Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. Αν f() σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ A. Πότε λέμε ότι μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [, ]; A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; A4. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον πργμτικό άξον ) Mι συνάρτηση f είνι -, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει κριώς μί λύση ως προς γ) Αν είνι lim f (), τότε f()< κοντά στο. δ) (σφ), ημ ημ ε) f()g ()d [f()g()] f ()g()d, όπου f,g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,] ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w γι τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: Μονάδες z z 4 () w5w () B. Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο επίπεδο είνι κύκλος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ = B. Αν z,z είνι δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς z με z z τότε, ν ρείτε το z z. B3. Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών w στο επίπεδο είνι η έλλειψη με y εξίσωση κι στη συνέχει ν ρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή του w. 9 4 B4. Γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w που επληθεύουν τις σχέσεις () κι () ν ποδείξετε ότι: zw 4
ΘΕΜΑ Γ Δίνετι η συνάρτηση f() = ( ) ln, > Γ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ = (,] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ = [,+ ). Στη συνέχει ν ρείτε το σύνολο τιμών της f Γ. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 3, > έχει κριώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. Αν, με ώστε είνι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήμτος Γ, ν ποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, (,) f ( ) f ( ) Γ4. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g()=f()+ με >, τον άξον κι την ευθεί = ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f: (, ), η οποί γι κάθε > ικνοποιεί τις σχέσεις: f() dt ln t t ln dt f () Δ. Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη κι ν ρείτε τον τύπο της. Αν είνι f( ) (ln),, τότε: Δ. Ν υπολογίσετε το όριο: lim (f ()) ημ f() f() Δ3. Με τη οήθει της νισότητς ln, που ισχύει γι κάθε >, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση Μονάδες Μονάδες 5 F() f (t)dt,, όπου >, είνι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχει ν ποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), γι κάθε > (μονάδες 4). Δ4. Δίνετι ο στθερός πργμτικός ριθμός >. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ (,) τέτοιο ώστε: F() + F(3) = F(ξ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό ιλίο, σελ. 53. Α. Σχολικό ιλίο, σελ. 9. A3. Σχολικό ιλίο, σελ. 58. Α4.. Σωστό. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος
ΘΕΜΑ Β Β. Έχουμε z z 4 zzzzzzzz4 zz z z. Άρ οι εικόνες των μιγδικών z ρίσκοντι σε κύκλο με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ=. Β. Έχουμε z z z z z z z z z z z z z z zz zz zz zz (3). (3) z z z z z z z z z z z z z z. Επομένως z z. wyi y Β3. Έχουμε w 5w yi 5 5yi ( 4) (6y) 6 36y 44. 