Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε ότι κάτι ανάλογο συµβαίνει στο δακτύλιο πολυωνύµων F[ x ], όπου F είναι σώµα Σκοπός µας εδώ είναι να µελετήσουµε συνοπτικά ακέραιες περιοχές που έχουν την ιδιότητα της µοναδικής παραγοντοποίησης Για να γίνουµε πιο σαφείς απαιτούνται µερικοί ορισµοί που παραθέτουµε αµέσως παρακάτω Όλοι οι δακτύλιοι στο κεφάλαιο αυτό θα είναι µεταθετικοί Ορισµοί και Παραδείγµατα Έστω R ένας δακτύλιος και a, b R Ορισµός ) Θα λέµε ότι το a διαιρεί το b (συµβολισµός a αν υπάρχει c R τέτοιο ώστε b = ac ) Τα a και b ονοµάζονται συντροφικά στο R αν αντιστρέψιµο u R Η σχέση στο R που ορίζεται από σχέση ισοδυναµίας a = ub για κάποιο a ~ b a και b είναι συντροφικά, είναι Για παράδειγµα, τα µόνα συντροφικά στοιχεία του 3 στο είναι το 3 και 3 Τα συντροφικά στοιχεία του f ( x) F[ x], όπου k είναι σώµα, είναι τα όπου u k {0} Ÿ uf (x)
Κεφάλαιο Ορισµός Έστω R µια ακέραια περιοχή και p R ανάγωγο στο R αν () το p δεν είναι µηδέν και δεν είναι αντιστρέψιµο, και () p = ab µε a, b R ισχύει µόνο αν το a ή το b είναι αντιστρέψιµο Προφανώς οι πρώτοι αριθµοί είναι ανάγωγοι στο 5 δεν είναι ανάγωγο στοιχείο στο Τότε το p ονοµάζεται Ÿ Όµως ο πρώτος αριθµός Ÿ [ ] = { a + b a, b Ÿ } αφού 5 = ( + )( ) και τα στοιχεία +, δεν είναι αντιστρέψιµα στο Ÿ [] (Απόδειξη: ( + )( m + n) = m n = και m + n = 0 το οποίο δεν έχει ακέραιες λύσεις Όµοια για το 3 Ορισµός Μια ακέραια περιοχή R ονοµάζεται περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: () Κάθε στοιχείο του R που δεν είναι 0 ή αντιστρέψιµο γράφεται ως γινόµενο αναγώγων στοιχείων στο R () Αν a p και a = q q είναι γινόµενα αναγώγων στοιχείων του R τότε Ÿ [] = p r s r = s και µετά από κάποια αρίθµηση, το p είναι συντροφικό του q για κάθε =,, r Γνωστά παραδείγµατα είναι οι δακτύλιοι Ÿ και F[ x ], όπου F σώµα Ο είναι επίσης περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης όπως θα δούµε παρακάτω Υπάρχουν πολλές περιοχές που δεν είναι περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το επόµενο 4 Παράδειγµα Θα δείξουµε ότι στην ακέραια περιοχή Ÿ [ 5] = { a + b 5 a, b Ÿ } δεν ισχύει η συνθήκη () του Ορισµού 3 Παρατηρούµε ότι 6 = 3 = ( + 5) ( 5) Πρώτα δείχνουµε ότι τα στοιχεία, 3, + 5, και 5 είναι ανάγωγα στο Ÿ [ 5] : Ορίζουµε µία συνάρτηση ( νόρµα ) N : Ÿ [ 5] a + b 5 a + 5b Õ
Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 3 και παρατηρούµε ότι N ( xy) = x) y) για κάθε x, y Ÿ [ 5] Έστω τώρα ότι το u Ÿ [ 5] είναι αντιστρέψιµο Από τη σχέση uv = παίρνουµε N ( uv) = ) =, δηλαδή N ( u) v) = Άρα N ( u) =, γιατί u), v) Õ Γράφοντας u = u + u 5, παίρνουµε u + u ( u 0,u Ÿ ) Οι λύσεις της 0 5 0 = τελευταίας ιοφαντικής εξίσωσης είναι προφανώς u 0 = ±, u = 0 Συµπέρασµα: τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Ÿ [ 5] είναι τα ± Εποµένως τα, 3, ± 5 δεν είναι αντιστρέψιµα (συνθήκη ) του Ορισµού ) Θα δείξουµε τώρα ότι ισχύει η συνθήκη ) του Ορισµού για καθένα από τα, 3, + 5, 5 Έστω = ab µ ε a, b Ÿ [ 5] Έχουµε N ( ) = a, δηλαδή 4 = a) Επειδή a), Õ, συµπεραίνουµε ότι N ( a) = ή a) = ή N ( a) = 4 Η περίπτωση N ( a) = αποκλείεται γιατί a) = a = ± Όµοια η περίπτωση N ( a) = 4 αποκλείεται γιατί