VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R n vektorinė erdvė Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ), kuriuos vadinsime šios erdvės taškais Be mums jau žinomu vektoriu veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena operacija Apibrėžimas Dvie vektoriu a = {a 1,, a n } ir b = {b 1, b n } skaliarine sandauga (žymėsime a b) vadinsime skaičiu α β = a 1 b 1 + + a n b n Vektorinės erdvės sa voka šiek tiek susiaurinkime, reikalaudami, kad vektorinėje erdvėje būtu apibrėžta skaliarinė sandauga Kitaip tariant, mes nagrinėsime tik tas vekorines erdves, kuriose apibrėžta vektorinė sandauga Apibrėžimas Tarkime, kad x, y, z R n Tuomet funkcija (ρ R n R n R ), kuri dviems vektorinės erdvės elementams priskiria koki nors realu skaičiu, vadinsime atstumu, jeigu ji turi savybes 1) ρ(x, y) 0, ρ(x, y) = 0 x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x); 3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) Kyla klausimas - kaip apibrėžti funkcija ρ(, )? Pasirodo, kad tai atlikti galime naudodami skaliarine sandauga Skaitytojas nesunkiai patikrins, kad visas atstumo savybes tenkina funkcija Kitaip tariant ρ(x, y) = (x y) (x y) ρ n (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + + (x n y n ) 2, čia x, y R n n N Tikimės skaitytojas supranta, kad atstumas (metrika) tarp erdvės elementu nusakomas ne vieninteliu būdu! Ateityje mes nagrinėsime vektorines erdves R n, kai n = 1, 2, 3,, su jose apibrėžta metrika ρ n (, ) Beje, pastaroji metrika vadinama Euklidine metrika Visiškai analogiškai, bet kokia metrine erdve R n, su Euklidine metrika ρ(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2, x, y R n, x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ), vadinsime n mate metrine erdve Beje, kai n = 1, 2, 3, tai šias erdves vadinsime tiese, plokštuma bei trimate erdve, atitinkamai Apibrėžimas Taisykle, kuri realiu skaičiu rinkiniams (x 1, x n ) priskiria viena realu skaičiu, vadinsime n funkcija, i gyjančia realias reikšmes Žymėsime z = f(x 1,, x n ) Skaičius z vadinamas n funkcijos reikšme, o rinkinys x 1,, x n funkcijos f laisvaisiais kintamaisiais Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) apibrėžimo sritimi vadinsime erdvės R n tašku aibe D(f) = {x R n, z R, f(x) = z} Realiu skaičiu aibės poaibis E(f) = {z R; x = (x 1,, x n ) D(f), f(x 1, x 2,, x n ) = z} yra vadinamas funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) reikšmiu aibe Pavyzdys Panagrinėkime funkcija f(x, y) = x 2 y 2 Šios funkcijos reikšmiu sriti sudaro visi neneigiami realūs skaičiai, ty E(f) = [0, + ) Šios funkcijos apibrėžimo sriti sudaro visi plokštumos taškai tenkinantys nelygybe 82
(x y)(x + y) 0 Skaitytojui siūlome pažymėti šia sriti plokštumoje Apibrėžimas Sakysime, kad n- funkcija yar didėjanti kintamojo x i atžvilgiu, jeigu f(x 1,, x 0 i,, x n ) f(x 1,, x 1 i,, x n ) > 0, jei x 0 i > x 1 i Sakysime, kad n- funkcija yar mažėjanti kintamojo x i atžvilgiu, jeigu f(x 1,, x 0 i,, x n ) f(x 1,, x 1 i,, x n ) < 0, jei x 0 i > x 1 i Pateiksime keleta daugelio funkci pavyzdžiu, kurios taikomos ekonominėse teorijose Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu f(x) = n x α i, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n} vadinsime Kobo-Duglo (Cobb-Douglas) funkcija Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu f(x) = min { x 1 α 1,, x n α n }, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n} vadinsime Leontjevo (Leontief) funkcija Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu ( n ) f(x) = x q 1 i α q i, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n}, q 1, q 0 vadinsime CES funkcija Visos šios funkcijos yrs didėjančios x i atžvilgiu Bet koki vektorinės erdvės poaibi vadinsime sritimi Aibės B R n srities siena vadinsime plokštumos tašku aibe, kurios aplinkoje yra ir aibės B ir šios aibės papildinio B c tašku Visi B taškai nepriklausantys srities sienai yra vadinami vidiniais srities taškais Sritis bus vadinama uždara, jeigu jai priklauso visi sienos taškai Kitu atveju sritis bus vadinama atvira Sakysime, kad sritis yra aprėžta, jeigu atstumas tarp bet kokiu šios srities elementu yra baigtinis Tarkime A R n, r 0 Sriti B(A, r) = {X R n, ρ(a, X) < r}, vadinsime atviru rutuliu, o sriti (B(A, r) = {X R n, ρ(a, X) r}) r 0, vadinsime uždaru rutuliu Bet koki atvira rutuli, kuriam priklauso taškas X 0 = (x 1,, x n ), vadinsime šio taško aplinka 72 Funkcijos riba Funkcijos tolydumas Pažymėkime M = (x 1, x 2,, x n ) ir M 0 = (x 0 1,, x 0 n) ir M k = (x k 1,, x k n), k N 83
