Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για τα πολυώνυμα Πολυώνυμα 881. Δίνονται τα πολυώνυμα P( ) 5, Q( ) 1 P( ) Q( ) ;, P( ) Q( ) ; P( )Q( ) ;, P ( ) ; 88. Να βρεις τα α,β,γ,δ ώστε να είναι μηδενικό το πολυώνυμο : 88. Αν P ( ) ( 1) ( 1) ( ) P( ) ( ) 1, Q( ) ( ) ( ) Βαθμός,πολυωνύμου P( ) Q( :κοίταξε ),τη, ; μεγαλύτερη δύναμη του χ, η οποία έχει συντελεστή διάφορο του μηδέν. 884. 885. Να βρεις το βαθμό του P ( ) a 4a 4a a Τι βαθμού είναι το πολυώνυμο Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το P() (a 1) a (a 1) a 1, P ( ) (a ) 4 5a ( 4a ) 1 a ; : είναι ου βαθμού εκτός αν α-1=0 δηλαδή α=1 οπότε θα πρέπει να αντικαταστήσεις όπου α=1 για να δεις τι βαθμού είναι. 886. Αν P(1) 5, P( ) (a ) 4 5a ( 4a ) 1 a ; 887. Αν a 1 1,,, ; Αν P ( ) a να βρεις πότε είναι βαθμού : ου : a 0, 0, ου : 0 888. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζες τα,-, 1ου : P( ) a b a b a 4b a, b ; 0, 0, 0ου: 0, 0 χωρίς βαθμό : 0 889. Αν P ( ) Q( ), P ( ) 5 11 19, Q( ) a 5,, ; 890. Αν f ( ) 8, g ( ), h( ), f ( ) g ( )h( ) m( ) m( ) ; 891. Αν f ( ) 4 1, g ( ) 4 1, h( ) a b, f ( ) g ( )h( ) a, b ; 89. Να γράψεις το P ( ) 11 6 στη μορφή a ( 1)( ) ( 1) 89. Να γράψεις το P ( ) 1 στη μορφή a ( 1) ( 1)( ) ( 1)( )( ) 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 a 1 ( ),, ; 894. Αν 895. Να βρεις τα α,β,γ,δ ώστε : 4 1 a 896. Να γράψεις το 4 1 ως γινόμενο δύο δευτεροβάθμιων πολυωνύμων a 4 4 897. Να βρεις τα α,β,γ ώστε : Μηδενικό πολυώνυμο το P( ) 0 Μηδενικού βαθμού ή σταθερό : P( ) a, a 0 898. Ν.δ.ο. είναι σταθερό το P a ( ) ( ) ( ) ( ) 899. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι ανεξάρτητο του χ το κλάσμα : b a a b a (5a b 1) 4a 0 P( ) : P( ) 4 1 9 900. Να βρεις το 901. Να βρεις το ( ) : P 4 P( ) 4 1 1 4 P( ) : P( ) 8 1 6 1 90. Να βρεις το 90. Ν.δ.ο. γράφεται ως τέλειο τετράγωνο το P 4 ( ) 4 10 1 9 904. Δίνονται τα πολυώνυμα P Q P Q P Q P Q P ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ;, ( ) ( ) ;. ( ) ; 905. Να βρεις την τιμή του α ώστε το πολυώνυμο P( ) ( a ) ( a a ) a 4 να είναι το μηδενικό 906. Ν.δ.ο. το πολυώνυμο είναι διάφορο του μηδενικού : P a b a b ( ) ( ) ( 6) 907. Να βρεις τις τιμές των a, b, c : P( ) a ( a b) c b, Q( ) ( c a) 4 a b να είναι ίσα 908. Να βρεις το α ώστε το P( ) 9 8 7 να πάρει μορφή a ( ) ( )( 9) 909. Να βρεις το πολυώνυμο Κ(χ) ώστε : 4 K ( ) 4 4 910. Ν.δ.ο. για κάθε α το πολυώνυμο δεν έχει ρίζα το 911. Να βρεις το πολυώνυμο 1, ( ) ( 1) ( ) 5 P a a a P P 5 4 ( ) : 1 ( ) 91. Δίνεται το P P a a ( ) 5, ( 1) 1 ;
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 91. Να γίνουν οι διαιρέσεις : 5 11 4 1 5 : 5 4 1, 6 4 19 15 6 :, 4 6 5 1 : 1, 1 : 1 : 1, 4 : ( 1) 914. Αν P P 915. Αν ( ) 5 4 ( ) : ; f f f f ( ) ( ) ( 1) : (1 ) ; a 5a a : a a, a : ( a) 6 6 916. Να γίνουν οι διαιρέσεις : 8 917. Με τη χρήση του Horner να γίνουν οι διαιρέσεις : 918. Αν 4 4 1 :, a 5 a : ( a) P P P 5 4 ( ) 50 70 60 40 07 (10), ( 1) ; 919. Να βρεις το α ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια,, 5 6 1 : ( ), 1 : ( 1), a : ( ) P( ) a 1 5a 6 a 1 90. Να βρεις το α ώστε το χ+1 να είναι παράγοντας του : 91. Να βρεις το α ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης να είναι 5. ( a 1) (5a ) 7 : ( ) P( ) a 4 a ( a ) είναι πρώτου βαθμού, να βρεις το α 9. Αν το 9. Αν P( ) ( a 4) ( a) ( a ) a 8 είναι σταθερό, να βρεις το α. P( ) a 1 a a a 1, να βρεις το βαθμό του 94. Αν 95. Αν P a Q a a P Q a 96. Αν ( ) 6, ( ) 6, ( ) ( ) ; 6 4 P P 1 ( ) 5 8 ( ) ; Διαίρεση πολυωνύμων Ταυτότητα της διαίρεσης : πολυώνυμο P(), διαιρέτης το δ(χ), πηλίκο το π(χ) και υπόλοιπο το υ(χ) τότε : P()=δ(χ)π(χ)+υ(χ), όπου ο βαθμός του υπολοίπου μικρότερος του βαθμού του διαιρέτη. Τέλεια διαίρεση : το υ(χ)=0 97. Αν 98. Αν 99. Αν P( ) a ( a), Q( ) ( ) 4 a, να βρεις α,β,γ ώστε να είναι ίσα P( ) ( a ) ( 6) a b, να βρεις τα α,β ώστε να είναι μηδενικό P( ) 9 8 7, Q( ) a( ) ( )( 9), να βρεις το α ώστε να είναι ίσα 90. Αν P Q P Q 4 ( ) 4 4, ( ) ( ) ( ) ; 91. Αν P P a a ( ) 5, ( ) 1 ;
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 9. Ν.δ.ο. αν το πρώτο πολυώνυμο έχει ρίζα το -1 τότε το ίδιο ισχύει και για το δεύτερο, όπου P( ) ( a 1) a, Q( ) 4 ( a 1) Ρίζα, παράγοντας πολυωνύμων 9. Να βρεις α,β ώστε να είναι παράγοντες τα, του α είναι ρίζα P( a) 0 α ρίζα ( a) παράγοντας P() διαιρείται με χ-α το α ρίζα, το χ-α παράγοντας P a b a b b b ( ) ( ) ( 5 ) 6 1 94. Αν 4 P( ) a έχει παράγοντες τα 1, 1, 1,, ; 95. Να εξετάσεις αν έχει πρωτοβάθμιο παράγοντα το P 6 4 ( ) 96. Να βρεις το πολυώνυμο όπου όταν διαιρεθεί με 1, δίνει πηλίκο χ-1 και υπόλοιπο χ+5 4 97. Να βρεις τα a, b : P( ) 1, Q( ) a b και η διαίρεσή τους αφήνει υπόλοιπο 0 98. Να βρεις τα α,β ώστε το P u P a b ( ) : 6 0, ( ) 4 P( ) a a a 1 (4a 1) δια 99. Ν.δ.ο. το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι ανεξάρτητο του α : χ+ 940. Ν.δ.ο. αν το P( ) έχει παράγοντα το χ-5 τότε το πολυώνυμο P( ) έχει παράγοντα το χ-4 941. Να βρεις τα α,β ώστε το 94. Να βρεις τα α,β ώστε το έχει παράγοντα το 1 P a b ( ) ( 1) 5 P a b ( ) ( ) 10 να έχει παράγοντα το P( ) : ( ) u 10, P( ) : ( ) u 5, P( ) : u ; 94. Το v 944. Αν ν άρτιος φυσικός, ν.δ.ο. το χ+1 διαιρεί το 1 v 945. Πότε το χ+1 είναι παράγοντας του 1 v 946. Αν ν είναι παράγοντας του μ ν.δ.ο. 1 είναι παράγοντας του 1 947. Ν.δ.ο. το 16 διαιρεί το 17 v 1 Ο αριθμός α καλείται ρίζα του πολυωνύμου αν το P( a) 0. Το πολυώνυμο για το χ= έχει τιμή 5 : P() 5,δηλαδή βάλε όπου χ το και το αποτέλεσμα ίσο με 5 948. Ν.δ.ο. το 15 11 1 είναι πολλαπλάσιο του 1 949. Αν χ+ είναι παράγοντας του P() τότε ν.δ.ο. το χ-1 είναι παράγοντας του P(-5) 950. Ν.