Κεφάλαιο 7: Η Θεωρία Πλεγμάτων στην Υπολογιστική Νοημοσύνη

Κεφάλαιο 7: Η Θεωρία Πλεγμάτων στην Υπολογιστική Νοημοσύνη Αυτό το κεφάλαιο, πέρα από την παρουσίαση μαθηματικών εννοιών και εργαλείων, προτείνει μια ενοποίηση στην ΥΝ μέσω της ενοποίησης ανόμοιων (μερικώς διατεταγμένων) τύπων δεδομένων, που περιλαμβάνουν λογικές τιμές, αριθμούς (μαζί και σήματα), (ασαφή) σύνολα, γράφους, συμβολοσειρές, κ.λπ. στο πλαίσιο της θεωρίας πλεγμάτων. Αυτό το κεφάλαιο, συνοψίζει ειδικά μαθηματικά εργαλεία της θεωρίας πλεγμάτων με σκοπό τη διάδοσή τους σε εφαρμογές ΥΝ. Γνώσεις υποδομής από τη θεωρία πλεγμάτων παρουσιάζονται στο Παράρτημα αυτού του κεφαλαίου προς διευκόλυνση της ανάγνωσης. Στη συνέχεια μεθοδεύεται η ασαφοποίηση της δυαδικής σχέσης «μερική διάταξη» σε ένα κλασικό πλέγμα. 7. Ασαφή Πλέγματα Έστω ένα (κλασικό) πλέγμα (L, ), όπου για xy, L ισχύει είτε (x,y), είτε (x,y). Με άλλα λόγια, ο ισχυρισμός «x y» είναι είτε αληθής, είτε ψευδής αντίστοιχα. Ο υπολογισμός ενός βαθμού αλήθειας, υπό κάποια έννοια, του ισχυρισμού «x y» είναι χρήσιμος για λήψη αποφάσεων σε πρακτικές εφαρμογές. Για τον προαναφερθέντα λόγο, εισάγουμε την έννοια του ασαφούς πλέγματος με σκοπό να ασαφοποιήσουμε τη σχέση «μερική διάταξη» ενός πλέγματος (L, ), ώστε να την επεκτείνουμε σε κάθε ζεύγος xy, LL. Με άλλα λόγια το ασαφές πλέγμα είναι ένα ασαφές σύνολο στο σύνολο αναφοράς L L. Ως ασαφές πλέγμα (fuzzy lattice) ορίζουμε μια τριάδα (L,,), όπου (L, ) είναι πλέγμα και είναι ασαφές σύνολο τέτοιο, ώστε xy L L,,, εάν και μόνο εάν x y. Παρατηρήστε ότι το ασαφές πλέγμα (L,,) ασαφοποιεί τη δυαδική σχέση της διάταξης στο πλέγμα (L, ). Σημειώστε ότι διάφοροι συγγραφείς έχουν χρησιμοποιήσει τον όρο «ασαφές πλέγμα» στα μαθηματικά, με διαφορετικό περιεχόμενο (Ajmal & Thomas, 994 Kehagias & Konstantinidou, 23 Tepavčević & Trajkovski, 2). Όμως, ο παραπάνω ορισμός εισήχθη στο πλαίσιο εφαρμογών μηχανικήςμάθησης και ταξινόμησης σε ιατρικές βάσεις δεδομένων (Kaburlasos, 992). Άλλοι συγγραφείς χρησιμοποίησαν τον ίδιο όρο (βλ. ασαφές πλέγμα) για να παρουσιάσουν την ίδια έννοια στα μαθηματικά (Chakrabarty, 2 anda, 989), ενώ στη θεωρία πιθανότητας Bayes η ίδια έννοια παρουσιάστηκε με το όνομα συνάρτηση ζήτα (Knuth, 25). Όπως προαναφέρθηκε, το κίνητρο για τον ορισμό ενός ασαφούς πλέγματος είναι η ποσοτικοποιημένη σύγκριση μη-συγκρίσιμων (βλ. παράλληλων) στοιχείων πλέγματος. Συγκεκριμένα, σε κάθε ζεύγος, LL xy,, που δείχνει το βαθμό κατά τον οποίο xy επισυνάπτεται ένας πραγματικός αριθμός το x είναι μικρότερο-ίσο από το y. Όταν x y, τότε η ασαφής σχέση ισχύει μεταξύ των x και y κατά το μέγιστο δυνατό βαθμό (δηλαδή ), αλλά η συνάρτηση μπορεί επίσης να ισχύει σε μικρότερο βαθμό, όταν x y (δηλαδή όταν τα x και y είναι μη-συγκρίσιμα). Ως εκ τούτου, η συνάρτηση μπορεί να ερμηνευτεί ως μια ασθενής (ασαφής) σχέση μερικής διάταξης (weak (fuzzy) partial order relation). Πιο συγκεκριμένα, η συνάρτηση χαρακτηρίζεται από μια ασθενή ιδιότητα μεταβατικότητας, ώστε όταν είναι ταυτόχρονα xy, και yz,, τότε xz,. Εάν όμως είναι xy, ή yz xz, μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα [,].,, τότε το Σημειώστε ότι η έννοια ασαφές πλέγμα είναι διαφορετική από την έννοια L-ασαφές σύνολο (Goguen, 967). Η τελευταία είναι μια γενίκευση της έννοιας του ασαφούς συνόλου τέτοια ώστε η συνάρτηση (βαθμού) συμμετοχής απεικονίζει, συνήθως, το σύνολο αναφοράς σε κάποιο πλήρες πλέγμα, αντί να το απεικονίζει αποκλειστικά στο συνηθισμένο κλειστό διάστημα [,], όπως κάνει η κλασική θεωρία ασαφών συνόλων. Στη συνέχεια μεθοδεύουμε τον υπολογισμό ενός ασαφούς πλέγματος εισάγοντας την ακόλουθη συνάρτηση (Kaburlasos & Papakostas, 25). 7-

Έστω ένα πλέγμα (L, ). Ως βαθμός διάταξης (fuzzy order) ορίζεται μια συνάρτηση : LL, η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω δύο ιδιότητες. C. u w uw,. C2. u w,, x u x w. (Συνέπεια) Η συνάρτηση του βαθμού διάταξης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει το βαθμό που ένα στοιχείο πλέγματος είναι μικρότερο/ίσο από ένα άλλο στοιχείο. Έτσι, ο συμβολισμός (x y) μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του συμβολισμού xy,. Παρατηρήστε ότι η ιδιότητα C απαιτεί τη μεγιστοποίηση του βαθμού διάταξης (u,w)= τότε και μόνο τότε, αν το στοιχείο u είναι μικρότερο/ίσο από το στοιχείο w. Με άλλα λόγια, η ιδιότητα C απαιτεί τη μεγιστοποίηση του βαθμού διάταξης αποκλειστικά για τα στοιχεία τα οποία είναι διατεταγμένα στο πλέγμα (L, ). Ενώ, η ιδιότητα C2 απαιτεί κάποιου είδους συνέπεια για μια συνάρτηση βαθμού διάταξης υπό την ακόλουθη έννοια. Αν το στοιχείο u περιέχεται στο στοιχείο w, η ιδιότητα C2 απαιτεί ένα οποιοδήποτε στοιχείο x να περιέχεται στο u «όχι περισσότερο» από ό,τι περιέχεται στο w. Ο βαθμός διάταξης (x y) αποτελεί μια γενίκευση εναλλακτικών ορισμών που προτείνονται στη βιβλιογραφία για την ποσοτικοποίηση του βαθμού εγκλεισμού ενός (ασαφούς) συνόλου σε ένα άλλο (Fan κ.ά., 999 Sinha & Dougherty 993 Sinha & Dougherty 995 Young, 996 Zhang & Zhang, 29). Ωστόσο, οι προαναφερθέντες, εναλλακτικοί ορισμοί αφορούν μόνον επικαλυπτόμενα ζεύγη (ασαφών) συνόλων, αλλιώς ο αντίστοιχος βαθμός περιεκτικότητας είναι ίσος με μηδέν. Αντιθέτως, ο παραπάνω ορισμός για το βαθμό διάταξης είναι πιο γενικός, διότι (α) έχει εφαρμογή σε κάθε πλέγμα και όχι μόνο στο πλέγμα των (ασαφών) συνόλων, και (β) αφορά ανεξαιρέτως όλα τα ζεύγη στοιχείων οποιουδήποτε πλέγματος. Κάθε χρήση μιας συνάρτησης βαθμού διάταξης (σ) ονομάζεται συλλογιστική ασαφών πλεγμάτων (ΣΑΠ) (fuzzy lattice reasoning (FLR)) (Kaburlasos & Kehagias, 24). Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση βαθμού διάταξης (σ) υποστηρίζει δύο διαφορετικούς τύπους συλλογιστικής, οι οποίοι είναι ο γενικευμένος τρόπος που θέτει και η συλλογιστική κατ αναλογία (reasoning by analogy), όπως εξηγείται στη συνέχεια. Από τη μια, ο γενικευμένος τρόπος που θέτει είναι ένας τύπος παραγωγικής συλλογιστικής (deductive reasoning) σύμφωνα με τον οποίον, χρησιμοποιώντας μαθηματικό συμβολισμό της θεωρίας πλεγμάτων, δοθέντων (α) ενός λογικού κανόνα ac, και (β) ενός αιτίου a έτσι ώστε a a, έπεται το αποτέλεσμα c. Από την άλλη, η συλλογιστική κατ αναλογία είναι ένας τύπος προσεγγιστικής συλλογιστικής (approximate reasoning) κατάλληλος για χειρισμό ελλιπούς γνώσης όπως εξηγείται στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, δοθέντων (α) ενός συνόλου κανόνων a i c i, i{,,l}, και (β) ενός αιτίου a τέτοιο ώστε a a i, i{,,l}, επιλέγεται εκείνος ο κανόνας a J c J, ο οποίος μεγιστοποιεί τη συνάρτηση βαθμού διάταξης J arg max ( a a). Έπεται το αποτέλεσμα c J. i {,...,L} i Έχει αποδειχθεί ότι εάν η συνάρτηση v :LR είναι θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (L, ) τότε οι δύο συναρτήσεις (α) σίγμα-συνένωση (sigma-join): (x,u) =, και (β) σίγμα-διατομή (sigmameet): (x,u) = v x v x u είναι (συναρτήσεις) βαθμού διάταξης. v x vu Έστω ένα πλέγμα (L, ) και ένας βαθμός διάταξης : L L, u. Τότε, η τριάδα (L,,) είναι ένα ασαφές πλέγμα. Συνεπώς, η χρησιμότητα της ύπαρξης ενός βαθμού διάταξης () σε πλέγμα (L, ) είναι ότι μετασχηματίζει το (L, ) σε ασαφές πλέγμα και έτσι επιτρέπει την ποσοτικοποιημένη σύγκριση δύο οποιονδήποτε στοιχείων του (L, ), είτε συγκρίσιμων στοιχείων είτε μη-συγκρίσιμων στοιχείων. 7-2