Apibrėžimas Sakysime, kad seka {M k } R n konverguoja vektorinėje erdvėje R n i ribini taška A R n, jei kiekvienam ɛ > 0, egzistuoja numeris n 0 toks, kad visiems k > n 0, atstumas tarp ribinio taško A ir sekos nariu M k, kai k > n 0 yra mažesnis negu ɛ, ty ρ(m k, A) < ɛ Jei seka M k konverguoja i A, tai ši fakta trumpai žymėsime lim k M k = A Teisinga tokia teorema 1 Teorema Seka M k turi riba (x 0 1,, x 0 n) tada ir tik tada, kai kiekviena sekos M k koordinatė konverguoja i atitinkama taško M 0 koordinate, ty lim k xk i = x 0 i, i {1,, n} Apibrėžimas Realu skaičiu A vadinsime funkcijos f(x 1, x 2,, x n ) riba taške M 0, jeigu bet kokiai sekai {M k }, tokiai, kad lim k M k = M 0 išplaukia, kad funkcijos reikšmiu seka Trumpai, Skaitytojui siūlome i sitikinti, kad M n = 2 Teorema Sakykime, kad Tada Jei f(m) = A 0, tai lim f(m k ) = A k lim f(m) = A M M 0 ( 2n ) n+2 ( 1) n n lim f(m) = A, M M 0 lim g(m) ± f(m) = B ± A, M M 0 g(m) lim M M 0 f(m) = B A ( ) 2, kai n 0 lim g(m) = B M M 0 lim g(m) f(m) = B A M M 0 Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija f(m) yra nykstama taške A, jei lim M A f(m) = 0 Nagrinėdami vieno kintamojo funkcijas, norėdami i rodyti, kad riba taške egzistuoja, turėjome i sitikinti, kad ribos iš kairės ir dešinės egzistuoja ir be to jos sutampa Daugelio atveju, turėtume tikrinti ribas, kai artėjama prie taško, bet kokia trajektorija Pastaroji savybė dažnai naudojama, kai norima parodyti, kad taške riba neegzistuoja Kalbant konkrečiai, norint i rodyti, kad riba neegzistuoja, pakanka nurodyti keleta trajektori kuriomis artėdami prie ribinio taško gauname skirtingas funkcijos ribines reikšmes Apibrėžimas Funkcija z = f(x 1, x 2,, x n ) = f(m) yra tolydi taške M 0, jeigu lim f(m) = f(m 0 ) (1) M M 0 84
Jeigu taške M 0 (1) nėra tenkinama, tai tada taškas M 0 vadinamas funkcijos trūkio tašku Sakysime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi srityje D, jeigu ji tolydi bet kokiame šios srities taške Taškas M 1 bus trūkio tašku, jeigu 1) funkcija z = f(m) yra apibrėžta visuose taško M 1 aplinkos taškuose, išskyrus taška M 1 ; 2) funkcija z = f(m) apibrėžta visuose taško M 1 aplinkos taškuose, bet riba neegzistuoja arba lim f(m) M M 1 lim f(m) f(m 1 ) M M 1 Auksčiau paminėti požymiai sudaro prielaidas nustatyti trūkio taškus Pavyzdys Panagrinėkime funkcija kad f(x, y) = { xy x 2 +y 2, jei x 2 + y 2 0, 0, jei x 2 + y 2 = 0 Pastebėsime, kad f(0, 0) = 0 Suskaičiuokime riba, kai y artėja link 0 tiese y = 2x Turime, lim (x,2x) (0,0) x2x x 2 + (2x) 2 = 2 5 Matome, kad egzistuoja ribinė reikšmė, kuri nesutampa su funkcijos reikšme šiame taške Taigi, taške (0, 0) nagrinėjam funkcija nėra tolydi arba (1) lygybe galime perrašyti ir taip lim f(x 1 + x 1,, x n + x n ) = f(x 1, x n ) x 1 0, x n 0 lim ( f(x1 + x 1,, x n + x n f(x 1, x n ) ) = 0 (2) x 1 0, x n 0 Pažymėkime ρ = ( x 1 ) 2 + + ( x n ) 2 Nesunku suprasti, kad tada, kai x 1 0 x n 0 Remdamiesi šiais žymėjimais, (2) lygybe galime perrašyti taip ρ 0 tada ir tik lim f = 0 (3) ρ 0 Tolydžios daugelio funkcijos turi panašias savybes kaip ir vieno kintamojo funkcijos Be i rodymo paminėkime šias savybes Tarkime, kad M R n 1 Savybė Jeigu funkcija z = f(m) apibrėžta ir tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D, tai šioje srityje egzistuoja taškai, tarkime M 0 ir M 1, kuriuose funkcija i gyja didžiausia ir mažiausia reikšmes, atitinkamai, ty max f(m) = A ir min M D 85 f(m) = a M D
Kitaip tariant, A = f(m 0 ) ir a = f(m 1 ) yra didžiausia ir mažiausia funkcijos f(m) reikšmės srityje D, atitinkamai 2 Savybė Tarkime, kad a < µ < A Tarkime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D Tada egzistuoja srities D taškas M 2 toks, kad teisinga lygybė f(m 2 ) = µ 3 Savybė Tarkime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D Jeigu šioje srityje funkcija i gyja skirtingu reikšmiu ženklus, tai egzistuoja taškas N 0 D toks, kad f(n 0 ) = 0 Tikimės, kad skaitytojas atkreipė dėmesi i tai, kad minėtosios savybės tėra vieno kintamojo funkci savybiu apibendrinimas 4 Savybė Jei funkcijos f(m), g(m) yra tolydžios taške M 0, tai šiame taške yra tolydi ir šiu funkci suma, skirtumas ir sandauga Jei funkcija g(m 0 ) 0, tai šiame taške tolydus šiu funkci santykis, ty f(m)/g(m) tolydi taške M 0 73 Dalinės išvestinės Nagrinėsime n funkcija z = f(x 1,, x n ) Su koordinate x i susiekime skaičiu x i + x i, i = 1,, n; x i R Šiuo atveju sakysime, kad koordinatei x i suteikiame pokyti x i Apibrėžimas Funkcijos f daliniu pokyčiu taške (x 1, x n ), kintamojo x i atžvilgiu (žymėsime xi f), atitinkančiu argumento pokyti x i, vadinsime toki skirtuma xi f = f(x 1, x i 1, x i + x i,, x n ) f(x 1,, x n ) Suteikime laisviesiems kintamiesiems x i, i = 1, n pokyčius x i Funkcijos z = f(x 1, x n ) pilnuoju pokyčiu taške (x 1,, x n ) vadinsime toki skirtuma f = f(x 1 + x 1,, x n + x n ) f(x 1, x 2,, x n ) Apibrėžimas Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) daline išvestine kintamojo x i, i = 1,, n atžvilgiu vadinsime tokia santykio riba z x i = f x i = f(x 1, x i 1, x i + x i, x i 1,, x n ) f(x 1, x 2,, x n ) lim, x i 0 x i jei ši