Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 5 Κεφάλαιο 1ο Μη οµογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Η µέθοδος της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της γενικότερης µορφής Sturm - Liouville µονοδιάστατα προβλήµατα Στο κεφάλαιο αυτό µελετάµε τη µέθοδο της συνάρτησης Green για µη-οµογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της γενικότερης µορφής Sturm-Liouville, που συνοδεύονται από οµογενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπου. Για να είναι κατανοητή η παρακάτω παρουσίαση απαιτείται γνώση της θεωρίας του οµαλού προβλήµατος ιδιοτιµών Sturm-Liouville. Για µία αρκετά καλή παρουσίαση της θεωρίας Sturm-Liouville ο αναγνώστης παραπέµπεται στο βιβλίο «Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις, σειρές Fourier και προβλήµατα συνοριακών τιµών» του Στ. Τραχανά, και συγκεκριµένα στο 2ο κεφάλαιο. Το εν λόγω κεφάλαιο θίγει όλες τις βασικές πτυχές του οµαλού προβλήµατος συνοριακών τιµών Sturm-Liouville. Περαιτέρω απαιτούνται και βασικές γνώσεις της θεωρίας των συνήθων διαφορικών εξισώσεων καθώς και της γενικευµένης δέλτα του Dirac. 1.1 Η έννοια της συνάρτησης ης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης Στο εδάφιο αυτό θα µελετήσουµε τη µη οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση (Σ Ε) της µορφής όπου είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής [1.1.1] [1.1.2] µε πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις της µεταβλητής, για την οποία θεωρούµε ότι ισχύει, δηλαδή το κυµαίνεται µέσα στο φραγµένο διάστηµα µε άκρα και, σε συνδυασµό µε κάποιο σύνολο οµογενών συνοριακών συνθηκών της γενικότερης µορφής [1.1.3] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί. [1.1.4] Στη συνέχεια θα ανάγουµε τη Σ Ε (1.1) στη λεγόµενη µη-οµογενή µορφή Sturm-Liouville. Αυτό µπορεί να γίνει αν πολλαπλασιάσουµε τη Σ Ε (1.1) µε κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα, απαιτώντας να ισχύει ότι [1.1.5] Αν και µπορούµε µε µια απλή ολοκλήρωση κατά µέλη στην (1.5) να βρούµε την ακριβή µορφή του ολοκληρωτικού παράγοντα, δεν θα µας χρειαστεί το συγκεκριµένο αποτέλεσµα για τα παρακάτω. Η (Σ Ε) (1.1) µετασχηµατίζεται λοιπόν στην ακόλουθη ισοδύναµη µορφή η οποία λόγω της (1.5) γράφεται ως [1.1.6]
6 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα [1.1.7] οπότε αν θέσουµε, και, παίρνουµε τελικά τη ζητούµενη µη-οµογενή µορφή Sturm-Liouville όπου τώρα ο διαφορικός τελεστής ορίζεται ως κάτωθι Από δω και πέρα λοιπόν θα µας απασχολήσει η επίλυση της ακόλουθης (Σ Ε) σε συνδυασµό µε τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες της γενικότερης µορφής και [1.1.8] [1.1.9] [1.1.10] [1.1.11] [1.1.12] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Επιπλέον ας κάνουµε την εξής παρατήρηση: Από την (1.5) διαιρώντας κατά µέλη µε το γινόµενο και κατόπιν ολοκληρώνοντας κατά µέλη ως προς, εύκολα βρίσκουµε για τον ολοκληρωτικό παράγοντα, ότι έχει τη µορφή. Θέσαµε όµως, συνεπώς είναι, δηλαδή είναι, στο διάστηµα (υπό τον όρο ότι οι είναι οµαλές συναρτήσεις στο αυτό διάστηµα). Η παρατήρηση αυτή θα µας χρειαστεί λίγο παρακάτω. Υπόθεση 1 η : Ας υποθέσουµε σε πρώτη φάση ότι υπάρχει κάποια συνάρτηση (το ανήκει στο ίδιο διάστηµα µε το ), κι ας πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη την εξ. (1.10) µε αυτή την συνάρτηση και στη συνέχεια ολοκληρώσουµε αµφότερα τα µέλη της από µέχρι, ήτοι [1.1.13] Υπόθεση 2 η : Ας υποθέσουµε για τη συνάρτηση ότι η συµπεριφορά της συναρτήσει του ενδέχεται να µην είναι «οµαλή» όταν το προσεγγίζει την τιµή. Επειδή η «µη-οµαλή» συµπεριφορά στο θεωρούµενο σηµείο ενδέχεται να επηρεάσει τα ολοκληρώµατα της εξ. (1.13), παρακάµπτουµε το προβληµατικό σηµείο από την περιοχή ολοκλήρωσης ως ακολούθως [1.1.14] Για να προχωρήσουµε µε τον υπολογισµό του δεξιού µέλους της εξ. (1.14) θα χρειαστούµε µια πολύ χρήσιµη ταυτότητα που ονοµάζεται ταυτότητα του Green, την οποία θα αποδείξουµε κιόλας.
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 7 Απόδειξη της ταυτότητας του Green: Έστω δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις. ρώντας µε τον τελεστή της (1.9), θα έχουµε και σχηµατίζοντας τη διαφορά, έχουµε και προσθαφαιρώντας τον όρο, είναι ή περαιτέρω και ολοκληρώνοντας κατά µέλη την τελευταία εξίσωση, παίρνουµε τελικά την ταυτότητα του Green [1.1.15] Εποµένως για το πρώτο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της (1.14) έχουµε (µε τη βοήθεια και της ταυτότητας του Green, όπου θεωρούµε ότι ) και για το δεύτερο ολοκλήρωµα του ίδιου µέλους έχουµε ότι [1.1.16] [1.1.17] Υπόθεση 3 η : Επιλέγουµε τη συνάρτηση έτσι ώστε να ικανοποιεί συναρτήσει του, την ακόλουθη (Σ Ε) [1.1.18] στις περιοχές και. Μετά την εκλογή αυτή τα ολοκληρώµατα στα δεξιά µέλη των εξ. (1.16)-(1.17) µηδενίζονται. Ύστερα από τα παραπάνω, από την εξ. (1.14) έχουµε ότι [1.1.19] ικανοποιεί τις ίδιες ακριβώς συνοριακές συνθήκες µε τη συ- Υπόθεση 4 η : Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση νάρτηση, ήτοι
8 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα [1.1.20] [1.1.21] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί. Ως συνέπεια της παραπάνω υπόθεσης, εύκολα διαπιστώνεται ότι ο πρώτος συνοριακός όρος του δεξιού µέλους της εξ. (1.19) µηδενίζεται, οπότε παίρνουµε ότι (χρησιµοποιώντας και την (1.13)) [1.1.22] Υπόθεση 5 η : Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο «ιδιόµορφο» σηµείο. Αυτή η υπόθεση είναι και κατά κάποιο τρόπο εύλογη, από τη στιγµή που αποφασίσαµε να βάλλουµε τη συνάρτηση µέσα σε ολοκλήρωµα. Ως συνέπεια της παραπάνω υπόθεσης και του γεγονότος ότι και, από την εξ. (1.22) έχουµε ότι [1.1.23] όµως λόγω της συνέχειας των,, και, θα είναι, τελικά παίρνει τη µορφή, και, οπότε η (1.23) [1.1.24] Υπόθεση 6 η : Υποθέτουµε ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι ασυνεχής στο «ιδιόµορφο» σηµείο, µε ασυνέχεια που δίνεται από τη σχέση. Παρατηρήστε ότι εφόσον βρήκαµε ότι,, δεν υπάρχει πρόβληµα µε τον παρανοµαστή στο δεξιό µέλος της σχέσης ασυνέχειας. Εξαιτίας της παραπάνω υπόθεσης λοιπόν, η εξ. (1.24) παίρνει τη µορφή είναι συµµετρική στα ορίσµα- Υπόθεση 7 η : Ως µια τελευταία υπόθεση θα θεωρήσουµε ότι η συνάρτηση τά της, ήτοι. [1.1.25] Ως εκ τούτου λοιπόν, µπορούµε κάνουµε την εναλλαγή, στην εξ. (1.25), απ όπου παίρνουµε ότι [1.1.26] όπου βεβαίως χρησιµοποιήσαµε την υπόθεση περί συµµετρίας των ορισµάτων της συνάρτησης.
