3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59

3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 6 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 64 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 67 3.4 Τα σύµβολα Chstoffe 70 3.5 Μετρική και σύµβολα Chstoffe σε κυλινδρικές πολικές συνταγµένες 7 3.6 Ανταλλοίωτοι τανυστές σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 7 3.7 Συναλλοίωτοι τανυστές σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 74 3.8 Οι φυσικές συνιστώσες ενός τανυστή 74 3.9 Η συναλλοίωτη παράγωγος ενός τανυστή 75 3.0 Ο τελεστής βαθµίδας σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 76 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες 77 3. Ο τελεστής αποκλίσεως σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 77 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες 77 3. Ο τελεστής στροβιλισµού σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 80 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες 80 3.3 Ο τελεστής Lapace σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 8 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες 8 Άσκηση: Σφαιρικές πολικές συντεταγµένες 8 Παράρτηµα I: Χρήσιµες Ταυτότητες µεταξύ διαφορικών τελεστών 85 Παράρτηµα ΙΙ: Το Θεώρηµα Αποκλίσεως 86 Στο Κεφάλαιο αυτό συνοψίζουµε έννοιες και αναλυτικές διαδικασίες που θεωρούνται ως βασικές και απολύτως απαραίτητες για τη διατύπωση προβληµάτων της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου σε καµπυλόγραµµα συστήµατα συντεταγµένων,,3,4. As, R., Vectos, Tensos and the basc Equatons of Fud Mechancs, Dve, 96. Boseno, A.I. & Taapov, I.E., Vecto and Tenso Anayss wth Appcatons, Dove, 968. 3 Knbe, E.,Tensoechnun fü Ineneue, BI, Hochschutaschenbüche, Bd. 97, 966. 4 Lchneowcz, A.., Eéents de Cacu Tensoe, Lbae Aand Con, 950

60 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 007 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, D-In., Καθηγητής της Μηχανικής στο Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 44, Παιανία 90-0, http://eoab.echan.ntua./, I.Vadouas@echan.ntua.

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 6 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Εικ. 3-:Καρτεσιανές και καµπυλόγραµµες συντεταγµένες ενός σηµείου στο επίπεδο. 3 Θεωρούµε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Ox (, x, x ) (Εικ. 3-). Το διάνυσµα θέσεως ενός σηµείου Ρ στο χώρο γράφεται συναρτήσει των συντεταγµένων του σηµείου και των διανυσµάτων της ορθοκανονικής καρτεσιανής βάσεως ως εξής, OP R x e (3.) Στο θεωρούµενο καρτεσιανό σύστηµα έχουµε ότι dr dx e (3.) διότι τα διανύσµατα βάσεως δεν αλλάζουν από θέση σε θέση, οπότε de 0 (3.3) Οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου στο χώρο θεωρούνται τώρα ως συνεχώς παραγωγίσιµες συναρτήσεις τριών νέων µεταβλητών Θ, (,, ), (,, ), (,, ) x χ Θ Θ Θ 3 x χ Θ Θ Θ 3 x 3 χ 3 Θ Θ Θ 3 (3.4) Ο παραπάνω µετασχηµατισµός, Εξ. (3.4), θεωρείται αντιστρέψιµος,