riba egzistuoja Priešingu atveju sakysime, kad dalinė išvestinė neegzistuoja Gana dažnai naudojamas ir toks dalinės išvestinės žymėjimas f((x 1, x 2,, x n )) x i = z x i Pastebėsime, kad jei funkcija kokiame nors taške turi visas dalines išvestines, tai dar nereiškia, kad šiame taške funkcija yra tolydi! Kai tuo tarpu nagrinėdami vieno kintamojo funkcijas galime tvirtinti, kad jei funkcija turi tolydžia išvestine taške, tai šiame taške funkcija yra tolydi Skaičiuodami dalines išvestines, kurio nors kintamojo, tarkime x 1, atžvilgiu, mes laikome, kad visi kiti laisvieji kintamieji yra konstantos ir skaičiuojame išvestine šio kintamojo atžvilgiu, tardami, kad funkcija priklauso tik nuo vieno kintamojo x 1 Sakykime, kad duota aibiu sistema A i R Tada aibiu A i, i = 1,, n tiesiogine sandauga vadinsime tokia aibe 86
A = A 1 A 2 A n = {(x 1,, x n ); x i A i } Tada vektorine erdve R n galime apibrėžti tokiu būdu R n = R R 3 TeoremaTarkime, kad A = A 1 A 2 A n, ir f A R funkcija, turinti dalines išvestines visu atžvilgiu, Y, T R Sakykime, kad 10) g i T A i, A i A visiems i {1, 2,, n} diferencijuojamos funkcijos Tada funkcijos h T Y, apibrėžtos tokiu būdu išvestinė yra lygi h(t) = f(g 1 (t),, g n (t)), t T, dh dt (t) = n f x i (g 1 (t),, g n (t)) dg i dt (t) 2) Tarkime, kad g i V A i, V R k, visiems i {1, 2,, n}, yra funkcijos, turinčios dalines išvestines visu atžvilgiu Tada galime apibrėžti funkcija h R k Y, tokiu būdu h(t) = f(g 1 (t),, g n (t)), t V Be to, šios funkcijos išvestinės t j, j = 1,, k atžvilgiu yra lygios dh dt j (t) = n f x i (g 1 (t),, g n (t)) dg i dt j (t), j {1,, k} ir t R k Pavyzdys Tarkime, kad f(x 1, x 2 ) = x 2 1(x 2 + 1), g 1 (t) = sin t, g 2 (t) = t 2 Apibrėžkime funkcija h(t) = f(g 1 (t), g 2 (t)) Tada, naudodamiesi paskutine teorema gauname, kad šios funkcijos išvestinė kintamojo t R atžvilgiu yra lygi dh f (t) = dt (g 1 (t), g 2 (t)) dg 1 x 1 dt (t) + f x 2 (g 1 (t), g 2 (t)) dg 2 dt (t) = 2 sin t(t 2 + 1) cos t + sin 2 t 2t 74 Pilnas funkcijos diferencialas Aukštesniu eiliu diferencialai Tarkime, kad funkcijos u = f((x 1, x 2,, x n )) išvestinė u x i egzistuoja kokioje nors taško M aplinkoje Taigi, šiuo atveju išvestinė nurodyto kintamojo atžvilgiu yra funkcija, x 1,, x n at=vilgiu Jeigu ši funkcija turi išvestine taško M aplinkoje kintamojo x k atžvilgiu, tai šia išvestine vadinsime pradinės funkcijos antros eilės išvestine x i, x k atžvilgiu ir šia išvestine žymėsime simboliu 2 f(m), arba u x x i x i x k k Jei i k, tai ši išvestinė bus vadinama mišria ja Visiškai analogiškai yra apibrėžiamos ir aukštesniu eiliu išvestinė, tačiau mes apie tai plačiau nekalbėsime Skaitytojas besidomintis šia problema galėtu paskaityti A Kabailos Matematinės analizės vadovėli, 2d 87
Perrašykime funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) pilna ji pokyti tokiu būdu f(x 1, x 2,, x n ) = ( f(x1 + x 1, x n + x n ) f(x 1, x 2 + x 2, x n + x n )+ f(x 1, x 2 + x 2, x n + x n ) f(x 1, x 2, x 3 + x 3, x n + x n ) +(f(x 1, x i, x n + x n ) ) f(x 1, x 2,, x i + x i, x n + x n )) + +(f(x 1, x n 1, x n + x n ) f(x 1, x 2,, x n )) (4) Taikydami Lagranžo teorema skirtumui f(x 1, x i + x i, x n + x n ) f(x 1, x i, x i+1 + x i+1,, x n + x n ), i = 1,, n gauname tokia lygybe f(x 1, x i + x i, x n + x n ) f(x 1, x i, x i+1 + x i+1,, x n + x n ) = x i f(x 1,, x i 1 + x i 1, η, x i+1 + x i+1 x n ) x i, Remdamiesi (5) lygybe iš (4) sa ryšio gauname Pastebėkime, kad x i η x i + x i (5) f = f(η 1, x 2, x 3,, x n ) x 1 x 1 + f(x 1, x 2,, η n ) x n x n (6) f(x 1,, x i 1, η, x i+1,, x n ) lim = f((x 1, x 2,, x n )) x i 0 x i x i i = 1, n Remdamiesi paskutiniosiomis lygybėmis, iš (6) gauname, kad f = f((x 1, x 2,, x n )) x 1 x 1 + f((x 1, x 2,, x n )) x 2 x 2 + + Pastebėsime, kad dydžiai f((x 1, x 2,, x n )) x n + α 1 x 1 + + α n x n (7) α 1 x 1 ρ,, α n x n ρ yra nykstami, kai ρ 0, kadangi x 1 / ρ 1 x n / ρ 1, (ty yra aprėžti), o α i, i = 1 n, yra nykstami Beje, (7) lygybėje pirmieji n dėmenu yra tiesiniai, pokyčiu x i atžvilgiu Jeigu dalinės išvetinės z x i yra nelygios nuliui, kokiame nors taške, tai šiame taške (7) lygybės pirmieji n dėmenu sudaro pagrindine funkcijos pokyčio dali, kadangi like dėmenys yra aukštesnės eilės nykstami dydžiai 88
