ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b
Copyright Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332
Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Δοκός σε εφελκυσμό 3. Δοκός σε στρέψη 4. Δοκός σε κάμψη
Εισαγωγή 1
1. Εισαγωγή ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ συνδεσμολογία πεπερασμένου πλήθους δυναμικών στοιχείων (μάζα, ελατήριο και αποσβεστήρα) η απόκριση καθορίζεται από χωρική κατανομή & ιδιότητες υλικού κατασκευής ανάρτηση οχήματος αμάξωμα οχήματος πτερύγιο αεροσκάφους άξονας μηχανής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΑΡΧΗ LAGRANGE
Δοκός 2 σε εφελκυσμό
2. Δοκός σε εφαλκυσμό μονόπακτη δοκός (πρόβολος) σε εφελκυσμό... (θερμοκρασιακή συστολή / διαστολή) u(x, t) κινηματική μεταβλητή κατανεμημένο εφαλκυστικό φορτίο δοκός συνεχές μέσο...... άπειρο πλήθος σημείων άπειρο πλήθος κινηματικών μεταβλητών ❶? κατάστρωση εξίσωσης κίνησης συστήματος με άπειρο πλήθος κινηματικών μεταβλητών...
2. Δοκός σε εφαλκυσμό κατάστρωση εξίσωσης κίνησης συστήματος με άπειρο πλήθος κινηματικών μεταβλητών υπόθεση Α... μεταβλητές ρ, Α, Ε σταθερές κατά τον x υπόθεση Β... υλικό δοκού γραμμικά ελαστικό ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx... μηχανική παραμορφωσίμου σώματος αξονική παραμόρφωση ❷
2. Δοκός σε εφαλκυσμό νόμος Hooke αξονική παραμόρφωση μέτρο ελαστικότητας (Young) εμφάνιση αξονικής τάσης οπότε, από ❷ και ❸ ❹
2. Δοκός σε εφαλκυσμό επίσης, από... στατική ισορροπία... (ανάπτυγμα Taylor) ❺ οπότε, από ❹ και ❺... ❻
2. Δοκός σε εφαλκυσμό επίσης, από Αρχή D Alambert... κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος φορά αντίθετη της συνισταμένης των εξωτερικών δυνάμεων ❼ υπόθεση... dx << ταχύτητα = σταθερή ❽
2. Δοκός σε εφαλκυσμό ❽ ❾ αφορά ΚΑΘΕ στοιχειώδες τμήμα δυνάμεις αδράνειας δυνάμεις ελαστικότητας εξωτερικές δυνάμεις τυπικό δυναμικό σύστημα m-k ❾ αφορά ΟΛΟ το δυναμικό σύστημα
2. Δοκός σε εφαλκυσμό υπολογισμός όρων Lagrange για ❾ κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται στη μάζα dm) δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω ελαστικότητας Ε του υλικού) δεν διαχέεται ενέργεια (υλικό γραμμικά ελαστικό δε διαθέτει χαρακτηριστικά απόσβεσης) εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια
2. Δοκός σε εφαλκυσμό υπολογισμός όρων Lagrange για ολόκληρο τον φορέα... κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται στη μάζα dm) δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω ελαστικότητας Ε του υλικού)
2. Δοκός σε εφαλκυσμό δεν διαχέεται ενέργεια (υλικό γραμμικά ελαστικό δε διαθέτει χαρακτηριστικά απόσβεσης) εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... δυνατή ολοκλήρωση υπολογισμός μετατόπισης u(x, t)
Δοκός 3 σε στρέψη
3. Δοκός σε στρέψη μονόπακτη δοκός (πρόβολος) σε στρέψη... πυκνότητα μέτρο διάτμησης κατανομή υλικού σταθερή σε όλο το μκος της ράβδου... λόγω ομοιόμορφα κατανεμημένης ροπής σε όλο το μήκος της ράβδου... λόγω συγκεντρωμένης ροπής στο ελεύθερο άκρο της ράβδου... κυκλικής διατομής συμμετρικό σχήμα σταθερό εμβαδόν Α & πολική ροπή αδράνειας J θ
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή υπολογισμός εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας... βασικές παραδοχές θεωρίας στρέψης... o επίπεδη τομή κάθετη στον άξονα του κυλινδρικού σώματος παραμένει επίπεδη και μετά την επιβολή της ροπής διατομή o η διατμητική παραμόρφωση γ σε μια διατομή μεταβάλλεται γραμμικά από τον άξονα του σώματος προς την περιφέρεια (γ = 0 στον άξονα & γ = γ max στην περιφέρεια) ισορροπία ροπών στη διατομή... ❶
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή στροφή διατομής... στοιχειώδες τμήμα μήκους dx ορισμός διατμητικής τάσης ❷ ❸ οπότε, από ❷... ❸ ❶ ❹
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή ισορροπία ροπών σε στοιχειώδες τμήμα dx... παράγωγος της ❹......... ❺ ΣΤΑΤΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx ΔΥΝΑΜΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx...
