Libër për mësuesin Matematika 9

Libër për mësuesin Matematika 9 Përgatitur nga: Shefik Sefa Botime shkollore lbas

Miratuar nga Ministria e rsimit dhe Shkencës Botues: Latif JRULLI Rita PETRO Redaktore: Sevi LMI Redaktore letrare: Vasilika DINI rti grafik: Emanuela LUMNI lbas, Tiranë 008 Ribotim, 010 Të gjitha të drejtat janë të rezervuara Shtëpia Botuese lbas Në Tiranë: Rr. Budi, Pall. Classic Construction, zyra nr. Tel/Fax: ++ 355 4 379184 e-mail: albas_tr@yahoo.com Në Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105 Tel: 044 344047 e-mail: albas_te@yahoo.com Në Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47 Tel: 038 5457139 e-mail: albas_pr@yahoo.com

HYRJE Libri për mësuesin Matematika 9 është hartuar si udhëzues për të zhvilluar orët mësimore, me qëllim që të zbërthehen sa më qartë objektivat mësimorë dhe të ndihmohen nxënësit të zotërojnë aftësitë matematikore të domosdoshme për nivelet e mëtejshme të shkollimit. Në këtë udhëzues mësuesit do të gjejnë për çdo kapitull objektivat e arritjeve (O). Meqenëse temat në tekstin e nxënësit Matematika 9 janë hartuar duke u paraprirë nga objektivat e programit, këtu mësuesi/ja do të gjejë objektivat specifikë që renditen duke ndjekur të parat. Matematika 9 i është përmbajtur me korrektësi programit, prandaj mësuesit në hartimin e objektivave duhet të mbështeten te teksti. Kujdes të bëhet me ushtrimet e vështira Për të qenë më pak teorik, krahas planit mësimor, i ndërtuar sipas modelit të ri, do të gjeni për çdo temë tri nivelet e objektivave dhe materialin e përzgjedhur, që duhet në çdo orë mësimi për realizimin e këtyre objektivave. Mbështetur në udhëzimin e Qendrës së Trajnimit dhe Kualifikimit për rsimin (Grupi qendror për formulimin e objektivave të kapitujve), në hartimin e objektivave janë përdorur tri nivele: I. Bazë, II. Mesatar, III. I Lartë. Në këtë udhëzues, i cili nuk merr përsipër të jetë ditar i mirëfilltë, do të gjeni shumë materiale që përdoren sot në ditar, si metoda mësimdhënieje (që mbeten në kuadër të rekomandimeve), ashtu edhe mjete ndihmëse. Te këto të fundit, nëse ato përgatiten me kujdes mund të shkëputim plot të tilla për pasurimin e kabinetit të matematikës. Materiali i ndërtuar si udhëzues për çdo temë, ku shpesh theksohet: kujdes, kjo duhet theksuar, tema mund të ndahet në dy pjesë etj. Te temat ku është parashikuar testi do të gjeni skemën e qortimit, pra do të gjeni vlerësimin e nxënësve hap pas hapi në çdo ushtrim të testit. Ditari mund të bëhet sipas strukturës mësimore ERR (Evokimi, Realizimi i kuptimit dhe Reflektimi), ose siç quhet ndryshe PNP, (Punë përgatitore, Ndërtimi i njohurive dhe Përforcimi). Në këtë libër mësuesi janë planifikuar 130 orë mësimi, të cilat mund të realizohen sipas kësaj renditjeje. Plani sintetik dhe analitik që është dërguar me tekstin në shkolla, duhet të pasurohet me objektivat specifikë për çdo orë mësimi. Që të jeni më të suksesshëm me nxënësit, është mirë të ndiqen me kujdes këto udhëzime. 3

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 4

5 Libër mësuesi për tekstin Matematika 9

KREU I KUPTIMI I NUMRIT Mësimi 1.1 Tema: Numrat natyrorë, veprimet me to I. Të përkufizojë veprimet me numrat natyrorë. Të formulojë vetitë e veprimeve me numrat natyrorë. Të formulojë kuptimin e numrave të thjeshtë. II. Të ilustrojë në boshtin numerik vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) e dy numrave duke u mbështetur te rregulla praktike. III. Të vërtetojë duke i ilustruar në boshtin numerik vetitë e mbledhjes. Të gjejë PMP-në (SHVP-në) për më shumë se dy numra duke u mbështetur te përkufizimi. Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Metoda që rekomandohet: 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.. Ilustruesi grafik. 3. Punë individuale. Mjetet ndihmëse:. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 1. Shkruani një numër natyror. Shkruani tre numra natyrorë të njëpasnjëshëm. Këtu mësuesi të tregohet i kujdesshëm, sepse nxënësi mund të gabojë, ai mund të shkruajë p.sh.: 3, 5, 8. Mësuesi/ja do të kërkojë numra të tillë, si: 3, 4, 5. Këtu ai/ajo kontrollon nxënësit si punojnë. - Pse themi se numrat 3, 4, 5 janë të njëpasnjëshëm? Nxënësit përgjigjen: sepse 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1. Mund të ndodhë që nxënësi të shprehet: Sepse 4 është më e madhe se 3 dhe 5 më e madhe se 4. U kërkohet nxënësve të paraqitin në boshtin numerik këta numra.. Veprimet me numrat natyrorë. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Shprehni numrin 5 si shumë e dy numrave: 5 = 4 + 1, ose 5 = 3 + Ndaluni te 5 = + 3. Dimë se 3 = 1 + 1 + 1, prandaj themi se 5 = + 1 + 1 + 1 Mësuesi/ja mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e shumës së numrit me numrin 3. Nëse nxënësit nuk arrijnë të shprehen saktë ndërhyn mësuesi/ja: Shuma e numrit me 3 është numri që fitohet nga numri, duke shtuar në mënyrë të njëpasnjëshme 3 njësi. Kërko ilustrimin në boshtin numerik. Nxënësit shohin përkufizimin në tekst. 11

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Paraqiten në boshtin numerik: Shuma 3 + Shuma 3 + 0 Shuma (3 + ) +, 3 + ( + ) Pas këtyre ilustrimeve do të formulohen vetitë duke kërkuar më parë mendimin e nxënësve. Pas formulimit të vetive me nxënësit përgatitet vërtetimi i tyre. 3. Në të njëjtën mënyrë (duke u mbështetur në tekst) përgatiten përkufizimet e veprimeve të tjera. 4. PMP-ja dhe SHVP-ja. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - mund të shkruhen numrat 3, 5 si prodhim faktorësh të ndryshëm nga 1? (Jo) - Po numrat 6 dhe 18? (6 = 3, 18 = 3 ) Numrat, 3, 5 etj., do t i quajmë numra të thjeshtë. Nxënësit shkruajnë dy numra të thjeshtë (7, 11, 13...). Në fund mësuesi/ja duhet të tregojë rregullën praktike për të gjetur PMP-në dhe SHVP-në. m n Këtu ka rëndësi të theksohet formula SHVP (m, n) = PMP( m, n) Punë e pavarur. Kjo mund të përdoret dhe në formën e minitestit. Plotësoni tabelën në tekst. Shkruani 7 si shumën e dy numrave të njëpasnjëshëm. Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e numrave 4, 63 Gjeni PMP-në dhe SHVP-në e 88, 360, 43 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, 3/a, 5/d, 9/a, faqe 1. Mësimi 1. Tema: Numrat racionalë. Bashkësia e numrave racionalë I. Të përkufizojë numrat racionalë. Të shënojë në boshtin numerik të paktën dy numra racionalë. Të përkufizojë bashkësinë e numrave racionalë. II. Të shkruajë si numra dhjetorë të paktën dy thyesa. Të shkruajë një numër thyesor si numër dhjetor. III. Të vërtetojë të paktën dy vetitë e numrave racionalë. 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.. Ilustruesit grafikë. 3. Punë individuale. Mjetet ndihmëse:. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 1

