ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Υπολογισμός της ελαστικής δυναμικής ενέργειας Τι συμβαίνει όταν εκτείνετε ένα ελατήριο; Όσο πιο πολύ το εκτείνετε, τόσο περισσότερο πρέπει να το τραβάτε, άρα η δύναμη δεν είναι σταθερή καθώς εκτείνεται το ελατήριο. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ένα ελατήριο σε σώμα το οποίο είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του είναι ανάλογο της επιμήκυνσης ή της συσπείρωσής του από τη θέση του φυσικού του μήκους, δηλαδή, F ελ = k x. Όπου k είναι μια χαρακτηριστική σταθερά του ελατηρίου που ονομάζεται σταθερά ελατηρίου και x η επιμήκυνση ή η συσπείρωση του ελατηρίου. F ελ είναι η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα και ονομάζεται και δύναμη επαναφοράς γιατί τείνει να επαναφέρει το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Η πιο πάνω σχέση είναι γνωστή και σαν νόμος του Hook. Το μέτρο της δύναμης F δεν είναι σταθερό, οπότε το έργο της βρίσκεται γραφικά. Από τη γραφική παράσταση της F = f ( x ) προκύπτει ότι W F = E = 1 2 kx2. Το W F εκφράζει την ενέργεια που προσφέρουμε στο ελατήριο και η οποία αποθηκεύτηκε σε αυτό με τη μορφή ελαστικής δυναμικής ενέργειας. (αρχ) (τελ) ΔU ελ = W Fελ δηλαδή W Fελ = U ελ Uελ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ορισμός της έννοιας των περιοδικών κινήσεων και ταλαντώσεων και αναφορά παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή Περιοδικές ονομάζονται οι κινήσεις που επαναλαμβάνονται οι ίδιες, σε ίσα χρονικά διαστήματα. Η ταλάντωση είναι η περιοδική κίνηση μεταξύ δύο ακραίων σημείων. Σε κάθε σώμα ή σύστημα που εκτελεί ταλάντωση υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας στο οποίο η συνισταμένη δύναμη στο σώμα ή σύστημα είναι μηδέν. Παραδείγματα περιοδικών κινήσεων αποτελούν: μια ελαστική μπάλα που αναπηδά σε οριζόντιο δάπεδο, μια παλλόμενη χορδή, η ομαλή κυκλική κίνηση, η κίνησή του εκκρεμούς, η γραμμική κίνηση μάζας σε ελατήριο. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 1
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ορισμός της αρμονικής ταλάντωσης και η συσχέτιση της με την ομαλή κυκλική κίνηση Η απλή αρμονική ταλάντωση μπορεί να μελετηθεί ως η προβολή της ομαλής κυκλικής κίνησης σε ένα άξονα. Στο σχήμα φαίνεται ένα σώμα που περιστρέφεται αριστερόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω σε κατακόρυφο κύκλο. Το σώμα φωτίζεται από δεξιά με παράλληλη δέσμη φωτός και στο πέτασμα που βρίσκεται στα αριστερά φαίνεται η σκιά του, η οποία κινείται ανάμεσα στις θέσεις Α και Β. Όταν το σώμα βρίσκεται στην τυχαία θέση Σ, η σκιά του βρίσκεται στη θέση Σ. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 2
Χαρακτηριστικά μεγέθη μιας αρμονικής ταλάντωσης Στο σχήμα φαίνεται μια σφαίρα στερεωμένη στην άκρη ενός ελατηρίου το οποίο ηρεμεί στη θέση ισορροπίας Κ. Όταν απομακρύνουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας προς τη θέση Α και το αφήσουμε να κινηθεί ελεύθερα, αυτό θα αρχίσει να ταλαντώνεται ανάμεσα στις θέσεις Α και Β, που ισαπέχουν από τη θέση ισορροπίας. Ορίζουμε ως απομάκρυνση τη θέση του σώματος που ταλαντώνεται, με σημείο αναφοράς τη θέση ισορροπίας του. Η απομάκρυνση είναι διανυσματικό μέγεθος. Στις θέσεις Α και Β της σφαίρας έχουμε