6 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 (,, ), (,, ), (,, ) Θ ϑ x x x 3 Θ ϑ x x x 3 Θ 3 ϑ 3 x x x 3 (3.5) όπου ϑ () χ (), γεγονός που σηµαίνει ότι η Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού και η αντίστροφή της είναι τοπικά διάφορες του µηδενός, χ χ χ ϑ ϑ ϑ 3 3 x x x χ χ χ ϑ ϑ ϑ J det 0, det 0 3 J 3 x x x 3 3 3 3 3 3 χ χ χ ϑ ϑ ϑ 3 3 x x x (3.6) Το διάνυσµα θέσεως θα θεωρηθεί επίσης συνάρτηση των νέων αυτών µεταβλητών, R R( Θ) (3.7) οπότε, R dr d Θ (3.8) Ενίοτε, για λόγους συντοµογραφίας, θα συµβολίσουµε τη µερική παράγωγο µίας συναρτήσεως ως προς τις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Θ µε ένα υπογεγραµµένο κόµµα, ως ( ), (3.9) οπότε dr R d Θ (3.0), Τη µερική παράγωγο του διανύσµατος θέσεως ως προς τις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες θα τη συµβολίζουµε ως, R, (3.) Τα διανύσµατα είναι τα διανύσµατα της τοπικής (εφαπτοµενικής) βάσεως στο σηµείο Ρ, σε σχέση µε το καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων Θ. Π.χ. το διάνυσµα βάσεως που είναι εφαπτοµενικό στην καµπύλη Θ ( Θ const., Εικ. 3-) είναι το R,. Οι σχέσεις µεταξύ των τοπικών διανυσµάτων βάσεως του καµπυλόγραµµου συστήµατος και της ορθοκανονικής βάσεως του καρτεσιανού συστήµατος προκύπτουν ως εξής,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 63 χ χ dr R, dθ dx e dθe e (3.) ϑ ϑ dr dx e R, dθ dx e x x Η τοπική διανυσµατική βάση καλείται συναλλοίωτη βάση 5. Παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα της συναλλοίωτης βάσεως δείχνουν προς την κατεύθυνση όπου η αντίστοιχη παράµετρος Θ αυξάνει. Το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα στην καµπύλη Θ είναι, R R h (3.3) 0 0 R h έτσι ώστε R h (3.4) Οµοίως ορίζουµε και τα µοναδιαία διανύσµατα βάσεως που είναι εφαπτοµενικά πάνω στις 3 καµπύλες Θ και Θ στο θεωρούµενο σηµείο Ρ,, 0 0 3 3 h h (3.5) όπου R R h, h 3 (3.6) 3 Ο ποσότητες h, h, h 3 καλούνται βαθµωτοί συντελεστές 6. 5 Πρβλ. Κεφ..3. 6 Αγγλ. scaa factos

64 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 7 Εικ. 3-: Καρτεσιανές και πολικές συνταγµένες σηµείου στο χώρο 3 Ένα σύστηµα συντεταγµένων ( Θ, Θ, Θ ) καλείται ορθογώνιο καµπυλόγραµµο σύστηµα 8, όταν τα διανύσµατα βάσεως είναι κάθετα µεταξύ τους, δ (3.7) j j Ένα τέτοιο σύστηµα συντεταγµένων είναι και το σύστηµα των κυλινδρικών πολικών συντεταγµένων (Εικ. 3-). Οι κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες ενός σηµείου στο χώρο ορίζονται βάσει των καρτεσιανών του συντεταγµένων ως εξής, Θ ϑ ( x ) x + y Θ θ ϑ ( x ) actan 3 3 Θ ϑ ( x ) z y x (3.8) 7 Αγγλ. cyndca coodnates 8 Αγγλ. othoona cuvnea syste of coodnates

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 65 Οι παραπάνω σχέσεις µεταξύ κυλινδρικών και καρτεσιανών συντεταγµένων, Εξ. (3.8) αντιστρέφονται, x y χ Θ Θ Θ ( ) cos cosθ χ ( ) sn snθ Θ Θ Θ z χ ( Θ ) Θ 3 3 (3.9) Από τον ορισµό του εν λόγω µετασχηµατισµού από τις καρτεσιανές στις κυλινδρικές συντεταγµένες παίρνουµε την εξής έκφραση για τον αντίστοιχο συναρτησιακό πίνακα, χ χ χ x y 3 0 χ χ χ y x 0 3 3 3 3 χ χ χ 0 0 3 (3.0) και την Ιακωβιανή του det x y J + j 3 3 x (3.) Από την παρατήρηση ότι στον πολικό άξονα O(0,0, z ) η Ιακωβιανή του αντίστροφου µετασχηµατισµού µηδενίζεται, έπεται ο µετασχηµατισµός αυτός είναι αντιστρέψιµος παντού εκτός του πολικού άξονα. Οπότε προκύπτουν και οι κάτωθι σχέσεις για τα διανύσµατα βάσεως, 3 x y ex e + + 3 + 0 3 x x x 3 y x ey e + + 3 + + 0 3 x x x 3 ez e3 3 + 3 + 3 3 0 + 0 + 3 x x x (3.) ή συνοπτικά cosθ snθ 0 e snθ cosθ 0 e e3 0 0 3 (3.3)