1. Në fillim mësuesi/ja shkruan në tabelë këta numra:... -3, -, -1, 0, 1,, 3,... dhe pyet nxënësit: - Si emërtohen këta numra? Paraqitini në boshtin numerik. - ka kuptim shënimi? 3 7 - Po 3 7? Përmendni disa veti të thyesave, më pas paraqitini në boshtin numerik thyesat 3 dhe 3. 7 7 x 1 3 7 0 Mësuesi/ja kërkon përkufizimin, i cili gjendet në tekstin e nxënësit.. Shkruani numrin e plotë -3 në formën e numrit racional. Theksohet se: për çdo m z m = m, ( 1 N ), pra çdo numër i plotë 1 është racional, domethënë Z Q (bashkësia e numrave të plotë është pjesë e bashkësisë së numrave racionalë). 3. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të shkruajnë 4 thyesa, një me emërues, një me emërues 5, një me emërues 10 dhe një me emërues çfarëdo, sipas dëshirës (jo, 5, 10). P.sh.: 3, 4 5, 11 10, 4 7 U kërkohet nxënësve të bëjnë pjesëtimet 3 : ; 4 : 5; 11 : 10; 4 : 3. 3 7 x I I I I I I I I I I I I 1 Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Një nxënës shkruan në tabelë: 3 = 15,, 4 5 = 08,, 11 10 = 11,, 4 3 = 1, 333... Duhet theksuar se çdo numër racional (thyesë) shkruhet si numër me presje dhjetore dhe anasjellas. (shiko Matematika 9, faqe 14) Kujdes duhet pasur në zgjedhjen e thyesave (të jenë sa më të thjeshta që të dalë qartë ideja). Punë e pavarur. Nxënësit shkruajnë tre numra racionalë. - Cilët janë numra racionalë? -3, 4, 0,15, 0 4 3, 1 1 Shkruani si thyesa numrat: 0,15; 0, 4 ; -1; 8 + ; 1 +. 5 Shkruani si numra me presje thyesat: 3 9 6 ; 1 ; 5. Gjeni x që: x + 1 dhe 5 të paraqitin të njëjtin numër racional. 4 3 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, /a, 6, faqe14-15. 13

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësimi 1.3 Tema: Numrat irracionalë. Bashkësia e numrave realë I. Të përkufizojë kuptimin e numrave irracionalë. Të shkruajë të paktën dy numra irracionalë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R, duke përdorur kuptimin e nënbashkësisë. II. Të paraqesë në boshtin numerik të paktën dy numra irracionalë. III. Të vërtetojë se ekzistojnë numrat irracionalë (të paktën në dy raste). 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.. Diagrami i Venit. 3. Ilustruesi grafik. 4. Puna individuale.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Kompas. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Pse themi se 4 = ; 0, 16 = 0, 4? Gjeni 56 ; 5. - mund të themi se 3 = 17,? Po 3 = 18,? Këtu është e rëndësishme që mësuesi/ja të tregojë se,17, < 3 < 18, sepse (, 17) < 3 dhe (, 18) > 3 për të njëjtat arsye. 173, < 3 < 174, 1, 73 < 3 < 1733, 1730, < 3 < 1731, Mësuesi/ja duhet të theksojë përfundimin se 3 është një numër që nuk mund të paraqitet në formën e një thyese m (thyesë e pathjeshtueshme). n Kujdes Te faqja 16 korrigjo n = 3l, rreshti i dytë dhe i tretë. Më pas kalohet te përkufizimi 1: Bashkësinë e numrave irracionalë do ta shënojmë me I. Çdo numër që nuk paraqitet në formën e një thyese, m n ku m Z, n N quhet numër irracional (joracional). Bashkësia e numrave realë quhet bashkësia R = Q U I Mësuesi/ja duhet të kërkojë nga nxënësit: - Cilat nga pohimet janë të sakta? N Q, Z N, Z R, Q I, Q I= ϕ, I R 14

Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të paraqitin me anë të diagramit të Venit lidhjen ndërmjet N, Q, I, R. U kërkohet nxënësve të paraqitin 5 në boshtin numerik. Çdo numër real paraqitet në boshtin numerik me një pikë të vetme. Mësuesi/ja jep për punë të pavarur: - Cilat nga shënimet janë të sakta? I Z, Z I, I Q, R Q = I Tregoni se 5 nuk është numër racional. Paraqitni në boshtin numerik 3. N Z Q I Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b,, faqe 16. R Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësimi 1.4 Tema: Nënbashkësia. Intervalet, segmentet numerike I. Të përkufizojë kuptimin e bashkësive duke e paraqitur me anë të ndryshoreve. Të formulojë vetitë e përfshirjes. Të shkruajë me simbole intervalet numerike. II. Të paraqesë në boshtin numerik intervalet numerike. III. Të vërtetojë vetitë e përfshirjes (së paku vetinë e kalimit). 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela ndihmëse të parapërgatitura (paraqitja e intervaleve numerike në bosht). Mësuesi/ja shkruan në tabelë dy bashkësi numerike. P.sh.: = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe B = {, 4, 6, 8, 10}. Pyeten nxënësit: - mund të themi se B-ja është pjesë e -së? E njëjta kërkesë është për = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {, 4, 6, 8, 10}. - mund të përkufizoni kuptimin e nënbashkësisë? Kujdes Këtu ka rëndësi përkufizimi që paraqitet me anë të implikimit: ( B ) ( çdo x B x ) Më pas kalohet te vetitë e përfshirjes. E domosdoshme është të vërtetohet vetia e kalimit. 15

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Skematikisht kjo veti paraqitet me diagramin e Venit. Nëse B dhe B C C B C Në këtë moment mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: - Çfarë do të thotë për ju shënimi: R = { X / X Q ose X I} (kujto bashkësinë e numrave realë) = {x N / x < 5} = { x R/ 3 < x 5} Paraqite në boshtin numerik. B I x 0 I I I I I Për më tepër vazhdo si te teksti i nxënësit. Mësuesi/ja duhet të theksojë rubrikat Kujdes, që janë te teksti dhe për çdo hap të ftojë nxënësit në paraqitjen e shembujve. Rikujtohet se rubrika Mbaj mend duhet parë me vëmendje në çdo orë mësimi. Pas kësaj kalohet në punë të pavarur. Mësuesi/ja kërkon që nxënësit të shkruajnë në formën: = {x R / a x b} dhe të paraqesin në boshtin numerik bashkësitë: ]-3; -1[, [0; 5], ]-11; 3[ Shkruani në formën e intervaleve (segmenteve) numerike bashkësitë: = {x R / -3 x 5} B = {x R / - < x < } C = {x R / -30 < x < 3} Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1,, 3, 4, faqe 18. Për nxënësit e nivelit të lartë: Vërtetoni nëse Bdhe B, atëherë = B. Mësimi 1.5 Tema: Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësitë plotësuese I. Të përkufizojë prerjen (bashkimin) e dy bashkësive duke i paraqitur me anë të ndryshorit. Të formulojë vetitë. II. Të gjejë prerjen e dy bashkësive të dhëna. Të gjejë bashkimin e dy bashkësive të dhëna. Të paraqesë në boshtin numerik prerjen (bashkimin) e dy intervaleve numerike. Të gjejë plotësin e një bashkësie në lidhje me një bashkësi të dhënë. III. Të vërtetojë vetitë e prerjes dhe bashkimit të bashkësive. Të vërtetojë të paktën njërën veti të bashkësive plotësuese. 16

. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 4. Tabela që tregojnë prerjen, bashkimin dhe plotësin e bashkësive (me ngjyra). B B 1. Mësimdhënia jo e drejtpërdrejtë.. Ilustruesit grafikë. 3. Diagrami i Venit. 4. Punë individuale. B B Mësuesi/ja në tabelë shkruan dy bashkësi numerike: P.sh.: = {1,, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} Kërkohen nga nxënësi elementet e përbashkëta të -së dhe B-së. Po t i paraqitim me diagramin e Venit, vihet në dukje se E E Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 1 x x x x x 3 5 4 x6 3 dhe 3 B dhe 4 e. 4 B Këtu jepet përkufizimi i prerjes së dy bashkësive. Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të gjejnë prerjen në dy rastet e tjera. P.sh.: Gjeni B, nëse = {1,, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 4, 5, 7, 8} dhe B C nëse C = {4, 5, 9, 10}. Në këtë moment mësuesi/ja përmend vetitë e prerjes: 1. ϕ. = 3. B = B të cilat janë rrjedhime të përkufizimit. Mësuesi/ja shtron këto pyetje për nxënësit: Te bashkësitë = {1,, 3, 4} dhe B = {3, 4, 5, 6, 7}. - Cilat elemente të -së nuk janë në B? - Cilat elemente të B-së nuk janë në? Shënoni me D bashkësinë D = {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. - Çfarë mund të thoni për D-në? Kujdes Shumë nxënës përgjigjen: Bashkësia D ka elementet e bashkësisë dhe të bashkësisë B, kjo përgjigje nuk është e saktë, sepse lidhëza dhe është përdorur te kuptimi i prerjes së bashkësive. Përgjigjja e saktë është: Bashkësia D ka për elemente ato që janë në bashkësinë ose në bashkësinë B. Mësuesi/ja duhet të ndërhyjë në rastin kur nxënësit nuk shprehen saktë. 17

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Pas formimit të përkufizimit mësuesi/ja kalon në shembuj dhe në formimin e vetive: 1. ϕ =. = 3. B = B Punë e pavarur. Jepet = ] 3 ; 7 ], B = ] ; ] Gjeni B dhe B Zgjidhje: -oo B B x -3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 x B I B = ] 3 ; ] B = ] ; 7 ] Mësuesi/ja në tabelë shkruan bashkësitë: E = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dhe = {1,, 3, 4} pyet nxënësit. - Cilat elemente të E-së nuk janë në? Shënoni në B elementet e sipërpërmendura. Mësuesi/ja duhet të theksojë për nxënësit se vetëm kur bashkësia E mund të flasim për plotës të -së në lidhje me E-në. Shënohet E (dhe jo E ). Ilustrohet me diagramin e Venit. I I I I I I I I I E Këtu jepet përkufizimi. Më pas, punohet me vetitë duke vërtetuar njërën prej tyre. P.sh.: E = E (kujdes E ). Vërtetim: 1. E zëmëse, x E x ose x E ( x ose x E / x ) x E. E zëmë se x E (meqenëse E ) ( x ose x ), ose x E x E Këto vërtetime tregojnë se E = E Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/b (d/h për nxënës të nivelit të lartë), dhe 3. 18

Mësimi 1.6 Tema: Ushtrime I. Të gjejë PMP-në dhe SHVP-në e dy numrave njëshifrorë. Të tregojë lidhjen ndërmjet bashkësive N, Z, Q, R. II. Të gjejë PMP-në për dy numra, 3, 4... shifrorë. Të gjejë SHVP-në për dy numra, 3, 4... shifrorë. Të gjejë bashkimin (prerjen) e bashkësive. III. Të gjejë numrin e elementeve të bashkimit të dy bashkësive. Të provojë formulën SHVP (m, n) PMP (m, n) = m n duke diskutuar me shembuj.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela për gjetjen e PMP-së në mënyrë skematike. (P.sh.: PMP (19; 80)). 1. Diskutim problemor.. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë në grup. Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Herësi Veprimi 19 : 80 : 3: 16 160 64 3 Mbetja 3 16 0 PMP (19 ; 80) = 16 Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Kujtoni përkufizimin e PMP (SHVP) të dy numrave: m; n. Gjeni PMP (4; 6), SHVP (4; 6). Gjeni PMP (54; 16) duke zbatuar skemën e paraqitur te tabela. Gjeni PMP (5; 30; 60) (Shënim: në fillim gjeni PMP (5; 30). Gjeni SHVP (54; 16) dhe provoni se PMP (54; 16) SHVP (54; 16) = 54 16 SHVP (54; 16) = 54 16 PMP ( 54; 16) m n Ndërhyn mësuesi/ja duke theksuar se: ShVP ( m; n) = (1) PMP( m; n) Gjeni SHVP (144; 16) duke përdorur rregullimin e tabelës dhe formulën (1). Mësuesi/ja në tabelë të zezë shkruan bashkësitë: = {1, 4, 5, 6, 8, 11, 1}; B = {, 4, 8, 10}; C = {1, 4, 8, 11} 19

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: Gjeni: B; B C; ( B) C, ( B C) Krahasoni: ( B) C me ( B C) Gjeni: B; B C; ( B) C, ( B C) Krahasoni: ( B) C me ( B C) Nga B dhe B tregoni se: n ( B) = n ( ) + nb ( ) n ( B) () Duke zbatuar formulën () gjeni n ( B C ). Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të punojnë ushtrimin 6. - Si do t`i ktheni në numra dhjetorë thyesat: 3 5 ;? Ktheni në thyesa 0,53 dhe 0,5 3. 5 3 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1b/c, 4, 7/3, 8/3. Mësimi 1.7 Tema: Fuqitë me eksponent racional. Lidhja e fuqive me rrënjët. Vetitë I. Të shkruajë përkufizimin e rrënjës aritmetike me tregues n N, n Të shkruajë përkufizimin e fuqisë me eksponent racional. II. Të shkruajë vetitë e fuqive me eksponent racional, duke zbatuar vetitë e rrënjëve. 4 Të shkruajë një rrënjë në formën e fuqisë, në të paktën dy raste. (P.sh.: 3 ; a 1 3 etj.) c III. Të vërtetojë të paktën dy nga vetitë e fuqive. Të shkruajë si fuqi rrënjët e tilla, si: 5 a b dhe anasjellas.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela në të cilat janë shkruar formula (p.sh.: m/ n n m a = a etj.) 1. Diskutimi problemor.. Ilustrues me tabela. 3. Punë individuale. 0 4 Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: a. Gjeni: 4 = ; 9 = ; 016, = Kujdes Kujtoni përkufizimin e rrënjës katrore. Duhet të kujdeseni që ajo të jetë numër pozitiv (marrëveshja) dhe se ekziston vetëm për numra jonegativë. 3 b. mund të themi se: 8 =, sepse 3 = 8 4 4 x = 16 x = ± d.m.th. 16 =, sepse 4 = 16. 3 3 3 Gjeni 8 7 dhe krahasoni me 8 7

Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të shkruajnë vetinë që rrjedh nga shembulli i mësipërm. Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve: 4 4 - Pse 16 = (sepse 4 4 4 4 = 16), d.m.th. 16 = = ose 4 4 4 4 4 Kështu: = =. 5 1 5 5 5 - mund të shkruajmë se 5 4 1 4 3 3 = = =? - Po = = = 8? Vini re me kujdes Këtu shkruani përkufizimin mbi fuqinë me eksponent racional. Pas shembujve kalohet te vetitë. Këtu u jepet nxënësve punë e pavarur, punoni ushtrimet 1 dhe pas rubrikës Mbaj mend. 1 4 4 4 4 4 4 4 3 = = = = = 8 4 4 4 4 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1a/c, /b, faqe 4. Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësimi 1.8 Tema: Ushtrime I. Të shkruajë rrënjët si fuqi me eksponent racional. Të shkruajë fuqitë si rrënjë. II. Të tregojë zgjidhjet e ekuacioneve të fuqisë më të lartë se e para të formës, 1 si p.sh.: x 3 = x 4 = 56 8 III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë, si p.sh.: 10 x 4 5 ; ( a ) 10. Të shkruajë rrënjët me të njëjtin tregues. Të thjeshtojë shprehje më rrënjë. Të shkruajë rrënjët si fuqi, p.sh. 3 a. 4 5 Të krahasojë rrënjët p.sh.: 3 me 4. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula ose model ushtrimi i shkurtër. 1. Diskutimi problemor.. Ilustruesi me tabela. 3. Punë individuale. P.sh. a m/ n n m = a etj. Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto ekuacione: 1 1 43 x = 4; x 4 = ; x 3 = ; x 16 8 16 = -10; x 5 = -3; x = -0,16; x 5 = 3 1

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja pyet klasën: - Cilat nga ekuacionet nuk kanë zgjidhje? Pse? Gjeni zgjidhjet e ekuacioneve që kanë një të tillë. Zbuloni veprimin që është kryer te shndërrimi: 10 4 5 4 10 5 5 x = x = x = x = x Thjeshtoni shprehjen: 5 a, ( b), ( a) 6 9 6 10 5 Jepen 3 Shkruani: 5 1 3, 1 3 15 dhe 71. 3 15 3 5 5 3 15 3 = 3 = 3 = 3 = 3 1 1 5 3 3 3 5 15 15 5 = = = = Kështu marrim 15 3 3 ; 15 5 15 dhe 71 5 15 ose 7 15 15 ; 3 ; 71. - Cila nga këto është më e madhe? Renditini nga më e madhja deri te më e vogla. Punë e pavarur: Mësuesi/ja jep këto ushtrime: 6 1. Thjeshtoni: 16 ; 5 ( 3 ) ; ( x ) y 6 9. 4 3. Krahasoni: 3 me 5 ; 8 me 16 ; 3 5 3 me 5 ; 3 3. Shkruani më thjesht: a. Detyrë shtëpie. Ushtrimet /c, 4/c, 5 b/c, 6/a, faqe 5.