a) = 4 = b = ± Άρα έχουµε N ( a) = Όµως γράφοντας a + a 5 µε a 0, a Ÿ παρατηρούµε ότι 0 = a) = a + 5a Συνεπώς το είναι ανάγωγο στο 0 Η τελευταία ιοφαντική εξίσωση δεν έχει λύσεις Ÿ [ 5] Με παρόµοιο τρόπο δείχνουµε ότι το 3, + 5, και 5 είναι ανάγωγα στο Ÿ [ 5] Τέλος είναι προφανές ότι από τα, 3, + 5, και 5 οποιαδήποτε δύο δεν είναι συντροφικά, γιατί τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Ÿ [ 5] είναι τα ± I = (a) Υπενθυµίζουµε ότι ένα ιδεώδες I του δακτυλίου R ονοµάζεται κύριο αν για κάποιο a R 5 Ορισµός Μια περιοχή R ονοµάζεται περιοχή κυρίων ιδεωδών αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο 6 Παράδειγµα Οι δακτύλιοι Ÿ και F[ x ], όπου F είναι σώµα, είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών
4 Κεφάλαιο Απόδειξη Έστω Ι ιδεώδες του Ÿ διάφορο από το ( 0) Έστω d I ο ελάχιστος µη µηδενικός φυσικός αριθµός του συνόλου I Õ Θα αποδείξουµε ότι I = (d) Προφανώς έχουµε Συνεπώς ( d) I Έστω λοιπόν m I Από την ταυτότητα διαίρεσης στο m = qd + r, 0 r < d r = m qd I, γιατί το Ι είναι ιδεώδες Από την ανισότητα 0 r < d και τον ορισµό του d συµπεραίνουµε ότι r = 0 Τελικά m = qd (d), δηλαδή I (d) Η απόδειξη για το F[ x ] είναι πανοµοιότυπη: χρησιµοποιήστε την ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύµων Ένα παράδειγµα περιοχής που δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι η [ x] Πράγµατι, το ιδεώδες (, x ) του [ x] δεν είναι κύριο (γιατί;) Ένα άλλο τέτοιο παράδειγµα είναι ο δακτύλιος F[ xy, ] των πολυωνύµων δύο µεταβλητών πάνω στο σώµα F (γιατί;) Έχοντας λοιπόν κατανοήσει τους προηγούµενους ορισµούς, µπορούµε να περιγράψουµε το στόχο αυτού του Κεφαλαίου, ο οποίος είναι να αποδείξουµε ότι: Κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης ( Θεώρηµα) Ÿ Κύρια Ιδεώδη και Παραγοντοποίηση Θα αποδείξουµε εδώ το ακόλουθο αποτέλεσµα Θεώρηµα Κάθε περιοχή κυρίων ιδεών είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Το πρώτο βήµα στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος είναι να δείξουµε ότι σε κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών κάθε µη µηδενικό, µη αντιστρέψιµο στοιχείο γράφεται ως γινόµενο αναγώγων στοιχείων (3 Πρόταση παρακάτω) Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε το ακόλουθο λήµµα Λήµµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και έστω
Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 5 I I µια αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R Τότε υπάρχει Απόδειξη Θεωρούµε την ένωση I I = I = m = m+ m+ I = = I m Õ τέτοιο ώστε Θα δείξουµε ότι το Ι είναι ιδεώδες του R Πράγµατι, έστω a, b I και r R Για κάποια και j έχουµε a I, και b I λόγω της υπόθεσης Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι j Τότε a, b I j Κατά συνέπεια a + b I j και ra I j Άρα a + b I και ra I Συνεπώς το I είναι ιδεώδες Τώρα, επειδή ο R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, έχουµε I = (c) για κάποιο c I Όµως αφού I = I, έχουµε = m Άρα για κάθε n m έχουµε m n c I m για κάποιο I = I j 3 Πρόταση Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών Τότε κάθε µη µηδενικό, µη αντιστρέψιµο στοιχείο του R είναι γινόµενο αναγώγων στοιχείων του R Απόδειξη Έστω a R µε a 0 και a µη αντιστρέψιµο Πρώτα θα αποδείξουµε ότι υπάρχει ανάγωγο που διαιρεί το a Αν το a είναι ανάγωγο, δεν υπάρχει τίποτε να αποδείξουµε Έστω ότι το a δεν είναι ανάγωγο Τότε υπάρχουν µη αντιστρέψιµα στοιχεία Πράγµατι κάποια p R a b R µε την ιδιότητα, ( a) ( a ) a = a b Αυτό σηµαίνει ότι a = ab ( a) ( a ) Αν ( a ) = ( a ) τότε a = xa και a = ya για x, y R Τότε a = yab = ayb a( yb ) = 0 yb = 0 b αντιστρέψιµο, που είναι άτοπο Επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία για το a στη θέση του a κοκ Λαµβάνουµε λοιπόν µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R a ) ( a ) ( ) a ( Από το Λήµµα, η παραπάνω ακολουθία τερµατίζει σε κάποιο p = a m είναι ανάγωγο εξ ορισµού και διαιρεί το a ( a m ) Το
6 Κεφάλαιο Έχουµε αποδείξει ότι είτε το a είναι ανάγωγο είτε a = p c, όπου ανάγωγο και c µη αντιστρέψιµο Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε ( a) ( c ) p όπως και πριν Αν το c είναι ανάγωγο, δεν υπάρχει τίποτε να αποδείξουµε Έστω ότι το c δεν είναι ανάγωγο Τότε c = pc για κάποιο ανάγωγο p και µη αντιστρέψιµο c αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R Επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία λαµβάνουµε µια γνησίως a ) ( c ) ( ) c ( Από το Λήµµα, αυτή κάπου τερµατίζει, έστω στο c ) Τότε το c είναι ανάγωγο και ισχύει a = p p p m c m ( m m Το δεύτερο βήµα στην απόδειξη του Θεωρήµατος είναι να δείξουµε τη µοναδικότητα της παραγοντοποίησης που παρέχει η Πρόταση 3 Χρειαζόµαστε για περιοχές κυρίων ιδεωδών µια πρόταση ανάλογη µε την ακόλουθη πρόταση για το Ÿ : αν ο πρώτος p διαιρεί το γινόµενο ab, τότε θα διαιρεί έναν τουλάχιστον από τα a και b Αυτή η πρόταση είναι το κύριο βήµα στην απόδειξη της µοναδικότητας της παραγοντοποίησης στο Ÿ 4 Πρόταση Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και p R ανάγωγο Αν p ab, όπου ab, R, τότε p a ή p b Απόδειξη Έστω ότι το p δεν διαιρεί το a Θα δείξουµε ότι το p διαιρεί το b Αφού ο R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, υπάρχει d R τέτοιο ώστε ( p) + ( a) = ( d) Επειδή p ( d), έχουµε p = cd, όπου c R Επειδή το p είναι ανάγωγο, έχουµε ότι το c ή το d είναι αντιστρέψιµο Στην πρώτη περίπτωση οδηγούµεθα σε άτοπο γιατί a ( d) d a cd a p a Άρα το d είναι αντιστρέψιµο Τότε ( p) + ( a) = ( d) = R xp+ ya= για κάποια x, y R Εποµένως έχουµε τη σχέση xpb + yab = b από την οποία έπεται ότι το p διαιρεί το b
Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 7 Με επαγωγή αποδείχνεται αµέσως το παρακάτω πόρισµα 5 Πόρισµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και p R ανάγωγο Αν p a a n, όπου a,, an R, τότε για κάποιο έχουµε p a Έχοντας υπόψη το προηγούµενο πόρισµα, η απόδειξη του δεύτερου βήµατος είναι απλούστατη: Απόδειξη του Θεωρήµατος Από την Πρόταση 3 αρκεί να δείξουµε τη συνθήκη () του Ορισµού 3 Έστω λοιπόν γινόµενα αναγώγων στοιχείων του R µε a = p p και s r Από τη σχέση r a = q και το Πόρισµα 5 συµπεραίνουµε ότι το p διαιρεί κάποιο q Μετά από κάποια αρίθµηση µπορούµε να υποθέσουµε ότι αντιστρέψιµο, γιατί το q είναι ανάγωγο Άρα u ο R είναι ακέραια περιοχή, p p = u q r q s p q s pr = q q s p q Άρα q = u p για κάποιο p p = u p q q και αφού r Συνεχίζοντας κατά αυτόν τον τρόπο καταλήγουµε σε µια σχέση της µορφής Επειδή τα u ur qr+ = q q r+,, q s είναι ανάγωγα και άρα µη αντιστρέψιµα θα ισχύει r = s s j s Από το Θεώρηµα και το Παράδειγµα 6 λαµβάνουµε και πάλι το ακόλουθο αποτέλεσµα 6 Πόρισµα Οι δακτύλιοι Ÿ και F[ x ] (F σώµα) είναι ακέραιες περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη ότι το προηγούµενο πόρισµα γενικεύεται όπου στη θέση του σώµατος F έχουµε τυχαία περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης
8 Κεφάλαιο 7 Θεώρηµα Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης τότε και ο R[x] είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Συνεπώς οι δακτύλιοι [ x,, xn], F[ x,, xn], όπου F είναι σώµα, είναι περιοχές µοναδικής παραγοντοποίησης 3 Ευκλείδειες Περιοχές Έχουµε διαπιστώσει ότι οι δακτύλιοι Ÿ και F[ x ] (F σώµα) έχουν πολλές κοινές ιδιότητες Μία απ αυτές είναι η ταυτότητα διαίρεσης συνέπεια της οποίας είναι ότι οι Ÿ και F[ x ] είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών (Παράδειγµα 6) Εδώ θα µελετήσουµε περιοχές που έχουν µια ταυτότητα διαίρεσης Αυτές ονοµάζονται Ευκλείδειες περιοχές Ακριβέστερα έχουµε: 3 Ορισµός Μια Ευκλείδεια περιοχή είναι µία ακέραια περιοχή R εφοδιασµένη µε µία συνάρτηση φ : R {0} Õ, τέτοια ώστε () a, b R µε a b φ( a) φ( () a R και b R {0} Τότε υπάρχουν q, r R µε την ιδιότητα a = bq + r και είτε r = 0 είτε φ ( r) < φ( Η συνάρτηση φ ονοµάζεται Ευκλείδεια συνάρτηση του R Για παράδειγµα έχουµε R = Ÿ µε φ ( m) = m (απόλυτη τιµή), και R = Fx [ ] (F σώµα) µε φ ( f ( x)) = deg f ( x) (βαθµός πολυωνύµου) Σηµειώνουµε ότι σε µια Ευκλείδεια περιοχή είναι δυνατόν να υπάρχουν πολλές Ευκλείδειες συναρτήσεις Το επόµενο αποτέλεσµα είναι σίγουρα αναµενόµενο 3 Πρόταση Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών Απόδειξη Έστω Ι ιδεώδες της Ευκλείδειας περιοχής R µε I (0) Έστω b I µε την ιδιότητα φ ( είναι ελάχιστο Θα δείξουµε ότι I = ( Αρκεί να δείξουµε I ( Έστω a I Έχουµε a = bq + r όπου είτε r = 0 είτε φ ( r) < φ( Από τον ορισµό του b συµπεραίνουµε ότι r = 0 Άρα a = bq (a)
Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές 9 Σηµειώνουµε ότι δεν χρησιµοποιήσαµε την ιδιότητα () του ορισµού Αυτή είναι συχνά χρήσιµη στον προσδιορισµό των αντιστρέψιµων στοιχείων µια Ευκλείδειας περιοχής, όπως δείχνει η παρακάτω πρόταση 33 Πρόταση Έστω R Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια συνάρτηση φ Τότε το u R είναι αντιστρέψιµο αν και µόνο αν φ ( u) = φ() Απόδειξη Αν uv = τότε φ( u) φ( ) Από την άλλη µεριά έχουµε u και άρα φ( ) φ( u) Άρα φ ( u) = φ( ) Αντίστροφα, έστω φ ( u) = φ( ) Τότε υπάρχουν q, r R µε την ιδιότητα = uq + r και είτε r = 0 είτε φ ( r) < φ( u) Αν r 0, τότε r και φ( ) φ( r) άτοπο Άρα r = 0 και = uq Το αντίστροφο της Πρότασης 3 δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχουν περιοχές κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδειες περιοχές Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι a b ο δακτύλιος + 9 ab, Z και a bmod Η απόδειξη χρησιµοποιεί µέσα που ξεφεύγουν από τις σηµειώσεις αυτές και παραλείπεται 34 Πρόταση Οι ακέραιοι του Gauss Ÿ [ ] = { a + b a, b Ÿ } είναι Ευκλείδεια περιοχή Τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Ÿ [] είναι { ±, ± } Απόδειξη Έστω φ ( a + = ( a + ( a = a + b Τότε φ (( a + ( c + d)) = φ ( a + φ( c + d) Κατά συνέπεια ισχύει η συνθήκη () του Ορισµού 3 Για τη συνθήκη () τώρα, έστω α, β Ÿ [] µε β 0 Θεωρούµε τον µιγαδικό αριθµό α / β Στο επίπεδο απεικονίζουµε τα στοιχεία του Ÿ [] στα σηµεία µε ακέραιες συντεταγµένες Έτσι δηµιουργούνται πολλά τετράγωνα µε κορυφές τα παραπάνω σηµεία και µήκος πλευράς Επειδή το µήκος κάθε διαγωνίου είναι συµπεραίνουµε ότι υπάρχει κορυφή που απέχει από το α / β απόσταση,
0 Κεφάλαιο Έστω q µια τέτοια κορυφή Τότε α / β q / < Θέτοντας έχουµε α = βq + r και r = α βq = β α / β q < β r = α βq Εποµένως φ ( r) = r < β = φ( β) Για τις µονάδες έχουµε : u µονάδα φ ( u) = φ() = Άρα u = ± και ± x + ( y +) ( x + ) + ( y + ) α / β q = x + y ( x + ) + y 35 Παράδειγµα Ποια είναι η ανάγωγη παραγοντοποίηση του + 7 Ÿ []; (Ο Ÿ [] είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης από την Πρόταση 34 και το Θεώρηµα ) Πρώτα µια γενική παρατήρηση: αν α Ÿ [] είναι τέτοιο ώστε φ ( α) = p πρώτος αριθµός στο Ÿ, τότε το α είναι ανάγωγο Πράγµατι, αν α = βγ, τότε φ ( α) = φ( β) φ( γ) = p και άρα φ ( β) = ή φ ( γ) = δηλαδή β αντιστρέψιµο ή γ αντιστρέψιµο (Πρόταση 33) Τώρα στο συγκεκριµένο παράδειγµα Έχουµε φ ( + 7) = 50 Αν ο α Ÿ [] διαιρεί το + 7 θα πρέπει το φ(α) να διαιρεί το 50 Εξαιρώντας τις τετριµµένες περιπτώσεις, αναζητούµε τα α που ικανοποιούν φ( α) =, 5, 0, 5 Κάποια απ αυτά (όχι αναγκαστικά όλα) θα είναι διαιρέτες του + 7 Για φ ( α) = δοκιµάζουµε αν το + είναι διαιρέτης του + 7 Εκτελώντας τη διαίρεση στο, βλέπουµε ότι το πηλίκο είναι στο Ÿ [], + 7 = ( + )(3 + 4) Το + είναι ανάγωγο Εκτελούµε την ίδια διαδικασία για το 3 + 4 Τελικά + 7 = ( + )( + ) είναι ανάγωγη παραγοντοποίηση Ασκήσεις
Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Η ακέραια περιοχή Ÿ [ 3] = { a + b 3 a, b Ÿ } δεν είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης (Υπόδειξη = ( + 3)( 3)) Έστω k σώµα Ο δακτύλιος kxy [, ] δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών 3 Εξετάστε αν η πρόταση R περιοχή κυρίων ιδεωδών R[x] περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι σωστή 4 Έστω R ακέραια περιοχή και p R ένα µη µηδενικό µη αντιστρέψιµο στοιχείο Το p λέγεται πρώτο αν: p ab p a ή p b () Αποδείξτε ότι κάθε πρώτο στοιχείο είναι ανάγωγο () Αν ο R είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης, τότε κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο 5 Έστω R περιοχή κυρίων ιδεωδών, S ακέραια περιοχή και φ : R S επιµορφισµός δακτυλίων Τότε ο φ είναι ισοµορφισµός ή το S είναι σώµα 6 Γνωρίζουµε ότι R σώµα R[x] περιοχή κυρίων ιδεωδών είξτε το αντίστροφο: Έστω R δακτύλιος µεταθετικός µε Αν ο δακτύλιος R[x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, τότε το R είναι σώµα (Υπόδειξη: θεωρήστε έναν επιµορφισµό R[ x] R ) 7 Έστω R περιοχή κυρίων ιδεωδών και a, b R όχι και τα δύο µηδέν Τότε ( a, = ( d), όπου d = µκδ ( a, 8 Βρείτε το m Õ έτσι ώστε Ÿ Ÿ [ ]/( + 3 ) m 9 Στο Ÿ []\ ισχύει 0 = 5 = ( + 3)( 3) αλλά ο Ÿ []\ είναι περιοχή µοναδικής παραγοντοποίησης Εξηγήσετε