B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα διαφορικά.ασκησεισ Στο κεφάλαιο Β3 χαρακτηρίσαμε τα περιορισμένα στάσιμα ως ακρότατα χρησιμοποιώντας τα σχετικά γραφήματα. Τώρα θα τα χαρακτηρίσουμε αναλυτικά χρησιμοποιώντας παραγώγους ης τάξης όπως κάναμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Β4 για τα ελεύθερα στάσιμα. Η απλούστερη τέτοια περίπτωση αφορά τα ακρότατα τετραγωνικών συναρτήσεων με γραμμικούς περιορισμούς. 1. Περιορισμένη τετραγωνική μορφή καλείται μια τετραγωνική μορφή περιορισμένη στα σημεία μιας ευθείας που διέρχεται από το (). Θα την παριστάνουμε με: Q ɶ : {Q= α + β + γ E= p+ q= }. Για διάκριση οι τετραγωνικές μορφές χωρίς περιορισμούς που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο καλούνται και ελεύθερες τετραγωνικές μορφές. Όπως και στις ελεύθερες θα εξετάσουμε το πρόσημό της αλλά τώρα μόνο στα σημεία της ευθείας του περιορισμού εκτός του μηδενικού σημείου όπου η τιμή της είναι μηδενική: Q() = Αντικαθιστώντας από τον περιορισμό στην τετραγωνική μορφή βρίσκουμε ότι η παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με την ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής: p p p αq βpq+ γp = Qɶ = α β + γ = q q q q Ο όρος στον αριθμητή παριστάνεται με το αρνητικό της παρακάτω πλαισιωμένης συμμετρικής ορίζουσας: p q Δɶ Δ = p α β = αq + βpq γp Qɶ = ɶ q q β γ Συμπεραίνουμε ότι τo πρόσημο της περιορισμένης τετραγωνικής μορφής είναι το αντίθετο της παραπάνω ορίζουσας και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1α. Δɶ < Qɶ > τιμές θετικές γνήσια. Καλείται θετικά ορισμένη 1β. Δɶ Qɶ τιμές θετικές ή μηδενικές. Καλείται θετικά ημιορισμένη α. Δɶ > Qɶ < τιμές αρνητικές γνήσια. Καλείται αρνητικά ορισμένη β. Δɶ Qɶ τιμές αρνητικές ή μηδενικές. Καλείται αρνητικά ημιορισμένη. Παρατήρηση. Όπως διαπιστώσαμε η παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής και έτσι δεν εμφανίζεται η περίπτωση 3 της αοριστίας με τιμές και θετικές και αρνητικές γνήσια. Εμφανίζεται σε περιορισμένες τετραγωνικές μορφές περισσοτέρων μεταβλητών. Παρατήρηση. Αν η αρχική ελεύθερη τετραγωνική μορφή έχει μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές τιμές δηλαδή αν είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη τότε βέβαια το ίδιο θα ισχύει και για την περιορισμένη. Η διαφοροποίηση εμφανίζεται όταν η ελεύθερη είναι αόριστη. Παράδειγμα. Q ɶ : {Q= E= + = } 1 1 Δɶ = 1 1/ = 1( 1/ ) + 1(1/ ) = 1> 1 1/ Η αρχική ελεύθερη τετραγωνική μορφή: Q= είναι αόριστη ενώ η περιορισμένη είναι αρνητικά ορισμένη δηλαδή έχει παντού στον περιορισμό γνήσια αρνητικό πρόσημο εκτός βέβαια του σημείου () όπου και έχει μέγιστο με μηδενική τιμή. Αυτό ισχύει διότι η ευθεία του περιορισμού βρίσκεται στο ο και 3ο τεταρτημόριο όπου η παραπάνω ελεύθερη τετραγωνική μορφή είναι αρνητική. Πράγματι αντικαθιστώντας από τον περιορισμό βρίσκουμε: = Qɶ = = ( ) = < για 1

. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων Θεωρούμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ περιορισμένων τετραγωνικών μορφών δύο μεταβλητών και πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων και μεταφέρουμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων τετραγωνικών μορφών στους πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες: p q Q ɶ : {Q= α + β+ γ E= p+ q= } Sɶ = p α β όπου Δɶ = Sɶ = αq + βpq γp q β γ είναι η γνωστή πλαισιωμένη συμμετρική ορίζουσα. Έτσι ένας πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας χαρακτηρίζεται ως: 1α. Θετικά ορισμένος. Sɶ > Qɶ > : Δɶ < 1β. Θετικά ημιορισμένος Sɶ Qɶ : Δɶ α. Αρνητικά ορισμένος. Sɶ < Qɶ < : Δɶ > β. Αρνητικά ημιορισμένος.. Sɶ Qɶ : Δɶ Όπως αναφέραμε και προηγουμένως η περίπτωση 3 της αοριστίας εμφανίζεται σε πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες μεγαλύτερης διάστασης. 3. Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα. Θεωρούμε το πρόβλημα χαρακτηρισμού των περιορισμένων στάσιμων. Το απλούστερο τέτοιο πρόβλημα αφορά την παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Το μηδενικό σημείο είναι περιορισμένο στάσιμο με μηδενική τιμή της συνάρτησης οπότε ο χαρακτηρισμός του ως ακρότατου αφορά τα πρόσημα των τιμών της συνάρτησης στα μη μηδενικά σημεία του περιορισμού όπως εξετάσαμε παραπάνω. Στη γενική περίπτωση ο αναλυτικός χαρακτηρισμός ενός περιορισμένου στάσιμου ως ακρότατου γίνεται με τη χρήση παραγώγων ης τάξης. Θεωρούμε ένα πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης και την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = c} L( λ) = f( ) + λ[c g( )] και ορίζουμε τον πλαισιωμένo εσσιανό πίνακα Lagrange και την αντίστοιχη πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange του προβλήματος: g g g g Hɶ L =g L L Δɶ L = Hɶ L = g L L = Lg + L gg Lg g L L g L L Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για τοπικό περιορισμένο ακρότατο. Ένα εσωτερικό περιορισμένο ακρότατο είναι καταρχήν περιορισμένο στάσιμο δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις Lagrange. Επιπλέον: 1. Αν είναι ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) τότε o πλαισιωμένoς πίνακας Lagrange είναι θετικά ημιορισμένος: Hɶ Δɶ = L g + L g g L g L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό ελάχιστο αν είναι θετικά ορισμένος: Hɶ > Δɶ = L g + L g g L g < L L. Αν είναι μέγιστο (τοπικό ή ολικό) τότε ο πλαισιωμένος πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ημιορισμένος Hɶ Δɶ = L g + L g g L g L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο αν είναι αρνητικά ορισμένος Hɶ < Δɶ = L g + L g g L g > L L

Παράδειγμα. min{f = 4+ g= = α } με α> Με L= 4+ + λ(α ) οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: f = λg α / 4= λ = f = λg 1= λ = α αποδεκτή μόνο η θετική λύση g c = α = λ= / α Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο:: g= {g = g = } L = λ L = L = λ Δɶ L = Lg + L gg Lg= λ < L = 1 λ L = λ L = Είναι γνήσια αρνητική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι θετικά ορισμένος και το σημείο είναι γνήσιο τοπικό περιορισμένο ελάχιστο: ( = α / = αλ= / α) f = 4 + = 4 α Στην πραγματικότητα είναι ολικό περιορισμένο ελάχιστο διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην πάνω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης όπως φαίνεται στο παραπάνω γράφημα και όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με αντικατάσταση από τον περιορισμό. Παράδειγμα. ma{g= f = 4+ = β } με β> Θα παραστήσουμε την συνάρτηση Lagrange με: M= + μ[β 4 ] όπου μ είναι τώρα ο πολλαπλασιαστής. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: Μ = 4μ= = β / 8 Μ = μ= = β / g Μ μ β / 8 λ = β 4 = = Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο: Μ = 4μ Μ = Μ = 1 f = 4+ {f = 4 f = 1} Μ = μ Μ = 1Μ = Δɶ = Μ f + M f f M f = 1 + 1 4 1 = 8> Μ Είναι γνήσια θετική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ορισμένος και επομένως το σημείο είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο: ( = β / 8 = β / μ= β / 8) g = = β / 16 Στην πραγματικότητα είναι περιορισμένο ολικό μέγιστο όπως διαπιστώνουμε με αντικατάσταση ή και γραφικά διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην κάτω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης. Παρατήρηση. Για τα προηγούμενα δύο προβλήματα λέμε ότι είναι συμμετρικά μεταξύ τους με την έννοια ότι η αντικειμενική συνάρτηση του ενός συμπίπτει με την συνάρτηση περιορισμού του άλλου. Παρατήρηση. Εναλλακτικά ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange μπορεί να παρασταθεί με οιαδήποτε από τις παρακάτω μορφές. Έχουν όλες την ίδια ορίζουσα. g g L L g g g L L g Hɶ L =g L L ή L L g ή g L L ή L L g g L L g g g L L g g Επίσης μπορεί να παρασταθεί και ως ο εσσιανός πίνακας της συνάρτησης Lagrange: Lλλ Lλ L λ L L L λ Hɶ L =Lλ L L ή L L Lλ Lλ L L Lλ Lλ L λλ 3 f

4. Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί Ο χαρακτηρισμός των περιορισμένων στάσιμων χρησιμοποιώντας τον πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange γενικεύεται σε περισσότερες μεταβλητές και περισσότερους περιορισμούς. Θεωρούμε τα δύο προβλήματα που εξετάσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο: Περιορισμένα ακρότατα με τρεις μεταβλητές και έναν περιορισμό. ma/ min{f(z) g(z) = c D} L(zλ) = f(z) + λ[c g(z)] Περιορισμένα ακρότατα με τρεις μεταβλητές και δύο περιορισμούς. ma/ min{f( z) g( z) = ch( z) = e D} L(zλμ) = f(z) + λ[c g(z)] + μ[e h(z)] Τα περιορισμένα στάσιμα που βρήκαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο λύνοντας τις εξισώσεις Lagrange μπορούν να χαρακτηριστούν χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange της παρακάτω μορφής για έναν και δύο περιορισμούς αντίστοιχα: g g g z g g gz h h hz g L L Lz Hɶ L = g L L L και Hɶ g L h L L L = z z g h L L L z gz Lz Lz L zz gz hz Lz Lz L zz Ο χαρακτηρισμός τους παρουσιάζεται στα πλαίσια της γενικότερης θεωρίας των πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων στην Γραμμική Άλγεβρα. Οι πίνακες εκφράζονται και με τους Εσσιανούς πίνακες των αντίστοιχων συναρτήσεων Lagrange: L(λz) L(λμz) 5. Περιορισμένα διαφορικά Θεωρούμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων στάσιμων στο πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = c} L( λ) = f( ) + λ[c g( )] Για την απόδειξη αρκεί να θεωρήσουμε τη σύνθεση της f( ) με την συνάρτηση = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση του περιορισμού: g( ) = c και να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους κανόνες αλυσωτής και πλεγμένης πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα διαφορικά που τώρα θα είναι περιορισμένα διότι λόγω του περιορισμού οι μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες. Το ακρότατο χαρακτηρίζεται από το πρόσημο της μεταβολής Δf για μικρές μετατοπίσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό g= c. Σύμφωνα με τη σχετική θεωρία τα περιορισμένα διαφορικά της f() είναι: df = f d+ f d d f = f d + f dd+ f d + f d + f d όπου λόγω του περιορισμού τα διαφορικά των {} θα ικανοποιούν τις εξισώσεις: dg= g d+ f d= d g= g d + g dd+ g d + g d + g d = Θεωρούμε τώρα τα παραπάνω σένα εσωτερικό ακρότατο οπότε θα ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange. Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις των διαφορικών της g με τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ και αφαιρούμε από τα αντίστοιχα διαφορικά της f : df = (f λg )d + (f λg )d d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d + (f λg )d + (f λg )d 4

Λόγω των εξισώσεων Lagrange οι δύο όροι του πρώτου διαφορικού και οι δύο τελευταίοι του δεύτερου μηδενίζονται και βρίσκουμε: df = d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d = L d + L dd+ L d Εφόσον το πρώτο περιορισμένο διαφορικό είναι μηδενικό το πρόσημο της μεταβολής θα δίνεται από το πρόσημο του δεύτερου περιορισμένου διαφορικού που είναι μια περιορισμένη τετραγωνική μορφή διότι τα {dd} ικανοποιούν την εξίσωση του περιορισμού: dg= g d+ g d= Συμπεραίνουμε ότι το πρόσημό της χαρακτηρίζεται από τον αντίστοιχο πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα της συνάρτησης Lagrange. 5

Β5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ-ΟΙΟΝΕΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Ασκήσεις 1. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω περιορισμένες τετραγωνικές μορφές ως προς το πρόσημο. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο αντίστοιχος πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας. {Q= + E= v+ w= } {Q= E= + = } {Q= E= v+ w= } {Q= + + z + 4z+ 4z E= + + z= } {Q= + z + 4z+ 4z E= + + z= } {Q= 4z+ 4z E= + + z= } {Q= + 4z E= + = F= + z= }. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες ως προς το πρόσημό τους χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη περιορισμένη τετραγωνική μορφή. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. Να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης: + με τον περιορισμό: + = 3 4. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα στη θετική περιοχή { }. Σε κάθε περίπτωση να γίνει ο χαρακτηρισμός των περιορισμένων στάσιμων χρησιμοποιώντας τον πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange. ma{u = C= + c} ma{u = ln( ) C= + c} 1 1/ 1/ 4 ma{q= C= + c} ma{u= C= + c} 1 1 min{c= + U = u } 1/ 1/ 4 min{c= + Q= q} min{u= + U= u} min{c= + U = ln( ) u } ma{q= + C= + = c} ma{q = ( + ) C= + = c} min{c= + Q= + = q} 1/ min{c = ( + ) Q= + = q} 5. Να διαπιστωθεί ότι μεταξύ όλων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων με την ίδια περίμετρο το τετράγωνο έχει μέγιστο εμβαδό. 6. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα περιορισμένα στάσιμα της συνάρτησης: f( z) = + + 3z + + 3z με τον περιορισμό + + z= 1 χρησιμοποιώντας αντικατάσταση από τον περιορισμό 6