Skema e qortimit të Testit (faqe 6) Ushtrimi 1: Nxënësi, nëse qarkon 1/d, fiton. Nëse qarkon /a, fiton. Ushtrimi : Nxënësi, nëse paraqet boshtin numerik, fiton. Nxënësi fiton pikën e dytë nëse paraqet në boshtin numerik numrin 5. Nxënësi fiton pikën e tretë (+1) nëse nga ndarja 5 shton tre (3) ndarje të tjera. +3 (5+3=8) x 1 I 0 5 Shënim: Nëse një nxënës paraqet direkt figurën, fiton. I I I I I x 1 0 I I I I I I I I 8 8 I I I I I I I x x ( pikë) Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Nxënësi fiton pikën e katërt nëse nga ndarja 5 zbret tri ndarje. -3 x 1 0 I I 5 I x Ushtrimi 3: Nëse qarkon numra të thjeshtë, fiton. Nxënësi për çdo çift numrash të qarkuar fiton. Ushtrimi 4: a. Nëse nxënësi gjen faktorët e thjeshtë të numrit, fiton p.sh.: 18 ka vetëm 1 faktorë. Nëse shkruajnë numrin si prodhim faktorësh të thjeshtë, fiton p.sh.: 18 = 7. b. Nëse gjejnë PMP-në për dy numra, fitojnë.. Nëse gjejnë PMP-në për tre numra i jepen.. Nëse gjejnë PMP-në për tre numrat njëherësh. ( pikë) Njëlloj veprohet edhe për SHVP-në. Ushtrime 5/ a. Shkrimi i numrit periodik (p.sh., =,..) 10, =... Shkrimi i numrit në thyesë (, = 0/9) b. Njëlloj veprohet edhe për numrin 103,. 3

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës së saktë R = I Q Ushtrimi 7: a. Shkrimi i [ 715 ;, ] = { x R/ 7 x 15, } Paraqitja në bosht. x 1-7 I I I I I I I 0 1,5 Kjo për secilën bashkësi. b. 1. Paraqitja e bashkësive, B, C në boshtin numerik si më lart jepet për secilën. Shkrimi B; B; B C; C jepet për secilën.. Paraqitja në bosht e secilës. I I x Ushtrimi 9: Shkrimi i secilës fuqi si rrënjë. Llogaritja e rezultatit për secilën. 3 9 9 P.sh. 4 = 4 3 3 3 3 9 9 3 8 4 = 4 = = 4 b. Shkrimi i saktë i secilës rrënjë si fuqi. ( pikë) Nëse nxënësi në ndonjë rast shkruan diçka ndërmjetëse, por jo rezultatin. 1 1 P.sh. 3 3 3 3 3 a = a = a do të vlerësohet për çdo rast me 1 pikë. Shënim: Tek ushtrimi 6 alternativa e saktë është c) R = I Q (jor I Q). Tek ushtrimi 7/a duhet shënuar ; që mungon. Tek ushtrimi 7/b bashkësitë të shënohen: = { x R/ 3 < x 5 }, B = { x R/ < x 1, 5 } C = { x R/ x 7} (dhe jo si në tekst) 4 Kreu II VEPRIMET ME NUMRT RELË Mësimi.1 Tema: Mbledhja dhe zbritja e numrave realë. Rregullat Kujtesë për mësuesin/en Dihet se nxënësi i di rregullat e mbledhjes dhe të veprimeve të tjera të numrave realë nga klasat e mëparshme. Qëllimi i këtyre temave është që të përafrohet perceptimi i nxënësit, mbi veprimet me numrat realë, me trajtimin e tyre shkencor-matematik. Prandaj, në këto tema është e rëndësishme që mësuesi/ja të këmbëngulë në zbatimin e vetive dhe rregullave, duke i evidentuar në çdo hap të shndërrimeve që kryen gjatë veprimeve me numrat realë.

I. Të shkruajë vetitë dhe rregullat e mbledhjes. Të mbledhë (zbresë) dy numra duke përmendur rregullën (vetinë). II. Të thjeshtojë shprehje me kllapa që përmbajnë dy veprime. III. Të zgjidhë problema që kthehen në shprehje aritmetike me veprimet e mbledhjes (zbritjes).. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Ilustrues grafik (figurat e tekstit, faqe 9). Këto mund të përgatiten nga mësuesi/ja në kartonë. 1. Mësimdhënie jo e drejtpërdrejtë. Ilustruesi grafik (tabela) 3. Punë individuale Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja shkruan në tabelë bashkësitë: N = {1,, 3, 4,...} Z + = {0, 1,, 3, 4,...} Z = {..., -3, -3, -1, 0, 1,, 3, 4,...} m Q = n m Zn N /, I= x/ x Q { } Më pas, mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që të emërtojnë këto bashkësi dhe të shkruajnë për secilën nga elemente. - jeni takuar me numrat 3 4 ; ; ; 3; π ; π etj.? 5 - mund të tregoni se cilës bashkësi të përmendur më lart i përkasin? Në këtë moment mësuesi/ja pyet: - dini të mblidhni (zbrisni) dy numra? Mësuesi/ja diskuton me një nxënës duke marrë shembuj dhe kërkon që nxënësi të ilustrojë në boshtin numerik. + P.sh. 3 + = 5 x 1 0 3 5 x Mësuesi/ja ndërhyn me pyetjen: - Çdo të thotë të mbledhësh dy numra? P.sh. numrat 6 me 15. - Çdo të thotë të zbresësh dy numra? P.sh. 15 me 6. Duhet theksuar se mbledhja (+) dhe zbritja (-) ne algjebër identifikohen me të njëjtin emërtim. Mbledhje algjebrike d.m.th. a + b (mbledhje e a me b) dhe a b (mbledhje e a me të kundërtin e b (-b). Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të gjejnë këto shuma: I I I I I I 1 + 3 + ; [ + ( 3) ]+( 4) ; 4+ [( 4) + 5] ; [ 4+ ( 4) ]+ 5; [ 5+ ( 4) ]+ 4 5

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Nxënësit përmendin vetitë e mbledhjes, në rast të kundërt duhet që mësuesi/ja t`i shkruajë saktësisht në tabelë dhe për çdo veti të sjellë shembuj. Kujdes Është e domosdoshme të kërkojë që nxënësit të përsëritin rregullën e mbledhjes së dy numrave realë. Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Gjeni shumat duke evidentuar vetitë (rregullën): 1. -10, 17,6 =. +1, + 3,3 0,15 = 3. 65, 1 3 05, + 1 + 3 01, 5 08 1 +,, + Mësuesi/ja së bashku me nxënësit zgjidh problemën 3, faqe 8. Zgjidhja: 103 + (9 15) + (7 13) + (8 53) = 103 6 + 14 45 = [(103 6) + 14] 45 = = (97 + 14) 45 = 111 45 = 66 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/b, b/c. Mësimi. Tema: Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realë I. Të shkruajë përkufizimin e prodhimit (herësit) të dy numrave realë. Të formulojë vetitë e shumëzimit (pjesëtimit). II. Të formulojë rregullat e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave realë. Të thjeshtojë shprehje me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit. III. Të thjeshtojë shprehje me katër veprimet. Të vërtetojë të paktën njërën veti. 6. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (P.sh. 1.) m p m p = n q n q 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi me tabela. 3. Punë individuale. 4. Punë grupi..) m p m q m q : = = n q n p n p Mësuesi/ja shkruan në tabelë këto shprehje aritmetike: + ; + + ; 3 3 3 3 + + + ; - Si mund t i shkruani ndryshe këto shprehje? 3 3 3 3 ( + =, + + = 3, 4 3 + + + = )

Kujtoni përkufizimin m n. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - janë të barabarta këto shprehje? + + ; 3 + 3; - mund të themi se: 3 = 3? - Cilën veti ju kujton? Formuloni vetitë e shumëzimit të dy numrave të plotë. Kujdes (-) 3 = 3(-) = - + (-) + (-) (-)(-3) = 3 = 3 - Cili rregull zbatohet? Mësuesi/ja këtu ndërhyn për shumëzimin e numrave racionalë. Përkufizim: Prodhim i thyesave m n e p, quhet thyesa m p. q n q Vini re tabelën: m p m p = ku n 0 dhe q 0 n q n q Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Nxënësit formulojnë vetitë e shumëzimit. Pas përkufizimit merren -3 shembuj. Përkufizimi i pjesëtimit: Vini re tabelën m n : p m q q = n ku n p 0, p 0, q 0 Më pas vihen nxënësit në punë të pavarur: 4 9:( 3) Thjeshto: ( 1) ( 3) ; ( 16) ( 7) ( 3) ( 1) 9 ; 9 9 3 3. 5 10 : 9 3 Gjeni vlerën e y ( y 3 ) për y =. y 3 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1 b/d, /a, 3/b, 7 faqe 30. Mësimi.3 Tema: Ushtrime I. Të thjeshtojë shprehje aritmetike të plota me katër veprime. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me dy veprime. II. Të thjeshtojë shprehje aritmetike racionale me katër veprime. Të llogaritë vlerën e shprehjeve shkronjore për vlera të dhëna të shkronjave. III. Të thjeshtojë shprehje aritmetike me numra periodikë.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 1. Diskutimi problemor.. Punë e udhëhequr. 3. Punë grupi (individuale). 7

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Kjo etapë e orës së mësimit ndahet në tri pjesë. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të rikujtojnë rregullat e veprimeve me numrat (mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi). Kërkohet nga nxënësit radha e veprimeve në shprehjet pa kllapa, me shprehjet me kllapa. Punë e pavarur. Thjeshtoni: 1 a. ( 1) ( + 1) ( 3 ) ; ( ) + ; + ( ) 7 17 18 : 3. 13 6 b. + 7 14 7 1 ; 6 9 + 1 7 14 ; 13 6 6 9 + 7 14 7 1 1 + 7 14 : 1 1 1 3 1 1 1 + : ; 4 1 + 3. 1 1 1 5 3 4 + : c. Llogarit: 3 5 046 03, + 0 4 0 53 0 9 4 3, 3 (, ) :,, 3 ( ) Gjeni vlerën e shprehjes: a + a+ 1 a + a + 1 + 4a+ 4 8 a + : për a = 05,. Kujdes Nëse nxënësit kanë vështirësi,ushtrimi c nuk duhet të punohet. Detyrë shtëpie. Ushtrimet I/ dhe 5, II/, III/1. Mësimi.4 Tema: Veprimet me rrënjët I. Të kujtojë vetitë e rrënjëve. Të përkufizojë rrënjët e ngjashme. II. Të llogaritë rrënjën e prodhimit dhe të herësit. Të reduktojë rrënjë të ngjashme. III. Të thjeshtojë shprehje me rrënjë që përmbajnë n a n për n-çift. 8. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula (ku shprehin vetitë e rrënjëve). 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi tabelor. 3. Puna e pavarur (grupi). 4. Punë e udhëhequr.

P.sh.: a a b = a b = b n n n n n m m n n n a = a a = a për n-çift Mësuesi/ja në fillim tregon tabelat dhe kërkon nga nxënësit të gjejnë: 1. 5 64 ; 3 8 64 ; 4 16 81 6 1 18 5. 3 4 ; 3 43 10 5 ; 4 81 3. 5 16 ; 15 7 3 ; Kujdes - zbatohen vetitë te: 4( 9 ) ; n n a b 16 5? ( ) ( ) a x 15 5. 10 Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja shkruan në tabelë: ( ) ; 3 3 4 ; 6 - mund t`i shkruani rezultatet e tyre? 6 Vini re nga tabela kemi Duke u mbështetur nga sa thamë gjeni: ( 3) ; ( x 3) ; ( 1 ) n n n n a = a për çift dhe a = a për n tek. ( 1 3). ( 3) 3 3 ; 4 ( 7) 4 ( 3 7) 4 Mësuesi/ja shkruan në tabelë: 3 ; 7 ; 50. - mund të thjeshtohen këto rrënjë? Vini re: 3 = 16 = 16 = 4 Njëlloj tregohet se: 7 = 6 ; 50 = 5 ; Rrënjët 4 ; 6 ; 5 quhen rrënjë të ngjashme. - mund të përkufizoni rrënjët e ngjashme? Mësuesi/ja jep këtë shprehje: 8 1 3 5 50 + 1 3 7 dhe kërkon thjeshtimin. a. Në fillim nxirret faktori para rrënjëve: 8 = 4 = 4 = 3 = 16 = 16 = 4 50 = 5 = 5 = 5 7 = 36 = 36 = 6 9

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 b. Kështu shkruajnë: 1 8 3 5 50 1 3 7 4 1 5 5 1 + = + 6 3 = 4 + = Mësuesi/ja jep punë të pavarur. Thjeshtoni shprehjen: 1. 0 45 + 3 18 + 7 5 80. 1 8 05, + 3 + 48 Detyrë shtëpie. Ushtrimi 3, pika 1, 3/b faqe 33; ushtrimet dhe 3, pika 3 në faqen 34, 3/a, faqe 36; 6/a, faqe 37. Mësimi.5 Tema: Veprimet me rrënjët I. Të rikujtojë përkufizimin e shprehjeve të konjuguara të njëra-tjetrës. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese, duke zbatuar shumëzimin e drejtpërdrejtë (si p.sh.: 1 1 = ). = II. Të zhdukë rrënjën nga emëruesi i një thyese duke zbatuar shumëzimin me të konjuguarën (si p.sh.: 1 1 1 1 1 1 = + + + ) = = = + ( 1)( 1) ( ) 1 1 III. Të thjeshtojë shprehje me thyesa, me rrënjë në emëruesit e tyre, duke zbatuar në mënyrë të kombinuar: 1. shumëzimin e drejtpërdrejtë;. shumëzimin me të konjuguarën; 3. kthimin e thyesave në emërues të përbashkët.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula: 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). n n P. sh. 1. a = a per a 0. a b a b a b a b ( per a 0, b 0) 3. ( ) + 3 3 ( ) + 3 3 3 a b a a b 3 b 3 3 a b a b 4. n a n b = n a b etj. ( ) = ( ) ( ) = 3 3 ( ) = ( ) ( ) = 30

