Μη γραµµικός στατικός υπολογισµός καλωδιωτής γέφυρας µε τη βοήθεια δικτυωτού προσοµοιώµατος

Μη γραµµικός στατικός υπολογισµός καλωδιωτής γέφυρας µε τη βοήθεια δικτυωτού προσοµοιώµατος Π.Γ. Παπαδόπουλος, Γ. Αρέθας, Π. Λαζαρίδης Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Λέξεις κλειδιά: Καλωδιωτή γέφυρα. Μη γραµµικός στατικός υπολογισµός. Μεγάλες µετακινήσεις. Χαλάρωση καλωδίου. Γεωµετρική δυσκαµψία. ικτυωτό προσοµοίωµα. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Προτείνεται µία απλή µέθοδος για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό καλωδιωτής γέφυρας. Η γέφυρα προσοµοιώνεται µε ένα επίπεδο δικτύωµα. Έχει συνταχθεί ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ, µε περίπου µόνο 250 εντολές Fortran, για τον υπολογισµό, µε βαθµιαία φόρτιση, του πιο πάνω δικτυώµατος. Οι γεωµετρικές µη γραµµικότητες λαµβάνονται υπόψη µε κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται σε µια τυπική καλωδιωτή γέφυρα τριών ανοιγµάτων, συνολικού µήκους περίπου 400m. Τα αποτελέσµατα, για συνδυασµούς µόνιµων και κινητών φορτίων, βρίσκονται σε ικανοποιητική προσέγγιση µε άλλα σχετικά δηµοσιευµένα στοιχεία. Σεισµικά φορτία αδράνειας, παράλληλα προς τον άξονα του καταστρώµατος, προκαλούν, σε ένα εξωτερικό καλώδιο πλευρικού ανοίγµατος, µια κατάσταση κοντά στη χαλάρωση. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία τριάντα χρόνια, οι καλωδιωτές γέφυρες κατασκευάζονται, όλο και συχνότερα, σε πολλές χώρες, χάρη στα πλεονεκτήµατά τους, που είναι η ελαφρότητα, η οικονοµία, η ευκολία κατασκευής και η αισθητική (Virlogeux 1999, Walther et als 1999). Ο στατικός υπολογισµός των καλωδιωτών γεφυρών εµφανίζει τις εξής κυρίως µη γραµµικότητες: 1. Γεωµετρική µη γραµµικότητα λόγω των µεγάλων µετακινήσεων κυρίως του καταστρώµατος, αλλά και των πυλώνων, που οφείλονται στα µεγάλα µήκη τους και τις σχετικά µικρές διατοµές τους (Wang & Yang 1996, Nazmy & Abdel-Ghaffar 1990). 2. Γεωµετρική µη γραµµικότητα λόγω της κρέµασης των καλωδίων (Ernst H.J. 1965). 3. Μη γραµµικότητα υλικού λόγω της χαλάρωσης των καλωδίων σε περίπτωση θλίψης (Wu et als 2003). Έχουν προταθεί µέθοδοι στατικού υπολογισµού των καλωδιωτών γεφυρών που βασίζονται κυρίως στη διακριτοποίηση µε πεπερασµένα στοιχεία (Wang & Yang 1996, Nazmy & Abdel- Ghaffar 1990, Wu et als 2003). Η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων, από τότε που εµφανίσθηκε, στη δεκαετία του 1960, σε συνδυασµό µε τη χρήση του ΗΥ, έφερε επανάσταση στην ανάλυση των κατασκευών. ιότι µπορεί να διακριτοποιήσει και να αναλύσει συνεχή µέσα και κατασκευές µε τυχούσα γεωµετρία και µε τυχούσες συνθήκες συνδεσµολογίας, στήριξης και φόρτισης. Αλλά τα συνήθη πεπερασµένα στοιχεία έχουν πολύπλοκα µητρώα δυσκαµψίας και εµφανίζουν δυσκολίες, ιδιαίτερα στην αντιµετώπιση των µη γραµµικών προβληµάτων (Argyris 1978, 1981, 1984). Η ράβδος δικτυώµατος είναι το πεπερασµένο στοιχείο µε το απλούστερο τοπικό µητρώο δυσκαµψίας και ένα δικτύωµα έχει επίσης απλό καθολικό µητρώο δυσκαµψίας. Ένα δικτυωτό προσοµοίωµα µπορεί απλά να περιγράψει τη µη γραµµικότητα του υλικού µε 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 1

