ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ 79. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών,5 και ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ. Σε κάθε αριθμό της στήλης να αντιστοιχίσετε τον ίσο του αριθμό που βρίσκεται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ Β α) συν i ) β) ημ5 ii ) γ) ημ iii ) δ) ημ iv ) ε) συν5 v ) στ) συν Εύκολα αντιστοιχίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα α) i, β) iii, γ) i, δ) v,ε) iii,στ) v. ν ηµθ συνθ, τότε: : θ Β: θ 5 : θ : θ 9 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι το Β,δηλαδή όταν θ5.
8 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο) α) ημ ημ β) συν γ) ημ5 συν5 ημ5 δ) συν ημ ε) συν ημ α) ημ β) συν γ) ημ5 δ) ημ5 συν συν5 ημ. ( Σ) ημ. ( Σ) ε) συν ημ ( Σ). Στο διπλανό κύβο ισχύει ότι: ( Σ) : συνθ Β: συνθ : συνθ Δ: συνθ ( Λ) ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ Συμβουλευόμαστε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών των εν λόγω γωνιών A θ B Η σωστή απάντηση είναι το,δηλαδή όταν θ, γιατί το τρίγωνο είναι ισόπλευρο(όλες οι διαγώνιες των τετραγώνων του είναι ίσες)
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ 8 Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τις πλευρές α και β ενός ορθογωνίου τριγώνου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) A 9, B, γ 5 cm. β) A 9, B 5, γ 7 cm. α) συν α εφ β) εφ5 ημ5 5 5 α.συν α α 5 5,78 cm,7 β 5 7 α β 5.εφ 5. 5 συν,88 cm β β 7.εφ5 7. 7 cm 7 7 ημ5.α 7 α ημ5 9,9 cm Χρησιμοποιούμε τους κατάλληλους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε κάθε τρίγωνο και αντικαθιστώντας από τους πίνακες τις τιμές τους λύνουμε τις εξισώσεις. ΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο µε πλευρές cm, Β 5 cm, cm. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Να υπολογίσετε το ηµ και το συν. 9 Β 5 9 Β 5 β ) ημ, συν α ) ΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) ημ ημ 5 ημ β) ημ συν ημ 5 Β α)χρησιμοποιούμε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος. Άρα η ορθή γωνία είναι η Β
8 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ α) ημ β) ημ ημ συν 5 ημ ημ 5... Συμβουλευόμαστε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών,5, και κάνουμε τις πράξεις στα πρώτα μέλη. ΣΚΗΣΗ Να βρείτε την τιμή της παράστασης ηµ ω - συνω στις παρακάτω περιπτώσεις: α) ω, β) ω 5,γ) ω. α). β) ημ. γ) ημ. ημ 5 συν συν5 συν ντικαθιστούμε για κάθε περίπτωση και αφού συμβουλευόμαστε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών,5, και κάνουμε τις πράξεις στη παράσταση για κάθε περίπτωση. ΣΚΗΣΗ 5 Ένα αεροπλάνο πετά σε ύψος 5m και φαίνεται από τον πύργο ελέγχου του αεροδρομίου µε γωνία. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση ΠΒ από τον πύργο ελέγχου; 5 m Π Β
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ 8 5 εφ εφ.βπ 5 Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης στο τρίγωνο Π. ΒΠ 5 5 Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. ΒΠ 58 m εφ,58 ΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις αποστάσεις και. Δ 8 m συν5 8.συν5 8. 8 8 8 8 συν Δ Δ συν Β 5 Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του συνημιτόνου στα τρίγωνα και Δ. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. ΣΚΗΣΗ 7 Να υπολογίσετε το συνολικό µήκος της τεθλασµένης γραµµής στο παρακάτω σχήµα. m m 5 Ζ Β Η Δ
8 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ ημ5 ημ ημ Ζ Η Β Η Δ Β Δ ημ5 Δ Β Δ ΣΚΗΣΗ 8 m ( ) Στο διπλανό σχήµα το σηµείο είναι µέσο του. Να υπολογίσετε: α) Τη γωνία θ β) Την απόσταση Ε γ) Την απόσταση Ε m m m,9 m Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ημιτόνου στα τρίγωνα Ζ και ΒΗ και ΗΔ αντίστοιχα. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Βρίσκουμε το μήκος της τεθλασμένης γραμμής Δ ως άθροισμα των τμημάτων, Β και Δ. θ cm Δ α) Δ 9 θ Ε 9 Δ β) ημ συνθ Ε Δ cm γ) ΕΔ Ε ΕΔ 9,7 cm Ε,9 cm Δ 9 συν Δ.ημ ΕΔ. 8 Ε cm Β α) Υπολογίζουμε την γωνία θ αφού υπολογίσουμε πρώτα την γωνία Δ και την βρίσκουμε ως διαφορά της γωνίας αυτής από την γωνία των 9 μοιρών. β) Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου για να βρούμε πρώτα το τμήμα και κατόπιν το τμήμα Ε. γ) Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσουμε την τρίτη πλευρά ου ορθογωνίου τριγώνου ΕΔ.
