ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν 6 γινόμενο και, 60.Να βρείτε το εσωτερικό. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με και 7.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 4. Τα διανύσματα a και είναι αντίρροπα.με 9 και 4.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 5. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1, 1 και, 150.Nα βρείτε i)το μέτρο του διανύσματος a ii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 6. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν : 1, 5, 1,, και,.nα βρείτε : 6 i)το μέτρο του διανύσματος ii) ( ) ( ) 7. Δίνονται διανύσματα a και,με 4, 5, γινόμενα:: i) ii) ( ) ( ) iii) ( ), 10.Nα βρείτε τα 8. Δίνονται διανύσματα a και,με 4 να βρείτε :: i) το εσωτερικό γινόμενο ii) Το μέτρο του διανύσματος και, iii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ).Αν ισχύει ( ) 8 1

9. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύουν: και, να αποδείξετε ότι. 10. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a, 5,( a, ) υπολογιστεί το.. Αν 5 4, να ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 11. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) (,5) και (4, ) ii) (, ) και (1,5) iii) ( 4,) και (, 6) iv) (0, ) και (7, ) 1. Δίνονται τα σημεία Α(,1),Β(,-5),Γ(-4,) και Δ(-1,-).Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11),όπου xr για το οποίο ισχύει i)nα βρείτε τον αριθμό x ii)αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 14. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( 8,1),με λr για τα οποία ισχύει ότι 1. i)να βρείτε τον αριθμό λ ii)το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 15. Δίνονται τα διανύσματα (4, ), (x, x ) και ( 6,1), για τα οποία ισχύει ότι 1 και 11 i) Να αποδείξετε ότι x= ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 16. Δίνονται τα διανύσματα (x, 1), (, y) και (x 5,), για τα οποία ισχύει ότι. i) Να βρείτε τις τιμές των x,y ii)να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 8

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17. Έστω διανύσματα,. Να αποδειχτούν οι παρακάτω σχέσεις: i ) a 4 ii ) a a. Πότε ισχύει η ισότητα; iii 18. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και 4 5. Να αποδείξετε ότι 19. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και. Να αποδείξετε ότι 0. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα i). ii) 1. Αν 4 OB O 0, και έστω,.να αποδείξετε ότι : OA και OB OB O να δειχτεί ότι :. OA,. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι.. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι α. 4. Αν για κάθε ισχύει ότι i. και 1 ii. 4 5 και 1, να αποδείξετε ότι: 5. Έστω η γωνία των διανυσμάτων x, y και x, y ότι det, 1 1. Να αποδείξετε. 6. Αν για τα διανύσματα a (α1, α) και = (β1,β) ισχύει και, να αποδειχτεί ότι det a, 4. 7. i)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος v διχοτομεί τη γωνία,.

ii)να αποδειχτεί ότι ο φορέας του διανύσματος παραπληρωματική της γωνίας,. u a διχοτομεί την a iii)αν 1, να βρεθεί διάνυσμα με που να διχοτομεί τη γωνία, = 60. 8. i) Αν, 0 και ισχύει 1 (1), τότε : ii) Αν επιπλέον 1 (), τότε : 1 4 ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 9. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα (,) και ( 6, ).Να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii)για ποια τιμή του μ είναι 0. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν 15 και 5Να βρείτε : i) Να βρείτε το ii)να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v 5 και w είναι κάθετα. 1. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (,4 ) με λ R για τα οποία ισχύει 1. i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε για ποια τιμή του μr,το διάνυσμα 5 είναι κάθετο στο (, 8). Δίνονται τα διανύσματα (4, ) και (,1) και ( 9, ) με λ,μ R. Αν ισχύει και. Να βρείτε i) τις τιμές των λ,μ ii) τον πραγματικό αριθμό x,ώστε ( x ) ( ). Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (4 5, 1) με λ R για τα οποία ισχύει 1. Να αποδείξετε ότι : i) λ= ii) Να βρείτε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι (v ) / / και ( v) (10 ) 4