δ.ο. οι διαιρέσεις f ( ) : ( ), f (4 6) : ( 1) έχουν το ίδιο υπόλοιπο 951. Αν P( ) : ( 1) τότε να βρεις το υπόλοιπο της f f P ( ) : ( ), ( ) ( 5) 1 95. Να βρεις τα α,β αν το χ- είναι κοινός παράγοντας των : 4 P a b Q a b ( ) 6, ( ) 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 95. Ν.δ.ο. το 1 4 954. Να βρεις τα α,β ώστε το 955. Να βρεις τα α,β ώστε το είναι παράγοντας του P( ) a b P 5 4 ( ) 6 14 11 να διαιρείται με το 1 P a b v1 v ( ) 1 να έχει παράγοντα το 1 a b : 1, v 1 956. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι τέλεια η διαίρεση 957. Αν ποιο το πηλίκο ; P( ) v v 1, v v *, ν.δ.ο. είναι τέλεια η διαίρεση P( ) : ( 1) Το P() έχει ρίζα το τότε P()=0 Horner με, υ=0 Διαίρεση χ-,υ=0 Το P() έχει παράγοντα χ+ τότε : P(-)=0 Horner με -, υ=0 Διαίρεση χ+,υ=0, να βρεις το πηλίκο και να δείξεις ότι P( ) 0, 0 958. Να βρεις τα α,β ώστε το P a b 4 ( ) 5 1 να έχει παράγοντα το 1 959. Ποια θα ήταν τα α,β αν στην Ασκ 50 ο παράγοντας ήταν 960. Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου f() με τα χ-,χ+5 αντίστοιχα δίνει υπόλοιπο,-7. Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης f ( ) : ( )( 5) 961. Αν P( ) : ( 1), P( ) : ( ) 1, P( ) : ; 4 96. Αν P( ) a b 5 7 1, Q( ), P( ) : Q( ) ( ) 5, να βρεις τα α,β 96. Να βρεις τα α,β ώστε το f ( ) a 1 b 964. Να βρεις τα α,β ώστε το διαιρείται με 4 4 6 να διαιρεί το 5 4 P( ) a 4 b 8 8 να v 965. Αν α+β+γ=0 με P( ) a, ν.δ.ο. το P() διαιρείται με χ-1. Να βρεις το πηλίκο Π(χ). Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης του Π(χ) με χ-1 966. Αν v * P( ) 1 1, v, ν.δ.ο. διαιρείται με 967. Αν πολυώνυμο με βαθμό v, a, b, a b, ν.δ.ο. το υπόλοιπο της διαίρεσης P( ) : a b είναι 1 Το P() έχει παράγοντα το (χ-1)(χ+) P(1)=0,P(-)=0 Hornerμε 1,υ=0 και με -,υ=0 Διαίρεση με, 0 Το P() έχει παράγοντα το 5 6 P()=0,P()=0 Horner με,,υ=0 Διαίρεση με 5 6, υ=ο Το P() έχει παράγοντα το Horner με το,υ=0 και στο πηλίκο ξανά Horner με, υ=0 Διαίρεση με Το P() έχει παράγοντα το 6 9, υ=0 Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι διαίρεση με υπόλοιπο να απαιτήσεις να είναι 0. Κουράγιο 1 1και το Προσοχή το ίδιο θα γινόταν αν στις εκφωνήσεις αντί για παράγοντα ζητούσα να διαιρείται το πολυώνυμο με την αντίστοιχη ποσότητα. 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f ( a) f ( b) af ( b) bf ( a) ( ) a b a b 968. Για πολυώνυμο βαθμού ου και άνω ν.δ.ο. P( ) : ( ) P() P(1) P(1) P() 969. Ένα πολυώνυμο P P P ( ) : 1, ( ) : 11, ( ) : 6, να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) : 1 970. Ποιο το υπόλοιπο της διαίρεσης του v v 1 1 :. 971. Να κάνεις τις διαιρέσεις : 5 9 : 1, 4 7 15 : 5 97. Αν ( ) : 1 f έχει πηλίκο 5χ-1 και υπόλοιπο χ+, να βρεις τη συνάρτηση 97. Αν η διαίρεση 4 1 : a b δίνει υπόλοιπο 0, να βρεις τα α,β 974. Αν P( ) a b 4 διαιρείται με χ+1 και για χ= έχει τιμή 8, να βρεις τα α,β 975. Αν P( ) έχει παράγοντα το χ-, ν.