τη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Η απομάκρυνση αυτή ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. Ορίζουμε ως πλάτος της ταλάντωσης ( x 0 ) τη μέγιστη απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας και είναι μονόμετρο μέγεθος. Εφόσον η θέση Κ είναι η θέση ισορροπίας έχουμε ότι ΣF = 0. Επομένως και η επιτάχυνση του σώματος θα είναι μηδέν, α = 0, σύμφωνα με το 2 ο νόμο του Νεύτωνα. Όσο αυξάνεται η απόσταση της σφαίρας από τη θέση ισορροπίας της, τόσο θα μεγαλώνει και η παραμόρφωση του ελατηρίου και επομένως θα μεγαλώνει η δύναμη F ελ και η επιτάχυνση. Ερώτηση: Σε ποια θέση η επιτάχυνση της σφαίρας γίνεται μέγιστη; Πλάτος ( α 0 ) της επιτάχυνσης ορίζεται το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος κατά την ταλάντωσή του. Η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση ίδια με την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης στο αμαξάκι, επομένως η φορά της είναι προς τη θέση ισορροπίας. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 3
Μελέτη της διαδρομής του σώματος Διαδρομή Β Κ Στη θέση Β το σώμα έχει ταχύτητα μηδέν α 1 α 2 ( υ Β = 0 ) γιατί εκεί αντιστρέφεται η φορά της κίνησής του και αρχίζει να επιταχύνεται προς τα δεξιά με μέγιστη Β Κ υ επιτάχυνση ( α Β = α 0 ). Καθώς το σώμα 1 υ 2 μετακινείται προς τη θέση ισορροπίας, η επιτάχυνση του μειώνεται και η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται συνεχώς, αλλά με ρυθμό που διαρκώς μειώνεται. Στη θέση ισορροπίας η σφαίρα έχει την μέγιστη της ταχύτητα και μηδενική επιτάχυνση. α 3 α 4 Διαδρομή Κ Α Κ Α υ 3 υ 4 Καθώς το σώμα μετακινείται προς τη θέση Α, η ταχύτητά του μειώνεται με όλο και μεγαλύτερο ρυθμό ( λόγω αύξησης της επιτάχυνσης ) και στη θέση Α σταματά στιγμιαία. Ονομάζουμε πλάτος της ταχύτητας του σώματος, που εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας, τη μέγιστη ταχύτητά του σώματος.!! Παρατηρήσεις Κίνηση της σφαίρας προς τη θέση ισορροπίας ( Θ. Ι. ) Μείωση της επιτάχυνσης Απομάκρυνση της σφαίρας από τη θέση ισορροπίας ( Θ. Ι. ) Αύξηση της επιτάχυνσης Περίοδος Τ μιας ταλάντωσης ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί μια πλήρης ταλάντωση Ένα άλλο φυσικό μέγεθος, εκτός από την περίοδο, που χρησιμοποιούμε στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων, άρα και των ταλαντώσεων, είναι η συχνότητα. Έχουμε ότι: Συχνότητα f ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το πηλίκο, του αριθμού των επαναλήψεων Ν του φαινομένου που συμβαίνουν σε χρόνο t, προς το χρόνο αυτό. Αντίστοιχα στις ταλαντώσεις έχουμε ότι: Συχνότητα f μιας ταλάντωσης ονομάζεται το πηλίκο, του αριθμού των ταλαντώσεων Ν που συμβαίνουν σε χρόνο t, προς το χρόνο αυτό. Δηλαδή: f = N t Είναι φανερό ότι σε χρόνο t = T συμβαίνει Ν = 1 ταλάντωση. Άρα, f = N t f = 1 T ή Τ = 1 f Μονάδα μέτρησής της περιόδου Τα στο S.I. είναι το 1sec και της συχνότητας f το 1 Hz. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 4
Εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης Στο σχήμα φαίνεται η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0, όταν η επιβατική ακτίνα σχηματίζει γωνία φ 0 με το θετικό οριζόντιο ημιάξονα. Την τυχαία χρονική t ( t 0 ) η επιβατική ακτίνα θα σχηματίζει γωνία φ, που μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του ορισμού της γωνιακής ταχύτητας: ω = Δφ ω = φ φ 0 φ φ Δt t 0 0 = ωt φ = ωt + φ 0 Η γωνία φ, που δίνει τη θέση του κινητού πάνω στον κύκλο, ονομάζεται φάση της κίνησης και μετράται, όπως και η αρχική φάση φ 0, σε rad. Στο σχήμα σημειώθηκε με y η απόσταση της θέση της σκιάς από το μέσον Κ της διαδρομής ΑΒ. Προκύπτει ότι: ημφ = y R y = Rημφ y = Rημφ y = Rημ ( ωt + φ 0 ) y = y 0ημ ( ωt + φ 0 ) φ 0 t 0 Δφ φ t = 0 φ = ωt + φ 0 Από την πιο πάνω εξίσωση συμπεραίνουμε ότι: Αρμονική ταλάντωση είναι η περιοδική κίνηση στην οποία η θέση ως προς το σημείο ισορροπίας είναι ημιτονοειδής ( ή συνητονοειδής ) συνάρτηση του χρόνου. Ομοίως αν η ταλάντωση γίνεται στο οριζόντιο επίπεδο θα έχουμε x = x 0ημ ( ωt + φ 0 ). Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 5
Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω εξίσωση, να σχεδιάσετε στις πιο κάτω περιπτώσεις τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου x = f ( t ) για χρονική στιγμή t = 0. α. φ 0 = 0 x x 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -x 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t=0; β. φ 0 = π/2 x x 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -x 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 6
γ. φ 0 = π x x 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -x 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; Εξαγωγή της ταχύτητας και της επιτάχυνσής της απλής αρμονικής ταλάντωσης Αν η x = f ( t ) είναι η συνάρτηση της θέσης για ένα ταλαντωτή, τότε η ταχύτητα και η επιτάχυνση βρίσκονται από τις σχέσεις, υ = dx dυ, a =. dt dt υ = dx υ = d[x 0ημ (ωt+φ 0 )] υ = x dx dt 0 συν ( ωt + φ 0 ) υ = ωx 0 συν (ωt + φ 0 ). Όπου ωx 0 = υ 0 επομένως η παραπάνω εξίσωση γίνεται υ = υ 0 συν (ωt + φ 0 ). To υ 0 ονομάζεται πλάτος της ταχύτητας. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 7
Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω εξίσωση, να σχεδιάσετε στις πιο κάτω περιπτώσεις τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου υ = f ( t ) για χρονική στιγμή t = 0. α. φ 0 = 0 υ υ 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -υ 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t=0; β. φ 0 = π/2 υ υ 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -υ 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 8
γ. φ 0 = π υ υ 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -υ 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; α = dυ a = d[ωx 0συν (ωt+φ 0 )] dt dt a = ωx 0 (ω)( ημ(ωt + φ 0 )) α = ω 2 x 0 ημ (ωt + φ 0 ) Όπου ω 2 x 0 = α 0 επομένως η παραπάνω εξίσωση γίνεται α = α 0 ημ (ωt + φ 0 ). To α 0 ονομάζεται πλάτος της επιτάχυνσης. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 9
Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω εξίσωση, να σχεδιάσετε στις πιο κάτω περιπτώσεις τη γραφική παράσταση επιτάχυνσης χρόνου υ = f ( t ) για χρονική στιγμή t = 0. α. φ 0 = 0 α α 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -α 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t=0; β. φ 0 = π/2 α α 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -α 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 10
