Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο

Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις.......................................... 4..2 Ιδιότητες.......................................... 5..3............................................... 5..4............................................... 5.2 Πιθανότητα............................................ 6.3 Αξιώματα Kolmogorov...................................... 6.4................................................... 7.4................................................ 9.5 Δεσμευμένη πιθανότητα..................................... 9.5. Πολλαπλαστιαστικός Κανόνας..............................6 Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας..................................7 Θεώρημα Bayes...........................................8....................................................9................................................... 4.9. Ανεξάρτητα, B..................................... 4.9.2 Ασυμβίβαστα, B.................................... 4. Τεχνικές Συνδυαστικής...................................... 5.. Πολλαπλασιαστική αρχή................................ 5..2............................................... 6. Συνδυασμοί............................................ 6.2 Ασκήσεις.............................................. 7 2 Τυχαίες Μεταβλητές 2 2.. Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (Probability Mass Function - σμπ)........ 2 2..2 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας......................... 22 2. Αθροιστική Πιθανότητα - Συνάρτηση Κατανομής...................... 23 2.. Ιδιότητες.......................................... 23 2..2 Μικτού τύπου....................................... 24 2.2 Ασκήσεις (Τυχαίες Μεταβλητές ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ)................. 24 2.3 Χαρακτηριστικά.......................................... 27 2.3. Μέση Τιμή (Mean).................................... 27 2.3.2 Διακύμανση σx, 2 Var(X)................................. 28 2.3.3 Τυπική απόκλιση..................................... 29 2.3.4 x p = P ποσοστιαίο σημείο............................... 29 2.3.5 Διάμεσος (Median).................................... 29 2.3.6 Επικρατέστερη Τιμή................................... 3 2.4 Χρήσιμες Κατανομές....................................... 3 2.4. Bernoulli.......................................... 32 2.4.2 Διωνυμική......................................... 32 2.4.3 Γεωμετρική........................................ 33 2.4.4 Pascal........................................... 33 2.4.5 Poisson.......................................... 34 2.5 Συνεχής X............................................. 36 2.5. Ομοιόμορφη....................................... 37 2.5.2 Εκθετική.......................................... 37 2.5.3 Κανονική Gauss...................................... 38

Γ. Ζιούτας Πιθανότητες Δ. Κουγιουμτζής Στατιστική Βιβλίο: Πιθανότητες και Στατιστική για Μηχανικούς, Γ. Ζιούτας Εξετάσεις: 8 μονάδες (τουλάχιστον 4/8 για να περάσει) Test: 2 μονάδες Μέρος I Πιθανότητες Είδη φαινομένων. Αιτιοκρατικά (καθοριστικά): Ξέρω το αποτέλεσμα του φαινομένου όταν γνωρίζω τα αίτια/τις προϋποθέσεις/το περιβάλλllllον του. 2. Στοχαστικά: Δεν μπορώ να προβλέψω το αποτέλεσμα, ακόμα και αν γνωρίζω τα παραπάνω. Μπορεί να υπάρχει και αβεβαιότητα λόγω μη ιδανικών μοντέλων πρόβλεψης. Ο μηχανικός πρέπει να γνωρίζει και να μπορεί να μετρά αυτήν την αβεβαιότητα. Πείραμα τύχης Στοχαστικό φαινόμενο που μπορούμε να δοκιμάσουμε όσες φορές θέλουμε, ακριβώς με τις ίδιες συνθήκες, και γνωρίζουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα, αν και δε γνωρίζουμε ακριβώς το αποτέλεσμα κάθε πειράματος. E: Πείραμα τύχης (Experiment) S: {s, s 2,..., s n } Δειγματοχώρος (Sample space) s i : Δειγματοσημεία π.χ. E E 2 E 3 E 4 E 5 S = {, 2, 3, 4, 5, 6} ρίψη ζαριού S 2 = {KKK, KKΓ, KΓK, ΓKK, KΓΓ, ΓΓK, ΓΓΓ} ρίψη κέρματος 3 φορές S 3 = {,,..., N} ελαττωματικά προϊόντα S 4 = {,, 2, 3... } αριθμός ατόμων που εκπέμπει ραδιενεργό υλικό S 5 = { x x, x R } χρόνος γενονότος Υποσύνολα του δειγματικού χώρου, π.χ. = {4, 5, 6} S ονομάζονται γεγονότα. Συνήθως συμβολίζονται, B, W, R. Λέμε ότι ένα γεγονός πραγματοποιείται. Το S είναι σίγουρο γεγονός. το {} S ονομάζεται αδύνατο γεγονός και συμβολίζεται. 2