66 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 Αντιστρέφοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε cosθ snθ 0 e snθ cosθ 0 e 0 0 e 3 3 (3.4) Παρατηρούµε ότι το σύστηµα κυλινδρικών συντεταγµένων είναι ένα ορθογώνιο σύστηµα (γιατί;). Επίσης µε την παρατήρηση ότι RΘ cos Θ e +Θ sn Θ e +Θe (3.5) 3 3 έχουµε R cos Θ e + sn Θ e + 0 e3 R sn cos 0 Θ Θ e +Θ Θ e + e R 0 3 e + 0 e + e3 3 (3.6) οπότε προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τους βαθµωτούς συντελεστές R h ( cos Θ ) + ( sn Θ ) + 0 R h ( Θ sn Θ ) + ( Θ cosθ ) + 0 Θ R h3 0 + 0 + 3 (3.7) και για την ορθοκανονική βάση e cosθe + snθe 0 h e snθe + cosθe θ 0 h e e z 0 3 3 3 h3 (3.8) ή συνοπτικά (πρβλ. Εξ. (3.)),

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 67 e cosθ snθ 0 ex θ snθ cosθ 0 e ey 0 0 ez ez (3.9) 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Εικ. 3-3: Απειροστικό διάνυσµα διαφοράς θέσεων Θεωρούµε ένα απειροστικό διανυσµατικό στοιχείο, που συνδέει δύο διπλανά σηµεία στο χώρο µε συντεταγµένες P( x ) και Qx ( + dx), αντιστοίχως (Εικ. 3-3). Στο καρτεσιανό σύστηµα το µήκος του απειροστικού διανύσµατος PQ υπολογίζεται ως εξής, j j d PQ dxe dx e dx dx ( e e ) (3.30) j j Επειδή η επιλεγείσα καρτεσιανή βάση είναι ορθοκανονική, το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων βάσεως δίνεται από τον µοναδιαίο τανυστή, e e δ (3.3) οπότε, j j δ j d jdxdx dxdx (3.3) Από την Εξ. (3.) παίρνουµε ότι, dx e dθ (3.33) οπότε Θ Θ Θ Θ j j j d dxe dx ej d d j d d ( j) (3.34)

68 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 Ο συµµετρικός πίνακας που προκύπτει από το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων βάσεως είναι ο αντίστοιχος µετρικός τανυστής και συµβολίζεται ως, (3.35) j j Οπότε ο υπολογισµός του στοιχειώδους µήκους σε ένα καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων δίδεται, κατ αντιστοιχία της Εξ. (3.3) από µία σχέση που εµπλέκει το µετρικό τανυστή, j d dθd Θ (3.36) j Για το λόγο αυτό λέµε ότι το σύστηµα ας τάξεως σύστηµα συντεταγµένων. Με την παρατήρηση ότι 0 () j περιγράφει τη µετρική στο αντίστοιχο h (3.37) θα σηµειώσουµε ότι σε ένα ορθογώνιο καµπυλόγραµµο σύστηµα έχουµε ότι, και j () ( j)δj h h (3.38) d h dθd Θ (3.39) () Γενικώς, για δεδοµένη την συναλλοίωτη βάση,, 3 ορίζουµε µίαν άλλη βάση 3,,, την οποία ονοµάζουµε ανταλλοίωτη, έτσι ώστε τα διανύσµατα των δύο αυτών βάσεων να είναι κάθετα µεταξύ τους 9 j j δ (3.40) Με την εισαγωγή του µετρικού τανυστή της συναλλοίωτης βάσης τον µετρικό τανυστή της αντίστοιχης ανταλλοίωτης βάσης, j, Εξ. (3.35), εισάγουµε j j (3.4) Οµοίως όπως αναπτύξαµε σχετικώς προς τα λοξά, ευθύγραµµα συστήµατα συντεταγµένων, ισχύουν και στα καµπυλόγραµµα συστήµατα οι παρακάτω σχέσεις,, j (3.4) οπότε, j 9 Πρβλ. Κεφ..5.