γ. φ 0 = π α α 0 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -α 0 Ερώτηση: Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0; Σχέση επιτάχυνσης απομάκρυνσης a = a 0 ημ ( ωt + φ 0 ) y = y 0 ημ ( ωt + φ 0 ) α y = a 0 y 0 a = y ω2 y 0 y 0 a = ω 2 y Σχέση ταχύτητας απομάκρυνσης Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις y = y 0ημ ( ωt + φ 0 ) και αποδείξετε τη σχέση: υ = ±ω y 0 2 y 2. υ = υ 0 συν (ωt + φ 0 ) να Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 11
Αμείωτη Φθίνουσα ταλάντωση Μια ταλάντωση, στην οποία δεν υπάρχουν απώλειες και επομένως η μηχανική της ενέργεια διατηρείται σταθερή, ονομάζεται αμείωτη ταλάντωση διότι το πλάτος της διατηρείται σταθερό σε συνάρτηση με το χρόνο. Αμείωτες ταλαντώσεις δεν υπάρχουν στη φύση, αφού είναι αδύνατον να κατασκευαστεί σύστημα το οποίο να ταλαντώνεται με μηδενικές τριβές. Έτσι λοιπόν, σε όλες τις ταλαντώσεις, η ενέργεια που αρχικά προσφέρεται, απομακρύνεται προς το περιβάλλον με συνέπεια το πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Η ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται με την πάροδο του χρόνου ονομάζεται φθίνουσα ή αποσβενύμενη ταλάντωση. Το πηλίκο δύο διαδοχικών πλατών σε μια φθίνουσα ταλάντωση είναι σταθερό και λέγεται συντελεστής απόσβεσης της ταλάντωσης. Συντελεστής απόσβεσης = α 0 α 1 = α 1 α 2 = = σταθερό. Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής απόσβεσης τόσο πιο γρήγορα μειώνεται το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση Αν ΣF η συνισταμένη των δυνάμεων που, σε μια τυχαία θέση, δέχεται το σώμα, ισχύει από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής: ΣF = ma απ όπου με τη βοήθεια της σχέσης α = -ω 2 y, έχουμε ότι ΣF = -m ω 2 y. Αν όπου mω 2 θέσουμε D έχουμε ότι, D = mω 2. Το μέγεθος D είναι χαρακτηριστικό στοιχείο της ταλάντωσης και λέγεται σταθερά επαναφοράς. Επομένως ΣF = -Dy που αποτελεί τη μαθηματική σχέση της ζητούμενης συνθήκης. Η σχέση αυτή δείχνει ότι η συνισταμένη έχει τιμή ανάλογη με την απομάκρυνση και έχει φορά αντίθετη από αυτήν. Η συνισταμένη, άρα, κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας, γι αυτό και συνηθίζουμε να τη λέμε δύναμη επαναφοράς. «Για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει σε τυχαία θέση της τροχιάς του η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται, να έχει τιμή ανάλογη με την απομάκρυνση και φορά προς τη θέση ισορροπίας». Συνθήκη για Α.Α.Τ. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 12
Η χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς ΣF = F 0 ημ(ωt + φ 0 ) όπου F 0 = Dy 0 Ενέργεια σε μια απλή αρμονική ταλάντωση Είδαμε ότι η δύναμη επαναφοράς, που προκαλεί μια Α.Α.Τ, περιγράφεται από την εξίσωση: ΣF = D x. Η δύναμη αυτή έχει τη μορφή των δυνάμεων που εμφανίζονται στις ελαστικές παραμορφώσεις ( νόμος του Hooke ). Τέτοια δύναμη είναι αυτή που συμπιέζει ή επιμηκύνει ένα ιδανικό ελατήριο. Στο σχήμα, η μάζα m μπορεί να ταλαντώνεται πάνω στο λείο επίπεδο με τη βοήθεια του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ. Για να ξεκινήσει η ταλάντωση, εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας κατά x 0 και το αφήνουμε ελεύθερο. Σε κάθε θέση, που το σώμα έχει ταχύτητα υ, η κινητική του ενέργεια θα είναι: Ε κ = 1 2 mυ2 Ε κ = 1 2 mυ 0 2 συν 2 (ωt + φ 0 ) υ = υ 0 συν (ωt + φ 0 ) Σχέση Ε κ με τον χρόνο t. Στην περίπτωση που η αρχική φάση είναι μηδέν, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Ε κ = f ( t ) για την πιο πάνω εξίσωση. E κ 0 t Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 13
Αν στη εξίσωση Ε κ = 1 2 mυ2 αντικαταστήσουμε το υ 2 = ω 2 (y 0 2 y 2 ) τότε έχουμε ότι Ε κ = 1 2 mω2 (y 0 2 y 2 ) Σχέση Ε κ με την απομάκρυνση y. Όπως είδαμε και στην αρχή του κεφαλαίου, το μέτρο της δύναμης F δεν είναι σταθερό, οπότε το έργο της βρίσκεται γραφικά. Από τη γραφική παράσταση της δύναμης F σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Προκύπτει ότι W F = E = 1 2 Dy2 E δ = 1 2 y(dy) E δ = 1 2 Dy2. Σχέση Ε δ με την απομάκρυνση y. Σχέση Ε δ με τον χρόνο t Ε δ = 1 2 Dy2 y = y 0ημ ( ωt + φ 0 ) E δ = 1 2 D y 0 2 ημ 2 (ωt + φ 0 ) Στη περίπτωση που η αρχική φάση είναι μηδέν, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση Ε δ = f ( t ) για την πιο πάνω εξίσωση. E δ 0 t Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 14
Ολική ενέργεια της ταλάντωσης Ολική ενέργεια της ταλάντωσης εννοούμε το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης. Ε ολ = Ε κ + Ε δ Ε ολ = 1 2 mυ 0 2 = 1 2 Dy 0 2 = 1 2 mυ2 + 1 2 Dy2 Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 15
Ταλάντωση σώματος με τη βοήθεια κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου Το σώμα αρχικά ισορροπεί στη θέση όπου ΣF = 0 ή mg F ελ = 0 mg = Kx 1 x 1 = mg K. Εκτρέπουμε το σώμα κατά x 0 από τη θέση ισορροπίας, οπότε εκτελεί απλή ταλάντωση. Σε μια τυχαία θέση απομάκρυνσης x, η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα m είναι: ΣF = mg K (x + x 1 ) = mg Kx Kx 1 ΣF = mg Kx Kx 1 x 1 = mg K ΣF = Kx Βλέπουμε ότι και στην περίπτωση που το ελατήριο είναι κατακόρυφο το σώμα εκτελεί Α.Α. Τ. με σταθερά ταλάντωσης Κ. Άρα η περίοδος Τ είναι Τ = 2π m K. Όπου Τ = 2π ω και Κ = mω2. Το απλό εκκρεμές Απλό μαθηματικό εκκρεμές είναι η διάταξη που αποτελείται από νήμα μήκους l αμελητέας μάζας μη εκτατό και από υλικό σημείο μάζας m συνδεδεμένο στη μια άκρη του νήματος. Η άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο Κ. Απομακρύνουμε το νήμα από τη θέση ισορροπίας ( Α ), κατά πολύ μικρή γωνία φ ( < 5 0 ), έτσι ώστε η ταλάντωση που θα εκτελέσει η μάζα m να είναι με καλή προσέγγιση γραμμική. Η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας είναι η συνιστώσα του βάρους Β χ. Από το τρίγωνο ΚΛΝ προκύπτει: mgημφ ΣF = Β x = Bημφ = { ημφ = x l ΣF = mg x l Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 16
Θεωρούμε θετική φορά, τη φορά της απομάκρυνσης. Επειδή η γωνία φ είναι πολύ μικρή, το x είναι με καλή προσέγγιση ίσο με το τόξο ΛΑ ( = s). ημφ = φ = s l ΣF = mg x l m g Το είναι η σταθερά της ταλάντωσης D, οπότε για πολύ μικρή γωνία αρχικής εκτροπής το l μαθηματικό εκκρεμές εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο: Τ = 2π m D = 2π m m g l = 2π l g T = 2π l g Εξαναγκασμένη ταλάντωση Συντονισμός Όταν υπάρχουν τριβές σε μια ελεύθερη ταλάντωση, τότε το πλάτος μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και τελικά μηδενίζεται. Προκειμένου να παραμείνει το πλάτος μιας ταλάντωσης αμείωτο χρειάζεται να αναπληρώνεται σε κάθε περίοδο η ενέργεια που χάθηκε. Αυτό μπορεί να γίνει με τη βοήθεια περιοδικής εξωτερικής δύναμης, που παράγοντας θετικό έργο πάνω στο ταλαντούμενο σώμα, αναπληρώνει τη χαμένη ενέργεια σε κάθε περίοδο. Η δύναμη αυτή ονομάζεται διεγέρτης. Διεγέρτης για παράδειγμα είναι η δύναμη που ασκούμε σε μια κούνια για να διατηρούμε το πλάτος της αιώρησής της σταθερό. Όταν μια ταλάντωση γίνεται με τη βοήθεια διεγέρτη λέγεται εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν v ή ( f ) είναι η συχνότητα του διεγέρτη, τότε και η ταλάντωση θα πραγματοποιείται με την ίδια συχνότητα. Δηλαδή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα της ταλάντωσης ισούται με τη συχνότητα του διεγέρτη. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 17
Όταν η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος, τότε το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο και το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συντονισμός. Έτσι, για να κάνει η κούνια αιώρηση με μέγιστο πλάτος, θα πρέπει να ασκούμε την περιοδική εξωτερική δύναμη ( διεγέρτη) με συχνότητα περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα της κούνιας. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος διατηρείται σταθερό επειδή ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα που ταλαντώνεται απορροφά ενέργεια είναι ίσος με τον ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω τριβών. Κατά τον συντονισμό η μεγιστοποίηση του πλάτους οφείλεται στο ότι η ενέργεια του συστήματος, που καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης, γίνεται μέγιστη, που σημαίνει ότι ο ρυθμός της απορρόφησης της ενέργειας που προσφέρεται από το διεγέρτη γίνεται μέγιστος. Μεγαλύτερη ενέργεια μεγαλύτερο πλάτος μεγαλύτερες ταχύτητες μεγαλύτερες αντιστάσεις μεγαλύτερες απώλειες. Παραδείγματα Συντονισμού Ένα ποτήρι κρασιού καλής ποιότητας έχει συχνότητες κανονικών τρόπων που μπορείτε να τις ακούσετε κτυπώντας το ελαφρά. Εάν η τραγουδίστρια βγάζει μια ισχυρή νότα με συχνότητα που αντιστοιχεί ακριβώς σε μια από αυτές τις συχνότητες κανονικών τρόπων, μπορεί να δημιουργηθούν ταλαντώσεις μεγάλου πλάτους που να σπάσουν το ποτήρι. Η καταστροφή της γέφυρας του ποταμού Tacoma στις Η.Π.Α., στις 7 Νοεμβρίου του 1940, τέσσερις μήνες μετά την κατασκευή της. Η γέφυρα κατέρρευσε λόγω συντονισμού, τον οποίο προκάλεσε άνεμος, που δημιούργησε μια περιοδική δύναμη πάνω στην γέφυρα, με συχνότητα παραπλήσια με την ιδιοσυχνότητα της. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 18
Γενικές Ασκήσεις 1. Ένα σώμα μάζας m = 1kg ισορροπεί στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 400 Ν/m του οποίου το πάνω άκρο είναι στερεωμένο σε οριζόντιο τοίχο. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας κατά x 1 = 10 cm και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει Α.Α.Τ. και να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. ( Τ = π/10 s) β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση F ολ ( x ). γ. Αν η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x = x 0ημωt να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις υ = f ( t ) και F ολ ( t ). 