τους µη γραµµικούς µονοαξονικούς νόµους τάσης-παραµόρφωσης των ράβδων, καθώς και τη γεωµετρική µη γραµµικότητα µε κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας ως προς τον παραµορφωµένο φορέα και µε ενηµέρωση του απλού µητρώου δυσκαµψίας του δικτυώµατος µέσα σε κάθε βήµα µιας διαδικασίας βαθµιαίας φόρτισης. Τα δικτυωτά προσοµοιώµατα έχουν αποδειχθεί αξιόπιστα µε σύγκριση των αποτελεσµάτων τους µε άλλα σχετικά δηµοσιευµένα στοιχεία, πειραµατικά και αριθµητικά (Papadopoulos & Karayannis 1988, Papadopoulos & Xenidis 1999). Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να αναπτύξει ένα απλοποιηµένο µη γραµµικό στατικό υπολογισµό καλωδιωτών γεφυρών, κατάλληλο ιδιαίτερα για προκαταρκτικό σχεδιασµό, µε τη βοήθεια δικτυωτού προσοµοιώµατος. 2 ΤΟ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΙΚΤΥΩΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Στον επίπεδο στατικό υπολογισµό, το τοπικό µητρώο δυσκαµψίας µιας µεµονωµένης ράβδου, ως προς ένα σύστηµα αξόνων αναφοράς ΟΧΥ, µπορεί να γραφεί: EA N K l = K E + K G = c c t EA + I 3 = c c xc y N 1 0 +, (1) l o l l 2 o c x c y c y l 0 1 όπου Κ Ε ελαστική δυσκαµψία. Κ G γεωµετρική δυσκαµψία, Ε µέτρο ελαστικότητας, Α εµβαδόν διατοµής, l ο απαραµόρφωτο µήκος, c = {c x c y } συνηµίτονα κατεύθυνσης του άξονα της ράβδου, Ν αξονική δύναµη (όπου η εφελκυστική δύναµη θεωρείται θετική) και l είναι το παρόν µήκος του άξονα της ράβδου. Το καθολικό µητρώο δυσκαµψίας ενός δικτυώµατος µπορεί να γραφεί: K g = B diag ( k l k ) B t k : 1 n b, (2) όπου B = (B i k ) i : 1 n n, k : 1 n b είναι το µητρώο συνδεσµολογίας (Boole) του δικτυώµατος και n n, n b οι αριθµοί των κόµβων και ράβδων, αντίστοιχα, του δικτυώµατος. Τυχόν στοιχείο B i k του µητρώου Β είναι ίσο µε 1 εάν ο κόµβος i θεωρείται αρχή της ράβδου k, +1 εάν ο κόµβος i θεωρείται πέρας της ράβδου k, και 0 εάν η ράβδος k δεν συνδέεται µε τον κόµβο i. 2 x Σχήµα 1. Προσοµοίωση ενός στοιχείου πυλώνα (α) και ενός στοιχείου καταστρώµατος (β) µε ένα oρθογωνικό δικτυωτό στοιχείο 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 2

Όταν έχουµε να προσοµοιώσουµε ένα στοιχείο πυλώνα µιας γέφυρας µε ένα ορθογωνικό δικτυωτό στοιχείο, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1α, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους πιο κάτω τύπους, για τον καθορισµό των διατοµών των ράβδων: 2 A3 cos ϑ sinϑ 1 = 9 bd 3 8 2 3 9 bd A3 cos ϑ+ A1 = 8 2 3 9 bl A3 sin ϑ+ A 2 = 8 2. (3) Αυτοί οι τύποι ισχύουν για ϑ>21. Εάν ϑ<21, δίνουν αρνητικές τιµές για τις διατοµές ράβδων Α 1. Έτσι, για ένα στοιχείο λεπτού καταστρώµατος γέφυρας, όπου συνήθως ϑ<<21 (Σχ. 1β), µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι πιο κάτω απλοποιηµένοι τύποι για τον καθορισµό των διατοµών των ράβδων: A A 1 2 = A 3 = bl/ 2 = bd / 4. (4) Μερικές φορές, ακόµα και σε ένα στοιχείο πυλώνα, είναι πιθανό να έχουµε ϑ<21, οπότε οι πιο πάνω απλοποιηµένοι τύποι (4) µπορούν να χρησιµοποιηθούν και σ αυτήν την περίπτωση. Έχει συνταχθεί ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ, µε περίπου µόνο 250 εντολές Fortran, για το µη γραµµικό στατικό υπολογισµό ενός