Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Παράδειγμα 6.5: Να υπολογιστεί η αποθηκευμένη ενέργεια στον πυκνωτή και στο πηνίο του κυκλώματος. Αντικαθιστούμε τον πυκνωτή με ανοικτοκύκλωμα και το πηνίο με βραχυκύκλωμα. Είναι σαφές ότι Ι 3 =0 και Ι 1 =Ι 2. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή ισούται με την τάση στα άκρα της αντίστασης R 2, που μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση του διαιρέτη τάσης: 10 V ± I 1 R 1 =100 Ω I 2 I 3 R 3 =500 Ω C=1 μf R 1 =100 Ω I 2 10 V R 3 =500 Ω ± I 1 I 3 R 2 =300 Ω L=20 mh R 2 =300 Ω
Το ρεύμα του κυκλώματος, που διαρρέει και το πηνίο, είναι: I 1 R 1 =100 Ω I 2 I 3 R 2 =300 Ω 10 V ± R 3 =500 Ω L=20 mh Η αποθηκευμένη ενέργεια του πηνίου είναι: C=1 μf Η αποθηκευμένη ενέργεια του πυκνωτή είναι:
Έστω ότι έχουμε δύο πυκνωτές συνδεδεμένους σε σειρά, οι οποίοι σχηματίζουν κύκλωμα με μία πηγή τάσης. Πως μοιράζεται η τάση αυτή στους δύο πυκνωτές; Ο νόμος τάσεων του Kirchhoff επιβάλλει για κάθε χρονική στιγμή και ανεξάρτητα από τη μορφή της τάσης που δίνει η πηγή: V s ± I C 1 + V 1 - + V 2 - C 2 Η σχέση τάσης - ρεύματος για κάθε πυκνωτή υπαγορεύεται από τη χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση του πυκνωτή:
Υποθέτουμε μηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε έχουμε: Αντικαθιστώντας την παραπάνω τιμή του ολοκληρώματος του ρεύματος στη σχέση τάσης - ρεύματος του κάθε πυκνωτή έχουμε: Ομοίως:
Έτσι έχουμε τη σχέση του διαιρέτη τάσης για πυκνωτές: I C 1 + V 1 - V s ± + V 2 - C 2 Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να βρούμε τη σχέση του διαιρέτη τάσης για πηνία:
Έστω ότι έχουμε δύο πυκνωτές συνδεδεμένους παράλληλα και στον κοινό τους κόμβο εισέρχεται ρεύμα i(t). Πως θα μοιραστεί το ρεύμα αυτό στους δύο πυκνωτές; Αφού οι πυκνωτές συνδέονται παράλληλα έχουν την ίδια τάση, ενώ ισχύει ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff: I s + V - I 1 C 1 I 2 C 2 Τα ρεύματα των πυκνωτών συναρτήσει της κοινής τους τάσης είναι:
Αντικαθιστούμε στη σχέση του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff και έχουμε: Αντικαθιστώντας την παραπάνω τιμή της παραγώγου της τάσης στη σχέση τάσης - ρεύματος του κάθε πυκνωτή έχουμε: Ομοίως:
Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να βρούμε τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος για πηνία που συνδέονται παράλληλα: Οι σχέσεις του διαιρέτη τάσης και του διαιρέτη ρεύματος για πηνία και για πυκνωτές ισχύουν όταν οι τάσεις και τα ρεύματα μεταβάλλονται με το χρόνο. Στο συνεχές οι σχέσεις αυτές αφενός δεν έχουν νόημα, αφετέρου δεν ισχύουν, καθώς η συμπεριφορά του πυκνωτή και του πηνίου στο συνεχές δεν εξαρτάται από την τιμή της αυτεπαγωγής του πηνίου ή της χωρητικότητας του πυκνωτή.
Παράδειγμα 6-6: Έχουμε δύο πυκνωτές συνδεδεμένους σε σειρά που τροφοδοτούνται από μία πηγή ρεύματος. Η πηγή ρεύματος δίνει ένα ασύμμετρο τριγωνικό σήμα. Να βρεθεί η τάση στα άκρα του κάθε πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου. Οι αρχικές τάσεις των πυκνωτών είναι μηδέν. i s (t) 6 μf + V 1 - + V 2-12 μf Η τιμή του ισοδύναμου πυκνωτή, αφού οι δύο πυκνωτές συνδέονται σε σειρά, είναι:
Για να βρούμε την ολική τάση του κυκλώματος θα βρούμε την εξίσωση κάθε τμήματος της κυματομορφής του ρεύματος και θα ολοκληρώσουμε. Για το τμήμα της κυματομορφής του χρονικού διαστήματος από t=0 μέχρι t=1 ms η εξίσωση είναι: Η τάση είναι:
Για το δεύτερο τμήμα της κυματομορφής, η κλίση είναι -4 A/s και ξεκινά από το σημείο (x,y)=(1 ms, 2 ma). Η εξίσωση του ρεύματος είναι: Η τάση είναι:
Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε και τις συναρτήσεις που αντιστοιχούν στα υπόλοιπα τμήματα της τάσης, με τις οποίες σχεδιάζουμε την τάση συναρτήσει του χρόνου. Οι τιμές της τάσης είναι θετικές, παρόλο που το ρεύμα είναι συμμετρικό. Αυτό οφείλεται στο πρώτο τμήμα της κυματομορφής του ρεύματος, το οποίο είναι θετικό και δίνει μια αρχική τάση 0,25 V στον ισοδύναμο πυκνωτή.
