Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης mu + cu + ku = p() t (1) Έχουν αναπτυχθεί πολλές αριθμητικές μέθοδοι κατά τις οποίεςηδυναμικήαπόκρισηυπολογίζεταιβήμαπρόςβήμα. Ξεκινούν με δεδομένο ότι η μετατόπιση u(0), ηταχύτηταu (0) και η επιτάχυνση u (0) είναι γνωστά κατά τη χρονική στιγμή t=0 και στη συνέχεια υπολογίζονται τα μεγέθη αυτά στις χρονικές στιγμές,, 3,... όπου μικρό χρονικό διάστημα. Η ανάπτυξη των μεθόδων αυτών βασίζεται σε δύο παραδοχές: Η πρώτη παραδοχή είναι ότι η διαφορική εξίσωση κίνησης ικανοποιείται σε διακριτές χρονικές στιγμές που απέχουν μεταξύ τους κατά, σε αντίθεση με τις αναλυτικές, στις οποίες η εξίσωση ικανοποιείται στη τυχούσα χρονική στιγμή t.

Εισαγωγή (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18-3 Αυτό σημαίνει ότι η ισορροπία όλων των δυνάμεων, αδρανειακών, απόσβεσης, ελαστικών και εξωτερικών, εξασφαλίζεται μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές μέσα στο χρονικό διάστημα που αναζητούμε τη λύση. Η δεύτερη παραδοχή είναι ότι η μετατόπιση, η ταχύτητακαιη επιτάχυνση σε κάθε χρονικό διάστημα μεταβάλλονται σύμφωνα με κάποιο γνωστό νόμο. Η χρήση αριθμητικών μεθόδων είναι απαραίτητη στην περίπτωση που η φόρτιση p(t) είναι τυχαία συνάρτηση του χρόνου, αλλά και όταν το σύστημα είναι μη-γραμμικό.

Εισαγωγή (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18-4 Θεωρούμε μονοβάθμιο γραμμικό σύστημα του οποίου η κίνηση περιγράφεται από την εξίσωση (1). Θεωρούμε ότι η μάζα m, ηαπόσβεσηc και η ακαμψία k του συστήματος είναι σταθερές. Οι άγνωστες μεταβλητές του δυναμικού συστήματος ut (), ut (), ut () και η φόρτιση p(t) στην εξίσωση (1) δίνονται από ένα σύνολο τιμών σε διακριτά χρονικά σημεία t. Δηλαδή, u = u ( t ), u = u ( t ), u = u( t ), p = p( t ) = 0,, N Αυτές οι τιμές ικανοποιούν την εξίσωση κίνησης σε κάθε χρονική στιγμή t mu + cu + ku = p Οι αριθμητικές μέθοδοι που θα παρουσιαστούν επιτρέπουν τον υπολογισμό της απόκρισης u 1, u 1, και u + + + 1 τη χρονική στιγμή t +1 που ικανοποιούν την εξίσωση (1) mu + cu + ku = p + 1 + 1 + 1 + 1 Το χρονικό διάστημα = t +1 -t και θεωρείται σταθερό. () (3)

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Μέθοδος Κεντρικών Διαφορών Δ18-5 Οι μετατoπίσεις u +1 και u -1 μπορούν να προσεγγιστούν με τη βοήθεια του αναπτύγματος σειράς u(t) Taylor, παραλείποντας όρους τρίτης τάξης και άνω: 1 u+ 1 = u + Δ tu + Δ t u + 1 u 1 = u Δ tu + Δ t u + Αφαιρώντας τις πιο πάνω σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε την ταχύτητα: u u + 1 1 ενώ προσθέτοντας τις ίδιες εξισώσεις κατά μέλη παίρνουμε την επιτάχυνση: u u (4) u u + u + 1 1 (5) (6)

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Μέθοδος Κεντρικών Διαφορών (...) Δ18-6 Αντικαθιστώντας τις προσεγγιστικές εκφράσεις της ταχύτητας και επιτάχυνσης στην εξίσωση (), έχουμε u+ 1 u + u 1 u+ 1 u 1 m + c + ku = p (7) Στην εξίσωση (7) οι μετατοπίσεις u και u -1 είναι γνωστές (με εφαρμογή της διαδικασίας της μεθόδου) ενώ η μετατόπιση u +1 είναι άγνωστη. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους στην εξίσωση (7) οπότε m c m c m + u = p u k u + 1 1 ή (8) ku ˆ + 1 = pˆ

