και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής: M() = () και μέσης τιμής: A() = () /, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Επίσης να βρεθούν τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν. (β). Να βρεθούν η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης () = ln(+ ) στο σημείο 0 = 0. (γ). Θεωρούμε τις συναρτήσεις: {() =, g() = } στο θετικό διάστημα: 0. Να γίνουν τα γραφήματά τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογιστή το εμβαδό της περιοχής μεταξύ των δύο γραφημάτων και του άξονα. 3 (δ). Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: = +. Να βρεθούν οι σταθερές τιμές της και να χαρακτηριστούν ως προς την ευστάθεια.. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + w w = ορίζει πλεγμένα το w ως συνάρτηση των {,}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του w ως προς, στις τιμές: {=, =, w = }. (β). Μια συνάρτηση (,) είναι φθίνουσα και έχει ισοσταθμικές όπως στο σχήμα παραπλεύρως. Να διερευνηθεί η μονοτονία της ως (, ) = c προς και να σκιαγραφηθεί η πάνω σταθμική περιοχή. (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική συνάρτηση: (, ) = 6+ +. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. Να γίνει και το γράφημα της ισοσταθμικής που διέρχεται από το στάσιμο σημείο. (δ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί αναλυτικά και γραφικά το (περιορισμένο) στάσιμο της συνάρτησης: (,) = +, με τον περιορισμό: g(,) = = 4, στη θετική περιοχή: { 0, 0}. Μέρος Β 3.( μονάδες) Σε μια οικονομία το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 6%, ενώ ο πληθυσμός L αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 3%. Να βρεθεί ο ετήσιος ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν εισοδήματος = Y / L και να εκτιμηθεί ο χρόνος διπλασιασμού του κατά κεφαλή εισοδήματος. 4.( μονάδες) Σε μια σύνθετη παραγωγή, δύο προιόντα παράγονται σε ποσότητες (X,Y) με συνάρτηση / / κόστους: C(X, Y) = + ( X + Y ). (α). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση κόστους είναι ομογενής. (β). Να γίνει το γράφημα μιας καμπύλης ισοκόστους και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση κόστους είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή, και αν ορίζει φθίνοντα ή αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης των προϊόντων στο κόστος. (γ). Να βρεθεί γραφικά η λύση του παρακάτω προβλήματος μεγιστοποίησης του εσόδου: / / ma{r = X+ Y C= + (X + Y ) }, και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων οριακής τιμής: M() = () και μέσης τιμής: A() = () /, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Επίσης να βρεθούν τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν. Λύση. Η οριακή τιμή είναι σταθερή θετική μέχρι την γωνία όπου είναι ασυνεχής, και μετά γίνεται σταθερή μηδενική. Η μέση τιμή είναι σταθερή ίση με την οριακή τιμή μέχρι την γωνία και μετά φθίνει συνεχώς προς το μηδέν. Το αρχικό τμήμα της μέχρι την γωνία είναι ισοελαστικό. (β). Να βρεθούν η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης () = ln(+ ) στο σημείο 0 = 0. A = M Λύση. { () = ln(+ ), () = (+ ), () = (+ ) } { (0) = 0, (0) =, () = } Γραμμική προσέγγιση: (0) + (0) = +. Παραβολική προσέγγιση: (0) + (0)+ (0) / = + / (γ). Θεωρούμε τις συναρτήσεις: {() =, g() = } στο θετικό διάστημα: 0. Να γίνουν τα γραφήματά τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογιστή το εμβαδό της περιοχής μεταξύ των δύο γραφημάτων και του άξονα. Λύση. Οι δύο καμπύλες τέμνονται στο = =. Το εμβαδό δίνεται από το ολοκλήρωμα: 3 d d + ( 0 ) 0 = + = + + = 0 3 (δ). Θεωρούμε την διαφορική εξίσωση: = +. Να βρεθούν οι σταθερές τιμές της και να χαρακτηριστούν ως προς την ευστάθεια. Λύση. Οι σταθερές τιμές δίνονται από τα μηδενικά της συνάρτησης στο δεξιό μέρος: 3 () = + = (+ ) = 0 = 0, μοναδική σταθερή τιμή () = + 3 (0) = > 0 : ασταθής Εξάλλου η () έχει αρνητικές τιμές για < 0 και θετικές για > 0.. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + w w = ορίζει πλεγμένα το w ως συνάρτηση των {,}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του w ως προς, στις τιμές: { =, =, w= }. Λύση. Έχουμε την εξίσωση: (,,w) = + w w = w= w(,) Το δοθέν σημείο ικανοποιεί την εξίσωση: + = Οι μερικές παράγωγοι δίνονται από τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: w + w 4+ w = = = = = 5 w w w 5 Η αντίστοιχη μερική ελαστικότητα είναι: Ew= = = 5 w () A M

