ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας (ή το τέλος του τόξου). Ο μνημονικός κανόνας ΟΗΕΣ δίνει τα ρόσημα των τριών τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω - του ημω του συνω και της εφω - ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της. Η σφω έχει το ίδιο ρόσημο με την εφω (ως αντίστροφος αριθμός της). Κάθε γράμμα της λέξης ΟΗΕΣ δηλώνει οιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Οι υόλοιοι θα είναι αρνητικοί. Συγκεκριμένα: o o Στο ο τεταρτημόριο το Ο σημαίνει ότι Όλα είναι θετικά. Στο ο τεταρτημόριο το Η σημαίνει ότι το Ημίτονο είναι θετικό. Στο ο τεταρτημόριο το Ε σημαίνει ότι η Εφατομένη είναι θετική. Στο 4ο τεταρτημόριο το Σ σημαίνει ότι το Συνημίτονο είναι θετικό. o Η Ε Ο Σ 4o Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών ου είναι χρήσιμοι σε εφαρμογές Γωνία σε rad ή 6 Γωνία σε μοίρες ή 6 45 6 9 8 7 ημ συν εφ σφ 4 Παρατήρηση: Η σειρά του ημιτόνου στον ίνακα για γωνίες αό έως ροκύτει αό το x μνημονικό τύο ημω = όου x = 4. Η σειρά του συνημιτόνου για τις ίδιες γωνίες ροκύτει αν αντιστρέψουμε τη σειρά του ημιτόνου. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ ω + συν ω = ή ημω εφω = συνω συν ω = ή + εφ ω ημ ω = συν ω ή συν ω = ημ ω συνω σφω = ημω εφω σφω = + εφ ω = συν ω
ημ ω εφ ω εφ ω ή + σφ ω = ημ ω Βασικές τριγωνομετρικές ανισότητες ημx ή ημx συνx ή συνx Σχέσεις τριγων. αριθμών με ειδικό άθροισμα ή διαφορά (αναγωγή στο ο τεταρτημόριο) Ο υολογισμός των τριγων. αριθμών οοιασδήοτε γωνίας μορεί να γίνει με τη βοήθεια των τριγων. αριθμών γωνιών αό μέχρι 9 (αναγωγή στο ο τεταρτημόριο). Γωνίες ου διαφέρουν κατά ακέραιο αριθμό κύκλων δηλαδή κατά κ (κ ) έχουν τους ίδιους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ(κ + ω) = ημω συν(κ + ω) = συνω εφ(κ + ω) = εφω σφ(κ + ω) = σφω Οι αντίθετες γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ( ω) = ημω συν( ω) = συνω εφ( ω) = εφω σφ( ω) = σφω Οι αραληρωματικές γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ( ω) = ημω συν( ω) = συνω εφ( ω) = εφω σφ( ω) = σφω Γωνίες με διαφορά έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο. Δηλαδή: ημ(+ ω) = ημω συν(+ ω) = συνω εφ(+ ω) = εφω σφ(+ ω) = σφω Στις συμληρωματικές γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) το ημίτονο της μιάς ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατομένη της μιάς με τη συνεφατομένη της άλλης. Δηλαδή: ημ συνω συν ημω εφ σφω σφ εφω Παρατήρηση: Για να θυμόμαστε τις ροηγούμενες σχέσεις μορούμε να εφαρμόζουμε τον εόμενο ρακτικό κανόνα. Όου εμφανίζεται το ή γενικότερα το (κ + ) ο τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει δηλαδή το ημ γίνεται συν και η εφ γίνεται σφ και το αντίστροφο. Ενώ όου εμφανίζεται το ή γενικότερα το κ δηλαδή το κ ο τριγωνομετρικός αριθμός μένει ίδιος. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο όου βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ου έχει μέτρο (κ + ) ± ω ή κ ± ω και ροκύτει αό τον κανόνα ΟΗΕΣ. Θεωρούμε ότι < ω < δηλαδή η γωνία ω είναι οξεία (βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο) για να διευκολυνθούμε στη διατύωση του κανόνα. Όμως τα συμεράσματα ισχύουν για οοιαδήοτε γωνία. ) Για γωνίες με διαφορά ισχύουν οι σχέσεις: ημ + ω = συνω συν + ω = ημω ) Για γωνίες με διαφορά ισχύουν οι σχέσεις: εφ + ω = σφω σφ + ω = εφω ημ + ω = συνω συν + ω = ημω εφ + ω = σφω σφ + ω = εφω
