KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. x = x, yz, δίνεται από τη σχέση. KqQ x. διότι είναι πεδίο κλίσεων, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού.

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 1 H Εξίσωση Laplace 11 Eισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναµη Coulomb F που προκαλείται από ακίνητο σηµειακό φορτίο q στην αρχή των αξόνων σε φορτίο Q = z δίνεται από τη σχέση που φέρνουµε σε σηµείο ( K =σταθερά) όπου KqQ = 3 F = z Το πεδίο Coulomb F είναι συντηρητικό στο 3 { } διότι είναι πεδίο κλίσεων δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµικού έτσι ώστε φ KqQ {} φ( ) = 3 : : F = φ στο 3 { } µε την υπόθεση ότι το δυναµικό στο άπειρο είναι µηδέν Επιπλέον µπορούµε εύκολα να δούµε ότι ισχύει ( ) στο 3 { } φ = Γενικότερα η γραµµική Μ Ε ης τάξης φ = Ω καλείται εξίσωση Laplace ή εξίσωση δυναµικού οι δε λύσεις φ αυτής καλούνται αρµονικές συναρτήσεις Γενικότερα κάθε εξίσωση της µορφής φ = f 36

2 όπου f f = είναι γνωστή συνάρτηση σε κάποιο υποσύνολο Ω του καλείται εξίσωση Poisso Μια φυσική ερµηνεία της εξίσωσης Poisso µας δίνει ο νόµος Gauss του ηλεκτροστατικού πεδίου Ε : ρ ( ) iε ( ) = ε όπου ρ ρ = είναι πυκνότητα φορτίου στον Αν φ είναι το δυναµικό του πεδίου (δηλαδή Ε = φ ) τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα ως εξίσωση Poisso: = ( ) ρ φ ( ) ε Λύνοντας την εξίσωση Poisso δίνουµε απάντηση στο πρόβληµα εύρεσης ηλεκτροστατικού πεδίου Ε που παράγεται από κατανοµή φορτίου ρ = ρ ( ) Αν έχουµε παντελή απουσία φορτίων τότε αναγόµαστε στην επίλυση του προβλήµατος Laplace = φ 1 Aρµονικές συναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε τις ιδιότητες των λύσεων της εξίσωσης Laplace δηλαδή των αρµονικών συναρτήσεων Πρόταση 11 (Μέσης τιµής) Εστω u C συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ω του και B( ) 1 u( ) = u ds B r B( r) ( ) ( σ) ( σ ) και Απόδειξη Για σταθεροποιηµένο έστω φ ( r) Ω είναι αρµονική ( r) 1 r = u ds B σ σ B( r) r Ω Τότε: 1 u = u d B B( r) 37

3 Xρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες (βλ παράγραφο «Χρήσιµα Στοιχεία Θεωρίας» του Κεφ ) έχουµε για σ = r σ : φ 1 1 σ σ σ σ r w w 1 ( r) = u( r ) r ds 1 u ( r ) ds = ( ) 1 B( 1) S Παρατηρούµε ότι 1 1 lim r 1 w ( r) = u( rσ ) ds( σ ) = u( ) φ 1 1 S λόγω συνεχείας της u στο σηµείο Παραγωγίζουµε ως προς r και τα δυο µέλη και παίρνουµε 1 φ 1 w S ( r) = u( rσ ) iσds( σ ) 1 1 = u Θ αποκλισης ( ) i σ B R B( R) r ( R) ( σ) ds( σ ) 1 = = u d B B( R) Παραπάνω στην 1 η ισότητα εφαρµόσαµε κανόνα αλυσίδας για τον u( rσ ) υπολογισµό της και στη συνέχεια αλλαγή µεταβλητής r σ r σ=σ Παρατηρώντας ότι το διάνυσµα είναι το r µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα πάνω στη σφαίρα B( R) µε φορά προς την εξωτερική της όψη µε εφαρµογή του Θεωρήµατος απόκλισης και της υπόθεσης ότι η u είναι αρµονική στο Ω (άρα u( ) = B( r) Ω) παίρνουµε φ ( r) = φ( r) = c για κάποια πραγµατική σταθερά c Αρα lim φ ( r) c u = = και r προκύπτει το ζητούµενο Απ την άλλη µεριά: 1 1 B r B r ( ) ( ) ( ) ( 1 ) u d r 1 = u ds d B r S ρ ρ ρ 38

4 ( ) ( ) ( 1) ( ) r r B u ρ dρ w u r w u = = = B r B r B r ( ) ( ) = B r u B r u u B r = B r = Ισχύει και το αντίστροφο της Πρότασης 11 ( ) Πρόταση 1 Αν Ω είναι ανοικτό σύνολο του είναι τέτοια ώστε u C και ( Ω ) 1 u( ) = u ds B r ( ) ( ) στο σύνορο κάθε µπάλας B( ) Ω B r ( σ) ( σ ) r Ω τότε η u είναι αρµονική στο Απόδειξη Αν u( ) για κάποιο Ω κάποια ανοικτή µπάλα B( r) έτσι ώστε πχ u B( r) Για σταθεροποιηµένο έστω φ r 1 = u ds = B σ σ u ( ) ( r) B r τότε θα υπήρχε > για κάθε όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω υπόθεσης Προφανώς φ ( r) = αλλά όπως δείξαµε στην απόδειξη της Πρότασης 11 ισχύει φ 1 ( r) = u d B R > B( R) Καταλήξαµε σε άτοπο συνεπώς η u είναι αρµονική στο Ω Αποδεικνύεται ότι κάθε αρµονική συνάρτηση u στο Ω έχει παραγώγους κάθε τάξης στο Ω δηλαδή u αρµονική στο Ω u C Ω 39

5 Ισχύει η ακόλουθη εκτίµηση για τις µερικές παραγώγους της u : Πρόταση 13 Εστω u είναι αρµονική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ω του και B( r) Ω = ( 1 ) Τότε: ( ) Απόδειξη Eχουµε u C u ma u( ) j = 1 r Br ( ) j Ω και είναι εύκολο να δούµε ότι και η u j είναι αρµονική συνάρτηση για κάθε j = 1 συνεπώς από την Πρόταση Μέσης Τιµής 11 και το Θεώρηµα Απόκλισης έχουµε ( ) u( ) ( ) u 1 1 = d = ( u) d B r B r e e ( ) j = 1 B r ( ) B r = 1 ( ) B r B r j ( u( σ) ) i σ ds σ ( ) ( σ) ( σ) ( σ) ( j B r u ds B r) όπου j είναι η j-συνιστώσα της µοναδιαίας καθέτου σε κάθε σηµείο της σφαίρας B( r) µε κατεύθυνση προς την εξωτερική της όψη Αρα: ( ) Br B( r) ( r) ma ( ) Br 1 B u j ( ) ma u( ) ds u B r σ = B r 1 r B 1 B 1 ma ma ma Br Br Br = u = u = u r B 1 r B 1 r Σηµείωση Οι εκτιµήσεις της Πρότασης 13 γενικεύονται και για µερικές παραγώγους ανώτερης τάξης Σηµειώνουµε ότι κάθε αρµονική συνάρτηση δεν έχει µόνον παραγώγους κάθε τάξης σε κάθε σηµείο της αλλά αναπτύσσεται και σε σειρά Talor γύρω από κάθε σηµείο της 4