Όταν στο πλέγμα (L, ) υπάρχει ελάχιστο στοιχείο o, μια λογική απαίτηση είναι να ισχύει η ισότητα (x,o) = = (x,o), για κάθε x o, δηλ. ο βαθμός κατά τον οποίον οποιοδήποτε (μη-ελάχιστο) στοιχείο είναι μικρότερο ή ίσο από το ελάχιστο στοιχείο o είναι μηδέν. Η προαναφερθείσα απαίτηση συνεπάγεται v(o)=. 7.2 Επεκτάσεις σε Ιεραρχίες Πλεγμάτων Αυτή η ενότητα μελετάει ιεραρχίες πλεγμάτων όπου, επίσης, εισάγει συναρτήσεις βαθμού διάταξης καθώς και μετρικές συναρτήσεις. 7.2. Καρτεσιανά Γινόμενα Πλεγμάτων Ένα πλέγμα (L, ) μπορεί να ισούται με το Καρτεσιανό γινόμενο Ν ενδεχομένως ανόμοιων βασικών (constituent) πλεγμάτων (L i, ), i=,,. Δηλαδή μπορεί να είναι (L, ) = (L, ) (L, ) όπου κάθε βασικό πλέγμα (L i, ), i=,, χαρακτηρίζεται από τη δική του σχέση διάταξης. Σημειώστε ότι, χάριν απλότητας, χρησιμοποιούμε τα ίδια σύμβολα,, σε κάθε πλέγμα. Επίσης χάριν απλότητας θα χρησιμοποιούμε τα ίδια σύμβολα o και i, αντίστοιχα, για το ελάχιστο και το μέγιστο στοιχείο ενός πλήρους πλέγματος, εκτός αν επισημαίνεται διαφορετικά. Η διατομή ( ) και η συνένωση ( ) στο πλέγμα (L, ) = (L, ) (L, ) υπολογίζονται, αντίστοιχα, ως x y = (x,,x ) (y,,y ) = (x y,,x y ) και x y = (x,,x ) (y,,y ) = (x y,,x y ). Επιπλέον, ισχύει (x,,x ) (y,,y ) x y,,x y. Αν οι συναρτήσεις v,,v είναι τιμοδοτήσεις στα πλέγματα (L, ),,(L, ), αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση v: L=L L R που δίδεται ως v= v + +v είναι μια τιμοδότηση στο πλέγμα (L=L L, ). Εάν όλες οι τιμοδοτήσεις v,,v είναι μονότονες τότε η τιμοδότηση v= v + +v είναι μονότονη. Εάν, επιπλέον, τουλάχιστον μία από τις τιμοδοτήσεις v,,v είναι θετική τότε η τιμοδότηση v είναι θετική. Από συναρτήσεις θετικής τιμοδότησης σε (βασικά) πλέγματα τελικά προκύπτουν συναρτήσεις μετρικές καθώς και βαθμού διάταξης όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Πρώτον, από μία συνάρτηση v i : L i R θετικής τιμοδότησης στο (βασικό) πλέγμα (L i, ) ορίζεται μια μετρική συνάρτηση d i : L i R σύμφωνα με τον τύπο d i (x i,y i )= v i (x y )-v i (x y ), i,...,. Συνεπώς, στο Καρτεσιανό γινόμενο (L, )= (L, ) (L, ), ορίζεται μια μετρική Minkowski συνάρτηση d(.;p): LL R ως ακολούθως p, ;p,..., d x y p d x y d x y, p R, x, y L με i,..., i i i όπου x x,..., x,,..., y y y. /p Δεύτερον, από συναρτήσεις θετικής τιμοδότησης v,,v σε (βασικά) πλέγματα (L, ),,(L, ) αντίστοιχα, ορίζεται μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v : L L... L R η οποία δίδεται ως v v... v. Έτσι, προκύπτουν οι ακόλουθοι δύο βαθμοί διάταξης : LL[,] και : LL[,] αντίστοιχα. 7-3

Σίγμα-συνένωσης: xu, Σίγμα-διατομής: xu, v v v vu x u x x u v u,, u v x u,, x u v x u,, x u v x,, x i= i= i= i v u i v x u i i i v x u i i i στο Καρτεσιανό γινόμενο πλέγμα (L, )= (L L, ). Εναλλακτικά, υπάρχει ο ακόλουθος τρόπος ορισμού ενός βαθμού διάταξης στο Καρτεσιανό γινόμενο πλέγμα (L, )= (L L, ). Συγκεκριμένα, δοθείσης μιας συνάρτησης v i :Li R θετικής τιμοδότησης σε κάθε πλέγμα (L i, ), i{,,}, σύμφωνα με τα παραπάνω, έπονται οι δύο συναρτήσεις βαθμού διάταξης (α) σίγμα-συνένωση : L i L i [,], και (β) σίγμα-διατομή : L i L i [,], αντίστοιχα. Έστω i : L i L i [,], i{,,} μια συγκεκριμένη συνάρτηση βαθμού διάταξης στο πλέγμα (L i, ), δηλ. η i (.,.) ισούται είτε με (.,.), είτε με (.,.). Δοθέντων μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών,, τέτοιων ώστε + + =, ένας βαθμός διάταξης c : LL[,] στο πλέγμα (L, )= (L L, ) δίνεται από τον κυρτό (convex) συνδυασμό (combination) c i i i i i ( x ( x,..., x ), u ( u,..., u )) ( x, u ). Άλλοι δύο βαθμοί διάταξης i= v i x i και δίνονται από τους τύπους (α) (x,u)= min i i i i{,..., } ( x, u ) και (β) (x,u)= i i i i ( x, u ) αντίστοιχα. 7.2.2 Πλέγματα Διαστημάτων Έστω (I,) το μδσυν των (συνηθισμένων) διαστημάτων ενός πλέγματος (L, ). Ένα ενδιαφέρον πλέγμα είναι το (I{},), όπου η διατομή () ορίζεται ως () x= για κάθε x(i{}) και (2) [a,b][c,d] = [a c,b d] εάν a c b d και [a,b][c,d] = εάν a c b d, για [a,b],[c,d]i. Ενώ, η συνένωση ( ) ορίζεται ως () x =x, για κάθε x(i{}) και (2) [a,b] [c,d] = [a c,b d], για [a,b],[c,d]i. Σημειώστε ότι το πλέγμα (I{},) είναι ατομικό, διότι κάθε διάστημα [a,b]i είναι η συνένωση δύο ατόμων, συγκεκριμένα [a,b] = [a,a] [b,b]. Το ατομικό πλέγμα (I{},) αποτελεί εργαλείο για την αναλυτική μελέτη σύνθετων αναπαραστάσεων-δεδομένων, όπως εξηγείται παρακάτω. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που το πλέγμα (L, ) είναι πλήρες με ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο o και i αντίστοιχα. Σ αυτή τη περίπτωση το πλέγμα (Ι =I{},) είναι και αυτό πλήρες με μέγιστο στοιχείο το I=[o,i]. Για το ελάχιστο στοιχείο O που είναι το κενό σύνολο (), επιλέγουμε την αναπαράσταση O=[i,o]. Ένα στοιχείο του συνόλου I = I{[i,o]} καλείται διάστημα Τύπου- (Τ) (type- (T) interval). Συγκεκριμένα πλεονεκτήματα της αναπαράστασης O=[i,o] παρουσιάζονται στη συνέχεια. Ένα πλεονέκτημα της αναπαράστασης O=[i,o] είναι ότι η σχέση διάταξης [a,b] [c,e], η οποία ορίζεται ως [a,b] [c,e] «c a.και.b e» στο πλέγμα (I, ), είναι συμβατή με την ισοδυναμία [a,b][c,e] c a b e στο μδσυν (I,). Ένα άλλο πλεονέκτημα της αναπαράστασης O=[i,o] είναι ότι ο ορισμός της διατομής καθώς και της συνένωσης στο πλέγμα (I, ) είναι σε συμφωνία με τους αντίστοιχους ορισμούς στο πλέγμα (I{},), διότι (α) η διατομή ( ) στο πλέγμα (I, ) ορίζεται ως [a,b] [c,e] = [a c,b e] εάν a c b e, και [a,b] [c,e] = [i,o], εάν a c b e και (β) η συνένωση ( ) στο (I, ) ορίζεται ως [a,b] [c,e] = [a c,b e]. Συνεπώς, σε αυστηρή μαθηματική ορολογία, λέμε ότι τα πλέγματα (I{},) και (I, ) είναι ισομορφικά, συμβολικά (I{},) (I, ). Σημειώστε ότι το πλέγμα (I, ) είναι και αυτό ατομικό. 7-4