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το γεγονός ότι μία συνάρτηση είναι εριοδική μας ειτρέει να τη μελετήσουμε και να κάνουμε τη γραφική της αράσταση μόνο σε διάστημα λάτους Τ όου Τ η ερίοδος της συνάρτησης γιατί σε κάθε διάστημα λάτους Τ η γραφική αράσταση της συνάρτησης θα εαναλαμβάνεται η ίδια. Γενικά για να βρούμε την ερίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+t) = f(x) και υολογίζουμε το Τ ( Τ ) το οοίο ρέει να είναι ανεξάρτητο του x. Αν υάρχουν ολλά τέτοια Τ ειλέγουμε το μικρότερο θετικό. Πρέει βέβαια να ελέγξουμε αν x+t x-t ανήκουν στο εδίο ορισμού της f για κάθε x ου ανήκει σ αυτό. Οι συναρτήσεις ημx εφx και σφx είναι εριττές ενώ η συνx είναι άρτια (Βλ. τριγων. αριθμούς αντίθετων γωνιών) Μια συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν: (i) το Α είναι συμμετρικό ως ρος το (δηλαδή για κάθε x Aισχύει x A) και (ii) για κάθε x A ισχύει f(x) = f( x) ενώ θα είναι εριττή αν: (i) το Α είναι συμμετρικό ως ρος το και (ii) για κάθε x A ισχύει f( x) = f(x). Για τις συναρτήσεις f(x) = ρημωx και f(x) = ρσυνωx όου ρω έχουμε ότι: Το ρ καθορίζει τα ακρότατα της συνάρτησης f. Το ρ λέγεται λάτος της συνάρτησης. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι ίση με ρ και η ελάχιστη τιμή της ίση με - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είναι ίση με Τ =. ω Οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = ρεφωx και f(x) = ρσφωx όου ρω : Δεν έχουν ακρότατα (μέγιστο ή ελάχιστο) Είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ = ω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωνομετρική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση ου εριέχει τριγωνομετρικό αριθμό άγνωστης γωνίας. Οι βασικές τριγων. εξισώσεις (όου x άγνωστη γωνία και θ γνωστή γωνία) λύνονται αν εφαρμόσουμε τους αρακάτω τύους: x = κ + θ συνx = συνθ ή x = κ θ x = κ + θ ημx = ημθ ή x = κ + θ εφx = εφθ x = κ + θ σφx = σφθ x = κ + θ (κ ) Για να λύσουμε μια τριγων. εξίσωση ροσαθούμε με μετασχηματισμούς να καταλήξουμε σε μια βασική τριγων. εξίσωση. Για να συμβεί αυτό ρέει στα δύο μέλη να έχουμε τον ίδιο τριγων. αριθμό.
Το ρόσημο μροστά αό το ημίτονο ή την εφατομένη ααλείφεται με τη βοήθεια των αντίθετων γωνιών ενώ μροστά αό το συνημίτονο ααλείφεται με τη βοήθεια των αραληρωματικών γωνιών. ) ημx = ημx = ημ ημx = ημ 6 6 ) συνx = συνx = συν συνx = συν συνx = συν Οι τριγων. εξισώσεις ου βαθμού ανάγονται σε αλές εξισώσεις ου βαθμού με κατάλληλη αντικατάσταση (χρήση βοηθητικού αγνώστου). συν x+ συνx = ω + ω = (συνx = ω) Όταν έχουμε μια εξίσωση με διαφορετικούς τριγων. αριθμούς τη μετατρέουμε σε εξίσωση με τον ίδιο τριγων. αριθμό με τη βοήθεια συμληρωματικών γωνιών ή με τη βοήθεια γνωστών ταυτοτήτων. ) ημx = συν(x + ) ημx = ημ ( x + ) ημx = ημ x ) εφx 4 εφ x εφx 4 εφ x εφx συν x = + = = Αν υάρχει γωνία θ με ημθ = α (συνθ = α) τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ημx = αδύνατη γιατί ημx Στις εξισώσεις ου εμλέκονται εφx ή σφx ρέει να θέτουμε τους κατάλληλους εριορισμούς και να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές ή όχι. Συγκεκριμένα: (i) H εφx όταν συνx δηλαδή όταν x κ + κ. (ii) H σφx όταν ημx δηλαδή όταν x κ κ. Όταν δίνεται διάστημα λύσης ρέει να ερι η αράμετρος κ ώστε οι λύσεις να βρίσκονται εντός του δεδομένου διαστήματος. Να λυθεί η εξίσωση εφx = στο διάστημα ( 4 ). εφx = x = κ + κ Z 4 5 Άρα x ( 4) < x< 4 < κ+ < 4 κ Z < κ < κ Z κ= 4 4 4 Εομένως η λύση είναι x = + =. 4 4 Αλές τριγωνομετρικές εξισώσεις και διατύωση των λύσεων σε ενοοιημένη μορφή Ενοοιούμε τις δύο λύσεις ου ροκύτουν αό τους γενικούς τύους σε μία όταν αυτό είναι εφικτό.. x = κ x = κ ημx = ημx = ημ ή ή x = λ λ Z (*) x κ x = (κ + ) (*) Εειδή οι σχέσεις x = κ x = (κ + ) δίνουν τα άρτια ή τα εριττά ολλαλάσια του δηλαδή όλα τα ακέραια ολλαλάσια του γι αυτό συγχωνεύονται στη σχέση x = λ λ Z. Παρόμοιες
συγχωνεύσεις γίνονται και στις εξισώσεις ου ακολουθούν ροκειμένου να διατυωθούν οι λύσεις σε ενοοιημένη μορφή... 4. x = κ + x κ συνx = συνx = συν ή ή x = λ + λ Z x = κ x = (κ ) + x = κ + x κ ημx = ημx = ημ ή ή x = κ + κ Z x = κ + x = κ + x = κ συνx = συνx = συν ή x = κ κ Z x = κ x = κ x κ = 5. ημx = ημx = ημ ημx = ημ ή ή x = κ + x = κ + x = κ x κ = ή ή x = λ λ x = κ + x = ( κ + ) 6. x = κ + x = κ + συνx = συνx = συν ή ή x = λ + λ Z x κ = x = (κ )+ Παρατήρηση: Οι εξισώσεις ημx = και συνx = έχουν μόνο μία λύση σε διάστημα μιας εριόδου. Το ίδιο ισχύει και για τις εξισώσεις ημx = - και συνx = -.