ΟΣ GAUSS) Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιεχόµενα παραρτήµατος Α Α.1 Μέθοδος αντικατάστασης... A. Μέθοδος των οριζουσών (ΜΕΘΟ ΟΣ CRAMER)... 3 A..1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ... 3 A.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33... 5 A..3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 44... 10 A..4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ nn... 13 A.3 Χρήσιµοι ορισµοί και ιδιότητες πινάκων και οριζουσών... 14 A.3.1 Τετραγωνικός πίνακας... 14 A.3. Άνω τριγωνικός πίνακας... 14 A.3.3 Κάτω τριγωνικός πίνακας... 14 A.3.4 ιαγώνιος πίνακας... 14 A.3.5 Ανάστροφος ενός πίνακα... 15 A.3.6 Συµµετρικός πίνακας... 15 A.3.7 Ελάσσονες ορίζουσες ενός πίνακα... 16 A.3.8 Αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου ij ενός πίνακα... 16 A.3.9 Προσαρτηµένος (djoint) πίνακας... 17 A.3.10 Μοναδιαίος πίνακας... 18 A.3.11 Αντίστροφος ενός πίνακα... 18 Α.3.1 Ιδιότητες οριζουσών... 19 Α.3.13 Ορίζουσα τριγωνικού και διαγώνιου πίνακα... 19 Α.4 Μέθοδος του αντίστροφου πίνακα... 0 Α.5 Μέθοδος απαλοιφής (ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS)... 1 Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 3 Έστω ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (): + b 11 1 1 1 + b 1 1 (Α.1) Το ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός των τιµών 1 και των δύο αγνώστων που ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Οι συντελεστές ij καλούνται συντελεστές των αγνώστων, ενώ οι όροι b i

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ καλούνται σταθεροί όροι. Γενικά, τόσο οι συντελεστές των αγνώστων όσο και οι σταθεροί όροι είναι πραγµατικοί ή και µιγαδικοί αριθµοί. Γενικά, καθεµία από τις εξισώσεις Α.1 αναπαριστά µιά ευθεία στο επίπεδο. Αυτές οι δύο ευθείες διατάσσονται τυχαία στο επίπεδο (ανάλογα µε τις τιµές των ij και b i ) και υπάρχουν τρία ενδεχόµενα: Να τέµνονται σε ένα και µοναδικό σηµείο ( 1, ), το οποίο αποτελεί και τη λύση του συστήµατος. Να συµπίπτουν (οπότε έχουν όλα τα σηµεία τους κοινά απειρία λύσεων, σύστηµα αόριστο). Να είναι παράλληλες (οπότε δέν έχουν κανένα κοινό σηµείο σύστηµα αδύνατο). Σε πρακτικές εφαρµογές µας ενδιαφέρει κατα κύριο λόγο η πρώτη περίπτωση, µιας και για όλα σχεδόν τα αντίστοιχα συστήµατα που προκύπτουν έχουν µοναδική λύση 1. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετοί τρόποι επίλυσης τέτοιων γραµµικών συστηµάτων. Εδώ θα αναπτυχθούν τέσσερις βασικές µέθοδοι: η µέθοδος της αντικατάστασης, η µέθοδος των οριζουσών (ή µέθοδος του Crmer), η µέθοδος του αντίστροφου πίνακα και η µέθοδος της απαλοιφής (ή µέθοδος του Guss). Οι µέθοδοι θα αναπτυχθούν έχοντας ως στόχο την άµεση εφαρµογή τους στη επίλυση γραµµικών συστηµάτων και για αυτό το λόγο δεν θα δοθεί ιδιαίτερη σηµασία σε πολλές λεπτοµέρειες. Περισσότερες λεπτοµέρειες καθώς και ακριβέστερη µαθηµατική τεκµηρίωση µπορείτε να βρείτε σε οποιοδήποτε βιβλίο γραµµικής άλγεβρας όπως αυτά που παρατίθενται στη βιβλιογραφία. Α.1 Μέθοδος αντικατάστασης Σε αυτή τη µέθοδο επιλύουµε τη µία απο τις δύο εξισώσεις ως προς τον ένα άγνωστο και αντικαθιστούµε στη δεύτερη µε σκοπό την απαλοιφή του ενός αγνώστου και την εύρεση του δεύτερου. Ακολουθεί αντικατάσταση του αποτελέσµατος στην άλλη εξίσωση µε σκοπό την εύρεση και του πρώτου αγνώστου. Η διαδικασία έχει ως ακολούθως: Λύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς 1 : b b 1 1 11 1 + 1 1 1 (Α.) 11 Αντικαθιστούµε την Α. στη δεύτερη και λύνουµε ως πρός : b b b + b + b 1 1 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 (Α.3) Με αντικατάσταση της Α.3 στην πρώτη εξίσωση προκύπτουν τα εξής: b b b b + b + b 11 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 (Α.4) 1 Περίπτωση αόριστου συστήµατος έχουµε µόνο αν για οποιοδήποτε λόγο οι εξισώσεις του δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητες µεταξύ τους.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 3 Προέκυψε λοιπόν το ζεύγος τιµών b b b b, 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 ως λύση του συστήµατος Α.1. Το γεγονός αυτό µπορεί εύκολα να επαληθευθεί µε αντικατάσταση αυτών των τιµών στο σύστηµα, έπειτα από κάπιες πράξεις. Για παράδειγµα το σύστηµα: 1+ 3 1 1+ 1 3 41+ 0 4 1+ 1 0 έχει µοναδική λύση το ζεύγος τιµών 1 0.6,.4 Αυτή η µέθοδος προσφέρεται για επίλυση συστηµάτων, επειδή βασίζεται σε απλές αλγεβρικές αντικαταστάσεις. Σε πιο πολύπλοκα συστήµατα η εφαρµογή αυτής της µεθόδου καθίσταται πολύ δύσκολη έως και αδύνατη λόγω δυσκολίας των πράξεων. Επιπρόσθετα µπορούν εύκολα να γίνουν πολλά λάθη. A. Μέθοδος των οριζουσών (ΜΕΘΟ ΟΣ CRAMER) A..1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κάθε σύστηµα εξισώσεων µπορεί να γραφεί ισοδύναµα και µε µορφή πινάκων ως εξής: 111 + 1 b1 11 1 1 b1 11 + b 1 b (Α.5) Σε αυτή τη µορφή έχουµε ένα πίνακα που περιέχει τους συντελεστές των αγνώστων να πολλαπλασιάζει ένα πίνακα στήλη που περιέχει τους αγνώστους και το αποτέλεσµα αυτού του γινοµένου να προκύπτει ίσο µε ένα πίνακα στήλη που περιέχει τους σταθερούς όρους. Η διάταξη συντελεστών και σταθερών όρων είναι ίδια µε αυτή στις αντίστοιχες εξισώσεις. Για την επίλυση αυτού του συστήµατος πρέπει να σχηµατίσουµε τρεις πίνακες. Έναν ο οποίος σχετίζεται µε όλο το σύστηµα, καθώς και έναν για κάθε άγνωστο. Ο πίνακας του συστήµατος περιέχει τους συντελεστές των αγνώστων µε την ίδια διάταξη και είναι ο εξής: 11 1 1 Ο πίνακας για τον άγνωστο 1 κατασκευάζεται από αυτόν αν αντικαταστήσουµε τους συντελεστές του 1 µε τους σταθερούς όρους: b b 1 1 Ο πίνακας για τον άγνωστο κατασκευάζεται µε τον ίδιο τρόπο αν αντικαταστήσουµε τους συντελεστές του µε τους σταθερούς όρους: (Α.6) (Α.7)

