Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Νικόλαος. Ατρέας Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 6/7

Περιεχόµενα A. Ορολογία. 4 B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. 6 B. Πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema. 6 B. Mη γνήσια ολοκληρώµατα Riema σε µη φραγµένα χωρία. B3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. B4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. B5. o oλοκλήρωµα Fourier. 7 B6. O Mετασχηµατισµός Laplace. Κεφάλαιο : Εισαγωγή. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. 4.. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους. 3.3. Ασκήσεις. 34 Κεφάλαιο : Η εξίσωση Laplace. 36.. Eισαγωγή. 36.. Αρµονικές συναρτήσεις. 37.3. ιδιάστατη γενική λύση της εξίσωσης Laplace. 4.4. Θεµελιώδης εξίσωση Laplace στον. Εξίσωση Poisso. 46 στον.5. Συνοριακές συνθήκες Dirichlet και µοναδικότητα λύσης. 5.6. Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών σε προβλήµατα Dirichlet. 54.6.. Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο. 55.6.. Το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο. 6.7. Mη φραγµένα χωρία σε προβλήµατα Dirichlet. 67.7. Το πρόβληµα Dirichlet. στο άνω ηµιεπίπεδο. 67.7.. ο πρόβληµα Dirichlet σε ηµιάπειρη λωρίδα. 7.8. Συναρτήσεις Gree. 73.9. Aσκήσεις. 8

Κεφάλαιο : Η εξίσωση θερµότητας... Eισαγωγή. 84.. o πρόβληµα Cauch στο µοναδιαίο κύκλο. 86 +.3. o πρόβληµα Cauch στον. Θεµελιώδης λύση. 9.4. Μοναδικότητα λύσης. 94.5. Οµογενείς εξισώσεις. 97.5.. Φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες. 97.5.. Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς αρχικές συνθήκες..5.3. Μη φραγµένα χωρία µε οµογενείς αρχικές συνθήκες. 4.6. Μη οµογενείς εξισώσεις. 7.7. Aσκήσεις. 9 Κεφάλαιο 3: Η κυµατική εξίσωση. 3.. Εισαγωγή. 3.. o πρόβληµα Cauch για τη µονοδιάστατη κυµατική + εξίσωση (στο ). Λύσεις D Alembert. 4 3.3. o διδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβληµα Cauch για την κυµατική εξίσωση. 7 3.4. Οµογενείς εξισώσεις. 3.4.. Φραγµένα χωρία µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες. 3.4.. Φραγµένα χωρία µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες. 6 3.4.3. Μη φραγµένα χωρία. 7 3.5. Μη οµογενείς εξισώσεις. 3 3.6. Aσκήσεις. 34 3

A. Ορολογία C ( Ω ): O χώρος των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω στο Ω. C ( Ω ) : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : Ω µε συνεχή παράγωγο -τάξης στο Ω. Αν η f έχει παράγωγο κάθε τάξης στο Ω, τότε f C c Ω. C : O χώρος των πραγµατικών συναρτήσεων f : µε συνεχή παράγωγο -τάξης σε συµπαγή φορέα E του (δηλαδή f = E ). B(, r) : Aνοικτή µπάλα κέντρου και ακτίνας r στον B(, r) : O όγκος της µπάλας B(, r) Ω : ο σύνορο χωρίου Ω. S ( r) : H ( ). σφαίρα { : = r}. στον µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r. Ο συµβολισµός υποδηλώνει την ύπαρξη µιας διανυσµατικής συνάρτησης από ένα υποσύνολο του στον µε εικόνα τη σφαίρα = r. S. S : H µοναδιαία ( ) σφαίρα ( ) w : Το εµβαδό της µοναδιαίας ( ) σφαίρας S. =,,... : O τελεστής κλίσης που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία του. Με άλλα λόγια, αν V E είναι ο χώρος των διαφορίσιµων αριθµητικών πεδίων f : E και ( E ) V είναι ο χώρος των διαφορίσιµων m, m διανυσµατικών συναρτήσεων F : E (για = m 4

γράφουµε απλά ( E) V και µιλάµε για το χώρο των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων), τότε: ή f f :V( E) V ( E) : f =,..., : = ( f,..., f ), : V ( E ) V ( E ): F= F,..., F., (ή ): O τελεστής Laplace : = i =,..., i,..., = +... + που δρα πάνω σε βαθµωτά ή διανυσµατικά πεδία ως εξής: ή αν F = ( f f ) f :V ( E) V ( E): f : = f +... + f,,...,, τότε : V ( E) V ( E): F = f,..., f. d: Πολλαπλό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Ω συνάρτησης f : Ω. Το διαφορικό d = dd d δηλώνει στοιχειώδη όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. fds : Επιφανειακό ολοκλήρωµα συνεχούς πραγµατικής Σ συνάρτησης f : Σ επί λείας επιφάνειας Σ µε παραµετροποίηση r: A : v= r( u). Αν είναι η µοναδιαία κάθετος σε κάθε σηµείο ru της επιφάνειας Σ, τότε το διαφορικό ( u u ) ds = Det,,..., r r u du δηλώνει στοιχειώδη εµβαδόν πάνω στη Σ. Ισχύει: ( ) ( u u ) fds = f ru Det,,..., r r udu. Σ A 5

B. Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας. B. Πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema. Τα πολλαπλά ολοκληρώµατα Riema είναι φυσική γενίκευση των διπλών και τριπλών ολοκληρωµάτων. Εστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση επί κλειστού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R =,..., : a b, i =,..., {( ) i i } και = (,..., ) είναι µια διαµέριση του R, όπου, =,..., είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [ i, i] διαµερίζεται σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα j = ( j j ), j, k =,...,, όγκου,..., k k ( + )( + ) ( + ) i i a b. ότε το R V j = = d d., j, j, j, j, j, j, j, j Ω j, Αν και τότε ορίζουµε M m { } ( j) = sup f : Ω( j ) { } = if f : Ω j j, και L sup f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση τoυ R j U if f = ( m() j V() j ): οποιαδηποτε διαµεριση του R. j Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί U f, L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα Darbou της f επί του R. Ορισµός. Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R όπως παραπάνω. Αν 6

U = L = λ, f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riema επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουµε f d = λ. R Θεώρηµα. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riema επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια χωρία ως εξής: Εστω f : S είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο χωρίο S µε το σύνορό του S να είναι σύνολο αµελητέου όγκου. Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό S. Ετσι, ορίζουµε την επέκταση της f στο S ως εξής: f, S g =., R \ S Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε S = f d g d. R Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του ολοκληρώµατος d είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του R. R g Θεώρηµα (Επαναληπτική ολοκλήρωση). Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο k m παραλληλεπίπεδο R. Αν R = R R, όπου R, R είναι κλειστά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µε k + m= και αν,, k m =, τότε η συνάρτηση (, ) F = f d R 7

είναι συνεχής στο R και = (, ) f d f d d. R R R Εστω g : A B είναι συνεχώς διαφορίσιµο και - αντιστρέψιµο πεδίο µε g : B A επίσης συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση. Εστω Jg ( ) είναι ο Ιακωβιανός πίνακας (παράγωγος) σε κάθε σηµείο του πεδίου g. Τότε: Θεώρηµα (Aλλαγή µεταβλητής). Εστω g πεδίο όπως παραπάνω και A, B είναι συµπαγή υποσύνολα του. Αν f είναι συνεχής πραγµατική συνάρτηση πάνω στο σύνολο B, τότε: = ( ) ( ) B A g f d f g Det J d. Mια σηµαντική εφαρµογή της φόρµουλας αλλαγής µεταβλητής είναι ο µετασχηµατισµός σε πολικές συντεταγµένες στον, σε 3 σφαιρικές συντεταγµένες στον και η γενίκευση στο. Ετσι, το σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων στο ορίζεται ως εξής: = g = rsiθ siθ siθ cosθ = rsiθ siθ siθ siθ = rsiθsiθ = rcosθ ( r θ ),,..., θ ( i ), θ π =,...,, θ π H Iακωβιανή ορίζουσα του µετασχηµατισµού αυτού δίνεται από τη σχέση: J r, θ = r si θ si 3 θ si θ, θ= θ,..., θ. Kάθε σηµείο { } µε S. Αν i γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως = r, 8

π π π ( ) ( ) = g( θ) S f ds f, si θ si θ siθ dθ dθ τότε για κάθε µπάλα B(, N ) στον 3 έχουµε τη φόρµουλα N = (, ) S f d r f r ds. B N Ορίζουµε δε το εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας εξής: w = ds( ). S S ως Μπορούµε τώρα να δείξουµε τις κάτωθι ιδιότητες: (α) B(, r) = B(, r) και B(, r) = B(, r), διότι όγκος και εµβαδόν είναι αναλλοίωτες ποσότητες ως προς την παράλληλη µεταφορά. (β) B(, r) = r B(,), = rw διότι B(, r) = d = r d = r d = r B(,) w w. B, r B, B, (γ) dsr = r ds, όπου ds r είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της σφαίρας S ( r), ενώ ds είναι το στοιχειώδες εµβαδόν της µοναδιαίας σφαίρας S. w, =, (δ) B διότι µε µετασχηµατισµό σε πολικές συντεταγµένες έχουµε w B(,) = d = r drds ds B = =., S S 9

