Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Ορισμοί Κινηματική Υλικού Σημείου Δυναμική Υλικού Σημείου Κινηματική Στερεού Σώματος Δυναμική Στερεού Σώματος
Ορισμοί Κινηματική: υπολογισμοί κίνησης (θέσεων/ταχυτήτων) των στοιχείων ενός μηχανικού συστήματος Υπολογίζονται ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας q (Β.Ε.) του συστήματος Με τον όρο «θέση» συμπεριλαμβάνεται και η διεύθυνση Βαθμοί ελευθερίας q: ένα πιθανό σετ κινηματικών μεταβλητών που περιγράφουν πλήρως την θέση των στοιχείων ενός μηχανικού συστήματος To σετ δεν είναι μοναδικό! Μπορούν να επιλεγούν διαφορετικοί Β.Ε. Πάντα όμως ο ίδιος αριθμός Β.Ε. Δυναμική: Περιγραφή του πως εξωτερικές δυνάμεις/ροπές επιρεάζουν την κίνηση ενός μηχανικού συστήματος Νόμοι Νεύτωνα
Παράδειγμα: Σύστημα στρόφαλου-διωστήρα Στοιχεία: στρόφαλος, διωστήρας Θέσεις/διευθύνσεις που περιγράφουν πλήρως το σύστημα Θέση πιστονιού x Γωνία στροφάλου φ 1 Β.Ε. αρκεί να περιγράψει πλήρως το σύστημα Κινηματική Αν επιλέξω q = x x q = x, φ q = φ x Αν επιλέξω q = φ x q = x(φ), φ q = φ φ x
Υλικό Σημείο VS Στερεό Σώμα 2 μοντέλα για να περιγράψουμε μηχανικά εξαρτήματα Περιλαμβάνει μάζα/αδράνεια, αμελεί ελαστικότητα Υλικό σημείο: Αμελούμε τις διαστάσεις του Κάνει μόνο μεταφορική κίνηση Στερεό σώμα: Έχει διαστάσεις και κατανομή βάρους Κάνει μεταφορική και περιστροφική κίνηση Το κατάλληλο μοντέλο εξαρτάται από Είδος κίνησης Σχετικές διαστάσεις εξαρτημάτων και κίνησης
Κινηματική Υλικού Σημείου Ένα υλικό σημείο περιγράφεται από την θέση του r(q) Κίνηση σε 3 διάστάσεις r q = X(q) Y(q) Z(q) Τ Κίνηση σε 2 διαστάσεις r q = X(q) Y(q) Τ Κίνηση σε 1 διάσταση r q = X(q) Ένα υλικό σημείο κάνει μόνο μεταφορική κίνηση } δυναμική μηχανών Ταχύτητα υλικού σημείου P: u P q, q = X P (q) Y P (q) Z P (q) = dr P q dt = J P q P Ιακωβιανός πίνακας της r P q ως προς q
Δυναμική Υλικού Σημείου Νόμοι Νεύτωνα για υλικό σημείο μάζας m : Σf = l = m du dt m du dt = Σf Όπου l = m u είναι η ορμή της μάζας m, και Σf είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο υλικό σημείο Η επιτάχυνση du υπολογίζεται παραγωγίζοντας την u q, q dt H συνισταμένη των δυνάμεων Σf περιέχει εξωτερικές διεγέρσεις f(t), αντιδράσεις, δυνάμεις ελατηρίων & τριβής, κτλ Χρειάζεται προσοχή στα πρόσημα των συνιστωσών δυνάμεων!!!
Κινηματική Στερεού Σώματος Ενα στερεό σώμα διαφέρει σε σχέση με υλικό σημείο Έχει διαστάσεις Έχει κέντρο βάρους (Κ.Β.), συμβολίζεται G Έχει αδράνεια σε περιστροφή Μπορεί να οριστεί σωματόδετο σ.σ. Η κίνηση στερεού σώματος είναι επαλληλία μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης Η θέση κάθε σημείου του στερεού σώματος προκύπτει από την θέσης του Κ.Β. του r P r G G P ρ P
Κινηματική Στερεού Σώματος Η κίνηση ενός στερεού σώματος σε 3D περιγράφεται από: Την θέση r G (q) του κέντρου βάρους (Κ.Β.) Tην διεύθυνση του σώματος (3 γωνίες Euler) Σε 2D περιγράφεται από: Την θέση r G q = X G q Y G q Τ του Κ.Β. Tην διεύθυνση του σώματος θ q Σε 1D περιγράφεται είτε μόνο από X G q είτε μόνο από την διεύθυνση θ q Σε αυτό το μάθημα κινήσεις σε 1D ή 2D
Κινηματική Στερεού Σώματος Υπολογισμός θέσης σημείου P σε στερεό σώμα: Θέση σημείου P r P (q) = r G (q)+ρ P (q) r P r G G ρ P P Θέση Κ.Β. G [!!] τα διανύσματα r P, r G, ρ P είναι εκφρασμένο στο χωρόδετο σ.σ. ΧΥΖ Μετασχηματισμός συντεταγμένων Μερικά διανύσματα (π.χ. ρ P ) βολέβει να υπολογιστούν πρώτα στο σωματόδετο σσ xyz και μετά να μ/χ στο χωρόδετο σσ ΧΥΖ. Διάνυσμα εκφρασμένο στο χωρόδετο σσ XYZ Απόσταση σημείου P από Κ.Β. G r = L G R L r Πίνακας μετασχηματισμού Διάνυσμα εκφρασμένο στο σωματόδετο σσ xyz