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ 85 ΣΚΗΣΗ 9 Να υπολογίσετε την περίμετρο του διπλανού σχήματος. y x y x y y συν x x συν,7 Περίμετρος. x 8,9,9 Τα δύο μικρά ορθογώνια τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το ισοσκελές με ίσες πλευρές x έχουν μια οξεία γωνία γιατί είναι -9. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του συνημιτόνου της γωνίας των για να βρούμε τα ίσα τμήματα x δεδομένου ότι η άλλη κάθετη πλευρά των ορθογωνίων τριγώνων είναι y: ΣΚΗΣΗ Στο παρακάτω τραπέζιο να υπολογίσετε το µήκος της µεγάλης βάσης. Β 5 5 Δ Ε Ζ ΔΕ συν ΔΕ Δ.συν. Δ Ζ συν5 Ζ Β.συν5. Β Δ ΔΕ ΕΖ Ζ 5, Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του συνημιτόνου στα ορθογώνια τρίγωνα ΔΕ και ΖΒ για να βρούμε τα τμήματα ΔΕ και Ζ. Κατόπιν βρίσκουμε την μεγάλη βάση προσθέτοντας τα τμήματα ΔΕ, ΕΖ και Ζ που την αποτελούν.
8 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΩΝΙΩΝ,5 ΚΙ ΣΚΗΣΗ ύο σπουργίτια βρίσκονται στην κορυφή δύο στύλων ύψους 5 m και 9 m αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ξεκινούν την ίδια στιγµή και µε την ίδια ταχύτητα µε στόχο µια ρώγα από σταφύλι που βλέπουν υπό γωνίες και στο έδαφος στο σηµείο Ρ. Ποιο από τα δύο σπουργίτια θα φτάσει πρώτο τη ρώγα; συν συν x x Δ y ΣΚΗΣΗ y συν Δ συν 5 9 m 8, m ια ν ανέβουµε στον ο όροφο ενός εµπορικού κέντρου χρησιµοποιούµε τις κυλιόµενες σκάλες, όπως βλέπουµε στο σχήµα. Να υπολογίσετε το ύψος του ου ορόφου από το έδαφος. ημ x x 5.ημ 5. 7,5 m 5 y ημ5 y.ημ5 x y 7,5 8, 5,9 m. 8, m Καλούμε x και y αντίστοιχα τις πορείες των δύο πουλιών. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του συνημιτόνου στα δύο ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος. Παρατηρούμε ότι ποιο γρήγορα θα φτάσει το πουλί στο αριστερό μέρος. Καλούμε x και y αντίστοιχα τις ύψη των δύο ορόφων (Ισόγειο, ος ). Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ημιτόνου στα δύο ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος. Προσθέτουμε τα ύψη των δύο ορόφων για να βρούμε το ύψος του ου.