επίπεδου δικτυωτού προσοµοιώµατος, µε τη µέθοδο βαθµιαίας φόρτισης. Οι ράβδοι του δικτυώµατος που έχουν δηλωθεί ως καλώδια έχουν ως αρχικό ισοδύναµο µέτρο ελαστικότητας Ε eq (Ernst 1965) αυτό ενός καλωδίου χωρίς κρέµαση, Ε ο. Μέσα σε κάθε µικραύξηση του αλγορίθµου βαθµιαίας φόρτισης, για κάθε καλώδιο εκτελείται η εξής επαναληπτική διαδικασία: Χρησιµοποιώντας το ισοδύναµο µέτρο ελαστικότητας Ε eq του προηγούµενου βήµατος, βρίσκουµε µια τιµή για την παρούσα τάση του καλωδίου σ = Ε eq ε, όπου ε η παρούσα ανηγµένη αξονική παραµόρφωσή του. Αυτή η τιµή της σ αντικαθίσταται στον τύπο του Η.J. Ernst για το ισοδύναµο µέτρο ελαστικότητας του καλωδίου: E eq Eo =, (5) 2 ( ρ L) Eo 1+ 3 12σ όπου ρ = 78.5kN/m 3 είναι το ειδικό βάρος του χάλυβα και L η οριζόντια προβολή του καλωδίου. Με αυτήν τη νέα τιµή για το Ε eq, βρίσκουµε µια νέα τιµή για την τάση σ = Ε eq ε, η οποία πάλι αντικαθίσταται στην εξίσωση (5), κ.ο.κ. Για ένα επαρκώς τεταµένο καλώδιο, η σύγκλιση αυτής της επαναληπτικής διαδικασίας είναι πολύ γρήγορη. Συνήθως, σε 3 4 βήµατα η διαφορά δύο διαδοχικών τιµών της τάσης είναι 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 3

σ<0.001kn/cm 2, οπότε διακόπτεται η επαναληπτική διαδικασία. Και όσο πιο τεταµένο είναι το καλώδιο, τόσο πιο ακριβές είναι το αποτέλεσµα. 3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.1 εδοµένα Η πιο πάνω προτεινόµενη µέθοδος εφαρµόζεται σε µια τυπική καλωδιωτή γέφυρα µε δύο πυλώνες, κεντρικό άνοιγµα περίπου 200m και πλευρικά ανοίγµατα περίπου 100m το καθένα. Το µισό αυτής της συµµετρικής γέφυρας φαίνεται στο Σχήµα 2. Το ύψος του πυλώνα είναι 30m κάτω από το κατάστρωµα και περίπου 50m πάνω από αυτό. Τα καλώδια έχουν διάταξη άρπας και υπάρχουν 15 σε κάθε πλευρά του µισού κεντρικού ανοίγµατος, και άλλα 15 σε κάθε πλευρά του ακραίου ανοίγµατος, οµοιόµορφα κατανεµηµένα. Οι πυλώνες και το κατάστρωµα είναι από προεντεταµένο σκυρόδεµα, µε µέτρο ελαστικότητας Ε = 2800kN/cm 2 και ειδικό βάρος ρ = 24kN/m 3, ενώ τα καλώδια είναι από χάλυβα µε υψηλή αντοχή (τάση διαρροής) σ y = 160kN/cm 2, µέτρο ελαστικότητας Ε = 2 10 4 kn/cm 2 και ειδικό βάρος ρ = 78.5kN/m 3. Η βασική καµπύλη αξονικής τάσης παραµόρφωσης σ ε των καλωδίων φαίνεται στο κάτω δεξιά τµήµα του Σχήµατος 2. Κάθε πυλώνας αποτελείται από δύο κατακόρυφα σκέλη µε ορθογωνική διατοµή 3.0m 4.5m και δύο εγκάρσιες δοκούς της ίδιας διατοµής, όπως φαίνεται στην πλευρική όψη της γέφυρας στο πάνω δεξιά τµήµα του Σχήµατος 2. Το κατάστρωµα είναι µια λεπτή πλάκα ορθογωνικής διατοµής, µε πάχος µόνο 0.4m και πλάτος 13.0m, όπως φαίνεται επίσης στην πλευρική όψη της γέφυρας. Το κατάστρωµα συνδέεται µε τον πυλώνα µε αρθρωτό σύνδεσµο. Αυτή η τυπική καλωδιωτή γέφυρα έχει αναλυθεί από τους R. Walther et als, στις σελίδες 77-80 του κεφαλαίου 4.Parametric studies, του βιβλίου τους Cable-stayed bridges (1999). Επίσης, µια πολύ παρόµοια γέφυρα έχει κατασκευασθεί στην Ελλάδα, στον πορθµό του Ευρίπου της Χαλκίδας το 1993, σχεδιασµένη από τον ρ. Σταµάτη Σταθόπουλο και τον καθηγητή Jorg Schlaich (Virlogeux 1999). Σχήµα 2. Το µισό της εξεταζόµενης συµµετρικής καλωδιωτής γέφυρας. εδοµένα της εφαρµογής 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 4