6 Πρόταση 14 Αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο Ω τότε η u είναι αναλυτική συνάρτηση στο Ω (δηλαδή αναπτύσσεται σε σειρά Talor γύρω από κάθε σηµείο του Ω) Απόδειξη Παραλείπεται Θεώρηµα 11 Κάθε φραγµένη και αρµονική συνάρτηση στον είναι η σταθερή συνάρτηση Απόδειξη Αν u είναι αρµονική συνάρτηση στον και επιπλέον είναι και φραγµένη στον µ δηλαδή u( ) M στον τότε από την Πρόταση 13 έχουµε: ( ) ( ) u M r r u Aρα = για κάθε j = 1 και j για κάθε Τελικά η u είναι σταθερά στον j συνεπώς u = Σηµείωση Το Θεώρηµα 11 είναι γενίκευση του θεωρήµατος Liouville της µιγαδικής ανάλυσης Θεώρηµα 1 (Αρχή µεγίστου-ελαχίστου) (α) Ισχυρή µορφή: Eστω Ω είναι ανοικτό και συνεκτικό σύνολο του u είναι αρµονική συνάρτηση στο Ω και η u παρουσιάζει ολικό µέγιστο ή ολικό ελάχιστο στο Ω Τότε η u είναι η σταθερή συνάρτηση στο Ω (β) Ασθενής µορφή: Eστω Ω είναι ανοικτό συνεκτικό και φραγµένο σύνολο του και u είναι αρµονική συνάρτηση στο Ω και συνεχής στο σύνορο του Ω Τότε: ma Ω=Ω Ω Aπόδειξη Παραλείπεται u = ma u mi u = mi u Ω Ω=Ω Ω Ω 41

7 13 ιδιάστατη γενική λύση εξίσωσης Laplace Στην παράγραφο αυτή περιοριζόµαστε στις δυο διαστάσεις Kάθε οµογενής γραµµική Μ Ε της µορφής όπου u C : u = u( ) au hu bu = και abh είναι πραγµατικές σταθερές καλείται Μ Ε Euler H γενική λύση αυτής υπολογίζεται θέτοντας αρχικά: ξ = p q η = r s όπου p qrs είναι αυθαίρετες σταθερές Τότε: άρα: u = u ξ u η = pu ru u = u ξ u η = qu su ξ η ξ η ξ η ξ η u = pu ru = p u u r u u ( ξ η ) ( ξξξ ηξη ) ( ξηξ ηηη ) Oµoίως: και = p uξξ pruηξ r uηη = u q uξξ squηξ s uηη u = pqu ( rq sp) u rsu ξξ ηξ ηη Αντικαθιστώντας στην αρχική Μ Ε παίρνουµε ( ) ξξ ( ( )) ap hpq bq u apr bsq h rq sp u ar hrs bs u ηη = (1) Επιλέγουµε τώρα τις σταθερές p qrs έτσι ώστε p = r = 1 και qs να είναι οι λύσεις λ1 λ της εξίσωσης a h b b λ λ = () ηξ 4

8 Τότε η (1) γράφεται ως εξής: Αλλά: και η (3) γίνεται: ( ( λ1 λ) λλ 1 ) a h b u ηξ = (3) λ1 λ = h/ b λλ 1 = a/ b 4ab h u ηξ = Εστω ( ab h ) 4 Τότε: και εφόσον uηξ = uη = A η u= A η B ξ ξ = λ1 η = λ παίρνουµε τη µερική λύση όπου AB C ( λ ) ( λ ) u = A B 1 είναι αυθαίρετες συναρτήσεις και λ1 λ όπως παραπάνω Στη συνέχεια διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: A 4ab h < (Υπερβολική Μ Ε) Οι ρίζες λ1 λ της () είναι πραγµατικές και άνισες συνεπώς η γενική λύση δίνεται από τη σχέση ( λ ) ( λ ) u = A B 1 Β 4ab h > (Ελλειπτική Μ Ε) Οι ρίζες λ1 λ της () είναι συζυγείς µιγαδικές της µορφής λ1 = C id λ = C id 43

9 οπότε η γενική λύση δίνεται από τη σχέση u = A( C id) B( C id) Η εµφάνιση µιγαδικών ορισµάτων είναι µια γενικότερη ιδιότητα των ελλειπτικών συστηµάτων Η εξίσωση Laplace u u = είναι µια ελλειπτική εξίσωση Euler µε a= b= 1 h= Τότε η () παίρνει τη µορφή λ 1= λ =± i και συνεπώς η γενική λύση της διδιάστατης εξίσωσης Laplace είναι της µορφής: 1 u = A( i) B( i) Γ 4ab h = (Παραβολική Μ Ε) Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε p = 1 και qrs οπότε η (1) γίνεται a hq bq u ar bsq h rq s u ξξ ( ) Αν το q επιλεγεί να είναι ρίζα της εξίσωσης ar hrs bs u ηη = (4) ηξ a hλ bλ = τότε εφόσον 4ab h = παίρνουµε: h q = b διπλη Ετσι ο 1 ος και ο ος όρος της (4) µηδενίζονται διότι 44

10 h h r ar bsq h( rq s) = ar bs h r s = ( 4ab h ) = b b b Αν λοιπόν ar hrs bs παίρνουµε όπου AB C uηη = uη = A ξ u= B ξ ηa ξ h h u= B ( r s) A b b είναι αυθαίρετες συναρτήσεις και rs είναι αυθαίρετες σταθερές Σηµείωση: Eστω u u = είναι η διδιάστατη εξίσωση Laplace και ξ = cosθ siθ η = siθ cosθ είναι στροφή του καρτεσιανού συστήµατος ( ) κατά γωνία θ αντιωρολογιακά Εργαζόµενοι όπως παραπάνω για q= r = siθ παίρνουµε p = s = cosθ και Αρα: u = u cos θ u siθcosθ u si θ ξξ ηξ ηη u = u si θ u siθcosθ u cos θ ξξ ηξ ηη u u = u u = ξξ ηη ηλαδή ο τελεστής Laplace είναι αναλλοίωτος ως προς τις στροφές του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων 45

11 14 Θεµελιώδης λύση εξίσωσης Laplace στον Εξίσωση Poisso στον Εστω ( ) = 1 είναι ένα διάνυσµα θέσης στον όπου Είδαµε παραπάνω ότι ο (διδιάστατος) τελεστής Laplace είναι αναλλοίωτος ως προς τις στροφές Είναι λογικό λοιπόν να αναζητήσου- µε λύσεις της εξίσωσης Laplace που εξαρτώνται µόνον από την απόσταση απ την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων δηλαδή αναζητούµε ακτινικές λύσεις ( ) u: : u = u r r = µε συνεχείς παραγώγους ης τάξης τέτοιες ώστε Τότε για κάθε j = 1 έχουµε: j u = u = u r r = u r υπό την προϋπόθεση r και επιπλέον u r u r u r u = = r r r j j j j j d dr u r u r u r u r r u r = = j j j j r dr r dj r r r ( r) u = j r r r 1 j 3 u r Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace παίρνουµε: u r u r 1 j 1 j = 3 j= 1 j = r r r u r u r r = r r r r 3 j r j 46

12 1 u ( r) u ( r) = ( r ) r Η παραπάνω είναι µια Ε ης τάξης ως προς r > µε γενική λύση: Ετσι u ( ) al b = = c abcd d > ( ) { } στο u( ) = δεν οριζεται στο σηµειο = Μπορούµε να εκλέξουµε κατάλληλα τις παραπάνω σταθερές abcd ώστε η u να ικανοποιεί την εξίσωση = u δ όπου δ είναι ο τελεστής Dirac που ορίζεται (τουλάχιστον) πάνω στο χώρο C c ( ) όλων των συναρτήσεων f µε παράγωγο κάθε τάξης πάνω σε φραγµένο φορέα µέσω της σχέσης Πράγµατι: δ = ( ) = f d f d dd d Ορισµός 11 Εστω = ( ) 1 1 και w 1 είναι το εµβαδόν -1 της µοναδιαίας σφαίρας S στον Η συνάρτηση l = π Φ ( ) = 1 3 ( ) w 1 καλείται θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον συνάρτηση Gree για τη Λαπλασιανή στον ) (ή και 47

13 u = δ µοντελοποιεί το πρόβληµα εύρεσης του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από ακίνητο µοναδιαίο σηµειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων Σηµείωση Η Πρόταση 15 Αν Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον όπως παραπάνω τότε: Φ =δ Σκιαγράφηση απόδειξης Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε f C c Φ = ( ) f d f Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού είναι ειδική περίπτωση της απόδειξης του ακολούθου θεωρήµατος 13 Εστω τώρα f C c και Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace όπως παραπάνω Τότε ορίζεται η συνέλιξη f Φ( ) = f ( ) Φ ( ) d = f( ) Φ( ) d Eργαζόµενοι µη αυστηρά παρατηρούµε ότι Φ = Φ = Φ f f d f d δ f d f = = ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι η u Poisso Πιο αυστηρά έχουµε: u= f στον Θεώρηµα 13 Εστω f C c = f Φ είναι λύση της εξίσωσης και Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace όπως παραπάνω Για κάθε 3 η εξίσωση Poisso u = f έχει λύση 48

14 τέτοια ώστε u = f Φ C u( ) Για = η παραπάνω λύση είναι µοναδική αν u καθώς Απόδειξη (α) Εστω 3 u ( ) και c Για R > ορίζουµε B ( R) = B( R) της ανοικτής µπάλας B( R) στον u f C f C και Φ = Φ ( ) λόγω του ότι c να είναι το συµπλήρωµα Σηµειώνουµε ότι d είναι B( R) φραγµένο για φιξαρισµένο R Με το συµβολισµό (ή ) δηλώνουµε τον τελεστή Laplace ως προς (ή ) Τότε είναι εύκολο να δούµε ότι ( ) ( ) Φ = Φ λόγω συµµετρίας Eχουµε λοιπόν: = Φ = Φ u f d f d B ( ) f d f d c ( ε ) B ( ε I1( ε ) I( ε ) ) = Φ Φ = Σηµειώνουµε εδώ το γεγονός ότι τα παραπάνω ολοκληρώµατα 1 είναι µη γνήσια εφόσον η Φ ( ) = δεν ορίζεται καν ( ) w 1 στην αρχή των αξόνων Γι αυτό το λόγο θεωρούµε ε > χωρίζουµε το ολοκλήρωµα σε δύο µέρη και µελετούµε τα όρια I ε I ε για ε 1 I1 ε ε f C c f είναι συνεχής συνάρτηση σε συµπαγές διάστηµα άρα φραγµένη από σταθερά C συνεπώς: Εχουµε διότι άρα η 49

15 I ( ε ) w = w r 1 C d C ε r drds ( B ) ( ε ) ( ) 1 1 S ( ) w ( ) ( ) 1 w 1 ε C ε C r Cε = rdr ds = = ε S Για να µελετήσουµε περαιτέρω το I ε εφαρµόζουµε τη η ταυτότητα Gree (βλέπε «Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας» Κεφ ) για c v= f Ω= B ε και έχουµε: ( ) ( φιξαρισµένο) u = Φ( ) και όπου ( σ) B c ( Φ ( ) ( ) Φ ) ( ε ) f f d f σ Φ σ = Φ f ( ) ds c B ( ε ) σ σ σ σ = = σ ε c προς την εξωτερική όψη της B ( ε ) c έχουµε Φ ( ) = στο χωρίο B ( ε ) ( σ) είναι η µοναδιαία κάθετος µε κατεύθυνση Αλλά από την Πρόταση 15 Επιπλέον: Φ 1 1 σ = Φ ( σ) ( σ) = ( ) w 1 σ σ 1 σ σ 1 1 = = w 1 σ σ w 1 σ 1 Eτσι η παραπάνω ταυτότητα Gree γίνεται: B c ( ) f Φ d ε ( σ) f 1 1 = Φ ( ) f σ σ c B ( ε ) 1 w 1 σ ds 5

16 c = Φ B ( ε ) ( ) f ( σ) ds ( σ) 1 1 f w σ c B 1 ( σ) ds( σ) ( ε 1 ) ( ε ) ( ε) ( ε) I = I I 3 4 Αλλά I3 ( ε) ε κάναµε για το I1( ε ) ) Οσον αφορά το I4 (εργαζόµαστε µε τον ίδιο τρόπο όπως 1 1 I f ds ( ε ) = ( σ) ( σ) 4 c 1 ( w B ε ) 1 σ 1 1 ε = f ( ε ) ds( ) w σ σ σ = S εσ 1 S 1 1 ε έχουµε 1 1 = f ( ε ) ds( ) f ( ε ) f ds f 1 1 w σ σ = w σ σ S f ( ) ε λόγω συνεχείας της f στο Ετσι προκύπτει το ζητούµενο Οσον αφορά τη συµπεριφορά της λύσης στο άπειρο έχουµε: Φ( ) = Φ( ) u f d f d B ( R) για κάποιο R > διότι η f έχει συµπαγή φορέα άρα υπάρχει κάποιο R > τέτοιο ώστε ο φορέας της f να περιέχεται εντός της µπάλας B( R) Εστω > R Τότε Ετσι: 1 R < < u B ( R) CB( R) C 1 d w < w

17 Tέλος αν uv είναι δύο λύσεις µε την παραπάνω συνθήκη στο άπειρο τότε η w= u v είναι λύση της εξίσωσης Laplace µε u v Αρα από το Θεώρηµα Liouville 11 η u v είναι σταθερά Μάλιστα η σταθερά αυτή είναι µηδέν διότι w (β) Eστω = Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται µε εντελώς ανάλογο τρόπο όπως η (α) Η απόδειξη παραλείπεται 15 Συνοριακές Συνθήκες Dirichlet και µοναδικότητα λύσης Είδαµε παραπάνω τη γενική λύση της διδιάστατης εξίσωσης Laplace Από τις γενικές λύσεις είναι εν γένει δύσκολο να εντοπίσουµε συγκεκριµένες λύσεις που ικανοποιούν δοθείσες συνοριακές συνθήκες Επειδή η εξίσωση Laplace συνδέεται µε τη µελέτη προβληµάτων σε κατάσταση ισορροπίας (χρονοανεξάρτητα) χρησιµοποιούµε συνοριακές και όχι αρχικές συνθήκες Το u C Ω C Ω έτσι ώστε πρόβληµα εύρεσης συνάρτησης u( ) g = Ω u = Ω όπου g είναι γνωστή συνάρτηση πάνω στο σύνορο του Ω καλείται πρόβληµα Dirichlet στο Ω και οι συνοριακές συνθήκες καλούνται συνθήκες Dirichlet Για παράδειγµα το πρόβληµα εύρεσης του δυναµικού u ηλεκτροστατικού πεδίου Ε στο εσωτερικό χωρίου Ω αν είναι γνωστές µόνον οι τιµές του u πάνω στο σύνορο του Ω µοντελοποιείται από ένα πρόβληµα Dirichlet Ας δούµε ένα άλλο παράδειγµα: Eστω u( θ) = g θ είναι η θερµοκρασία πάνω στο σύνορο Ω χωρίου Ω η οποία διατηρείται συνεχώς η ίδια ανεξαρτήτως χρόνου Αφήνουµε τη θερµότητα να ρέει µόνον προς το εσωτερικό του Ω (υποθέτουµε ότι το Ω δεν έχει άλλες πηγές θερµότητας) ώσπου να επέλθει κατάσταση ισορροπίας όπου η θερµοκρασία u( ) σε κάθε σηµείο στο εσωτερικό του Ω δε µεταβάλλεται πια Τότε η θερµοκρασία u( ) 5

18 στο εσωτερικό του Ω δίνεται από την επίλυση του προβλήµατος Dirichlet u( ) = Ω u( θ) = g( θ) θ Ω Αν στο εσωτερικό του Ω υπάρχουν και άλλες πηγές θερµότητας µε κατανοµή f ( ) τότε σε κατάσταση θερµικής ισορροπίας αρκεί να λύσουµε το πρόβληµα Poisso u f g = u Ω θ = θ θ Ω Ενα άλλο είδος συνοριακών συνθηκών είναι οι συνθήκες Newma: u = Ω u( ) = f ( ) Ω όπου u = ui είναι η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση της µοναδιαίας καθέτου στο σύνορο του Ω µε φορά προς την εξωτερική όψη του Ω Μια φυσική ερµηνεία αυτής της συνθήκης όσον αφορά το προηγούµενο παράδειγµα είναι ότι µέσω του συνόρου µεταφέρεται θερµότητα στο εσωτερικό µε προκαθορισµένο τρόπο υπό την προϋπόθεση ότι ο συνολικός ρυθµός µεταβολής θερµότητας ισούται µε µηδέν Τέλος έχουµε και τις συνθήκες Robi οι οποίες είναι µικτές συνοριακές συνθήκες της µορφής u( ) = Ω a u u = f Ω όπου a f είναι γνωστές συναρτήσεις Θεώρηµα 14 Εστω Ω είναι ανοικτό συνεκτικό και φραγµένο σύνολο του Τότε αν υπάρχει λύση u C ( Ω) C( Ω) στο πρόβληµα Dirichlet τότε αυτή η λύση είναι µοναδική 53

19 Απόδειξη Εστω u v είναι δύο λύσεις του προβλήµατος Dirichlet Θέτουµε φ = u v Τότε η φ είναι αρµονική στο Ω και φ = πάνω στο σύνορο Ω Τότε από την αρχή µεγίστου (βλέπε Θεώρηµα 1) αναγκαστικά φ στο Ω Οµοίως η φ είναι επίσης αρµονική στο Ω και ισχύει φ = πάνω στο σύνορο Ω Αρα φ στο Ω και τελικά φ = στο Ω Σηµείωση To Θεώρηµα 15 εξακολουθεί να ισχύει και για το πρόβληµα Poisso u( ) = f ( ) Ω u( ) = g( ) Ω 16 H µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών σε προβλήµατα Dirichlet Όπως αναφέραµε πριν η γενική λύση της εξίσωσης του Laplace δεν είναι εύχρηστη στην επίλυση συνοριακών προβληµάτων τύπου Dirichlet Είναι δυνατόν όµως να επιλέξουµε κατάλληλους γραµ- µικούς συνδυασµούς λύσεων της εξίσωσης Laplace που να ικανοποιούν γνωστές συνοριακές συνθήκες Για να παράξουµε τέτοια σύνολα λύσεων χρησιµοποιούµε τη µέθοδο χωρισµού µεταβλητών Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται σε γραµµικές οµογενείς Μ Ε µε οµογενείς γραµµικές συνοριακές συνθήκες Αν οι συνθήκες είναι µη οµογενείς τότε σπάµε το πρόβληµα σε επιµέρους προβλήµατα µε οµογενείς αρχικές συνθήκες 54

20 161 Το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο Εστω u C ( Q) C( Q) : u= u( ) και {( ) : } Q= < < L < < H είναι ανοικτό ορθογώνιο µε πλευρές µήκους L και H αντιστοίχως Θα επιλύσουµε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβληµα Dirichlet: u u = Q u( ) = L u( H) = L u( ) = H u( L ) = g( ) H όπου g είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση του στο διάστηµα [ H ] µε g( ) = g( H) = ώστε να έχουµε συνέχεια της u στο σύνορο Η µέθοδος χωρισµού µεταβλητών έγκειται στην αναζήτηση µη µηδενικής λύσης της µορφής: ( ) X( ) Y( ) u = Αρχικά χρησιµοποιούµε τις (τρεις πρώτες) οµογενείς αρχικές συνθήκες και παίρνουµε u = X Y = u H = X Y H = X( ) = Y( ) = Y( H) = u = X Y = (5) αλλιώς X( ) = [ L] ή Y( ) [ H] = άρα η λύση µας u είναι η µηδενική Οσον αφορά τη µη οµογενή συνοριακή συνθήκη έχουµε απλώς ( ) u L = g X L Y = g (6) 55

21 Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τη συγκεκριµένη µορφή της λύσης στην εξίσωση Laplace και παίρνουµε: u u = X Y X Y = X( ) X Y X Y = Y Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε ( ) ισχύει Q πρέπει να X Y = = λ (7) X Y για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών δε ης τάξης X ( ) λ X( ) = λ Y ( ) λy( ) = µαζί µε τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (5) και (6) Ασχολούµαστε αρχικά µε το απλούστερο (εκ των δυο) πρόβληµα ιδιοτιµών (µε οµογενείς αρχικές συνθήκες) λ Y( H) Y Y = Y = = λ ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α) λ = Τότε Y = Y( ) = A B A B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y( ) = Y( H) = προκύπτει άµεσα η λύση Y( ) = άρα και η τετριµµένη λύση u = για κάθε ( ) εντός του Q άτοπο β) λ < Τότε 56

22 λ λ Y λy = Y = Ae BAe A B Πάλι µε χρήση των αρχικών συνθηκών Y( ) = Y( H) = προκύπτει άµεσα η λύση Y( ) = άρα και η τετριµµένη λύση u = άτοπο γ) λ > Τότε Y λy = Y( ) = Acos λ Bηµ λ A B Με χρήση των αρχικών συνθηκών Y Y( H) = = προκύπτει A B = A= A = = Bsi( λh) si( λh) = λh = kπ A = kπ λ = H = k 1 όπου θεωρήσαµε B και λ διότι για B = ή λ = πάλι θα παίρναµε Y( ) = άρα και την τετριµµένη λύση u = Ετσι στην περίπτωση αυτή προκύπτουν οι λύσεις kπ Yk( ) = Bksi Bk k = 1 H Τελικά µη τετριµµένες λύσεις Y παίρνουµε για τις ιδιοτιµές kπ kπ λk = k = 1 µε ιδιοδιανύσµατα Bk si H H Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές του λ στην (7) παίρνουµε (όσον αφορά τη X ) µε λύσεις kπ X ( ) = λkx( ) λk = k = 1 H 57

23 λk λk π / π / X = Ae Be = A e k H B e k H A B k k k k k Μάλιστα θέτοντας X k γράφεται ως Ck Ak = Ck Bk = D D k k C D k k η γενική λύση της kπ kπ Xk( ) = Ckcosh Dksih Ck Dk k = 1 H H Λαµβάνοντας υπόψη τώρα την οµογενή συνοριακή συνθήκη (5) για τη X παίρνουµε: X = C = άρα κι έτσι οι k k ksih k π X D = Dk H k( ) k k ksih k π u X Y D Bksi k π = = H H k kπ kπ = Gksih si Gk= BD k k k= 1 H H είναι λύσεις του προβλήµατος Dirichlet που ικανοποιεί τις τρεις πρώτες οµογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης και η kπ kπ u( ) = u ( ) sih si k 1 k = G = k= 1 k H H (8) αποτελεί λύση υπό την προϋπόθεση ότι η παραπάνω σειρά συναρτήσεων έχει νόηµα (δηλαδή συγκλίνει µε κάποια έννοια) Μένει να ελέγξουµε τη συνθήκη (6): 58

24 kπl kπ u L g G k 1 k g = H H ( ) = sih si = όπου kπ = k= 1 H M k si g( ) (9) M k kπ L : = Gksih H υπό την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει σηµειακά στα συνοριακά σηµεία ( L ) στις τιµές g( ) Oι συντελεστές M k προσδιορίζονται µε µοναδικό τρόπο από τη θεωρία των σειρών Fourier (βλέπε «Χρήσιµα στοιχεία θεωρίας» στο Κεφάλαιο ) Παρατηρούµε ότι η σειρά (9) θυµίζει τη σειρά Fourier ηµιτόνων της συνάρτησης g Με την επιπλέον υπόθεση ότι η g έχει g = g H = θεωρώντας συνεχή παράγωγο στο [ H ] και την περιττή επέκταση της g στο διάστηµα [ H] και επεκτείνοντας τη g περιοδικά πάνω στην πραγµατική ευθεία υπάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών 1 H kπ H kπ M k : = g( ) si d g( ) si d H H = H H H τέτοια ώστε kπ Sg M k 1 k g = L = si = kπ L απόλυτα και οµοιόµορφα στο [ H ] Εφόσον Mk : = Gksih H αντικαθιστώντας στην (8) παίρνουµε ότι η µοναδική λύση του προβλήµατος Dirichlet (αν υπάρχει βλέπε Θεώρηµα 14) είναι η ακόλουθη: H kπω g si d H ω ω H kπ kπ u( ) = sih si k= 1 kπ L H H sih H 59

25 Η παραπάνω ικανοποιεί την αρχική συνθήκη οπότε αν η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δυο φορές ως προς και ως προς τότε αυτή είναι η µοναδική λύση Μια ικανή συνθήκη είναι η συνοριακή συνάρτηση g να είναι αρκετά λεία στο [ H ] ώστε οι συντελεστές Fourier της g να φθίνουν στο µηδέν µε τάξη 3 d d > 16 Το πρόβληµα Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο Η χρήση κατάλληλου συστήµατος συντεταγµένων για την επίλυση του προβλήµατος Dirichlet καθορίζεται και από τη γεωµετρία του προβλήµατό µας Παραπάνω χρησιµοποιήσαµε καρτεσιανές συντεταγµένες για να λύσουµε το πρόβληµα Dirichlet σε ορθογώνιο χωρίο Στην παράγραφο αυτή ψάχνουµε λύση του προβλήµατος Dirichlet στο εσωτερικό µοναδιαίου δίσκου κέντρου ( ) όταν µια συνοριακή συνθήκη δίνεται από µια συνεχή π-περιοδική συνάρτηση f πάνω στην περιφέρεια του δίσκου αυτού Στην περίπτωση αυτή η χρήση πολικών αντί καρτεσιανών συντεταγµένων φαίνεται να είναι καταλληλότερη Μπορεί όµως η µέθοδος χωρισµού µεταβλητών να εφαρµοσθεί µέσω της αλλαγής του συστήµατος καρτεσιανών συντ/νων σε πολικές; Kατ αρχήν ας δούµε πως γράφεται η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγµένες Εστω = rcos θ r > θ = rsiθ [ ππ] είναι ο συνήθης µετασχηµατισµός σε πολικές συντεταγµένες Τότε: siθ u = urr uθθ = urcosθ uθ r cosθ u = urr uθθ = ursiθ uθ r Eτσι 6

26 συνεπώς: siθ = cosθ r r θ cosθ = siθ r r θ si si u θ θ ur u cos u cos θ θ = = r θ uθ r r r r θ r siθ siθ siθ siθ = cosθ ( urcosθ) cosθ uθ ( urcosθ) uθ r r r r θ r θ r siθ cosθ si θ si θ siθcosθ = urr cos θ ur θ u u θθ r u θ r r r r Oµoίως: siθ cosθ cos θ cos θ siθcosθ u = urr si θ ur θ u u θθ r u θ r r r r Αντικαθιστώντας στην u u = παίρνουµε την εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγµένες ur 1 urr u θθ = ( r ) r r Αναζητούµε τώρα λύση του προβλήµατος Dirichlet: ur 1 urr u θθ = r r u( 1 θ) = f ( θ) όπου ( ) ( ( )) και f f ( θ ) u C B 1 C B 1 : u = u( r θ ) γνωστή συνεχής π-περιοδική συνάρτηση του θ Αναζητούµε πάλι µη µηδενική λύση της µορφής [ ] ur ( θ ) = Rr () Θ () θ < r< 1 θ π π = είναι 61

27 Με αντικατάσταση στην εξίσωση Laplace παίρνουµε ( θ) ( θ) ( θ) Θ Θ Θ = rr r rr r Rr οπότε αν διαιρέσουµε µε R Θ προκύπτει R R Θ r r = R R Θ Εφόσον το πρώτο µέλος είναι ανεξάρτητο του θ και το δεύτερο είναι ανεξάρτητο του r υπάρχει πραγµατική σταθερά λ έτσι ώστε R R Θ = = Θ R R Θ r r λ R Προκύπτουν λοιπόν δύο διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ως προς r και θ : R R r r = R R λ rr rr λr= Θ Θ λθ= = λ Θ µαζί µε τη δοθείσα συνοριακή συνθήκη Θα ασχοληθούµε αρχικά µε το πρόβληµα ιδιοτιµών της Θ λθ= Η γενική λύση αυτής είναι της µορφής iθ λ iθ λ Ce De λ > Θ ( θ) = C Dθ λ = C D θ λ θ λ Ce De λ < Λαµβάνοντας υπόψη ότι ψάχνουµε για λύση η οποία πρέπει να είναι π-περιοδική ως προς θ έχουµε: η περίπτωση λ < απορρίπτεται άµεσα ως µη περιοδική (µόνον για C = D= παίρνουµε την σταθερή λύση Θ= που µας οδηγεί στην τετριµµένη λύση u = ) Για λ = πρέπει αναγκαστικά D = οπότε Θ ( θ ) = C 6

28 Για λ > η λύση είναι π-περιοδική αν και µόνον αν Συνοψίζοντας: { } λ λ = = = 1 iθ iθ Ce De για λ = = 1 Θ ( θ ) = CD C για λ = Εφόσον κάθε γινόµενο R() r Θ () θ που προσδιορίζεται από την ίδια τιµή του λ αποτελεί λύση της εξίσωσης Laplace περιοριζόµαστε πλέον στην επίλυση της δε Euler = rr rr λr για λ = = 1 και για αντικαθιστώντας παίρνουµε λ = Θέτοντας R r µ ( µ ) µ µ 1 r µ µ r µ λr µ = άρα η χαρακτηριστική εξίσωση της δε γίνεται: = και λ 1 µ ( µ 1) µ λ = µ = λ ± = = µ = ( διπλη ) λ = Ετσι προκύπτει η γενική λύση Ar Br λ = R( r) = ( A B < r < 1 = 1 ) A Blog r λ = = Θ να είναι συνεχής συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό συµπαγούς διαστήµατος (δηλ του κύκλου r = R) θα πρέπει να είναι και φραγµένη Εφόσον η Θ είναι φραγµένη θα πρέπει και η R να είναι φραγµένη οπότε Εφόσον θέλουµε τη u( r θ ) R( r) ( θ ) διότι εάν B τότε B = R r όταν r Τελικά: 63

29 Ar λ = R( r) = ( A < r < 1 = 1 ) A λ = Συνοψίζοντας συµπεραίνουµε ότι οι λύσεις urθ ( ) είναι της µορφής CA = u( r θ ) = C D A A B i i θ θ Ar ( Ce De ) = 1 A = = = = = i i θ θ r ( Ae B e ) = 1 Aπό την αρχή υπέρθεσης η ( A CA A CA B DA A A B ) όπου iθ iθ iθ ( θ ) = ( ) = 1 = = u r A r Ae B e K r e K A = B < είναι επίσης λύση της εξίσωσης Laplace υπό την προϋπόθεση ότι η ακολουθία { K } είναι φραγµένη οπότε εύκολα φαίνεται ότι η παραπάνω σειρά συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα ως προς < r < 1 και θ Οσον αφορά τη συνοριακή συνθήκη θέτοντας 1 π iθ K = f = f ( θ ) e dθ π π να είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier της (γνωστής) ππεριοδικής και συνεχούς συνάρτησης f ισχυριζόµαστε ότι η u r θ = f r e iθ = Είναι η µοναδική λύση του προβλήµατος Dirichlet στο µοναδιαίο δίσκο Ας δούµε το γιατί 64