Β. Mη γνήσιο πολλαπλό ολοκλήρωµα Riema σε µη φραγµένα χωρία. Εστω N και f : QN είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στους κύβους Αν το όριο { } Q =,..., : N/, i =,...,. N i lim f d N Q N υπάρχει, τότε το όριο αυτό το συµβολίζουµε µε f d. Μια χρήσιµη κλάση συνεχών συναρτήσεων των οποίων το f d υπάρχει περιλαµβάνει τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη: A f, d > + d + για κάποια θετική σταθερά A που εν γένει εξαρτάται απ την f. Β3. Θεώρηµα Απόκλισης. Ταυτότητες Gree. Θεώρηµα (Απόκλισης Gauss). Εστω Ω είναι ένα φραγµένο κανονικό στερεό του µε το σύνορό του Ω να είναι µία λεία υπερεπιφάνεια µε τη µοναδιαία κάθετο αυτής να έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη της και έστω F : Ω είναι ένα διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραγώγους πάνω και στο εσωτερικό της υπερεπιφάνειας Ω. Τότε η ροή του πεδίου F διαµέσου της επιφάνειας Ω δίνεται απ τη σχέση Ω Eστω τώρα uv, C Τότε: F i ds d = i F. Ω, όπου Ω Ω είναι όπως παραπάνω. i v u = vi u+ v i u= vi u+ v u.

Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε i v u d= vi u d+ v u d Ω Ω Ω v ui ds = vi u d+ v u d Ω Ω Ω u v ds = v u d v u d i +. Ω Ω Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree. Aπ την άλλη µεριά έχουµε: v u u v= i v u u v. Oλοκληρώνοντας και τα δυο µέλη τηε παραπάνω ισότητας και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα απόκλισης παίρνουµε Ω ( ) = i ( ) v u u v d v u u v d Ω i = v u u v ds Ω Τελικά: u v = v u ds. Ω Ω u v v u u v d= v u ds. Ω Η παραπάνω καλείται η ταυτότητα Gree.

Β4. Σύντοµη ανασκόπηση σειρών Fourier. Ορισµός. Εστω f : R είναι µια περιοδική και απόλυτα /, /. Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L. Ορισµός. Για κάθε συνάρτηση f L ορίζουµε µια ακολουθία { } µιγαδικών αριθµών : = fˆ = f έτσι ώστε πi / ˆ f = f e d. / Η τριγωνοµετρική σειρά (όποτε αυτή έχει νόηµα) [ ] ˆ = πiπ S f = f e, καλείται σειρά Fourier σε µιγαδική µορφή της συνάρτησης f και η ακολουθία f καλείται ακολουθία συντελεστών Fourier της f. Εστω. Τότε: / πi ˆ / π π f = f e d f cos isi d = / / a ib =, όπου / a = f d / / π a = fcos d,,,... / = / π b = fsi d / Θέτοντας όπου το βρίσκουµε εύκολα

ˆ a ib a + ib f ( ) = =, οπότε παίρνουµε πiπ πiπ πiπ [ ] = ˆ = ˆ + ˆ( ) + ˆ S f f e f e f f e = = = ˆ ˆ = f + f e fˆ + e = πiπ πiπ a ib a + π π = + cos isi = a ib π π + cos isi + και µετά από στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει µια ισοδύναµη µορφή του αναπτύγµατος Fourier της f : π π S[ f] = a + acos + bsi =, όπου οι συντελεστές a, b, =,, είναι όπως παραπάνω και καλούνται επίσης συντελεστές Fourier της f. Το άθροισµα N π π SN[ f] = a + acos + bsi = καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S[ f] της συνάρτησης f στο σηµείο. Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier δε συγκλίνει απαραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υποχρεωτικά στη συνάρτηση f. Παρ όλα αυτά ισχύει: Λήµµα (Μοναδικότητας). Αν f, g είναι συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις, τότε fˆ = gˆ f = g. 3

Οσον αφορά τη συµπεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα (Riema-Lebesgue). Αν f L, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της f είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim f ˆ =, + lim a + = limb =. + Σηµειώνουµε ότι η συνέχεια της f δε διασφαλίζει τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier. Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα. (α) Εστω f είναι περιοδική συνάρτηση µε /, /. Τότε: τµηµατικά συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] N N = + + f f είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της f στο σηµείο αντιστοίχως. σηµειακά. Υπενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί f ( + ), f ( ) (β) Αν f είναι συνεχής περιοδική συνάρτηση µε τµηµατικά /, /, τότε: συνεχή παράγωγο στο διάστηµα [ ] lim S [ f] f N N =, µε τη σύγκλιση να είναι απόλυτη και οµοιόµορφη. Πρόταση. Αν f είναι παραγωγίσιµη περιοδική συνάρτηση και f L, τότε η σειρά Fourier της f παραγωγίζεται όρο προς όρο. υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µπορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας απόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης. Τότε όµως πως µπορούµε να ξεχωρίσουµε πότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο 4