S = {s, s 2,..., s n } Το δυναμοσύνολο S περιέχει όλα τα δυνατά υποσύνολα του S: S = { {}, {s }, {s 2 },..., {s n }, {s, s 2 }, {s, s 3 },..., {s, s 2, s 3 }... } Είναι: ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n b + a n b + a n 2 b 2 + + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n ( + ) n = + + + + 2 n ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 2 n = + + + + 2 n ( ) n a b n n Παρατηρούμε ότι το S έχει 2 n στοιχεία αν το S έχει n. Διαγράμματα Venn B S Ισότητα = B Περιεκτικότητα B 3

Συμπλήρωμα S Πράξεις Ένωση B B Τομή B B Διαφορά B B Παρατηρώ ότι: (x y) + y = x ( B) B = B 4

Ιδιότητες B = B (B Γ) = ( B) Γ (B Γ) = ( B) ( Γ) B = B S = {KK, KΓ, ΓK, ΓΓ} = {KK, KΓ, ΓK} τουλάχιστον μία κεφαλή B = {KK, ΓK} κεφαλή στη 2η ρίψη B = {KK, KΓ, ΓK} B = {KK, ΓK} B = {KΓ} S,, B, Γ Τουλάχιστον ένα από, B, Γ: B Γ Μόνο ένα από τα,, Γ: ( (B Γ) ) ( B ( Γ) ) ( Γ ( B) ) = ( ) B C Ακριβώς δύο από τα, BΓ: ( B Γ) ( Γ B) (B Γ ) Το πολύ δύο από τα, B, Γ: B Γ = B C ( ) ( ) B C B C π.χ., B, Γ Σε ένα παιχνίδι όπου κερδίζει ο παίκτης που πρώτος φέρνει κεφαλή, ποιο είναι το γεγονός να κερδίσει ο, αν i, B i, Γ i τα ενδεχόμενα στην i-οστή ρίψη να κερδίσει ένας παίκτης. ) ) W = ( B 2 Γ 3 4 ( 4 B 5 Γ 6 7 5

H/W: Να βρεθούν τα W B, W Γ. ) W B = Ā B 2 (B 2 C 3 4 B 5 W C = Ā B 2 C 3 (C 3 4 B 5 C 6 ) ) (B 5 C 6 7 B 8 ) (C 6 7 B 8 C 9 Πιθανότητα S, Πιθανότητα είναι να η βεβαιότητα να πραγματοποιηθεί ένα γεγονός. P () π.χ. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρει ζυγό αριθμό το ζάρι. S = {, 2, 3, 4, 5, 6}, = {2, 4, 6}. Άρα, αν χρησιμοποιήσουμε την κλασική μέθοδο για την εύρεση της πιθανότητας: P () = N() N(S) = 3 =, 5 6 Η κλασική μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν είναι ισοπίθανα τα αποτελέσματα. Σχετική Συχνότητα Μπορώ να ρίξω πολλές (N) φορές το ζάρι: f() = N() N N P = lim N N r Ποια είναι η P (B r); S = {, 2, 3,..., 36} B = {, 2, 3,..., 2} προκύπτει από γεωμετρία Αξιώματα Kolmogorov. P () 2. P (S) = 6

B 3. P ( B) = P () + P (B) S = {ΚΑ, SP, MP, KO}, = {K, SP}. P () =? P () = 2 4 (από κλασικό τρόπο), ή P (K SP) = P (K) + P (SP) = 4 + 4 = 2, από το 3ο αξίωμα Kolmogorov.. P () = P () Απόδειξη. P ( ) = P (S) = P () + P () = 2. P ( ) = Απόδειξη. P ( ) = P ( ) = P (S) = = 3. P () P (B) B Απόδειξη. B = (B ) = P (B) = P ( (B ) ) = P (B ) + P () 7

4. P ( B) = P () P ( B) B Απόδειξη. = ( B) ( B) = P () = P [ ( B) ( B) ] = P ( B) + P ( B) 5. P ( B) = P () + P (B) P ( B) Τομή B B Απόδειξη. B = ( B) B = P ( B) = P [ ( B) B ] = P ( B) + P (B) = P () P ( B) + P (B) Μπορεί η παραπάνω σχέση να αποδειχθεί και για περισσότερα από δύο γεγονότα: P ( B Γ) = P () + P (B) + P (Γ) P ( B) P ( Γ) P (B Γ) + P ( B Γ) 2 B P ( ) =.5, P ( ) =.3, P ( 3 ) =.. Τότε P ( ) = P ( 2 ) = P ( ) + P ( 2 ) P ( 2 ) =.7. } S = { 2, 2, 2, 2 8