30 Πυρήνας και προσεγγιστική µονάδα Poisso Eστω Τότε: r iθ Pr ( θ ) = r e < r < 1 θ [ π π] = 1 iθ iθ iθ 1 iθ θ = = P r e r e re re = = = = 1 iθ 1 1 = ( re ) 1 iθ = iθ iθ 1 re =1 1 re 1 re iθ iθ iθ 1 re 1 re re = = iθ iθ 1 re 1 re 1 re 1 re iθ ( 1 re ) iθ iθ Συνεπώς: iθ iθ iθ 1 re re 1 re 1 r = = 1 rσυνθ r 1 rσυνθ r P r 1 r 1 rσυνθ r ( θ ) = ( r ( 1 ) θ [ π π ]) H οικογένεια π-περιοδικών συναρτήσεων { r} r 1 P < < όπως παραπάνω καλείται πυρήνας Poisso στο µοναδιαίο δίσκο Επιπλέον ισχύει: π Pr d = < r < π (α) ( θ) θ 1 1 π Pr d < C όπου C σταθερά ανεξάρτητη των r και θ π (β) ( θ) θ lim r dθ = για κάθε φιξαρισµένο < δ < π (γ) P ( θ) r 1 δ< θ π Λέµε ότι ο πυρήνας Poisso { r} r 1 µονάδα P < < είναι µια προσεγγιστική 65

31 Θεώρηµα 15 Για την προσεγγιστική µονάδα του Poisso ισχύει lim r 1 r ( θ ) ( θ ) f P = f για κάθε συνεχή π-περιοδική συνάρτηση f Απ την άλλη µεριά έχουµε: 1 u( r ) π φ θ = f ( φ) e dφ r e = π π i iθ 1 π = i( θ φ) f ( φ ) r e dφ π π = (λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης) 1 π = f ( φ ) Pr( θ φ) dφ f Pr( θ) = π π Η Pr ( θ ) είναι αρµονική συνάρτηση στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου και έτσι και η u( r θ ) κληρονοµεί αυτή την ιδιότητα Από το Θεώρηµα 16 ισχύει lim lim i θ u r θ = f r e = f ( θ ) r 1 r 1 = άρα µπορούµε να επεκτείνουµε συνεχώς την urθ ( ) στον κλειστό δίσκο έτσι ώστε u(1 θ ) = f( θ ) στο σύνορο Η µοναδικότητα λύσης έπεται απ το θεώρηµα 15 Μια φυσική ερµηνεία είναι η εξής: Aν f ( θ ) είναι η θερµοκρασία στο σύνορο µονωµένου µοναδιαίου δίσκου που διατηρείται η ίδια ανεξαρτήτως χρόνου τότε η urθ ( ) είναι η θερµοκρασία σε κάθε σηµείο ( r θ ) στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου σε κατάσταση ισορροπίας Σηµείωση: Aν θέλουµε να λύσουµε το πρόβληµα Dirichlet στο r δίσκο B( R) τότε κάνουµε αλλαγή µεταβλητής ρ = και R αναγόµαστε στο µοναδιαίο δίσκο Η µοναδική λύση του προβλήµατος δίνεται από τη σχέση ( θ ) = ( θ ) u r f P r/ R 66

32 όπου P ( θ ) ( r R) = 1 / 1 ( r/ R) συνθ ( r/ R) r/ R R r = 1 rrσυνθ r ( r ( R) θ [ ππ] ) 17 Προβλήµατα Dirichlet σε µη φραγµένα χωρία 171 Το πρόβληµα Dirichlet στο άνω ηµιεπίπεδο Θα ασχοληθούµε τώρα µε τη λύση του προβλήµατος Dirichlet σε άπειρα χωρία του επιπέδου Θα λύσουµε το ακόλουθο πρόβληµα Dirichlet: { } u u = στο χωριο Π = : > u( ) = f ( ) πανω στην πραγµατικη ευθεια (το συνορο του Π ) u d< lim u ( ) = lim u ( ) = και f είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση πάνω όπου u C ( Π ) C( Π ) στην πραγµατική ευθεία ( ) Προς στιγµήν σταθεροποιούµε τυχαίο > και θεωρούµε το µετασχηµατισµό Fourier της u ως προς τη µεταβλητή : πξ i u ξ = u e d Από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier (βλέπε Κεφ ) ( γνωρίζουµε ότι αν οι παράγωγοι g ) = 1 k είναι απόλυτες ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω στην πραγµατική ευθεία µε lim g ( ) = = 1 k 1 τότε g ( ξ) ( πiξ) g ( ξ) ( ξ ) = 67

33 Παίρνουµε µετασχηµατισµό Fourier ως προς στην εξίσωση Laplace χρησιµοποιούµε την παραπάνω ιδιότητα της παραγώγου και έχουµε: u u u γ u γ = = πγ i u( γ ) u ( γ ) = u( γ ) ( πγ) u ( γ ) = Για σταθεροποιηµένο γ η παραπάνω είναι µια γραµµική δε ης τάξης ως προς µε χαρακτηριστική εξίσωση και γενική λύση: λ πγ = λ =± π γ όπου A( γ ) B ( γ ) ( γ) πγ ( γ) u A e B e π γ = γ είναι αυθαίρετες συναρτήσεις Από το Θεώρηµα Riema-Lebesgue της ανάλυσης Fourier θα πρέπει να ισχύει οπότε θέτουµε A( ξ ) u ( γ ) lim = γ = ξ για να αποφύγουµε µη φραγµένες λύσεις (εφόσον e πξ για > ) Ετσι ο µετασχηµατισµός Fourier των λύσεων έχει τη µορφή ( γ ) ( γ) u B e πγ = Λόγω της δοθείσης συνοριακής συνθήκης u( ) f ( ) = έχουµε οπότε προκύπτει Τελικά u ( γ ) f ( γ ) = u ( γ ) B( γ) f ( γ) = = 68

34 ( γ ) ( γ) u f e πγ = Αν λοιπόν υπάρχει απόλυτα ολοκληρώσιµη συνάρτηση P ( ) πάνω στην πραγµατική ευθεία µε P ( γ ) e πγ = τότε απ το γνωστό θεώρηµα συνέλιξης a b( ξ ) a ( ξ) b( ξ) = για ολοκληρώσιµες συναρτήσεις και από το θεώρηµα αντιστροφής του µετασχηµατισµού Fourier προκύπτει η λύση: Aλλά u = f P 1 P ( ) = π > (βλέπε παράγραφο Β5 Κεφαλαίου ) η P συνάρτηση στο άνω ηµιεπίπεδο άρα και η 1 u f P f d π ω είναι αρµονική ( ) = = ( ω) ω ( > ) είναι επίσης αρµονική συνάρτηση στο άνω ηµιεπίπεδο Η οικογέ- P καλείται πυρήνας Poisso στον άνω > νεια συναρτήσεων { } ηµιεπίπεδο Αποδεικνύεται ότι ο πυρήνας Poisso { } P > είναι προσεγγιστική µονάδα µε την έννοια ότι ικανοποιεί τις ιδιότητες: (α) P ( ) d = 1 > P d C < < όπου C σταθερά ανεξάρτητη τoυ (β) lim d= για κάθε φιξαρισµένο δ > (γ) P >δ > Θεώρηµα 16 Για την προσεγγιστική µονάδα του Poisso στο άνω ηµιεπίπεδο ισχύει 69

35 lim f P = f για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο Απόδειξη Παραλείπεται Eτσι η u( ) f P ( ) Dirichlet = είναι η µοναδική λύση του προβλήµατος 17 To πρόβληµα Dirichlet σε ηµιάπειρη λωρίδα Εστω u C ( Ω) C( Ω ) : u= u( ) φραγµένη στο Ω Ω και {( ) : 1} Ω= > < < είναι ανοικτό µη φραγµένο ορθογώνιο Θα επιλύσουµε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβληµα Dirichlet: u u = Ω u ( ) = 1 u ( ) = πανω στην ηµιευθεια u( 1) = f ( ) πανω στην ηµιευθεια = 1 για όπου f είναι γνωστή συνεχής και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο Αναζητούµε φραγµένη µη µηδενική λύση της µορφής: ( ) X( ) Y( ) u = οπότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace παίρνουµε: u u = X Y X Y = X( ) X Y X Y = Y Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε ( Ω ) πρέπει 7

