ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ Τεύχος ε 3 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ Κ Ε ε 1 ε Ι Ο Θ Η Ζ μ α Ψ ε 4 ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΟΣΕΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ»
ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΕΙΣ, ΕΡΕΥΝΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΙΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ EΥΚΛΕΙΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΕΩΝ A ΤΕΥΧΟΣ Η συγγραφή και η επιστηµονική επιµέλεια του βιβλίου πραγµατοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ΝΟΧΟΣ ΕΡΟΥ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΟΣΕΩΝ «ΙΟΦΝΤΟΣ» -037-0 indd 1 14/4/016 1:04:30 µµ
ΣΤΟΙΧΕΙ ΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ ΟΜ ΣΥΡΦΗΣ ργυρόπουλος Ηλίας ιδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Καθηγητής /θμιας Εκπαίδευσης λάμος Παναγιώτης ιδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Κατσούλης εώργιος Μαθηματικός Μαρκάτης Στυλιανός Επίκουρος Καθηγητής Τομέα Μαθηματικών Ε.Μ. Πολυτεχνείου Σίδερης Πολυχρόνης Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος Ιστορικά Σημειώματα: ανδουλάκης Ιωάννης ιδάκτωρ Πανεπιστημίου Μ. Lomonosov Μόσχας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Φιλολογική Επιμέλεια: ημητρίου Ελένη Επιλογή εικόνων: Παπαδοπούλου Μπία Εικονογράφηση - Σελιδοποίηση: λεξοπούλου Καίτη ΣΤΟΙΧΕΙ ΕΠΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «ιόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠ / ΕΠ «Εκπαίδευση & ιά ίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πραγματοποιήθηκαν κατόπιν έγκρισης του.σ. του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής -037-0 indd 6/5/016 11:39:08 πµ
Π Ρ Ο Λ Ο Ο Σ γαπητοί Μαθητές, το τεύχος που κρατάτε στα χέρια σας περιέχει τις λύσεις των ασκήσεων του σχολικού σας βιβλίου. ν χρησιμοποιηθεί σωστά μπορεί να αποτελέσει πολύτιμη βοήθεια στην προσπάθειά σας vα καταλάβετε τις γεωμετρικές έννοιες που εισάγονται στο βιβλίο σας και να τις χρησιμοποιήσετε δημιουργικά. Σε καμμία περίπτωση το τεύχος των λύσεων δεν πρέπει να χρησιμοποιείται στην πρώτη δυσκολία που παρουσιάζει μία άσκηση ή για να καλύψει την "επιμέλεια" ενός μαθητή προς τον καθηγητή του στο σχολείο. ια να χρησιμοποιήσετε σωστά τις λύσεις των ασκήσεων πρέπει να ακολουθήσετε μια συγκεκριμένη μεθοδολογία. ρχικά, προσπαθήστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικούς τρόπους αντιμετώπισης. ν αποτύχετε κάντε μία επανάληψη στην αντίστοιχη θεωρία για να διαπιστώσετε ότι δεν έχετε