Θεώρηµα (Riesz-Fischer). Εστω { c } = αθροίσιµη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, δηλαδή είναι µια τετραγωνικά c <. = Τότε υπάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη περιοδική συνάρτηση f (δηλαδή f () t dt < ) τέτοια / ώστε / c = f ˆ. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων περιοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι πολύ σηµαντικός. Κατ αρχήν περιέχεται στον L. Στο χώρο L µπορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / / f, g = f g ( ) d. ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα f στον L έτσι ώστε / f f, f f d = =. / Τότε λέµε ότι τα στοιχεία f, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν πi f, g =. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο e είναι µια = ορθοκανονική βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε f L { } υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών c ( f ) = πi πim πi πim,, = = f = c f e f e = c f e e πim ˆ f, e = c f c f = f m. m m έτσι ώστε 5

Eπιπλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα (Ταυτότητα του Parseval). Αν f L,τότε όπου { },{ } ( ), / f d= a / + a + b = a b είναι όπως παραπάνω. Ισοδύναµα: / f d= f. / = Σηµείωση. Αν f είναι µια περιοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = a + acos = και µιλούµε για σειρά συνηµιτόνων της f. Αν η f είναι µια περιοδική και περιττή συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της f παίρνει τη µορφή π S[ f] = b si = και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της f. Συµπερασµατικά, η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός που αναλύει µια περιοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών). ηλαδή από µια (συνεχή) συνάρτηση f προκύπτει fˆ,. Το είναι η συχνότητα που µια διακριτή ακολουθία µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά περίοδο. Eτσι ο αριθµός ˆf ( ) µας δίνει ένα µέτρο του κατά πόσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην αναπαράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier αυτής. 6

Β5. Μετασχηµατισµός Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Ορισµός. Εστω f : είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο, δηλαδή f L: = L( ). Ορίζουµε το µετασχη- µατισµό Fourier της f ως εξής: πiγ f γ = f e d, γ. Κατ αρχήν αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier που αποδεικνύονται εύκολα: Πρόταση. Εστω f, g L. Eχουµε: af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα). F. F. Αν f f ( τ ) τ =, τότε F3. Για ω ισχύει: ˆ i f f e πγτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο). πω i i e f ( γ ) = fˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες). F4. Για a { } ισχύει:: f ˆ γ = a a f ( a ) ( γ ) (διαστολή στο χρόνο). F6. Αν F = f t dt και F L, τότε ( γ ) ˆ ˆ f F ( γ) =, γ {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο). πγ i F7. Αν και ( k ) f, f,..., f L, τότε: ( k ) f, f,..., f, 7

( k ) k f ( γ ) ( πγ i ) fˆ ( γ) = (παράγωγοι στο χρόνο). F8. Αν f L ( ) και f L και: ( i) f f τότε η f είναι παραγωγίσιµη π γ = γ (παράγωγος στις συχνότητες). f g f t g t dt είναι η συνέλιξη των f, g, τότε F9. Αν = ( ) Λήµµα. Αν f, g L f g γ = f( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο)., τότε = f g d f g d. Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Fourier συναρτήσεων ορισµένων χρήσιµων συναρτήσεων. Αν f = [ ] ( A> ), τότε f ( γ ) χ A/, A/ ( A ) ηµ π γ =. πγ ηµ ( π A) Αν f = ( A> ), τότε f ( γ ) χ[ ]( γ) =. A/, A/ π f = A AA, A χ ηµ ( πaγ) > =. A ( πγ ) ηµ ( π A) γ f A π = και αντιστρόφως. + Αν [ ], τότε f ( γ ) Αν =, τότε f ( γ) = χ[, ]( γ) ( A> AA ) A Αν f = e, τότε f ( γ ) Αν f = e π, τότε f ( γ ) Θεώρηµα. Εστω Fourier της f. Τότε: f L ( πγ ) = e πγ. και f είναι ο µετασχηµατισµός (α) Η f είναι οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση στο. (β) (Αντιστροφής): Aν f L, ισχύει. 8

πγ γ i f = f e dγ σε κάθε σηµείο συνέχειας της f. Η συνάρτηση καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f. (γ) (Μοναδικότητας): Aν =, τότε σηµείο συνέχειας της f. f γ (δ) (Riema-Lebesgue): f ˆ ( γ ) γ lim =. γ πγ i f γ e dγ f = σε κάθε Σηµείωση. (α) Είναι εύκολο να δούµε ότι το θεώρηµα αντιστροφής µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή πγ i πγ i f f e d e d = ( ) f συν πγ d dγ. = Ετσι, αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο, τότε ( ) ( ) f f συν πγ d συν πγ dγ = και ορίζουµε το συνηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: f ( γ) = f συν( πγ) d µε τύπο αντιστροφής: f = f γ συν πγ dγ. γ Αν η f είναι περιττή συνάρτηση στο, τότε ορίζουµε τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της f ως εξής: µε τύπο αντιστροφής: ( γ) ηµ ( πγ ) f = f d. ( ) f = f γ ηµ πγ dγ. 9