3.2 ιακριτοποίηση Ένα επίπεδο δικτυωτό µοντέλο, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3, προσοµοιώνει το µισό της εξεταζόµενης καλωδιωτής γέφυρας. Κάθε καλώδιο του προσοµοιώµατος αντιπροσωπεύει πέντε πραγµατικά καλώδια. Αυτή η οµαδοποίηση των καλωδίων γίνεται για χάρη της οικονοµίας του υπολογισµού. Οι διατοµές των ράβδων, τόσο του καταστρώµατος όσο και του πυλώνα, υπολογίζονται µε τους απλοποιηµένους τύπους (4), διότι ακόµη και τα στοιχεία του πυλώνα είναι επιµήκη µε γωνία ϑ < 21 (δες Σχ. 1). Αυτό το δικτυωτό προσοµοίωµα έχει µόνο 28 κόµβους και έτσι έχουµε να επιλύσουµε ένα αλγεβρικό σύστηµα 56 56 µέσα σε κάθε βήµα της βαθµιαίας φόρτισης. Επίσης, φαίνεται στο Σχήµα 3δ, µε µεγαλύτερη κλίµακα, πως περιγράφεται από το προσοµοίωµα η αρθρωτή σύνδεση καταστρώµατος και πυλώνα. 3.3 Εκτίµηση µε το χέρι των δυνάµεων προέντασης των καλωδίων Θεωρώντας τη διαδικασία ανέγερσης της καλωδιωτής γέφυρας, δηλαδή την ανάρτηση διαδοχικών τµηµάτων του καταστρώµατος από τα κεκλιµένα καλώδια (Σχ. 4), µπορούµε εύκολα να εκτιµήσουµε µε το χέρι (µε απλή αριθµοµηχανή) τις δυνάµεις προέντασης των καλωδίων και, στη συνέχεια, τις απαιτούµενες διατοµές τους. Αυτή η διαδικασία περιγράφεται στον Πίνακα 1. Η αρίθµηση των καλωδίων είναι αυτή που έχει δειχθεί στο Σχήµα 3. Πρώτα, για κάθε καλώδιο, καθορίζεται το µήκος λ του αντίστοιχου τµήµατος του καταστρώµατος που αναρτάται από αυτό. Στη συνέχεια, βρίσκουµε το ίδιο βάρος W = wλ αυτού του τµήµατος του καταστρώµατος, όπου w =ρbd, ρ = 24kN/m 3 ειδικό βάρος του σκυροδέµατος και b, d πλευρές της ορθογωνικής διατοµής του καταστρώµατος, οπότε w = 24kN/m 3 0.4m 13.0m = 124.8kN/m ανά τρέχον µέτρο του καταστρώµατος. Το τµηµατικό βάρος W = wλ παραλαµβάνεται από τις δυνάµεις προέντασης δύο συµµετρικών καλωδίων, µε βάση τον τύπο Ν ο = W/2sin α (Σχ. 4). Η απαιτούµενη διατοµή ενός καλωδίου είναι Α = Ν ο /σ ο, όπου σ ο = 40kN/cm 2 είναι µια συνήθης τιµή για την τάση προέντασης, µισή από την επιτρεπόµενη τάση σ P = 80kN/cm 2, η οποία µε τη σειρά της, είναι µισή από την τάση διαρροής σ y = 160kN/cm 2 (δες κάτω δεξιά τµήµα του Σχ. 2). Σχήµα 3. α. ιακριτοποίηση του µισού της εξεταζόµενης καλωδιωτής γέφυρας. β. ικτύωση στοιχείου πυλώνα. γ. ικτύωση στοιχείου καταστρώµατος. δ. Λεπτοµέρεια σύνδεσης καταστρώµατος πυλώνα 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 5

Σχήµα 4. Ανάρτηση διαδοχικών τµηµάτων του καταστρώµατος Πίνακας 1. Προεκτίµηση των δυνάµεων προέντασης και των απαιτούµενων διατοµών καλωδίων α / α Καλωδίου 1 2 3 4 5 6 1 λ m 21.7 31.0 27.9 27.9 31.0 31.0 2 W = wλ/2 kn 1354 1935 1741 1741 1934 1934 3 Ν ο = W /sinα kn 2943 4204 3785 3785 4204 4204 4 Α = Ν ο /σ ο cm 2 73.6 105.1 94.6 94.6 105.1 105.1 3.4 Κατακόρυφες φορτίσεις Ο µη γραµµικός στατικός υπολογισµός του δικτυωτού προσοµοιώµατος του Σχήµατος 3 της εξεταζόµενης γέφυρας του Σχήµατος 2, εκτελέσθηκε, µε το προτεινόµενο πρόγραµµα ΗΥ, για τις πιο κάτω κατακόρυφες φορτίσεις. 3.4.1 Μόνιµα φορτία Αυτά οφείλονται κυρίως στο ίδιο βάρος w/2 = ρbd/2 = 24kN/m 3 0.4m 13.0m/2 = 62.4kN/m ανά τρέχον µέτρο του καταστρώµατος. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Σχήµα 5α.. Οι βυθίσεις είναι µικρές µε µέγιστη βύθιση στο κέντρο του µεσαίου ανοίγµατος max υ = 0.81m. Έτσι, το παραµορφωµένο σχήµα της γέφυρας λόγω µόνιµων φορτίων ελαφρά µόνο αποκλίνει από το σχεδιασµένο σχήµα του (δες επίσης Wang & Yang 1996). Παρατηρούµε αξιοσηµείωτη προσέγγιση µεταξύ των αξονικών δυνάµεων των καλωδίων λόγω µόνιµων φορτίων του Σχήµατος 5α, που υπολογίσθηκαν από τον ΗΥ και των αντίστοιχων δυνάµεων προέντασης των καλωδίων του Πίνακα 1 που προεκτιµήθηκαν µε το χέρι, µε µέγιστη απόκλιση µικρότερη από 2.5%. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 6

Σχήµα 5. Κατακόρυφες φορτίσεις. α. Μόνιµα φορτία. β. Κινητά φορτία στο µεσαίο άνοιγµα. γ. Κινητά φορτία στο πλευρικό άνοιγµα 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 7

3.4.2 Κινητά φορτία στο µεσαίο άνοιγµα Αυτά οφείλονται κυρίως στα οχήµατα και παριστάνονται µε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη φόρτιση p/2 = 22kN/m ανά τρέχον µέτρο καταστρώµατος, όπως συστήνεται από τους Κανονισµούς (Walther et als 1999, σελ. 77). Τα αποτελέσµατα δείχνονται στο Σχήµα 6β. Η µέγιστη βύθιση στο κέντρο του µεσαίου ανοίγµατος είναι max υ = 1.58m. Οι εφελκυστικές αξονικές τάσεις των καλωδίων στο µεσαίο άνοιγµα είναι αυξηµένες, όπως αναµενόταν, µέχρι max σ = 5917kN/105.1cm 2 = 56.3kN/cm 2 > 40 = σ ο στο εξωτερικό καλώδιο. 3.4.3 Κινητά φορτία στο πλευρικό άνοιγµα Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Σχήµα 5γ. Παρατηρούµε µειωµένες βυθίσεις µε µέγιστη τιµή στο κέντρο του µεσαίου ανοίγµατος max υ = 0.51m. Ενώ οι τάσεις των καλωδίων είναι αυξηµένες στο πλευρικό άνοιγµα, όπως αναµενόταν, µέχρι max σ = 5836kN/105.1cm 2 = 55.5kN/cm 2 > 40 = σ ο στο µεσαίο καλώδιο. 3.5 Σύγκριση µε άλλα δηµοσιευµένα στοιχεία Μερικά αντιπροσωπευτικά αποτελέσµατα από τις πιο πάνω περιπτώσεις φόρτισης, που αναλύθηκαν µε το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα και το πρόγραµµα ΗΥ για τη βαθµιαία φόρτισή του, συγκρίνονται, όπως φαίνεται στο Σχήµα 6, µε αντίστοιχα αποτελέσµατα της ίδιας γέφυρας από την ανάλυση των R. Walther et als (4.Parametric studies, p.77-80). Στο Σχήµα 6α, οι ροπές κάµψης του πυλώνα, στην περίπτωση κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα, που υπολογίσθηκαν στην παρούσα εργασία, βρίσκονται σε ικανοποιητική προσέγγιση µε τα αποτελέσµατα των R. Walther et als. Ενώ, στο Σχήµα 6β, οι θλιπτικές αξονικές δυνάµεις του πυλώνα, λόγω µόνιµων φορτίων, βρίσκονται, µε την προτεινόµενη εδώ µέθοδο, µεγαλύτερες από εκείνες των R. Walther et als. Αυτό σηµαίνει ότι, σύµφωνα µε την προτεινόµενη µέθοδο, περισσότερο από 90% των κατακόρυφων φορτίων παραλαµβάνεται από τον πυλώνα και το µικρό υπόλοιπο από το ακρόβαθρο, πράγµα που είναι λογικό για το στατικό σύστηµα µιας καλωδιωτής γέφυρας και µε την πλευρά της ασφάλειας, όσον αφορά τη διαστασιολόγηση των διατοµών του πυλώνα. Ικανοποιητική προσέγγιση παρατηρείται επίσης µεταξύ των αποτελεσµάτων της προτεινόµενης εδώ µεθόδου και των αντίστοιχων των R. Walther et als, όσον αφορά τις θλιπτικές αξονικές δυνάµεις του καταστρώµατος λόγω