1 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ι ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2012 06-02-2012 Θέμα 1 ο Να υπολογιςθεί ο κεντρικόσ άξονασ του ςυςτήματοσ των δυνάμεων του ςχήματοσ. Λύςη: Μεταφέρουμε το ςύςτημα των δυνάμεων και των ροπών ςτην αρχή του ςυςτήματοσ των αξόνων Ο. Έτςι θα έχουμε μια ςυνιςταμένη δύναμη R Ο και μια ςυνιςταμένη ροπή M Ο R Ο=0i+300j+600k =1000i+600j+ + =1000i+600j+3-4 =1000i+600j+3*600i+4*300k =1000i+600j+1800i+1200k =2800i+600j+1200k Η διανυςματική απόςταςη r ενόσ τυχαίου ςημείου Α του κεντρικού άξονα από την αρχή των αξόνων Ο ωσ προσ το οποίο έχουμε ανάγει το αρχικό μασ ςύςτημα είναι : r= R Οx = = -600 =1.680.000j-840.000k
2 Η παράςταςη τησ είναι: = =450.000kN Άρα η διανυςματική απόςταςη είναι r: OA=r=.... OA=r= Άρα το ςημείο Α που ανήκει ςτην ευθεία του κεντρικού άξονα θα έχει ςυντεταγμένεσ: Α(x A=0, y A=3,7333, z A=-1,867) Οι παραμετρικέσ εξιςώςεισ τησ ευθείασ του κεντρικού άξονα που περνάει από το ςημείο Α(x A, y A, z A) και είναι παράλληλη ςτο διάνυςμα τησ R Ο(R x, R y, R z) είναι x=x A+λR x x=0+t x=0 y=y A+λR y y=3,7333+300t z=z A+λR z z=-1,867+600t
3 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ - ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ι - ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 06-02-2012 Θέμα 2 ο Για τουσ τρεισ φορείσ του ςχήματοσ να προςδιορίςετε και να εξηγήςετε: a. αν ο φορέασ ιςορροπεί ή έχει δυνατότητα κίνηςησ. b. για τον/τουσ φορείσ που ιςορροπούν να υπολογιςθούν οι αντιδράςεισ των ςτηρίξεων. Λύςη: (1) a. Ο φορέασ ιςορροπεί αφού και οι τρεισ αντιδράςεισ ούτε παράλληλεσ είναι ούτε διέρχονται από το ίδιο ςημείο. (βλέπε διπλανό ςχήμα) b. F x=0 B x=f 1 F y=0 A y=b y 2 Μ (B) = A yl-fl= A y=f 3, Η2 3 B y=f (2). a. Ο φορέασ δεν ιςορροπεί γιατί οι διευθύνςεισ των τεςςάρων εξωτερικών αντιδράςεων διέρχονται από το ίδιο ςημείο(β) και άρα ο φορέασ μπορεί και ςτρέφεται γύρω από αυτό υπό την επίδραςη οποιαδήποτε δύναμησ. b. Δεν έχει νόημα ο υπολογιςμόσ των αντιδράςεων.
4 (3). a. Ο φορέασ ιςορροπεί αφού και οι τρεισ αντιδράςεισ ούτε παράλληλεσ είναι ούτε διέρχονται από το ίδιο ςημείο. (βλέπε διπλανό ςχήμα) b. F x=0 0,707Α-B x+f-0,707c=0 4 F y= 0,707Α+0,707C=0 A=-C 5 Μ (B) = 0,707ΑL+F -0,707CL=0 0,707Α+0,5F=0,707C 6 Η 6 5 C=0,3536F 7 Η 5 7 Α=-0,3536F 8 H 4 8 B x=0,5f
5 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ - ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ι - ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 06-02-2012 Θέμα 3 ο Φρηςιμοποιώντασ την μέθοδο των τομών Ritter να προςδιορίςετε τισ τάςεισ των ράβδων DE, DJ, DK και JK του δικτυώματοσ γέφυρασ Parker του ςχήματοσ. Λύςη: ΕΤΡΕΗ ΕΞΩΣΕΡΙΚΩΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΩΝ Για όλον τον φορέα θα έχω: F x=0 Α x= 1 F y= Α y+g y= 5 2 Μ (A) = * * 5 * 5 * 5 * -48G y= G y=350 3 Η 2 3 Α y=650-350 Α y=300 4 ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΥΟΡΕΑ εφφ= φ= ο (βλέπε παραπάνω ςχήμα) 5 εφθ= θ=51,34 ο (βλέπε παραπάνω ςχήμα) 6