δ.ο. το P( 1) έχει παράγοντα το χ-5 976. Αν P( ) a 1 b διαιρείται με 6, να βρεις τα α,β 977. Αν 978. Αν P( ) a ( b 1) 5 έχει παράγοντα το 1, να βρεις τα α,β P( ) ( a ) b 10 έχει παράγοντα το ( 1) 979. Αν P( ) : ( ) 10, P( ) : ( ) 5, να βρεις το υπόλοιπο του P( ) : 980. Να λύσεις τις παρακάτω εξισώσεις : 4 7 5 6 0, 7,, 0 981. Να λύσεις τις εξισώσεις : Εξισώσεις - Ανισώσεις 4 5 8 0, 4 11 0, 5 16 40 0 Να λυθεί η εξίσωση P()=0 : Βρίσκω τους διαιρέτες του σταθερού όρου και κάνω Horner με καθέναν από αυτούς μέχρι να πετύχω τον πρώτο που δίνει υ=0. Συνεχίζω την ίδια διαδικασία με το πηλίκο. Προσοχή αν δεν υπάρχει σταθερός όρος τότε βγάλε κοινό παράγοντα το χ και επανέλαβε την διαδικασία. Ιδέες : Αν το άθροισμα συντελεστών των δυνάμεων του χ είναι 0 τότε κάνε Hornerμε το 1. Αν όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί τότε κάνε Hornerμόνο με αρνητικούς αριθμούς. ΠΑΡ : πιθανές ακέραιες ρίζες : οι διαιρέτες του σταθερού όρου. ΠΡΡ : πιθανές ρητές ρίζες : τα κλάσματα που έχουν τη μορφή : έ ύ έ ά 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 98. Να λύσεις τις ανισώσεις : 1 8, 7, 4 5 6 98. Αν P ( ) να λύσεις την ανίσωση P 1 P( ) 984. Να λύσεις τις εξισώσεις : 985. Να λύσεις τις εξισώσεις : 0, 0, 15 9 0 5 9 0, 8 1 0, 6 1 8 0 4 5 4 986. Να λύσεις τις ανισώσεις : 17 15, 10 4 16 0, 1 6 0 987. Να εξετάσεις αν έχουν ακέραιες ρίζες οι εξισώσεις : 8 4 0, 4 0, 8 1 0 988. Να βρεις τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση είναι πάνω από χχ : f ( ) 7 6 989. Να βρεις τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της γραφική παράσταση της g( ) 4 f ( ) 6 βρίσκεται πάνω από την 990. Ποια τα σημεία τομής των συναρτήσεων : 991. Ποια τα σημεία τομής των συναρτήσεων : f ( ) 84 5, g( ) 14 54 4 4 f ( ) 6, g( ) 10 5 99. Να βρεις την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει τουλάχιστο μία ακέραιη ρίζα : 4 5a 0 99. Να λύσεις τις εξισώσεις : 6 6 9 5 4 8 7 0, 5 4 0, 1 0 994. Να λύσεις τις εξισώσεις : 8 4 6 17 16 0, 1 9 1 8 0 995. Να λύσεις τις εξισώσεις : 1 4 4, 1 5110 996. Να λύσεις τις εξισώσεις (αντίστροφες) : 4 4 4 1 0, 5 7 5 0 Να λυθεί η ανίσωση P()>0, P()<0 Λύνεις την εξίσωση P()=0 και μετά κάνεις πινακάκι επιλέγοντας τις περιοχές με + (>0) ή με (<0). Παγίδες : το πρόσημο ξεκινά από δεξιά και αλλάζεις κάθε φορά που συναντάς ρίζα (κυκλάκι).το νου σου, αν έχεις διπλή ρίζα δεν αλλάζεις πρόσημο. Προσοχή : P( ) 0 P( ) Q( ) 0 Q( ) 997. Να λύσεις τις εξισώσεις : 1 1 0, 6 6 4 4 8 4 6 6 998. Να λυθούν οι εξισώσεις : 9 8 0, 9 8 0, 999. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 0, 1 1 5 6 0, 1 5 0, 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1000. Να λυθούν οι εξισώσεις :, 1 1 1 4 5 5 0, 1 6 1 7 0 1001. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 1 0, 4,, 0, Προσοχή σε εξισώσεις Άρρητες (περιορισμοί και τρόπος επίλυσης) Μορφές που επαναλαμβάνονται : Θέτω Αντίστροφες εξισώσεις 100. Να λυθούν οι εξισώσεις : 100. Να λυθούν οι εξισώσεις :, 16 4, 1 1, 4 8 7 4, 4 4 1, Το πολυώνυμο P()τέμνει άξονες : για βάζω όπου y=0 και βρίσκω το, για yy βάζω όπου =0 1004. Να λυθούν οι εξισώσεις και ανισώσεις : Να βρεις πότε η γραφική παράσταση του P() : βρίσκεται πάνω από : λύσε την P()>0 βρίσκεται κάτω από : λύσε την P()<0 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της Q() : λύσε την ανίσωση P()>Q() 6 6 1, 5, 1, 1, 1005. Να λύσεις τις εξισώσεις και ανισώσεις : 0, 5 9, 4 8 7 0, 5 6 0, 4 6 4 6, 9 8 0, 6 9 8 0, 1006. Να λυθούν οι ανισώσεις : 8 4 1 1 4 0, 5 6 0 4 0, 5 9, 6 4 6 6 1007. Να λυθούν οι εξισώσεις : 8 4 1008. 4 0 1009. 1010. 9 8 0, 9 8 0, 1 1 5 6 0, 1 5 0, 1 1 1 4 1011. 101. 5 5 0, 1 6 1 7 0 4 1 0 101. 4,, 0 1014., 16 4, 1 1 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1015. 1016. 1017. 4 8 7 4, 4 4 1, 6 6 1, 5, 1, 1, Περίεργα θέματα Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ) με παράγοντες : χ-α, χ-β, χ+α, χ+β.τι βαθμού είναι το πολυώνυμο Π(χ).Να βρεις την τιμή της παράσταης α Π(-α) + β Π(-β).Να δείξεις ότι το πολυώνυμο Θ(χ)= Π(χ) + Π (χ) έχει ως παράγοντες όλους τους παράγοντες του Π(χ).Αν το Π(χ) είναι 4 ου βαθμού να βρεις τα σημεία τομής με τον χχ. Το πολυώνυμο Π(χ)=χ 5 6χ 4 +χ 5χ +0χ +6 διαιρούμενο με το πολυώνυμο Θ(χ) δίνει πηλίκο χ 5 και υπόλοιπο υ(χ). Να προσδιορίσετε τα Θ(χ) και υ(χ). Το Π(χ)=χ 4 +χ 10χ +χ +7 διαιρούμενο με το χ-ρ αφήνει υπόλοιπο 6.Να βρεις το χ-ρ Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=(χ-10)(χ-0) 0 (χ-0) 0.Τι βαθμού είναι.ποιές οι ρίζες της εξίσωσης Π(χ)=0.Ποιες οι ρίζες της εξίσωσης Π(χ)=-χ+10.Να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 Δίνονται οι εξισώσεις αχ +βχ+8 = 0 και βχ 00 +χ+9=0 οι οποίες έχουν κοινή ακέραια αρνητική ρίζα.να βρεις τα α,β. Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης : χ 00 +χ 00 +... +χ+1 με το χ+1 Να δείξεις ότι το Π(χ) = (1-χ) ν χ ν +χ-1 έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του χ χ +χ Για ποιες τιμές των α,β το Π(χ)=αχ 5 +βχ 4 +1 έχει παράγοντα το (χ-1). Έστω πολυώνυμο Π(χ).Να δείξεις ότι οι διαιρέσεις Π(χ) :(χ-), Π(χ+1):(χ-1) και Π(χ+/): (χ-1/) έχουν το ίδιο υπόλοιπο. Για ποιες τιμές των α,β το Π(χ)=χ ν+1 χ ν +βχ + α έχει παράγοντα το (χ-1). Αν το λεζ ν.δ.ο. η εξίσωση : χ 004 λχ-=0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Να λυθεί η εξίσωση : 6χ 4 +5χ +6χ +5χ +6=0 Αν το πολυώνυμο Α(χ) έχει παράγοντα το χ-5, ν.δ.ο. το Α(χ-) έχει παράγοντα το χ-4 Δίνεται το P( ) 4 4, ν.δ.