, δηλαδή η συολική µεταβολή της ετροπίας του συστήµατος και του περιβάλλοτος. Αυτή είαι ετική ότα η µεταβολή είαι µη ατιστρεπτή και = 0 ότα είαι ατιστρεπτή. Η σχέση (8) εκφράζει S παρ. γεικότερα τη αρχή της αύξησης της ετροπίας εός αποµοωµέου συστήµατος, όπως στη περίπτωση αυτή είαι το κλειστό σύστηµα µαζί µε το περιβάλλο και είαι επακόλουο της ισχύος του δευτέρου ερµοδυαµικού αξιώµατος (αισότητα του δ Q Clausius: 0 ). Q 0 = περ. =Q περ. Το παραγόµεο (ή κατααλισκόµεο) από το σύστηµα µηχαικό έργο W δίεται από τη ακόλουη σχέση, µε βάση τις σχέσεις 7 και 8: ( ) ( ) W= U U S S S Εώ το χρήσιµο µηχαικό έργο 0 0 παρ. (9) W χρ. προκύπτει από τη 9, αφού προηγουµέως αφαιρέσουµε το έργο που κατααλώηκε λόγω της πίεσης που ασκεί το περιβάλλο στο σύστηµα και το οποίο είαι ίσο µε W = p V V. περ. ( ) 0 ( ) ( ) ( ) W = W W = UU S S + pvv S χρ. περ. 0 0 0 παρ. (0) Εά η µεταβολή είαι ατιστρεπτή τότε, όπως προκύπτει από τη (0), το παραγόµεο χρήσιµο µηχαικό έργο είαι το µεγαλύτερο και ίσο µε: χρ.max ατ. ( U U) ( S S) p( V ) W = W = + () 0 0 V 5
Το µεγαλύτερο χρήσιµο µηχαικό έργο που µπορούµε α πάρουµε από έα κλειστό σύστηµα που βρίσκεται σε δεδοµέη κατάσταση, ότα αυτό µε ατιστρεπτές µεταβολές οδηγηεί στις συήκες του περιβάλλοτος (κατάσταση "0"), οοµάζεται διαεσιµότητα (aailability) ή εξέργεια (exergy) της κατάστασης του κλειστού συστήµατος και συµβολίζεται µε το γράµµα Φ. Ο όρος aailability χρησιµοποιείται ευρύτατα στις ΗΠΑ, εώ ο όρος exergy είαι µεταγεέστερος, καιερώηκε στη Ευρώπη τη δεκαετία του 50 και έτυχε γεικής αποδοχής γιατί είαι πιο δόκιµος. Στη συέχεια α χρησιµοποιούµε και τους δύο όρους χωρίς διάκριση. Σύµφωα µε τη σχέση, η διαεσιµότητα ή εξέργεια εός κλειστού συστήµατος που βρίσκεται σε δεδοµέη κατάσταση, δίεται από τη ακόλουη σχέση: ( U U ) ( S S ) p ( V V ) Φ= + 0 0 0 0 0 () Από τη σχέση () προκύπτει έµµεσα η φυσική έοια της ετροπίας, δηλαδή η ετροπία της κατάστασης εός κλειστού συστήµατος καορίζει µαζί µε τη ετροπία και τη ερµοκρασία του περιβάλλοτος έα ποσό εέργειας, από το συολικό του συστήµατος, που δε µπορούµε α το πάρουµε υπό τη µορφή µηχαικού έργου, ότα αυτό µε ατιστρεπτές µεταβολές οδηγηεί στις συήκες του περιβάλλοτος (κατάσταση "0"). Η εξίσωση () µας οδηγεί στο α ορίσουµε τη ακόλουη συάρτηση διαεσιµότητας ή εξέργειας, η οποία συδέει τη εσωτερική εέργεια, τη ετροπία και το όγκο της κατάστασης εός κλειστού συστήµατος µε τη ερµοκρασία και τη πίεση του περιβάλοτος. Έτσι η διαεσιµότητα ή εξέργεια της κατάστασης εός κλειστού συστήµατος, όπως και το µεγαλύτερο χρήσιµο έργο που µπορούµε α πάρουµε κατά τη µεταβολή του συστήµατος µεταξύ δύο καταστάσεω, εκφράζεται ως διαφορά τω τιµώ της συάρτησης στις ατίστοιχες καταστάσεις, σχέσεις () & (). Συάρτηση εξέργειας = U - 0 S + p0 V () Ατίστοιχα, το µεγαλύτερο χρήσιµο µηχαικό έργο που µπορούµε α πάρουµε από έα αοικτό σύστηµα, που έχει µια είσοδο και µια έξοδο σχ. 7, είαι ίσο µε τη διαφορά της διαεσιµότητας ή της εξέργειας του ρεύµατος της µάζας εισόδου Ψ εισ. και του ρεύµατος της µάζας εξόδου Ψ εξ.. Η διαεσιµότητα ή εξέργεια σε κάε περίπτωση δίεται από τις ακόλουες σχέσεις, εά δε λάβουµε υπόη τη κιητική και δυαµική εέργεια του ρεύµατος: 6