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 69 j δ (3.43) και οι τανυστές j και j 3 j είναι αντίστροφοι. Για τον κατ ευθείαν υπολογισµό των διανυσµάτων της ανταλλοίωτης βάσεως παρατηρούµε ότι ισχύουν πάλι οι παρακάτω σχέσεις, 3 3 [, 3, ] [,, 3] 3 3 (3.44) [ 3,, ] [,, 3] 3 [,, ] Όπου το εξωτερικό τους γινόµενο δύο διανυσµάτων, x x και y y ορίζεται ως, ( x y) e x y (3.45) όπου e είναι ο αντίστοιχος πλήρως αντισυµµετρικός τανυστής 3 ης τάξεως, f :(,, ) cyc(,,3) e f :(,, ) cyc(,,3), 0 ese j (3.46) Θεωρούµε τώρα τη µεταβολή των διανυσµάτων της συναλλοίωτης βάσεως κατά µήκος των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων, e x j x x, j (3.47) Η σχέση αυτή γράφεται συντοµογραφικά ως εξής j, Γ (3.48) j όπου το σύστηµα 3 ης τάξεως j x Γ j x (3.49) καλείται σύµβολο Chstoffe. Παρατηρούµε ότι το σύµβολο Chstoffe είναι ένα σύστηµα 3 ης τάξεως, συµµετρικό ως προς τους δύο κάτω δείκτες, j j Γ Γ (3.50)

70 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 3.4 Τα σύµβολα Chstoffe Τα σύµβολα Chstoffe εισήχθησαν ανωτέρω µε στόχο να εκφράσουµε τις µερικές παραγώγους της συναλλοίωτης βάσεως συναρτήσει της βάσεως αυτής, Εξ. (3.48). Οµοίως µπορούµε να εισάγουµε το σύστηµα Γ jn για να εκφράσουµε τις µερικές παραγώγους της ανταλλοίωτης βάσεως,, Γ n (3.5) Από τη σχέση, j jn (3.5) ( ) ( δ ) 0, +, j, j, j j και τις Εξ. (3.48) και (3.5) παίρνουµε Γ +Γ 0 Γ δ +Γ δ 0 (3.53) Άρα, j j j j Γ Γ (3.54) j j και ως εκ τούτου Γ Γ,, (3.55) Θα δείξουµε τώρα ότι τα σύµβολα Chstoffe µπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει του µετρικού τανυστή και των παραγώγων του. Πράγµατι από τις Εξ. (3.55) παίρνουµε, Γ,, Γ ιαφορίζοντας τη σχέση, (3.56) (3.57) ως προς τα Θ παίρνουµε + (3.58) Οπότε,,,,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 7 + p p p,,, Γ Γ p p pq, q Γ + Γ p pq p pn q pn pn, Γ + Γ δ δ p q pn q n n, ή Γ + Γ (3.59) p pn n n, ια κυκλικής αντιµεταθέσεως των δεικτών ( n,, ) από την παραπάνω σχέση παίρνουµε τις εξής σχέσεις Γ + Γ p p n n, n Γ + Γ p p n n n, (3.60) Πολλαπλασιάζοντας τις Εξ. (3.60) µε ½ και την Εξ. (3.59) µε -½, προσθέτοντάς τις και λαµβάνοντας υπ όψιν τις συµµετρίες των διαφόρων υπεισερχόµενων συστηµάτων παίρνουµε p pnγ ( n, + n,, n ) n p n Γ + (,,, ) pn n n n (3.6) ή n Γ ( n, + n,, n ) (3.6) 3.5 Μετρική και σύµβολα Chstoffe σε κυλινδρικές πολικές συνταγµένες Οι τανυστές της µετρικής σε κυλινδρικές συντεταγµένες παίρνουν την εξής µορφή, 0 0 0 0 0 0 0 0 j [ j ] 0 0, [ ] 0 0 Οπότε η ανταλλοίωτη βάση υπολογίζεται ως j j (3.63) (3.64)

7 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 ή 0 0 0 0 3 3 0 0 h e 0 0 h e e θ h e 3 0 3 3 3 z θ (3.65) (3.66) Οπότε από την Εξ. (3.36) παίρνουµε την εξής έκφραση για τη µετρική d dθ dθ d + dθ + dz (3.67) j j Οι συνιστώσες του συµβόλου Chstoffe σε κυλινδρικές συντεταγµένες υπολογίζονται εύκολα µε την παρατήρηση ότι εν προκειµένω όλες οι µερικές παράγωγοι του µετρικού τανυστή µηδενίζονται πλην της,,, οπότε βάσει της Εξ. (3.6) έχουµε ότι όλες οι συνιστώσες του συµβόλου Chstoffe µηδενίζονται πλην των κάτωθι, 0 0 0 Γ (, +,, ) j 0 0 Γ (3.68) 0 0 0 Γ (, +,, ) Γ (, +,, ) 0 0 0 3 j 0 0 0 Γ 0 0 0 0 / 0 j / 0 0 Γ (3.69) 0 0 0 (3.70) 3.6 Ανταλλοίωτοι τανυστές σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό από ένα σύστηµα καµπυλόγραµµων συντεταγµένων ένα άλλο, Θ : οπότε Θ ϑ ( Θ ) Θ ϑ ( Θ ) (3.7) Θ σε

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 73 ϑ ϑ dθ dθ, det 0 ϑ ϑ dθ dθ, det 0 (3.7) Οι παραπάνω κανόνες δείχνουν πώς µετασχηµατίζονται τα διαφορικά των συντεταγµένων, ήτοι αν συµβολίσουµε µε a ϑ ϑ, a (3.73) τότε παίρνουµε ότι και dθ a dθ, dθ a dθ (3.74) ϑ dr dθ dθ ϑ dr dθ dθ (3.75) Άρα τα διανύσµατα βάσεως στα δύο αυτά συστήµατα συνδέονται µε τις παρακάτω σχέσεις: ϑ d d a ϑ d d a Θ Θ Θ Θ (3.76) Ας θεωρήσουµε τώρα ένα σύστηµα ης τάξεως A, του οποίου οι συνιστώσες µετασχηµατίζονται όπως τα διαφορικά των συντεταγµένων, Εξ. (.): A ϑ A a A A ϑ A a A Αν ορίσουµε τα διανύσµατα A A, A A (3.77) (3.78) τότε από τις Εξ. (3.76) και (3.77) παίρνουµε ότι,

74 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 A A a A A A A aa A (3.79) Για το σύνολο των θεωρούµενων µετασχηµατισµών λέµε ότι το σύστηµα ης τάξεως A µετασχηµατίζεται ως ένας ανταλλοίωτος τανυστής ης τάξεως, όταν αυτό µετασχηµατίζεται όπως τα διαφορικά των συντεταγµένων, Εξ. (.) και Εξ. (.3). 3.7 Συναλλοίωτοι τανυστές σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Θεωρούµε µια βαθµωτή συνάρτηση ( ϑ ) A A( Θ ) A ( Θ ) A( Θ ) (3.80) Το τέλειο διαφορικό της είναι αναλλοίωτο A A Θ Θ da d d (3.8) Το τέλειο διαφορικό της εν λόγω βαθµωτής συναρτήσεως ορίζει µε τη σειρά του έναν τανυστή, που είναι συζυγής προς τα διαφορικά των συντεταγµένων και που είναι ως εκ τούτου ένας συναλλοίωτος τανυστής. Ο συναλλοίωτος αυτός τανυστής είναι η παράγωγός της θεωρούµενης βαθµωτής συναρτήσεως και υπολογίζεται ως εξής, j j A ϑ A A ϑ A, j j (3.8) Η παράγωγος αυτή καλείται συναλλοίωτη παράγωγος και συµβολίζεται ως εξής, A A (3.83), Γενικώς, εισάγοντας τα συστήµατα ης τάξεως A A A, A (3.84) από τις Εξ. (3.73) και (3.8) παίρνουµε το νόµο µετασχηµατισµού ενός συναλλοίωτου τανυστή ης τάξεως A a A, A a A (3.85) 3.8 Οι φυσικές συνιστώσες ενός τανυστή Θεωρούµε ένα ανταλλοίωτο διάνυσµα, 3 A A A+ A + A3 (3.86)