Apibrėžimas Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) pilnojo pokyčio šios funkcijos pilnuoju diferencialu ir žymėsime pagrindine dali vadinsime dz = f x 1 x 1 + + f x n x n (7) lygybe galime perrašyti ir taip z = dz + α 1 x 1 + + α n x n Matome, kad z dz Pastaroji lygybė dažnai naudojama apytiksliams skaičiavimams Kalbant kiek konkrečiau, perrašykime šia apytiksle lygybe tokiu būdu f(x 1 + x 1, x n + x n ) f((x 1, x 2,, x n )) + f x 1 x 1 + f x n x n Laisvu pokyti ateityje žymėsime simboliais dx i = x i, i = 1,, n Naudodami šiuos žymėjimus, funkcijos z pilna ji diferenciala perrašome taip dz = f x 1 dx 1 + + f x n dx n Taigi, jei funkcija z = f(x 1,, x n ), tai funkcijos pilnasis diferencialas yra lygus dz = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 + + f x n dx n Apibrėžimas Funkcijos z antros eilės diferencialu vadinsime pirmos eilės diferencialo, diferenciala Visu pirma panagrinėkime dvie funkcija z = f(x, y) Suskaičiuokime šios funkcijos antros eilės diferenciala Turime, kad d 2 z = d(dz) = d ( f x 1 dx 1 + + f x n dx n ) Pastebėsime, kad x i, i = 1,, n, yra laisvieji kintamieji, todėl (x i ) x j = 0, i j Tada d 2 z = ( dz ) x 1 x 1 + + ( dz ) x n x n = f x 1 ( x 1 ) 2 + f x n ( x n ) 2 + 2 1 i<j n f x i x j x i x j dz = f x 1 x 1 dx 2 1 + f x 2 x 2 dx 2 2 + + f x n x n dx 2 n+ 2 n i,j=1 i j f x i x j dx i dx j Nesunku suprasti, kad paskutini ji diferenciala galime perrašyti ir taip d 2 z = n i,j=1 f x i x j dx i dx j 89
Apibrėžimas Funkcijos y = f(x 1, x n ), k os eilės diferencialas yra lygus k 1 eilės diferencialo, diferencialui Kitaip tariant, norint rasti aukštesnės eilės diferenciala, reikia mokėti skaičiuoti žemesnės eilės diferencialus Praktiškai susidursime tik su antros eilės diferencialais, todėl apie aukštesnės eilės diferencialus plačiau nekalbėsime 75 Sudėtinės ir neišreikštinės funkcijos išvestinės ir diferencialai Tarkime, kad duota funkcija z = F (u, v), o funkcijos u, v yra laisvu x, y funkcijos, ty u = ϕ(x, y) ir v = ξ(x, y) Taigi, funkcija F yra sudėtinė, dvie funkcija Laikome, kad funkcijos u ir v yra tolydžios nagrinėjamoje srityje Apskaičiuokime šios funkcijos dalines išvestines laisvu atžvilgiu Suteikime laisva jam kintama jam pokyti x, o tuo tarpu y laikykime fiksuotu Tada funkcijos u ir v taip pat pakinta dydžiais x u ir x v Bet tada funkcija F irgi pakinta, o jos pokytis yra toks z = F u x u + F v x v + α 1 x u + α 2 x v Padaline abi paskutiniosios lygybės puses iš x ir perėje prie ribos, kai x 0 gauname, kad ir x u 0 ir x v 0 (kadangi funkcijos yra tolydžios) Tada z x = F uu x + F vv x Visiškai analogiškai samprotaudami gauname, kad z y = F uu y + F vv y Beje, jeigu z = F (u 1,, u m ) ir u i = (x 1, x n ), i = 1, m, tai tada z x i = F u i u i x1 + F u i u i xn, i = 1,, m Žinodami funkcijos dalines išvestines galime užrašyti šios funkcijos diferenciala Tikimės, kad tai su malonumu atliks skaitytojas Panagrinėkime funkcija F (x, y) = 0, be to y = y(x) Pasirodo, kad nors ir negalime pačios funkcijos išreikšti laisvuoju kintamuoju x, bet išvestinės šia savybe turi Teisinga tokia teorema 4 Teorema Tarkime, kad funkcija y = y(x), apibrėžta lygtimi F (x, y) = 0, čia F (x, y), F x, F y yra tolydžios funkcijos apibrėžimo srityje D Tarkime, kad (x, y) D, F y(x, y) 0 Tada egzistuoja išvestinė y x kuri skaičiuojama tokiu būdu y x = F x(x, y) F y(x, y) Tarkime, kad funkcija y = y(x) apibrėžta lygtimi F (x, y) = 0 Suteikime laisva jam kintama jam x pokyti x Suprantama, kad funkcija y = y(x) i gys pokyti y Iš lygybės F (x, y) = 0 gauname, kad F (x + x, y + y) = 0 Bet tada F (x + x, y + y) F (x, y) = 0 Paskutinysis skirtumas yra dvie funkcijos pilnasis pokytis, kuris yra lygus 90
F (x + x, y + y) F (x, y) = F x x + F y y + α 1 x + α 2 y Bet paskutiniosios lygybės kairioji pusė yra lygi nuliui Tada išplaukia, kad F x x + F y y + α 1 x + α 2 y = 0 Padaline šia lygybe iš x ir perėje prie ribos, kai x 0, gauname lim F x + F y y x 0 x + α y 1 + α 2 x = 0 arba y xf y + F x = 0 Iš paskutiniosios lygybės išplaukia teoremos i rodymas 76 Daugelio funkcijos ekstremumai Mažiausiu kvadratu metodas Funkcijos z = f(x, y) lokalinio maksimumo ir minimumo taškus vadinsime šios funkcijos ekstremumo taškais Šio skyriaus pradžioje pateiktus minimumo ir maksimumo apibrėžimus šiek tiek perfrazuokime Pažymėkime, x = x 0 + x, y = y 0 + y Tad funkcijos f pilna pokyti galime perrašyti taip f(x, y) f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) Remdamiesi ekstremumo apibrėžimu galime tvirtinti, kad 1 jei egzistuoja laisvu pokyčiai, x, y, tokie, kad f(x 0, y 0 ) < 0, tai taškas (x 0, y 0 ) yra lokalinio maksimumo taškas; 2 jei egzistuoja laisvu pokyčiai, x, y, tokie, kad f(x 0, y 0 ) > 0, tai taškas (x 0, y 0 ) yra lokalinio minimumo taškas; 5 Teorema (Būtina ekstremumo egzistavimo sa lyga dvie atveju )Jeigu taškas (x 0, y 0 ) yra funkcijos z = f(x, y) lokalinio ekstremumo taškas, tai bet kokia pirmos eilės dalinė išvestinė šiame taške arba lygi nuliui arba neegzistuoja Šios teoremos i rodymas panašus i vieno kintamojo funkcijos atveji, tereikia fiksuoti viena iš laisvu Tai atlikti paliekame skaitytojui Taškus, kuriuose dalinės išvestinės arba neegzistuoja arba yra lygios nuliui, vadinsime funkcijos kritiniais taškais Pateiksime keleta be i rodymo teiginiu, kuriuose bus nurodytos pakankamos, ekstremumo egzistavimo sa lygos Visu pirma suformuluokime pagrindine teorema, kurios dėka