Β6. Μετασχηµατισµός Laplace. Ορισµός. Εστω f :, [ ) της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση +. Καλούµε µετασχηµατισµό Laplace + b st = L = = st F s f s f() t e dt lim f() t e dt b + για όλες τις τιµές του s για τις οποίες το µη γνήσιο st ολοκλήρωµα της f () te συγκλίνει. Ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει µια συνάρτηση ορισµένη στο πεδίο του χρόνου t σε µια νέα συνάρτηση F( s ). ηλαδή: f L F. Εφόσον ο µετασχηµατισµός Laplace απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L που να απεικονίζει το µετασχηµατισµό Laplace στην αρχική συνάρτηση f. Πράγµατι υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω. Ετσι για το µετασχηµατισµό Laplace γράφουµε: f L F. Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Laplace δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα. Εστω f :, [ ) + είναι µια συνάρτηση: (i) τµηµατικά συνεχής (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασµένου πλήθος σηµείων t,..., t N για τα οποία υπάρχουν lim f t και lim f ( t), i=,..., N και είναι τα πλευρικά όρια πεπερασµένα) και + t t i t t i at (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ). e f t M t > c, όπου M, ac, f

Τότε ο µετασχηµατισµός Laplace της f ορίζεται για κάθε Re( s) και επιπλέον lim Fs =. s > a Αναφέρουµε το µετασχηµατισµό Laplace ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων. L () =, Re( s) >. s at L ( e ) =, Re( s ) Re( a ) s a >.! L t =,Re() s >,. s + a L ( ηµ ) =,Re() s s + a >. s L ( συν at ) =,Re() s s + a >. ( at) Αν εξαιρέσουµε τέτοιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο µετασχηµατισµός Laplace υπολογίζεται µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν. Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι οι ιδιότητες αυτού που διευκολύνουν τους υπολογισµούς. Εχουµε: Γραµµικότητα. ( af ± bg )( s) = a ( f )( s) ± b ( g )( s) L L L. Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων s. ( f () te bt ) = ( f)( s b) L L. Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου. Aν τότε ( ) f t b t b g() t =, t, b> t < b bs ( g( t) )( s) = e ( f )( s) L L.

Σηµείωση. Εστω, t > b ub () t =, t, b>, t < b είναι είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeaviside. Τότε η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: Αν f :, [ ) ( ) bs b, R e L u f t b = e L f s > a. ιαστολή/στάθµιση. s L( f( bt) ) = L ( f ). b b Momets. ( = ) L t f() t ( ) L f () s. Παράγωγοι. είναι φορές παραγωγίσιµη µε εκθετικής τάξης ( ) a παραγώγους f,..., f για κάθε t και τµηµατικά συνεχή παράγωγο f, τότε ( k) k k ( k ) ( k ) ( f ) = s ( f ) s f ( )... sf ( ) f ( ) L L. Αν τότε: Συνέλιξη + () f g t = f ω g t ω dω. t () f g t = f ω g t ω dω. Ορισµός. Εστω F: A : F = F( s). Αν υπάρχει συνάρτηση f :, + : f = f() t L f s = F s, τότε η f [ ) τέτοια ώστε καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της γράφουµε F και

Άρα f = L. ( F ) L f = F L F = f. Αν FG, είναι οι µετασχηµατισµοί Laplace δυο συνεχών συναρτήσεων f, g :[, + ), τότε µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace: Γραµµικότητα. ( af ± bg) = a ( F ) ± b ( G) L L L. Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων. ( ) bt L F s b = f() t e, t. Μετάθεση στο πεδίο χρόνου. ( bs e F( s) ) = u f( t b), ( t, b> ) L b. ιαστολή. ( ) t L F bs = f, t, b>. b b Momets. L ( ) F = t f( t), t. Συνέλιξη. ( ( ω) ( ω) ) L F G = f g. 3

KΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή... Μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Γενικά. Καλούµε µερική διαφορική εξίσωση (Μ Ε), ή διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους ( ΕΜΠ), µια εξίσωση που περιέχει µια άγνωστη πραγµατική συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών και τουλάχιστον µια από τις µερικές παραγώγους της. Τάξη Μ Ε καλείται η τάξη της µεγαλύτερης µερικής παραγώγου που περιέχεται στη διαφορική εξίσωση. Για παράδειγµα, αν u: : u= u(, ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στο, τότε η γενική µορφή των Μ Ε ης τάξης είναι Για παράδειγµα, οι ( ) F,, u, u, u =. u + u = + +, u u u είναι Μ Ε ης τάξης. + =, + uu+ u u=, Ορισµός.. Λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε. Ορισµός.. Γενική λύση Μ Ε καλείται µια οικογένεια λύσεων αυτής που περιέχει αυθαίρετες συναρτήσεις, το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε την τάξη της. Ορισµός.3. Μερική λύση Μ Ε καλείται κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη Μ Ε και προκύπτει από τη γενική λύση της µε συγκεκριµένη επιλογή των αυθαίρετων συναρτήσεων. Παράδειγµα. Εστω u C πραγµατική συνάρτηση µε u = ( + ). Η γενική λύση αυτής υπολογίζεται µε απευθείας ολοκληρώσεις: 4

u = ( + ) u = ( + ) d= + + a ( ) u = + + a d = + + a d + b = + + +. u a b Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες Μ Ε: οι γραµµικές και οι µη γραµµικές. Υπενθυµίζουµε ότι αν V είναι ένας πραγµατικός ή µιγαδικός διανυσµατικός χώρος, τότε ένας τελεστής L :V V καλείται γραµµικός, αν,, η,, L au + bv = al u + bl v a b u v V. Ετσι, για τη διδιάστατη περίπτωση, αν ABΓ,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : άγνωστη συνάρτηση, τότε κάθε Μ Ε της µορφής A, u + B(, ) u +Γ, u = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, διότι αν θεωρήσουµε το αριστερό µέλος της παραπάνω ισότητας ως ένα τελεστή L ( u) = Au (, ) + Bu (, ) +Γ( u, ), τότε L au + bv = al u + bl v. Υπενθυµίζουµε ότι αν uv, είναι δυο λύσεις µιας οµογενούς Μ Ε, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύση της ίδιας Μ Ε. Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης. Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (, ) (, ) A u + Bu +Γ u= f, όπου AB,, Γ, f: είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, αν αθροίσουµε τη γενική λύση της οµογενούς Μ Ε και µια µερική λύση της µη οµογενούς Μ Ε παίρνουµε τη γενική λύση της µη οµογενούς Μ Ε. 5

Κάθε Μ Ε της µορφής (, ) (, ) (,, ) A u + Bu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση καλείται ηµιγραµµική Μ Ε ης τάξης. Πρόκειται για µια κλάση µη γραµµικών Μ Ε. Αν (,, ) = Γ(, ) (, ) C u u f τότε η παραπάνω ανάγεται σε γραµµική Μ Ε. Μια πιο ευρεία κλάση από τις ηµιγραµµικές Μ Ε είναι οι σχεδόν γραµµικές Μ Ε (,, ) (,, ) (,, ) A uu + Buu = C u, όπου ABC,, : είναι γνωστές συναρτήσεις και u : είναι άγνωστη συνάρτηση. Ολες οι παραπάνω επιλύονται µε παρόµοιο τρόπο. Παράδειγµα. Εστω u C και u + α u =, α είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε. Τότε: u u + α u = (, α) i( u, u) = (, α) i u= =, a όπου a = (,α ). Εφόσον η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a ισούται µε µηδέν, η γενική λύση u της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε ευθείας παράγεται απ το διάνυσµα a, δηλαδή κατά µήκος όλων των ευθειών της µορφής = α + b, b αυθαίρετη σταθερά. Αυτές καλούνται χαρακτηριστικές καµπύλες της Μ Ε. Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε ευθεία = α + b, όπου C σταθερά κατά µήκος συγκεκριµένης ευθείας που µεταβάλλεται κάθε φορά που 6

αλλάζει η ευθεία, δηλαδή εξαρτάται απ το b, συνεπώς το C είναι συνάρτηση του b. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι: (, ) ( α ) u = C b = C, όπου C είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη πραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 3. Εστω u C και eu + u = είναι µια οµογενής γραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. [ ] r είναι µια καµπύλη σε =, τότε απ τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dz u d = + u d = u d d + u. dt dt dt dt dt Αν θέσουµε d = e dt, d = dt τότε dz eu u dt = + =. Αν ( t) = ( t), ( t), t I: = a, b παραµετρική µορφή και zt ut, t Η ισότητα αυτή υπονοεί ότι η λύση της Μ Ε είναι σταθερή κατά µήκος οποιασδήποτε χαρακτηριστικής καµπύλης r µε εφαπτόµενο διάνυσµα r ( t) = ( ( t), ( t) ) = ( e, ). Η οικογένεια αυτών των χαρακτηριστικών καµπύλων προκύπτει από τη λύση της συνήθους δ.ε. d / dt d = = d / dt e d e και έχει τη µορφή e e a = + +, a αυθαίρετη σταθερά. 7