Για τρία σύνολα, B, Γ: Η πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από αυτά είναι: [ ( ( ) ( ) P B C) ] B C B C = P ( B C) +... = P [ (B Γ) ] P () P [ (B Γ) ] +... = P () P [ ( B) ( Γ ] +... = P () ( P ( B) + P ( Γ) P ( B Γ) ) +... = P () P ( B) P ( Γ) + P ( B Γ) +... Δεσμευμένη πιθανότητα P ( B) =? P ( B): η πιθανότητα να συμβεί το με την προϋπόθεση ότι B, ή η πιθανότητα να συμβεί το, αν γνωρίζουμε ότι συμβαίνει το B, σε μια εκτέλεση του πειράματος. π.χ. (3, 3) (3, ) (, 3) (2, 6) (6, 2) (2, 5) B (5, 2) (2, 4) (4, 2) P () = 5 36, P (B) = 36 Παρατηρώ ότι P () = 2 N( B) = n(s) N(B). N(S) Άρα, γενικά: P ( B ) = P ( B) P (B) Επομένως: P ( B) = P (B)P ( B) = P ()P (B ) Αν B =, τότε P ( B) =. Αν B, τότε P (B ) =. 9

Πολλαπλαστιαστικός Κανόνας P ( 2 3 n ) = = P ( )P ( 2 )P ( 3 2 ) P ( n n ) Μπορώ με τη χρήση του πολλαπλασιαστικού κανόνα να εντοπίσω την πιθανότητα 6 ρίψεις ζαριού να έχουν διαφορετικά νούμερα. = { στην η ρίψη κάποιο νούμερο } i 2 = { στην i ρίψη νούμερο διάφορο από i, i 2,..., ρίψη } P ( 2 3 4 5 6 ) = P ( )P ( 2 )P ( 3 2 )... Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας Αν για τα γεγονότα,..., n ισχύει: i j = (ξένα μεταξύ τους) k i = S i= Ονομάζουμε τα i διαμέριση του S. Έστω B ένα σύνολο που τέμνει τη διαμέριση: B = (B ) (B 2 ) (B k ) Τότε: P (B) = P (B ) + P (B 2 ) + + P (B k ) = P ( )P (B ) + + P ( k )P (B k ) k = P ( i )P (B i ) i= Άσκηση Επιλέγουμε τυχαία μία κάλπη και μία σφαίρα από την κάλπη. Ποια είναι η πιθανότητα P ()να επιλέξω την άσπρη σφαίρα? Τα, 2, 3 αποτελούν διαμέριση. Άρα: P () = P ( ) P ( ) + P ( 2 ) P ( 2 ) + P ( 3 ) P ( 3 ) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} 3 3 2 3 =.5

Άσκηση P (Y ) =? P (X = ) =.6 P (X = 2) =.4 Τα X, X αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου. P (Y ) = P (X) P (Y X) + P (X) P (Y X) =.62 }{{}}{{}}{{}}{{}.6.9.4.2 Θεώρημα Bayes (Πιθανότητα εκ των υστέρων) π.χ. P (B) = P ( )P (B ) + + P ( k )P (B k ) P ( i B) = P ( i B) P (B) = P ( i)p (B i ) P (B) Από την προηγούμενη άσκηση, ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι αν και η είσοδος είναι? P (X Y ) = P (X)P (Y X) P (Y ) =.54 > P (X) =.6.62 Ποια είναι η πιθανότητα P (X Y )? Στο παράδειγμα με την κάλπη, ποια είναι η P ( 3 ) (P ( 3 ) = 3 ) Ομοίως: P ( 3 ) = P ( 3)P ( 3 ) P () P ( 2 ) = P ( 2)P ( 2 ) P () = = 3.5 = 2 3 3 2.5 = 3 Στο παράδειγμα με τα σήματα: P () = P () P ( B) = P () + P (B) P ( B) P ( ( B) Γ ) = P ( Γ) + P (B Γ) P ( ( B) Γ ) P (X Y ) = P (X Y )

B 2 3 B = ( 2 3 ) = ( 2 ) ( 3 ) ( η πιθανότητα διακοπής ρεύματος, i η πιθανότητα να είναι ανοικτός ο i-οστός διακόπτης. Άρα: P (B) = P ( 2 ) + P ( 3 ) P ( 2 3 ) = P ( )P ( 2 ) + P ( )P ( 3 ) P ( )... = P P + P P P 3 = 2P 2 P 3 (αν P η πιθανότητα να είναι ανοιχτός ένας διακόπτης) P ( B) = P ( B) P (B) Όμως 2 B = [ ( 2 ) ( 3 ) ] = ( 2 ) ( 3 ) = B. Άρα: P ( B) = P (B) P (B) =, κάτι που επιβεβαιώνεται και εμπειρικά. Ποια είναι η P ( 2 B)? M M Άσκ. R = ( B 2 ) [ ] P (R) = P ( ) + P ( B 2 ) 2 ( B 2 ) = 2 5 4 Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο B? 2