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 9, η οποία έχει τις ακόλουθες ιδιό- Συνοπτικά, διαπιστώνουµε ότι όταν υπάρχει συνάρτηση τητες: I. Ικανοποιεί τη (Σ Ε) για, όπου. II. Ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες και (ίδιες µε τις συνοριακές συνθήκες για τη ζητούµενη συνάρτηση ). III. Είναι συνεχής στο «ιδιόµορφο» σηµείο. IV. Η πρώτη παράγωγός της είναι ασυνεχής στο «ιδιόµορφο» σηµείο, µε ασυνέχεια που δίνεται από τη σχέση. V. Είναι συµµετρική στα ορίσµατά της, δηλαδή. και είναι γνωστή ρητώς, τότε η λύση της (Σ Ε) (1.10) µαζί µε τις συνοριακές συνθήκες (1.11)- (1.12) δίνεται από την εξ. (1.26). Ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα της µορφής (1.26) της λύσης του αρχικού προβλήµατος ιδιοτιµών (1.10)-(1.12) είναι ότι η συνάρτηση είναι ανεξάρτητη από τον µη-οµογενή όρο, και ότι εξαρτάται µόνον από την ιδιαίτερη µορφή της υπό εξέτασης (Σ Ε) καθώς και των συνοριακών συνθηκών που τη συνοδεύουν. Συνεπώς, αν για κάποιο συγκεκριµένο πρόβληµα ιδιοτιµών (1.10)-(1.12) βρούµε τη συνάρτηση, τότε µπορούµε να αντι- µετωπίσουµε όλες τις περιπτώσεις διαφορετικών µη-οµογενών όρων που συνοδεύουν το αρχικό µας πρόβληµα. Η µόνη προϋπόθεση είναι βέβαια να υπάρχει το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της εξ. (1.26). Η συνάρτηση, που έχει τις παραπάνω ιδιότητες (I V) και που συνδυάζεται µε τον µη-οµογενή όρο στο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της εξ. (1.26), λέγεται συνάρτηση Green. Πριν ολοκληρώσουµε αυτό το εδάφιο θα δούµε ένα λεπτό σηµείο. Ας θεωρήσουµε την εξ. (1.25) όπου χρησιµοποιώντας την εξ. (1.10), έχουµε ή χρησιµοποιώντας την ταυτότητα του Green, είναι όπου ο συνοριακός όρος παραπάνω µηδενίζεται λόγω της ιδιότητας (ΙΙ) της συνάρτησης Green, συνεπώς θα είναι Περαιτέρω λόγω της ιδιότητας (Ι) της συνάρτησης Green, θα είναι [1.1.27] εδοµένου όµως ότι το εύρος του διαστήµατος, θα ισχύει ότι τείνει στο µηδέν, και λόγω του ότι
10 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα ή ότι (µιας και εν γένει ) όπου παρατηρούµε για το παραπάνω ολοκλήρωµα ότι το εύρος της ολοκλήρωσης τείνει στο µηδέν, ενώ το ίδιο το ολοκλήρωµα έχει πεπερασµένη µη-µηδενική τιµή. Για να συµβεί αυτό, θα πρέπει για την υπό το ολοκλήρωµα συνάρτηση να ισχύει ότι όταν. Συνοψίζοντας, βρήκαµε ότι η συνάρτηση έχει τις εξής ιδιότητες και [1.1.28] όπου υπενθυµίζεται ότι το ανήκει στο ίδιο διάστηµα µε το, δηλαδή µεταξύ των και. Τέτοιες ακριβώς ιδιότητες έχει η συνάρτηση δέλτα του Dirac, συνεπώς διαπιστώνουµε ότι Εποµένως η ιδιότητα (Ι) της συνάρτησης Green, πρέπει να επαναδιατυπωθεί ως ακολούθως [1.1.29] I. Η συνάρτηση Green ικανοποιεί τη (Σ Ε),, όπου. Περαιτέρω, η εξ. (1.29) επιδέχεται την εξής ερµηνεία: Η συνάρτηση Green παριστάνει την «απόκριση» στη θέση εξαιτίας της παρουσίας µιας σηµειακής πηγής στη θέση. Επιπλέον ας σηµειωθεί ότι και η ιδιότητα (V) της συνάρτησης Green είναι εξαιρετικά σηµαντική, η οποία µάλιστα πολλές φορές αναφέρεται ως αµοιβαιότητα Maxwell. Επιδέχεται δε την εξής ερµηνεία: Η απόκριση στη θέση εξαιτίας της παρουσίας µιας σηµειακής πηγής στη θέση είναι η ίδια µε την απόκριση στη θέση εξαιτίας της παρουσίας µιας σηµειακής πηγής στη θέση. Αυτό δεν είναι φυσικώς προφανές. 1.2 Μέθοδοι εύρεσης της συνάρτησης Green σε µη-οµογενή µονοδιάστατα προ- βλήµατα, µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπου 1.2.1 Η µέθοδος του αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις Έστω η ακόλουθη µη-οµογενής (Σ Ε) τύπου Sturm-Liouville [1.2.1] σε συνδυασµό µε τις ακόλουθες οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.2] και