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 75 Το πραγµατικό µέγεθος της συνιστώσας στην κατεύθυνση της Θ συµβολίζεται ως A A A A (3.87) και αποκαλείται φυσική συνιστώσα. Γενικώς οι φυσικές συνιστώσες ενός διανύσµατος δίδονται από τις εξής σχέσεις 0, A A A A (3.88) ( ) ( ), Οµοίως θα ορισθούν και οι φυσικές συνιστώσες ενός τανυστή ας τάξεως, j j t t ( ) ( jj) t t ( jj) j j ( ) (3.89) t t j j ( ) ( jj) 3.9 Η συναλλοίωτη παράγωγος ενός τανυστή Θεωρούµε ένα διανυσµατικό πεδίο, που είναι συνάρτηση των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων, A A ( Θ ) ( Θ ) (3.90) Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω έκφραση τόσο οι ανταλλοίωτες συνιστώσες του διανύσµατος όσο και οι συνιστώσες της συναλλοίωτης βάσεως είναι συναρτήσεις των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων. Οπότε η µεταβολή του διανύσµατος κατά µήκος των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων είναι, A A+ A A+ AΓ A +Γ A ( ) n, j, j, j, j j n, j j (3.9) Η ποσότητα µέσα στην παρένθεση καλείται συναλλοίωτη παράγωγος του ανταλλοίωτου διανύσµατος A και συµβολίζεται ως εξής, A A +Γ A (3.9) j, j j Αποδεικνύεται ότι, εάν ένα σύστηµα ης τάξεως είναι ανταλλοίωτος τανυστής τότε η συναλλοίωτος παράγωγός του είναι επίσης τανυστής, δηλαδή 0 Υπενθυµίζουµε ότι ο συµβολισµός επαναλαµβανόµενων δεικτών σε παρένθεση σηµαίνει ότι δεν γίνεται άθροιση πάνω στο συγκεκριµένο δείκτη Αγγλ. covaant devatve Πρβλ. Εξ. (3.50)

76 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 A j ϑ ϑ A (3.93) j Παρατηρούµε επίσης ότι η µερική παράγωγος A, j δεν µετασχηµατίζεται ως τανυστής ας τάξεως. Οµοίως αποδεικνύεται ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ενός συναλλοίωτου διανύσµατος είναι τανυστής και δίδεται από την εξής σχέση αντιστοίχως, A A Γ A (3.94) j, j j Τέλος παραθέτουµε και τις συναλλοίωτες παραγώγους ενός τανυστή ας τάξεως A A Γ A Γ A j j, j j A A +Γ A Γ A j j, j j A A Γ A +Γ A j j j j, A A +Γ A +Γ A j j j j, (3.95) Οµοίως µπορούµε να ορίσουµε τις συναλλοίωτες παραγώγους τανυστών ανωτέρας τάξεως. 3.0 Ο τελεστής βαθµίδας σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Σε καρτεσιανές συντεταγµένες ο διαφορικός τελεστής της βαθµίδας ορίζεται ως, e x (3.96) οπότε, x x x j χ ϑ e j j ϑ χ j δ j j (3.97) Άρα η βαθµίδα ενός βαθµωτού µεγέθους σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες υπολογίζεται ως εξής, A A A, ή λόγω της Εξ. (3.83), ad A A A (3.98) (3.99)

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 77 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες Από την Εξ. (3.99) παίρνουµε 3 ad A A + A + A3 (3.00) άρα σε πολικές συντεταγµένες έχουµε, ad A A A A e + eθ + e θ z z (3.0) 3. Ο τελεστής αποκλίσεως σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Ο διαφορικός τελεστής της αποκλίσεως ορίζεται ως εξής, ή Άρα j ( j ) dvv v v (, j j, ) (, j j ) j(, ) δ j j j j j dvv v + v v + v Γ v +Γ v v j j j v v dvv v v (3.0) (3.03) (3.04) Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες Θεωρούµε το διάνυσµα της ταχύτητας v v + v + v v e + v e + v e 3 3 θ θ z z (3.05) όπου v v e v vθ v eθ v v v e v z z 3