κενά. Κατόπιν, ξαναπροσπαθήστε την άσκηση διαβάζοντας και την υπόδειξη που βρίσκεται στο τέλος του σχολικού βιβλίου. ν πάλι δυσκολεύεστε να λύσετε την άσκηση, τότε διαβάστε την ολοκληρωμένη λύση της. Φροντίστε να εντοπίσετε τα κύρια βήματα της λύσης, καθώς και τα κενά που σας οδήγησαν στο να μην αντιμετωπίζετε σωστά την άσκηση. Προσπαθήστε να διορθώσετε τα κενά αυτά και να ξαναλύσετε την άσκηση, χωρίς όμως να επαναλαμβάνετε τη λύση με στείρα απομνημόνευση, αλλά υλοποιώντας τα κύρια βήματά της. Τέλος, δοκιμάστε να λύσετε την άσκηση με διαφορετικό και ίσως καλύτερο τρόπο. Πρέπει να τονισθεί ότι οι λύσεις είναι προτεινόμενες, με την έννοια ότι είναι δυνατόν και ελπίζουμε να βρεθούν κομψότερες από τους μαθητές. Σημαντική είναι η προσπάθεια που έχει καταβληθεί, ώστε η κάθε άσκηση να προωθεί συγκεκριμένες αντιλήψεις και συνήθειες στο μαθητή, ενώ το σύνολο των ασκήσεων σε κατηγορία και διαβάθμιση οδηγούν τον μαθητή στην καλλιέργεια συγκεκριμένων ικανοτήτων. ια να επιτευχθούν οι στόχοι αυτοί, είτε μέσα στη λύση της κάθε άσκησης, είτε μετά την ολοκλήρωσή της, αναγράφεται ο διδακτικός της στόχος, ενώ οι ασκήσεις χωρίστηκαν στις παρακάτω κατηγορίες, δίνοντας φυσικά βαρύτητα στη διαβάθμιση των ασκήσεων κάθε κατηγορίας: 1) σκήσεις Εμπέδωσης: Οι ασκήσεις αυτές εισάγονται αμέσως μετά τη Θεωρία και τις Εφαρμογές, με σκοπό την εμπέδωση των εννοιών από τους μαθητές και τη χρήση τους σε απλές ασκήσεις. ) ποδεικτικές σκήσεις: Είναι ασκήσεις που ταιριάζουν στη φύση της εωμετρίας, καλλιεργώντας την αποδεικτική διαδικασία στους μαθητές. 3) Σύνθετα θέματα: Είναι θέματα που συνδυάζουν περισσότερες από μία γεωμετρικές έννοιες ή γνώσεις, είτε από το ίδιο κεφάλαιο, είτε από διαφορετικά, αναδεικνύοντας την κριτική σκέψη και συνδυαστική ικανότητα των μαθητών. 4) ενικές σκήσεις: Είναι ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας, που παρατίθενται στο τέλος κάθε Κεφαλαίου και απευθύνονται σε μαθητές με ιδιαίτερο ζήλο και αγάπη προς τη εωμετρία. 5) ραστηριότητες: Είναι αντικείμενο μελέτης ομάδας μαθητών ή και ενός, εφόσον του παρέχεται το κατάλληλο χρονικό διάστημα, ενώ θα πρέπει να δοθεί κάθε δυνατή βοήθεια και υποδείξεις από τον καθηγητή. Κάθε κεφάλαιο, τέλος, πλαισιώνεται από ερωτήσεις κατανόησης που συντελούν στη σωστή επανάληψη και καλύτερη οργάνωση της ύλης. -037-0 indd 3 14/4/016 1:04:30 µµ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝ ΚΕΦΛΙΟ... 5 ΚΕΦΛΙΟ 3... 15 ΚΕΦΛΙΟ 4... 39 ΚΕΦΛΙΟ 5... 53 ΚΕΦΛΙΟ 6... 77-037-0 indd 4 14/4/016 1:04:30 µµ
ΚΕΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΕΙΞΕΙΣ πό τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία το ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. ια την επίλυση σχετικών ασκήσεων διακρίνουμε περιπτώσεις. (σκήσεις:.1-.10 ποδεικτικές 3, Σύνθετα 1) ν δύο τμήματα και έχουν κοινό μέσο Ο τότε Ο = Ο και Ο = Ο. ια να αποδείξουμε ότι δυο τμήματα έχουν κοινό μέσο, θεωρούμε το μέσο του ενός και αποδεικνύουμε ότι είναι μέσο και του άλλου τμήματος. (σκήσεις: ενικές ) ια να υπολογίσουμε την παραπληρωματική ϕ ή την συμπληρωματική θ μιας γωνίας ˆω θέτουμε: και. (σκήσεις:.19 ποδεικτικές 1, ) -037-0 indd 5 14/4/016 1:04:31 µµ
.1-.10.1-.10 σκήσεις Εμπέδωσης 1. i) Έξι ευθύγραμμα τμήματα, τα,,,, και. ii) Τα τμήματα που έχουμε στο σχήμα είναι τα,, AM, Κ,, Μ, Κ, Μ, ΜΚ και το Κ που δεν είναι σχεδιασμένο. Μ Κ. i) Τα σημεία τομής είναι τρία, τα, και. ii) Ορίζονται τρία ευθύγραμμα τμήματα, τα,,, και 1 ημιευθείες, οι εξής: Ax, x, Ay, Ay, By, By, Bz, Bz, x, x, z, z. z y' B x y z' x' 3. Είναι = + = + =, αφού =. ε 4. = Μ + Μ + Ν + Ν = Μ + Ν = = ( Μ + Ν) = ΜΝ, αφού Μ = Μ και Ν = Ν. Μ Ν ε ποδεικτικές σκήσεις 1. i) Έχουμε = Ε + ΕΖ + Ζ και = ΕΖ Ε Ζ, E Z + οπότε + = ΕΖ ( Ε = Ε, Ζ = Ζ) ΕΖ =. ii) Έχουμε + = ( + ) + = ( + ) + = +.. i) Έχουμε = Μ + Μ Άρα = Μ ( Μ = Μ) = Μ Μ Μ =. 6-037-0 indd 6 14/4/016 1:04:3 µµ
.1-.10 ii) Έχουμε = Μ + Μ + Άρα + = Μ Μ =. = Μ Μ ε 3. α) i) ν το είναι μεταξύ των και τότε = +. ii) ν το είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. iii) ν το A είναι μεταξύ των και τότε <, οπότε < +. Άρα πάντα έχουμε +. β) ια τα,, ισχύει + (1) ενώ για τα,, ισχύει B+ B (). πό (1), () προκύπτει ότι + +. Σύνθετα Θέματα 1. i) ν το είναι μεταξύ των και τότε: ii) Μ + Ε = + Ε = + = =. B Ε B ν το είναι στην προέκταση του, π.χ. προς Ε το μέρος του, τότε: Ε = Ε = = =.. ν παραστήσουμε με ε 1, ε, ε 3 και ε 4 τις τέσσερις ευθείες οδούς αρκεί να βρούμε πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών αυτών. Σε κάθε μια ευθεία, π.χ. την ε 1, οι άλλες ( 4 1) = 3ευθείες ορίζουν ( 4 1) = 3 σημεία. Άρα συνολικά θα ορίζονταν 4( 4 1) = 1 σημεία. λλά κάθε σημείο το υπολογίσαμε φορές, π.χ. το ως σημείο της ε 1 και της ε. Άρα τελικά ορίζονται 44 ( 1 ) 1 = = 6 σημεία. Επομένως χρειάζονται 6 τροχονόμοι. Όμοια οι ν ευθείες ορίζουν νν ( 1) σημεία. ε 4 ε ε 3 ε 1 7-037-0 indd 7 14/4/016 1:04:33 µµ