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 11 [1.2.3] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Επιπλέον, ας θεωρήσουµε το αντίστοιχο οµαλό πρόβληµα ιδιοτιµών Sturm-Liouville, το οποίο υπακούει στην κάτωθι (Σ Ε) (ο τελεστής των [1.2.1] και [1.2.4] είναι ο ίδιος διαφορικός τελεστής) [1.2.4] η οποία συνοδεύεται από τις ίδιες οµογενείς συνοριακές συνθήκες, δηλαδή τις [1.2.2]-[1.2.3]. Υ- πενθυµίζεται ότι για το οµαλό πρόβληµα ιδιοτιµών Sturm-Liouville απαιτείται να είναι,, καθώς και ότι η πρέπει να είναι πραγµατική και συνεχής συνάρτηση στο αυτό διάστηµα. Το αναφέρεται στις ιδιοτιµές του οµαλού προβλήµατος ιδιοτιµών Sturm-Liouville. Η συνάρτηση στην [1.2.4] µπορεί να εκλεγεί αυθαίρετα, παρόλα αυτά όµως, υπάρχει συνήθως το πολύ µία επιλογή για τη µορφή της τέτοια ώστε το οµαλό πρόβληµα ιδιοτιµών Sturm- Liouville [1.2.4] να έχει καλά γνωστή λύση. Για παράδειγµα, αν είναι, η κατάλληλη επιλογή για την είναι η, οπότε το πρόβληµα ιδιοτιµών [1.2.4] θα οδηγήσει σε τριγωνοµετρικές ιδιοσυναρτήσεις. Στη συνέχεια, για λόγους απλοποίησης του προβλήµατός µας θα θεωρήσουµε ότι (η αυθαίρετη εκλογή της ισχύει στα πλαίσια της µεθόδου αυτής, αφού το πρόβληµά µας δεν υπαγορεύει κάποια συγκεκριµένη µορφή για την, απλώς την επιλέγουµε έτσι ώστε το αντίστοιχο πρόβληµα [1.2.4] να έχει καλά γνωστή λύση). Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε επιλύσει το πρόβληµα ιδιοτιµών [1.2.4] παραπάνω, και έστω ότι, είναι οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις αντιστοίχως για κάθε, µε (όπως ορίζουν τα θεωρήµατα του οµαλού προβλήµατος ιδιοτιµών Sturm-Liouville). Ας θεωρήσουµε περαιτέρω τον χώρο των συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται, είναι συνεχείς και έχουν συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους στο διάστηµα, και που επιπλέον ικανοποιούν τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.2]-[1.2.3]. Σύµφωνα µε ένα από τα θεωρήµατα του οµαλού προβλήµατος ιδιοτιµών Sturm- Liouville, οι ιδιοσυναρτήσεις αποτελούν ένα «πλήρες» σύνολο, οπότε τις παίρνουµε σαν βάση για τον χώρο συναρτήσεων που µόλις περιγράψαµε. εδοµένου ότι η ζητούµενη λύση του µηοµογενούς προβλήµατος [1.2.1]-[1.2.3] ανήκει και αυτή στον προαναφερθέντα συναρτησιακό χώρο, είναι αρκετό λογικό τώρα να την αναζητήσουµε υπό µορφή µιας γενικευµένης σειράς Fourier των ιδιοσυναρτήσεων (λόγω της «πληρότητας» αυτών), ήτοι [1.2.5] Στη συνέχεια δρούµε µε τον τελεστή στα δύο µέλη της εξίσωσης [1.2.5]. Εδώ πρέπει να προσέξουµε τη λεπτοµέρεια ότι, αν και µπορούµε να παραγωγίσουµε το αριστερό και το δεξί µέλος χωριστά της [1.2.5] (αυτό κάνει ο διαφορικός τελεστής ), αυτό δεν σηµαίνει κατ ανάγκη ότι η ισότητα εξακολουθεί να ισχύει και για τα παραγωγισµένα µέλη. Ενδέχεται, µετά την παραγώγιση, η σειρά του δεξιού µέλους να µην συγκλίνει στη συνάρτηση του αριστερού µέλους (δηλ. να µην ι- σχύει το «ίσον»). Για να δούµε τώρα την παραπάνω λεπτοµέρεια στην πράξη. Εν γένει θα είναι [1.2.6] δηλαδή παίρνουµε µια νέα γενικευµένη σειρά Fourier των ιδιοσυναρτήσεων της [1.2.5] θα είναι. Για το δεξί µέλος
12 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα [1.2.7] όπου χρησιµοποιήθηκε η γραµµικότητα του τελεστή, και η εξίσωση [1.2.4] για τις ιδιοσυναρτήσεις. Θα ελέγξουµε κατόπιν αν οι συντελεστές της σειράς [1.2.6] συµπίπτουν µε εκείνους της σειράς [1.2.7]. Είναι (πήραµε εξ αρχής, οπότε η σχέση ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων γράφεται ως, ) [1.2.8] Για το ολοκλήρωµα στον αριθµητή του δεξιού µέλους της [1.2.8] θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα του Green για, οπότε είναι όπου ο συνοριακός όρος στο δεξί µέλος βγήκε µηδέν εξαιτίας του γεγονότος ότι οι συναρτήσεις και ικανοποιούν τις ίδιες ακριβώς οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.2]-[1.2.3]. Αν δεν ίσχυε αυτό είναι φανερό ότι ο συνοριακός όρος δεν θα µηδενίζονταν. Αν χρησιµοποιήσουµε τώρα το τελευταίο αποτέλεσµα στην [1.2.8], τότε έχουµε ή χρησιµοποιώντας την [1.2.5] ή τελικά Από τις [1.2.6] και [1.2.9] προκύπτει τελικά ότι [1.2.9] [1.2.10] όπου για την τελευταία δεξιά ισότητα χρησιµοποιήθηκε η [1.2.1]. Παρατηρήστε ότι αν δεν µηδενίζονταν ο συνοριακός όρος στην ταυτότητα του Green τότε οι συντελεστές δεν θα είχαν τη µορφή της εξίσωσης [1.2.9] και συνεπώς τα δύο παραγωγισµένα µέλη της [1.2.5] αυτά καθ αυτά δεν θα ήταν ίσα (δηλ. αν παραγωγίζαµε κατά µέλη την [1.2.9] και κρατούσαµε το ίσον µεταξύ τους, αυτό θα ήταν λάθος). Εποµένως διαπιστώνεται ότι µόνον όταν ισχύουν οι ίδιες ακριβώς οµογενείς συνοριακές συνθήκες για το µη-οµογενές πρόβληµα και για το αντίστοιχο οµογενές, µπορούµε να παραγωγίζουµε κατά µέλη χωρίς να «ανησυχούµε». Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας τη σχέση ορθογωνιότητας,, πολύ εύκολα βρίσκουµε από την [1.2.10] ότι [1.2.11]