Η καμπύλη αποτελείται από παραβολές, που ξεκινούν και τελειώνουν στην τιμή V=0,25 Volt. Οι "θετικές" παραβολές ξεκινούν από την τιμή τάσης 0,25 V, φτάνουν στην τιμή 0,375 V όπου παρουσιάζεται τοπικό μέγιστο (στο σημείο αυτό το ρεύμα μηδενίζεται) και επιστρέφουν πάλι στην τιμή 0,25 V, αντιστοιχούν δε στα τμήματα της κυματομορφής του ρεύματος με αρνητική κλίση.
Οι "αρνητικές" παραβολές ξεκινούν από την τιμή τάσης 0,25 V, φτάνουν στην τιμή 0 V όπου παρουσιάζεται τοπικό ελάχιστο (στο σημείο αυτό το ρεύμα μηδενίζεται) και επιστρέφουν πάλι στην τιμή 0,25 V, αντιστοιχούν δε στα τμήματα της κυματομορφής του ρεύματος με θετική κλίση.
Η παραπάνω τάση μοιράζεται σε δύο τάσεις, από μία στα άκρα κάθε πυκνωτή, σύμφωνα με τη σχέση του διαιρέτη τάσης για πυκνωτές: Στο σχήμα σχεδιάστηκε η ενέργεια που έχουν αποθηκευμένη οι πυκνωτές και η ισχύς που παράγουν ή καταναλώνουν.
Στα τμήματα που η ισχύς είναι θετική οι πυκνωτές απορροφούν ισχύ από την πηγή ρεύματος και αυξάνεται η αποθηκευμένη σε αυτούς ενέργεια. Όταν η ισχύς είναι αρνητική, οι πυκνωτές επιστρέφουν ενέργεια στην πηγή και μειώνεται η αποθηκευμένη τους ενέργεια. Η αποθηκευμένη ενέργεια στους πυκνωτές είναι πάντα θετική. Η μέγιστη ισχύς που δίνουν οι πυκνωτές είναι 0,5 mw και η μέγιστη αποθηκευμένη τους ενέργεια είναι 0,28125 μjoule.
Παράδειγμα 6-7: Μια ημιτονοειδής πηγή ρεύματος πλάτους 0,1 Α και συχνότητας f=1 Hz τροφοδοτεί ένα πηνίο 0,5 H και μία αντίσταση 0,1 Ω συνδεδεμένα σε σειρά. Να υπολογιστεί η ισχύς και η ενέργεια του πηνίου συναρτήσει του χρόνου, για μια περίοδο του ρεύματος. R=0,1 Ω + V R - i s (t)=0,1 sin(2π t) + V L - L=0,5 H Η τάση στα άκρα της αντίστασης δίνεται από το νόμο του Ωμ:
Η τάση στα άκρα του πηνίου προκύπτει από τη σχέση τάσης - ρεύματος του πηνίου: Η ισχύς του πηνίου είναι το γινόμενο της τάσης και του ρεύματος: Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο κάθε χρονική στιγμή είναι:
Η ενέργεια που καταναλώνει η αντίσταση σε χρόνο 0,5 sec είναι: Η έκφραση της ισχύος που χρησιμοποιήσαμε δίνει την ισχύ της αντίστασης σε mw και δεδομένου ότι ο χρόνος είναι σε sec η ενέργεια που υπολογίσαμε είναι σε mjoule. Στο χρόνο του μισού δευτερολέπτου που μετακινήθηκε ενέργεια 2,5 mjoule προς και από το πηνίο, η αντίσταση κατανάλωσε ενέργεια 0,25 mjoule.
Παράδειγμα 6-8: Μια ημιτονοειδής πηγή τάσης πλάτους 10 V και συχνότητας f=1 Hz τροφοδοτεί ένα πυκνωτή 10 μf παράλληλα με μια αντίσταση 100 kω. Να μελετηθεί η ισχύς των στοιχείων και η αποθήκευση ενέργειας στον πυκνωτή. ± I v s (t)=10 sin(2π t) 100 kω I R I C 10 μf Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση δίνεται από το νόμο του Ωμ:
Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση είναι: Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή προκύπτει από τη σχέση τάσης - ρεύματος του πυκνωτή: Η ισχύς του πυκνωτή είναι το γινόμενο της τάσης και του ρεύματος: Η ισχύς έχει σαν μονάδες τα mw διότι το ρεύμα είναι σε ma.
Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή κάθε χρονική στιγμή είναι: Ο πυκνωτής φορτίζεται και εκφορτίζεται με περίοδο 0, sec με ενέργεια 0,5 mjoule. Στο χρόνο αυτό καταναλώνεται στην αντίσταση ενέργεια: