04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 1

0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame diapazone. Panagrinėsime galimus bangų superpozicijos rezultatus: mūšimus ir stovinčią bangą. Parodysim, kaip pereiti nuo klasikinio prie kvantmechaninio šviesos aprašymo, aptarsim fotono sąvoką. 0.1 Banginė šviesos prigimtis Maksvelo lygtys laisvoje terpėje atrodo taip: rot H = D, t rot E = B div B = 0, div D = 0. t, (1) Čia E, H yra elektrinio ir magnetinio lauko stipriai, B - magnetinės indukcijos vektorius D - elektrinio lauko slinkties vektorius. Galioja sąryšiai D = ε 0 E, B = µ 0 H. (2) Čia ε 0 ir µ 0 elektrinė ir magnetinė konstantos. Paveikę pirmąją (1) sistemos lygtį rotoriaus operatoriumi bei pasinaudoję (2) sąryšiais gauname 1 rot rot B = ε 0 (rot E). (3) µ 0 t Pasinaudoję lygybe rot rot B = grad div B 2 B, iš (3) lygties gauname 2 B ε 0 µ 0 2 Analogiškai, iš (1) antrosios lygties gauname 2 E ε 0 µ 0 2 B = 0. (4) t2 E = 0. (5) t2 Banginės lygtys (4) ir (5) atitinka bangas, kurių sklidimo greitis lygus c = 1/ ε 0 µ 0. 1865 metais Maksvelas rado, kad šis dydis sutampa su šviesos greičiu vakuume, todėl iškėlė prielaidą, kad šviesa - tai elektromagnetinė (EM) banga. Ši prielaida buvo patvirtinta eksperimentiškai 1890 metais Vinerio. Apie šį eksperimentą skyrelyje apie stovinčias bangas. Reikia pažymėti, kad elektromagnetinių bangų sklidimui nebūtina terpė - jos gali sklisti ir vakuume. Banginės lygtys (4) bei (5)

4 yra nesurištos, todėl galimas jų sprendinys yra B = 0, kai E 0 atitinka kintantį elektrinį lauką. Šitoks sprendinys prieštarauja Maksvelo lygtims (1). Pangrinėkime paprasčiausią EM bangų atvejį - plokščiąsias monochromatines EM bangas. Iš pradžių perrašykime Maksvelo lygtis kitokia forma: B = 1 E, c 2 t E = 1 B c 2 B = 0, E = 0. t, (6) Šių lygčių sprendinio ieškosime plokščių bangų pavidalu E = E 0 exp[ i(ωt kr)], B = B 0 exp[ i(ωt kr)]. (7) Čia E 0 ir B 0 yra pastovūs vektorinai dydžiai, ω ir k buvo įvesti 01 dalyje. r yra radius vektorius, t - laikas. Kadangi exp(ikr) = ik exp(ikr), t exp( iωt) = iω exp( iωt), (8) tai, įrašę (7) išraiškas į (6) lygtis, gauname algebrines lygtis: k B = ω c 2 E, k E = ωb, k B = 0, k E = 0. (9) Iš šių lygčių seka, kad E ir B vektoriai statmeni tarpusavyje ir abu statmeni k vektoriui (1 paveikslėlis). Kadangi k = ω/c, tai iš antrosios (9) sistemos lygties seka E = cb. (10) Dydžiai k, ω ir c yra realūs, taigi E ir B vektoriai laike kinta sinfaziškai. E ir B vektorių kitimas erdvėje fiksuotu laiko momentu pavaizduotas 2 paveiksle. Toliau pateiksime kodą Matlab programos, modeliuojančios E ir B vektorių kitimą laike. 1 N=50; X = linspace(0,12.4,n); Y = 0*X; Z2= 0*X; 2 mov=avifile('mult1.avi'); 3 for it=1:100 4 Z = cos(x it*0.1); 5 Y2=cos(X it*0.1);

0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 5 1: E, B ir k vektoriai. 2: E ir B vektorių kitimas erdvėje bėgančios plokščios monochromatinės bangos atveju. 6 7 stem3(x,y,z,'r','fill') 8 hold on 9 stem3(x,y2,z2,'k','fill') 10 hold on;

6 11 line(x,y,z2); 12 13 for ix=1:n 14 hold on; 15 plot([x(ix) X(ix)],[0 Y2(ix)],'k'); 16 end; 17 18 hold off 19 view( 25,30); 20 axis off 21 set(gcf,'color',[1 1 1]) 22 23 F=getframe(gcf); 24 mov=addframe(mov,f); 25 end; 26 mov=close(mov); 0.2 Elektromagnetinės bangos energija ir judesio kiekis Pasinaudosime matematine lygybe Iš dviejų pirmų Maksvelo lygčių (6) seka (B E) = E( B) B( E). (11) Ec 2 ( B) = E E, t Bc 2 ( E) = c 2 B B. t (12) Iš pirmosios (12) lygties atėmę antrąją bei pasinaudoję (11) sąryšiu, gauname lygtį dw = div S. dt (13) Čia w = ε 0 2 (E2 + c 2 B 2 ) (14) yra elektromagnetinės bangos energijos tankis, o S = ε 0 c 2 E B (15) yra Pointingo vektorius. (13) lygtis yra tolydumo lygtis, iš jos seka energijos tvermės dėsnis: jeigu nėra Pointingo vektoriaus srauto per tam tikrą uždaro paviršiaus plotą, tai energijos tankis to paviršiaus gaubiamajame tūryje nekinta. Plokščiosios monochromatinės bangos atveju B = E/c, žr. (10) lygtį. Tuomet iš (15) seka S = ε 0 ce 2. (16)

0.3. ELEKTROMAGNETINIŲ BANGŲ SUPERPOZICIJA 7 (7) formulėje elektrinio lauko stipris užrašytas kompleksinėje formoje. Šitaip galėjome rašyti, nes Maksvelo lygtys vakuume yra tiesinės. Tikrasis elektrinio lauko stipris gaunamas, pridėjus kompleksiškai sujungtinę dalį: E = E 0 cos(ωt + ϕ) = 1 2 ( E0k e iωt + E 0ke iωt), (17) čia E 0k = E 0 e iϕ, kur į E 0 įeina ir kitimas erdvėje. Šviesos banga laike kinta apie 10 15 Hz dažniu, ir jutikliai tokio greito kitimo neužregistruoja. Realiai registruojami dydžiai yra suvidurkinti laike. Į (16) įrašę (17) išraišką ir atlikę vidurkinimą laike, gauname S = ε 0 c E 2 = 1 2 ε 0c E 2 0k. (18) Tai reiškia, kad energijos srauto tankis, intensyvumas yra proporcingas kompleksinės amplitudės modulio kvadratui. 0.3 Elektromagnetinių bangų superpozicija Maksvelo lygtys (1) yra tiesinės, todėl, jei E 1, B 1 ir E 2, B 2 yra jų sprendiniai, tai E 1 + E 2, B 1 + B 2 taip pat bus šių lygčių sprendiniai. Šiame skyrelyje panagrinėsime įvairias galimas plokščių monochromatinių elektromagnetinių bangų superpozicijas. 0.3.1 Mušimai Tegu dviejų bangų k vektoriai nukreipti išilgai z ašies, o jų elektrinio lauko stipriai E 1, E 2 nukreipti išilgai x ašies. Jei jų dažniai skiriasi: ω 1 ω 2, tuomet skiriasi ir jų banginiai skaičiai: k 1 k 2, nes k 1 = ω 1 /c, k 2 = ω 2 /c. Šių dviejų bangų elektrinių stiprių superpozicija, esant vienodom amplitudėm E 0, užrašoma taip: E 1x + E 2x = E 0 cos(ω 1 t k 1 z) + E 0 cos(ω 2 t k 2 z) = 2E 0 cos ( ω 1 ω 2 t k 1 k 2 z ) cos ( ω 1 +ω 2 t k 1+k 2 z ). 2 2 2 2 (19) Pasinaudoję sąryšiais tarp k j ir ω j, iš (19) formulės gauname E 1x + E 2x = 2E 0 cos[(ω 1 ω 2 )(t z/c)/2] cos[(ω 1 + ω 2 )(t z/c)/2]. (20) Jeigu bangų dažniai skiriasi nedaug, t. y. ω 1 ω 2 (ω 1 + ω 2 ), (21)

8 1.5 1 (E 1x +E 2x )/2E 0 0.5 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 z 3: Mušimai. ω 1 = 10, ω 2 = 11. tuomet (20) formulė aprašo greitai kintančius harmoninius svyravimus su lėtai kintančia amplitude. Toks reiškinys vadinamas mušimais. Iš (20) išraiškos seka, kad mušimų dažnis Ω = ω 1 ω 2. (22) Elektrinio lauko stiprio kitimas erdvėje esant mušimams pavaizduotas 3 paveikslėlyje. 0.3.2 Stovinti banga Kitas svarbus bangų superpozicijos pavyzdys - stovinti banga. Ji susidaro, kai dvi vienodų dažnių bei amplitudžių bangos sklinda priešingom kryptim. Tegu abiejų plokščių monochromatinių bangų E vektoriai nukreipti išilgai x ašies, pirmoji sklinda z ašies teigiama kryptimi, antroji - neigiama z ašies kryptimi. Tuomet E 1x + E 2x = E 0 cos(ωt kz) + E 0 cos(ωt + kz δ) = 2E 0 cos(kz + δ/2) cos(ωt + δ/2). (23) Čia δ yra fazės postūmis tarp dviejų susidedančių bangų. Užrašysime stovinčios bangos magnetinę indukciją: B 1y + B 2y = E 0 /c cos(ωt kz) E 0 /c cos(ωt + kz δ) = 2E 0 /c sin(kz + δ/2) sin(ωt + δ/2). (24)