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(-1,4),Β(-,-1) καιγ(7,5).θεωρούμε σημείο για το οποίο ισχύει M BM α)να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β)να αποδείξετε ότι γ)να βρείτε σημείο Ν του άξονα χ χ,ώστε 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=. Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i., ii., iii... 6. Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα και,για τα οποία ισχύει και,. i)nα αποδείξετε ότι ii)να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα 7. Έστω,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν και, να αποδείξετε ότι. 8. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχουν, ως προς την αρχή Ο, των αξόνων διανύσματα θέσης (, 5), (4, 10), (-6, -15) και (-16, λ-15), λr, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Να βρείτε το λ ώστε AB. 9. Δίνονται τα διανύσματα u =(-, ) και v =(4, -). Να βρεθεί το διάνυσμα w που είναι κάθετο στο u -5 v. ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 40. Αν,,, 15 και, να βρείτε το. 41. Δίνονται τα διανύσματα και με 8, και (, ) 45. Να βρείτε το 4. Δίνονται τα διανύσματα και με, i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 4 (, ) και 7. 4. Δίνονται τα διανύσματα και με, 4 και 4. i)να αποδείξετε ότι ii)να βρείτε το 5

44. Δίνονται τα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν, 4 και 5 i)να αποδείξετε ότι και 1 ii)να βρείτε το 8 45. Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:,, και α 7. Να υπολογιστούν τα,. 46. Δίνεται διάνυσμα και μοναδιαίο διάνυσμα, με (, ) 10 και ( ). α) Να αποδείξετε ότι β)θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ότι : v / /( ) και ( 5 ) (v ) i) Να γράψετε το διάνυσμα v ως γραμμικό συνδυασμό των και 47. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν : (, ), και 7. 48. Δίνονται τα διανύσματα και με και (, ) 60.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,με 4 και 4 6,για το οποίο ισχύει 91 i)να αποδείξετε ότι 5 ii)να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ 49. Για τα διανύσματα και, ισχύει ότι :, ( ) ( ) και 6 αποδειχθεί ότι : 5.. Να 50. Έστω τα διανύσματα = (-,) και = (,-). Να βρεθεί διάνυσμα, ώστε και 10. 51. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB =(1, ) και A =(, 1). Να βρείτε το διάνυσμα A της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 5. Δίνονται τα διανύσματα,, με 1,, 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 6

5. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 1 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. 54. Δίνονται τα διανύσματα,, με,, 54 και 4 0. i) Να αποδείξετε ότι 4 ii) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 55. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν a και 4 10 a 0.Να αποδείξετε ότι : το a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 56. Αν για τα διανύσματα a,, ισχύει: a 0 και a, να δείξετε ότι: το 5 a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του. 57. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα a,, για τα οποία ισχύουν a 0 και: 1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα. 58. Δίνονται διανύσματα a,,, με, 7, 19 και a 0. i) Να αποδείξετε ότι. ii) Να αποδείξετε ότι 4. iii) Να βρείτε το 4a. iv) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R είναι: ( 4 ) (8 ) 59. Δίνονται διανύσματα,, 0 i) Να αποδείξετε ότι 6. 7,,, 60 και a για τα οποία ισχύουν ii) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα και. iii) Να βρείτε το μέτρο. 60. Έστω τα διανύσματα,, με a, 5, 7 και 0. Να βρεθεί η γωνία, και η τιμή της παράστασης. 61. Έστω a,,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου, με: a 1, και a... Να αποδείξετε ότι: a. 7

6. Αν τα διανύσματα,, είναι μοναδιαία και ισχύει: 0,να αποδειχθεί ότι:. 6. Αν για τα μη παράλληλα διανύσματα,, ισχύουν, =, = 60 και a,, 4, να βρεθεί το μέτρο του a. 64. Δίνονται οι γωνίες ( a,, ( και ( a, και a 1. Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων: x και y. Να εξετάσετε αν υπάρχει λ R, ώστε a. 65. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με OA OB O και OA 4OB 5O όπου Ο η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε ότι:. 66. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ για το οποίο ισχύει: και 0. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 67. Δίνονται τα διανύσματα,, με 7 4 7. α) Να βρείτε τη γωνία,. β) Αν τα διανύσματα,, έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά τους είναι σημεία συνευθειακά. γ) Να βρείτε διάνυσμα x καθώς και το μέτρο του, αν x και x. 68. Αν 0 6, α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. β) Το Γ είναι ανάμεσα στα Α,Β. γ) Το διάνυσμα είναι κάθετο στο. ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8, να αποδείξετε ότι: 69. Να υπολογιστεί η γωνία, των διανυσμάτων a =(1, - ), =(1, 1). i) a =(1, - ), =(1, 1). ii) a =(4,), =(7,-+ 1). iii) a =(1, ), = (, ) iv). a = (,6), = (-,1) 70. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α (1, ), Β (-, 1) και Γ (, 6). Να αποδειχθεί ότι:. A 4

71. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (-, 4), Β (, ) και Γ (1, -). Να βρεθούν οι γωνίες του. 7. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και, και η γεωμετρική τους γωνία στις παρακάτω περιπτώσεις: ι) a =(-5,), (6,10), ιι) a = (, ), ιιι) a = (0, ), (,1). 5 (, ), 7. Αν a =((x-1), x) και =(-, 1) να υπολογιστεί το x ώστε ( a, )=. 74. Αν a,, ( a, και ( a, να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό ρ. 75. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και (, 4), με λr, για τα οποία ισχύει ότι ( ) 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία,. 76. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν: (7, 1) και (8, 19) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και, β) τη γωνία,. 77. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις: 8, και (α ) (5 7 ) να υπολογίσετε την γωνία,. 78. Αν για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις:, 1 και (α 5 ) ( ) να υπολογίσετε την γωνία,. 79. Έστω, με, 1, 60. Αν u,να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u. 80. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1,, 60 και: ( ) (5 ) α) Να βρείτε το β) Αν, να βρείτε τη γωνία: φ =, 9

81. Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου με =, = και (, ). Αν, να υπολογίσετε: α) Το β) Τις γωνίες,, και,. 8. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a a, 5,(, ). Αν, να υπολογιστούν τα συνημίτονα των γωνιών (, ) και (, ). 8. Αν για τα διανύσματα ισχύουν, a και, = 45, να υπολογιστεί η γωνία,. 84. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα 1, που σχηματίζουν γωνία φ= Αν u 4 και v, να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων u v και η μεταξύ τους γωνία u i j 1 i 1 j w i j.να βρείτε 4 4 0, ώστε w. Αν uw,, να αποδείξετε ότι 1. Αν ο λόγος 4 85. Δίνονται τα διανύσματα, 4 4 το του εσωτερικού γινομένου w προς το εσωτερικό γινόμενο u w είναι τη γωνία,w, όταν uw,. 4 86. Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(-συνθ) i +(ημθ) j, i j. Α. Για ποιες τιμές του θ(0, π) τα διανύσματα a και είναι κάθετα. Β. Αν τα και σχηματίζουν γωνία 4, να δείξετε ότι συνθ=1-ημθ. 6 16, να υπολογίσετε 87. Δίνονται τα διανύσματα του επιπέδου a, για τα οποία ισχύουν: ( a + )(7 a -5 ) και ( a -4 )(7 a - ). ι) Να δείξετε ότι: a. και a a., ιι) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. 88. Δίνονται τα διανύσματα a i j, =(κ-λ) i +(κ+λ) j, ( 5) i 5 j και ( 5) i ( 1) j, κ, λr, α) Αν a //, να δείξετε ότι: 10

89. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν,, 1 και: 4 0 α) Να εξετάσετε αν είναι οξεία ή αμβλεία καθεμία από τις γωνίες,,. β) Να βρείτε τη γωνία,. 90. Δίνονται διανύσματα και, με,, 10 και 1 α) Να βρείτε τα και. β) Θεωρούμε διανύσματα u v για τα οποία ισχύουν: u v 5 και 4v u 5 i) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. ii) Να βρείτε το u, v. 91. Δίνονται διανύσματα και για τα οποία ισχύει ότι 1, 5 και: ( )( ) 46 α) Να βρείτε το συν, β)θεωρούμε τα διανύσματα u v. Να βρείτε τη γωνία u, v 9. Δίνονται διανύσματα και, με και, για τα οποία ισχύει ότι: (α 7 ) (6 ) α) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. β) Θεωρούμε το διάνυσμα, με λ R, το οποίο είναι κάθετο στο. Να βρείτε : i) την τιμή του λ, ii) το μέτρο του διανύσματος, iii) τη γωνία των διανυσμάτων και. 9. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα και, καθώς και τα μη μηδενικά διανύσματα u v, για τα οποία ισχύουν: u v 4 και v u και. (u, v) 60 α) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να βρείτε τη γωνία, 11

