ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΘΕΜΑ ον ( µονάδες ίνονται οι ίνακες και B. Να βρεθούν : α Τα γινόµενα B και B ( µονάδα β Ο αντίστροφος ίνακας του ( µονάδα ΘΕΜΑ ον ( µονάδες ίνεται η συνάρτηση f ( e. Να βρεθούν : α Η µονοτονία της και τα ακρότατα. ( µονάδα β Τα διαστήµατα ου είναι κοίλη ή κυρτή και τα σηµεία καµής. ( µονάδα γ Οι τυχόν ασύµτωτες και το εδίο τιµών ( µονάδα δ Να γίνει η γραφική της αράσταση. ( µονάδα ΘΕΜΑ ον ( µονάδα Η κινητική ενέργεια ενός σώµατος, στη Θεωρία της Σχετικότητας του Eistei, δίνεται αό την σχέση mc (. υ c Όου m η µάζα αδρανείας του σώµατος, υ η ταχύτητά του και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Στην Κλασική Μηχανική, όου η ταχύτητα υ είναι άρα ολύ µικρή σε σχέση µε την c, η κινητική ενέργεια δίνεται αό την γνωστή σχέση Ek mυ (. Αοδείξτε τη σχέση (. χρησιµοοιώντας την σχέση (.. Υόδειξη : Ανατύξτε σε σειρά Taylor την (. λαµβάνοντας υόψη ότι το κλάσµα υ είναι c άρα ολύ µικρό. Πάρτε τόσους όρους όσους χρειάζεστε για να βγάλετε την σχέση (.
ΘΕΜΑ ον ( µονάδες Οι συντελεστές και του ανατύγµατος σε σειρά Fourier ενός τριγωνικού αλµού εριόδου δίνονται αό τις αρακάτω σχέσεις d d,,,... α Να υολογιστούν τα,, και β Να βρεθεί ο γενικός τύος για το ( µονάδες ( µονάδα Ααγορεύεται η χρήση οοιουδήοτε βιβλίου - σηµειώσεων και κινητών τηλεφώνων. Βαθµολογούνται µόνο τα θέµατα ου είναι ολοκληρωµένα και σωστά. Π.χ. για να άρετε την µονάδα στο α ρέει να βρείτε σωστά και τα ολοκληρώµατα. Προσοχή! Έλλειψη βασικών γνώσεων Μαθηµατικών ειέδου ηµοτικού - Γυµνασίου έχει ως αοτέλεσµα τον µηδενισµό όλου του γρατού!!! ιάρκεια εξετάσεων : ώρα και 5 λετά ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες si( cos si si cos si si cos si si cos cos cos si cos cos si cos y y si( y si cos y cos si y y cos cos y si si y si( y si cos Ιδιότητες Λογαρίθµων l ( ab l a lb l a al e l a l l l a lb a l log b e b lb Ανάτυγµα της f ( σε σειρά Taylor (γύρω αό την θέση f! ( f ( f ( ( f ( ( f ( (...! a
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ον ίνονται οι ίνακες και B. Να βρεθούν : α Τα γινόµενα B και B ( µονάδα β Ο αντίστροφος ίνακας του ( µονάδα 8 α B B εν µορεί να γίνει ολλαλασιασµός. Οι στήλες το Β δεν είναι ίσες µε τις γραµµές του Α. β ( ( ( ( 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 Εαλήθευση / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 ΘΕΜΑ ον ίνεται η συνάρτηση f ( e. Να βρεθούν : α Η µονοτονία της και τα ακρότατα. ( µονάδα β Τα διαστήµατα ου είναι κοίλη ή κυρτή και τα σηµεία καµής. ( µονάδα γ Οι τυχόν ασύµτωτες και το εδίο τιµών ( µονάδα δ Να γίνει η γραφική της αράσταση. ( µονάδα α f ( e f ( e f ( e > R, e Έτσι έχουµε <, f ( > άρα η f ( είναι αύξουσα >, f ( < άρα η f ( είναι φθίνουσα Για έχουµε τοικό µέγιστο f ( e β ( ( f e e e ( e ( f ( e ( ± ± Άρα έχουµε σηµεία καµής στα σηµεία, e και, e
R, e > Έτσι έχουµε < ή >, > f ( > άρα η f ( είναι κοίλη > και <, < f ( < άρα η f ( είναι κυρτή γ Οριζόντιες ασύµτωτες lim lim ( f lim e ( f lim e Άρα έχει και στα δύο άκρα οριζόντια ασύµτωτη την ευθεία y. Κατακόρυφες και λάγιες ασύµτωτες δεν έχει. Εφόσον τα δύο ιο άνω όρια είναι και η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το R αυτό σηµαίνει ότι το τοικό µέγιστο ου βρήκαµε στο είναι ολικό µέγιστο της συνάρτησης. Άρα τελικά το εδίο τιµών της είναι το διάστηµα, ( ]..8.6... - ΘΕΜΑ ον mc υ c υ Θέτω, άρα έχουµε mc c Ανατύσσουµε σε Taylor την E ως ρος γύρω αό την θέση. Εειδή το τελικό αοτέλεσµα ου k θέλουµε να βγάλουµε είναι mυ Έτσι έχουµε E ( E ( E ( k k k ( mc d mc mc d Ek θα άρουµε µόνο όρους µέχρι ρώτης τάξης ως ρος d d mc mc ( ( mc υ Άρα Ek ( Ek ( Ek ( mc Ek mc E mυ k c
ΘΕΜΑ ον Οι συντελεστές και δίνονται αό τις αρακάτω σχέσεις του ανατύγµατος σε σειρά Fourier ενός τριγωνικού αλµού εριόδου d d,,,... α Να υολογιστούν τα,, και β Να βρεθεί ο γενικός τύος για το α d d Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d d ( ( si( d si( si( d si( c ( µονάδες ( µονάδα [ si( ] [ si( si( ] d Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα d ( si( d si( si( d si( c d si( si( si( d Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα
( c d d d si( si( si( si( si( si( si( d β,,..., d Υολογίζω ρώτα το αόριστο ολοκλήρωµα ( c d d d si( si( si( si( ( si( si( si( d Αν άρτιος τότε ενώ αν εριττός τότε Άρα εριττός άρτιος