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ b 11 1 b 1 (Α.8) ΟΡΙΣΜΟΣ α β Η ορίζουσα ενός πίνακα της µορφής A γ δ ορίζεται ως εξής: α β det A αδ βγ γ δ και αποτελεί ένα τρόπο αντιστοίχησης αλγεβρικής τιµής σε αυτόν. Το σύµβολο προέρχεται από τον όρο determinnt (ορίζουσα) και συµβολίζεται µε τα στοιχεία του πίνακα µέσα σε δύο κάθετες γραµµές. Με βάση αυτό τον ορισµό οι ορίζουσες των πινάκων Α.6, Α.7 και Α.8 έναι οι εξής: (Α.9) 11 1 11 1 1 1 b b b (Α.10) 1 1 1 1 1 b b b b (Α.11) 11 1 11 1 1 1 b Η λύση του συστήµατος είναι η εξής: b b b b, 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 (Α.1) και προφανώς συµπίπτει µε τη λύση που βρήκαµε µε αντικατάσταση. Για παράδειγµα το σύστηµα: 1+ 3 1 1+ 1 3 41+ 0 4 1+ 1 0 λύνεται ως εξής: 1 1 ( 1) 1 1 4 5 4 1 3 1 1 3 1 3 1 1 0 3 ( 1) 0 3 4 1 0 1 4 0

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 5 3 1 5 5 1 1 0.6,.4 A.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33 Ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρείς αγνώστους έχει την ακόλουθη µορφή: 111 + 1 + 133 b1 11 1 13 1 b1 11 + + 33 b 1 3 b 311 + 3 + 333 b 3 31 3 33 3 b 3 (Α.13) Σε αντιστοιχία µε τα προηγούµενα, πρέπει να κατασκευάσουµε τέσσερεις ορίζουσες, µία για το σύστηµα και µία για κάθε άγνωστο. Αυτές κατασκευάζονται µε τον ίδιο τρόπο και είναι οι εξής: 11 1 13 (Α.14) 1 3 31 3 33 b 1 1 13 b (Α.15) 1 3 b 3 3 33 b 11 1 13 b (Α.16) 1 3 b 31 3 33 Η λύση του συστήµατος είναι η εξής: b 11 1 1 b (Α.17) 3 1 b 31 3 3,, 1 3 1 3 (Α.18) Αποµένει να δούµε πώς υπολογίζεται µια ορίζουσα 33, δηλαδή µε ποιό τρόπο αντιστοιχούµε αλγεβρική τιµή στα διατεταγµένα στοιχεία του πίνακα. Η διαδικασία είναι πιο πολύπλοκη από αυτή της προηγούµενης παραγράφου. Μια ορίζουσα 33 µπορεί να υπολογισθεί µε έξι διαφορετικούς τρόπους. Η διαδικασία που ακολουθούµε ονοµάζεται ανάπτυξη ως προς γραµµή ή ως προς στήλη.