36 X Y = = λ X Y για κάποια πραγµατική σταθερά λ Ετσι το πρόβληµά µας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων οµογενών γραµµικών δε ης τάξης X ( ) λ X( ) = λ Y ( ) λy( ) = µαζί µε τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες Οσον αφορά τη Ε X λ X = εύκολα βρίσκουµε: λ λ ce de λ > X( ) = c d λ = c d cσυν ( λ ) dηµ ( λ ) λ < και επειδή αναζητούµε φραγµένες λύσεις θέτουµε c = για λ (εφόσον για παίρνουµε µη φραγµένους όρους) συνεπώς: λ de λ > X( ) = d λ = c d cσυν ( λ ) dηµ ( λ ) λ < Οσον αφορά τη Ε Y ( ) λy( ) = εύκολα βρίσκουµε: aσυν λ bηµ λ λ > Y( ) = a b λ = a b acosh( λ) bsih( λ) λ < Συνδυάζοντας τις λύσεις αυτές παίρνουµε: 71

37 λ ae aσυν λ bηµ λ λ > u( ) = a b λ = a b c d cσυν ( λ ) dηµ ( λ ) acosh ( λ ) bsih ( λ ) λ < = = Xρησιµοποιώντας τις αρχικές συνθήκες u ( ) u ( ) µπορούµε εύκολα ν απορρίψουµε τις λύσεις που αντιστοιχούν σε λ συνεπώς: u = cσυν λ dσυν λ acosh λ bsih λ λ < Tότε: u = d = u = 1 b = κι έτσι προκύπτει ότι ( ) συν ( µ ) cosh ( µ ) ( µ µ λ ) u = A A= ac > = Εφόσον οι παραπάνω είναι λύσεις για κάθε µ > και η σταθερά A ενδέχεται ν αλλάξει όταν αλλάζει η τιµή του µ µπορούµε να θεωρήσουµε ότι A: = A ( µ ) Η γενική λύση δίνεται ολοκληρώνοντας ως προς µ ( ) cosh u = A µ συν µ µ dµ υπό την προϋπόθεση το ολοκλήρωµα έχει νόηµα Χρησιµοποιούµε τώρα την τελευταία συνοριακή συνθήκη ( 1) = ( µσυν ) ( µ ) cosh( µ ) µ = u A d f Το ολοκλήρωµα αυτό µας θυµίζει συνηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier (βλέπε παράγραφο Β5 του Κεφαλαίου ) Αν λοιπόν (και επιπλέον θεωρήσουµε την άρτια επέκταση της f στο ( ] f L 1 ( )) τότε η συνάρτηση A ( µ ) cosh µ είναι ο (µοναδικός) συνηµιτονικός µετασχηµατισµός Fourier της f δηλαδή: 7

38 ( µ ) cosh( µ ) συν ( µ ) ( µ ) συν ( µ ) cosh( µ ) f z z dz A = f z z dz A = Tελικά η µοναδική λύση του προβλήµατος Dirichlet είναι η ακόλουθη: συν ( µ ) cosh( µ ) ( ) u = f z συν µ z dz dµ cosh 18 Συναρτήσεις Gree ( µ ) Στόχος αυτής της παραγράφου είναι να εξάγουµε ένα ανάλογο του θεωρήµατος 13 στο εσωτερικό χωρίων Ω Πιο συγκεκριµένα θα µελετήσουµε το πρόβληµα Poisso u f g = Ω u = Ω Oπως ήδη έχουµε παραπάνω αν το πρόβληµα αυτό έχει λύση τότε αυτή η λύση είναι µοναδική Μάλιστα υπό επιπλέον προϋποθέσεις πάνω στη συνάρτηση g στο σύνορο Ω το πρόβληµα αυτό έχει πάντα (µοναδική) λύση Ορισµός 1 Εστω Ω ανοικτό σύνολο µε λείο σύνορο Ω Μια συνάρτηση Gree G : Ω Ω στο Ω ορίζεται έτσι ώστε για Ω: G( ) = δ ( ) Ω G( σ) = σ Ω Πρόταση 16 Εστω Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον και Ω ανοικτό σύνολο µε λείο σύνορο Τότε η συνάρτηση Gree στο Ω γράφεται ως εξής: όπου για κάθε Ω G ( ) = Φ( ) φ ( ) 73

39 Απόδειξη Εστω Ω φ ( ) = Ω φ σ = Φ σ σ Ω Τότε G = Φ φ = Φ φ δ = δ = Επίσης σ Ω έχουµε G φ σ =Φ σ σ =Φ σ Φ σ = Πρόταση 17 Εστω Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον και Ω ανοικτό σύνολο µε λείο σύνορο Αν u C Ω Ω τότε: ( σ) u u( ) = Φ( ) u( ) d Φ( ) ds Ω σ σ Ω Ω u ( σ) Φ ( σ) Aπόδειξη (α) Εστω 3 ds ( σ) Για Ω και ε > γράφουµε ε B( ε ) της ανοικτής µπάλας B( ε ) στο Ω Τότε Ω ε = Ω B( ε ) τη η 1 ταυτότητα Gree και εφόσον η Φ( ) = ( ) δεν ορίζεται καν στο έχουµε Ωε Ω =Ω για το συµπλήρωµα w 1 Από u σ Φ σ Φ( ) u( ) d = Φ( σ) u( σ) ds σ Ωε u σ Φ σ = Φ( σ) u( σ) ds σ Ω

40 B u( σ) Φ( σ) ( σ) u( σ) ds( σ) ( ε ) Φ ( ε ) ( ε) ( ε) I = I I I I όπου 1 ( σ ) είναι η µοναδιαία κάθετος πάνω στο Ω µε σ σ κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη του Ω και ( σ) = = είναι η µοναδιαία κάθετος πάνω στο B( ε ) το εσωτερικό του B( ε ) µε κατεύθυνση προς Είναι εύκολο να δείξουµε ότι ( ε) I Φ u d ε Ω σ ε Επίσης ( ε ) u ( σ) B συνεπώς: u ( σ) M πάνω στο συµπαγές σύνολο I ( ε ) w = w r 1 M d M ε r drds ( B ) ( ε ) ( ) 3 1 S ( ) w ( ) ( ) 1 w 1 ε M ε M r Cε = rdr ds = = ε S Τέλος για το I Εφόσον B 4 ε έχουµε Φ( σ) Φ( ) u( σ) ds( σ) = u ds ( ε) σ σ B( ε) ( σ) Φ 1 1 σ = Φ ( σ) ( σ) = ( ) w 1 σ σ 75

41 παίρνουµε: 1 σ σ 1 1 = = w 1 σ σ w 1 σ 1 B Φ( ) u( σ) ds( σ) ( ε ) 1 B = u 1 1 w σ ( σ) ds( σ) ( ε 1 ) 1 1 ε = f ( ε ) ds( ) w σ σ σ = S εσ 1 = f ( ε ) ds( ) f ε 1 w σ σ S 1 λόγω συνεχείας της f στο Ετσι προκύπτει το ζητούµενο (β) Eστω = Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται µε εντελώς ανάλογο τρόπο όπως η (α) Η απόδειξη παραλείπεται Θεώρηµα 17 Εστω Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον Ω ανοικτό σύνολο µε λείο σύνορο και G η συνάρτηση Gree στο Ω Τότε η µοναδική λύση (αν υπάρχει) του προβλήµατος Poisso 1 έχει τη µορφή u f g = Ω u = Ω ( σ) G u( ) = f ( ) G( ) d g ds Ω σ σ Ω ε Απόδειξη Από την προηγούµενη πρόταση και την υπόθεση έχουµε: u( σ) u( ) = Φ( ) f ( ) d φ ( ) ds Ω σ σ Ω 76