(β). Μια συνάρτηση (,) είναι φθίνουσα και έχει ισοσταθμικές όπως στο σχήμα παραπλεύρως. Να διερευνηθεί η μονοτονία της ως προς και να σκιαγραφηθεί η πάνω σταθμική περιοχή. Λύση. Έχουμε < 0. Η ισοσταθμική έχει θετική κλίση, και επομένως οι μερικές παράγωγοι θα έχουν αντίθετο πρόσημο λόγω του τύπου πλεγμένης παραγώγισης: d (,) = c = > 0 < 0 > 0 d Επομένως η συνάρτηση είναι αύξουσα. Δηλαδή η συνάρτηση αυξάνει προς τα αριστερά και πάνω όπου και βρίσκεται η πάνω σταθμική της. (, ) = c (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική συνάρτηση: (,) = 6+ +. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. Να γίνει και το γράφημα της ισοσταθμικής που διέρχεται από το στάσιμο σημείο. Λύση. Το στάσιμο σημείο είναι το σημείο μηδενισμού των μερικών παραγώγων: = 6+ = 0 6+ () = 0 = (,) = 6+ + = = 0 = = 4 Ο Εσσιανός πίνακας είναι: = > 0, = > 0 = θετικά ορισμένος. Δ= = ( ) > 0 Επομένως το στάσιμο είναι ελάχιστο και μάλιστα ολικό διότι η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη διότι έχει παντού θετικά ορισμένο Εσσιανό πίνακα. Εξάλλου είναι παραβολική (τετραγωνική). Επομένως το στάσιμο είναι από μόνο του ισοσταθμική. (δ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί αναλυτικά και γραφικά το (περιορισμένο) στάσιμο της συνάρτησης: (,) = +, με τον περιορισμό: g(,) = = 4, στη θετική περιοχή: { 0, 0}. Λύση. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: g g = = 0 { =, = } : μοναδικό στάσιμο g= = 4 με πολλαπλασιαστή Lagrange και συνάρτηση Lagrange: λ= / g = / = / 4, L= + λ[c g] = + + [4 ] / 4 Ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος διότι η πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα είναι γνήσια αρνητική: 0 g g 0 0 4 4 g L L = / / = 4 / = 4(0+ 4) + 4( 4+ ) = 4< 0 g L L / 0 4 0 Επομένως το σημείο είναι περιορισμένο γνήσιο τοπικό ελάχιστο. Από το γράφημα διαπιστώνουμε ότι στην πραγματικότητα είναι περιορισμένο γνήσιο ολικό ελάχιστο διότι ο περιορισμός βρίσκεται στην πάνω σταθμική της αντικειμενικής συνάρτησης..

Μέρος Β 3.( μονάδες) α) Σε μια οικονομία αυξάνει συνεχώς το εθνικό εισόδημα Y με ετήσιο ρυθμό 6%, και ο πληθυσμός L με ετήσιο ρυθμό 3%. Να βρεθεί ο ετήσιος ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν εισοδήματος = Y / L και να εκτιμηθεί ο χρόνος διπλασιασμού του κατά κεφαλή εισοδήματος. Λύση. Ο ποσοστιαίος (σχετικός) ρυθμός μεταβολής του λόγου ισούται με τη διαφορά των δύο ρυθμών: %d = %dy %dl= 6 3= 3% ετησίως Επομένως αυξάνει εκθετικά με σχετικό ρυθμό r = 0.03 : rt 0.03t = 0e = 0e Θα διπλασιαστεί μετά από χρόνο T που δίνεται από την σχέση: 0.03T 0.03T ln 0.7 70 70 0 = 0e = e T= = = 3.33 χρόνια (τύπος: T ) 0.03 0.03 3 %r 4.( μονάδες) Σε μια σύνθετη παραγωγή δύο προιόντα παράγονται σε ποσότητες (X,Y) με συνάρτηση κόστους: C(X,Y) (X Y ) / / = + +. α). Να διερευνηθεί αν η συνάρτηση κόστους είναι ομογενής. β). Να γίνει το γράφημα μιας καμπύλης ισοκόστους και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση κόστους είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή, και αν ορίζει φθίνοντα ή αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης των προϊόντων στο κόστος. γ). Να βρεθεί γραφικά η λύση του παρακάτω προβλήματος μεγιστοποίησης του εσόδου: / / ma{r = X+ Y C= + (X + Y ) }, και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. Λύση. α). Η σταθερή συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού 0 ενώ η συνάρτηση / / (X + Y ) είναι ομογενής βαθμού, διότι: / / / / / / / / / / / [(tx) + (ty) ] = [t X + t Y ] = (t ) [X + Y ] = t[x + Y ] Επομένως η C(X,Y) δεν είναι ομογενής ως άθροισμα ομογενών συναρτήσεων διαφορετικού βαθμού. Είναι όμως ομοθετική ως (αύξουσα) συνάρτηση ομογενούς: / / C= + H όπου: H(X,Y) = X + Y β). Προκύπτει ειδικά από την τελευταία σχέση ότι οι ισοσταθμικές της C είναι ίδιες με τις ισοσταθμικές της H. Η συνάρτηση H είναι της γνωστής μορφής α α + με α< και οι ισοσταθμικές της έχουν το γνωστό σχήμα του πρώτου από τα παρακάτω δύο γραφήματα, με τις πάνω σταθμικές κυρτές. Το ίδιο θα ισχύει για τις σταθμικές της αρχικής C. Συμπεραίνουμε ότι, όπως και η H : Η C είναι οιονεί κοίλη και ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση κόστους δεν είναι κανονική ως προς την κυρτότητα. γ). Τέλος όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα παρακάτω, λόγω της παραπάνω μη κανονικότητας, η λύση του προβλήματος είναι συνοριακή στο κάτω σύνορο A : (X =,Y = 0), όπου η μεγαλύτερη ισοσταθμική της R= X+ Y συναντάει την περιοχή C H. Δηλαδή παράγεται μόνο το πρώτο προιόν που δίνει «σχετικά» μεγαλύτερο έσοδο ανά μονάδα κόστους. Y C c R X H A

Παρατήρηση. Οι κανονικές συναρτήσεις κόστους είναι οιονεί κυρτές με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των παραγόμενων προιόντων, όπως στο σχήμα παραπλεύρως. Δηλαδή σε μια κανονική συνάρτηση κόστους ισχύουν τα εξής:. Οι ενδιάμεσες ποσότητες παραγωγής έχουν μικρότερο κόστος από τις ακραίες.. Για σταθερό κόστος κάθε αύξηση στην παραγωγή του ενός προιόντος απαιτεί όλο και μεγαλύτερη μείωση στην παραγωγή του άλλου. C c ΤΕΛΟΣ