78 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 ή v v v v vθ v v v z v v v v 33 3 3 3 (3.06) Άρα v v, v v, v v (3.07) θ 3 Υπολογισµός των συναλλοίωτων παραγώγων: v v, Γ v z v v Γ v v,, v v Γ v v Γ v v v v v Γ v v,,, 3,3 3,3 v v Γ v v Γ v v v v v Γ v v Γ v v + v,,,,,, v v Γ v v 3,3 3,3 (3.08) (3.09) v v Γ v v 3 3, 3 3, v v Γ v v 3 3, 3 3, v v Γ v v 3 3 3,3 33 3,3 (3.0) Υπολογισµός φυσικών συνιστωσών των συναλλοίωτων παραγώγων: v v v v v v v v θ v v v v 33 z 3 3 3 vθ v v v v v v v v v v v θθ 33 θ z 3 3 3 (3.) (3.)

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 79 v v v v 33 z 3 3 3 v v v v 33 z θ 3 3 3 v v v v 33 33 zz 3 3 3 3 3 3 (3.3) Άρα, και ή ή v v v v, v v v θ v v v, v v ( vθ ) v θ θ vz v 3 v 3 v,3 v z vθ v v v, v ( vθ) ( vθ) vθ v vθθ v v ( v, + v) ( ) vθ + v vθ + θ θ vθ z v 3 v 3 v,3 ( vθ) vθ z z vz v3 v3 v3, vz vz θ v3 v3 v3, v θ vzz v3 3 v3 3 v3,3 vz z dvv v v + v + v 33 3 3 dvv v + v + v v + v + v 3 3 θθ zz v vθ v vz dvv + + + θ z z θ (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

80 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 3. Ο τελεστής στροβιλισµού σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Ο διαφορικός τελεστής του στροβιλισµού ορίζεται ως εξής, ή ot v v ( v ) ot v ( ) v, ( + v, ) (3.0) (3.) Παρατηρούµε ότι άρα Γ Γ +Γ ( Γ ( ) +Γ ( )) ( Γ ( ) +Γ ( )) ( Γ ( ) Γ ( )) ( Γ ( ) Γ ( )) 0 ( ) ( )( ), v v e v ot ( ),, (3.) (3.3) Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες Αναπτύσσουµε την παραπάνω έκφραση, Εξ. (3.3), ot v e v e v δ e v,,, e v + e v v v v v ( ) ( ) 3 3 3,,3 3,,3 3,,3 ot v e v e v δ e v,,, e v + e v v v v v ( ) ( ) 3 3 3,,3,3 3,,3 3,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 8 3 ot v e v e v δ e v 3, 3, 3, e v + e v v v v v Άρα ( ) ( ) 3 3,,,,,, v v3, v,3 he v,3 v3, he v, v, he 3 ot ( ) + ( ) θ + ( ) ή vz v vz v v e θ eθ vθ ez + + θ z z θ ot ( ) ( ) ή z vz v v vz v e eθ vθ e θ z + + z θ θ ot ( ) z (3.4) 3.3 Ο τελεστής Lapace σε ορθογώνιες καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Ο διαφορικός τελεστής του Lapace ορίζεται ως εξής, φ dvadφ (3.5) Όπως δείξαµε παραπάνω, ad φ φ A, A φ φ, (3.6) και dva A (3.7) Από την Εξ.(3.94) παίρνουµε A A Γ A φ Γ φ (3.8),,, οπότε (,, ) φ φ Γ φ (3.9)