ο. το χ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. Να βρεις το πηλίκο του πολυωνύμου διά χ-1. Να λύσεις την εξίσωση : P( ) 0 4 4. Να λύσεις την ανίσωση : Δίνεται το πολυώνυμο P( ) a ( b 1) b 6. Αν το 1 είναι ρίζα και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το χ+1 είναι ίσο με το ν.δ.ο. α=,β=4. Να λύσεις την ανίσωση P( ) 0 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Έστω πολυώνυμο P( ) k 1. Να βρεις το κ ώστε το πολυώνυμο διαιρούμενο με το χ-κ να αφήνει υπόλοιπο κ. Να λύσεις την ανίσωση P( ) 1. P( ) : 1 u, P( ) : 1 u 6, P( ) : 1 u ; Το Να λύσεις τις εξισώσεις : 5, 5 5 1 0, 4 0 4 4 4 Δίνεται πολυώνυμο P( ) a b 6, το οποίο όταν διαιρεθεί με το -χ, αφήνει υπόλοιπο 0 και όταν διαιρεθεί με το χ+1 αφήνει υπόλοιπο -1. Να γραφεί η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) : 1. Να λυθεί η ανίσωση P( ) 4 8 Έστω πολυώνυμο P a b ( ) ( 1) με παράγοντα το.αν P1 ( ), P ( ) το πηλίκο των διαιρέσεων του πολυωνύμου με P ( ) 8 P ( ) 0 1, αντίστοιχα, να λυθεί η εξίσωση : Θεωρούμε το P( ) ( a ) (a ) a,να σχηματίσεις το πολυώνυμο Q(α). Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες το Q(α) να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.ν.δ.ο. οι τιμές του χ είναι ρίζες του P() Θέματα από ΒΛ για τη ΓΛ Το νου σου : Πεδία ορισμού : Κλάσμα : ο παρανομαστής διάφορος του 0 Ρίζα : το όρισμά της μεγαλύτερο ή ίσο με το 0 Λογάριθμος : το όρισμά του μεγαλύτερο του 0 10
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 109. (Άσκ 1 σελ 145) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : 1 f ( ), g( ) 1, f ( ), g( ) ln 1 e (Άσκ σελ 145) Για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χχ : 1 f ( ) 4, f ( ), f ( ) e 1 1 (Άσκ σελ 145) Για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g * f ( ) 1, g( ) 1 * 4 f ( ), g( ) a b f f f a (Άσκ 7 σελ 148) Αν ( ) ( ) f ( ) 1, g( ) a, f g( ) g f ( ) a ; (Άσκ 8 σελ 148) Θέματα Δίνεται f ( ) 1, να βρεις πεδίο ορισμού, να βρεις f(),f(-), να λύσεις την εξίσωση f()=1, να βρεις που τέμνει τους άξονες Δίνεται 1 f ( ), Α. να βρεις πεδίο ορισμού, Β. να βρεις πεδίο ορισμού της g( ) f ( ), Γ. να βρεις που τέμνει άξονες, Δ. να βρεις πότε η f είναι πάνω από τον χχ Δίνεται f ( ) 7, g( ) 7, Α. να βρεις πεδία ορισμού των συναρτήσεων, Β. να βρεις πότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη g, g( ) Γ. να βρεις το πεδίο ορισμού της f ( ) f ( 1) Α. Να βρεις που τέμνει τους άξονες η 4 f ( ) 6 9 Β. Να βρεις τα σημεία τομής των συναρτήσεων f g 4 ( ) 9, ( ) 91 00 Γ. Να βρεις το πρόσημο της h( ) 5 4 1 11
ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 1 πολλαπλότητας, να βρεις a,b,c και να λυθεί η ανίσωση P( ) 0, P( ) 4 a b 5 c Να λυθεί η ανίσωση : 1049. 1 1 Να λυθούν οι εξισώσεις : * 4 4 4 1, * 4 0, * 6 6 1 Περίεργες εξισώσεις : * 10 5 49 0, * 1 8 1 0, * 4 5 8 5 1 0, * 7 1 4 4 5 0, * 4 17 0, * 1 7 1 4 1 0 1