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Μέθοδος Κεντρικών Διαφορών (...) όπου ˆ m c k = + και Δ18-7 m c m pˆ = p u k u 1 Η άγνωστη μετατόπιση u +1 δίνεται από τη σχέση u + 1 = Ησχέση(9) επιτρέπει τον προσδιορισμό της λύσης τη χρονική στιγμή +1, όταν αυτή είναι γνωστή τις αμέσως προηγούμενες στιγμές και -1. pˆ kˆ (9)

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Μέθοδος Κεντρικών Διαφορών (...) Για να υπολογίσουμε τη μετατόπιση u 1, απαιτείται ο υπολογισμός των μετατοπίσεων u 0 και u -1. Η μετατόπισηu 0 δίνεταιωςμίααπότιςαρχικέςσυνθήκεςκαισυνεπώςείναι γνωστή. Γιαναυπολογίσουμετοu -1 θέτουμε t=0 στις εξισώσεις (5) και (6) Δ18-8 u u u u u + u και u 1 1 1 0 1 0 0 (10) από τις οποίες προκύπτει η u -1 ως u = u Δ tu + u 1 0 0 0 (11) Η αρχική επιτάχυνση u 0 υπολογίζεται από την εξίσωση (1) για t=0 p0 cu 0 ku0 u 0 = m (1)

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Μέθοδος Κεντρικών Διαφορών (...) Βήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης της εξίσωσης κίνησης με τη μέθοδο Κεντρικών Διαφορών Βήματα Διαδικασία 1. Δεδομένα Διάβασε ω (ή k), m, ζ, t ολ, u(0), u (0). Αρχικοί k= mω, c=mωζ, Τ=π/ω υπολογισμοί u = p cu ku m 3. Για κάθε βήμα ( ) 0 0 0 0 Δ18-9 Επέλεξε < Τ n /π και υπολόγισε: u 1 = u0 Δ tu 0 + u, ˆ m c k = + 0, a = m c, b = k m Υπολόγισε το ισοδύναμο φορτίο p ˆ = p au 1 bu Υπολόγισε τη μετατόπιση u ˆ ˆ + 1 = p k Υπολόγισε την ταχύτητα και επιτάχυνση τη στιγμή u = ( u+ 1 u 1) Δ t, u = ( u+ 1 u + u 1) Αύξησε το χρόνο κατά, από σε +1 Έλεγξε αν t t ολ τέλος. Αλλιώς θέσε u -1 = u και u = u +1 και πήγαινε στην αρχή του βήματος 3.

Μέθοδος Newmark Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-10 Σύμφωνα με τη μέθοδο Newmark, οι μετακινήσεις και οι ταχύτητες σε ένα χρονικό βήμα προέρχονται από ολοκλήρωση της αντίστοιχης συνάρτησης επιτάχυνσης, αφού θεωρηθεί κάποια συγκεκριμένη μεταβολή της επιτάχυνσης μέσα στο βήμα. Μετά την ολοκλήρωση, έχουμε τις πιο κάτω σχέσεις ( 1-γ) ( γ ) u = u + Δ t u + u + 1 + 1 ( ) ( 0.5 β) ( β ) u = u + Δ t u + Δ t u + u + 1 + 1 (13) (14) Οι παράμετροι β και γ είναι συντελεστές βάρους, που περιγράφουν τη μεταβολή της επιτάχυνσης μέσα στο βήμα. Για γ=1/ και β=1/4, η μέθοδος βασίζεται στην παραδοχή σταθερής επιτάχυνσης καιίσηςμετομέσοόροτηςαρχικής και τελικής τιμής. Για γ=1/ και β=1/6, η μέθοδος βασίζεται στην παραδοχή γραμμικά μεταβαλλόμενης επιτάχυνσης.

Μέθοδος Newmark (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-11 Στο σχήμα φαίνονται η μεταβολή της επιτάχυνσης, της ταχύτητας και της μετατόπισης στη μέθοδο της σταθερής επιτάχυνσης.

Μέθοδος Newmark (...) Θέτοντας οι εξισώσεις (13) και (14) γράφονται ως Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-1 Δu u u, Δu u u, Δu u u και + 1 + 1 + 1 Δp p p + 1 (15) ( ) ( γ ) Δ u = Δ t u + Δu + 1 ( ) ( 0.5 ) ( β ) Δ u = Δ t u + Δ t u + Δu (16) (17) Επιλύοντας την εξίσωση (17) ως προς την επιτάχυνση έχουμε Δ 1 1 1 u = u u u β t Δ β t Δ Δ β και αντικαθιστώντας τη σχέση (18) στην εξίσωση (16), παίρνουμε Δ u (18)