Στη συνέχεια αναζητούμε συναρτήσεις μετρικές, καθώς και βαθμού διάταξης, στο πλέγμα (I, ). Γνωρίζουμε ήδη πώς να ορίζουμε τις προαναφερθείσες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης. Ωστόσο, μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης δεν υπάρχει, γενικά, στο πλέγμα (I, ) όπως βλέπουμε σε ένα αντι-παράδειγμα στη συνέχεια. Έστω τα διαστήματα ab,, ce, και c, e στην αλυσίδα (R,) των πραγματικών αριθμών, όπου c, e c, e. Θεωρήστε την ακόλουθη a b c c e, όπως φαίνεται στο Σχ. 7.. Προφανώς ισχύει Αρχική Υπόθεση: Έστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση v: I { } I { } R θετικής τιμοδότησης. Ως συνέπεια της προαναφερθείσας Αρχικής Υπόθεσης θα ισχύουν οι παρακάτω δύο ισότητες: ) 2) v ( a, b ) v ( c, e ) v ( a, b c, e ) v ( a, b c, e ) v ( a, e ) v ( ). v ( a, b ) v ( c, e ) v ( a, b c, e ) v ( a, b c, e ) v ( a, e ) v ( ). Άρα: (, ) (, ) v ( c, e) v ( c, e ) c, e c, e που προκύπτει, επειδή η συνάρτηση v I I v c e v c e. Όμως, η τελευταία ισότητα αντιφάσκει με την ανισότητα : { } { } R είναι θετικής τιμοδότησης. Συνεπώς, η Αρχική Υπόθεση είναι λανθασμένη. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει v : I{ } I { } R θετικής τιμοδότησης. καμιά συνάρτηση a b c c e Σχήμα 7. Πέντε σημεία a b c c e πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Για τους παραπάνω λόγους αναζητούμε συναρτήσεις μετρικές καθώς και βαθμού διάταξης στο πλήρες πλέγμα (I, ) των διαστημάτων Τ με διαφορετικό τρόπο, όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Έστω ότι το πλέγμα (I, ) μπορεί να εμφυτευτεί σε ένα υπερπλέγμα (G, ), στο οποίο υπάρχει μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v : GR Για τον ορισμό εμφύτευσης (τάξης) καθώς και για τον ορισμό του υπερπλέγματος βλέπε στο Παράρτημα αυτού του κεφαλαίου. Σύμφωνα με όσα παρουσιάστηκαν παραπάνω η ύπαρξη της συνάρτησης v : GR συνεπάγεται την ύπαρξη μιας μετρικής συνάρτησης (βλέπε στο Παράρτημα αυτού του κεφαλαίου), καθώς και συναρτήσεων βαθμού διάταξης (βλέπε στην ενότητα 7.) στο πλέγμα (G, ). Οι προαναφερθείσες συναρτήσεις (δηλ. η μετρική και η βαθμού διάταξης) ισχύουν ως τέτοιες στο εμφυτευμένο πλέγμα (I, ), όπως ζητείται να αποδειχθεί σε ερώτηση κατανόησης στο τέλος αυτού του κεφαλαίου. Ας επιστρέψουμε στο πλήρες πλέγμα (I, ) των διαστημάτων Τ, το οποίο προέκυψε από ένα πλήρες πλέγμα (L, ) με ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο o και i αντίστοιχα. Έστω ότι στο (L, ) υπάρχει μια συνάρτηση v: LR θετικής τιμοδότησης τέτοια ώστε για τους λόγους που εξηγούνται στην ενότητα 7., καθώς επίσης και στο Παράρτημα αυτού του κεφαλαίου, ισχύουν οι δύο λογικές απαιτήσεις (reasonable constraints) v(o)= και v(i)<+. Εξαιτίας του τρόπου ορισμού της διάταξης στο πλέγμα (I, ) το ενδιαφέρον μας εδώ εστιάζεται στο Καρτεσιανό γινόμενο πλέγμα (L, )(L, ) = (LL, ) των γενικευμένων διαστημάτων ως ένα υποψήφιο υπερπλέγμα. Ένα γενικευμένο διάστημα (generalized interval) συμβολίζεται ως [a,b], a,bl. Η διατομή ( ) στο πλέγμα (LL, ) υπολογίζεται ως [a,b] [c,d] = [a c,b d], ενώ η συνένωση ( ) 7-5

στο πλέγμα (LL, ) υπολογίζεται ως [a,b] [c,d] = [a c,b d]. Το πλέγμα (LL, ) είναι και αυτό πλήρες με ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο O=[i,o] και I=[o,i], αντίστοιχα. Είδαμε παραπάνω σ αυτήν την ενότητα ότι το άθροισμα συναρτήσεων θετικής τιμοδότησης σε κάθε ένα από τα βασικά πλέγματα (L, ) και (L, ) είναι μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο Καρτεσιανό γινόμενο (LL, ). Στην προηγούμενη παράγραφο έχουμε ήδη υποθέσει την ύπαρξη μιας συνάρτησης v: LR θετικής τιμοδότησης στο πλήρες πλέγμα (L, ), στο οποίο ισχύουν οι δύο λογικές απαιτήσεις v(o)= και v(i)<+. Ο στόχος μας τώρα είναι να δείξουμε μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο (L, ). Παρατηρήστε ότι η προαναφερθείσα συνάρτηση v: LR θετικής τιμοδότησης στο (L, ) αποτελεί συνάρτηση τιμοδότησης στο (L, ), όπου τα σύμβολα και εναλλάσσονται αμοιβαία. Συνεπώς, για x,y(l, ) ισχύει v(x)+v(y) = v(x y)+v(x y). Ωστόσο, η τιμοδότηση v(.) δεν είναι θετική στο πλέγμα (L, ), διότι x y στο (L, ) είναι ισοδύναμο με x y στο (L, ), άρα x y στο (L, ) συνεπάγεται v(x)>v(y). Το πρόβλημα της έλλειψης μιας συνάρτησης θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (L, ), δοθείσης μιας συνάρτησης v: LR θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (L, ), μπορεί να λυθεί αν θεωρήσουμε μια (αμφιμονοσήμαντη) συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού : (L, ) (L, ), όπου x y στο (L, ) είναι ισοδύναμο με (x) (y) στο (L, ). Συνεπώς, η σχέση x y στο (L, ) μετασχηματίζεται στη σχέση (x) (y) στο (L, ) και, τελικά, συνεπάγεται v((x)) < v((y)). Έτσι, η σύνθετη (composite) συνάρτηση v (.) είναι μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο (L, ) και τελικά η συνάρτηση v ([x,y]) = v((x))+v(y) αποτελεί μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (LL, ) των γενικευμένων διαστημάτων. Επιπλέον, παρατηρήστε ότι, επειδή η συνάρτηση (.) είναι αμφιμονοσήμαντη, οφείλει να ισχύει (o)=i, καθώς και (i)=o. Συνεπώς, οι δύο λογικές απαιτήσεις μιας συνάρτησης θετικής τιμοδότησης v(.) ισχύουν και για τη συνάρτηση v (.). Συγκεκριμένα, ισχύει πρώτον, v (O=[i,o])= v((i))+v(o)= 2v(o)= και, δεύτερον, v (O=[o,i])= v((o))+v(i)= 2v(i) < +. Έπεται ότι η μετρική συνάρτηση d : (LL, )(LL, )R, η οποία δίνεται από τον τύπο d ([a,b],[c,e]) = v ([a,b] [c,e]) - v ([a,b] [c,e])= v ([a c,b e]) - v ([a c,b e])= v((a c))+ v(b e) - v((a c)) - v(b e) = v((a) (c))-v((a) (c)) + v(b e)-v(b e)= d((a),(c))+d(b,e), είναι επίσης μετρική στο πλέγμα (I, ). Επιπλέον, έπεται ότι η συνάρτηση βαθμού διάταξης : (LL, )(LL, )[,], η οποία δίνεται v ([ c, e]) από τον τύπο ([ a, b],[ c, e ]) v ([ a, b] [ c, e ]) = v ([ c, e]) = v ([ a c, b e]) v( ( c)) v( e), είναι επίσης v( ( a c)) v( b e ) συνάρτηση βαθμού διάταξης : Ι Ι [,] στο εμφυτευμένο (υπο)πλέγμα (I, ). Σημειώστε ότι για v ([a,b] [c,e]) = [a,b] [c,e] = [a,b] = = [c,e] θεωρούμε ([ a, b],[ c, e ]) εξ ορισμού. Τέλος, η συνάρτηση βαθμού διάταξης : (LL, )(LL, )[,], η οποία δίνεται από τον τύπο v ([ a, b] [ c, e]) ([ a, b],[ c, e ]) v ([ a, b]) = v ([ a c, b e]) = v ([ a, b]) v( ( a c)) v( b e) v( ( a)) v( b) είναι επίσης συνάρτηση βαθμού διάταξης : Ι Ι [,] στο εμφυτευμένο (υπο)πλέγμα (I, ). Σημειώστε ότι για v ([a,b]) = [a,b] = θεωρούμε ([ a, b],[ c, e ]) εξ ορισμού. Έστω μια συνάρτηση v :LR θετικής τιμοδότησης σε πλέγμα (L, ) και έστω (I,) το αντίστοιχο μδσυν των διαστημάτων. Η μη-αρνητική συνάρτηση δ : IR, η οποία υπολογίζεται ως δ ([a,b])= v(b)-v(a), είναι συνάρτηση μεγέθους ενός διαστήματος, διότι ικανοποιεί τον ορισμό της συνάρτησης μεγέθους. Παρατηρείστε ότι δ ([a,b]) = d(a,b)= x, y a, b max d x, y, όπου d :LL R είναι η μετρική d(x,y)= v(x y)- 7-6

v(x y) στο πλέγμα (L, ), δηλ. το μέγεθος ενός διαστήματος [a,b] ισούται με τη μέγιστη απόσταση δύο στοιχείων x και y του διαστήματος [a,b]. Παρατηρήστε ότι κάθε τετριμμένο (trivial) διάστημα [a,a] έχει μηδενικό μέγεθος, δηλ. δ([a,a])=. Επίσης, παρατηρήστε ότι κάθε τετριμμένο διάστημα [a,a] είναι άτομο στο πλήρες πλέγμα (I, ) των διαστημάτων Τ, διότι καλύπτει το ελάχιστο στοιχείο ο= στο (I, ). 7.2.3 Σύνολα Στοιχείων Πλέγματος Έστω 2 L το δυναμοσύνολο ενός πλέγματος (L, ). Σε συνέχεια των προηγούμενων ενοτήτων σημειώστε ότι το L μπορεί να είναι το Καρτεσιανό γινόμενο βασικών πλεγμάτων συμπεριλαμβανομένων πλεγμάτων διαστημάτων. Ορίζουμε μια δυαδική σχέση στο Καρτεσιανό γινόμενο 2 2 ώστε για UW, 2 L είναι U W, εάν και μόνον εάν uu, : και U W uu, ww { u w }. w W u w. Έτσι, προκύπτει το πλέγμα 2, L L L με U W uu, ww { u w } Ένα υποσύνολο S του L καλείται απλοποιημένο (simplified) ή, εναλλακτικά, πηλίκο (quotient), εάν το S περιέχει μόνο μη-συγκρίσιμα στοιχεία του L. Ένα μη-απλοποιημένο σύνολο S καλείται απλοποιήσιμο και μπορεί να απλοποιηθεί, εάν αντικαταστήσουμε κάθε υποσύνολο X S συγκρίσιμων L L L στοιχείων με το ελάχιστο άνω φράγμα X. Έστω (2 ) 2 το υποσύνολο του 2 που περιέχει όλα τα απλοποιημένα υποσύνολα του L και μόνον αυτά. Το ενδιαφέρον εδώ εστιάζεται σε στοιχεία του πλέγματος L (π(2 ), ), διότι κάθε στοιχείο του π(2 L ) μεγιστοποιεί μια οποιαδήποτε συνάρτηση σ: 2 L 2 L [,] βαθμού διάταξης λόγω της ιδιότητας C2 (Συνέπεια). Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση L L L σ : π(2 ) π(2 ) [,] βαθμού διάταξης στο πλέγμα (π(2 ), ) ως ακολούθως. c c Έστω μια συνάρτηση : L L, L L βαθμού διάταξης στο πλέγμα (L, ). Τότε η συνάρτηση σ : π(2 ) π(2 ) [,], η οποία δίδεται από τον κυρτό συνδυασμό c (UW)= είναι βαθμού διάταξης, όπου U={u,,u M }, W={w,,w }(2 L ). max ( u w ), i i i j j {,,} 7.3 Ενοποίηση Ανόμοιων Τύπων Δεδομένων Αυτή η ενότητα παρουσιάζει συγκεκριμένα παραδείγματα πλεγμάτων στο πλαίσιο των προηγούμενων ενοτήτων. Το κάθε πλέγμα αφορά ένα διαφορετικό τύπο δεδομένων, τα οποία είναι διατεταγμένα. Με τον προαναφερθέντα τρόπο η θεωρία πλεγμάτων ενοποιεί ανόμοιους τύπους δεδομένων. Εδώ θεωρούμε ότι η σχέση μερικής διάταξης αναπαριστά την σημασιολογία των δεδομένων. Υπό αυτήν την έννοια ο υπολογισμός σε πλέγματα είναι υπολογισμός με σημασιολογίες. 7.3. Πραγματικοί Αριθμοί Το ολικώς διατεταγμένο πλέγμα (R,) των πραγματικών αριθμών, ως το πλέον δημοφιλές μελετάται λεπτομερώς, μαζί με επεκτάσεις του, στο κεφάλαιο 9. Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι μια γνησίως αύξουσα (strictly increasing) συνάρτηση v: RR είναι συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (R,). Επίσης, μια γνησίως φθίνουσα (strictly decreasing) συνάρτηση : RR είναι συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού στο πλέγμα (R,). Στη συνέχεια αναφέρουμε επεκτάσεις του (R,) στο Καρτεσιανό γινόμενο, μερικώς διατεταγμένο πλέγμα (R, )= (R,). Επιλέγοντας την ίδια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v(x)= x σε κάθε διάσταση του (R, ) έπεται η p μετρική d(x,y;p)= (, )... (, ) /p p p p d x y d x y = x y... x y, όπου x=(x,,x ) και y=(y,,y ), η οποία είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως L p μετρική (metric). Ειδικότερα, η L ισούται με d x, y ; x y... x y και είναι γνωστή ως απόσταση Hamming (Hamming distance ή, /p 7-7

εναλλακτικά, city-block distance), η 2... 2 2 x y x y, ενώ η L είναι η Ευκλείδεια απόσταση (Euclidean distance) d x y L ισούται με d x, y ; max,..., x y x y., ;2 Μια επιπλέον επέκταση προκύπτει αν θεωρήσουμε το Καρτεσιανό γινόμενο R R που αντιστοιχεί σε μη-αριθμήσιμο σύνολο βασικών πλεγμάτων (R,). Σ αυτήν την περίπτωση προκύπτει το μερικώς διατεταγμένο πλέγμα (F, ) όλων των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται πάνω στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Συγκεκριμένα, δοθέντων f,gf, η σχέση f g ερμηνεύεται ως f ( x) g( x ) για κάθε xr, όπου είναι η σχέση διάταξης (πραγματικών) αριθμών. Η διατομή ( ) δύο στοιχείων (συναρτήσεων) f και g στο πλέγμα (F, ) ορίζεται ως f g = f(x) g(x) := min{ f ( x), g( x )}, ενώ η συνένωση ( ) στο πλέγμα (F, ) ορίζεται ως f g = f(x) g(x) := max{ f ( x), g( x )}. x R 7.3.2 Χώροι Μέτρου Ως χώρος μέτρου (measure space) ορίζεται μια τριάδα,, m, όπου είναι ένα σύνολο, είναι μια -άλγεβρα του συνόλου και m είναι ένα μέτρο πάνω στη. Για τον ορισμό της -άλγεβρας καθώς και του μέτρου βλέπε στη συνέχεια. Ως -άλγεβρα (-algebra) ενός συνόλου ορίζεται μια συλλογή υποσυνόλων του η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: Σ., Σ2. A (\A), Σ3. για μια συλλογή συνόλων A i, όπου ο δείκτης i λαμβάνει τιμές σε ένα αριθμήσιμο σύνολο D, έπεται ( A i). id Οι παραπάνω συνθήκες δηλώνουν ότι, μια -άλγεβρα περιλαμβάνει το κενό σύνολο και είναι κλειστή στο συμπλήρωμα και σε κάθε αριθμήσιμη ένωση συνόλων της. Ως μέτρο (measure) ορίζεται μια πραγματική, μη-αρνητική συνάρτηση m : R η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: Μ. m ( ), Μ2. για κάθε αριθμήσιμο σύνολο δεικτών D και για συλλογή ξένων μεταξύ τους ανά δύο υποσυνόλων A i S ισχύει m ( A ) (A ) i m i. id id Το ζεύγος (, ) καλείται μετρήσιμος χώρος (measurable space). Ένας χώρος μέτρου προσφέρει τη δυνατότητα χειρισμού μη-αριθμητικών δεδομένων, τα οποία είναι στοιχεία ενός συνόλου. Συγκεκριμένα, δοθέντος ενός χώρου μέτρου,, m, η δυάδα (,), όπου είναι η συνηθισμένη συνολοθεωρητική σχέση του υποσυνόλου, είναι ένα πλήρες πλέγμα με o= και i=. Οι πράξεις διατομή και συνένωση στο πλέγμα (,) είναι οι συνολοθεωρητικές πράξεις τομή () και ένωση (), αντίστοιχα. Η συνάρτηση του μέτρου m (.) είναι μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο πλέγμα (,). Τέλος, η συνάρτηση (A)= \Α= A, η οποία απεικονίζει ένα σύνολο A στο συμπλήρωμα του A, είναι μια συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού στο πλέγμα (,). Συνεπώς, όλα τα μαθηματικά εργαλεία που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες είναι διαθέσιμα στο πλέγμα (,). x R 7-8

Μια ειδική περίπτωση χώρου μέτρου αποτελεί ο χώρος πιθανότητας, ο οποίος ορίζεται ως ένας χώρος μέτρου,, m με τον περιορισμό m ( ). Συχνά, στις εφαρμογές, το σύνολο ενός χώρου μέτρου,, m είναι πεπερασμένο, και η -άλγεβρα ισούται με το δυναμοσύνολο 2. Σημειώστε ότι μια επέκταση της έννοιας δυναμοσύνολο αποτελεί το ασαφές δυναμοσύνολο ως προς σύνολο αναφοράς, συμβολικά F(Ω) = [,] Ω. Έχει αποδειχθεί ότι η δομή (F(Ω),) είναι πλήρες πλέγμα. 7.3.3 Προτάσεις Το σύνολο των (αληθών/ψευδών) προτάσεων είναι μια άλγεβρα Boole (Birkhoff, 967). Έστω το σύνολο των (αληθών/ψευδών) προτάσεων που ενδιαφέρουν σε μια συγκεκριμένη εφαρμογή και έστω το δυναμοσύνολο του συνόλου. Μπορούμε να ορίσουμε ένα μέτρο, δηλ. μια συνάρτηση m : R, απεικονίζοντας κάθε αληθή πρόταση σε ένα θετικό αριθμό. Άρα, σύμφωνα με τα προηγούμενα, η τριάδα,, m είναι ένας χώρος μέτρου. Συνεπώς, όλα τα μαθηματικά εργαλεία που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες γίνονται διαθέσιμα στον προτασιακό λογισμό. 7.3.4 Δένδρα Τα «δένδρα» αποτελούν αναπαραστάσεις που μπορεί να χρησιμοποιηθούν ως μηχανισμοί λήψης αποφάσεων ή/και μελέτης διαδικασιών, όπου κάθε κόμβος του δένδρου αναπαριστά μια απόφαση/ενέργεια (πράξη) που μπορεί να ληφθεί/εκτελεστεί αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το Σχήμα 7.2 δείχνει ένα δυαδικό δένδρο στο οποίο κάθε κόμβος έχει ακριβώς δύο «κόμβους παιδιά». Ένα δένδρο αναπαριστά ένα πλέγμα συνένωσης (join lattice), όπου κάθε ζεύγος κόμβων x και y έχει συνένωση x y, αλλά όχι διατομή x y. Συγκεκριμένα, η συνένωση x y δύο κόμβων είναι ο πρώτος κόμβος όπου συναντώνται οι διαδρομές από το x και από το y προς τη ρίζα του δένδρου. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 7.2 είναι c c 4 =c 3, c 5 c 2 =c 4, c 2 c 4 =c 5 κ.λπ. c 5 επίπεδο- (ρίζα) c 3 c 4 επίπεδο- c 9 c c c 2 επίπεδο-2 επίπεδο-3 c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 Σχήμα 7.2 Δυαδικό δένδρο τριών επιπέδων με 2 3 =8 φύλλα (κόμβους) στο επίπεδο-3. Για να συγκρίνουμε δύο κόμβους του δένδρου στο Σχήμα 7.2 χρησιμοποιώντας είτε μια μετρική συνάρτηση, είτε μια συνάρτηση βαθμού διάταξης, εφαρμόζουμε μια κατασκευαστική διαδικασία τιμοδότησης, η οποία ξεκινάει με θετικές τιμές στα φύλλα του δένδρου στο επίπεδο-3, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3(α). Στη συνέχεια, τιμοδοτούνται οι κόμβοι στο αμέσως παραπάνω επίπεδο-2 αθροίζοντας τις τιμές των παιδιών κάθε κόμβου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3(β). Συγκεκριμένα, αν c i και c j είναι οι κόμβοι παιδιά κάποιου κόμβου c k με τιμές v(c i ) και v(c j ) αντίστοιχα, τότε η τιμή του γονέα κόμβου c k υπολογίζεται ως v(c k )= v(c i )+v(c j ). Προοδευτικά, τιμοδοτούνται οι κόμβοι όλων των άλλων επιπέδων μέχρι τη ρίζα του δένδρου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3(γ). 7-9

Το δένδρο του Σχήματος 7.3(γ) μπορεί να μετασχηματιστεί σε πλήρες πλέγμα με την εισαγωγή ενός επιπλέον κόμβου στο (νέο) επίπεδο-4, ως το ελάχιστο στοιχείο (o) με τιμή ίση με (βλ. Σχήμα 7.3(δ)) Σημειώστε ότι το μέγιστο στοιχείο (i) του πλήρους πλέγματος στο Σχήμα 7.3(δ) είναι ο κόμβος-ρίζα του δένδρου c 5, δηλ. i= c 5. Τώρα μπορεί να υπολογιστεί τόσο μια μετρική απόσταση (d), όσο και ένας βαθμός διάταξης (). Για παράδειγμα, d(c,c 3 )= v(c c 3 )-v(c c 3 )= v(c 3 )-v(c )=.7-2= 9.7 και d(c 3,c 3 )= v(c 3 c 3 )- v(c 3 c 3 )= v(c 3 )-v(c 3 )=.7-5= 6.7. Σημειώστε ότι παρόλο που οι κόμβοι c και c 3 βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο-3, ο κόμβος c 3 βρίσκεται εγγύτερα στον κόμβο c 3 από τον κόμβο c εξαιτίας της συνάρτησης τιμοδότησης που χρησιμοποιήθηκε. Επιπλέον, η απόσταση μεταξύ των κόμβων c και c 3 υπολογίζεται ως d(c,c 3 )= v(c c 3 )-v(c c 3 )= v(c 3 )-v()=.7-=.7. Δηλ. οι κόμβοι c και c 3 απέχουν πιο πολύ μεταξύ τους, από όσο απέχει ο καθένας τους από τον κόμβο c 3. Στη συνέχεια υπολογίζουμε βαθμούς διάταξης. c 5 c 5 c 3 c 4 c 3 c 4 c 9 c c c 2 3.5 8.2 5.8 2.8 2.5 5 3.2 4.8.4 2.4 2.5 5 3.2 4.8.4 2.4 (α) (β) 2.3 2.3.7 8.6.7 8.6 3.5 8.2 5.8 2.8 3.5 8.2 5.8 2.8 2.5 5 3.2 4.8.4 2.4 2.5 5 3.2 4.8.4 2.4 (γ) (δ) επίπεδο-4 Σχήμα 7.3 Τιμοδότηση όλων των κόμβων του δυαδικού δένδρου του Σχήματος 7.2. (α) Τιμοδότηση των φύλλων του δένδρου. (β) Τιμοδότηση των κόμβων στο επίπεδο-2 του δένδρου. (γ) Η τιμοδότηση όλων των κόμβων του δένδρου έχει ολοκληρωθεί. (δ) Οι τιμές που φαίνονται ορίζουν μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης στο πλήρες πλέγμα που προκύπτει μετά την εισαγωγή ενός μοναδικού κόμβου (στο νέο επίπεδο-4) ως το ελάχιστο στοιχείο (o) του πλήρους πλέγματος. 7-

v c vc 4 Για συγκρίσιμα στοιχεία, όπως για παράδειγμα είναι τα στοιχεία c 5 και c 4, έπεται (c 5 c 4 )= c 5 4 = vc vc 4 4 =, (c 5 c 4 )= v c 5 4 vc 5 c = v c v c παράδειγμα είναι τα στοιχεία c και c 4, έπεται (c c 4 )= (c c 4 )= v c 4 vc c = v v c = 5 5 =. Ενώ για μη-συγκρίσιμα στοιχεία, όπως για v c vc 4 c 4 = vc vc 4 5 = 8.6.423 και 2.3 =. Είναι ενδιαφέρον να επαληθεύσουμε υπολογιστικά ότι, για 2 συγκρίσιμα στοιχεία, ο βαθμός που ένα μεγαλύτερο στοιχείο περιέχεται σε ένα μικρότερο μπορεί να είναι μημηδενικός. Για παράδειγμα, (c 4 c 5 )= = = = (c 4 c 5 ). vc 5 vc 5 v c4 c5 v c c vc vc 4 5 4 8.6.6 Οι προηγούμενες τεχνικές μπορούν να επεκταθούν όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Πρώτη επέκταση: Στο προαναφερθέν δυαδικό δένδρο αν c i και c j είναι οι κόμβοι παιδιά του c k με τιμές v(c i ) και v(c j ) αντίστοιχα, τότε η τιμή του γονέα c k μπορεί να τεθεί v(c k ) > v(c i )+v(c j ). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την ανάγκη για εισαγωγή επιπλέον στοιχείων στο πλέγμα του Σχήματος 7.3(δ), ώστε για κάθε ζεύγος c i και c j να υπάρχει η διατομή c i c j με v(c i c j ) >. Ωστόσο, προκείμενου να υπολογίσουμε μετρικές αποστάσεις ή/και βαθμούς διάταξης, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η τιμή v(c i c j ) και όχι το στοιχείο c i c j αυτό καθαυτό. Σημειώστε ότι η τιμή v(c i c j ) πρέπει να υπολογιστεί έτσι, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο σχέσεις, v(x)+v(y) = v(x y)+v(x y) και x y vx Συνεπώς, προκύπτουν: d(c i,c j )= 2v(c i c j )-v(c i )-v(c j ) και (x,u) = 4 v y μιας συνάρτησης θετικής τιμοδότησης. v( x) v( u) v x u Δεύτερη επέκταση: Το δένδρο μπορεί να μην είναι δυαδικό. Σ αυτήν την περίπτωση εφαρμόζουμε μια κατασκευαστική διαδικασία τιμοδότησης δίνοντας θετικές τιμές στα φύλλα του δένδρου και στη συνέχεια, τιμοδοτώντας τους κόμβους του αμέσως παραπάνω επιπέδου ως εξής. Έστω ότι ένας κόμβος c k έχει τους κόμβους παιδιά c i, ii. Την τιμή v(c k ) την υπολογίζουμε θέτοντας v(c k ) > max{ v( ci) v( c j)}. Προοδευτικά, δηλ. ανά επίπεδο, τιμοδοτούμε όλους τους κόμβους μέχρι τη ρίζα του δένδρου. Και στις δύο προαναφερθείσες επεκτάσεις, το πρόβλημα της τιμοδότησης των κόμβων ενός δένδρου μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης. Να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός της διατομής c i c j σε δένδρο, όπου c i και c j είναι κόμβοι, είναι αναγκαίος για τον υπολογισμό διαστημάτων (μέσα σε δένδρα). Όμως, όπως εξηγήθηκε παραπάνω, ο υπολογισμός της διατομής c i c j δεν είναι προφανής σε ένα γενικό δένδρο, με εξαίρεση ειδικές περιπτώσεις όπως το δυαδικό δένδρο στο Σχήμα 7.2, μια επέκταση του οποίου σε πλήρες πλέγμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 7.3(δ). Γενικά, εδώ έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα δυσκολότερο πρόβλημα βελτιστοποίησης, όπου, εκτός από την τιμοδότηση των κόμβων του δένδρου, πρέπει επίσης να εισαγάγουμε και νέους κόμβους. Η επιδίωξή μας είναι να υπολογίσουμε ένα πλέγμα (L, ), το οποίο να είναι εφοδιασμένο τόσο με μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης v(.), όσο και με μια συνάρτηση δυϊκού ισομορφισμού (.), ώστε το αρχικό δένδρο που μας ενδιαφέρει να είναι εμφυτευμένο στο πλέγμα (L, ), δηλ. να αποτελεί υποπλέγμα του (L, ). Το προαναφερθέν κατασκευαστικό πρόβλημα είναι παρόμοιο με αυτό που περιγράφεται στην ενότητα 9..2, όπου το πλέγμα (Ι,) εμφυτεύεται στο πλέγμα (RR,) των γενικευμένων διαστημάτων και μπορούμε να υπολογίσουμε τόσο συναρτήσεις θετικής τιμοδότησης v(.), όσο και συναρτήσεις δυϊκού ισομορφισμού (.). Ωστόσο, σημειώστε ότι η αντίστοιχη κατασκευή σε δένδρα θεωρείται δυσκολότερο πρόβλημα, διότι για κάθε διαφορετικό δένδρο θα πρέπει να κατασκευάζεται ένα διαφορετικό πλέγμα (L, ). v x. i, ji i j 7-