Κινηματική Στερεού Σώματος Ο υπολογισμός ταχύτητας του σημείου P μπορεί να γίνει με 2 τρόπους 1. Παραγωγίζοντας την αναλυτική σχέση r P (q) (σε 1D, 2D): u P q = r P q = X P Y P Z P Τ 2. Παραγώγήση διανυσμάτων εκφρασμένων σε σωματόδετο σ.σ. u P q = r P q = r G q + ρ P (q) ρ P (q) = G L R q ( L ρ P (q) + L ω(q) L ρ P (q)) δυναμική μηχανών I Παράγωγος ρ P (q) εκφρασμένη στο χωρόδετο σσ XYZ Πίνακας μετασχηματισμού Παράγωγος του ρ P (q) εκφρασμένη στο σωματόδετο σσ xyz (αυτό αντιλαμβάνεται παρατηρητής στο σώμα) Διάνυσμα ρ P (q) εκφρασμένο στο σωματόδετο σσ xyz Γωνιακή ταχύτητα σώματος εκφρ. στο σωματόδετο σσ xyz
Κινηματική Στερεού Σώματος Σε κάθε περίπτωση, η ταχύτητα του σημείου P εκφράζεται σαν: u P q = r P q = J p (q) q Ιακωβιανός πίνακας της r P q ως προς q Υπολογισμός επιτάχυνσης σημείου P: a P q = r P q = J p q q + J p (q) Η γωνιακή ταχύτητα ω του στερεού σώματος περιγράφει τον ρυθμό αλλαγής της διεύθυνσης του Όταν ω 0 κάθε σημείο στο στερεό σώμα έχει διαφορετική ταχύτητα q
Κινηματική Στερεού Σώματος σε 2 Διαστάσεις Μεταφορική κίνηση στο επίπεδο XY r G (q) = X G (q) Y G (q) T Ταχύτητα Κ.Β. u G q = r G q = J G (q) q Οι άξονες Ζ (χωρόδ) & z (σωματόδ) είναι παράλληλοι Μετασχηματισμός συντεταγμένων r = G L R L r = X Y = cos(θ) sin(θ) Περιστροφική κίνηση περί του άξονα Ζ sin(θ) cos(θ) Η γωνιακή ταχύτητα ω = ω Ζ = θ Ζ είναι παράλληλη στον άξονα Ζ και μπορεί να οριστεί ως η παράγωγος της διεύθυνσης θ: ω = θ(q) = J θ (q) q Y x y y y X P x x θ
Δυναμική Στερεού Σώματος σε 2 Διαστάσεις Νόμοι Νεύτωνα για μεταφορική κίνηση στερεού σώματος μάζας m: Σf = l = m d r G dt m r G = Σf l = m r G είναι η ορμή του σώματος, r G = X G Y T G, και Σf = Σf X Σf T Y είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα m X G = Σf X Y G Σf Y H συνισταμένη των δυνάμεων Σf περιέχει: Εξωτερικές διεγέρσεις f(t), αντιδράσεις, δυνάμεις ελατηρίων & τριβής, κτλ Προσοχή στα πρόσημα!
Δυναμική Στερεού Σώματος Νόμοι Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση στερεού σώματος σε 3D : h G = Στ G Όπου h G = Ι ω είναι η στροφορμή του στερεού σώματος ως προς το Κ.Β. του, και Στ G είναι η συνισταμένη ροπών ως προς το Κ.Β. του Σε 2D κίνηση οι εξισώσεις απλοποιούνται: dω z I z dt = Στ G,Ζ I z θ = Στ G,Ζ I z είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα Z Στ G,Ζ η συνισταμένη των ροπών ως προς το Κ.Β. λόγω των N t ροπών τ i & των N f δυνάμεων f j (ασκούνται στις θέσεις ρ fj από το Κ.Β.) που ασκούνται στο σώμα Στ G,Ζ = N t τ i + i=1 N f (ρ fj f j ) e Z j=1 δυναμική μηχανών I Μοναδιαίο διάνυσμα Ζ
Αριθμός Β.Ε. Αριθμός Στερεών/Σημείων Η κίνηση ενός στερεού σώματος σε 2D περιγράφεται από έως και 3 μεταβλήτές (X G, Y G, θ) Η κίνηση ενός υλικού σημείου σε 2D περιγράφεται από έως και 2 μεταβλήτές (Χ, Y) Η ύπαρξη περιορισμών (άρθρωση, πάκτωση κτλ) μειώνει τον αριθμό των B.E. που απαιτείται για να περιγραφεί η κίνηση ενός συστήματος σωμάτων 1 υλικό σημείο Απαιτούνται 2 Β.Ε. 3 στερεά σώματα Απαιτείται 1 Β.Ε.
Αντιδράσεις Για κάθε περιορισμό που εμποδίζει κάποια κίνηση, αντιστοιχεί μια (άγνωστη) αντίδραση Εμπόδια στην μεταφορική κίνηση κατά άξονα X δύναμη f X (αντίδραση) Εμπόδιο στην περιστροφική κίνηση κατά άξονα Z ροπή τ z (αντίδραση) Οδηγός επιτρέπει κίνηση μόνο κατά Y λόγω αντιδράσεων f X1, τ z Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X2, f Y2 Y X Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X3, f Y3 Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X4, f Y4
Αντιδράσεις στο σύστημα εκκέντρου-στροφάλου-διωστήρα Αντιδράσεις f Y2 f Y3 f X1 τ z f X2 f X3 f X2 100 mm f Y2 f X3 f X4 f Y3 f Y4
Παράδειγμα