6 ΕΤΡΕΗ ΣΑΕΩΝ ΡΑΒΔΩΝ S DE, S KD, S JK Από το Δ.Ε.. του κάτωθι ςχήματοσ θα έχω: Εύρεςη τάςησ ράβδου S DE Μ (Κ) = 10S DE+150*8-350*16=0 S DE=440kN 7 Εύρεςη τάςησ ράβδου S JK Μ (D) = -S JK10cosφ-S JK8sinφ+150*8+150*16-350*24=0 5 S JK=-412,333kN 8 Εύρεςη τάςησ ράβδου S DK F x=0 S JKcosφ+S DKcosθ+S DE=0 5 6 7 8-400+0,6247S DK = S DK=-64,031kN 9 ΕΤΡΕΗ ΣΑΕΩ ΡΑΒΔΟΤ S JD Από Δ.Ε.. του κάτωθι ςχήματοσ θα έχω: Βρίςκω πρώτα την τάςη τησ ράβδου S JΙ και ςτη ςυνέχεια την τάςη τησ ζητούμενησ ράβδου. Μ (D) = -S JI12cosφ+150*8+150*16-350*24=0 5 S JI=-412,333kN 10 F y= S JIsinφ+S JD+S KDsinθ -350=0 5 6 10 S JD=200kN
7 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ - ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ι - ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 06-02-2012 Θέμα 4 ο Για τον ςύνθετο φορέα του ςχήματοσ να αποδειχθεί η ιςοςτατικότητα και ςτερεότητα του και να υπολογιςθούν όλεσ οι αντιδράςεισ των εςωτερικών ςυνδέςμων και ςτηρίξεων. Λύςη: ΣΕΡΕΟΣΗΣΑ Πρόκειται για τρεισ δίςκουσ (ΑE, CD, EBF) που ενώνονται ανά δυο μεταξύ τουσ μέςω εςωτερικών αρθρώςεων οι οποίεσ δεν βρίςκονται ςτην ίδια ευθεία. (ΣΡΙΑΡΘΡΩΣΟ ΣΟΞΟ). Άρα αυτούσ τουσ τρεισ δίςκουσ μπορούμε να τουσ δούμε ςαν έναν ςτερεό δίςκο που έρχεται ςε επαφή με το έδαφοσ μέςω μιασ άρθρωςησ και μιασ κύλιςησ των οποίων οι αντιδράςεισ ούτε είναι παράλληλεσ ούτε διέρχονται από το ίδιο ςημείο. Άρα ο φορέασ μασ είναι ςτέρεοσ. ΙΟΣΑΣΙΚΟΣΗΣΑ αριθμόσ δίςκων: δ=3 αριθμόσ εςωτερικών αντιδράςεων: ς=6 αριθμόσ εξωτερικών αντιδράςεων: ξ=3 Θα έχουμε: ξ ς= είναι ιςοςτατικόσ. =9= δ= * =9. Άρα ο φορέασ ΕΤΡΕΗ ΕΞΩΣΕΡΙΚΩΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΩΝ F x=0 Α x-0,5*20+10cos30=0 Α x=1,34kip 1 F y= Α y+b y=10sin30+15 Α y+b y=20 2 Μ (A) = 0*10+15*25+10sin30*10-10cos30*20- -20B y= B y=17,590kip 3 Η 2 3 Α y=2,41kip 4
8 ΕΤΡΕΗ ΕΩΣΕΡΙΚΩΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΩΝ C,D Ε Κάνω τέτοιο Δ.Ε.. ώςτε η νοητή γραμμή του να διέρχεται από την εςωτερική άρθρωςη Ε να κόβει τον δίςκο CD ςε τυχαίο ςημείο και ςτη ςυνέχεια να απομονώνει το δεξί τμήμα του φορέα. (βλέπε διπλανό ςχήμα) Ο δίςκοσ CD ςυμπεριφέρεται ςαν ράβδοσ για αυτό και ςτο Δ.Ε.. βάζω μόνο αξονική δύναμη S. Μ (E) = 5* 5-17,59*10+S* = S=-4,91kip 5 F x= Ε 5 x-s=0 Ε x=-4,91kip 6 F y= E y+17,59-5= E y=-2,59kip 7
9 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ - ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ι - ΕΞΕΣΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 06-02-2012 Θέμα 5 ο Για την απλή δοκό του ςχήματοσ να προςδιοριςτούν οι εξιςώςεισ των φορτίων διατομήσ ςτα χαρακτηριςτικά ςημεία τησ δοκού και ακολούθωσ να γίνουν τα διαγράμματα Ν,Q,M. Λύςη: ΕΤΡΕΗ ΕΞΩΣΕΡΙΚΩΝ ΑΝΣΙΔΡΑΕΩΝ F x=0 B x=0 1 F y=0 A y+b y=40*12+400 A y+b y=880 2 Μ (B) = 400*10+40*12(20+ )-32A y=0 A y=515lb 3 H2 3 Β y=880-515 Β y=365lb Σομή ΑC ( x 12) F x=0 Ν(x)=0 F y= Q(x)+40x-515= Q(x)=515-40x, Q(0)=515lb, Q(12)= 35lb Μ= M(x)+40x -515x= M(x)=- +515x M(0)=0 lbin, M(12)=3300lbin Σομή CD( x ) F x= Ν(x)=0 F y= Q(x)=35 Μ= M(x)-3300-35x= M(x)=3300+35x, M(0)=3300lbin, M(6)=3510lbin
10 Σομή DB( x 14) F x=0 Ν(x)=0 F y= Q(x)=-365 Μ= M(x)-365x= M(x)=365x, M(0)=0, M(14)=5110lbin Σομή EF( x 4,0) F x=0 Ν(x)=0 F y=0 Q(x)=400 Μ= M(x)+400x= M(x)=-400x, M(0)=0, M(4)=-1600lbin Σομή DF( x L) F x=0 Q (x)=0 F y=0 Ν(x)=400 Μ= M(x)=-1600
11