Ετσι, u(, ) = C πάνω σε κάθε καµπύλη e e a = + +, όπου C σταθερά πάνω σε κάθε χαρακτηριστική καµπύλη που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη, δηλαδή εξαρτάται απ το a, συνεπώς είναι συνάρτηση του a. Αρα η γενική λύση της Μ Ε είναι η εξής: u, = C a = C e e, όπου C είναι µια αυθαίρετη παραγωγίσιµη παραγµατική συνάρτηση στο. Παράδειγµα 4. Εστω u C και u + u = u είναι µια ηµιγραµµική Μ Ε µε µη σταθερούς συντελεστές. Καλείται έτσι διότι ο σταθερός όρος είναι και συνάρτηση του u. Εστω. ιαιρώντας και τα δυο µέλη της παραπάνω παίρνουµε: u u + u =. () Θέτουµε d =, d απ όπου προκύπτει η γενική λύση Εστω z u(, ) = c,c σταθερά. = είναι λύση της Μ Ε. Τότε η λύση αυτή εξαρτάται µόνον απ το κατά µήκος κάθε καµπύλης = c. Eτσι, z = u, c και µε χρήση του κανόνα αλυσίδας έχουµε Αντικαθιστώνας dz u u = + = u + cu d = c στην () παίρνουµε. () u + cu u =, ( c) 8

οπότε η () γίνεται: Η λύση αυτής είναι dz = u u z + cu = =. d c c c z= + d l κατά µήκος της καµπύλης = c, όπου d σταθερά που µεταβάλλεται κάθε φορά που αλλάζει η καµπύλη = c, δηλαδή εξαρτάται απ το c, συνεπώς είναι συνάρτηση του c. Αρα η γενική λύση είναι: z = u(, ) = + d l, όπου d είναι αυθαίρετη παραγωγίσιµη συνάρτηση στο. Συχνά θέλουµε να υπολογίσουµε συγκεκριµένες λύσεις Μ Ε που ικανοποιούν επιπλέον συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές είναι: αρχικές συνθήκες, αν το πρόβληµά µας είναι χρονοεξαρτώµενο (δίνουν πληροφορία στην αρχή του χρόνου), συνοριακές συνθήκες, αν το πρόβληµα αναφέρεται σ ένα φραγµένο χωρίο (δίνουν πληροφορία για την κατάσταση στο σύνορο), είτε συνδυασµός αυτών. Μια Μ Ε µαζί µε τις επιπλέον συνθήκες λέµε ότι αποτελεί ένα πρόβληµα. Ενα πρόβληµα είναι καλώς τεθιµένο αν έχει µοναδική και ευσταθή λύση, δηλαδή µικρή µεταβολή των συνθηκών επιφέρει εξίσου µικρή µεταβολή στη λύση. Παράδειγµα 5. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών/συνοριακών συνθηκών ut + u = u(,) =,, t >. u(, t) = Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το 9

µετασχηµατισµό Laplace. Εστω t (, ) = L u(, t) F s είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της u ως προς t (υπό την προϋπόθεση ότι η u είναι εκθετικής τάξης ως προς t ). Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο > και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Laplace L t και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace (βλέπε παράγραφο Β.6) και παίρνουµε: d + = + = d t ( u u ) sf(, s) u(, ) F(, s) t L t L s d s F(, s) + F(, s) =. > d s u, = Για σταθεροποιηµένο s, η παραπάνω είναι µια γραµµική Ε ης τάξης ως προς > µε γενική λύση: s s d d s s F(, s) = e C( s) e + d = C( s) + d s s Aλλά s+ s C s = C() s + = + s s( s+ ) s s+ t t u, t = L u, t = L F, s =.. Πρέπει λοιπόν C( s ) =, συνεπώς: t t F(, s) = L ( F(, s) ) = L s( s+ ) s( s+ ) t t t u(, t) = L = s( s L L + ) s s+ t = e, t >. 3

Παράδειγµα 6. Επιλύστε το πρόβληµα αρχικών συνθηκών u + cu =,,, c, u(, ) = f ( ) υπό την προϋπόθεση ότι η u C, u( ) lim, =, τόσο η u όσο η u (, γ ) (ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς ) είναι ολοκληρώσιµες στο και η f C ( ) είναι µια γνωστή ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο µε lim f ( ) = και ο µετασχηµατισµός Fourier f είναι επίσης ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο. Θα επιλύσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας το µετασχη- µατισµό Fourier. Εστω u(, ) u(, ) γ = F, όπου F είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της u ως προς και είναι καλά ορισµένος. Σταθεροποιούµε προς στιγµήν κάποιο και εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Fourier F και στα δυο µέλη της Μ Ε. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε παράγραφο Β.5) και παίρνουµε: d F u (, ) + cu = F πγ i u γ + c u(, γ) = d c d π iγ u(, γ) + u (, γ) =. d c Για σταθεροποιηµένο γ, η παραπάνω είναι µια οµογενής γραµµική Ε ης τάξης ως προς µε γενική λύση: Aλλά i u, γ = C γ e πγ. (, ) (, γ ) ( γ) ( γ) ( γ) u = f u = f C = f. Ετσι: 3