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 13 και αντικαθιστώντας την [1.2.11] πίσω στην [1.2.5] παίρνουµε ότι συγκρίνοντας τέλος την παραπάνω µορφή µε την εξίσωση [1.1.26] εύκολα διαπιστώνουµε ότι η ζητούµενη συνάρτηση Green είναι η [1.2.12] Παρατηρήστε ότι η συµµετρική ιδιότητα (V) της συνάρτησης Green φαίνεται ξεκάθαρα. Επίσης, παρατηρήστε την εµφάνιση των ιδιοτιµών στον παρονοµαστή του κλάσµατος. Αυτό έχει την ε- ξής συνέπεια: όταν υπάρχει µηδενική ιδιοτιµή τότε δεν υπάρχει συνάρτηση Green για το πρόβληµά µας. 1.2.2 Εύρεση της συνάρτησης Green µε επίλυση της.ε. L[G(x, x0)] = δ(x x0), δ, για µη-οµογενές αρχικό πρόβληµα µε οµογενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπουτ Έστω η ακόλουθη µη-οµογενής (Σ Ε) τύπου Sturm-Liouville σε συνδυασµό µε τις ακόλουθες οµογενείς συνοριακές συνθήκες και [1.2.13] [1.2.14] [1.2.15] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο ότι η λύση του προβλήµατος [1.2.13]-[1.2.15] µπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη µορφή [1.2.16] όπου τιµών είναι η συνάρτηση Green, η οποία ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών [1.2.17] [1.2.18] [1.2.19] όπου τα, είναι οι πραγµατικοί αριθµοί που εµφανίζονται και στις [1.2.14]-[1.2.15]. Η τεχνική που ακολουθείται είναι η εξής: Πρώτα λύνουµε την (Σ Ε) [1.2.17] για, οπότε σε αυτή την περίπτωση ο µη-οµογενής όρος στο δεξί µέλος είναι µηδέν, κι έτσι έχουµε να λύσουµε µια οµογενή (Σ Ε) στην περιοχή και µία στην περιοχή. Μπορούµε να λύσουµε τις
14 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα οµογενείς (Σ Ε) µε οποιαδήποτε τεχνική επίλυσης δευτεροτάξιων οµογενών (Σ Ε). Το αποτέλεσµα θα είναι εν γένει το ακόλουθο: [1.2.20] όπου είναι αυθαίρετες σταθερές, εν γένει διαφορετικές για κάθε µία από τις δύο περιοχές και (εφόσον η οµογενής (Σ Ε) σε κάθε περιοχή είναι δευτεροτάξια, προφανώς., στη γενική µορφή της λύσης για την κάθε περιοχή θα εµφανίζονται δύο αυθαίρετες σταθερές). Το επόµενο βήµα είναι ο προσδιορισµός των αυθαίρετων σταθερών. Αυτές λοιπόν µπορούν να προσδιοριστούν χρησιµοποιώντας τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.18]- [1.2.19], την ιδιότητα (III) της συνάρτησης Green, δηλαδή ότι, καθώς και την ιδιότητα (IV) της συνάρτησης Green, δηλαδή ότι. Έχουµε τέσσερις εξισώσεις για τέσσερις άγνωστες σταθερές, τις, οπότε µπορούµε να λύσουµε αυτό το σύστηµα των τεσσάρων εξισώσεων και να βρούµε όλα τα. Έτσι έχουµε κατορθώσει να βρούµε τη συνάρτηση Green. Στη συνέχεια την αντικαθιστούµε στην εξίσωση [1.2.16] και υπολογίζοντας το προκύπτον ολοκλήρωµα βρίσκουµε τη ζητούµενη λύση. Σηµειώστε ότι κατά την παραπάνω διαδικασία οι οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.14]-[1.2.15] χρησιµοποιήθηκαν έµµεσα, µε την έννοια του ότι µεταφέρθηκαν αυτούσιες στη διαδικασία διαµόρφωσης της συνάρτησης Green του προβλήµατος, η οποία εν συνεχεία χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της. Όπως θα δούµε στο επόµενο υποεδάφιο, όταν η συνάρτηση συνοδεύεται από µη-οµογενείς συνοριακές συνθήκες, τότε αυτές δεν επεµβαίνουν στη διαµόρφωση της συνάρτησης Green, αλλά στη διαµόρφωση της λύσης και µάλιστα άµεσα. 1.2.3 Εύρεση της συνάρτησης Green για µη-οµογενές αρχικό πρόβληµα µε αµιγείς µη-οµο οµο- γενείς συνοριακές συνθήκες Έστω η ακόλουθη µη-οµογενής (Σ Ε) τύπου Sturm-Liouville [1.2.21] σε συνδυασµό µε τις ακόλουθες µη-οµογενείς πλέον συνοριακές συνθήκες [1.2.22] [1.2.23] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Το είναι µια πραγµατική µεταβλητή, διαφορετική από το. Σε ένα φυσικό πρόβληµα θα µπορούσε να είναι ο χρόνος. Θεωρούµε τη συνάρτηση Green που ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβληµα [1.2.24] [1.2.25] [1.2.26] δηλαδή η συνάρτηση Green πάντοτε ικανοποιεί τις αντίστοιχες οµογενείς συνοριακές συνθήκες (τα, είναι ίδια µε εκείνα που εµφανίζονται στις [1.2.22]-[1.2.23]).