µόνιµων φορτίων (Σχ. 6γ). Ενώ, στις καµπτικές ροπές του καταστρώµατος λόγω κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα (Σχ. 6δ), τις βυθίσεις του καταστρώµατος λόγω κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα (Σχ. 6ε) καθώς και στο πλευρικό άνοιγµα (Σχ. 6ζ), παρατηρούνται κάποιες παραδεκτές διαφορές µεταξύ των αποτελεσµάτων της παρούσας µεθόδου και εκείνων των R. Walther et als, οι οποίες οφείλονται κυρίως στην αραιή διάταξη των καλωδίων στο προσοµοίωµα. 3.6 Σεισµός παράλληλα προς τον άξονα του καταστρώµατος Το εξεταζόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα γέφυρας επιλύθηκε στατικά και για σεισµικά φορτία αδράνειας mγ σε όλους τους κόµβους, παράλληλα προς τον άξονα του καταστρώµατος, κατευθυνόµενα προς τα αριστερά, όπου m αντίστοιχη µάζα κόµβου, γ = 0.6g και g επιτάχυνση της βαρύτητας. Αυτά τα σεισµικά φορτία αποτελούν µία αντισυµµετρική φόρτιση. Αλλά, µία αντισυµµετρική φόρτιση δεν είναι δυνατή στη γέφυρα, διότι πάντα υπάρχουν τα συµµετρικά µόνιµα φορτία, καθώς και συµµετρικό µερίδιο κινητών φορτίων. Επίσης, δεν µπορεί να γίνει επαλληλία συµµετρικών και αντισυµµετρικών φορτίσεων, διότι δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας, λόγω των µη γραµµικοτήτων, αφενός του υλικού που οφείλονται στη χαλάρωση των καλωδίων και αφετέρου των γεωµετρικών, που οφείλονται στις µεγάλες µετακινήσεις του καταστρώµατος κυρίως, αλλά και των πυλώνων, καθώς και στην κρέµαση των καλωδίων. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 8

Σχήµα 6. Σύγκριση µε τα αποτελέσµατα του βιβλίου των Walther R. et als. α. Ροπές κάµψης στον πυλώνα λόγω κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα. β. Αξονικές δυνάµεις στον πυλώνα λόγω µόνιµων φορτίων. γ. Αξονικές δυνάµεις στο κατάστρωµα λόγω µόνιµων φορτίων. δ. Ροπές κάµψης στο κατάστρωµα λόγω κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα. ε. Βυθίσεις του καταστρώµατος λόγω κινητών φορτίων στο µεσαίο άνοιγµα. ζ. Βυθίσεις του καταστρώµατος λόγω κινητών φορτίων στο πλευρικό άνοιγµα. Συµβολισµοί: αποτελέσµατα των Walther R. et als, αποτελέσµατα παρούσας εργασίας 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 9

Σχήµα 7. Επίλυση ολόκληρης της γέφυρας για συνδυασµό µόνιµων φορτίων και σεισµού παράλληλα προς τον άξονα του καταστρώµατος Για τους πιο πάνω λόγους, επιλύθηκε ολόκληρη η γέφυρα για τα οριζόντια σεισµικά φορτία αδράνειας. Κατά τη διακριτοποίηση ολόκληρης της γέφυρας, το δικτυωτό προσοµοίωµα έχει 54 κόµβους, οπότε απαιτείται η επίλυση ενός αλγεβρικού συστήµατος 108 108, µέσα σε κάθε βήµα της βαθµιαίας φόρτισης. Τα σεισµικά φορτία συνδυάσθηκαν µε τα συµµετρικά µόνιµα φορτία. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Σχήµα 7. Η µέγιστη βύθιση στο µεσαίο άνοιγµα είναι maxυ = 2.76m. Παρατηρείται µία κατάσταση κοντά στη χαλάρωση στο σηµαντικό εξωτερικό καλώδιο του αριστερού πλευρικού ανοίγµατος (καλώδιο στήριξης, back-stay) µε τάση σ = 541kN/73.6cm 2 =7.35kN/cm 2 << 40 = σ ο. Αντίθετα, παρατηρείται υπέρταση στο εξωτερικό καλώδιο του αριστερού τµήµατος του µεσαίου ανοίγµατος µε τάση σ = 7610kN/105cm 2 =72.5kN/cm 2 >> 40 = σ ο. 3.7 