7.3.5 Συμπέρασμα Πέραν των προαναφερθέντων συγκεκριμένων παραδειγμάτων πλεγμάτων υπάρχουν και άλλες χρήσιμες αναπαραστάσεις υποψήφιες για ανάλυση στο πλαίσιο της θεωρίας διάταξης. Για παράδειγμα, οι οντολογίες (ontologies) (Guarino, 29) αποτελούν μια δημοφιλή αναπαράσταση στην επιστήμη των υπολογιστών, π.χ. στο σημασιολογικό ιστό (semantic Web), η οποία θα μπορούσε να εμφυτευτεί σε κάποιο πλέγμα με παρόμοιο τρόπο, όπως εξηγήθηκε στην ενότητα 7.3.3 για τα δένδρα, προκειμένου να προκύψουν τα χρήσιμα μαθηματικά εργαλεία που παρουσιάστηκαν σ αυτό το κεφάλαιο. Η θεωρία διάταξης αποτελεί ένα πεδίο για υπολογισμό με σημασιολογίες οι οποίες αναπαρίστανται με μια σχέση μερικής διάταξης σε πλέγμα. Γενικά, η θεωρία διάταξης δίνει τη δυνατότητα αποτελεσματικότερων αναπαραστάσεων. Επιπλέον, επειδή το Καρτεσιανό γινόμενο (ανόμοιων) πλεγμάτων είναι και αυτό πλέγμα, η θεωρία διάταξης προβάλλει ως ένα μαθηματικά αυστηρό πλαίσιο για την ενοποίηση, καθώς και τον αυστηρό συγκερασμό ανόμοιων τύπων δεδομένων (disparate data fusion) σε εφαρμογές μοντελοποίησης στην ΥΝ. Τέλος, σημειώστε ότι ένας αλγόριθμος εφαρμόσιμος σε πλέγματα, π.χ. ένας αλγόριθμος για μάθηση, έχει ευρύτατο πεδίο εφαρμογής χωρίς ουσιαστικές τροποποιήσεις. Επιλεγμένες εφαρμογές προς επίρρωση των προαναφερθέντων πλεονεκτημάτων της θεωρίας διάταξης παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 9. Παράρτημα (Γενική Θεωρία Πλεγμάτων) Σ αυτό το Παράρτημα παρουσιάζονται γνώσεις υποδομής από τη θεωρία πλεγμάτων. Η Δυαδική Σχέση «Μερική Διάταξη» Μια δυαδική σχέση (binary relation) R (μεταξύ δύο συνόλων P και Q) ορίζεται ως ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου PQ, δηλ. R PQ. Αντί για p, qr συχνά γράφουμε prq. Εάν P Q, τότε μιλάμε για μια δυαδική σχέση μέσα στο σύνολο P. Την αντίστροφη (inverse) σχέση της R τη συμβολίζουμε με R, δηλ. είναι εξ ορισμού qr p : prq. Μία δυαδική σχέση RPQ καλείται συνάρτηση (function), όταν δεν υπάρχουν ζεύγη (p,q )R και (p,q 2 )R με q q 2. Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση f είναι μια αντιστοιχία που απεικονίζει κάθε στοιχείο p του συνόλου P σε ένα μόνον στοιχείο f(p) του συνόλου Q. Το f(p) καλείται εικόνα (image) του p. Εάν κάθε στοιχείο του συνόλου Q είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου του συνόλου P, τότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι επί (surjection). Επιπλέον, εάν η ανάστροφη σχέση μιας συνάρτησης είναι και αυτή συνάρτηση, τότε η συνάρτηση καλείται αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία (bijection). Με άλλα λόγια, αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία σημαίνει «- και επί». Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε μια συγκεκριμένη δυαδική σχέση. Μία δυαδική σχέση R PP σε ένα σύνολο P καλείται μερικώς διατεταγμένη (partially ordered), αν και μόνο αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: Δ. ( x, x)r (Ανακλαστική) Δ2. ( x, y)r και x y ( y, x)r (Αντισυμμετρική) Δ3. ( x, y)r και ( y, z) R ( x, z) R (Μεταβατική) Η συνθήκη Δ2 μπορεί να αντικατασταθεί με την παρακάτω ισοδύναμη συνθήκη: Δ2 ( x, y)r και ( y, x)r x y (Αντισυμμετρική) Αντί για xry ( x, y)r συχνά χρησιμοποιούμε το συμβολισμό x y (x,y) και λέμε ότι «το x περιέχεται στο y» ή ότι «το x είναι μέρος του y» ή ότι «το x είναι μικρότερο ή ίσο του y». Εάν x y και x y τότε γράφουμε x y και λέμε ότι «το x είναι γνησίως μικρότερο από το y» ή «το x περιέχεται γνησίως στο y». Παρόμοια ορίζονται τα σύμβολα x y και x y για την ανάστροφη σχέση R. 7-2

Ως γενική πληροφόρηση αξίζει να σημειωθεί ότι ο προαναφερθείς ορισμός μιας μερικώς διατεταγμένης σχέσης διαφέρει από τον ορισμό της (επίσης δυαδικής) σχέσης ισοδυναμίας μόνον κατά την αντισυμμετρική συνθήκη όπως φαίνεται στη συνέχεια. Μία δυαδική σχέση R PP σε ένα σύνολο αναφοράς P καλείται σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation), αν και μόνο αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: Ι. ( x, x)r (Ανακλαστική) Ι2. ( x, y)r ( y, x)r (Συμμετρική) Ι3. ( x, y)r και ( y, z) R ( x, z) R (Μεταβατική) Μερικώς διατεταγμένο σύνολο (μδσυν) (partially ordered set (poset)) είναι ένα ζεύγος (P, ), όπου P είναι ένα σύνολο και είναι μια σχέση (μερικής) διάταξης στο P. Σημειώστε ότι στο ίδιο σύνολο P μπορεί να οριστούν περισσότερες από μια (διαφορετικές) σχέσεις διάταξης, π.χ. και 2. Μία συνάρτηση : PQ από το μδσυν (P, ) στο μδσυν (Q, ) καλείται συνάρτηση διατήρησης τάξης (order preserving) ή απλά μονότονη (monotone), εάν x y (x) (y), για x, yp. Εάν, επιπλέον, η ικανοποιεί την αντίστροφη συνεπαγωγή x y (x) (y), τότε η καλείται συνάρτηση εμφύτευσης τάξης (order embedded). Μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση εμφύτευσης τάξης καλείται ισομορφισμός (isomorphism). Όταν υπάρχει μια συνάρτηση ισομορφισμού μεταξύ δύο μδσυν (P, ) και (Q, ), τότε τα μδσυν (P, ) και (Q, ) καλούνται ισομορφικά, συμβολικά (P, ) (Q, ). Το δυϊκό (dual) ενός μδσυν (P, ) είναι ένα μδσυν (P, ) = (P, ) = (P, ) που ορίζεται από την ανάστροφη σχέση διάταξης πάνω στα ίδια στοιχεία. Εάν για δύο μδσυν (P, ) και (Q, ) ισχύει (P, ) (Q, ), τότε τα (P, ) και (Q, ) καλούνται δυϊκώς (dually) ισομορφικά. Αρχή της δυϊκότητας (duality principle) (σε μδσυν): Η ανάστροφη μιας σχέσης διάταξης είναι επίσης σχέση διάταξης. Συγκεκριμένα, η ανάστροφη διάταξη καλείται δυϊκή της και συμβολίζεται με ή - ή. Η αρχή της δυϊκότητας χρησιμοποιείται για να επεκτείνει ορισμούς και αποδείξεις, όπως εξηγείται στη συνέχεια. Λαμβάνουμε τη δυϊκή πρόταση (dual statement) S μιας πρότασης S σε μδσν, εάν εναλλάξουμε αμοιβαία τα σύμβολα και στην πρόταση S. Η S ισχύει για ένα διατεταγμένο σύνολο, εάν και μόνο εάν η S ισχύει για το δυϊκό του σύνολο. Δύο διαφορετικά στοιχεία x και y ενός μδσυν καλούνται συγκρίσιμα (comparable), εάν x y ή y x. Μη-συγκρίσιμα (incomparable) στοιχεία x και y καλούνται παράλληλα (parallel), συμβολικά x y. Μια ειδική περίπτωση μδσυν παρουσιάζεται στη συνέχεια. Αλυσίδα (chain) ή, εναλλακτικά, ολικώς διατεταγμένο σύνολο (totally ordered set) είναι ένα μδσυν (P, ), το οποίο περιέχει μόνον συγκρίσιμα στοιχεία. Για παράδειγμα, το σύνολο R των πραγματικών αριθμών με τη συνήθη σχέση διάταξης είναι ένα μδσυν συγκεκριμένα το μδσυν R, είναι αλυσίδα. Ένα παράδειγμα μδσυν το οποίο δεν είναι αλυσίδα παρουσιάζεται στη συνέχεια με αναφορά στο Σχήμα 7.4. Ένα πεπερασμένο μδσυν (P, ) μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα διάγραμμα Hasse (Hasse diagram), όπου τα στοιχεία του P απεικονίζονται με μικρούς κύκλους (κόμβους) έτσι, ώστε δύο στοιχεία ap και bp αντίστοιχα, «άνω» και «κάτω» στο διάγραμμα, συνδέονται με μια γραμμή αν και μόνο αν το a καλύπτει το b Λέγοντας ότι «το a καλύπτει (cover) το b» σε ένα μδσυν (P, ) εννοούμε ότι a b και επιπλέον δεν υπάρχει xp τέτοιο, ώστε a x b. Το Σχήμα 7.4 δείχνει το διάγραμμα Hasse του δυναμοσυνόλου 2 {a,b,c}, όπου {a,b,c} καλύπτει το {a,b}, το {a,c} καλύπτει το {c} κ.λπ. Υπενθυμίζουμε ότι ως δυναμοσύνολο ενός συνόλου S, συμβολικά 2 S, ορίζεται το σύνολο όλων των υποσυνόλων του S. 7-3

{a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} { } Σχήμα 7.4 Διάγραμμα Hasse του δυναμοσυνόλου 2 {a,b,c} του συνόλου,, S a b c. Το ελάχιστο (least) στοιχείο, εάν υπάρχει, ενός συνόλου X P σε ένα μδσυν (P, ) είναι το μοναδικό στοιχείο a X, τέτοιο, ώστε a x για κάθε x X. Το αντίστοιχο δυϊκό στοιχείο σε ένα σύνολο X P καλείται μέγιστο (greatest) στοιχείο. Το ελάχιστο στοιχείο, εάν υπάρχει, σε ένα μδσυν θα συμβολίζεται με o. Αντίστοιχα, το μέγιστο στοιχείο θα συμβολίζεται με i. Έστω ένα μδσυν (P, ) με ελάχιστο στοιχείο o. Κάθε καλείται άτομο (atom). Π.χ. τα σύνολα a, b, xp που καλύπτει το o, αν τέτοιο x υπάρχει, c στο Σχήμα 7.4 είναι άτομα. Έστω ένα μδσυν (P, ) και a, bp με a b. Ως (συνηθισμένο) διάστημα ((ordinary) interval) ab, ορίζεται το σύνολο ab, := {xp: a x b}. Έστω I το σύνολο των (συνηθισμένων) διαστημάτων στο (P, ). Έπεται το μδσυν (I,), όπου είναι η σχέση υποσυνόλου. Η σχέση διάταξης [a,b][c,e] είναι ισοδύναμη με τη σχέση c a b e. Το μδσυν (I,) μπορεί να επεκταθεί με την εισαγωγή ενός ελάχιστου στοιχείου που είναι το κενό σύνολο (). Έτσι, προκύπτει το μδσυν (I{},). Σημειώστε ότι η προαναφερθείσα ισοδύναμη σχέση διάταξης δεν επεκτείνεται προφανώς στο μδσυν (I{},), διότι δεν υπάρχει μια προφανής αναπαράσταση του κενού συνόλου () σε μορφή διαστήματος. Κάθε τετριμμένο διάστημα [x,x]i στο μδσυν (I{},) είναι άτομο. Εάν (P, ) είναι μδσυν, το σύνολο : ideal) (παραγόμενο από το a ), ενώ το σύνολο : filter) (παραγόμενο από το b ). a : b : x P x a ονομάζεται πρωτεύον ιδεώδες (principal x P x b ονομάζεται πρωτεύον φίλτρο (principal Ως μέγεθος (size) ενός στοιχείου του μδσυν (P, ) ορίζεται μια (μη-αρνητική) πραγματική συνάρτηση δ: PR, η οποία ικανοποιεί την παρακάτω ιδιότητα: S. u w δ(u) < δ(w). Το Καρτεσιανό γινόμενο μδσυν (P, ) (P, ) ορίζεται ως ένα μδσυν (P P, ) = (P P, ) με (x,,x ) (y,,y ) : x y,, x y. Έστω ότι το μδσυν (P, ) ισούται με το Καρτεσιανό γινόμενο ( P, ) ( P i, i), όπου Ω είναι ένα ολικώς διατεταγμένο σύνολο δεικτών, έστω μια συνάρτηση δ i : P i R μεγέθους σε κάθε μδσυν (P i, i ) και έστω ο χώρος πιθανότητας,, P. Τότε, το μέγεθος ενός στοιχείου A(P, ), με συνιστώσες A i P i, iω, είναι μια συνάρτηση δ: PR, η οποία υπολογίζεται από το γενικό τύπο: i 7-4

δ(a) = i( Ai) dp. Σημειωτέον ότι το Ω μπορεί να είναι είτε διακριτό, είτε συνεχές. Σε κάθε περίπτωση, η συνάρτηση P : [,] του μέτρου πιθανότητας ερμηνεύεται ως συνάρτηση βάρους. Η Δυαδική Σχέση «Πλέγμα» Η θεωρία πλεγμάτων (lattice theory), ή εναλλακτικά, θεωρία διάταξης (order theory), αναπτύχθηκε από τον Garrett Birkhoff (Birkhoff, 967 Davey & Priestley, 99 Grätzer, 23). Στη συνέχεια συνοψίζονται χρήσιμα στοιχεία αυτής της θεωρίας. Έστω ένα μδσυν (P, ) και X P. Άνω φράγμα (upper bound) του Χ είναι ένα στοιχείο ap με x a, xx. Ελάχιστο άνω φράγμα (least upper bound) του Χ, εάν υπάρχει, είναι το μοναδικό άνω φράγμα που περιέχεται σε κάθε άνω φράγμα. Το ελάχιστο άνω φράγμα καλείται συνένωση πλέγματος (lattice join), ή απλά συνένωση (join), του Χ και συμβολίζεται με sup X ή X. Οι έννοιες κάτω φράγμα (lower bound) του Χ και μέγιστο κάτω φράγμα (greatest lower bound) του Χ ορίζονται δυϊκά. Το μέγιστο κάτω φράγμα καλείται διατομή πλέγματος (lattice meet), ή απλά διατομή (meet), του Χ και συμβολίζεται με infx ή X. Εάν X, x y, τότε θα γράφουμε x y για το supx και x y για το infx. Ακολουθεί ο πρώτος ορισμός του πλέγματος. Ως πλέγμα (lattice) (L, ) ορίζεται ένα μδσυν, στο οποίο οποιαδήποτε δύο στοιχεία xy, L έχουν μέγιστο κάτω φράγμα που συμβολίζεται με x y, και ελάχιστο άνω φράγμα που συμβολίζεται με x y. Κάθε αλυσίδα, συμπεριλαμβανομένης της αλυσίδας R, των πραγματικών αριθμών, είναι πλέγμα. Ένα γενικό πλέγμα (L, ) καλείται πλήρες (complete), όταν κάθε υποσύνολό του X έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα και ένα ελάχιστο άνω φράγμα στο L. Αν θέσουμε X L, προκύπτει ότι ένα (μη-κενό) πλήρες πλέγμα περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο και ένα μέγιστο στοιχείο που συμβολίζονται έστω με o και i αντίστοιχα. Ο προηγούμενος ορισμός για το πλέγμα εδώ καλείται σημασιολογικός (semantic lattice definition). Επιπλέον, υπάρχει και ένας ισοδύναμος, δεύτερος ορισμός, ο οποίος εδώ καλείται αλγεβρικός (algebraic lattice definition) και δίδεται στη συνέχεια βασιζόμενος στις δυαδικές πράξεις (operations) διατομή ( ) και συνένωση ( ) Σημειώστε ότι ως άλγεβρα (algebra) A ορίζεται ένα ζεύγος [S,F], όπου S είναι ένα μη-κενό σύνολο, και F είναι ένα καλώς ορισμένο σύνολο πράξεων f a, κάθε μια από τις οποίες απεικονίζει μια δύναμη S n(a) του S στο S για έναν πεπερασμένο θετικό ακέραιο n(a). Ακολουθεί ο δεύτερος ορισμός του πλέγματος. Ως πλέγμα (L, ) ορίζεται μια άλγεβρα (L,, ) με δύο δυαδικές πράξεις και που ικανοποιούν τις παρακάτω ιδιότητες L - L4, και αντιστρόφως. L. x x = x, x x = x (Ταυτοτική) L2. x y = y x, x y = y x (Αντιμεταθετική) L3. x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z (Προσεταιριστική) L4. x (x y) = x (x y) = x (Απορρόφηση) Η δυαδική σχέση x y είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο ζεύγος πράξεων x y = x και x y = y (Συνέπεια) Οι δυαδικές πράξεις διατομή ( ) και συνένωση ( ) έχουν διάφορες ιδιότητες. Παραδείγματος χάριν, οι πράξεις και είναι μονότονες, δηλ. y z x y x z και x y x z, xl. Ειδικότερα, σε ένα πλήρες 7-5

πλέγμα (L, ) ισχύει o x = o, o x = x, x i = x και x i = i, xl. Εξ ορισμού, ατομικό (atomic) καλείται ένα πλέγμα όπου κάθε στοιχείο ισούται με τη συνένωση ατόμων. Στο πλαίσιο εφαρμογών ΥΝ ο αλγεβρικός ορισμός του πλέγματος είναι χρήσιμος κυρίως για υπολογισμούς, ενώ ο σημασιολογικός ορισμός του πλέγματος είναι χρήσιμος κυρίως για λήψη αποφάσεων. Από αυστηρά μαθηματική άποψη σημειώστε ότι η θεωρία πλεγμάτων δεν είναι τόσο γενική, όσο είναι η θεωρία συνόλων, εξαιτίας των περιορισμών στον ορισμό του πλέγματος. Ωστόσο, στην πράξη η θεωρία πλεγμάτων προσφέρεται για ανάλυση και σχεδίαση σε ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών, όπως σκιαγραφείται στην ενότητα 7.3. Το δυϊκό, συμβολικά (L, ) (L, ) (L, ), ενός πλέγματος (L, ) είναι και αυτό πλέγμα όπου οι πράξεις διατομή και συνένωση εναλλάσσονται αμοιβαία. Με άλλα λόγια κάθε πρόταση στο πλέγμα (L, ) ισχύει επίσης στο πλέγμα (L, ), υπό την προϋπόθεση ότι η πράξη αντικαθιστά την πράξη και η πράξη αντικαθιστά την πράξη. Έπεται ότι το δυϊκό ενός πλήρους πλέγματος είναι πλήρες πλέγμα. Αρχή της δυϊκότητας (σε πλήρες πλέγμα): Λαμβάνουμε τη δυϊκή πρόταση μιας (θεωρητικής) πρότασης σε πλήρες πλέγμα, εάν αντικαταστήσουμε τα σύμβολα,,, o, i με τα σύμβολα,,, i, o αντίστοιχα. Ως υποπλέγμα (sublattice) (S, ) ενός πλέγματος (L, ) ορίζεται ένα πλέγμα με SL. Το (L, ) καλείται υπερπλέγμα (superlattice) του (S, ). Επιπλέον, λέμε ότι το (S, ) είναι εμφυτευμένο στο (L, ). Εάν (a,b) σε ένα πλέγμα (L, ) τότε το ([a,b], ), όπου [a,b] είναι το κλειστό διάστημα [a,b]:= {xl: a x b}, είναι υποπλέγμα. Ένα υποπλέγμα (S, ) του πλέγματος (L, ) καλείται κυρτό, όταν a,bs συνεπάγεται [a b,a b]s. Ένα πλέγμα καλείται επιμεριστικό (distributive), εάν και μόνον εάν οποιεσδήποτε από τις ακόλουθες δύο ισοδύναμες «επιμεριστικές ταυτότητες» ισχύουν για όλα τα x, y, z. L5. x (y z) = (x y) (x z) L5. x (y z) = (x y) (x z) Συμπλήρωμα (complement), εάν υπάρχει, ενός στοιχείου x σε πλήρες πλέγμα (L, ) με ελάχιστο (μέγιστο) στοιχείο o(i) καλείται ένα στοιχείο yl, τέτοιο, ώστε x y = o και x y = i. Τυπικά, το συμπλήρωμα ενός στοιχείου xl συμβολίζεται με xl. Ένα πλέγμα (L, ) καλείται συμπληρωματωμένο (complemented), εάν όλα του τα στοιχεία έχουν συμπλήρωμα. Ένα συμπληρωμένο, επιμεριστικό πλέγμα καλείται πλέγμα Boole (Boolean lattice). Ένα παράδειγμα πλέγματος Boole είναι το ζεύγος (2 S,), όπου 2 S είναι το δυναμοσύνολο ενός συνόλου S και είναι η συνολοθεωρητική σχέση υποσυνόλου. Η διατομή και η συνένωση στο πλέγμα Boole (2 S,) είναι η συνολοθεωρητική τομή () και συνολοθεωρητική ένωση () αντίστοιχα. Ως άλγεβρα Boole (Boolean algebra) ορίζουμε μια άλγεβρα (L,,,) με δύο δυαδικές πράξεις, και μια εναδική πράξη που ικανοποιεί τις L - L8. L6. x x = o, x x = i L7. x x L8. (x y) = x y (x y) = x y Δοθέντος του γεγονότος ότι το σύνολο των προτάσεων είναι μια άλγεβρα Boole όπως εξηγήθηκε στην ενότητα 7.3.3, έπεται ότι, στα πλαίσια της Κλασικής Λογικής, οι ιδιότητες/πράξεις μιας άλγεβρας Boole ισχύουν στο σύνολο των προτάσεων. Περαιτέρω επεκτάσεις στην Ασαφή Λογική και Συλλογιστική παρουσιάζονται στην ενότητα 8.. 7-6

Έστω τα πλέγματα (L, ) και (M, ). Μια συνάρτηση : LM καλείται: (α) Μορφισμός συνένωσης (join morphism), εάν (x y) = (x) (y), xy, L. (β) Μορφισμός διατομής (meet morphism), εάν (x y) = (x) (y), xy, L. Μια συνάρτηση καλείται μορφισμός (πλέγματος) ((lattice) morphism), εάν η είναι ταυτόχρονα μορφισμός-συνένωσης και μορφισμός-διατομής. Ένας αμφιμονοσήμαντος μορφισμός καλείται ισομορφισμός (πλέγματος) ((lattice) isomorphism). Η ακόλουθη συνάρτηση είναι ιδιαίτερα σημαντική, στο πλαίσιο αυτού του βιβλίου. Συνάρτηση τιμοδότησης (valuation function) σε ένα πλέγμα (L, ) είναι μια πραγματική συνάρτηση v: LR που ικανοποιεί v(x)+v(y) = v(x y)+v(x y). Μια συνάρτηση τιμοδότησης καλείται μονότονη (monotone), αν και μόνον αν x y vx vx v y. v y και θετική (positive) αν και μόνον αν x y Παρατηρήστε ότι μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης θα μπορούσε να είναι μια συνάρτηση μεγέθους. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση θετικής τιμοδότησης, η οποία λαμβάνει μη-αρνητικές τιμές, είναι συνάρτηση μεγέθους. Οι συναρτήσεις (θετικής) τιμοδότησης συνήθως αναφέρονται στη θεωρία πλεγμάτων, χωρίς να τους αποδίδεται κάποια ιδιαίτερη σημασία. Αντιθέτως, σ αυτό το βιβλίο οι συναρτήσεις θετικής τιμοδότησης είναι κρίσιμες, διότι επιτρέπουν τον ορισμό δύο χρήσιμων συναρτήσεων, με σκοπό την (ποσοτικοποιημένη) σύγκριση στοιχείων πλέγματος. Συγκεκριμένα, οι προαναφερθείσες δύο χρήσιμες συναρτήσεις είναι πρώτον, ένας βαθμός διάταξης και δεύτερον, μια μετρική. Η πρώτη συνάρτηση παρουσιάζεται στην ενότητα 7., ενώ η δεύτερη συνάρτηση παρουσιάζεται στη συνέχεια. Μία συνάρτηση μονότονης τιμοδότησης v: LR σε ένα πλέγμα (L, ) συνεπάγεται μια ψευδομετρική συνάρτηση d :LL R, η οποία δίνεται από τον τύπο d(x,y)=v(x y)-v(x y), xy, L. Εάν, επιπλέον, η συνάρτηση τιμοδότησης v (.) είναι θετική, τότε η συνάρτηση d(x,y) = v(x y)-v(x y) είναι μετρική Για τον ορισμό μιας (ψευδο)μετρικής συνάρτησης βλέπε στη συνέχεια. Δοθέντος ενός συνόλου X, μετρική (metric) καλείται μία μη-αρνητική συνάρτηση d : X X R αν και μόνο αν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: M. d( x, y) x y (Ταύτιση) M2. d( x, y) d( y, x ) (Συμμετρία) M3. d( x, z) d( x, y) d( y, z ) (Τριγωνική Ανισότητα) Εάν η συνθήκη Μ ισχύει μόνο προς τη μία κατεύθυνση, ώστε d( x, y ) για κάποια x y, ενώ οι συνθήκες Μ2 και Μ3 ισχύουν κανονικά, τότε η συνάρτηση d(.,.) καλείται ψευδο-μετρική (pseudo-metric). Ένα σύνολο X με μια μετρική d καλείται μετρικός χώρος (metric space), συμβολικά (X,d). Όταν σε πλέγμα (L, ) με μέγιστο στοιχείο i υπάρχει μια συνάρτηση v(.) θετικής τιμοδότησης, μια λογική απαίτηση είναι να ισχύει d(x,i) < + για κάθε xl, δηλ. να απαιτείται η απόσταση οποιουδήποτε στοιχείου xl από το μέγιστο i να είναι πεπερασμένη. Η προαναφερθείσα απαίτηση συνεπάγεται d(x,i) = v(x i)-v(x i) = v(i)-v(x)< + v(i)< +. 7-7

Ερωτήσεις Κατανόησης και Ασκήσεις 7.) Να αποδειχθεί ότι η «Αντισυμμετρική» συνθήκη Δ2 είναι ισοδύναμη με την «Αντισυμμετρική» συνθήκη Δ2. 7.2) Να αποδειχθεί ότι οι δύο ορισμοί του πλέγματος είναι ισοδύναμοι. Με άλλα λόγια, να δειχθεί ότι ο σημασιολογικός ορισμός του πλέγματος είναι ισοδύναμος με τον αλγεβρικό ορισμό του πλέγματος. 7.3) Να αποδειχθεί ότι το μδσυν (I{},) είναι πλέγμα. Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατομή () και συνένωση ( ), οι οποίες ορίζονται στην ενότητα 7.2.2, ικανοποιούν τις ιδιότητες του αλγεβρικού ορισμού πλέγματος. 7.4) Έστω ένα (υπο)πλέγμα (l, ) εμφυτευμένο στο (υπερ)πλέγμα (L, ). Το τελευταίο είναι εφοδιασμένο με μια μετρική συνάρτηση d :LL R καθώς και με μια συνάρτηση : LL [,] βαθμού διάταξης. Να αποδειχθεί ότι οι προαναφερθείσες συναρτήσεις ισχύουν ως τέτοιες στο (υπο)πλέγμα (l, ). Βιβλιογραφία Ajmal,. & Thomas, K.V. (994). Fuzzy lattices. Information Sciences, 79(3-4), 27-29. Birkhoff, G. (967). Lattice Theory (Colloquium Publications 25). Providence, RI: American Mathematical Society. Chakrabarty, K. (2). On Fuzzy Lattice. In: W. Ziarko, Y.Y. Yao, eds., Rough Sets and Current Trends in Computing (Lecture otes in Computer Science 25: 238-242). Berlin, Germany: Springer-Verlag. Davey, B.A. & Priestley, H.A. (99). Introduction to Lattices and Order. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Fan, J., Xie, W. & Pei, J. (999). Subsethood measure: new definitions. Fuzzy Sets and Systems, 6(2), 2-29. Goguen, J.A. (967). L-fuzzy sets. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 8(), 45-74. Grätzer, G. (23). General Lattice Theory (2 nd ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag AG. Guarino,., Oberle, D. & Staab, S. (29). What is an ontology?. In: S. Staab, R. Studer, eds., Handbook on Ontologies (International Handbooks on Information Systems: -7). Berlin, Germany: Springer- Verlag. Kaburlasos, V.G. (992). Adaptive Resonance Theory With Supervised Learning and Large Database Applications (Library of Congress-Copyright Office). Reno, V: Univ. evada, Ph.D. Dissertation. Kaburlasos, V.G. & Kehagias, A. (24). Fuzzy inference system (FIS) extensions based on lattice theory. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 22(3), 53-546. Kaburlasos, V.G. & Papakostas, G.A. (25). Learning distributions of image features by interactive fuzzy lattice reasoning (FLR) in pattern recognition applications. IEEE Computational Intelligence Magazine, (3), 4-49. Kehagias, A. & Konstantinidou, M. (25). L-fuzzy valued inclusion measure, L-fuzzy similarity and L-fuzzy distance. Fuzzy Sets and Systems, 36(3), 33-332. Knuth, K.H. (25). Lattice duality: the origin of probability and entropy. eurocomputing, 67, 245-274. anda, S. (989). Fuzzy lattice. Bulletin Calcutta Mathematical Society, 8, 2-22. Sinha, D. & Dougherty, E.R. (993). Fuzzification of set inclusion: theory and applications. Fuzzy Sets and Systems, 55(), 5-42. Sinha, D. & Dougherty, E.R. (995). A general axiomatic theory of intrinsically fuzzy mathematical morphologies. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 3(4), 389-43. Tepavčević, A. & Trajkovski, G. (2). L-fuzzy lattices: an introduction. Fuzzy Sets and Systems, 23(2), 29-26. Young, V.R. (996). Fuzzy subsethood. Fuzzy Sets and Systems, 77(3), 37-384. Zhang, H.-Y. & Zhang, W.-X. (29). Hybrid monotonic inclusion measure and its use in measuring similarity and distance between fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 6(), 7-8. 7-8