0.3. ELEKTROMAGNETINIŲ BANGŲ SUPERPOZICIJA 9 Minuso ženklas prieš antrąjį dėmenį rašomas dėl to, kad E, B ir k vektoriai plokščios bangos sudaro vektorių trejetą, kaip pavaizduota 1 paveikslėlyje. Todėl, jeigu apsuksim k vektorių, o E vektorius palieka tos pačios krypties, tuomet B vektorius keičia kryptį. Iš (23) ir (24) formulių matome, kad E ir B vektoriai kinta su fazės postūmiu π/2: elektrinė energija virsta magnetine, o po to vyksta atvirkštinis procesas. Stovinčios bangos suvaidino svarbų vaidmenį šviesos kaip elektromagnetinės bangos teorijoje. 1890 metais Vyneris (Wiener) atliko eksperimentą, patvirtinantį šią teoriją. Apšvitinus fotoemulsiją stovinčia banga, tose vietose, kur elektrinio lauko stipris mažiausias (mazguose), paliks ryškios vietos; tuo tarpu elektrinio lauko stiprio maksimuose (pūpsniuose) atsiras tamsios dėmės. Reikia pastebėti, kad fotoemulsijos patamsėjimą įtakoja tik elektrinis laukas. Atstumas tarp mazgų yra lygus λ/2, ir šviesai tai yra mikronų eilės dydis. Vyneris apšvitino fotoemulsiją kampu, kaip parodyta 4 paveiksle. Kai fotoemulsijos polinkio kampas pakankamai mažas, atstumai tarp šviesių bei tamsių dėmių yra pakankamai didelis. 4: Vynerio eksperimentas. 0.3.3 Elipsinė poliarizacija Iki šiol buvo nagrinėjamos tiesinės poliarizacijos bangos. Sudėjus dvi statmenai poliarizuotas bangas, tarp kurių fazių postūmis π/2, gaunama banga, kurio E vektorius sukasi pagal elipsės lygtį. Iš tikrųjų, jei pirmos ir antros bangos elektrinio

10 5: Elipsiškai poliarizuotos bangos elektrinio lauko stiprio vektorius. lauko stipriai tai galima parodyti, kad E 1x = E 10 sin(ωt kz), E 2y = E 20 cos(ωt kz), E 2 1x E 2 10 + E2 2x E 2 20 (25) = 1. (26) Tai yra elipsės lygtis. Sumodeliuotas elektrinio lauko stiprio kitimas erdvėje pavaizduotas 5 paveikslėlyje. 0.4 Kvantmechaninis šviesos aprašymas Panagrinėkime bangos sklidimą ilgio L, tūrio V rezonatoriuje. Rezonatoriuje susidaro stovinti banga, todėl elektrinio lauko stiprio išraišką galime ieškoti kaip stovinčių bangų superpoziciją. Laikysime, kad bangos vektorius nukreiptras išilgai z ašies, E vektorius išlgai x, o H - išlgai y ašies. Tuomet E x (z, t) = j A j q j (t) sin(k j z). (27) Dydis k j randamas iš sąlygos sin(k j 0) = sin(k j L) = 0. (28)

0.4. KVANTMECHANINIS ŠVIESOS APRAŠYMAS 11 Iš šios sąlygos gauname j-osios rezonatoriaus modos banginį skaičių k j = jπ/l, j = 1, 2, 3,... Dydis q j yra modos amplitudė, A j = 2ω 2 j m j /V ε 0, kur m j masės dimensijos konstanta, ω j = jπc/l - j-osios modos ciklinis dažnis. Pasinaudoję pirmuoju (2) sąryšiu bei pirmąja Makvelo (1) lygtimi, magnetinio lauko stipriui gauname H y (z, t) = j Įrašę (27) bei (29) išraiškas į klasikinę energijos išraišką H = 1 2 V A j ε 0 k j q j t cos(k jz). (29) dv (ε 0 E 2 x + µ 0 H 2 y) (30) (žr. (14) formulę), gauname H = 1 ( ) 2 m j ωj 2 qj 2 qj + m j. (31) 2 j t Šioje išraiškoje energija užrašyta kaip nepriklausomų modų energijų suma; kiekviena moda ekvivalenti harmoniniam osciliatoriui. Osciliatoriaus judesio kiekis p j = q m j j. Pereisim prie kvantmechaninio aprašymo. Tuo tikslu pasinaudosime žinomu komutaciniu sąryšiu t [q j, p j ] = i. (32) Įvesime naujuosius kintamuosius a j ir a + j, kurie su q j bei p j susiję tokiais sąryšiais: a j e iωjt 1 = (m j ω j q j + ip j ), 2mj ω j a + j e iωjt 1 = (33) (m j ω j q j ip j ). 2mj ω j Šiems naujiems kintamiesiems galioja komutacinis sąryšis [a j, a + j ] = 1, (34) kuris seka iš (32) komutacinio sąryšio. Tuo tarpu iš (31) energijos išraiškos seka H = j ( ω j a + j a j + 1 ). (35) 2 Pasinaudoję vien tik (34) komutaciniu sąryšiu galime įrodyti, kad kvantmechaninis operatorius a + j a j turi šviesos kvantų - fotonų - skačiaus operatoriaus prasmę, o a + j ir a j yra atitinkamai fotonų atsiradimo ir išnykimo operatoriai. Iš (35) formulės matome, kad vieno kvanto energija lygi ω j, t. y. susijusi su banginiame šviesos aprašyme naudojamu dydžiu - cikliniu dažniu. 6 paveikslėlyje parodyta kaip matomosios šviesos spalva priklauso nuo bangos ilgio.