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ Απο τις τέσσερις ορίζουσες που πρέπει να υπολογισθούν θα εφαρµόσουµε τη διαδικασία µόνο για την ορίζουσα του συστήµατος και εννοείται ότι η ίδια µεθοδολογία εφαρµόζεται και για τον υπολογισµό των υπόλοιπων οριζουσών. Ξεκινάµε τη διαδικασία γράφοντας την αντίστοιχη ορίζουσα και τοποθετώντας σε αυτή κάποια επιπλέον πρόσηµα. Τα πρόσηµα αυτά τοποθετούνται εναλλάξ ξεκινώντας µε (+) στο πάνω αριστερά στοιχείο του πίνακα, έτσι ώστε να µην υπάρχει οριζόντια ή κάθετα σε γειτονεία ίδιο πρόσηµο: 11 1 13 1 3 31 3 33 (Α.19) Ακολούθως επιλέγουµε όποια γραµµή ή στήλη επιθυµούµε. Ας επιλέξουµε την πρωτη γραµµή. 11 1 13 (Α.0) 1 3 31 3 33 Κατόπιν γράφουµε διαδοχικά ως άθροισµα τα στοιχεία της γραµµής που επιλέξαµε επί το επιπλέον πρόσηµο επί τον υποπίνακα που αποµένει αν διαγράψουµε τη γραµµή και τη στήλη που ανήκει το κάθε στοιχείο. Πιο αναλυτικά, ξεκινώντας από το πρώτο στοιχείο 11 της γραµµής γράφουµε: + 11 (Α.1) Στον πίνακα Α.0, αν διαγράψουµε τη γραµµή και τη στήλη στις οποίες ανήκει το στοιχείο 11 : 11 1 13 1 3 31 3 33 αποµένει ο υποπίνακας 3 3 33. Σε αυτό τον υποπίνακα δε λαµβάνουµε υπόψη τα επιπλέον πρόσηµα. Αυτός ο υποπίνακας τοποθετείται στην Α.1: + 3 11 3 (Α.) 33 Αυτά τα επιπλέον πρόσηµα λογίζονται χωριστά από τα πρόσηµα των στοιχείων του πίνακα.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 7 Συνεχίζουµε µε το δεύτερο στοιχείο 1 της επιλεγµένης γραµµής και γράφουµε: + (Α.3) 3 11 1 3 33 Στον πίνακα Α.0, αν διαγράψουµε τη γραµµή και τη στήλη στις οποίες ανήκει το στοιχείο 1 : 11 1 13 1 3 31 3 33 αποµένει ο υποπίνακας 1 3 31 33. Σε αυτό τον υποπίνακα δε λαµβάνουµε υπόψη τα επιπλέον πρόσηµα. Αυτός ο υποπίνακας τοποθετείται στην Α.3: + (Α.4) 3 1 3 11 1 3 33 31 33 Συνεχίζουµε µε το τρίτο στοιχείο 13 της επιλεγµένης γραµµής και γράφουµε: + + (Α.5) 3 1 3 11 1 13 3 33 31 33 Στον πίνακα Α.0, αν διαγράψουµε τη γραµµή και τη στήλη στις οποίες ανήκει το στοιχείο 13 : 11 1 13 1 3 31 3 33 αποµένει ο υποπίνακας 1 31 3. Σε αυτό τον υποπίνακα δε λαµβάνουµε υπόψη τα επιπλέον πρόσηµα. Αυτός ο υποπίνακας τοποθετείται στην Α.5: + + (Α.6) 3 1 3 1 11 1 13 3 33 31 33 31 3 Οι υποπίνακες που υπάρχουν σε αυτό το άθροισµα είναι πίνακες και η αντίστοιχη ορίζουσα υπολογίζεται µε βάση τα προηγούµενα. Έτσι η Α.6 γίνεται:

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ + 11 ( 33 3 3) 1 (1 33 3 31) + 13 (1 3 31) (Α.7) ή κάνοντας τις πράξεις: + 11 33 11 3 3 1 1 33 + 1 3 31 + 13 1 3 13 31 (Α.8) Η ίδια διαδικασία µπορεί να εφαρµοσθεί σε ποιαδήποτε γραµµή ή στήλη του πίνακα και καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσµα. Για ευκολία στις πράξεις συνήθως επιλέγουµε εκείνη τη γραµµή ή τη στήλη µε τα περισσότερα µηδενικά (αν υπάρχουν), έτσι ώστε να µηδενίζονται οι αντίστοιχοι όροι. Για παράδειγµα το σύστηµα: 71 3 115 7 1 1 115 1+ 10 33 345 10 3 345 1 3 + 103 0 1 3 10 3 0 λύνεται ως εξής: 7 1 10 3 3 10 10 3 + 7 ( ) + ( 1) 3 10 1 10 1 3 1 3 10 7 (100 9) + ( 0 3) 1 (6 + 10) 575 115 1 1 115 1 115 1 345 10 3 + 0 ( 3) + 10 10 3 345 3 345 10 0 3 10 [ ] 3 115 ( 3) 345 + 10 (1150 690) 530 7 115 1 115 1 7 1 7 115 345 3 1 0 + 10 345 3 3 345 1 0 10 1 ( 345 345) + 10 ( 415 + 30) 1160 7 115 115 7 115 7 3 10 345 1 ( 3) + 0 10 345 345 10 1 3 0 (690 1150) + 3 ( 415 + 30) 6095

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 9 Η λύση του είναι η εξής: 1 3 1 4.4, 36.8, 3 10.6 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα για την ορίζουσα του συστήµατος, έγινε ανάπτυξη ως προς την πρώτη γραµµή, ενώ για τις υπόλοιπες ως προς την τρίτη γραµµή. Ειδικά για τον υπολογισµό οριζουσών 33, µπορεί να χρησιµοποιηθει και ο ακόλουθος κανόνας, γνωστός και ως κανόνας του srrus: Γράφουµε τον πίνακα όπως ακριβώς είναι και στα δεξιά του αντιγράφουµε τις δύο πρώτες στίλες τηρώντας την ίδια σειρά: 11 1 13 11 1 1 3 1 31 3 33 31 3 Κατόπιν σχεδιάζουµε διαγώνια βέλη ως εξής: 11 1 13 11 1 1 3 1 31 3 33 31 3 - - - + + + Κατά τη φορά των βελλών πλλαπλασιάζουµε τους αντίστοιχους όρους, ενώ τα γινόµενα των όρων λογίζονται σαν άθροισµα µε βάση το πρόσηµο που είναι σηµειωµένο. Έτσι έχουµε: + 11 33 + 1 3 31 + 13 1 3 13 31 11 3 3 1 1 33 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η ορίζουσα του συστήµατος στο προηγούµενο παράδειγµα υπολογίζεται µε βάση τον κανόνα του srrus ως εξής: 7 1 7 10 3 10 1 3 10 1 3 - - - + + + 7 10 10 + ( ) ( 3) ( 1) + ( 1) ( ) ( 3) ( 1) 10 ( 1) 7 ( 3) ( 3) ( ) ( ) 10 700 6 6 10 63 40 575

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ A..3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 44 Ένα σύστηµα τεσσάρων εξισώσεων µε τέσσερις αγνώστους έχει την ακόλουθη µορφή: 111 + 1 + 133 + 144 b1 11 1 13 14 1 b1 11 + + 33 + 44 b 1 3 4 b 311 + 3 + 333 + 344 b3 31 3 33 34 3 b 3 411 4 433 444 b + + + 4 41 4 43 44 4 b4 (Α.9) Σε αντιστοιχία µε τα προηγούµενα, πρέπει να κατασκευάσουµε τέσσερεις ορίζουσες, µία για το σύστηµα και µία για κάθε άγνωστο. Αυτές κατασκευάζονται µε τον ίδιο τρόπο και είναι οι εξής: 11 1 13 14 1 3 4 (Α.30) 31 3 33 34 41 4 43 44 b 1 1 13 14 b 3 4 1 (Α.31) b3 3 33 34 b 4 4 43 44 b 11 1 13 14 b 1 3 4 (Α.3) 31 b3 33 34 b 41 4 43 44 b 11 1 1 14 b 1 4 3 (Α.33) 31 3 b3 34 b 41 4 4 44 Η λύση του συστήµατος είναι η εξής: b 11 1 13 1 b 1 3 4 (Α.34) 31 3 33 b3 b 41 4 43 4 1 3 4 1,, 3, 4 (Α.35) Η ανάπτυξη αυτών των οριζουσών γίνεται µε τον ίδιο τρόπο, µόνο που σε κάθε βήµα υποβιβάζουµε την τάξη των αντίστοιχων υποπινάκων κατά ένα. ηλαδή οι υποπίνακες που θα προκύψουν κατά την ανάπτυξη κάποιας γραµµής ή στήλης θα είναι πίνακες 33. Αυτοί εν συνεχεία υπολογίζονται µε τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγµα το σύστηµα: 41+ 14 + 43 44 0 4 14 4 4 1 0 41+ 4 + 43 64 10 4 4 4 6 10 41+ 10 + 193 11 4 0 4 10 19 11 3 0 41 10 103+ 04 0 4 10 10 0 4 0 λύνεται ως εξής:

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 11 4 14 4 4 4 4 4 6 4 + 10 19 + 11 4 10 10 0 4 4 6 14 4 4 14 4 4 14 4 4 + 4 10 19 11 4 10 19 11 + 4 4 4 6 ( 4) 4 4 6 10 10 0 10 10 0 10 10 0 10 19 11 19 11 4 6 4 6 4 + 4 10 + ( 10) 10 0 10 0 19 11 19 11 4 4 4 4 4 + 14 10 + ( 10) + 10 0 10 0 19 11 4 6 4 4 4 4 + 4 + 14 4 + ( 10) + 10 0 10 0 4 6 4 6 4 4 4 4 + 4 + 14 4 + 10 19 11 19 11 4 6 { [ ] [ 10) ] 10 [ 4 ( 11) ( 6) 19] } { [ ] [ ] [ ]} 4 { 14 [ 4 0 ( 6) ( 10) ] 4 [ 4 0 ( 4) ( 10) ] 10 [ 4 ( 6) ( 4) 4] } 4 { 14 [ 4 ( 11) ( 6) 19] 4 [ 4 ( 11) ( 4) 19] 10 [ 4 ( 6) ( 4) 4] } 4 4 19 0 ( 11) ( 10) 10 4 0 ( 6) ( 4 14 19 0 ( 11) ( 10) 10 4 0 ( 4) ( 10) 10 4 ( 11) ( 4) 19 + + + + + { } { } { } { } 4 4 70 10 0 10 70 4 14 70 10 40 10 3 + + 4 14 0 4 40 10 ( 8) + 4 14 70 4 3 + 10 ( 8) 4 180 4 3060 + 4 00 + 4 77 763 0 14 4 4 14 4 4 10 4 4 6 1 ( 10) 10 19 11 0 10 19 11 10 10 0 0 10 10 0 19 11 4 4 4 4 10 + 14 10 + ( 10) 10 0 10 0 19 11 { [ ] [ ] [ 19] } 10 { 14 70 10 40 10 3} 30600 10 14 19 0 ( 11) ( 10) 10 4 0 ( 4) ( 10) 10 4 ( 11) ( 4)

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ 4 0 4 4 4 4 4 4 10 4 6 + ( 10) 4 19 11 4 0 19 11 4 10 0 4 0 10 0 19 11 4 4 4 4 10 + 4 4 + ( 4) 10 0 10 0 19 11 { [ ] [ ] [ ]} 10 { 4 70 4 40 4 3} 790 10 4 19 0 ( 11) ( 10) 4 4 0 ( 4) ( 10) 4 4 ( 11) ( 4) 19 4 14 0 4 4 14 4 4 4 10 6 3 ( 10) 4 10 11 4 10 0 11 4 10 0 4 10 0 0 10 11 14 4 14 4 10 + 4 4 + ( 4) 10 0 10 0 10 11 { [ ] [ ] [ ]} 10 { 4 90 4 40 4 ( 114) } 1440 10 4 10 0 ( 11) ( 10) 4 14 0 ( 4) ( 10) 4 14 ( 11) ( 4) 10 4 14 4 0 4 14 4 4 4 4 10 4 + ( 10) 4 10 19 4 10 19 0 4 10 10 4 10 10 0 10 19 14 4 14 4 10 + 4 4 + ( 4) 10 10 10 10 10 19 { [ ] [ ] [ ]} 10 { 4 90 4 ( 100) 4 6} 1440 10 4 10 ( 10) 19 ( 10) 4 14 ( 10) 4 ( 10) 4 14 19 4 10 Και προφανώς έχει σύµφωνα µε τα προηγούµενα την ακόλουθη λύση: 1 3 4 1 4,009, 1,037, 3 0,188, 4 0,188

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 13 A..4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ nn Ένα τέτοιο nn σύστηµα έχει τη µορφή: 11 1 1n 1 b1 1 n b b n1 n nn n n (Α.36) Οι όροι ij είναι οι συντελεστές των αγνώστων, οι όροι i έναι οι άγνωστοι, ενώ οι όροι b i έναι οι σταθεροί όροι. Και σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο crmer, αλλά η δυσκολία στις πράξεις αυξάνει εκθετικά σε σχέση µε τον αριθµό των εξισώσεων. Η ορίζουσα του συστήµατος (Α.36) είναι ή: 11 1 1n 1 n n1 n nn (Α.37) και µπορεί να υπολογισθεί µε τις ακόλουθες σχέσεις, αναπτύσσοντας κατά ελάσσονες οποιαδήποτε γραµµή i: ( 1) M + ( 1) M + + ( 1) M i+ 1 i+ i+ n i1 i1 i i in in n n i+ k ik ( 1) Mik ikaik k 1 k 1 (Α.38) ή οποιαδήποτε στήλη j: ( 1) M + ( 1) M + + ( 1) M 1+ j + j n+ j 1j 1j j j nj nj n n k+ j kj( 1) Mkj kjakj k 1 k 1 (Α.39) Είναι άµεσα αντιληπτό το γεγονός ότι για συστήµατα 44 ή και µεγαλύτερα ο αριθµός των πράξεων αυξάνει εκθετικά. Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ορισµένες ιδιότητες των πινάκων και των οριζουσών για τη διευκόλυνση των πράξεων. Στην επόµενη παράγραφο παρουσιάζονται οι πιο σηµαντικοί ορισµοί και ιδιότητες που διευκολύνουν τους υπολογισµούς.

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ A.3 Χρήσιµοι ορισµοί και ιδιότητες πινάκων και οριζουσών A.3.1 Τετραγωνικός πίνακας Ένας πίνακας της µορφής: 11 1 1n 1 n n1 n nn ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας επειδή το πλήθος των γραµµών του είναι ίσο µε το πλήθος των στηλών του. Τα στοιχεία 11,, 33, nn αποτελούν την κύρια ή πρωτεύουσα διαγώνιο του πίνακα. A.3. Άνω τριγωνικός πίνακας Ένας πίνακας της µορφής: 0 0 0 11 1 1n n nn ονοµάζεται άνω τριγωνικός πίνακας επειδή τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι όλα µηδενικά. A.3.3 Κάτω τριγωνικός πίνακας Ένας πίνακας της µορφής: 11 0 0 1 0 n1 n nn ονοµάζεται κάτω τριγωνικός πίνακας επειδή τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι όλα µηδενικά. A.3.4 ιαγώνιος πίνακας Ένας πίνακας της µορφής: 11 0 0 0 0 0 0 nn ονοµάζεται διαγώνιος επειδή τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι όλα µηδενικά. Ένας διαγώνιος πίνακας A συµβολίζεται µε Α dig { 11,, 33, nn }.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 15 A.3.5 Ανάστροφος ενός πίνακα Έχουµε ένα πίνακα Α της µορφής: A 11 1 1n 1 n n1 n nn αν µετατρέψουµε τις γραµµές του Α σε στήλες και τις στήλες σε γραµµές προκύπτει ένας νέος πίνακας Β που έχει την ακόλουθη µορφή: B 11 1 n1 1 n 1n n nn Ο πίνακας Β ονοµάζεται ανάστροφος του πίνακα Α και συµβολίζεται Β Α t. Για παράδειγµα: 10 4 1 3 1 4 8 A 1 8 3 1 1 0 1 A t 10 3 1 1 1 1 4 4 8 0 1 8 3 1 A.3.6 Συµµετρικός πίνακας Ένας πίνακας Α της µορφής: A 11 1 1n 1 n n1 n nn ονοµάζεται συµµετρικός αν ισχύει Α Α t. ηλαδή αν µετατρέψουµε τις γραµµές σε στήλες και τις στήλες σε γραµµές ο πίνακας δεν µεταβάλλεται. Για παράδειγµα: 10 4 1 1 4 8 A 4 4 8 3 1 8 3 1 A t 10 4 1 1 4 8 4 4 8 3 1 8 3 1 Χαρακτηριστικό κάθε συµµετρικού πίνακα είναι ότι τα στοιχεία του διατάσσονται συµµετρικά γύρω από την κύρια διαγώνιο και εµφανίζει µεγάλο ενδιαφέρον στη µελέτη των κυκλωµάτων αφού τα συστήµατα εξισώσεων που προκύπτουν από γραµµικά κυκλώµατα εκφράζονται συνήθως µε τέτοιους πίνακες.

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ A.3.7 Ελάσσονες ορίζουσες ενός πίνακα Έστω ένας πίνακας Α της µορφής: A 11 1 1n 1 n n1 n nn Η ορίζουσα του (n-1)(n-1) πίνακα Μ ij που προκύπτει από τον nn πίνακα Α αν διαγράψουµε τη i- γραµµή και τη j-στήλη του ονοµάζεται ελάσσονα ορίζουσα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στο στοιχείο ij. Ένας nn πίνακας έχει n ελάσσονες ορίζουσες. Για παράδειγµα οι ελάσσονες ορίζουσες του πίνακα: είναι οι εξής εννέα: 7 1 A 10 3 1 3 10 10 3 3 10 M11 M1 M13 3 10 1 10 1 3 1 7 1 7 M1 M M3 3 10 1 10 1 3 1 7 1 7 M31 M3 M33 10 3 3 10 A.3.8 Αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου ij ενός πίνακα Έστω ένας πίνακας Α της µορφής: A 11 1 1n 1 n n1 n nn Το στοιχείο i j A ij ( 1) + Mij ονοµάζεται αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου ij του πίνακα Α. Για παράδειγµα τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του πίνακα της παραγράφου A.3.7 είναι: 10 3 3 10 A11 + A1 A13 + 3 10 1 10 1 3 1 7 1 7 A1 A + A3 3 10 1 10 1 3 1 7 1 7 A31 + A3 A33 + 10 3 3 10

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 17 Εδώ πρέπει να θυµηθούµε ότι µέχρι τώρα υπολογίζαµε τις ορίζουσες αναπτύσσοντας ως προς κάποια γραµµή ή ως προς κάποια στήλη. Τα επιπλέον πρόσηµα που τοποθετούσαµε ήταν ο όρος i j ( 1) + αλγεβρικού συµπληρώµατος, ενώ διαγράφοντας διαδοχικά γραµµές και στήλες βρίσκαµε ουσιαστικά τις αντίστοιχες ελάσσονες ορίζουσες. Ας θυµηθούµε τον υπολογισµό: του 7 1 10 3 3 10 10 3 + 7 ( ) + ( 1) 3 10 1 10 1 3 1 3 10 7 (100 9) + ( 0 3) 1 (6 + 10) 575 Η ορίζουσα αναπτύχθηκε ως προς την πρώτη γραµµή, ενώ οι πράξεις που έγιναν ανάµεσα στα στοιχεία του πίνακα ήταν οι ακόλουθες: + + 11 1 13 3 1 3 1 1 3 11 1 13 3 33 31 33 31 3 31 3 33 3 11 1 1 3 13 1 + + + 11 ( 1) + 1 ( 1) + 13 ( 1) 3 33 31 33 31 3 A + A + A 11 11 1 1 13 13 3 A k 1 1k 1k δηλαδή αθροίσαµε κατά µήκος της επιλεγείσας γραµµής τα γινόµενα των στοιχείων της γραµµής επί τα αλγεβρικά τους συµπληρώµατα, σε συµφωνία πάντα προς τις σχέσεις Α.38 και Α.39 που εφαρµόζονται γενικά για τον υπολογισµό ορίζουσας ως προς οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη. A.3.9 Προσαρτηµένος (djoint) πίνακας οθέντος ενός πίνακα Α της µορφής: A 11 1 1n 1 n n1 n nn ορίζεται ένας νέος πίνακας nn της µορφής: t 1 n 1 n ij d(a) [A ] t A11 A1 A1n A11 A1 An1 A A A A A A A A A A A A n1 n nn 1n n nn