Ψ εισ. W = Ψ Ψ εισ. εξ. Ψ εξ. Σχ. 7 ( H H) ( S S ) Ψ εισ. = εισ. 0 0 εισ. 0 () ( H H ) ( S S ) Ψ εξ. = εξ. 0 0 εξ. 0 (5) ( H ) 0 ( S S ) W = Ψ Ψ = H.. (6) χρ max εισ. εξ. εισ. εξ εισ. εξ Η εξίσωση (6) µας οδηγεί στο α ορίσουµε τη ακόλουη συάρτηση διαεσιµότητας ή εξέργειας, η οποία συδέει τη εαλπία και τη ετροπία της κατάστασης εός ρεύµατος µάζας µε τη ερµοκρασία του περιβάλλοτος. Συάρτηση εξέργειας = H - 0 S (7) Σύµφωα µε τη εξίσωση (7) το µεγαλύτερο χρήσιµο µηχαικό έργο που µπορούµε α πάρουµε από το αοικτό σύστηµα του σχ. 7, είαι επίσης ίσο µε τη διαφορά της εξέργειας στη είσοδο και στη έξοδο του αοικτού συστήµατος. 7
6. Εφαρµογές. Προτείεται η ακόλουη ερµική µηχαή, η οποία σύµφωα µε το ισχυρισµό του κατασκευαστή µπορεί α παράγει kw ατλώτας ερµότητα 500 kj αά λεπτό από το ερµοδοχείο υηλής ερµοκρασίας Τ Θ = 900 0 C. Ζητείται α ελέγξουµε τη ορότητα του παραπάω ισχυρισµού. --------------------------------------------------------------------- Θερµοδοχείο Υηλής Θερµοκρασίας Τ Θ =900 0 C q Θερµική Μηχαή Μηχαικό Εργο w q Ψ Θερµοδοχείο Χαµηλής Θερµοκρασίας Τ Ψ =0 0 C Η µεγαλύτερη ισχύς που µπορεί α παραχεί (µηχαή Carnot) είαι ίση µε: 8
W max Q kj = = 500 60 sec 0 + 7 = 900 + 7. 6 kw Η παραγωγή της µηχαής είαι kw > W max και ο ισχυρισµός απορρίπτεται. Μηχαή Carnot λειτουργεί σύµφωα µε το ερµοδυαµικό κύκλο του σχήµατος και µε εργαζόµεο µέσο αέρα (R= 0,870 kj/ kg 0 K). Να προσδιορισεί το παραγόµεο µηχαικό έργο αά κύκλο, δεδοµέου ότι η ατλούµεη από το ερµοδοχείο ερµότητα είαι 0 kj/ kg και η ερµοκρασία του ερµοδοχείου εία 00 0 C. ------------------------------------------ P 00 kpa dq=0 Τ dq=0 0. m /kg p 00 0 0. o p = R = = = 09, K R 0870, 0 9
W kj = Q = 0 kg 09, = 00 + 7 6, 7 kj kg. Έα κλειστό δοχείο, όγκου m, περιέχει αέρα ερµοκρασίας 0 0 C και πίεσης 00 kpa. Έας ααδευτήρας αρχίζει α αακιεί το αέρα του δοχείου και προκαλεί µεταβολή της κατάστασης του κλειστού συστήµατος. Να προσδιορισεί η µεταβολή της ετροπίας του κλειστού συστήµατος, ότα γωρίζουµε ότι το έργο του ααδευτήρα ήτα 77 kj. Υποέσατε ότι ο αέρας συµπεριφέρεται ως τέλειο αέριο µε σταερές ειδικές ερµοχωρητικότητες: c = 0,77 kj/ kg 0 K, R= 0,870 kj/ kg 0 K και c p =c + R=.00 kj/ kg 0 K. ----------------------------------------- Η υπόεση για συµπεριφορά τελείου αερίου µε σταερές ειδικές ερµοχωρητικότητες οδηγεί σε ααλυτική έκφραση της µεταβολής της ετροπίας µεταξύ τω καταστάσεω και εός κλειστού συστήµατος. Πράγµατι από τη σχέση: S dq S = = du + PdV du PdV = + = mc d + mrd Προκύπτει ότι: s s s = s = c d + ( p ) R d c R d + c n = + Rn R d c n Rn p = p p () () Η µεταβολή του κλειστού συστήµατος εωρείται ισόογκος, άρα µε βάση τη σχέση : 0
( ) S S m s s m c n = = m = p V R = 00 = kg 0 870 9, 7568, S S n kj 0 =, 7568 0, 77 / K Από το πρώτο ερµοδυαµικό αξίωµα προκύπτει ότι: ( ) Q= U U + W 0= U U + W 0= m c + W W = = mc ( 77) =, 7568 0, 77 9 775, και ( ) S S m c n = =, 7568 0, 77 n 775, 0 S S = 87, kj/ K. Σε κλειστό σύστηµα κυλίδρου εµβόλου, µετά τη διαδικασία της καύσης, η πίεση και η ερµοκρασία τω καυσαερίω είαι ατίστοιχα 00 kpa και 50 0 C. Στη συέχεια το σύστηµα εκτοώεται µέχρι τη πίεση τω 0 kpa ισετροπικά. Να υπολογισεί το παραγόµεο έργο αά kg. Υποέσατε ότι τα καυσαέρια συµπεριφέροται ως τέλειο αέριο µε σταερές ειδικές ερµοχωρητικότητες: c = 0,77 kj/ kg 0 K, R= 0,870 kj/ kg 0 K και c p =c + R=.00 kj/ kg 0 K και k= c p / c =,. -----------------------------------------
Η µεταβολή είαι ισετροπική και ισχύου οι γωστές σχέσεις: p k 0 = 6 0 7 K = p, = 00 k, W = R ( ) = c ( ) = 0, 77 ( 6 7) = 05 kj/ kg k 5. Τα χαρακτηριστικά του ατµού στη είσοδο εός ατµοστροβίλου (σχ.7) είαι MPa και 700 0 C. α) Ο ατµός εκτοώεται ισετροπικά µέχρι τη πίεση τω 0,6 MPa. Να προσδιορισεί το παραγόµεο τεχικό έργο και το µεγαλύτερο χρήσιµο τεχικό έργο που α µπορούσε α παρχεί, λαµβάοτας υπόη τη εξέργεια στη είσοδο και τη έξοδο του στροβίλου. β) Ο ατµός δε εκτοώεται ισετροπικά µέχρι τη πίεση τω 0,6 MPa. Η εκτόωση είαι αδιαβατική και ο βαµός απόδοσης του στροβίλου, ως ο λόγος µεταξύ του έργου που παράγει ο στρόβιλος και του έργου στη ιδαική (ισετροπική) εκτόωση είαι 0,88. Να προσδιορισεί το µεγαλύτερο χρήσιµο τεχικό έργο που α µπορούσε α παραχεί, λαµβάοτας υπόη τη εξέργεια στη είσοδο και τη έξοδο του στροβίλου, και η απώλεια τεχικού έργου επειδή οι µεταβολές στο στρόβιλο δε ήτα ατιστρεπτές. Υποέσατε ότι η ερµοκρασία περιβάλλοτος είαι 5 0 C. ----------------------------------------- α) Από τους πίακες προκύπτει: MPa 700 0 C h =858, kj/kg s =7,0757 kj/kg 0 K 0,6 MPa 5, 0 C h =90, kj/kg s =7.0757 kj/kg 0 K Επειδή η µεταβολή είαι ισετροπική, άρα και αδιαβατική( q=0), σύµφωα µε το πρώτο ερµοδυαµικό αξίωµα: Το παραγόµεο τεχικό έργο w= h - h =
= (858, - 90,) kj/kg = 95, kj/kg Το µεγαλύτερο χρήσιµο τεχικό έργο w χρmax = { h - h - 0 (s - s )} = = {858, - 90, - 98 (7,0757-7,0757}=95, kj/kg β) Σύµφωα µε το ορισµό του βαµού απόδοσης του στροβίλου και επειδή η µεταβολή είαι αδιαβατική, η εαλπία στη έξοδο του στροβίλου δίεται από τη σχέση: 088, = 858, h 95, h = 858, 89, 8 = 08, 6 kj / kg Από τους πίακες προσδιορίζεται η ετροπία της κατάστασης στη έξοδο του στροβίλου, s = 7,96 kj/kg 0 K. Το µεγαλύτερο χρήσιµο τεχικό έργο w χρmax = { h - h - 0 (s - s )} = = {858, - 08,6-98 (7,0757-7,96)}=905,0 kj/kg Απώλεια τεχικού έργου: (905,0-89,8) = 65, kj/kg