.11-.16.11-.16 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Έχουμε xôz= yôt t z y ή yôz + zôt. O x Άρα xôy= zôt.. Είναι ω+ ˆ 1ορθή+ ˆ = ορθές, οπότε ω= ˆ 1ορθή ή 1 ω= ˆ ορθής. 3. Όταν το ρολόι δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς οι δείκτες σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι δείκτες θα σχηματίζουν και πάλι ορθή γωνία μετά από 6 ώρες. Τότε το ρολόι δείχνει τρεις η ώρα ακριβώς. ποδεικτικές σκήσεις ω ω 1. Έστω xôy, yôz δύο εφεξής γωνίες και Ο, ΟΕ οι διχοτόμοι τους αντίστοιχα. z E y xôy yôz Τότε ÔΕ= Ô y+ yôε = +. Άρα ΟΕ ˆ xoy ˆ + yoz ˆ =. O x. Έχουμε: Ô Ô Άρα 3. Έχουμε: Ô = Ô + Ô Ô = Ô Ô Άρα Ο Ο+Ο ˆ ˆ. Ô Ô ( Ô = Ô) Ô = Ο 8-037-0 indd 8 14/4/016 1:04:35 µµ
.17-.18 Σύνθετα Θέματα 1. Έχουμε: Ο = Οx+ xoy + yo Άρα Ο = xoy Οx Οy Ο + Ο =xoy (γιατί Οx = Οx, yo = Οy) Ο + Ο xoy =. y O x. Έχουμε: ˆ ˆ ˆ B E Ο Ο ˆ ˆ Ο ˆ 1 O.17-.18 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Υπάρχουν άπειροι κύκλοι ακτίνας ρ που διέρχονται από το Κ. Τα κέντρα τους βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. O 1 ρ O ρ Κ. Τα σημεία που είναι εσωτερικά του κύκλου (Ο, R) και εξωτερικά του κύκλου (Ο, ρ) φαίνονται στο διπλανό σχήμα. R O ρ 9-037-0 indd 9 14/4/016 1:04:36 µµ
.19 ποδεικτικές σκήσεις 1. Επειδή η ε διέρχεται από το κοινό κέντρο Ο των κύκλων τα τμήματα και είναι διάμετροι αυτών με κοινό μέσον το Ο και επομένως έχουμε: Ο = Ο και Ο = Ο. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη προκύπτει: Ο Ο = Ο Ο =, σύμφωνα με το σχήμα. Επίσης έχουμε: = + = + = Ο. Έστω, δύο διάμετροι ενός κύκλου (Ο, R) τέτοιες ώστε Ο1 = Ο. Τότε η Ο είναι διχοτόμος της ευθείας γωνίας Ο, επομένως κάθε μια από τις Ο 1, Ο είναι ορθή γωνία. Η Ο 3, ως κατακορυφήν της Ο 1, είναι κι αυτή ορθή. Όμοια και η Ο 4. Έτσι οι επίκεντρες γωνίες Ο 1, Ο, Ο 3 και Ο 4 είναι ίσες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα αυτών είναι ίσα, δηλαδή = = = και επειδή τα τόξα αυτά αποτελούν ολόκληρο τον κύκλο προκύπτει το ζητούμενο. 1 Ο 4 3.19 σκήσεις Εμπέδωσης 1. Έστω ημικύκλιο κέντρου Ο, δύο σημεία, αυτού και το σημείο Μ του ώστε Μ Μ. i) ια σημείο Ρ του ημικυκλίου, Ρ που δεν ανήκει στο έχουμε: Ρ = ΡΜ Μ και Ρ = ΡΜ + Μ. Με πρόσθεση αυτών κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι Μ Μ προκύπτει Ρ + Ρ ΡΜ ΡΜ 1 Ρ + Ρ ( ). Ο Μ Σ 10-037-0 indd 10 14/4/016 1:04:37 µµ
.19 ii) Έστω σημείο Σ του τόξου Μ. Έχουμε (βλέπε σχήμα) Σ ΣΜ + Μ και Σ = Μ ΣΜ. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη, λαμβάνοντας πάλι υπόψη ότι Μ Μ προκύπτει: Σ Σ ΣΜ ΣΜ 1 Σ Σ ( ).. α) Είναι 80 και + 180, από τις οποίες με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε αντίστοιχα οπότε και ( ) 130 και 50, 130, ( ) 50. β) Η Ô είναι επίκεντρη και βαίνει στο, άρα ( Ο ) = ( ) =130. Όμοια ( Ô ) =50. 3. Έστω ˆω και ˆφ δύο συμπληρωματικές γωνίες με ω = ϕ. Πρέπει ω+ ϕ =90 ή ϕ+ ϕ = 90 ή 3ϕ= 90. Άρα ϕ=30, οπότε ω=60. 