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ που ονοµάζεται προσαρτηµένος στον Α. Τα στοιχεία A ij είναι τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων ij του Α. ηλαδή ο προσαρτηµένος στον Α πίνακας βρίσκεται αν κατασκευάσουµε τον πίνακα των αλγεβρικών συµπληρωµάτων και κατόπιν δηµιουργήσουµε τον ανάστροφό του. A.3.10 Μοναδιαίος πίνακας Ο τετραγωνικός πίνακας nn της µορφής: I n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ονοµάζεται µοναδιαίος πίνακας και συµβολίζεται I n. Έχει όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα προς 1, ενώ όλα τα υπόλοιπα ίσα προς µηδέν. Είναι ταυτόχρονα διαγώνιος και συµµετρικός. Η βασική του ιδιότητα είναι ότι όταν πολλαπλασιάζει οποιανδήποτε πίνακα Α τον αφήνει αµετάβλητο: I A A I A n ή 1 0 0 11 1 1n 11 1 1n 1 0 0 11 1 1n 0 1 0 1 n 1 n 0 1 0 1 n 0 0 1 n1 n nn n1 n nn 0 0 1 n1 n nn n A.3.11 Αντίστροφος ενός πίνακα Ένας τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται οµαλός ή αντιστρέψιµος ή µη-ιδιάζων αν υπάρχει πίνακας Β που να ικανοποιεί τη συνθήκη: A B B A I n (Α.40) Ο µονότιµα ορισµένος πίνακας Β που ικανοποιεί την Α.40, ονοµάζεται αντίστροφος του Α και συµβολίζεται µε το σύµβολο Α -1. Γενικά όταν ένας πίνακας Α πολλαπλασιάζεται επί τον αντίστροφό του προκύπτει ο µοναδιαίος πίνακας I n. Τον αντίστροφο ενός πίνακα Α µπορούµε να τον υπολογίσουµε ως εξής: A 1 A11 A1 An1 A A A A1 A A n 1 d(a) A A A A A1n An Ann A A A (Α.41) δηλαδή ο αντίστροφος του Α είναι ίσος µε τον προσαρτηµένο στον Α δια την ορίζουσα του Α.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 19 Α.3.1 Ιδιότητες οριζουσών Όταν υπολογίζουµε ορίζουσες πρέπει να έχουµε υπόψη τις ακόλουθες ιδιότητες: i. Η αµοιβαία εναλλαγή δύο γραµµών ή δύο στηλών αντιστρέφει το πρόσηµο µιας ορίζουσας. ii. Όταν πολλαπλασιάζουµε µια γραµµή ή µία στήλη επί έναν αριθµό τότε όλη η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται επί αυτόν τον αριθµό. iii. Αν πολλαπλασιάσουµε έναν ολόκληρο πίνακα nn επί έναν αριθµό α (δηλαδή όλα τα στοιχεία του επί α) τότε η ορίζουσά του πολλαπλασιάζεται επί α n. iv. Αν δύο µη µηδενικές γραµµές ή στήλες είναι ανάλογες τότε η ορίζουσα είναι ίση µε µηδέν. v. Αν σε µία γραµµή ή στήλη προσθέσουµε ένα πολλαπλάσιο µιας άλλης γραµµής ή στήλης τότε η ορίζουσα δεν µεταβάλλεται. vi. Αν από µία γραµµή ή στήλη αφαιρέσουµε ένα πολλαπλάσιο µιας άλλης γραµµής ή στήλης τότε η ορίζουσα δεν µεταβάλλεται. vii. Αν σε µία γραµµή ή στήλη προσθέσουµε οποιονδήποτε γραµµικό συνδυασµό των υπολοίπων (ή µερικώς υπολοίπων) γραµµών ή στηλών τότε η ορίζουσα δεν µεταβάλλεται. Α.3.13 Ορίζουσα τριγωνικού και διαγώνιου πίνακα Αν ένας πίνακας Α είναι άνω (η κάτω) τριγωνικός ή διαγώνιος τότε η ορίζουσα που αντιστοιχεί σε αυτόν είναι ίση µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου: 11 1 1n 11 1 1n 0 0 0 0 nn 0 0 nn n n det 11 33 nn Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε εύκολα αναπτύσσοντας αυτή την ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη. Τα αντίστοιχα ισχύουν και για την κάτω τριγωνική και διαγώνια µορφή πίνακα. Ας δούµε ένα παράδειγµα υπολογισµού ορίζουσας κάνοντας χρήση της άνω (ή κάτω) τριγωνικής µορφής. Θα υπολογίσουµε την ορίζουσα του συστήµατος της παραγράφου Α..3. Εκτελώντας στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών προσπαθούµε να φέρουµε τον πίνακα σε άνω (ή κάτω) τριγωνική µορφή και έπειτα κάνοντας χρήση του θεωρήµατος να υπολογίσουµε την τιµή της ορίζουσας: 4 14 4 4 4 14 4 4 4 14 4 4 Γ Γ Γ1 Γ3 Γ3 + Γ4 4 4 4 6 0 10 0 0 10 0 4 10 19 11 0 4 15 7 0 0 9 9 Γ3 Γ3 Γ1 4 10 10 0 0 4 6 16 0 4 6 16 Γ Γ + Γ 4 4 1 4 14 4 4 4 14 4 4 4 6 Γ4 Γ4 + Γ 0 10 0 Γ4 Γ4 + Γ3 0 10 0 10 9 0 0 9 9 0 0 9 9 76 106 0 0 6 0 0 0 5 5 α.τρ 106 4 ( 10) 9 763 5

0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε εκτελώντας οποιουσδήποτε µετασχηµατισµούς γραµµών (ή αντίστοιχα στηλών). Το ζητούµενο είναι να φέρουµε τον πίνακα σε άνω (ή κάτω) τριγωνική µορφή. Για παράδειγµα ή ίδια ορίζουσα µέσω άλλων µετασχηµατισµών γίνεται: 4 14 4 4 4 14 4 4 4 14 4 4 Γ Γ + Γ4 Γ4 Γ4 + Γ1 4 4 4 6 0 6 6 14 0 6 6 14 4 10 19 11 0 0 9 9 0 0 9 9 Γ Γ + Γ 3 3 4 4 10 10 0 4 10 10 0 0 4 6 16 4 14 4 4 4 14 4 4 4 10 Γ4 Γ α.τρ 4 + Γ 0 6 6 14 Γ4 Γ4 + Γ3 0 6 6 14 6 9 106 0 0 9 9 0 0 9 9 4 ( 6) 9 763 3 76 106 0 0 10 0 0 0 3 3 Παρατηρούµε ότι καταλήξαµε στο ίδιο αποτέλεσµα κάνοντας λιγότερες και πιο εύκολες πράξεις. Η ίδια µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοσθεί σε ορίζουσες οποιασδήποτε τάξης από έως nn. Α.4 Μέθοδος του αντίστροφου πίνακα Έστω ένα σύστηµα: [ ] [ ] [ b] (Α.4) Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά και τα δύο µέλη της Α.4 επί τον αντίστροφο του [], προκύπτει: 1 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ b] [ I ] [ ] [ ] [ b] 1 [ ] [ ] [ b] n (Α.43) δηλαδή ο πίνακας στήλη των αγνώστων προκύπτει να είναι το γινόµενο του αντιστρόφου του πίνακα των συντελεστών επί τον πίνακα των σταθερών. Γα παράδειγµα το σύστηµα: λύνεται ως εξής: 71 3 115 7 1 1 115 1+ 10 33 345 10 3 345 1 3 + 103 0 1 3 10 3 0 7 1 91 3 16 A 10 3 d(a) 3 69 3 1 3 10 16 3 66