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 15 Θα χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα του Green, θέτοντας, οπότε είναι [1.2.27] όπου θα υπολογίσουµε κάθε µέλος χωριστά. Για το αριστερό µέλος της [1.2.27], έχουµε όπου χρησιµοποιήθηκαν οι (Σ Ε) [1.2.21] και [1.2.24]. Η τελική µορφή του αριστερού µέλους της [1.2.27] είναι Για το δεξί µέλος της [1.2.27] έχουµε [1.2.28] όπου, αντικαθιστώντας τώρα στην παραπάνω σχέση τις και από τις εξισώσεις [1.2.22]-[1.2.23], έχουµε (µετά από µερικές πράξεις) όπου δεχόµαστε ότι, και συνδυάζοντας τις [1.2.28] και [1.2.29] έχουµε [1.2.29] [1.2.30] κατόπιν, αξιοποιώντας τις σχέσεις [1.2.25]-[1.2.26] εύκολα βλέπουµε ότι οι όροι µέσα στις παρενθέσεις στο δεξί µέλος της [1.2.30] µηδενίζονται, ήτοι και κάνοντας τις αντικαταστάσεις και στην [1.2.31], είναι [1.2.31]
16 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα [1.2.32] όπου χρησιµοποιήθηκε επαναλαµβανόµενα η ιδιότητα συµµετρίας της συνάρτησης Green, ιδιότητα (V). Εποµένως βλέπουµε ότι η λύση του µη-οµογενούς προβλήµατος [1.2.21]-[1.2.23] δεν έχει την απλή µορφή της [1.1.26]. Οι µη-οµογενείς συνοριακές συνθήκες για την εµφανίζονται ρητώς στο δεξί µέλος της [1.2.32] και δεν επηρεάζουν τη διαµόρφωση της συνάρτησης Green. Στην ειδική περίπτωση που ή ή, η ανάλυση πρέπει να ξαναγίνει από την αρχή. Στη συνέχεια θα µελετήσουµε την περίπτωση (η ανάλυση για τις άλλες δύο ειδικές περιπτώσεις είναι ακριβώς η ίδια και αφήνεται ως άσκηση). Σε αυτή την περίπτωση οι συνοριακές συνθήκες [1.2.22]-[1.2.23] τροποποιούνται ως κάτωθι [1.2.33] [1.2.34] ενώ οι συνοριακές συνθήκες [1.2.25]-[1.2.26] για τη συνάρτηση Green παίρνουν την κάτωθι µορφή [1.2.35] [1.2.36] Η παραπάνω ανάλυση µέχρι και τη σχέση [1.2.28] είναι η ίδια. Από εκεί και κάτω γίνονται τροποποιήσεις. Είναι λοιπόν κατόπιν, συνδυάζοντας τις [1.2.37] και [1.2.28], παίρνουµε και χρησιµοποιώντας τις [1.2.33]-[1.2.34], έχουµε [1.2.37] [1.2.38] [1.2.39] όπου προφανώς είναι (αλλιώς δεν είναι καλά τιθέµενο το πρόβληµα συνοριακών τι- µών). Κάνοντας τώρα τις αντικαταστάσεις και στην [1.2.39], έχουµε [1.2.40] Σηµειώστε ότι και πάλι οι µη-οµογενείς συνοριακές συνθήκες εµφανίζονται ρητώς στο δεξί µέλος της [1.2.40], επηρεάζοντας άµεσα τη διαµόρφωση της. Όµοια αντιµετωπίζονται και οι περιπτώσεις ή ή (δηλ. δουλεύουµε και πάλι µε την ταυτότητα του Green) 1.2.4 Η εναλλακτική Fredholm για µονοδιάστατα προβλήµατα µε οµογενείς συνοριακές συν- θήκες του αυτοσυζυγούς τύπου (self ( self-adjoint type) Έστω η ακόλουθη µη-οµογενής (Σ Ε) τύπου Sturm-Liouville
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 17 σε συνδυασµό µε τις ακόλουθες οµογενείς συνοριακές συνθήκες και [1.2.41] [1.2.42] [1.2.43] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Στο υποεδάφιο 1.2.1 χρησιµοποιήσαµε τη µέθοδο του αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις προκειµένου να βρούµε τη συνάρτηση Green του µη-οµογενούς προβλήµατος [1.2.41]-[1.2.43]. Στα πλαίσια της µεθόδου αυτής λοιπόν είχαµε καταλήξει (µεταξύ άλλων και) στην κάτωθι σχέση [1.2.44] όπου είναι οι συντελεστές του αναπτύγµατος, δηλαδή του αναπτύγµατος της σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος, το οποίο υπακούει στις συνοριακές συνθήκες [1.2.42]-[1.2.43] (δηλαδή στις ίδιες συνοριακές συνθήκες µε το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα). Στο υποεδάφιο αυτό θα εξετάσουµε λίγο πιο λεπτοµερώς την περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος. Ας συµβολίσουµε µε την ιδιοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή. εν θα δώσουµε καµία απόδειξη των διαφόρων αποτελεσµάτων της διερεύνησής µας, αλλά θα αρκεστούµε σε µια ποιοτική µελέτη και µόνο. Περίπτωση 1 η : Το είναι ιδιοτιµή του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος και για την ιδιοσυνάρτηση ισχύει ότι, ήτοι το είναι µια µη-τετριµµένη λύση του οµογενούς προβλήµατος. Αυτό αυτόµατα συνεπάγεται ότι. Περαιτέρω, διακρίνουµε τις εξής δύο υποπεριπτώσεις: Υποπερίπτωση 1Α: Ισχύει ότι, δηλαδή οι συναρτήσεις και δεν είναι ορθογώνιες µεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση ο συντελεστής (σχέση [1.2.44]) απειρίζεται και ως εκ τούτου δεν υπάρχει η συνάρτηση Green [1.2.12], οπότε το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα [1.2.41]-[1.2.43] δεν έχει λύση. Υποπερίπτωση 1Β: Ισχύει ότι, δηλαδή οι συναρτήσεις και είναι ορθογώνιες µεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση ο συντελεστής είναι της µορφής, δηλαδή απροσδιόριστος, οπότε προκύπτει ότι το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα [1.2.41]-[1.2.43] έχει ά- πειρες λύσεις. εν ενδιαφέρει (και δεν αποτελεί λύση) η περίπτωση όπου και συγχρόνως. Περίπτωση 2 η : Ισχύει ότι (για κάποιο ή κάποια ), ενώ για την αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση ισχύει ότι. Σε αυτή την περίπτωση απλώς θα λείπει από το ανάπτυγµα ο ό- ρος, ο οποίος είναι µηδενικός. Κατά τα άλλα µπορούµε να δουλέψουµε ακριβώς όπως στο υποεδάφιο 1.2.1 και να διαπιστώσουµε τελικά ότι αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα έχει µοναδική λύση.