2. Ομογενής κύλινδρος πυκνότητας ρ ηρεμεί αρχικά με τον άξονά του κατακόρυφο, βυθισμένο εν μέρει σε υγρό πυκνότητας 4ρ. Αν προσδώσουμε στον κύλινδρο κατακόρυφη ταχύτητα υ 0 = 2m/s να βρείτε: α. την απόσταση μεταξύ της κατώτερης και της ανώτερης θέσης που θα βρεθεί ο κύλινδρος. β. το χρόνο που μεσολαβεί από τη στιγμή που κύλινδρος βρίσκεται στη κατώτερη θέση του ώσπου να βρεθεί στην ανώτερη. ( d = 0,4 m, t = 0,1π sec ) Δίδεται το ύψος του κυλίνδρου h = 90,4 m και επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2.Να θεωρήσετε ότι ο κύλινδρος δεν συναντά αντιστάσεις και τριβές κατά την κίνησή του και ότι η στάθμη του υγρού παραμένει σταθερή. Για την άνωση ισχύει ότι Α = ρ υ g V βυθ ( ισχύει V = S x, όπου S το εμβαδό διατομής και x το ύψος). 3. Στους δύο απλούς ταλαντωτές ( Α ) και ( Β ) δίνουμε την ίδια ολική ενέργεια. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Οι ταλαντωτές εκτελούν αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους. β. Το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς στον ταλαντωτή ( Α ) είναι διπλάσιο του μέτρου της μέγιστης επαναφοράς στον ταλαντωτή ( Β ). γ. Οι ταλαντωτές ταλαντώνονται με την ίδια ταχύτητα. δ. το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υ 0,Β του ταλαντωτή ( Β ) είναι 2 φορές μεγαλύτερη από το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υ 0,Α του ταλαντωτή ( Α ). Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 19
4. Διαθέτετε μια ζυγαριά, ένα μικρό σώμα, ένα κουβάρι νήμα, ένα μοιρογνωμόνιο, ένα χρονόμετρο, μια μετροταινία και ένα βολτόμετρο. Ποια απ αυτά θα χρησιμοποιήσετε και πώς ώστε να μετρήσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο που βρίσκεστε; 5. Διαθέτετε ένα ελατήριο, ένα μικρό σώμα, ένα θερμόμετρο, ένα χρονόμετρο, μια μετροταινία, έναν ογκομετρικό κύλινδρο και ένα αμπερόμετρο. Ποια απ αυτά θα χρησιμοποιήσετε και πώς ώστε να μετρήσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο που βρίσκεστε; 6. Το σφαιρίδιο μαθηματικού εκκρεμούς ταλαντώνεται με τρόπο ώστε η απομάκρυνση του σε σχέση με το χρόνο να είναι όπως φαίνεται πιο κάτω. Χρησιμοποιώντας τις τιμές της γραφικής παράστασης, να υπολογίσετε: α. Το πλάτος της ταλάντωσης. β. τη συχνότητα της ταλάντωσης. γ. την επιτάχυνση όταν: Ι. α απομάκρυνση είναι μηδέν. ΙΙ. η απομάκρυνση είναι μέγιστη δ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις φ = f ( t ) και υ = f ( t ). ( x 0 =0,15m, f = 0,5 Hz, α 1 = 0 και α 2 = 1,5 m/s 2 ) 7. Το σώμα του διπλανού σχήματος ταλαντώνεται με τη βοήθεια της γεννήτριας δονήσεων που έχει συνδεθεί στο άκρο του κάτω ελατηρίου. Για διάφορες τιμές της συχνότητας της γεννήτριας μετρήθηκε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος και οι μετρήσεις φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Αν π 2 = 10, F ( Hz ) 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0 (cm) 2 2,8 5,8 9 4,4 1,1 0,5 0,4 α. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση του πλάτους του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τη ταχύτητα του διεγέρτη. β. Να προσδιορίσετε την ιδιοσυχνότητα και τη σταθερά επαναφοράς του ταλαντωτή αν η μάζα του σώματος είναι m = 0,2kg. Να σχεδιάσετε πρόχειρα στους ίδιους άξονες τη γραφική παράσταση του πλάτους του ταλαντωτή σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη, για την περίπτωση που το σώμα αντικατασταθεί με άλλο τετραπλάσιας μάζας. (f 0 = 4Hz, D = 126 Nm -1 ) γ. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να εξηγήσετε πώς αλλάζει το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος αν η αλλαγή της μάζας γίνει, ενώ η γεννήτρια ταλαντώνεται με σταθερή συχνότητα f = 5Hz. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 20