9 4 Άρ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών w είνι η πρπάνω έλλειψη. Η μέγιστη τιμή του w είνι το μισό του μεγάλου άξον της έλλειψης, δηλδή w 3 κι η ελάχιστη τιμή του w είνι το μισό του μικρού άξον, δηλδή w. min Β4. Από την τριγωνική νισότητ έχουμε z w z w z w 3 4, z w z w z w. Άρ zw 4. ΘΕΜΑ Γ ma Γ. Η f είνι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων κι πργωγίσιμη στο ln f() ln. Πρτηρούμε ότι f( ). Γι ln ln. Επίσης Με πρόσθεση κτά μέλη προκύπτει ln ln f () Γι ομοίως προκύπτει ότι f( ). Άρ η f είνι γνησίως φθίνουσ στο min, ma, με + f +. ελάχιστο, κι γνησίως ύξουσ στο Η f προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι με ελάχιστη τιμή f(). Επίσης lim f () lim ln Άρ το σύνολο τιμών της f είνι f,,. 3 Γ. Έχουμε ( ) ln 3 f ().,. lim f () lim ( )ln γιτί lim ln. Η f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο Δ,, άρ f(δ ), έν, τέτοιο, ώστε f ( ). Η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο Δ,, άρ f(δ ), έν, τέτοιο, ώστε f ( ). Τελικά η εξίσωση f () έχει κριώς δύο θετικές ρίζες. f. Το f (Δ ) άρ υπάρχει κριώς. Το f (Δ ) άρ υπάρχει κριώς Γ3. Έστω η συνάρτηση h() (f() ). H h είνι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών συνρτήσεων. H h είνι πργωγίσιμη στο (, ) με h () f () (f () ) (f () f () ) h( ) (f ( ) ) ( ) h( ) (f ( ) ) ( ). Τελικά έχουμε h( ) h( ) Άρ πό θεώρημ Roll υπάρχει (,) τέτοιο ώστε h ( ) (f ( ) f ( ) ) f ( ) f ( )
Γ4. g() f(). Από Γ έχουμε f()=-, γι f() f() f() κι γι f f() f() f(). Άρ f() = - κι f( ) f() γι κάθε (, ) Άρ Ε = g() d f () d (f () )d ( )ln d ln d ln d 3 = d τ.μ. 4 4 4 4 f ΘΕΜΑ Δ Δ. Έστω g() dt,. Η f είνι συνεχής άρ η συνάρτηση dt πργωγίσιμη ως σύνθεση πργωγισίμων κι g() f( )(),. Είνι g( ) g(),,δηλδή η g προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο του (, ) κι g πργωγίσιμη στο g() f(). Όμως f( ), κι συνεχής άρ f( ),. Οπότε : ln t t ln dt f () Όμως ln, δηλδή ln,. Άρ, άρ πό Θ.Frmat ln t t dt f () ln, οπότε ln t t ln dt,. Τελικά f(), ln t t dt Είνι ln t t ln t t συνεχής στο (, ) άρ dt πργωγίσιμη στο (, ) κι τελικά f πργωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις πργωγισίμων. Τότε ln ln t t dt f() Πργωγίζοντς τη σχέση έχουμε: ln ln t t ln ln ln dt c, f() f() f() f() Γι, ln c c. Άρ f() (ln), Δ. Έχουμε lim f( ). Έστω f ()ημ f() ημu f() u u u. Άρ u, κθώς είνι u. Τότε f() ημu u ημuu συνu συνu lim f ()ημ f () lim lim lim u u u f() u u u
Δ3. Η f συνεχής στο (, ) άρ η F πργωγίζετι με F() f(). Η f πργωγίζετι άρ κι η F πργωγίζετι με F () (ln) ln ln ( ) άρ η f κυρτή. Αρκεί ν δείξουμε ότι F(3) F() F() F(). Η F πργωγίσιμη στο [, ] κι [,3],. Από ΘΜΤ υπάρχουν (,) κι (,3) τέτοι ώστε F( ) F() F() F(3) F() F( ).Όμως κι F γνησίως ύξουσ φού η F κυρτή. Άρ F() F() F(3) F() F( ) F( ) F() F() F(3) F() Δ4. Έστω h() F() F(3) F(). Η h συνεχής στο [,] με h() F() F(3) F() F() F(3) h() F() F(3) F() F() (F(3) F()). Όμως πό Δ3 γι = έχουμε: F( ) F(3) F() F() F(3) F() h() F () f() άρ η F γνησίως φθίνουσ άρ <3 F() F(3) F() F(3) h(). Από θεώρημ κι Bolzano υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε h(ξ). Όμως h () F () f(), άρ h γνησίως φθίνουσ στο (, ) οπότε το ξ είνι μονδικό ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΝΔΑΛΑΚΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΑΘΑΝΑΣΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΑΛΗΣ ΜΑΡΙΑ ΠΕΤΡΑΚΗ ΒΑΝΑ ΚΑΤΣΟΥΛΗ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΡΑΤΖΙΑΣ ΝΙΚΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΜΑΚΡΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΑΜΠΟΥΡΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΑΣΦΕΝΤΑΓΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΠΕΤΑΝΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΕΡΖΑΚΗ