Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την καµπύλη σ ( Ι ) ως την τροχιά ενός υλικού σηµείου µε διάνυσµα θέσης το σ ( t) κατά την χρονική στιγµή t. Αν Ι= [, ], το σ είναι το αρχικό σηµείο και το σ ([, ] ) ονοµάζεται και ίχνος της καµπύλης και συµβολίζεται µε [ ] Έστω Ι= [, ] και ( t) ( x ( t),..., x( t) ) C ) αν οι συναρτήσεις t [ ] x ( t) R για κάθε i,,..., σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως, i = είναι διαφορίσιµες ( αντιστοίχως C ) όπου. Στην περίπτωση αυτή θέτοµε ' ' σ ' t = x t,..., x t, t,. ( ) [ ] Σηµείωση. Αν :[, ] σ R είναι διαφορίσιµη καµπύλη και ( t ) < t < τότε το ' x. διαφορικό της σ στο t είναι: Dσ ( t)( h) = h, h R. ' x( t) σ ( t + h) σ ( t) Επίσης πρέπει να είναι σαφές ότι: σ '( t) = lim.(πρβλ. τις h h παρατηρησεις 5 µετα τον Ορισµο 5.4 και στην παραγραφο για τον κανονα της αλυσιδας.) Η σ :[, ] R, σ ( t) = x ( t),..., x( t) λέγεται κατά τµήµατα C, αν υπάρχει µια διαµέριση Ρ= { t = <... < t = } του [, ] ώστε ο περιορισµός [ t, k tk] C στο [ t t ] k = k, k για κάθε,,..., Παραδείγµατα: ) Έστω, R µε το και έχει την διεύθυνση του είναι η l( t) = + t, t R. α α+ α+t σ να είναι. Η ευθεία που διέρχεται από Η l διέρχεται από το και είναι παράλληλη µε το. Η l είναι C αφού l ' t =, t R O
4 )Το ευθύγραµµο τµήµα από το στο, όπου, R είναι η καµπύλη σ ( t) = ( t) + t= + t( ), t [,] την καµπύλη αυτή την συµβολίζουµε και µε [, ]. α l(t)=α+t(-α), -α O Είναι σαφές ότι το [, ] είναι ευθύγραµµο τµήµα της ευθείας σ ( t) = + t( ), t R ( αν ). Επίσης ' σ ( t) =, t [,], άρα η σ είναι C καµπύλη. σ(t) - =, R και r >. Ο κύκλος κέντρου ) Αν και ακτίνας r είναι η καµπύλη σ t = + r cos t,si t, t, π ή [ ] ( t) ( rcos t, r si t) C, αφού σ '( t) = r( si t,cos t), t [,π] σ = + +. Η καµπύλη σ είναι Ειδικότερα ο µοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο είναι ο σ t cos t,si t, t, π =,, r = = [ ], 4) Η καµπύλη γράφηµα της παραβολής f ( x) = x, x R. Η σ είναι σ t = t, t, t R έχει ως ίχνος το σ ' t =, t, t R. C αφού
5 k 5) Έστω z, z,..., z R. Η πολυγωνική γραµµή µε κορυφές τα z, z,..., z είναι η καµπύλη του k k R, γ :[, ] R, γ ( t) = ( λ+ t) z + ( t λ ) z +, t [ λ, λ+ ], λ =,,...,. Η γ είναι προφανώς κατά τµήµατα ' t = z z. γ λ+ λ λ λ C αφού αν t [ λ, λ ] +, τότε Σηµείωση Ειδικότερα αν k = και z, z, z είναι τρία σηµεία του R που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία η πολυγωνική γραµµή µε κορυφές τα z, z, z είναι µια κατά τµήµατα C καµπύλη η οποία δεν είναι C. Πράγµατι οι πλευρικές παράγωγοι στο z υπάρχουν αλλά διαφέρουν, αφού γ '( t) = z z για t [,] και γ '( t) = z z για [,] t και z z z z z z z ( t) z tz, t [,] ( t) z + ( t ) z, t [, ] + γ ( t) = Η καµπύλη γ µε κορυφές τα z, z,..., z και την παραµέτρηση που δίνουµε παραπάνω συµβολίζεται και µε [ z, z ]... [ z, z ] Ρ=. Γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου καµπύλης. Έστω σ :[, ] R διαφορίσιµη καµπύλη και t ( α, β) ώστε σ '( t). Η ευθεία l ( t) = σ ( t) + σ '( t)( t t), t R, η οποία διέρχεται από το σ ( t ) και έχει την διεύθυνση του διανύσµατος σ '( t ) ονοµάζεται η εφαπτοµένη της καµπύλης σ στο σ ( t ). Το δε διάνυσµα σ '( t ) ονοµάζεται το εφαπτόµενο διάνυσµα της σ στο σ ( t ).