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Βρέστε την περίοδο μιας Α.Α.Τ. στην οποία η επιτάχυνση είναι 2 m/s, όταν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι 0,5m. ( 3,14 s ) 2. Η περίοδος μιας Α.Α.Τ. είναι 8 sec και το πλάτος της 5 cm. Πόσο είναι το πλάτος της ταχύτητάς της; Πόση είναι η ταχύτητα, όταν η απομάκρυνση είναι 3 cm; (3,92 cm/s, 3,14 cm/s) 3. Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ. μεταξύ δύο θέσεων που απέχουν 0,1 m μεταξύ τους. Τη στιγμή που η απόστασή του από τη μια θέση είναι 2 cm έχει επιτάχυνση 0,48 m/s 2. Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα του κατά τη στιγμή αυτή. ( 0,16 m/s ) β) Η μέγιστη ταχύτητά του. ( 0,2 m/s ) γ) Η περίοδός του. ( 1,57 s ) 4. Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο 10 sec. Πόση είναι η επιτάχυνσή του σε απόσταση 0,2m από το κέντρο της κίνησής του; Αν η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεών του είναι 2m, πόσο χρόνο χρειάζεται, για να μετακινηθεί κατά 0,7m από μια από τις δύο θέσεις; ( α = 7,9 cm/s 2, t = 2,02 sec ) 5. Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ. Όταν η μετατόπισή του από τη θέση ισορροπίας του είναι 6 cm η ταχύτητά του είναι 16 cm/s. Όταν η μετατόπισή του είναι 8 cm η ταχύτητα του είναι 12 cm/s. Να βρείτε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσής του. ( x 0 = 10 cm, T = 3,14 s) Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 21
Eκκρεμές 1. Ωρολογιακό εκκρεμές είναι ρυθμισμένο ώστε η περίοδος του να είναι ακριβώς 2 sec σε έναν τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 1 = 9,81 m/s 2. Το εκκρεμές αυτό μεταφέρεται σε άλλον τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 2 = 9,78 m/s 2. Να βρεθούν: α. Η καθυστέρηση που παρουσιάζει το εκκρεμές σε 24 ώρες. ( 2,003 sec ) β. Πόσο πρέπει να γίνει το μήκος του εκκρεμούς ώστε η περίοδος του να είναι και πάλι 2 sec. ( π 2 = 10 ) (129,4 sec ) 2. Τα πιο κάτω ζεύγη απλών εκκρεμών εκτελούν Α.Α.Τ. και όλα έχουν το ίδιο μήκος. Τα βέλη αντιπροσωπεύουν τις ταχύτητες των σφαιρών. α. Σε ποιο από τα ζεύγη τα εκκρεμή ταλαντώνονται με διαφορά φάσης 90 0 ; β. Σε ποιες άλλες περιπτώσεις μπορείτε να υπολογίσετε με ακρίβεια τη διαφορά φάσης; Πόση είναι αυτή η διαφορά φάσης; Υπόδειξη: Θεωρήστε την προς τα δεξιά ως θετική κατεύθυνση. 3. Δύο απλά εκκρεμή με μήκη L 1 = 0,9m και L 2 = 1,6 m αφήνονται ταυτόχρονα από τη θέση που φαίνεται στην εικόνα. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα εμφανιστεί ξανά για πρώτη φορά η ίδια εικόνα. Δίνεται g = 10 m/s 2. ( t = 2,4π sec ) 4. Εκκρεμές μήκους νήματος L = 1m βρίσκεται μέσα σε ανελκυστήρα που επιταχύνεται προς τα κάτω με επιτάχυνση α = g / 4. Το σώμα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του κατά μικρή γωνία και ακολούθως αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Ζητείται: α. Να αποδειχθεί ότι θα εκτελέσει Α.Α.Τ. και β. να υπολογιστεί η περίοδος του. ( Τ = 2,29 sec ) Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 22