I II Άσκ. Αν P (I) = P, P (II) = P 2, ποια είναι η πιθανότητα, αν δεν έχει πληγεί ο 2ος στόχος, να έχει πληγή ο ος; P (I II) = P (I II) P (II) = P (I) P (II I) P 2 Άσκ. P () =.4, P (B ) =.2 }{{} R = ( B) πιθανότητα ανύψυσης του βάρους ( ) P (R) = P (Ā) + P ( B) P ( B) =.96 + P ()P (B ) =.96 +.4.8 Άσκηση για το σπίτι Σε μια παραγωγή το P ( ) = 8% των σιδηροδοκών είναι καλές, και το P ( 2 ) = 2% των σιδηροδοκών είναι ελαττωματικές. Το μηχάνημα που πραγματοποιεί τον έλεγχο δεν είναι αξιόπιστο: P (Θ ) =., P (Θ 2 ) =.8 (Θ η πιθανότητα ο έλεγχος να είναι θετικός).. Ποιο ποσοστό από τις σιδηροδοκούς καταστρέφεται (αν καταστρέφεται κάθε δοκός για την οποία ο έλεγχος είναι θετικός)? 2. Ποιο ποσοστό από αυτές που καταστρέφονται είναι καλές? 3. Ποιο ποσοστό από τις δοκούς που φεύγουν στην αγορά είναι ελαττωματικές? 4. Ποιες θα είναι οι απαντήσεις στα προηγούμενα ερωτήματα αν προτείνουμε δύο ελέγχους Θ, Θ 2 (καταστρέφεται μόνο αν και οι δύο έλεγχοι είναι θετικοί)? 3

Ανεξάρτητα, B B P ( B) = P () P ( B) = P ()P (B) Ασυμβίβαστα, B B B =, P ( B) = π.χ Αν, B είναι ανεξατητα, ισχύει το ίδιο για τα Ā, B? Απόδειξη. Έχουμε: P (Ā B) = P (B)P (Ā B) = P (B) ( P ( B) ) = P (B) ( P () ) = P (B)P (Ā) Μπορείτε να αποδείξετε ότι ισχύει το ίδιο για τα Ā, B? 4

Άσκηση 8 BΓ ΓB BΓ S = BΓ ΓB ΓB Άρα τα W και R δεν είναι ανεξάρτητα. W = {BΓ, ΓB, ΓB} R = {BΓ, ΓB, BΓ} Πρέπει P (W R) = P (W ) P (R) }{{}}{{}}{{} 3 2 2 }{{} 4 Τεχνικές Συνδυαστικής Πολλαπλασιαστική αρχή Έστω ένα πείραμα στο οποίο ρίχνω ένα νόμισμα και ένα κέρμα. S = S }{{} S 2 καρτεσιανό γινόμενο S = {KΓ} {, 2, 3, 4, 5, 6} = { (K, ), (K, 2),..., (K, 6), (Γ, ), (Γ, 2),..., (Γ, 6) } Άσκηση 8 n = n n 2 n 3 = 3 3 S = S S 2 S 3 = {, 2, } {, 2, } {, 2, } Όταν ρίχνω ένα νόμισμα 3 φορές: S = S S 2 S 3 = {K, Γ} {K, Γ} {K, Γ} = {KKK, KKΓ, KΓK, ΓKK, KΓΓ, ΓKΓ, ΓΓK, ΓΓΓ} Παρατηρώ ότι στο καρτεσιανό γινόμενο τα ενδεχόμενα π.χ. (KKΓ) και (ΓKK) θεωρούνται διαφορετικά. Αντίστοιχα, σε δύο ρίψεις ενός ζαριού, τα ενδεχόμενα (, 2), (2, ) είναι διαφορετικά. 5

Έχω τρία αντικείμενα, B, Γ. Με πόσους τρόπους μπορώ να τα βάλω στη σειρά? BΓ ΓB BΓ BΓ ΓB ΓB Για n αντικείμενα: n(n )(n 2) = n! P(n) = n! n! P(n, k) = (n k)! Συνδυασμοί C(n, k) = ( ) n = k n! (n k)! k! π.χ. Για τα, B, Γ με n = 3, k = 2 (συνδυάζω 3 αντικείμενα ανά 2) έχω: B BΓ Γ BΓ π.χ. Είμαστε φοιτητές, πόσες διαφορετικές επιτροπές των 5 ατόμων μπορώ να φτιάξω? Άσκηση Έχουμε 5 καλά και 5 ελαττωματικά ανταλλακτικά. Ποια είναι η πιθανότητα 3 από αυτά να είναι ελαττωματικά? Κλασικός τρόπος P () = N() N(S) = C(5, 3) C(2, 3) = 5! (5 3)! 3! 2! (2 3)! 3! = 4 6

Όχι κλασικός τρόπος = ( 2 3 ) P () = P ( ) P ( 2 ) P ( 3 2 ) }{{}}{{}}{{} 5 2 4 9 3 8 = 4 Ασκήσεις Ομάδα μπάσκετ από άτομα. Ομάδα 5 ατόμων: C(, 5) =! ( 5)! 5! 2. Ομάδα 5 ατόμων όπου παίζει ρόλο η σειρά: P(, 5) =! ( 5)! 3. Ομάδα 5 ατόμων που μπορούν να αλλάζουν αριθμό, με 2 standard παίκτες: C(8, 3) 5! Άσκηση 2 (α) S = {23, 24, 25, 34, 35, 45, 234, 235, 245, 345} = {23} B = {24, 34, 234} Γ = {25, 35, 45, 235, 245, 345} (δε με ενδιαφέρει η σειρά) (β) Προφανές Άσκηση 3 a a 2 a 3 a 4 P () = N() N(S) = 3 4 S = {a, a 2, a 3, a 4 } = {a, a 4 } R = ( 2 3 ) 4 P (R) = P ( ) P ( 2 3 ) + P ( 4 ) Άσκηση 6 Για το σπίτι. 7

Άσκηση 7 S = t 2 S = t 3 Από το στο.5: t = 2 Από το.5 στο : t =. 2 P () = ( ) ( 2 ) 3 3 2 Άσκηση 9 Για το σπίτι. Άσκηση P ( ) = P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P P (ΓE) = q R = ( 2 ) ( ( 3 (ΓE 4 ) ) Άσκηση P () = N() N(S) = 2 S = {,, 2,..., 9} P (B) = N(B) N(S) = 6 4 Άσκηση 2 K, Θ P (K) =. P (Θ) =.2 P (Θ K) =.8 P ( (Θ K) ) (Θ K) =? 8

P ( (Θ K) (Θ K) ) = P ( (Θ K) (Θ K) ) P (Θ K) P (Θ K) = P (Θ) + P (K) P (Θ K) =.2 +. P (K)P (Θ K) =.2 +...8 =.292 Άρα P ( (Θ K) ) P (Θ K) (Θ K) =.292.2.8 {}}{{}}{ P (Θ) P (Θ K) =.292 65.75% Άσκηση 3 P () = N() N(S) = 2 C(25, 25) = 2 25! (25 2)! ή, P ( 2 ) = P ( 2 ) P ( ) + P ( 2 2 ) P ( ) }{{}}{{}}{{}}{{} 4 24 5 25 5 25 2 25 Άσκηση 5 P () =. P (B) =. P ( B) =.2 P ( ( B) (B ) ) = P ( B) + P (B ) = P () P ( B) + P (B) P (B ) =.2 2(.2) =.6,, 2 P (E) = P (E )P ( ) + P (E )P ( ) + P (E 2 )P ( 2 ) =.9.82 +.7.6 +.4.2 P ( ) = P ( B) = ( ) P () + P (B) P ( B) }{{}.8.2.6 {}}{{}}{ P ( 2 Ē) = P ( 2 ) P (Ē 2) P (Ē) 9

Άσκηση 6 P () =.8 P () =.92 P (Θ ) =.95 P (Θ Ā) =.5 P (Θ Θ 2 ) = P (Θ )P (Θ 2 ) =.95 2 P (Θ Θ 2 ) = P ()P (Θ Θ 2 ) + P ()P (Θ Θ 2 ) =.8.95 2 +.92 (.5 2) ( ) P ( Θ Θ 2 ) = P ()P (Θ Θ 2 ) Άσκηση 7 P () =.6 P (M) =.8 P (M ) =? P (M ) P (M ) = P () = ;.6 (M ) = P (M) + P (M) P (M ) }{{}}{{}}{{}}{{}.8.6.4 P (M ) =.4.6 Άσκηση 9 P () = P ( ) P ( ) + + P ( 4 ) }{{}}{{}}{{} P ( 4) }{{} 4 + 8 = 3 8 4 Άσκηση 2 P () = πnλ 2 P () = P ( 2 3 N ) = lim P = N e πλ 2 πnλ 2 ( πnλ 2 ) N Οι υπόλοιπες ασκήσεις για το σπίτι. 2

Τυχαίες Μεταβλητές X, Y, Z, W,... X(s) : S R x (5, 2) 7 KKΓ 3 τυχαία μεταβλητή { {}}{ X = x }{{} τιμές τυχαίας μεταβλητής X = {,, 2, 3} }, {X x}, {x X x 2 } {X = } {KΓΓ, ΓKΓ, ΓΓK} {X 2} P (X = ) = P (KΓΓ, ΓKΓ, ΓΓK) P (X 2) = P () = 7 8 P (X = ) = 8 P (X ) = 4 8 Παράδειγμα S = {x min x max} X = {x min x max} Y = {y... } Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (Probability Mass Function - σμπ) X = {x, x 2,..., x n } f(x i ) = P (X = x i ) = P i Παράδειγμα S = {ϵ, κϵ, κκϵ, κκκϵ,... } X = {, 2, 3,... } P (ϵ) =. 2

P (X = x i ) x i P (X = ) = P (ϵ) =. P (X = 2) = P (kϵ) = 2 = P (X = x i ) x i..(.99) 2.(.99) 2 3.(.99) 3 4...(.99) λ λ Ιδιότητες. f(x i ) 2. x i = f(x i ) = (ισχύει στο παράδειγμα?) Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας. f(x) x 2 2. P (x < X < x 2 ) = f(x) dx x 3. + dx = P (X = x) = P (x δϵ X x + δϵ) = x+δϵ x δϵ f(x) dx Να σημειωθεί ότι P (X = x) =, αλλά το (X = x) δεν είναι αδύνατο, αφού (X = x) {x}. b a f(x) dx = b a c dx = c[x] b a = = c = b a Παράδειγμα P (X x ) = x 2 e x x 2 dx = e 2 e x 2 dx = 2 [e x 2 f(x) dx = ] = 2 = = = 2 22

Αθροιστική Πιθανότητα - Συνάρτηση Κατανομής F (x) = P (X x) = 8 x = 3 f(x) = 8 x = 3 8 x = 2 8 x = 3 x f(u) du = x i X = P (X = x i ) x = 8 x < F (x) = 4 8 x < 2 7 8 2 x < 3 8 8 3 x F (x) = P (X x) F () = P (x ) = 4 8 F (.5) = P (x = ) = 8 Σε συνεχή μεταβλητή... F (x) = P (X x) = x a ba dx = x a b a x < a F (x) = x a b a a x b x > b Ιδιότητες. F ( ) =, F (+ ) = 2. x < x 2 = F (x ) < F (x 2 ) 3. F (x + ) = F (x) df (x) f(x) = dx F (x) = x f(u) du f(x i ) = F (x i ) F (x i ) 4. F (x) = f(x i ) x i x P (x < X x 2 ) = F (x 2 ) F (x ) 23

Μικτού τύπου P (X = x ) = P P (X = x 2 ) = P 2 Παράδειγμα Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι P (X ) = 2 5, τότε προκύπτει λ e λ 2x dx = 2 5, και μπορούμε στο σπίτι να βρούμε τα λ, λ 2. Ασκήσεις (Τυχαίες Μεταβλητές ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ) P (X > ) = P (X ) = F () ( ) = exp( 2 ) = + e 2 (α) 2 f(x) dx = = c 4 [ = c =... ] 2 [ x 2 x 3 2 2 3 ] 2 = (β) P (x > ) = P (X ) = f(x) dx 3 Για το σπίτι 24

4 (α) x < F (x) = x k x 5 x > 5 x < df (x) f(x) = dx = k x 5 x > 5 5 k dx = k [x]5 = 5 k = = k = 5 (β) x < F (x) = x 3 /4 +.5 x < x P (X = ) = 4 x = df (x) f(x) = dx = 3x2 4 x < P (X = ) = 4 F () = f(x) dx = ; x f(u) du 5 Για το σπίτι 6 P() =.5 P(B) =.8 P(Γ) =.2 X = {,, 2, 3} 25

P (X = ) = P ( B Γ) P (X = ) = P ( B Γ) + P (Ā B Γ) + P (Ā B Γ) = P ()P ( B)P ( Γ) +... P (X = 2) =... P (X = 3) =... 8 X = { 2,, 2} Οι πιθανότητες είναι ίσες με τα αντίστοιχα άλματα της αθροιστικής: P (X = 2) =.2 P (X = ) =.5 P (X = 2) =.3 9 (α) P (X 3) = 3 f(x) dx = e 3 (β) P (X < ) = f(x) dx = e (γ) 2 (δ) P (X x) =. = e x =. = x =... 26

c [ a. a /2] f(x) = c [ a /2, a] αλλού P (X 3 =.75)... x a c dx a < x < a /2 a/2 a c dx f(x) = a /2 < x < a /2 a/2 a c dx + x c dx a /2 < x < a a/2 x > a Χαρακτηριστικά. Μέση Τιμή µ x, E(x) 2. Διακύμανση σ 2 x, Var(X) 3. x p, M, T Μέση Τιμή (Mean) µ x = E(X) = xf(x) dx = x i x i f(x i ) π.χ. X = {, 2, 3, 4, 5, 6} f(x i ) = 6 E(X) = ( + 2 + + 6) = 3.5 6 E(X) = xλe λx dx = λ 27

Ιδιότητες E(aX + β) = = ae(x) + β (ax + β)f(x) dx E ( g(x) ) = g(x)f(x) dx c = β a a < x < β f(x) = αλλού β E(X) = x a b a dx = a + β 2 E(X) = E(X 2 ) = X : [, ] Z x() dx =.5 x 2 () dx = 3 E(X) = Y : [, ] Z E(Y ) = ( ) ( ) + 2 2 Πρέπει να ορίσουμε ένα μέγεθος με το οποίο να μπορούμε να συγκρίνουμε την ομοιογένεια/διακύμανση των τιμών. E(X µ x ) = E ( X µ x ) =... Διακύμανση σ 2 x, Var(X) σx 2 = E [(X µ x ) 2] = (x µ) 2 f(x) dx Var(x) = E [ (x µ) ] 2 = E(X 2 ) µ 2 x = x 2 f(x) dx µ 2 x 28

[ (ax Var(aX + β) = E + β (aµx + β) ) ] 2 = = a 2 Var(X) E(X) = λ Var(X) = E(X 2 ) = ( ) 2 λ x 2 λe λx dx ( ) ( ) 2 2 = = λ λ E(X) = a + β 2 ( ) a + β 2 Var(X) = E(X 2 ) = για το σπίτι 2 Τυπική απόκλιση X =... f(x) =... E(X) = µ x Var(X) = σx 2 Τυπική απόκλιση σ x = σx 2 Τυποποίηση X = X µ x σ x Τότε: E(X ) = Var(X ) = (να αποδειχθεί) (να αποδειχθεί) x p = P ποσοστιαίο σημείο Διάμεσος (Median) x.5 = M P (X M) = P (X M) =.5 29

Επικρατέστερη Τιμή π.χ. 4x(9 x 2 ) f(x) = 8 x 3 αλλού T =; df(x) dx = M =; F (M) =.5 = M =... µ x =; π.χ X = {, 2, 3,... } f(x i ) = P (X = x i ) = 2x i T = M = οποιαδήποτε τιμή μεταξύ του και 2 µ x = x i = = 2 2x i x i = Άσκηση x < 2 ax + β 2 x f(x) = c x 4 x < 4... = f(x) = x < 2.x +.2 2 x c x 4 x < 4 x < 2 x 2 =.5x2 +.2x +.2 2 x < F (x) = x 5 + 5 du =.2 +.2x x < 4 x 4 3

P (X M) =.5 F (M) =.2 +.2 =.5 = M =.5 (με το μάτι επιλέγω κλάδο) Ποια είναι η μέση τιμή της Y = g(x) = /6(x) + 2 /6? Y = g(x) E(y) = E ( g(x) ) = = = 88 8 2 g(x)f (x) dx + 4 g(x)f 2 (x) dx Άσκηση f(x) = { P (X = ) = 2 3 x = c = 2 3 < x.5 E(X) = 2 3 +.5 x ( ) [ ].5 2 dx = 2 x 2 =... 3 3 2 Άσκηση 3 Για το σπίτι Χρήσιμες Κατανομές X, f(x), F (x), E(x) P (X x) = x f(u) du. Bernoulli 2. Διωνυμική 3. Γεωμετρική 4. Pascal 5. Poisson 3

Bernoulli S = X = {, } P () = p P (Ā) = p f(x i ) : P (X = ) = p P (X = ) = p "επιτυχές γεγονός" {}}{, Ā E(X) = p + ( p) = p Var[X] = E(X 2 ) p 2 = p ( p) Διωνυμική { } αριθμός εμφάνισης X = σε n δοκιμές X = {,, 2,..., n} P ( X = x ) ( ) n = p x ( p) n x x n ( ) n p x ( p) n x = ( p + ( p) ) n = x x= E(X) = n ( ) n x p x ( p) n x x x= = = np Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα ζάρι n = 2 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε 5 άσσους? P () = 6 X = {,, 2,..., 2} ( ) ( ) 2 5 ( 5 P (X = S) = 5 6 6 ) 5 32

n = στήλες p =. ελαττωματική 4 ( ) P (X 4) =. x (.) x x x= X = {,, 2,..., } Γεωμετρική αριθμός δοκιμών X = μέχρι εμφάνισης του για πρώτη φορά X = {, 2, 3, 4,... } P (X = x) = P (ĀĀĀ }{{ ĀĀ } ) x φορές Ā ( p) x p = x= Περίοδος επαναφοράςe(x) = p = ( p) x p Παράδειγμα E(X) = 2.5 = p = p.4 P (X = ) = ( p) x p = 3 p 3 P (X < 3) = P (X 3), P (X 3) = ( p) x p x= Pascal { } αριθμός δοκιμών X r = μέχρι r εμφανίσεις του X r = {r, r +,... } ( ) x P (X r = x) = ( p) (x ) (r ) p r r 33

Παράδειγμα p =.5 πιθανότητα να χαλάσει ο υπολογιστής 6 ωρών X 3 = {3, 4, 5, 6, 7, 8,... } P (X 3 > 6) = P (X 3 6) = toast ( ) X 5 = = Poisson { } αριθμός εμφάνισης X t = σε διάστημα t. t 2. P (X t = ) = t λ 3. t, t 2 E(X t ) = λt (λt)x P (X t = t) = e x! x= λt (λt)x xe x! E(X ) = λ σ 2 x t = λt = = λt Παράδειγμα λ = 6 8 σεισμοί/χρόνο X t= = {,, 2,... } P (X t= ) = P (X t= = ) λt (λt)4 P (X t= = 4) = e 4! = e 6 () 2 8! = e 2 E(X t=2 ) = 6 8 2 = 4 34

Απόδειξη t μικρό P () = P = λ t n = t t ( ) n x n! P (X t = x) = p x ( p) n x ( t = (n x)! x n = ( ) tλ x e λt x! n E(X t ) = nλ t = nλ t n ) x ( λt ) n ( p) x n Άσκηση 3 n = 5 n = 2 p =.8 p =.2 X = {,, 2, 3, 4, 5} X = {,, 2,..., 2} P (X = 4) = ( ) 5 4 p 4 ( p) 5 4 = 4.96% P (X > 4) = P (X 4) = 4 x= ( 2 x ) p x ( p) 2 x Άσκηση 4 p = 2 6 =.2 X = {,, 2,..., } n = P (X κ) =.9 κ ( ) p x ( p) x =.9 x x= Προκύπτει με μέθοδο δοκιμής και λάθους ότι για κ = 4 η πιθανότητα ξεπερνάει το.9. Άσκηση 8 P λ = / λεπτό X t = {,, 2,... } P (X t= = ) = e! ( X t= 6 ) = = e ( 6) ( 6! ) 35

Άσκηση 7 n ΔιωνυμικήX = {,, 2,..., n} P (κ = ) = 5 2 P (κ = ) = 3 P (κ = 2) = 4 ( ) n P (X = ) = p ( p) n ( ) n P (X = ) = p ( p) n ( ) n P (X = 2) = p 2 ( p) n 2 2 P (E) = P ( E {κ = } ) P (κ = ) + P ( E {κ = } ) P (κ = ) + P ( E {κ = 2} ) P (κ = 2) = P (X = ) 5 2 + P (X = ) 3 + P (X = 2) 4 =... Άσκηση 9 λt (λt) P (X t = ) = e! =.9 =... Άσκηση 5 p =.5 n = 52 Αριθμός αυτών που θα ακυρώσουν X = {,, 2,..., 52} p Y = {, 2,... } E(y) = = = p = p(x k) =... p P (X 2) = P (X ) = ( ) 52 p ( p) 52 ( ) 52 p ( p) 52 Συνεχής X. Ομοιόμορφη 2. Εκθετική 3. Κανονική 36

Ομοιόμορφη σ 2 x = c = β a F (x) = P (X x) = x a β a E(x) = a + β 2 (β a)2 2 X U[, ] title F y (y) = e yλ x = e y 2λ e yλ = x + y λ = ln( x ) = y = λ ln( x ) Εκθετική T = { χρόνος ανάμεσα σε διαδοχικά } X t = {,, 2,... } λt (λt)x P (X t = x) = e x! E(X t ) = λt f T (t) = df T (t) dt F T (t) = P (T t) = = P (T > t) = e λt (λt)! F T (t) = e λt = = f T (t) = λe λ t E(T ) = λ Var(T ) = λ 2 37

Παράδειγμα λ = 6 =.28 σεισμοί/χρόνο 25 P (X 2) = e λ(2) = e.28(2) 22.6% Y t=2 = {,, 2,... } Poisson P (Y t=2 ) = P (Y t=2 = ) = e λ(t) λ(t)! Περίοδος επαναφοράς σεισμού: λ 8 χρόνια Έλλειψη μνήμης P (X > t + t 2 X > t ) = P (X > t + t 2 ) P (X > t ) = e (t +t 2 )λ e t λ = e t 2λ = P (X > t 2 ) Κανονική Gauss X N(µ, σ 2 ) F (x) = P (X x) = x f(x) = 2πσ e 2 E(X) = ( ) 2 x µ σ Var(X) = σ 2 x = = σ 2 f(x) dx = f(u) du f(x)x dx = = µ Τυποποίηση Z E(Z) = Var(Z) = = X µx σ x = Z N(, 2 ) }{{} Τυπική κανονική κατανομή 38

Τυπική Κανονική Κατανομή F z (z) = P (Z z) = Φ(z) P (Z z) = Φ(z) ( X µx P (X x) = P σ x = P (Z z) = Φ(z) x µ ) x σ x Παράδειγμα X N(µ =, σ 2 = 25) ( ) P (X ) = Φ = Φ(2) =.9772 5 ( ) 95 P (X 95) = Φ = Φ( ) = Φ() =.84 5 z {}}{ P (X x) =.9 = Φ( z =.28 = x 5 x ) =.9 5 =.28 n = στύλοι P =.5 ( ) n P (X = 2) = P x ( P ) n x x ( ) =.5 2.95 98 2 E = np = 5 Var(X) = np( p) = 5(, 95) = 49 X N(µ x = np, σx) 2 X N(µ x = 5, σx 2 = 49) ( ) 2 5 P (X 2) = Φ 7 ( ) 3 = Φ = Φ( 4) 7 39