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή... αρχή D Alambert... κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος φορά αντίθετη της φοράς περιστροφής του dx ροπή ❻ ❺ + ❻... ❼
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή ❼...... στροφή δοκού κατά το μήκος της άρα ❼... ❽ όπου... J θ... πολική ροπή αδράνειας Ι θ... μαζική ροπή αδράνειας
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή υπολογισμός όρων Lagrange... κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω περιστροφικής κίνησης) δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω της παραμόρφωσής της) ❾ δεν διαχέεται ενέργεια εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή... παραδοχή μικρές παραμορφώσεις γραμμική μεταβολή της γωνίας στροφής θ κατά μήκος της δοκού όπου... θ FE... γωνία στροφής ελεύθερου άκρου χρονική παράγωγος χωρική παράγωγος ❿ ❾ ❿ από και...
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια
3. Δοκός σε στρέψη: ομοιόμορφα κατανεμημένη ροπή δεν διαχέεται ενέργεια εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια
3. Δοκός σε στρέψη: συγκεντρωμένη ροπή κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια δεν διαχέεται ενέργεια εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια
Δοκός 4 σε κάμψη
4. Δοκός σε κάμψη μονόπακτη ελαστική δοκός (πρόβολος) σε κάμψη... ουδέτερος άξονας... λόγω ομοιόμορφα κατανεμημένης δύναμης σε όλο το μήκος της ράβδου... λόγω συγκεντρωμένης δύναμης στο ελεύθερο άκρο της ράβδου... ορθογωνικής διατομής συμμετρικό σχήμα σταθερό εμβαδόν Α & ροπή αδράνειας Ι yy
4. Δοκός σε κάμψη... μηχανική παραμορφώσιμου σώματος ροπή αδράνειας για y-y... ροπή αδράνειας για z-z... υπολογισμός εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας... (ομοιόμορφη κατανομή δυνάμεων) βασικές παραδοχές θεωρίας κάμψης... o επίπεδη τομή κάθετη στον άξονα του καμπτόμενου σώματος παραμένει επίπεδη και μετά την επιβολή της καμπτικής ροπής o τα υλικά σημεία του καμπτόμενου σώματος δεν εμφανίζουν οριζόντια μετατόπιση (λόγω μικρής παραμόργωσης)
4. Δοκός σε κάμψη... στοιχειώδες τμήμα μήκους dx μεταβλητή οριζόντιας μετατόπισης αξονική παραμόρφωση επιβαλόμενη καμπτική ροπή αξονική τάση (νόμος Hooke) ορθή τάση λόγω κάμψης θεωρία κάμψης + στο εφελκυόμενο καμπτόμενο τμήμα - στο θλιβόμενο καμπτόμενο τμήμα ροπή αδράνειας απόσταση ακρότατης ίνας του σώματος από τον ουδέτερο άξονα
4. Δοκός σε κάμψη... ❶... παραμορφωμένο στοιχειώδες τμήμα μήκους dx & παραδοχές... επιπεδότητα διατομών & μικρή παραμόρφωση...
... 4. Δοκός σε κάμψη οριζόντια μετατόπιση κατακόρυφη μετατόπιση υλικού σημείου κατακόρυφη απόσταση από τον ουδέτερο άξονα 1 η χωρική παράγωγος εφαπτομένη γωνίας κάμψης ❷ ❶ ❷ από και ❸
4. Δοκός σε κάμψη ισορροπία ροπών ως προς το δεξί άκρο του στοιχεώδους τμήματος... + και... dx 0... ❹
4. Δοκός σε κάμψη ισορροπία δυνάμεων του στοιχεώδους τμήματος... ❸ 1 η χωρική παράγωγος ❺ από ❸ και ❹ 1 η χωρική παράγωγος ❻ ΣΤΑΤΙΚΗ ισορροπία στοιχειώδους τμήματος μήκους dx
4. Δοκός σε κάμψη... αρχή D Alambert... κατάστρωση εξίσωσης ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ εξίσωση στατικής ισορροπίας + αδρανειακός όρος συστήματος φορά αντίθετη της φοράς κίνησης του dx εμβαδό διατομής πυκνότητα υλικού ❼ από ❻ + ❼
4. Δοκός σε κάμψη υπολογισμός όρων Lagrange... κινητική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω καμπτικής μετακίνησης) δυναμική ενέργεια (συσσωρεύεται λόγω της παραμόρφωσής της) ❽ δεν διαχέεται ενέργεια εξωτερικά προσφερόμενη ενέργεια
4. Δοκός σε κάμψη υπολογισμός ολοκληρωμάτων... παραδοχή για την μεταβολή του κατακόρυφου βέλους κάμψης ❽ εμφάνιση 2 ης χωρικής παραγώγου... δεν είναι γραμμική ΕΠΙΛΟΓΗ... τριγωνομετρικής συνάρτησης παρεμβολής (1 η ιδιομορφή μονόπακτης ελαστικής δοκού) βέλος κάμψης μήκος δοκού
4. Δοκός σε κάμψη πρώτες τέσσερεις ιδιομορφές μονόπακτης ελαστικής ράβδου
Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... antogian@central.ntua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ.... chryiako@central.ntua.gr