πγ, (, ) ( ) γ γ F γ F γ i u = f e u = f u(, ) = f c. Σηµείωση. (α) Τα παραδείγµατα 5 και 6 µπορούν να επιλυθούν όπως το παράδειγµα. ηλαδή, βρίσκουµε τη γενική λύση και στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις επιπλέον συνθήκες. (β) Οι µέθοδοι Laplace και Fourier µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνον σε προβλήµατα αρχικών/συνοριακών συνθηκών που σχετίζονται µε γραµµικές Μ Ε. (γ) Προβλήµατα αρχικών/συνοριακών τιµών όπως τα παραπάνω µπορεί να έχουν µοναδική, άπειρες ή και καµία λύση. εν θα αναφερθούµε εδώ σε συνθήκες µοναδικότητας της λύσης... Μερικές ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ταξινόµησή τους. Στον, κάθε Μ Ε της µορφής Au, + Bu (, ) +Γ u, + u, + Eu, + Z u, = καλείται οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης, ενώ η A u, + Bu (, ) +Γ u, + u, + E u, + Z u, = f(, ) καλείται µη οµογενής γραµµική Μ Ε ης τάξης. Στις παραπάνω ισότητες οι A, B,..., Z και f είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών. Μια διδιάστατη γραµµική Μ Ε ης τάξης καλείται: Ελλειπτική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, >. Υπερβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, <. Παραβολική σε σηµείο (, ), αν ( A B )( ) 4 Γ, =. Η ταξινόµηση αυτή µας θυµίζει την ταξινόµηση δευτεροβάθµιων καµπύλων στο επίπεδο. 3

Αν η Μ Ε είναι π.χ. ελλειπτική σε κάθε σηµείο χωρίου E, τότε λέµε ότι η Μ Ε είναι ελλειπτική στο E. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις π.χ. ελλειπτικών γραµµικών Μ Ε ης τάξης είναι οι εξισώσεις Laplace και Poisso που θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Ο παραπάνω χαρακτηρισµός γενικεύεται και για >. Εστω (,..., = ) και u C ( ) : u = u είναι πραγµατική συνάρτηση. Κάθε Μ Ε της µορφής + +Γ = i, j= ij r= r A u B u u f, i j r όπου A A A = A A είναι γνωστός συµµετρικός πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων µεταβλητών και Br = Br( ), Γ =Γ( ), f = f ( ) είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις, καλείται µη οµογενής,..., = και γραµµική Μ Ε -τάξης. Eστω + ( ), ( ), ( ) µηδενικών ιδιοτιµών του πίνακα ( ) N N N είναι το πλήθος των θετικών, αρνητικών ή η ανωτέρω Μ Ε είναι: Ελλειπτική στο σηµείο Υπερβολική στο σηµείο N ( ) = και N + ( ) =. Παραβολική στο σηµείο N ( ) = και N ( ) =. A αντιστοίχως. Τότε λέµε ότι, αν N ( ), ή N + =. =, αν N ( ) και ( ) + = N =, αν N ( ) και ( ) + = N =, ή, ή 33

.3. Ασκήσεις.. Υπολογίστε την τάξη των κάτωθι Μ Ε: u 3u u u + + =, 3 3 + =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u.. Ποιες από τις παρακάτω Μ Ε είναι γραµµικές; u + 3u zuz = 4u, u u = u, u u + u =, u 3u u u + + =, 3 3 + =, 6 uz uz u u u 3 3 u 3u + u = u, uu + uu + uu = + u. 3. Yπολογίστε τη γενική λύση των Μ Ε: u + u =, u + 3u =, u(,) =, u u =, + u u u + =, 3 3, (,) u + u = u u = ηµ, u u = u, + = ( + ), ( u) u u u u u + + =, u 4. Ταξινοµήστε τις γραµµικές Μ Ε ης τάξης: =, uz = z. 3u + u + 5u + u =, u + u =, u = c u c>,, tt u + 4u + 5u + u + u =, u 4u + 4u + 3u + 4u =, u u 3u u 6u + + + =, + u + u u =. 5. Με χρήση του µετασχηµατισµού u = 3 v = + επιλύστε τη Μ Ε u + u 3u =. 34

6. Να επιλυθεί µε τη µέθοδο Laplace το πρόβληµα αρχικώνσυνοριακών τιµών ut u = u(,) =,, t >. u(, t) = 7. Να επιλυθεί τη µέθοδο Fourier το πρόβληµα u + 3u =,,. u(,) = e 35