8 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 Παράδειγµα: Κυλινδρικές Πολικές Συντεταγµένες Με δεδοµένα 0 0 j [ ] 0 0 0 0 και 0 0 0 0 / 0 0 0 0 3 j 0 0, j / 0 0, j 0 0 0 Γ Γ Γ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 αναπτύσσουµε την παραπάνω έκφραση, Εξ. (3.9) Γ ή (,, ) ( φ, φ, ) ( φ, φ, ) ( φ,33 33 φ, ) φ φ φ 33 Γ + Γ + Γ φ + ( φ Γ φ ) + φ,,,,33 φ φ + φ + φ θ z (3.30) Άσκηση: Σφαιρικές πολικές συντεταγµένες Συµφώνως προς την Εικ. 3-4 σε ένα σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων η γωνία ( POP ') λ 90 o θ, καλείται γεωγραφικό πλάτος και η γωνία ( + xop ') φ καλείται γεωγραφικό µήκος. Το τυχόν σηµείο του χώρου P πάνω στη σφαίρα βρίσκεται στην τοµή ενός παράλληλου κύκλου, λ σταθ. και ενός µεσηµβρινού, φ σταθ. Έστω το διάνυσµα θέσεως σε καρτεσιανές συντεταγµένες OP x e (3.3) Οι πολικές σφαιρικές συντεταγµένες του διανύσµατος θέσεως και καρτεσιανές του συντεταγµένες συσχετίζονται ως εξής,

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 83 3 x x Θ Θ Θ Θ χ ( ) sn cos snθcosφ 3 y x Θ Θ Θ Θ χ ( ) sn sn snθ snφ 3 3 z x χ Θ Θ Θ ( ) cos cosθ (3.3) Εικ. 3-4: Καρτεσιανές και σφαιρικές συνταγµένες σηµείου στο χώρο. Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: snθ cosφ e+ snθsnφ e + cosθ e3 cosθ cosφ e + cosθsnφ e snθe snθsnφ e + snθcosφ e 3 3 (3.33). Να επαληθευθεί ότι το σύστηµα πολικών σφαιρικών συντεταγµένων είναι ορθογώνιο. 3. Να επαληθευθεί ότι οι µετρικοί τανυστές δίδονται από τους εξής πίνακες: 0 0 0 0 0 0 sn θ 0 0 sn θ j [ j ] 0 0, [ ] 0 0 (3.34) 4. Nα αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις µεταξύ των διανυσµάτων βάσεως,,, sn θ 3 3 (3.35) 5. Να επαληθευθεί ότι τα σύµβολα Chstoffe δίδονται από τους εξής πίνακες:

84 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 0 0 0 j 0 0 Γ 0 0 sn θ 0 0 j 0 0 Γ 0 0 snθ cosθ (3.36) (3.37) 0 0 0 0 cotθ cot θ 0 3 Γ j (3.38) 6. Αν e, eθ, eφ είναι η τοπική ορθοκανονική βάση, να αποδειχθούν οι παρακάτω εκφράσεις για τους βασικούς διαφορικούς τελεστές: Φ Φ Φ ad Φ e + eθ + e θ snθ φ vφ dvv ( v ) + (sn θvθ ) + snθ θ snθ φ φ (3.39) (3.40) ot v θ (sn θ ) ( ) ( ) v v v v e + v e + v e snθ θ φ snθ φ θ (3.4) φ φ θ θ φ Φ + + snθ θ θ sn θ φ Φ Φ Φ snθ (3.4)

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 85 Παράρτηµα I: Χρήσιµες ταυτότητες µεταξύ διαφορικών τελεστών

86 Μηχανική του Συνεχούς Μέσου, Κεφ. 3., Ι. Βαρδουλάκης, 007 Παράρτηµα ΙΙ: Το θεώρηµα αποκλίσεως 3 3 Θεωρούµε ένα χωρίο V του R που περιβάλλεται από το σύνορο V. Στο τυχόν σηµείο του συνόρου ορίζουµε την στοιχειώδη επιφάνεια ds µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυσµα n. Έστω στο χωρίο αυτό µία διανυσµατική συνάρτηση q q ( x ) (,,,3), που είναι συνεχής και έχει συνεχείς πρώτες παραγώγους. Τότε ισχύει q dv x ( V) ( V) q n dv ή ( V ) dv q dv ( V ) q n ds δηλαδή το ολοκλήρωµα της αποκλίσεως ενός διανυσµατικού πεδίου πάνω στο χωρίο V ισούται µε την συνολική «ροή» του πεδίου µέσω του συνόρου V. 3 Το θεώρηµα αυτό παρουσιάστηκε υπό διαφορετικές µορφές από τους Laane (76), Gauss (83), Ostoadsy (83) και Geen (88). Καµιά φορά αποκαλείται και Θεώρηµα Αποκλίσεως (Dveence Theoe).