Μέθοδος Newmark (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-13 γ γ γ Δ u = Δu u + 1 u β t β Δ β (19) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις σχέσεις (18) και (19) στην επαυξητική εξίσωση κίνησης (η οποία προκύπτει ως η διαφορά της εξίσωσης (3) από την ()) ή όπου mδ u + cδ u + kδ u = Δp kˆ Δ u =Δpˆ ˆ γ 1 k = k + c + m και β β (0) (1) () 1 γ 1 γ Δ pˆ = Δ p + m+ c u + m+ 1 c u β β β β

Μέθοδος Newmark (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-14 Με γνωστά τα χαρακτηριστικά του συστήματος m, c, και k, τους συντελεστές β και γ, και τα u και u στην αρχή κάθε βήματος μπορούμε να υπολογίσουμε από την εξίσωση () τα kˆ και Δpˆ. Η επαυξητική μετατόπιση Δu υπολογίζεται από Δ u = Δpˆ kˆ (3) Με γνωστό το Δu, τα Δu και Δu μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις (18) και (19) και τα u + 1, u+ 1 και u+ 1από την εξίσωση (15).

Μέθοδος Newmark (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-15 Βήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης με τη μέθοδο Newmark Βήματα Διαδικασία 1. Δεδομένα Διάβασε ω (ή k), m, ζ, t ολ,. Αρχικοί υπολογισμοί 3. Για κάθε βήμα k= mω, c=mωζ, Τ=π/ω u = p cu ku m ( ) 0 0 0 0 u(0), u (0) Επέλεξε και υπολόγισε: γ 1 ˆk = k + c + m β β 1 γ 1 γ a = m+ c, b = m+ 1 c β β β β Υπολόγισε το ισοδύναμο φορτίο Δ pˆ = Δ p + au + bu Υπολόγισε τη μετατόπιση Δ u ˆ ˆ = Δp k Υπολόγισε την ταχύτητα και επιτάχυνση τη στιγμή γ γ γ Δ u = Δu u + 1 u β β β 1 1 1 Δ u = Δu u u β β β

Μέθοδος Newmark (...) Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-16 Βήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης με τη μέθοδο Newmark (...) Βήματα 3. Για κάθε βήμα Διαδικασία Υπολόγισε u = u +Δ u, u = u +Δ u, u = u +Δu + 1 + 1 + 1 Αύξησε το χρόνο κατά, από σε +1 Έλεγξε αν t t ολ τέλος. Αλλιώς θέσε u = u 1, u + = u 1, u + = u + 1 και πήγαινε στην αρχή του βήματος 3.

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-17 Ευστάθεια Αριθμητικών Μεθόδων Τα σφάλματα που εμφανίζονται κατά την αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης μπορούν να καταταγούν σε τρεις κατηγορίες: Σφάλμα στρογγυλοποίησης που οφείλεται σε επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς συνεπεία μικρού βήματος ολοκλήρωσης. Σφάλμα αποκοπής κατά την προσέγγιση των ut ( + ΔT) και ut ( +ΔT) με πεπερασμένο αριθμό όρων του αναπτύγματός τους σε σειρά Taylor. Σφάλμα που εισάγεται από την αντικατάσταση της διαφορικής εξίσωσης με εξίσωση διαφορών. Τα σφάλματα αποκοπής συσσωρεύονται τοπικά σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης. Το μέγεθος των σφαλμάτων αυτών δίνει μια καλή ένδειξη της ακρίβειας της μεθόδου, αρκεί η μέθοδος ολοκλήρωσης να είναι ευσταθής. Για να μελετήσουμε την ευστάθεια της αριθμητικής μεθόδου πρέπει να γνωρίζουμε την επιρροή του σφάλματος που εισάγεται σε ένα βήμα, στο αμέσως επόμενό του. Εάν το σφάλμα τείνει να αυξάνει, τότε λέμε ότι η μέθοδος είναι ασταθής.

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-18 Ευστάθεια Αριθμητικών Μεθόδων (...) Η μέθοδος Κεντρικών Διαφορών είναι ευσταθής όταν ικανοποιείται η συνθήκη Δ t 1 < T π n Η μέθοδος Newmark είναι ευσταθής όταν ικανοποιείται η συνθήκη 1 1 T π γ β n Για γ=1/ και β=1/4, Δ t T n < που σημαίνει ότι η μέθοδος είναι ευσταθής για όλα τα. Παρόλα αυτά, η μέθοδος είναι ακριβής μόνο για μικρά.

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης:Δ18-19 Ευστάθεια Αριθμητικών Μεθόδων (...) Για γ=1/ και β=1/6, T n 0.551 Φυσικά αυτή η τιμή δεν έχει σημασία, αφού ένα πολύ μικρότερο χρονικό βήμα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να έχουμε ακρίβεια.