Ανάλυση µεµονωµένων καλωδίων Το ίδιο σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ, που αναφέρθηκε πιο πάνω, µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τη µη γραµµική ανάλυση ενός µεµονωµένου καλωδίου, διακριτοποιηµένου σε διαδοχικά µικρά τµήµατα, για βαθµιαίες προδιαγραµµένες µετατοπίσεις των στηρίξεών του. Από τη στατική ανάλυση ολόκληρης της γέφυρας, βρίσκονται οι µετατοπίσεις των άκρων του εξεταζόµενου καλωδίου στα δύο σηµεία που συνδέεται µε πυλώνα και κατάστρωµα, και στη συνέχεια, εισάγονται ως δεδοµένα στη λεπτοµερή ανάλυση του µεµονωµένου καλωδίου. Η θεώρηση της γεωµετρικής δυσκαµψίας είναι αυτή που επιτρέπει να µελετήσουµε ένα τεταµένο καλώδιο ως σταθερό φορέα, διότι, κάθετα προς τον άξονά του, η µόνη δυσκαµψία που υπάρχει είναι η γεωµετρική. Έχουν αναλυθεί, µε τον πιο πάνω τρόπο, τα δύο κυρίως επηρεαζόµενα καλώδια της τελευταίας περίπτωσης φόρτισης µε τα σεισµικά φορτία αδράνειας. Στο Σχήµα 8α, φαίνεται το παραµορφωµένο σχήµα και το διάγραµµα ελεύθερου σώµατος για το εξωτερικό καλώδιο του αριστερού πλευρικού ανοίγµατος (καλώδιο στήριξης, back-stay), το οποίο είναι σε κατάσταση κοντά στη χαλάρωση. Ενώ, στο Σχήµα 8β, παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράµµατα στο εξωτερικό καλώδιο της αριστερής πλευράς του µεσαίου ανοίγµατος, το οποίο βρίσκεται σε κατάσταση υπέρτασης. Στην περίπτωση του χαλαρού καλωδίου (Σχ. 8α), τα αποτελέσµατα εµφανίζουν κάποια απόκλιση σε σχέση µε αυτά της ανάλυσης ολόκληρης της γέφυρας, όπου χρησιµοποιήθηκε η προσεγγιστική µέθοδος του Ernst για τα καλώδια, διότι, όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, ο τύπος του Ernst είναι λιγότερο ακριβής για καλώδια κοντά στη χαλάρωση. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 10

Σχήµα 8. α. Χαλάρωση του εξωτερικού καλωδίου του αριστερού πλευρικού ανοίγµατος (καλώδιο στήριξης, back-stay). β. Υπέρταση του εξωτερικού καλωδίου της αριστερής πλευράς του µεσαίου ανοίγµατος 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 1. Το προτεινόµενο δικτυωτό προσοµοίωµα εφαρµόσθηκε σε µια τυπική καλωδιωτή γέφυρα µεσαίου µεγέθους. Η ικανοποιητική προσέγγιση των αποτελεσµάτων µε άλλα αντίστοιχα δηµοσιευµένα στοιχεία έδειξε ότι το δικτυωτό προσοµοίωµα είναι αξιόπιστο και µπορεί να φανεί χρήσιµο ιδιαίτερα στον προκαταρκτικό σχεδιασµό καλωδιωτών γεφυρών. 2. Έχει συνταχθεί ένα σύντοµο πρόγραµµα ΗΥ, µε µόνο 250 περίπου εντολές Fortran, για τη µη γραµµική στατική ανάλυση, µε βαθµιαία φόρτιση ενός επίπεδου δικτυωτού προσοµοιώµατος καλωδιωτής γέφυρας. Το ίδιο πρόγραµµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µη γραµµική στατική ανάλυση ενός διακριτοποιηµένου µεµονωµένου καλωδίου, για βαθµιαίες προδιαγραµµένες µετατοπίσεις των στηρίξεών του. 3. Οι δυνάµεις προέντασης των καλωδίων µπορούν να προεκτιµηθούν, µε πολύ απλό τρόπο, µε το χέρι (µε απλή αριθµοµηχανή), θεωρώντας τη διαδικασία ανέγερσης της γέφυρας, δηλαδή την ανάρτηση διαδοχικών τµηµάτων του καταστρώµατος από τα κεκλιµένα καλώδια. Οι τιµές των δυνάµεων προέντασης των καλωδίων, που προεκτιµούµε µε το χέρι, προσεγγίζουν ικανοποιητικά τις δυνάµεις των καλωδίων που µας δίνει το πρόγραµµα ΗΥ για τα µόνιµα φορτία. 