bus galima nustatyti dvie funkcijos ekstremumo taškus Pažymėkime A = z xx(x 0, y 0 ), B = z xy(x 0, y 0 ), C = z yy(x 0, y 0 ), ir D = AC B 2 6Teorema Tarkime, kad taško (x 0, y 0 ) aplinkoje funkcija turi tolydžias dalines (iki trečios eilės imtinai) išvestines Be to tarkime, kad taškas (x 0, y 0 ) yra funkcijos z = f(x, y) kritinis taškas Tada šis taškas yra funkcijos f(x, y) 1 lokalinio maksimumo taškas, jeigu D > 0 ir A < 0; 2 lokalinio minimumo taškas, jeigu D > 0 ir A > 0; 3 ekstremumo nėra, jei D < 0; 4 situacija neapibrėžta ir reikia te sti nagrinėjima, jeigu D = 0 Be i rodymo pateiksime daugelio funkcijos ekstremumo egzistavimo būtinas ir pakankamas sa lygas Tegu z = f(x 1,, x n ) Be to ρ = dx 2 1 + + dx2 n 91
7 Teorema (Funkcijos, turinčios dalines išvestines, būtinos ekstremumo egzistavimo sa - lygos) Tarkime, kad funkcija z turi tolydžias, antros eilės dalines išvestines, kokioje nors taško M 0 R n aplinkoje Jei taškas M 0 yra funkcijos maksimumo taškas, tai tada egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r teisinga nelygybė d 2 z 0 Jei taškas M 0 yra funkcijos minimumo taškas, tai tada egzistuoja taško aplinka B(M 0, r) tokia, kad visiems ρ r teisinga tokia nelygybė d 2 z 0 (Pakankamos ekstremumo egzistavimo sa lygos) Tarkime, kad z = f(x 1,, x n ) turi tolydžias antros eilės dalines išvestines taško M 0 aplinkoje Jeigu df(m 0 ) = 0 ir egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r, d 2 f(m) < 0, tai taškas M 0 yra funkcijos lokalaus maksimumo taškas Jeigu df(m 0 ) = 0 ir egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r, d 2 f(m 0 ) > 0, tai taškas M 0 yra funkcijos lokalaus minimumo taškas Pastebėsime, kad pateiktas ekstremumo tašku radimo, bei ekstremumo pobūdžio nustatymon metodas praktiškai taikant gana nepatogus Panagrinėkime pakankamas ekstremumo egzistavimo sa lygas (6 Teorema) kiek kitu būdu Apibrėžkime keleta nau sa voku Apibrėžimas Funkcija h R n R apibrėžta lygybe h(x) = a ij x i x j, x = (x 1,, x n ) 1 i,j n vadinsime kvadratine forma Kvadratine forma vadinsime teigiamai apibrėžta, ( neigiamai apibrėžta), jei h(x) > 0, (h(x) < 0) visiems x R n Šios formos elementu matrica a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn vadinsime kvadratinės formos matrica Beje, ši matrica yra simetrinė, ty a ij = a ji, i, j {1, n} Matricos A pagrindiniais minorais vadinsime tokius detarminantus A 1 = a 11, A 2 = a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 A 3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 1n a A n = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Pasirodo, kad kvadratinė forma yra teigiamai apibrėžta, jei paskutinės matricos visi pagrindiniai minorai A k, k = 1,, n yra teigiami Kvadratinė forma yra neigiamai apibrėžta, jei pagrindiniu minoru ženklai išsidėste tokia seka ( 1) k A k > 0, ty A 1 < 0, A 2 > 0, A 3 < 0, Kvadratine forma vadinsime neapibrėžta, jei ši forma nei teigiamai, nei neigiamai nėra apibrėžta bei nėra lygi nuliui Pažymėje a ij = 2 f(x 0 ), x i x j matome, kad antrasis diferencialas yra kvadratinė forma Beje, šios formos matrica yra simetrinė Nesunku pastebėti, kad daugelio funkcijos antrasis diferencialas taške x 0, yra kvadratinė forma pokyčiu atžvilgiu 92
Aišku, kad nustatant kritiniu tašku pobūdi galime naudotis 6 teorema Taigi, kritinis taškas bus lokalinio minimumo taškas, jei antrasis diferencialas (kvadratinė forma) šiame taške yra teigiamai apibrėžta ir taškas bus lokalinio maksimumo taškas, jei kvadratinė forma šiame taške bus neigiami apibrėžta Tuo atveju, kai nagrinėjamame taške kvadratinė forma neapibrėžta, tai nagrinėjamas taškas nėra ekstremumo taškas Jei kvadratinė forma taške lygi nuliui, tai šiuo atveju reikėtu nagrinėti funkcijos pokyti šiame taške ir nustatyti ar funkcijos pokytis išlaiko pastovu ženkla šio taško aplinkoje ar ne Jei egzistuoja taško aplinka, kurioje funkcijos pokyčio ženklas nekinta, tai šis taškas yra funkcijos ekstremumo taškas, priešingu atveju- ne Pavyzdys Tarkime, kad maisto pramonės i monė gamina dvie rūšiu tarkime A ir B pavadinimu varškės sūrelius A rūšies sūreliai kainuoja 70ct, o B 80ct Pažymėkime šiu produktu kiekius q A ir q B atitinkamai Sakykime, kad šiu produktu pardavimai žinoma ir nustatomi tokiomis formulėmis q A = 240(p B p A ), q B = 240(150 + p A 2p B ), p A ir p B yra vieneto, atitinkamu produktu, pardavimo kainos centais Tarkime, kad P yra i monės pelnas Nustatykime produktu pardavimo kaina, kuri maksimizuotu gaunama i monės pelna Pastebėsime, kad produkto A pelnas pardavus vieneta yra p A 70, atitinkamai Bpelnas p b 80 Turime, kad P = (p A 70)q A + (p b 80)q B = (p A 70) ( 240(p B p A )big) + (p B 80) ( 240(150 + p A 2p B ) ) Rasime kritinius šios funkcijos taškus Tad skaičiuojame dalines išvestines { P p A = (p A 70) ( 240 ) + (p B p A )240 + (p B 80)240 = 