94. Δίνονται διανύσματα α και β, με 6, 4, για τα οποία ισχύει ότι: 4 α) Να αποδείξετε ότι β) Θεωρούμε διάνυσμα τέτοιο, ώστε: / /( ) και ( ) (4 9 ) i) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. ii) Να βρείτε τη γωνία,. 95. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα και,με, = 60. Θεωρούμε επίσης παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 4 και. Η διαγώνιος ΑΓ έχει μήκος 6 και ισχύει: 6 α) Να αποδείξετε ότι 1 και 4. β) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ. γ) Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ. δ) Να βρείτε τη γωνία ˆ του ΑΒΓΔ. 96. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα, και 5 Να υπολογίσετε: α) Το συνημίτονο της γωνίας των και β) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u v γ ) Τα μέτρα των διανυσμάτων u v 97. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι:, 4 και ΟΑ, της ΑΒ, να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας,. 98. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 5, 4. Αν Μ το μέσο, = 60. και Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η με τη διαγώνιο του ΑΒΓΔ. 99. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (1, ), Β (-1, -) και Γ (-, 4). Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ. 100. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1, 1), Β(1, 5) και Γ(4, -4). α) Να εξετάσετε αν η γωνία ˆ είναι οξεία ή αμβλεία, β) Να βρείτε τη γωνία ˆ. 101. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α (λ- 1, - 1), Β (λ, ) και Γ(7, - λ), με λ R. Αν ισχύει ότι 15, να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. 1

10. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=α+β και β, όπου α = β =1 και π α,β =. α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α β, 4β+α, α-β. β) Αν Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ: i) Nα εκφράσετε τα διανύσματα ΑΜ και ΒΓ συναρτήσει των α,β. ii) Να βρείτε τη γωνία των ΑΜ και ΒΓ. ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 10. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν, 1 και,.να βρείτε την προβολή του πάνω στο a (συναρτήσει του a ). 104. Να γράψετε το διάνυσμα 11, 9 ως γραμμικό συνδυασμό των, 1,4. 105. Αν a =(1, ) και =(9,7), να βρείτε την προβολή του πάνω στο a. και 106. Αν a =(, ) και =(-1, 4), να βρείτε την προβολή του a πάνω στο. 107. Αν a 1, και ( a,, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα a. 108. Δίνονται τα διανύσματα u (10, ) v (,10). Υπολογίστε : i) v ( u) ( v), U ii)τις γωνίες των διανυσμάτων u v u v με τον άξονα x' x 109. Αν τα διανύσματα a και είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v a, πάνω στο διάνυσμα u a (συναρτήσει των και 110. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1,,,0 και 4, 4. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος. 111. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, 1), Β(4, 8) και Γ(, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στη πλευρά ΒΓ. 11. Αν είναι a =4 i j και 8i 6j, ι) Να δείξετε ότι η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι αμβλεία, ιι) Να βρείτε το μήκος της προβολής του, πάνω στο a. 1

11. Έστω τα διανύσματα a =(4, ) και =(-1, -), να υπολογιστεί το a ( a ). 114. Έστω τα διανύσματα a =(1, ) και =(-1, -4) και v ( a ) a, να βρείτε την v. a 115. Αν με 0 και,, να αποδείξετε ότι:. 116. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με, 4 και 60. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. 4 Να αποδείξετε ότι: 7. 117. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι AB 4, A 6 και η γωνία των διανυσμάτων AB και είναι π. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε: α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος AM β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος είναι το διάνυσμα 14 AM. 19 AB πάνω στο διάνυσμα 118. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BA = (,-1) και B = (,1). Από την κορυφή Α φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να υπολογιστούν: i) οι συντεταγμένες του διανύσματος. ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 119. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ,-),Β(λ+8,-1) και Γ(5,-λ), όπου λ R.Αν ισχύει ότι 1,να βρείτε : i)τον αριθμό λ ii) την προβολή του πάνω στην 10. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα συνευθειακά σημεία Α(0,- ),Β(λ,λ-1) και Γ(-,-6) i)να βρείτε την τιμή του λr ii)αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ,να βρείτε την προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα 11. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν και. 4 i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα a,. AM 14

1. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ισχύουν,, 1 και.να βρείτε : i) το ii) την iii) το μέτρο του διανύσματος 1. Να αναλυθεί το διάνυσμα =(,10) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a. 14. Να αναλύσετε το διάνυσμα 7,11 1, και,. σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις εκείνες των 15. Έστω τα διανύσματα a i j i j. Να αναλυθεί το a σε δύο συνιστώσες, μια παράλληλη και μια κάθετη στο. 16. Δίνονται τα διανύσματα a (x 1, x 1) και x1, x ). ι) Να βρείτε τις τιμές του xr για τις οποίες ισχύει: α) a, β) a ιι) Για την μεγαλύτερη από τις τιμές του x που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο a και να βρείτε την προβολή του διανύσματος a στο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : MA AB A 18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M B 19. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος.να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 16 10. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 8..Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 9 11. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 4 4 15

1. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : M 14. Έστω τα σταθερά σημεία Α, Β τέτοια ώστε ΑΒ =. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει AM AM AB 7. 15. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ]. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου για τα οποία ισχύει MA MB MA M. 16. Αν x y 16, x, y, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης x 4y καθώς και τις τιμές των χ,y για τις οποίες η παράσταση Π παίρνει τη μέγιστη τιμή της. 17. Να αποδειχτεί ότι για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει ότι:. Πότε ισχύει η ισότητα; Αν για τα σημεία M(x,y) ισχύει ότι χ + y = 6, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Π = 6χ - 8y καθώς και τα σημεία Μ που αυτές επιτυγχάνονται. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΟΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 18. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και,.να αποδείξετε ότι: 19. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι. 140. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: ˆ 141. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Αν Γ είναι το αντιδιαμετρικό του Α, να αποδείξετε ότι: R 14. Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι: i) ii) 14. Aν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ότι : να αποδείξετε ότι: 16

144. Στο διπλανό σχήμα είναι AH ΒΓ και ΑΔ διάμετρος. Να αποδείξετε ότι: και 145. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, OH ΒΑ και η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α, τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Ν. Να αποδείξετε ότι: 146. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΓΔΕ και ΒΓΖΗ είναι τετράγωνα. Να αποδείξετε ότι: στη i) y x 0, ii) 0, iii) η διάμεσος ΓΝ του τριγώνου ΑΒΓ είναι κάθετη ΖΔ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 147. Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν, 0. i)να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ii)να βρείτε το iii)να βρείτε αν υπάρχουν,τους θετικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει η σχέση : ( x ) ( x ) 17 148. Δίνονται τα διανύσματα, με, 10 για τα οποία ισχύουν ( 4 ) 4 και ( ). Να βρείτε i) τα μέτρα των διανυσμάτων ii) το γινόμενο ( ) ( ) iii)το μέτρο iv)για ποιες τιμές του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα,, και 149. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1, ( ) (4 ) και ( ) (8 ). i) Να αποδείξετε ότι 5 17

ii) Να γράψετε την σαν γραμμικό συνδυασμό των 150. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύουν 1και 4 Θεωρούμε διάνυσμα v για το οποίο ισχύει ( v) v 8v 4 i) Να αποδείξετε ότι v 4 ii) Να γράψετε το v σαν γραμμικό συνδυασμό των iii)αν επιπλέον ισχύει v ( ) 8,να βρείτε τη γωνία, ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 151. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι : 4, 6 και η γωνία των διανυσμάτων ί. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,τότε : i)να υπολογίσετε το AM ii)να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM είναι το διάνυσμα 14 AM 19 (1 η Δέσμη 1999) 15. Για τα διανύσματα a, ισχύουν οι σχέσεις a ( 4, ) ( 7, 8 ). i)να δείξετε ότι ( 1, ) (, ). ii)να βρεθεί ο κ R,ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα iii)να αναλυθεί το διάνυσμα (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ 000) 15. Για τα διανύσματα a, δίνεται ότι a 1, και,. Έστω τα διανύσματα u a v a. Να υπολογίσετε : i)το εσωτερικό γινόμενο ii)τα μέτρα u, v iii) το εσωτερικό γινόμενο u v iv)το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u v (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 001) 154. Δίνονται τα διανύσματα (1,1), (5,7) του καρτεσιανού επιπέδου. α)να βρείτε τα διανύσματα β)να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ,για την οποία το διάνυσμα 18

x (, 6) είναι κάθετο στο διάνυσμα γ)να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1,όπου.(ο Εσπερινού 00) 155. Δίνονται τα διανύσματα a (1,) και (,). α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x. γ. Να βρείτε τον αριθμό k R,ώστε το διάνυσμα a u ( k k, k) να είναι κάθετο στο 19