42 Ω u ( σ) Φ ( σ) όπου G( ) = Φ( ) φ ( ) ds ( σ) (1) Ω φ σ = Φ σ για κάθε σ Ω Χρησιµοποιώντας τώρα τη η ταυτότητα Gree για τις συναρτήσεις u και φ έχουµε: ( φ( ) φ( )) Ω u u d ( σ) και ( σ) u φ = φ ( σ) ds ( σ) u ds Ω σ σ Ω ( σ) ( σ) u φ = φ( ) f ( ) d φ( σ ) ds( σ) u ds σ σ Ω Ω Ω Προσθέτοντας κατά µέλη την παραπάνω ισότητα µε τη (1) και G =Φ φ παίρνουµε το ζητούµενο θεωρώντας Σηµειώνουµε εδώ ότι o υπολογισµός της συνάρτησης Gree είναι δύσκολος και εν γένει εξαρτάται από τη γεωµετρία του χωρίου Ω Παράδειγµα Θα υπολογίσουµε τη συνάρτηση Gree στον άνω ηµίχωρο Π = = : 1 > { ( 1 ) ( 1 1) } Από τα παραπάνω αρκεί να κατασκευάσουµε συνάρτηση φ τέτοια ώστε φ ( ) = = ( 1 1 ) Π 1 φ( σ) =Φ( σ) σ= ( σ1 σ 1 ) Π : = Για κάθε στοιχείο = ( 1 1 ) Π η ανάκλαση του ως 1 προς το σύνορο Π = δίνει το στοιχείο = ( ) Π Ετσι για κάθε Π ορίζουµε * ( ) φ = Φ 1 1 όπου Φ είναι η θεµελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον 77

43 Προφανώς η Φ είναι αρµονική ως προς στο αρµονική στο { * } και * Π ) Συνεπώς: Π (διότι είναι και φ = Π * ( σ) ( σ) ( σ ) φ = Φ =Φ σ Π διότι * = πάνω στο σύνορο Ορίζουµε λοιπόν τη συνάρτηση Gree στον άνω ηµίχωρο ως εξής: G ( ) =Φ( ) φ ( ) * =Φ Φ Π Πιο συγκεκριµένα για κάθε 3 έχουµε: και G ( ) = ( ) w * 1 G ( σ) G( σ) ( ) ( σ) e ( 1) = = G σ = e * 1 σ σ = Φσ ( σ) Φ σ σ = σ Π w * 1 σ σ * Αλλά για κάθε σ πάνω στο σύνορο ισχύει σ = σ άρα: ( σ) G 1 σ σ 1 = = > w 1 σ σ w 1 σ Για παράδειγµα η λύση του προβλήµατος Dirichlet 78

44 u( ) g = Π u = Π = 1 υπολογίζεται µε χρήση του Θεωρήµατος 17 από τη σχέση ( σ) G u( ) = f ( ) G( ) d g ds Ω σ σ Ω ε = 1 w σ g σ d σ Αν = ( ) όπου = ( ) 1 1 τότε: Θέτουµε 1 u g σ dσ P ( ) = w ( 1 σ ) r ( ) 1 ( r ) 1 / r 1 = / ( r > ) w { r : r > } προσεγγιστική µονάδα Poisso στον άνω ηµίχωρο Π Η παραπάνω είναι φυσική γενίκευση του πυρήνα Poisso στο άνω ηµιεπίπεδο και καλούµε την οικογένεια συναρτήσεων P 79

45 19 Ασκήσεις 1 είξτε ότι οι συναρτήσεις u( ) = και v( ) αρµονικές στο = είναι Υπολογίστε το ηλεκτροστατικό δυναµικό στο εσωτερικό του Q= : a< < a < < b αν: ορθογωνίου { } η πυκνότητα φορτίου στο εσωτερικό του Q δίνεται από τη π σχέση ρ( ) = ηµ και a στο σύνορο του Q ισχύουν οι συνθήκες: = = ( ) ( ) = ( ) = ( ) u b u a a a u a u a b 3 Υπολογίστε τη συνάρτηση Gree στο µοναδιαίο δίσκο 4 Υπολογίστε λύση u C ( Q) C( Q) του προβλήµατος Dirichlet u u = Q u( ) = a( ) L u( H) = h( ) L u( ) = H u( L ) = H στο εσωτερικό ορθογωνίου 3 3 ah C [ L] και bg C [ H] µηδενίζονται στα άκρα 5 Επιλύστε το πρόβληµα { : } Q= < < L < < H όπου γνωστές συναρτήσεις που u u = Q u( ) = u ( ) u( H) = f ( ) L u( ) = u( L ) H 8

46 στο εσωτερικό ορθογωνίου { : } Q= < < L < < H όπου όπου f γνωστή συνεχής συνάρτηση που µηδενίζεται στα άκρα 6 Επιλύστε το πρόβληµα Newma u u = Q u( ) = f ( ) u( H) = L u( ) = u( L ) = H στο εσωτερικό ορθογωνίου { : } Q= < < L < < H όπου f γνωστή συνεχής συνάρτηση που µηδενίζεται στα άκρα και a f d= είναι τέτοια ώστε 7 Υπολογίστε u C ( Q) C( Q) Dirichlet που ικανοποιεί το πρόβληµα u u = Q u( ) = a( ) = u( ) = = u( ) = = 1 u( ) = = 1 στο εσωτερικό ορθογωνίου παραλληλογράµµου {( ) : 1 1} Q= < < < < όπου a γνωστή πραγµατική συνάρτηση που µηδενίζεται στα άκρα 8 Υπολογίστε φραγµένη λύση u της εξίσωσης Laplace στο δακτύλιο D= r θ : 1< r < θ < π { } µε συνοριακές συνθήκες u u 1 θ = θ = ηµθ θ < π 9 Υπολογίστε φραγµένη λύση u της εξίσωσης Laplace στο χωρίο {( θ) : θ π /3} D= r < r < a < 81

47 µε συνοριακές συνθήκες θ( ) = θ( π /3) = και 1 1 ( ) ( 9 ) ( 3 ) u r u r u a θ = συν θ συν θ Υπολογίστε φραγµένη λύση u της εξίσωσης Laplace στο εξωτερικό κυκλικού δίσκου {( θ ) : θ π} D= r < r < a < µε συνοριακή συνθήκη u( a θ ) l 4συν ( 3θ ) = 11 Υπολογίστε φραγµένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του µη φραγµένου χωρίου µε συνοριακές συνθήκες {( ) : a } Ω = < < > > ( ) = ( ) u( ) ( a) u a = u = G για καθε = a 1 Υπολογίστε φραγµένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό κυλίνδρου µε συνοριακές συνθήκες {( θ ) } Ω= r z : r < a < z< b a b> ( θ ) ( ρθ ) ( θ ) ( ρθ ) ( θ ) ( ρθ ) u r z = z : r = a z b u r z = z : r a z = b u r z = f r z : r a z = 13 Υπολογίστε µια φραγµένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του µη φραγµένου χωρίου {( ) : L } Ω= < < 8

48 µε συνοριακές συνθήκες u( ) = u( L) 1 a a = αλλου 14 Υπολογίστε µια φραγµένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του µη φραγµένου χωρίου {( ) : } Ω= > = όπου f είναι µια γνωστή συνεχής και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο οι µετασχηµατισµοί Fourier των u f είναι καλά ορισµένοι ως προς και ισχύει το θεώρηµα αντιστροφής του µετασχηµατισµού Fourier µε συνοριακή συνθήκη u( ) f ( ) 15 Υπολογίστε µια φραγµένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του µη φραγµένου χωρίου {( ) : } Ω= > = όπου f είναι µια γνωστή συνεχής και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο οι µετασχηµατισµοί Fourier των u f είναι καλά ορισµένοι ως προς και ισχύει το θεώρηµα αντιστροφής του µετασχηµατισµού Fourier µε συνοριακή συνθήκη u ( ) f ( ) 83