0, P p B = (p A 70) ( 240 ) + (p B 80)( 2)240 + (150 + p A 2p B )240 = 0 Pertvarke paskutinia ja sistema gauname { pb p A 5 = 0, 2p B + p A + 120 = 0 Nesunkiai randame šios sistemos sprendini p A = 110, p B = 115 Be to 2 P 2 P 2 P p 2 = 480, A p 2 = 960, = 480 B p A p B Remdamiesi 5 Teorema tvirtiname, kad maksimalus pelnas bus gaunamas, jei pirmojo produkto pardavimo kaina bus p A = 110, o antrojo- p B = 115 Mažiausiu kvadratu metodas glaudžiai susije s su daugelio funkcijos ekstremaliu reikšmiu paieškos uždaviniais Trumpai aptarsime mažiausiu kvadratu metodo esme Sakykime, kad eksperimento metu reikia nustatyti dvie dydžiu, tarkime y ir x funkcini ryši y = ϕ(x) Laikykime, kad eksperimento metu atitinkamoms n argumento x reikšmėms buvo gauta n funkcijos y reikšmiu Kitaip tariant ϕ(x i ) = y i, i = 1,, n Gauta sias tašku poras atidedame Dekarto koordinačiu sistemoje Gausime tam tikros atitikties grafika Kyla klausimas, kiek šios atitikties grafikas skiriasi nuo teorinės funkcijos grafiko arba kiek eksperimentinė funkcija skiriasi nuo teorinės funkcijos? Priklausomai nuo to, kaip išsidėste eksperimentinio grafiko taškai, mes parenkame šiuos taškus aproksimuojančia funkcija Tarkime, kad parinkome kokia nors funkcija y = ϕ(x, a 1, a m ), priklausančia nuo m parametru Mūsu užduotis parinkti tuos parametrus 93
taip, kad funkcija ϕ kuo tiksliau atspindėtu praktinio eksperimento rezultatus Šiai užduočiai atlikti dažnai naudojamas mažiausiu kvadratu metodas Aptarsime šio metodo esme Sudarykime funkcija S = S(a 1,, a m ) = n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) 2 Minėto metodo esmė- minimizuoti funkcija S Kitaip tariant reikia rasti parametru a 0 1, a 0 m reikšmes taip, kad m funkcija S i gytu minimalia reikšme Žinome, kad minimumo būtina egzistavimo sa lyga yra tokia arba S a i = 0, i = 1,, m n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a 1 = 0, n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a 2 = 0,, n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a m = 0 Turime m lygčiu su m nežinomaisiais Išsprende šia sistema rasime parametru a i reikšmes, kurie yra funkcijos S = S(a 1,, a m ) galimo minimumo taškai Tuo pačiu radome pasirinkto pobūdžio funkcija, kuri geriausiai aproksimuoja praktinius duomenis Pavyzdys Aproksimuokime (priartinkime) praktiniu duomenu funkcija tiesine funkcija y = ax + b Turime, kad n ( S(a, b) = yi (ax i + b) ) 2 Sudarykime (8) sistema Turėsime S a = 2 n ( yi (ax i + b) ) x i = 0, S b = 2 n ( yi (ax i + b) ) = 0 Ši sistema turi sprendini (kodėl?) Beje, šis taškas yra minimumo taškas (kodėl?) 77 Sa lyginiai ekstemumai Lagranžo daugikliu metodas Sprendžiant taikomojo pobūdžio uždavinius dažnai tenka susidurti su daugelio funkci ekstremaliu reikšmiu paieška, kai funkcijos argumentai tenkina tam tikras papildomas sa lygas Funkcijos ekstremalias reikšmes, kai funkcijos argumentai tenkina papildomas sa lygas, vadinsime sa lyginiu funkcijos ekstremumu Šiame skyrelyje aptarsime šia problema Pradžioje panagrinėkime pavyzdi Pavyzdys Raskime funkcijos z = x 2 +y 2 ekstremalia reikšme, su papildoma sa lyga x+y 1 = 0 Nagrinėjama funkcija yra apibrėžta visoje plokštumoje R 2 Mes ieškosime ekstremalios funkcijos reikšmės ne visoje plokštumoje, bet tik tiesėje x + y 1 = 0 Pastebėsime, kad paskutinėje lygtyje kintamieji y ir x siejami labai paprastu būdu Išreiške kintama ja, pavyzdžiui, y per x gauname, kad y = 1 x ir i raše pastara ja išraiška i pradine lygti gauname, kad 94 (8)
z = 2x 2 2x + 1 Šios vieno kintamojo funkcijos ekstremumo reikšme randame lengvai, būtent, taške x = 05 nagrinėjama funkcija i gyja minimuma, kuris lygus z(05) = 05 Taigi, nagrinėjama funkcija i gyja sa lygini minimuma plokštumos taške (05, 05) Suformuluokime ir aptarkime ekstremumo paieškos problema, kai ryšio lygtyse galime išreikšti nežinomuosius ir juos i raše i nagrinėja funkcija, mes sprendžiama problema transformuojame i daugelio funkcijos besa lyginio ekstremumo radimo uždavini Tarkime, kad reikia rasti m + n funkcijos u = f(x 1,, x n, y 1,, y m ) (9) ekstremalia reikšme, kai papildomos sa lygos aprašytos tokiomis lygtimis F 1 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, F 2 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, (10), F m (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, Pažymėkime M 0 = M 0 (x 0 1,, x 0 n, y 0 1,, y 0 m) Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija (9) i gyja lokalu ji ekstremuma taške M 0 kai taško koordinatės tenkina ryšio lygtis (10), jeigu egzistuoja šio taško aplinka B(ɛ, M 0 ) tokia, kad visiems taškams M B(ɛ, M 0 ), M M 0 ir tokiems, kad šie taškai M tenkina (10) ryšio lygtis, o funkcijos reikšmės tenkina viena iš nelygybiu f(m) > f(m 0 ) arba f(m) < f(m 0 ) Šiame skyrelyje mes nenagrinėsime teorinės problemos- kad galima m ryšio