18 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα Όσον αφορά στην παραπάνω διερεύνηση ας σηµειωθεί ότι είναι µάλλον προφανές ότι σε περίπτωση που ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις και, το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα έχει µοναδική λύση ( 1.2.1). Παρατηρήστε ότι όταν δεν υπάρχει µηδενική ιδιοτιµή, το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα έχει µοναδική λύση. Κλείνοντας αυτό το υποεδάφιο ας σηµειωθεί ότι δεν εξετάσαµε τι γίνεται στην ειδική εκείνη περίπτωση όπου η µηδενική λύση είναι η µόνη οµογενής λύση (δηλ. η µόνη λύση του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος στην [1.2.41]). Σε αυτή την περίπτωση δεν έχουµε µηδενική ιδιοτιµή (υπενθυµίζουµε ότι η περίπτωση όπου και συγχρόνως δεν αποτελεί λύση), εποµένως σύµφωνα µε ότι είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο, το αρχικό µη-οµογενές πρόβληµα έχει µοναδική λύση. Τη µοναδικότητα µπορούµε να την δούµε και ως εξής: Έστω και δύο λύσεις του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος, που ικανοποιούν τις [1.2.41]-[1.2.43]. Παίρνοντας τη διαφορά τους θα έχουµε (µέσω της [1.2.41]), ή µιας και ο τελεστής είναι γραµµικός, θα είναι, αλλά η µόνη λύση του οµογενούς προβλήµατος είναι η µηδενική, συνεπώς ή, άρα έχουµε µοναδική λύση. Περαιτέρω, αν χωρίσουµε την του αρχικού προβλήµατος σε δύο όρους, τον οµογενή και τον µη-οµογενή, προφανώς ο οµογενής όρος θα είναι µηδέν, άρα η µόνη συνεισφορά προέρχεται από τον µη-οµογενή όρο (δηλ. υπάρχει λύση ). Η παραπάνω διερεύνηση για την ύπαρξη λύσης του µη-οµογενούς προβλήµατος είναι γνωστή ως εναλλακτική Fredholm. 1.2.5 Η µέθοδος της γενικευµένης συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα µε οµοο- γενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπου Έστω και πάλι η ακόλουθη µη-οµογενής (Σ Ε) τύπου Sturm-Liouville σε συνδυασµό µε τις ακόλουθες οµογενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπου και [1.2.45] [1.2.46] [1.2.47] όπου, είναι πραγµατικοί αριθµοί, και πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις για κάθε τιµή της µεταβλητής, για την οποίαν ισχύει ότι. Στο υποεδάφιο αυτό θα προσπαθήσουµε να πάρουµε µια ειδική λύση του παραπάνω µη-οµογενούς προβλήµατος στην περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή του αντίστοιχου οµογενούς προβλήµατος. Υπενθυµίζεται ότι σύµφωνα µε την εναλλακτική Fredholm ( 1.2.4), σε περίπτωση που το είναι ιδιοτιµή, αλλά ισχύουν συγχρόνως οι συνθήκες και, τότε το αρχικό µηοµογενές πρόβληµα έχει άπειρες λύσεις (αυτό που βασικά ενδιαφέρει στην παρούσα περίπτωση είναι η ύπαρξη λύσης και µόνο). Σηµειώστε ότι εφόσον, το αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή, θα είναι, σε συνδυασµό και µε τις οµογενείς συνοριακές συνθήκες [1.2.46] -[1.2.47] (θυµηθείτε πώς δουλέψαµε στη µέθοδο του αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις, την οποίαν χρησιµοποιούµε και για το ανωτέρω πρόβληµα [1.2.45]-[1.2.47]). Από τη σχέση, θα µπορούσαµε να δούµε το, ως λύση του προβλήµατος [1.2.45]-[1.2.47], για την περίπτωση που στην [1.2.45] δεν υπάρχει ο µη-οµογενής όρος (δηλ. η είναι
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 19 µια λύση του προβλήµατος [1.2.45] µε, σε συνδυασµό µε τις συνοριακές συνθήκες [1.2.46]-[1.2.47]). Έστω τώρα ότι πάµε να λύσουµε το παραπάνω µη-οµογενές πρόβληµα και µε τη µέθοδο του υποεδαφίου 1.2.2. Ήτοι, θεωρούµε ότι υπάρχει συνάρτηση Green, η οποία ικανοποιεί το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών [1.2.48] [1.2.49] [1.2.50] είναι οι πραγµατικοί αριθµοί που εµφανίζονται και στις συνοριακές συνθή- όπου τα, κες [1.2.46]-[1.2.47]. Αν χρησιµοποιήσουµε την ταυτότητα του Green, για και, θα είναι όπου το δεξιό µέλος της ανωτέρω σχέσης µηδενίζεται διότι αµφότερες οι και ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθήκες, δηλαδή τις [1.2.46]-[1.2.47]. Περαιτέρω, από την [1.2.48] και τη σχέση, είναι ή χρησιµοποιώντας τη σχέση ορισµού της συνάρτησης δέλτα Dirac, είναι Η τελευταία ισότητα ενδέχεται να ισχύει για κάποιο (ή κάποια), αλλά όχι για όλα τα του διαστήµατος αυτού (γιατί εν γένει είναι στο διάστηµα ). Εποµένως, εν γένει ισχύει ότι. Άρα, η αρχική µας υπόθεση ότι υπάρχει µια συνάρτηση Green για το παραπάνω πρόβληµα για κάθε δεν είναι σωστή. Το ότι δεν υπάρχει συνάρτηση Green (που ορίζεται από τις [1.2.48]-[1.2.50]) για κάθε, φαίνεται εύκολα από την εναλλακτική Fredholm. Ας θυµηθούµε ότι εξετάζουµε (όσον αφορά το αρχικό µας πρόβληµα [1.2.45]-[1.2.47]) την περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή, αλλά ισχύουν συγχρόνως οι συνθήκες και. Για το πρόβληµα [1.2.48]-[1.2.50], που µοιάζει µε το αρχικό πλην του ότι διαφέρει η µορφή της Σ..Ε., εξετάζουµε πάλι την περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή και, µε τη βασική διαφορά όµως, σύµφωνα και µε όσα είπαµε παραπάνω, ότι τώρα εν γένει θα ισχύει ότι, και η εναλλακτική Fredholm, σε αυτή την περίπτωση προβλέπει για το πρόβληµα [1.2.48]-[1.2.50] ότι δεν υπάρχει λύση. Εποµένως, εν γένει δεν υπάρχει συνάρτηση Green για το εν λόγω πρόβληµα για κάθε. Ας θεωρήσουµε τώρα αντί του προβλήµατος των [1.2.48]-[1.2.50], το ακόλουθο πρόβληµα [1.2.51] [1.2.52]
20 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα [1.2.53] για τυχόν. είναι µια αυθαίρετη σταθερή, ενώ τα, είναι οι πραγµατικοί αριθµοί που εµφανίζονται και στις συνοριακές συνθήκες [1.2.49]-[1.2.50]. Ας πάρουµε ξανά την ταυτότητα του Green, όπου τώρα θα είναι και. Είναι τότε όπου το δεξί µέλος είναι µηδέν διότι οι και ικανοποιούν τις ίδιες ακριβώς οµογενείς συνοριακές συνθήκες του αυτοσυζυγούς τύπου. Περαιτέρω, από την [1.2.51] και τη σχέση, έχουµε ή ή εποµένως αν θεωρήσουµε για την, το κάτωθι πρόβληµα [1.2.54] [1.2.55] [1.2.56] τότε εύκολα διαπιστώνεται (πάλι µε τη βοήθεια της ταυτότητας του Green) ότι αν και δεν υπήρχε για κάθε συνάρτηση Green, είναι δυνατό να υπάρχει για κάθε µια συνάρτηση. Και στις δύο περιπτώσεις οι συνοριακές συνθήκες είναι οι ίδιες, και µάλιστα είναι ίδιες και µε εκείνες του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος. Η συνάρτηση λέγεται γενικευ- µένη συνάρτηση Green. Στο σηµείο αυτό υπενθυµίζεται ξανά ότι εξετάζουµε (όσον αφορά το αρχικό µας πρόβληµα [1.2.45]-[1.2.47]) την περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή, αλλά ισχύουν συγχρόνως οι συνθήκες και. Για το πρόβληµα [1.2.54]-[1.2.56], που µοιάζει µε το αρχικό πλην του ότι διαφέρει η µορφή της Σ..Ε., εξετάζουµε πάλι την περίπτωση όπου το είναι ιδιοτιµή και. Ας δούµε τι συµβαίνει τώρα µε το ολοκλήρωµα, δηλαδή το ολοκλήρωµα του µη-οµογενούς όρου της [1.2.54] µε τη µη-τετριµµένη ιδιοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στην µηδενική ιδιοτιµή, ήτοι το. Είναι λοιπόν,
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 21 δηλαδή βρήκαµε ότι,. Από την εναλλακτική Fredholm λοιπόν, και τα όσα είπαµε παραπάνω, προκύπτει ότι το πρόβληµα [1.2.54]-[1.2.56] έχει άπειρες λύσεις. H γενικευµένη συνάρτηση Green λοιπόν, όπως ορίζεται από το πρόβληµα [1.2.54]-[1.2.56], έχει το χαρακτηριστικό ότι δεν προσδιορίζεται µονοσήµαντα. Για την ακρίβεια, εάν είναι µια γενικευµένη συνάρτηση Green που ικανοποιεί το πρόβληµα [1.2.54]-[1.2.56], τότε και η, η οποία ορίζεται εκ του µετασχηµατισµού [1.2.57] όπου σταθερή ανεξάρτητη από το, είναι µια γενικευµένη συνάρτηση Green του ίδιου προβλή- µατος (δηλ. του [1.2.54]-[1.2.56]). Αυτό µπορείτε να το ελέγξετε αν αντικαταστήσετε την στις [1.2.54], [1.2.55] και [1.2.56] χωριστά, λαµβάνοντας υπόψη βέβαια τα όσα ισχύουν για την γενικευµένη συνάρτηση Green και για την. Αν γίνει όλο αυτό, θα διαπιστώσετε ότι και η ικανοποιεί την ίδια Σ..Ε. και τις ίδιες συνοριακές συνθήκες, άρα είναι µια διαφορετική γενικευµένη συνάρτηση Green του προβλήµατος [1.2.54]-[1.2.56]. Περαιτέρω, µπορεί να αποδειχθεί ότι µε κατάλληλη εκλογή της γενικευµένης συνάρτησης Green, αυτή µπορεί να ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα συµµετρίας [1.2.58] Συγκεκριµένα, ας εκλέξουµε τη γενικευµένη συνάρτηση Green έτσι ώστε να είναι ορθογώνια προς τη συνάρτηση και έτσι ώστε να ικανοποιεί το πρόβληµα [1.2.54]-[1.2.56]. Θεωρούµε τώρα τις και (οι οποίες έχουν τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά µε την και οι οποίες προφανώς θα ικανοποιούν το ίδιο πρόβληµα). Από την ταυτότητα του Green για και, είναι όπου το δεξί µέλος είναι µηδέν διότι οι και ικανοποιούν τις ίδιες συνοριακές συνθήκες (αφού ικανοποιούν το ίδιο πρόβληµα). Περαιτέρω είναι
22 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα και λόγω της ορθογωνιότητας των και µε την θα είναι οπότε τελικά προκύπτει ότι ή αν θέσω και προκύπτει τελικά η ιδιότητα συµµετρίας [1.2.58]. Για να βρούµε την λύση του αρχικού προβλήµατος [1.2.45]-[1.2.47] χρησιµοποιούµε και πάλι την ταυτότητα του Green, παίρνοντας. Είναι λοιπόν, ή από τις [1.2.45] και [1.2.54] κάνοντας κατόπιν την αντικατάσταση και, είναι υποθέτοντας τέλος ότι η έχουµε ότι επιλέχθηκε έτσι ώστε να ικανοποιεί την ιδιότητα συµµετρίας, [1.2.59] Στην έκφραση [1.2.59] ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους είναι ένα πολλαπλάσιο της οµογενούς λύσης, ενώ ο δεύτερος όρος αποτελεί µια ειδική λύση της [1.2.45]. Ενδιαφέρει κυρίως η ειδική λύση, την οποίαν παραθέτουµε παρακάτω ξεχωριστά [1.2.60] Η [1.2.60] είναι η λύση του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος για την περίπτωση της ιδιοτιµής µε συνακόλουθες συνθήκες τις και. Παρατηρήστε την οµοιότητα της [1.2.60] µε την [1.1.26]. Η συνάρτηση Green έχει αντικατασταθεί πλέον από τη γενικευ- µένη συνάρτηση Green (generalized Green s function). 1.3 Παραδείγµατα εφαρµογής της εναλλακτικής Fredholm Παράδειγµα 1ο: ίνεται η ακόλουθη µη-οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση,
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 23 σε συνδυασµό µε τι ακόλουθε οµογενεί συνοριακέ συνθήκε, [1.3.1] [1.3.2] [1.3.3] όπου είναι κάποια γνωστή συνάρτηση (source term). Να λυθεί το ανωτέρω πρόβληµα συνοριακών τιµών. Λύση: Θα λύσουµε το παραπάνω πρόβληµα µε τη µέθοδο του εδαφίου 1.2.2. Θεωρούµε λοιπόν το κάτωθι πρόβληµα για τη συνάρτηση Green, [1.3.4] [1.3.5] [1.3.6] Στις ανωτέρω εξισώσεις το είναι µια παράµετρος που παριστάνει τη θέση µιας σηµειακής πηγής. Η σηµειακή πηγή υπάρχει µόνο στη θέση (δηλαδή για δεν υπάρχουν πηγές). Ας θεωρήσουµε τώρα ότι, οπότε η (Σ Ε) [1.3.4] παίρνει τη µορφή, η οποία έχει ως λύση όπου αυθαίρετες σταθερές. Χρησιµοποιώντας τη συνοριακή συνθήκη [1.3.5], παίρνουµε ενώ από τη συνοριακή συνθήκη [1.3.6], έχουµε οπότε η συνάρτηση Green για, λαµβάνει τη µορφή Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε την απαίτηση συνέχειας της συνάρτησης Green στη θέση, ήτοι από όπου παίρνουµε ότι και τέλος από την συνθήκη ασυνέχειας της παραγώγου της συνάρτησης Green, η οποία στο παρόν πρόβληµα παίρνει τη µορφή, έχουµε ότι Από τις παραπάνω δύο σχέσεις εύκολα βρίσκουµε ότι και, συνεπώς παίρνουµε τελικώς ότι
24 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα Πριν κλείσουµε αυτό το εδάφιο, ας κάνουµε έναν έλεγχο µε την εναλλακτική Fredholm. Η οµογενής (Σ Ε) του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος [1.3.1]-[1.3.3] είναι η, µε γενική λύση την, όπου είναι αυθαίρετες σταθερές. Περαιτέρω, από την εφαρµογή των δύο συνοριακών συνθηκών [1.3.2] και [1.3.3], εύκολα διαπιστώνεται ότι και, ήτοι η µηδενική λύση είναι η µόνη οµογενής λύση. Συνεπώς, σύµφωνα µε την εναλλακτική Fredholm ( 1.2.4), θα υπάρχει µοναδική λύση του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση όπου, η συνάρτηση Green είναι εκείνη που υπολογίστηκε µόλις παραπάνω (η είπαµε ότι είναι κάποιος γνωστός πηγαίος όρος). Σηµειώστε ότι ο ανωτέρω έλεγχος έπρεπε κανονικά να γίνει στην αρχή της άσκησης, κι αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχει λύση κατόπιν να προχωρήσουµε στην εύρεση της συνάρτησης Green που θα χρησιµοποιηθεί στη λύση του αρχικού µη-οµογενούς προβλήµατος. Παράδειγµα 2ο: ίνεται η ακόλουθη µη-οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση,, [1.3.7] σε συνδυασµό µε τι ακόλουθε συνοριακέ συνθήκε αυτοσυζυγού τύπου [1.3.8] [1.3.9] όπου. Να λυθεί το ανωτέρω πρόβληµα συνοριακών τιµών. Λύση: Αρχικά ελέγχω την περίπτωση (δηλαδή για να εφαρµόσουµε την εναλλακτική Fredholm πάµε και λύνουµε πρώτα το πρόβληµα, κι ανάλογα µε τη µορφή των λύσεων αυτού του προβλήµατος πάµε στην κατάλληλη περίπτωση της εναλλακτικής Fredholm). Η γενική λύση της είναι η, όπου αυθαίρετες σταθερές. Η εφαρµογή των συνοριακών συνθηκών [1.3.8]-[1.3.9] εύκολα διαπιστώνεται ότι οδηγεί στο αποτέλεσµα, οπότε η γενική οµογενής λύση είναι η, όπου αυθαίρετη σταθερή (εν γένει µη-µηδενική). Σύµφωνα µε όσα είπαµε στο υποεδάφιο της εναλλακτικής Fredholm, το είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος (αφού το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα ιδιοτιµών έχει µη-τετριµένη λύση). Για να δούµε αν το πρόβληµα έχει λύση ή όχι ελέγχουµε την τιµή του ολοκληρώµατος. Είναι λοιπόν, Σύµφωνα λοιπόν µε την εναλλακτική Fredholm το αρχικό πρόβληµα ιδιοτιµών έχει άπειρες λύσεις. Μια ειδική λύση του αρχικού προβλήµατος µπορεί να βρεθεί µε τη βοήθεια της γενικευµένης συνάρτησης Green. Θεωρούµε λοιπόν το κάτωθι πρόβληµα για τη γενικευµένη συνάρτηση Green
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 25 [1.3.10] [1.3.11] [1.3.12] Για από την [1.3.10] είναι. Ολοκληρώνοντας κατά µέλη (αόριστη ολοκλήρωση) µία φορά, παίρνουµε ότι Από τη συνοριακή συνθήκη [1.3.11] έχουµε ότι [1.3.12] έχουµε ότι, οπότε ισχύει ότι, ενώ από τη συνοριακή συνθήκη [1.3.13] Για τη συνθήκη ασυνέχειας της παραγώγου της γενικευµένης συνάρτησης Green έχουµε ότι Παρατηρούµε ότι η ικανοποιεί αυτόµατα τη συνθήκη ασυνέχειας για την πρώτη παράγωγο. Κατόπιν, ολοκληρώνουµε κατά µέλη την [1.3.13], από όπου παίρνουµε ότι κατόπιν, απαιτώντας η γενικευµένη συνάρτηση Green να είναι συνεχής στο σηµείο, εύκολα προκύπτει ότι. Οπότε, κάνοντας την επονοµασία έχουµε ότι [1.3.14] όπου είναι µία αυθαίρετη προσθετική σταθερή η οποία εξαρτάται από το και αντιστοιχεί σε ένα αυθαίρετο πολλαπλάσιο της οµογενούς λύσης. Η αναπαράσταση [1.3.14] είναι αντιπροσωπευτική όλων των δυνατών γενικευµένων συναρτήσεων Green. Όπως είπαµε στο υποεδάφιο 1.2.5, η γενικευµένη συνάρτηση Green µπορεί πάντοτε να εκλεγεί κατάλληλα έτσι ώστε να ικανοποιεί την ιδιότητα συµµετρίας. Ας απαιτήσουµε λοιπόν να ισχύει η ιδιότητα συµµετρίας για : (παρατηρήστε ότι επιβάλλαµε την ιδιότητα συµµετρίας για, που σηµαίνει ότι στο δεξί µέλος της ιδιότητας συµµετρίας, όταν γίνεται η εναλλα
26 Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα -γή του µε το θα πρέπει να πάρουµε τον κλάδο της που αντιστοιχεί στην περίπτωση, ως συνέπεια της εναλλαγής του µε το ) αν θεωρήσω τώρα τη συνάρτηση, τότε η ανωτέρω σχέση µας λέει ότι θα είναι, δηλαδή, όποια τιµή κι αν έχει το, η δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε την περίπτωση όπου. Αν καθίσουµε και το σκεφτούµε λίγο αυτό, τότε εύκολα διαπιστώνεται ότι η ιδιότητα µπορεί να ισχύει τότε και µόνον τότε αν η είναι µια σταθερή συνάρτηση (ανεξάρτητη του ή του ). Εποµένως, σύµφωνα µε τα προηγούµενα θα πρέπει να ισχύει ότι ή, όπου κάποια αυθαίρετη σταθερά. Από την τελευταία σχέση και την [1.3.14] έχουµε ότι [1.3.15] Παρατηρήστε τη συµµετρία της γενικευµένης συνάρτησης Green στην [1.3.15]. Τελικώς, µια ειδική λύση του αρχικού προβλήµατος [1.3.7]-[1.3.9] δίνεται από την σχέση όπου η γενικευµένη συνάρτηση Green δίνεται από την [1.3.15] και ο πηγαίος όρος δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης. Παράδειγµα 3ο: ίνεται η ακόλουθη µη-οµογενή συνήθη διαφορική εξίσωση,, [1.3.16] σε συνδυασµό µε τι ακόλουθε συνοριακέ συνθήκε αυτοσυζυγού τύπου όπου Λύση: Αρχικά ελέγχω την περίπτωση. Να λυθεί το ανωτέρω πρόβληµα συνοριακών τιµών. [1.3.17] [1.3.18], όπως κάναµε στο προηγούµενο παράδειγµα. Η γενική λύση της είναι η, όπου αυθαίρετες σταθερές. Η εφαρµογή των συνοριακών συνθηκών [1.3.17]-[1.3.18] εύκολα διαπιστώνεται ότι οδηγεί στο αποτέλεσµα, οπότε η γενική οµογενής λύση είναι η, όπου αυθαίρετη σταθερή (εν γένει µη-µηδενική). Σύµφωνα µε όσα είπαµε στο υποεδάφιο της εναλλακτικής Fredholm, το είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος (αφού το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα ιδιοτιµών έχει µη-τετριµένη λύση). Για να δούµε αν το πρόβληµα έχει λύση ή όχι ελέγχουµε την τιµή του ολοκληρώµατος. Είναι λοιπόν,
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 27 Σύµφωνα µε την εναλλακτική Fredholm λοιπόν το αρχικό πρόβληµα ιδιοτιµών δεν έχει λύση.