12 6: Matomos šviesos spalvos nuo bangos ilgio (nm). Silpna kvantmechaninio aprašymo vieta - tai antrasis dėmuo 1/2 skliaustuose (35) formulėje. Jeigu fotonų skaičius lygus nuliui, tai energija vis tiek yra begalinė. Ji dar vadinama vakuumo energija. Tačiau nėra būsenos su -1 fotonu, dėl to nėra perėjimo iš vakuumo būsenos į žemesnį lygmenį ir ta energija neišsilaisvina. 0.4.1 Operatoriai a, a +, a + a Remdamiesi (34) formule parodysim, kad operatoriai a, a + yra fotono atsiradimo bei išnykimo operatiriai, o operatorius N = a + a turi fotonų skaičiaus operatoriaus prasmę. Pažymėkime šio operatoriaus tikrinę funkciją n, o tikrinę vertę n: Paveikime šią lygybę operatoriumi a: a + a n = n n. (36) aa + a n = na n. (37) Pasinaudoję komutaciniu sąryšiu aa + a + a = 1, galime parašyti arba (a + a + 1)a n = na n (38) (a + a)a n = (n 1)a n. (39) Taigi parodėme, kad, jeigu funkcija n yra tikrinė operatoriaus N funkcija, tai funkcija a n yra taip pat N tikrinė funkcija, atitinkanti vienetu mažesnę tikrinę vertę. Analogiškai, galime parodyti, kad (a + a)a + n = (n + 1)a + n, (40) t.y. operatorius a + didina tikrinę operatoriaus a + a vertę vienetu. 0.5 Maksvelo lygtys Šiame skyrelyje pateiksime pavyzdžius, kokie dėsniai seka iš Maksvelo lygčių, kurias užrašysime, laikydami, kad yra laisvų krūvininkų ir srovių. Viena pora

0.5. MAKSVELO LYGTYS 13 lygčių užrašoma tuomet taip: div E = ρ/ε 0, c 2 rotb = E t + j/ε 0. (41) Čia ρ yra laisvųjų krūvių tankis, j - srovės tankis. Pasinaudoję Gauso-Ostrogradskio formule div EdV = EdS, (42) iš pirmosios (41) lygties gauname V S EdS = 1 ε 0 V S ρdv. (43) Tai yra Gauso dėsnis, kuris elektrostatikoje gaunamas iš Kulono dėsnio. Be to, paveikę antrąją (41) lygtį div operatoriumi, gauname t div E = 1 ε 0 divj. (44) Pasinaudoję pirmąja (41) lygtimi, gauname tolydumo lygtį: Ji atitinka krūvio tvermės dėsnį. Antra Maksvelo lygčių pora atrodo taip: ρ + div j = 0. (45) t div B = 0, rot E = B t. (46) Pasinaudoję Gauso-Ostrogradskio formule iš pirmosios (46) lygties gauname BdS = 0. (47) S Matome, kad magnetinės induksijos srautas per uždarą paviršių lygus nuliui, tai reiškia, kad B vektoriaus linijos yra uždaros kreivės. Iš Stokso teoremos rot EdS = Edl (48) bei antrosios (46) lygties gauname Tai yra Faradėjaus dėsnis. S L Edl = d dt L S BdS. (49)

14 0.6 Užduotys Sumodeliuoti stovinčios elektromagnetinės bangos elektrinio lauko stiprį bei magnetinę indukciją. Sumodeliuoti mušimus. Sumodeliuoti elipsiškai poliarizuotos bangos elektrinio lauko stiprio vektorių.