4. Σεισµικά φορτία αδράνειας, παράλληλα προς τον άξονα του καταστρώµατος, µπορούν να προκαλέσουν µία κατάσταση κοντά στη χαλάρωση σε εξωτερικά καλώδια πλευρικών ανοιγµάτων (καλώδια στήριξης, back-stays) και υπέρταση σε εξωτερικά καλώδια του µεσαίου ανοίγµατος. 5. Κατά τη µη γραµµική στατική ανάλυση ενός µεµονωµένου καλωδίου, η θεώρηση της γεωµετρικής δυσκαµψίας επιτρέπει να µελετήσουµε ένα τεταµένο καλώδιο ως σταθερό φορέα. Έτσι, µπορούµε να µελετήσουµε ακόµη και µια κατάσταση κοντά στη χαλάρωση. 6. Λόγω της ιδιοµορφίας του στατικού συστήµατος µιας καλωδιωτής γέφυρας, το σύνολο σχεδόν των κατακόρυφων φορτίων παραλαµβάνεται από τις θλιπτικές αξονικές δυνάµεις του πυλώνα. Π.χ. στην εφαρµογή για µόνιµα φορτία της παρούσας εργασίας, η κατακόρυφη αντίδραση του πυλώνα προέκυψε περίπου 42,500kN (4,250tf), ενώ η κατακόρυφη αντίδραση του ακροβάθρου µόλις 350kN (35tf). Αυτή η µεγάλη επιβάρυνση του πυλώνα επιβάλλει ιδιαίτερη προσοχή στη θεµελίωσή του, καθώς και στη διαστασιολόγηση των διατοµών του. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 11

7. Από την άλλη µεριά, όµως, η πυκνή διάταξη των καλωδίων, σε µια καλωδιωτή γέφυρα, συνεπάγεται µικρές ροπές κάµψης του καταστρώµατος, πράγµα που επιτρέπει την κατασκευή λεπτής πλάκας καταστρώµατος, άρα πολύ ελαφριά γέφυρα, µε ευνοϊκές συνέπειες στη θεµελίωσή της. Π.χ. στη γέφυρα του Ευρίπου, η πλάκα του καταστρώµατος έχει πάχος µόνο 45cm. 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Argyris, J.H. I. 1978, II. 1981, III. 1984. Editor. Fe. No. Mech. (Finite Elements in Non-linear Mechanics). Conferences. Institute for Statics and Dynamics. Stuttgart. Ernst, H.J. 1965. Der E-Modul von Seilen unter Berüchsichtigung des Durchhanges. Der Bauingenieur, Vol. 40, No 2, p. 52-55. Nazmy, A. & Abdel-Ghaffar, A. 1990. Three-dimensional non-linear static analysis of cable-stayed bridges. Computers and Structures, Vol. 34, No 2, p. 257-271. Papadopoulos, P.G. & Karayannis, C. 1988. Seismic analysis of RC frames by network models. Computers and Structures, Vol. 28, No 4, p. 481-494. Papadopoulos, P.G. & Xenidis, H. 1999(2). A truss model with structural instability for the confinement of concrete columns. European Earthquake Engineering, p. 57-88. Papadopoulos, P.G., Arethas, J. & Lazaridis, P. 2005. Numerical study on the behavior of cables of cable-stayed bridges. 5 th ERES (Earthquake Resistant Engineering Structures) Conference, Proc. p. 473-484, Skiathos. Virlogeux, M. 1999. Recent evolution of cable-stayed bridges. Engineering Structures, Vol. 21, No 8, p. 737-755. Walther, R., Houriet, B., Isler, W., Moia, P. & Klein, J.F. 1999. Cable-stayed bridges. 2 nd edition, Th. Telford. Wang, P.-H. & Yang, C.-G. 1996. Parametric studies of cable-stayed bridges. Computers and Structures, Vol. 60, No 2, p. 243-260. Wu, Q., Takahashi, K. & Nakamura, S. 2003. The effect of cable loosening on seismic response of a prestressed concrete cable-stayed bridge. Journal of Sound and Vibration, Vol. 268, No 1, p. 71-84. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 12