6 Ο ορισµός αυτός δικαιολογείται ως εξής: ο λόγος σ ( t + h) σ ( t ) όπου h ( η h + h ) είναι ένα διάνυσµα µέση διανυσµατική ταχύτητα του σ ( t) στο διάστηµα [ t, t ] παράλληλο µε το διάνυσµα µε αρχή στο σ ( t ) και τέλος στο σ ( t h) h, αυτή η παράσταση τείνει στο διάνυσµα Ο ακόλουθος ορισµός είναι τώρα φυσιολογικός: σ :, R µια +. Όταν το σ ' t ( της στιγµιαίας ταχύτητας). 9. Ορισµός. Έστω [ ] σ ( t) = ( x( t), y( t), z( t) ). Το διάνυσµα ταχύτητας στο ( t) υ( t) σ '( t) ( x '( t), y '( t), z '( t) ) είναι ίσο µε s( t) = σ '( t) = ( x '( t) ) + ( y '( t) ) + ( z '( t) ). Ως επιτάχυνση του υλικού σηµείου ορίζουµε το διάνυσµα: ( t) σ ''( t) είναι δύο φορές διαφορίσιµη στο [, ] ). C - καµπύλη όπου σ είναι το = = και το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου Παραδείγµατα: ) Έστω, = ( αν η σ σ = + τότε R και ( t) ( t) t, t [,] σ '( t) =, t [,], σ '( t) = και ( t), t [,] ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. =, δηλαδή έχουµε ) Έστω σ ( t) = ( cos t,si t), t [, π]. Τότε υ( t) = σ '( t) = ( si t,cos t), t [, π] και s( t) = σ '( t) = ( si t) + ( cost) =, t [, π]. Παρατηρούµε ότι, σ ( t) υ( t) = σ ( t) σ '( t) = ( cos t,si t) ( si t,cost) = cost si t+ si t cos t =, t [,π]. Έτσι το διάνυσµα της ταχύτητας v( t) είναι κάθετο στο διάνυσµα θέσεως σ ( t). Η ταχύτητα είναι σταθερή κατά µέτρο ( rd / sec ). Πρόκειται για την οµαλή κυκλική κίνηση. σ (t) α(t)=σ (t) σ (t) υ(t)=σ (t) σ(t) Η επιτάχυνση του κινητού είναι t = σ '' t = cos t, si t = ( cos t,si t) σ ( t) =. Εποµένως το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι αντίθετο του σ t και κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. ( Η επιτάχυνση t πολλαπλασιασµένη µε την µάζα του κινητού µας δίνει την λεγόµενη κεντροµόλο δύναµη η οποία επιταχύνει το κινητό).
7 Μήκος καµπύλης Έστω σ :[, ] R συνάρτηση από το [, ] στον R ). Για κάθε διαµέριση { t t } µια καµπύλη ( δηλαδή µια συνεχής Ρ= = <... < = του [, ] θέτοµε L( σ, Ρ ) = σ ( tk) σ ( tk ). Αν υπάρχει Μ > : L ( σ, ) k= κάθε Ρ διαµέριση του [, ] ορίζουµε τον αριθµό, Ρ Μ για τότε λέµε ότι η καµπύλη έχει µήκος και ως µήκος της ( σ) sup { L( σ, ) : διαµέριση του [, ] } l = Ρ Ρ Μ. ηλαδή ως µήκος της l ( σ) ορίζεται το supremum των µηκών όλων των εγγεγραµµένων πολυγωνικών γραµµών στην καµπύλη σ. Αποδεικνύεται το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα για την απόδειξη του οποίου παραπέµπουµε στην βιβλιογραφία. 9. Θεώρηµα. Έστω σ :[, ] = R l ( σ) σ '( t) dt ( C καµπύλη. Τότε η σ έχει µήκος και = s t dt ) m Παρατηρήσεις ) Έστω σ :[, ] R κατά τµήµατα βέβαια η σ έχει µήκος και αν Ρ= { t = < < t = } : [ t t ] k =,,..., τότε tk = k= tk... C καµπύλη. Τότε σ είναι, k k C για l ( σ) σ '( t) dt. Μπορούµε βέβαια πάλι να γράφουµε, ( σ) σ ' αφού η [, ] σ ' πλήθος ασυνεχειών. = l t dt, t t R είναι µια φραγµένη συνάρτηση µε πεπερασµένο )Παρατηρούµε ότι ο τύπος ( σ) σ ' σ :, καµπύλης [ ] = l t dt που µας υπολογίζει το µήκος µιας R είναι εκ πρώτης όψεως µη αναµενόµενος. Όµως αν σκεφθούµε το σ ( t) ως το διάνυσµα θέσης ενός σωµατιδίου µε ταχύτητα, της οποίας το µέτρο ισούται µε σ '( t), που κινείται από το σ στο σ, τότε το µήκος C
8 l ( σ) της σ δεν είναι παρά η συνολική απόσταση που διανύθηκε. Εποµένως αυτό το µήκος θα πρέπει να ισούται µε το ολοκλήρωµα, σ ' t dt. Αυτό γίνεται ακόµη πιο ξεκάθαρο αν σκεφθούµε πως υπολογίζουµε την διανυόµενη απόσταση στις απλές κινήσεις, όπως είναι η ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ( σταθερή ταχύτητα υ = ct ) και ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση ( σταθερή επιτάχυνση α = ct ). ) Είναι απλό να εξακριβώσουµε ότι µια µάλιστα, ( σ) σ ' l t dt. C καµπύλη σ :[, ] Πράγµατι, έστω Ρ= { t = < < t = }, τυχούσα διαµέριση του [, ] m... m η, ( σ, Ρ ) = σ σ σ ' = σ ' L t t t dt t dt k k k= k= tk m tk R έχει µήκος και. Τότε ισχύει (). Εποµένως, l ( σ) = sup { L( σ, Ρ) : P διαµέριση του [, ] } σ '( t) dt = ( σ) Η απόδειξη της ανισότητας ϕ ϕ περιγράφεται στις ασκήσεις. l. t dt t dt ( την οποία χρησιµοποιήσαµε ) Παραδείγµατα )Έστω σ ( t) = + r( cos t,si t) κύκλος κέντρου = (, ) και ακτίνας r στο επίπεδο. Τότε σ '( t) = r( si t,cos t), t [,π], σ '( t) = r ( st) + ( cost) = r. Συνεπώς, )Έστω z, z, z τρία διαφορετικά σηµεία του γραµµή, σ = [ z, z ] [ z, z ] ( δηλαδή σ ( t) Τότε ( σ) = σ ' + σ ' l t dt t dt. π l σ = σ ' t dt = π r. R, θεωρούµε την πολυγωνική ( t) z tz, t [,] ( t) z + ( t ) z, t [, ] + = Επειδή σ '( t) = z z για t [,] και σ '( t) = z z για [,] l σ = z z dt+ z z dt = z z + z z. z t υπολογίζουµε, ) z z