lygtyse m - išreikšti likusiais n kintamaisias Apie tai skaitytojas plačiau galėtu rasti A Kabailos vadovėlyje Matematinė analizė II d Tarkime, kad kokioje nors erdvės dalyje (srityje) ryšio lygtis galime pakeisti tokiu funkci sistema y 1 = φ 1 (x 1,, x n ) y 2 = φ 2 (x 1,, x n ), (11), y m = φ m (x 1,, x n ) Kitaip tariant, funkcijos φ i, i = 1,, m yra (x 2 ) sistemos sprendiniai I raše šias funkcijas i (9) gauname sudėtine funkcija, priklausančia nuo n Φ(x 1,, x n ) = f ( x 1,, x n, φ 1 (x 1,, x n ), φ 2 (x 1,, x n ),, φ m (x 1,, x n ) ) (12) Kitaip tariant, sa lyginio ekstremumo problema perkeliame i besa lyginio ekstremumo radimo uždavini Nurodykime būtinas funkcijos (12) ekstremumo egzistavimo sa lygas Kai ir minėjome, nagrinėjama funkcija yra n funkcija taigi, jei taškas M 0 yra ekstremumo taškas, tai funkcijos Φ diferencialas šiame taške turi būti lygus nuliui Φ(M 0 ) x 1 dx 1 + + Φ(M 0) x n dx n = 0 Naudodamiesi diferencialo invariantiškumu, paskutinia ja lygybe perrašome tokiu būdu 95
f(m 0 ) x 1 dx 1 + + f(m 0) x n dx n + f(m 0) y 1 dy 1 + + f(m 0) dy m = 0 (13) Tarkime, kad i ryšio lygčiu sistema (10) i rašėme funkcijas φ i, i = 1,, m iš sistemos (11) Kadangi sistemos (11) funkcijos buvo išreikštos iš (10) sistemos, tai iš tiesu mes gauname tapatybes, kurias diferencijuodami, gauname sistema F 1 (M 0 ) x 1 dx 1 + + F 1(M 0 ) x n dx n + F 1(M 0 ) y 1 dy 1 + + F 1(M 0 ) dy m = 0,, F m (M 0 ) x 1 dx 1 + + F m(m 0 ) x n dx n + F m(m 0 ) y 1 dy 1 + + F m(m 0 ) dy m = 0 Pastebėkime, kad laikydami diferencialus dy j nežinomaisias, o dx i paskutiniosios sistemos lygtyse perkėle i dešine puse gausime lygčiu sistema, kurioje m lygčiu ir m nežinomu Tokia sistema galime išspre sti dy j atžvilgiu, pavyzdžiui naudodami Kramerio metoda, jei šios sistemos determinantas nelygus nuliui, ty F 1 F 1 F m y 1 0 F m Gauta sias dy j išraiškas sprendinius i raše i (13) lygybe gauname lygti A 1 dx + + A n dx n = 0, čia reiškiniai A i gauti sutraukus panašius narius kai, i (13) lygybe buvo i rašytos dy j išraiškos per dx i Taigi, būtinos sa lyginio ekstremumo egzistavimo sa lygos yra tokios A 1 = 0, A n = 0, F 1 = 0,, F m = 0 Kitaip tariant, norint nustatyti potencialu ekstremumo taška, priklausanti erdvei R n+m, turime rasti paskutinės sistemos sprendini Pavyzdys Raskime funkcijos f(x, y, z) = x 2 +2y z 2 kritinius taškus, kai papildomos sa lygos { 2x y = 0, y + z = 0 (14) Kadangi paskutinėje sistemoje dvi lygtys ir vienas nežinomasis, tai viena nežinoma ji pasirinke laisvuoju, kitus du galime išreikšti per pasirinkta ji Pasirinkime laisvuoju nežinomuoju x Tada iš sistemos gauname, kad y = 2x, z = 2x = g(x) I raše gauta sias nežinomu išraiškas i funkcijos formule gauname vieno kintamojo funkcija f(x, 2x, 2x) = 3x 2 + 4x Šios funkcijos išvestinė lygi g (x) = 6x + 4 Taigi, šios funkcijos kritinis taškas yra 2/3 Vadinasi pradinės funkcijos kritinis taškas bus ( 2 3, 4 3, 4 3 ) Pastebėsime, kad ne visada taip paprasta ryšio lygtyse išreikšti vienus nežinomuosius kitais, kartais netgi nei manoma, todėl šiuo atveju praverčia kitas metodas, kuris vadinamas Lagranžo neapibrėžtiniu daugikliu metodu Šio metodo esmė- simetrizavimas vienodas traktavimas 96
Padauginkime (14) sistemos visas lygtis iš konstantu λ 1,, λ m atitinkamai Po to kiekviena šios sistemos lygti sudėkime su (13) lygtimi Gausime toki reiškini čia Ψ dx 1 + + Ψ dx n + Ψ dy 1 + + Ψ dy m = 0, x 1 x n y 1 Ψ = f + λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + + λ m F m Šia funkcija vadinsime Lagranžo funkcija Parinkime konstantas λ 1,, λ m taip, kad Tai padaryti visada galima, kadangi Ψ = 0,, Ψ = 0 (15) y 1 F 1 F 1 F m y 1 F m 0 Kai nurodytu būdu parenkame konstantas λ i, iš (14) lygybės gauname toki sa ryši Ψ dx 1 + + Ψ dx n = 0 x 1 x n Pastebėsime, kad x 1,, x n yra laisvi nežinomieji, taig paskutinioji lygybė galima tik tuo atveju, jei Ψ = 0,, Ψ = 0 x 1 x n Prie paskutiniu lygybiu prijunge (15) lygybes bei ryšio lygtis gauname n + 2m lygčiu sistema Ψ y 1 = 0,, Ψ = 0 Ψ x 1 = 0,, Ψ x n = 0 (16) F 1 = 0,, F m = 0 Pastebėsime, kad šioje sistemoje yra vienodas lygčiu ir nežinomu skaičius Taigi, spre sdami šia sistema nustatome konstantu λ 1,, λ m reikšmes, bei randame galimo ekstremumo koordinates Pakankamos ekstremumo radimo sa lygos Tarkime, kad taškas M 0 tenkina (16) sistema Laikome, kad funkcijos f, F 1,, F m yra du kartus tolydžiai diferencijuojamos nagrinėjamoje srityje (pakanka taško M 0 aplinkoje) Iš Lagranžo funkcijos konstrukcijos išplaukia, kad Lagranžo funkcijos ir pradinės funkcijos f ekstremumo taškai sutampa Vadinasi, jei prie sistemos (16) prijungsime kvadratinės formos d 2 Ψ apibrėžtumo sa lyga, galėsime nustatyti taško M 0 pobūdi Būtent, jei d 2 Ψ(M 0 ) > 0, tai nagrinėjamame taške funkcija i gyja minimuma, o jei d 2 Ψ(M 0 ) < 0 maksimuma Pastebėsime, kad d 2 Ψ = ( x 1 dx 1 + + x n dx n + y 1 dy 1 + + Ψ y 1 d 2 y 1 + + Ψ d 2 y m 97 ) 2Ψ+ dy m