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 1 Επίσης η ορίζουσα του Α είναι det (A) 575. Ο αντίστροφος του Α είναι: 91 3 16 1 1 A 575 16 3 66 1 A d(a) 3 69 3 και µε βάση την Α.43: 91 3 16 115 91 115 3 345 + 0 16 1 1 b 3 69 3 345 3 115 69 345 0 3 575 575 + + 16 3 66 0 16 115 3 345 + 0 66 1 [ ] [ ] [ ] 1 4.4 36.8 3 10.6 Α.5 Μέθοδος απαλοιφής (ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS) Είναι αρκετά εύχρηστη µέθοδος και πολλές φορές µας εξυπηρετεί περισσότερο από όλες τις άλλες. Σε αυτή τη µέθοδο προσπαθούµε να απαλείψουµε διαδοχικά τους αγνώστους κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις ανάµεσα στις γραµµές του συστήµατος. Για να µην γράφουµε διαρκώς τους αγνώστους (που εν τέλει δεν µεταφέρουν καµία πληροφορία) φτιάχνουµε έναν πίνακα ( ij i ) αγνώστων και τους σταθερούς όρους. Από το σύστηµα: b που περιέχει τους συντελεστές των 111 + 1 + + 1nn b1 11 1 1n 1 b1 11 + + + nn b 1 n b n11 + n + + nnn b n n1 n nn n bn προκύπτει ο πίνακας: 11 1 1n b1 1 n b n1 n nn b n που ονοµάζεται επαυξηµένος πίνακας. Οι πράξεις που πρόκειται να γίνουν ανάµεσα στις γραµµές του συστήµατος µπορούν να τελεσθούν σε αυτό τον πίνακα τηρώντας ακριβώς την ίδια σειρά. Εδώ πρέπει να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ - ΠΙΝΑΚΕΣ σηµειωθεί ότι σε αντίθεση µε τις ορίζουσες οι πράξεις επιτρέπονται µόνο ανάµεσα σε γραµµές και όχι ανάµεσα σε στήλες του πίνακα. Οι πράξεις ανάµεσα σε στήλες µεταβάλλουν τη δοµή του συστήµατος. Κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις ανάµεσα στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα επιδιώκουµε να µετατρέψουµε το αριστερό τµήµα του (συντελεστές ij ) ή σε άνω τριγωνική µορφή ή σε κάτω τριγωνική µορφή ή σε διαγώνια µορφή και κατόπιν να εξάγουµε τη λύση του συστήµατος. Για παράδειγµα από το σύστηµα: 71 3 115 7 1 1 115 1+ 10 33 345 10 3 345 1 3 + 103 0 1 3 10 3 0 προκύπτει ο επαυξηµένος πίνακας: 7 1 115 10 3 345 1 3 10 0 Η διαδικασία επίλυσης έχει ως εξής: 7 1 115 7 1 115 7 1 115 1 Γ3 Γ3+ Γ Γ 1 Γ Γ 3 7 10 3 345 0 16 3 345 0 16 3 345 1 3 10 0 1 3 10 0 3 69 115 0 7 7 7 7 1 115 7 1 115 3 Γ3 Γ3+ Γ Γ 3 7 Γ 3 16 Γ3 16 Γ3 0 16 3 345 0 16 3 345 0 3 69 115 575 6095 0 0 16 16 7 1 115 0 16 3 345 0 0 575 6095 (Α.40) Αυτός ο επαυξηµένος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα: 71 3 115 6095 16 33 345 3 10.6 575 5753 6095

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α 3 Το κλάσµα που εκφράζει την τιµή του 3 είναι το κλάσµα 3 που υπολογίσαµε προηγουµένως. Με αντικατάσταση αυτής της τιµής στη δεύτερη εξίσωση προκύπτει η τιµή του και µε αντικατάσταση των και 3 στην πρώτη εξίσωση προκύπτει και η τιµή του 1. Φυσικά θα µπορούσαµε από την Α.40 να συνεχίσουµε τις πράξεις και να καταστήσουµε τον πίνακα συντελεστών µοναδιαίο, οπότε να προκύψουν όλες οι τιµές των αγνώστων ταυτόχρονα: 7 1 115 7 1 115 7 1 115 1 Γ3 Γ Γ 3 3 7 Γ 3 575 0 16 3 345 0 16 3 345 0 16 3 345 0 0 575 6095 0 3 69 115 0 0 1 6095 / 575 7 1 115 7 1 115 1 Γ Γ Γ Γ+ 3 Γ 3 16 Γ1 Γ1+ Γ3 0 16 0 944 / 5 0 1 0 184 / 5 0 0 1 6095 / 575 0 0 1 6095 / 575 7 0 5 / 5 7 0 0 154 / 5 1 0 0 / 5 1 Γ1 Γ Γ 1 1 Γ1+ Γ 7 0 1 0 184 / 5 0 1 0 184 / 5 0 1 0 184 / 5 0 0 1 6095 / 575 0 0 1 6095 / 575 0 0 1 6095/ 575 που αντιστοιχεί στη λύση: 1 4.4 5 184 36.8 5 6095 3 10.6 575 Α.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Αθανασιάδη Α. Γ., Γραµµική Άλγεβρα, Εκδόσεις Τζιόλα, 1997.. Brin A., Breiner M., MATLAB 6 για µηχανικούς, Εκδόσεις Τζιόλα, 003. 3. Collins G., Fundmentl Numericl Methods nd t Anlysis, 003. 4. Jmes G., Modern Engineering Mthemtics, 3 rd ed., Prentice Hll, 001. 5. Κουτελιέρης Φ., Σιάννης Ν., Γραµµική Άλγεβρα για Μηχανικούς, Εκδόσεις Τζιόλα, 006. 6. Meyer C.. Mtri Anlysis nd Applied Liner Algebr, sim. 7. Morris A. O., Μια εισαγωγή στη Γραµµική Άλγεβρα, Εκδόσεις Γ.Α. Πνευµατικού, 1980. 8. Pozikridis C., Αριθµητικές Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Επιστήµη και τη Μηχανική, Εκδόσεις Τζιόλα, 006.