6 6 4. Είναι ω= oρθής = 90 = 108. Άρα η παραπληρωματική της ˆω είναι 5 5 ϕ= 180 108 = 7. Η γωνία ˆω δεν έχει συμπληρωματική, αφού είναι αμβλεία γωνία. A Ο B ποδεικτικές σκήσεις 1. Έστω ϕ η παραπληρωματική της ω και θ η συμπληρωματική της. Τότε ϕ = 180 ω, θ = 90 ω και ϕ = 3θ. Άρα 180 ω= 390 ( ω) ή 180 ω= 70 3ω ή ω= 90. Άρα ω=45.. Έστω ω η συμπληρωματική της ϕ. Τότε ϕ = 90 ω και ϕ= ω 0. Άρα 90 ω= ω 0 ω= 110 ω = 55. Άρα ω=55 και ϕ=35. Ο Ο Ο Ο 3. Έχουμε = = =. Θέτουμε 1 3 4 Ο Ο Ο Ο = = = =λ, οπότε 1 3 4 11-037-0 indd 11 14/4/016 1:04:4 µµ
ενικές σκήσεις Ο = λ Ο = λ Ο = 3λ Ο = 4λ Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι Ο B A Ο + Ο + Ο + Ο = 10λ 360 = 10λ. Άρα. Επομένως Ο=36, Ο= 36 ( ) = 7, Ο = 336 ( ) = 108 και Ο= 436 ( ) = 144. ενικές σκήσεις 1. Έστω Ο το μέσο του. Τότε ΕΖ ΟΖ ΟΕ (1) λλά + ΟΖ Ο + Ζ + () και ΟΕ Ε Ο (3) πό (1), (), (3) προκύπτει ότι ΕΖ =.. Έστω Ο το μέσο του Ζ. Τότε Ο = ΟΖ. ια να είναι το Ο μέσο και του Ε αρκεί ΖΕ (αφού Ο = ΟΖ). Ο Ε Ζ Πράγματι ΖΕ Ζ Ε = = = = =. Ο Ζ Ε 3. Έχουμε: Ε + Ε + + + = + = = = Ε ε + + + = + = + >. 1-037-0 indd 1 14/4/016 1:04:43 µµ
ενικές σκήσεις 4. Έχουμε + + + =360, οπότε = 360 150 105 45 = 60. Άρα οι επίκεντρες γωνίες είναι: Ο=150 ˆ και Ο ˆ 60. Επομένως Ο+ Οx = Ο + Ο ˆ 60 ˆ ˆ ˆ (Οx διχοτόμος Ο ˆ ) 150 + Ο + Οx = 180, δηλαδή OA, Οx αντικείμενες ημιευθείες. x O ή 150 45 105 5. φού ημικύκλιο και Μ μέσο, είναι Μ 180 90. B Άρα ΜΚ Κ = = Μ + Μ = Μ + Μ Κ ΜΚ Μ Μ Μ 90 K M O 45. A 13-037-0 indd 13 14/4/016 1:04:45 µµ
-037-0 indd 14 14/4/016 1:04:45 µµ
3 ΚΕΦΛΙΟ ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΕΙΞΕΙΣ Ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν ισαπέχει από τα άκρα του. ντίστοιχα ένα εσωτερικό σημείο γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της αν ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. (σκήσεις: 3.4 Σύνθετα ) ν δύο σημεία μιας ευθείας ε ισαπέχουν από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος η ευθεία ε είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (σκήσεις: 3.1 Εμπέδωσης ) Σε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, οπότε και οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες του τριγώνου είναι ίσες (παραπληρώματα ίσων γωνιών). (σκήσεις: 3.4 Σύνθετα 3 και 3.1 Εμπέδωσης 8) ια να συγκριθούν ανισοτικά δύο τρίγωνα πρέπει να έχουν απαραίτητα δυο πλευρές ίσες. (σκήσεις: 3.1 ποδεικτικές, 7) Όταν η διάμεσος είναι βασικό στοιχείο σε μια άσκηση, συχνά χρειάζεται να την προεκτείνουμε. (σκήσεις: 3.1 ποδεικτικές 3 και ενικές 7) -037-0 indd 15 14/4/016 1:04:45 µµ