Remdamiesi (16) sistema gauname, kad d 2 Ψ = ( x 1 dx 1 + + x n dx n + y 1 dy 1 + + dy m ) 2Ψ (17) Taigi, antraji diferenciala nagrinėjame lyg visi kintamieji x 1,, x n, y 1, y m būtu laisvi, o nustatydami šio diferencialo (kvadratinės formos) apibrėžtuma mes išreikšime dy j per dx 1,, dx n, žr sistema (14) Pavyzdys Raskime funkcijos f(x, y, z) = xy + yz, sa lyginio ekstremumo taškus, kai { x 2 + y 2 = 2, y + z = 2, x > 0y > 0, z > 0 Ši uždavini būtu galima spre sti Lagranžo daugikliu metodu, tačiau tuo atveju, kai ryšio lygtyse nežinomuosius galime išreikšti vienus kitais (nagrinėjamu atveju yra dvi lygtys ir trys nežinomieji, taigi laikydami viena nežinoma ji laisvuoju galime du nežinomuosius išreikšti per viena ) žymiai supaprastiname uždavinio sprendima Taigi, laikydami laisvuoju nežinomuoju kintama ji y gauname, kad z = 2 y, x = 2 y 2 (18) I raše šias nežinomu išraiškas i pradine funkcijos formule gauname tokia vieno kintamojo funkcija f(x, y, z) = y 2 y 2 + y(2 y) = g(y) Ieškodami šios funkcijos kritiniu tašku skaičiuojame šios funkcijos išvestine ir lyginame ja nuliui Gauname g (y) = 2 2y2 + (2 2y) 2 y 2 2 2y 2 = 0 Iš paskutiniosios lygybės gauname, kad 2(1 y)(1 + y + 2 y 2 ) = 0 Kadangi y > 0, tai iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad y = 1 Taigi, funkcija g(y) turi kritini taška y = 1 Nagrinėdami paskutinia ja lygybe nustatome, kad kairėje šio taško aplinkoje funkcijos išvestinė teigiama, o dešinėje- neigiama Taigi, y = 1 yra funkcijos g(y) lokalinio maksimumo taškas Naudodamiesi šia y reikšme ir (18) lygybėmis, randame sa lygini maksimumo taška nustatome M = (1, 1, 1) Beje, funkcijos reikšmė šiame taške f(m) = 2 Pavyzdys papildoma sa lyga Raskime funkcijos y = f(x, y, z) = xyz, ekstremumo taškus, kai tenkinama Sudarykime Lagranžo funkcija xy + xz + yz = 1, x, y, z > 0 F (x, y, z, λ) = xyz + λ(xy + xz + yz 1) 98
Skaičiuojame šios funkcijos dalines išvestines visu atžvilgiu ir lyginame nuliui F x = yz + λ(y + z) = 0, F y = xz + λ(x + z) = 0, F z = yx + λ(y + x) = 0, = yz + xy + xz 1 = 0 F λ Paskutiniosios sistemos pirma ja lygti padaugine iš x, antra ja iš y, o trečia ja iš z ir sudėj jas visas, bei turėdami omenyje sistemos ketvirta lygti gauname, kad λ = 3xyz 2 I raše gauta lygybe i sistemos pirma sias tris lygtis gauname yz ( 1 3x 2 (y + z)) = 0, xz ( 1 3y 2 (x + z)) = 0, yx ( 1 3z 2 (y + x)) = 0 Iš pirmu dvie sistemos lygčiu gauname, kad x = y, o iš antrosios ir trečiosios- y = z iš pastaru 1 lygybiu ir pirmosios sistemos ketvirtos lygties gauname, kad x = y = z = 3 Norint nustatyti šio taško pobūdi (min ar max,) naudojant formalius argumentus, tektu atlikti gana sudėtinga technini darba, ty nustatyti (17) kvadratinės formos apibrėžtuma Šiuo konkrečiu atveju mums to daryti nereikės, kadangi nagrinėjama funkcija yra stačiakampio gretasienio su matmenimis x, y, z tūris Taigi, nagrinėjamas taškas (1, 1, 1) yra sa lyginio maksimumo taškas Beje, tūrio reikšmė f(1, 1, 1) = 1 1 3 3 Uždaviniai 1 Raskite bei pavaizduokite sritis, kuriose apibrėžtos pateiktos funkcijos a) f(x, y) = 1 x 2 + 1 y 2, b) f(x, y, z) = ln(xyz); c) f(x, y) = arcsin x y 2 Nustatykite ar egzistuoja riba 3 Raskite funkcijos ribine reikšme tiese y = 2x, kai x 4 Parodykite, kad funkcijos lim x 0, y 0 2xy x 2 + y 2 f(x, y) = x 2 e x2 y f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y kartotinės ribos ( lim lim f(x, y) ) ( ir lim lim f(x, y) ) x 0 y 0 y 0 x 0 99
neegzistuoja, bet egzistuoja riba x 0, lim f(x, y) = 0 y 0 5 Raskite ribas 6 Patikrinkite ar funkcija a) lim x, y x + y x 2 xy + y 2 ; b) lim (x 2 + y 2 )e (x+y) x, y f(x, y) = yra tolydi tiesės y = 3x taške (0, 0) 7 Nustatykite pateiktu funkci trūkio taškus { x 2 y x 4 +y, 2 x 2 + y 2 0, 0, x 2 + y 2 = 0 a) f(x, y) = xy 1 x + y ; b) f(x, y, z) = ; c) f(x, y) = x y xyz x 3 + y 3 ; 8 Raskite f x(x, 1), f y(1, 1), jeigu x f(x, y) = x + (y 1)arcsin( y ) 9 Raskite pateiktu funkci pirmos ir antros eilės diferencialus a) f(x, y) = ( x y ) x y ; b) f(x, y) = e xy ; c) f(x, y) = ln x 2 + y 2 ; d) f(x, y) = arctg x + y 1 + xy 10 Raskite 9 užduotyje pateiktu funkci pirmo ir antros eilės diferencialu reikšmes taške (1, 1), (0, 1), atitinkančius pokyčius x = 01, y = 02 11 Raskite pateiktu funkci kritinius taškus, bei nustatykite pobūdi a) fx, y = x 2 + y 2 5x + 4y + xy, b) f(x, y) = xy 1 x 1 y c) f(x, y) = x 3 3xy + y 2 + y 5, d) f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z 12 Raskite funkci sa lyginio ekstremumo taškus, naudodami Lagranžo metoda a) f(x, y, z) = xy + zy, kai x 2 + y 2 = 8, yz = 8; b) f(x, y, z) = xyz, kai x + y + z = 12, x + y z = 0; c) f(x, y, z) = x 2 + xy + 2y 2 + z 2, kai x 3y 4z = 16; d) f(x, y, z, u) = 2x 2 + 2y 2 + 3z 2 4u 2, kai 4x 8y + 6z + 16u = 6 100