9 Ασκήσεις Προσδιορίστε τα διανύσµατα ταχύτητας, επιτάχυνσης καθώς και την εξίσωση της εφαπτοµένης για κάθε µια από τις παρακάτω καµπύλες για την δοσµένη τιµή του t : r t 6 t, t, t, t σ t = si t,cos t, t, t = (γ) (α) = =, σ t = si t, t,, t = t σ t =, t,, t =. Επίσης να βρεθεί το µήκος, (δ),. των καµπύλων των παραδειγµάτων (α) και (β) στο διάστηµα [ ] σ :, R, ) Έστω [ ] είναι ευθύγραµµο τµήµα ή σηµείο. )Να βρεθεί η καµπύλη σ αν ( ) (, 5,) C καµπύλη µε µηδενική επιτάχυνση. Αποδείξτε ότι η σ σ = και '( t) ( t, e t, t ) σ =. (*) 4) Μία διανυσµατική συνάρτηση :[, ], (,..., ) f R f f f = λέγεται ολοκληρώσιµη ( κατά Riem ) αν κάθε µια από τις συνιστώσες ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Θέτοµε τότε, f dx= f dx,..., fdx αν η f ( f f ) f,..., f είναι. Αποδείξτε ότι =,..., είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση τότε και η, είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει, [ Υπόδειξη: Κάθε µία από τις f dx f dx. f = f +... + f f i είναι ολοκληρώσιµη άρα και το άθροισµά τους είναι ολοκληρώσιµη, επειδή η συνάρτηση x είναι συνεχής στο [,+ ), έπεται ότι και η f είναι ολοκληρώσιµη. Καθόσον αφορά την ανισότητα παρατηρούµε ότι αν θέσοµε y ( y y ) =,...,, όπου yi = fidx, i, τότε i i i i i i= i= i= y = y = y f dx = y f dx. y = f dx και i i, i= Από την ανισότητα Cuchy-Schwrz έπεται ότι, y f ( t) y f ( x), x [, ] άρα y y f dx. Από την οποία έπεται η ζητούµενη ανισότητα ]. 5)Να υπολογιστεί το µήκος των καµπύλων: t r cos t,si t, t, π σ = +, r >, R (α) { } { } σ t = t, t : t,, (β) [ ] σ t = t, t : t,,. (γ) [ ]
6)Έστω σ :[, ] R µια C διαφορίσιµη καµπύλη. Υποθέτουµε ότι σ ( t) σ '( t) κάθε t [, ]. Το διάνυσµα Τ ( t) = ( εφάπτεται στην σ στο ( t) σ '( t) Τ ( t) =, το Τ ) λέγεται το µοναδιαίο εφαπτόµενο διάνυσµα της σ. (α) Αποδείξτε ότι Τ' ( t) Τ ( t) =. ( Υπόδειξη: Παραγωγίστε την ( t) ( t) (β) Γράψτε ένα τύπο για το Τ '( t) συναρτήσει της σ. 7)Έστω f, g δύο πραγµατικές ' για σ και επειδή Τ Τ = ) C συναρτήσεις ορισµένες στο διάστηµα [, ] < f ( x) < g( x) για κάθε x (, ) και f g, f g διανυσµατική συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [, ] h t = ( t, f ( t) ), t [, ] t, g( t), t, [ ], µε = =. Έστω h η µε τον ακόλουθο τρόπο: (α) είξτε ότι η h παριστάνει µια καµπύλη Γ η οποία έχει µήκος. (β) Εξηγείστε, µε την βοήθεια ενός σχήµατος, την γεωµετρική σχέση µεταξύ f, g και h. D = x, y : x και f x y g x { } (γ) Αποδείξτε ότι το σύνολο των σηµείων είναι ένα χωρίο του R του οποίου το σύνορο είναι η καµπύλη Γ. (*) 8) Έστω f :[, ] R κατά τµήµατα (α) είξτε ότι η καµπύλη (β) Έστω f ( t) C συνάρτηση. (, ), [, ] γ t = t f t t έχει µήκος το οποίο ισούται µε l ( γ ) = + ( ') f t dt π t si, t (,] = t. είξτε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση στο, t =, αλλά ασυνεχής στο. Εν συνεχεία [, ] της οποίας η παράγωγος είναι συνεχής ( ] δείξτε ότι η καµπύλη ( t) ( t, f ( t) ), t [,] γ = δεν έχει µήκος