Mësuesi/ja shkruan në tabelë shprehjet: 3 ; 3 dhe kërkon nga nxënësit të shkruhen më thjeshtë. 3 3 3 3 Kujdes Do të ketë nxënës që do të shkruajnë: 3 1 ; 3 1 ; = = 3 3 3 3 3 Ky shtjellim nuk është i gabuar, por veprohet duke larguar rrënjën nga emëruesi. = = = 3 3 3 3 3 3 = 3 3 3 3 3 = = 3 3 3 3 3 Punë e pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: 4 ; ; a. 3 6 a a 3 3 Mësuesi/ja në tabelë shkruan shprehjet: 1. ( )( + ); 3 3 3 3 3. ( 3) ( + 3 + 3 3 ) Kërkon nga nxënësit që të thjeshtojnë duke zbatuar formulat në tabela (shih mjetet ndihmëse). Së bashku me nxënësit mësuesi/ja zhduk rrënjën nga emëruesi i thyesës: 6 ; a 4 a + ; a 1 3 a 1 ; Kujdes Që vlera a > 0 ose një fuqi e saj të nxirret nga rrënja me tregues n, duhet që a-ja të jetë baza e fuqisë me tregues shumëfish i n, d.m.th. n k n a = a P.sh.: 3 6 a = a etj. Mësuesi/ja u jep nxënësve punë të pavarur. Zhdukni rrënjën nga emëruesi i thyesës: 10 ; x 4 ; a b ; a 8. 5 x a + b 3 a Detyrë shtëpie. Ushtrimi 7 a/b/c, faqe 37. 3 3 3 k Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësimi.6 Tema: Ushtrime I. Të llogaritë prodhimin e rrënjëve (herësin) duke zbatuar vetitë. Të nxjerrë faktorin para rrënjës. II. Të shprehë vlerat e lejuara të shkronjës në një shprehje me rrënjë. Të futë faktorin para rrënjës, brenda shenjës së saj. III. Të thjeshtojë shprehje që kombinohen me zhdukjen e rrënjëve nga emëruesi i thyesave. 31

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabelat me formula (shiko mësimet, 3, 4, 5), ku mund të shtohen formulat e rëndësishme, si: a b = (a b)(a + b) Mësuesi/ja shkruan në tabelë: a. Gjeni: 3 3 ; a a (a 0); x 1 x 1;(x 1); 13 1 ; 100 96 1. Punë e udhëhequr.. Punë e pavarur. b. Në cilin rast janë të vërteta barazimet: x = x; ( x ) = x ( 3 b) = 3 b ; c. Pse themi se nuk ka kuptim: 4 ; 4 ; (kujto përkufizimin) Mësuesi/ja shkruan në tabelë: x 1 ; 4 5 x ; 3x Kërkon nga nxënësit që të gjejnë vlerat e lejuara të shkronjës x. Kujdes Shumë nxënës mund të mos e kuptojnë pyetjen. Në këtë rast ndërhyn mësuesi/ja: Le të merret x 1 dhe vlerën e x =. - Çfarë do të ketë? ( 1= 1= 1). Thuhet se x = është vlerë e lejuar. Vini re: x 1 = 1 = 1 > 0 Për shprehjen x 1 dhe x = -1 do të kemi 1 1= nuk ka kuptim. Themi se x = -1 është vlerë e palejuar. Vini re: x 1 = -1 1 = - < 0. Përfundimisht nëse x 1 0 x 1 janë vlera të lejuara. Pas këtij përfundimi punohen me nxënësit rastet e tjera. Punë e udhëhequr. Nxirret faktori nga rrënja: 3 75 ; 54 ; 4 3x 5 P.sh.: 4 5 4 3 5 5 4 5 4 4 4 4 4 x = = ( x) = ( x) x = ( x) = x x 3 3 Futni faktorin brenda rrënjës: 3 6; 7 ; a a P.sh.: a 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 a 3 a 4 = = = Punë e udhëhequr.nxënësit theshtojnë shprehjen: a a b a + = b a( a + b) b( a b) = a b a b b ( )( + ) ( ) a + a b b a + ( b) = = ( a) ( b) a+ a b a b + b = a b

Për punë të pavarur jepet ushtrimi 8/a. Detyrë shtëpie. Ushtrimet /b, 3/c, 4/b në faqen 36; si dhe ushtrimet 7/c,. 8/c,në faqen 37. Mësimi.7 Tema: Veprime të kombinuara të fuqive I. Të shkruajë si rrënjë fuqitë me eksponent racional. Të shumëzojë (pjesëtojë) fuqi me baza të njëjta. II. Të shkruajë si fuqi rrënjë të ndryshme. Të thjeshtojë shprehje me fuqi. III. Të zgjidhë ekuacione të kombinuara (me ndryshore me eksponent të fuqive, me tregues të rrënjës). Libër mësuesi për tekstin Matematika 9. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula, si p.sh.: = { x R dhe vetitë e fuqive (rrënjëve) shiko temat përkatëse. 1. Punë e udhëhequr.. Ilustrim me tabela. 3. Punë e pavarur. m n Mësuesi/ja u rikujton nxënësve formulën për a 0 dhe a = 1 n m n a = a n. 1 1 a Këtu kërkon të shkruhen si rrënjë fuqitë: 64 ; 15 3 ; 7 3 dhe të gjenden ato. Më pas mësuesi/ja shtron para nxënësve pyetjen: 1 - mund të shkruhet si rrënjë 64? (shiko Matematikën 9, faqe 38). 4 Njëlloj shkruani si rrënjë: 16 3 ; 10 05, ; 7 03, Shkruani si fuqi me bazë 3. 3, 9, 1 1 3 ; 3 ; 3 1 1 3 + 3 3 ; 7 ; P.sh.: 3 3 = 3 3 = 3 = 3 7 Më pas për punë të pavarur mësuesi/ja jep: Gjeni Bnëse: 3 3 ( 3 7 ) ; 3 ( 7 3) = B = 5 ( 7 3 ) ( 3 7) 1 Zgjidhni ekuacionet: x = 8; x = ; 3 x = 1 8 1 Kujdes Për të zgjidhur ekuacionin x =, në fillim duhet që 1 të shkruhet si 8 8 fuqi me bazë. Domethënë 1 1 3 = = x 3, kështu = = x = 3. 3 8 Njëlloj veprohet edhe me ushtrimet e tjera. 33

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja jep për punë të pavarur. 3 1. Shkruani si rrënjë: 8 ; 9 16 1. Zgjidhni: ( x 1)( x 8) = 0; 3 = 3 Mësimi.8 Tema: Makina llogaritëse. Tasti x y ; x 0, 3 Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, 3/b, 4/b, 5/b. I. Të llogaritë me makinë llogaritëse x y, kur x dhe y janë numra të plotë pozitivë. II. Të llogaritë x y me makinë llogaritëse në rastet kur x e y janë thyesa pozitive. III. Të llogaritë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehjeje aritmetike, duke përdorur me mënyrë të kombinuar tastet x y ; M + ; M - ; RM.. Tabela në të cilën është shënuar mënyra se si bëhet llogaritja e një shprehjeje me makinë llogaritëse, duke përdorur x y të kombinuar me tastet e tjera (shiko shembullin, faqe 40). 3. Makinë llogaritëse që ka tastin x y. 1. Praktikë e udhëhequr (me makinë llogaritëse).. Ilustrim me tabela (shih mjetet ndihmëse). 3. Praktikë e pavarur. Në fillim mësuesi/ja kërkon që nxënësit të llogaritin me makinë 3 ; 3 3 dhe njëri të komentojë veprimet që kreu. 1 1 1 Pas kësaj u drejtohet nxënësve. Provoni të llogaritni ; 3 ; 5. Tregoni si bëhet llogaritja, kujdes,këtu do të merrni këto përgjigje: 1 1. Shkruaj, pastaj shtyp dhe në ekran marrim rezultatin për, sepse 1 =.. Shkruaj, pastaj shtyp x y, më pas 0,5 dhe në fund shtyp =. Nëse nxënësit nuk shprehen për pikën, është e domosdoshme që mësuesi/ja ta shpjegojë. Pas kësaj mësuesi/ja (nëse nga nxënësi nuk ka përgjigje) shpjegon hap pas 1 hapi si llogaritet 3 ; 1, 034, (shih Matematika 9, faqe 40). 34

Më pas mësuesi/ja jep si punë të pavarur. Llogarit: 1. 3 35, + 4 ;. 3 1 4 +, 5 7, Në fund të jepen 1- shprehje si detyrë shtëpie ku nxënësi të shkruajë hapat e llogaritjes me makinë (shiko shembullin, faqe 40). Test (skema e qortimit) Ushtrimi 1: Qarkimi i alternativës C. Ushtrimi : Paraqitja e 5 = 4+ 1= + 1. Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Ndërtimi i figurës. x 1 I I B I 5 0 C x Sqarimet O = njësi, B = 1 njësi, OB trekëndësh kënddrejtë. Nga teorema e Pitagorës OB = 5. Ndërtojmë OC = OB. Ushtrimi 3: Qarkimi i alternativës b Ushtrimi 4/a: Shkrimi i numrave dhjetorë në thyesa. Kryerja e veprimeve brenda kllapave ( ). Shkrimi i rezultatit të saktë. b. Njëlloj, si: a). Ushtrimi 5 a/b: Shkrimi i rezultatit të saktë. c. Zbatimi i vetisë për rrënjën e herësit ose zbatimi i herësit të fuqive. Shkrimi i rezultatit të saktë. Ushtrimi 6: Qarkimi i alternativës b. ( pikë) Shënim: Nëse nxënësi shkruan rrënjët, si 0 = 4 5, por nuk ka qarkuar rezultatin i jepet. Ushtrimi 7: Gjetja e një grupi (grupi I). Gjetja e grupit tjetër (grupi II). Ushtrimi 8/a: 1 Zgjidhja e ushtrimit a. 3 Shkrimi 5 = 3 3 3 5 5 5. 35

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Shprehja e b. Paraqitja 3 5 = 5 5 3 a b ( a b) ( a b) = a + b ( a + b) ( a b) ( a b) ( a) ( b) ( a b) Shkrimi më tej: Më tej: a b c. Vendosja në emërues të përbashkët. Shkrimi i emëruesit në formën ( ) 1. Shkrimi i rezultatit përfundimtar. Ushtrimi 9/a: Shkrimi në formën 3 x = 3 3.. Shkrimi x = 3. x x+ 1 1 3. b. Shkrimi në formën 3 3 = x+ 1 Shkrimi 3 x 3 3 =. Gjetja e vlerës së x-it 1 Njëlloj për ushtrimin 4 x+ 96 =. x+ 1 96 Shkrimi 4 = =. 4 ( x +) Shkrimi =. Gjetja e vlerës së x-it Kreu III MTJ Mësimi 3.1 Tema: Syprina e figurave. Vetitë themelore 36 I. Të përkufizojë kuptimin e syprinës së figurave. Të formulojë vetitë e syprinës së figurave. II. Të krahasojë syprinat e figurave të dhëna duke përdorur njohuritë e mëparshme mbi syprinat. Të dallojë kuptimin figura kongruente nga kuptimi figura të njëvlershme. III. Të shkruajë lidhjen e njësive të syprinave me shumëfishat dhe nënfishat e njësisë.

. Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me figura (shih figurën 1, faqe 41). 4. Vizore (e milimetruar). 5. Fletë të milimetruar. 6. Gërshërë për prerjen e figurave. 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Përgatita e tabelës: Në një fletë të milimetruar (ose karton të kuadratuar me katrorë të vegjël) ndërtohen figura të ndryshme (shih figurën 1, faqe 4). Kujdes Figura duhet të përmbajë 36 katrorë (9 x 4 = 36). Figura B duhet të përmbajë 36 katrorë (6 x 6 = 36) Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja vendos para nxënësve tabelën me figura (të parapërgatitura më parë) dhe kërkon nga nxënësi që në fletë të milimetruara të ndërtojë këto figura. Pas ndërtimit kërkon që figurat të priten. - Sa katrorë të vegjël përmban figura, po figura B? - mund të themi se figurat dhe B janë kongruente? Të njëjtat pyetje drejtohen edhe për figurat C e D. Në këtë moment mësuesi/ja kujton: Këta katrorë të vegjël do t`i marrim si njësi për matjen e syprinave dhe do të quhen njësi katrore. Mësuesi/ja pyet nxënësit: - Sa njësi kanë syprinat e figurave, B, C, D, F 1, F, F 3? Duke shënuar: S = 36 njësi katrore, S B = 36 njësi katrore, S C = 1 njësi katrore, S D = 1 njësi katrore. Plotëso: S F1 = ; S F = ; S F31 = ; - mund të themi se: S F = S F1 + S F + S F3? Mësuesi/ja tërheq vëmendjen e nxënësve. Vini re: 1. S = 36 njësi katrore, S B = 36 njësi katrore. Themi se figura është drejtkëndësh, figura B është katror, pra nuk janë kongruente. Theksohet se: Dy figura që kanë syprina të barabarta quhen të njëvlershme (Kujdes: jo kongruente). Pritini figurat C, D dhe vendosini mbi njëra-tjetrën (duhet të jenë kongruente). Por, S C = S D = 1 njësi katrore. Këtu theksohet se: Dy figura kongruente kanë syprina të barabarta. Syprina e figurës F është e tillë që: S F = S F1 + S F + S F3. Pra, figura e përbërë nga figura që nuk priten ka syprinë sa shuma e syprinave të figurave që e përbëjnë atë. Mësuesi/ja së bashku me nxënësit formulon vetitë për syprinat e figurave. Mësuesi/ja kujton se njësia themelore për matjen e syprinave është m (metri katror): 37

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 1m = 100 dm = 10000 cm 1m = 10 dm = 10 4 cm = 10 6 mm 1km = 10 hm = 10 4 dam = 10 6 m Më pas jepet punë e pavarur për ushtrimet që lidhen me figurat, faqe 43 dhe diskutohet ushtrimi 4, faqe 43. Detyrë shtëpie. Ushtrimet dhe 3,faqe 43. Mësimi 3. Tema: Syprina e drejtkëndëshit dhe e katrorit I. Të shkruajë formulën që shpreh syprinën e drejtkëndëshit, duke e shprehur me anë të brinjëve. II. Të gjejë syprinën e drejtkëndëshit duke zbatuar formulat përkatëse. III. Të shprehë diagonalen e katrorit me anë të syprinës dhe anasjellas.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula mbi syprinën e drejtkëndëshit dhe syprinën e katrorit. 4. Vizore të milimetruar. 1. Diskutim problemor.. Ilustrim me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Mësuesi/ja në tabelë ndërton një drejtkëndësh, si figura në faqen 43 dhe kërkon nga nxënësit të bëjnë të njëjtën gjë në fletoret e tyre. - Sa njësi katrore është syprina e drejtkëndëshit BCD? (B = 11 cm, D = 5 cm) - ka lidhje syprina me prodhimin B D? Përforcojmë se: S BCD = B D dhe tregojmë para nxënësve tabelën. Syprina e drejtkëndëshit h S=b. h b Pas kësaj mësuesi/ja jep punë të pavarur. Jepet drejtkëndëshi BCD me brinjë B = 8,6 cm dhe D = 5,4 cm. a. Njehsoni syprinën në cm. 38

b. Ktheni syprinën në mm. c. Ktheni syprinën në m. Jepet drejtkëndëshi me bazë b = 1 cm dhe diagonale d = 13 cm. Gjeni syprinën. Pas kësaj mësuesi/ja ndërton një katror me brinjë a dhe kërkon nga nxënësit të llogaritin syprinën duke zbatuar formulën mbi syprinën e drejtkëndëshit S = a. Gjeni një lidhje ndërmjet diagonales së katrorit dhe syprinës së tij. Dimë nga teorema e Pitagorës: Kujdes d a d a + a = d a = d a = a d Kështu themi se: S = a = Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Jepet katrori me diagonale 8 cm. Gjeni syprinën e tij në cm dhe në mm. Drejtkëndëshi me brinjë 9 cm dhe 4 cm është i njëvlershëm me katrorin me brinjë a. Gjeni gjatësinë e brinjës a. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1/c, /b, 3, faqe 45. Mësimi 3.3 Tema: Syprina e paralelogramit dhe rombit Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 I. Të shkruajë formulën për syprinën e paralelogramit. II. Të njehsojë syprinën e paralelogramit (rombit) duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të vërtetojë formulën për syprinën e paralelogramit (rombit), duke zbatuar kuptimin e njëvlershmërisë me drejtkëndëshin. Të zgjidhë problema, që kërkojnë zbatim jo të drejtpërdrejtë të formulave mbi syprinat. Mjetet ndihmëse:. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra, lapsa me ngjyra. 5. Fletë e milimetruar kuadratuar. 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Drejtkëndësh Paralelogrami b h S = b. h h b S = b. h 39

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Në fillim mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë një paralelogram (me fletore katrore),me brinjë B = 8 cm dhe D = 4 cm (ndërtimi sipas dëshirës). Mësuesi/ja drejton pyetjen: - mund të gjeni syprinën? Kujdes Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se S = 8 4 = 3 cm, por, është gabim. Mundet që ndonjë nxënës të shprehet se nuk njohim lartësinë. Në rast se nxënësit hasin vështirësi, ndërhyn mësuesi/ja dhe plotëson figurën, si ajo në faqen 45. Nxënësit provojnë se syprina e paralelogramit është: S = b h, b baza (njëra brinjë e tij), kurse h lartësia (pingulja e ndërtuar nga njëri kulm mbi brinjën përballë). D C. E h b. B F Kujdes Nëse merret B = b (baza), atëherë DE = h (lartësia). Nëse BC = b (baza), atëherë DF = h (lartësi). Mësuesi/ja jep punën e pavarur: Njehsoni syprinën e paralelogramit me bazë 8 cm dhe lartësi 3 cm. Njehsoni syprinën e paralelogramit me brinjë 9 cm dhe 6 cm, që formojnë kënd të ngushtë 60 0. Pas kësaj, nxënësit ndërtojnë një drejtkëndësh dhe masat e brinjëve të tij të bashkohen me segmente (shiko figurën, faqe 46,lart). Trego se: a. BCD romb; b. S BCD = 1 S MNKL ; d.m.th. S BCD = 1 C BD S BCD = 1 d 1 d Meqenëse BCD është paralelogram, atëherë S = b h (shiko figurën, faqe 16). Mësuesi/ja jep punë të pavarur ushtrimet 1 dhe, faqe 46. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1,, 3, 5, faqe 46. 40

Mësimi 3.4 Tema: Syprina e trekëndëshit. Formula e Heronit I. Të shkruajë dy formulat për syprinën e trekëndëshit. II. Të njehsojë syprinën e trekëndëshit duke zbatuar formulën përkatëse. III. Të zgjidhë problema që kërkojnë zbatimin indirekt të formulave mbi syprinën e trekëndëshit.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore 4. Tabela me formula. 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi me tabelë. 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 b h S bh = 1 a. b S ab = 1 c a S = p( p a)( p b)( p c) b P a + = b + c Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të ndërtojnë paralelogramin me bazë 8 cm dhe lartësi 6 cm. Gjeni syprinën e paralelogramit. Ndërtoni diagonalen e tij. Kujto: diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë. Trego se syprina e secilit trekëndësh është. 8 3 = 1 cm Nxënësit vërtetojnë se syprina e trekëndëshit është S= 1 bh (shiko figurën). D C h E b B 41

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësuesi/ja jep punë të pavarur: Gjeni syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a, b. Zbatim numerik: a = 4, b = 5. a b Gjeni syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a. Kujdes: këtu udhëzohet nxënësi të gjejë lartësinë h me anë të teoremës së Pitagorës. S a 3 = 4 Zbatim numerik a = 6. Ndërhyn mësuesi/ja: Përveç këtyre formulave për syprinën e trekëndëshit përdoret formula e Heronit, në trekëndëshin me brinjë a, b, c kemi: c b S = p( p a)( p b)( p c) ku P a + = b + c a Gjeni syprinën e trekëndëshit me brinjë: a = 51,6 cm, b = 38,4 e 64 cm. Detyrë shtëpie. Ushtrimet, 3, 5/a, 6 faqe 48. Mësimi 3.5 Tema: Syprina e trapezit I. Të shkruajë formulën mbi syprinën e trapezit. II. Të llogaritë syprinën e trapezit duke zbatuar formulën. Të zbatojë në problema formulat që rrjedhin nga S a + = b h. III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e trapezit. Të zgjidhë problema duke zbatuar formulat që lidhen me syprinën në mënyrë indirekte, problema që kërkojnë analizë para zbatimit të formulave.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formula. 4. Vizore, shkumësa me ngjyra. h a b S a + = b h 4

1. Diskutimi problemor.. Ilustruesi me tabela. 3. Punë e pavarur (grupi). Mësuesi/ja ndërton në tabelë një trapez dhe kërkon të njëjtën gjë nga nxënësit. b D C h Shkruani emërtimet: E a F B B = a baza e madhe (a vlera numerike e gjatësisë) DC = b baza e vogël (b vlera e gjatësisë) DE = CF = h lartësia (h vlera e gjatësisë) Nëse shumë nxënës mund të shkruajnë formulën S = a + b h, kështu duke zëvendësuar do të gjejnë syprinën. Në këtë rast mësuesi/ja do të kërkojë argumentimin si mund të provohet se S = a + b h. Mësuesi/ja u kërkon nxënësve të ndërtojnë diagonalet e trapezit [BD] dhe lartësitë [DE], [BF]. D b C F Vini re: S 1 B DE a h BD = h h S 1 BCD DC BF 1 b h h Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 E a B 1 1 1 S S S ah bh h a b S a + b Trapezit = BD + BCD = + = ( + ) = h Vërtetimi mund të bëhet si në tekst, por duhet treguar se B 1 C 1 D është paralelogram. Mësuesi/ja organizon punë të pavarur me nxënësit: Veçoni h nga formula (1). Veçoni a + b nga formula (1). Njehsoni syprinën dhe brinjët anësore në trapezin BCD (shiko figurën) nëse: D = BC (trapezi dybrinjënjëshëm), a = 18, h = 3 Me nxënës të nivelit të lartë mund të punohet ushtrimi 3, faqe 50,lart. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1,, 4, faqe 50 (lart). 43

Libër mësuesi për tekstin Matematika 9 Mësimi 3.6 Tema: Ushtrime I. Të zbatojë drejtpërdrejtë formulat për llogaritjen e syprinave të figurave. II. Të llogaritë syprinat e figurave duke zbatuar formulat. III. Të zgjidhë problema me anë të analizës duke zbatuar indirekt formulat mbi syprinat.. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Tabela me formulat mbi syprinat, shiko mësimet 3.1-3.6. 1. Ilustrimi tabelor.. naliza problemore. 3. Punë e pavarur (grupi). Para orës së mësimit mësuesi/ja të përgatisë zgjidhjet e të gjitha problemave dhe të korrigjojë gabimet e mundshme. Ushtrimi 1. Gjeni koordinatat e pikës D, por kujdes pika D mund të ketë koordinata (0; 8) ose (-1; 8), (4; 8) ose (; 10)). Mësuesi/ja pasi diskuton me nxënësit problemën, jep këtë ushtrim. Jepet BCD romb: D C = 48 cm, BD = C, kërkohet S =? C 3 B Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën: 16 S d d C BD C C 48 48 1 = = S = 3 3 48 3 = = = 48 16 = 768cm 44 Mësuesi/ja organizon një punë të pavarur me ushtrimin 5, faqe 50. Jepet: S = 91 cm h = 58 cm D b C a b =? h Kërkohen: a =? b =? a Zgjidhje: Nxënësit shkruajnë formulën e syprinës. B 1. a+ b S = h, meqenëse S dhe h dihen, atëherë nga (1) nxjerrim. S a+ b = a+ b = 79 h Kemi të dhënë: a b = 15, gjetëm a + b = 79 duke zgjidhur sistemin: a b = 15 gjejmë a = 47 cm dhe b = 3 cm. a+ b = 79

Nëse ka kohë nxënësve u jepet si punë e pavarur ushtrimi 8, faqe 50. Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 7, 11, faqe 50. Mësimi 3.7 Tema: Syprina e shumëkëndëshit të rregullt dhe shumëkëndëshit të jashtëshkruar të rrethit I. Të tregojë si ndërtohet një shumëkëndësh i rregullt. Të shkruajë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. II. Të njehsojë syprinën e një shumëkëndëshi të rregullt, duke zbatuar formulat. III. Të vërtetojë formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Të zgjidhë problema duke zbatuar në mënyrë indirekte formulën mbi syprinën e shumëkëndëshit të rregullt. Libër mësuesi për tekstin Matematika 9. Teksti Ushtrime Matematika 9. 3. Vizore, kompas 4. Tabela me formula. Metodat ndihmëse: 1. Diskutimi problemor.. Ilustrimi grafik (me figura, tabela). 3. Punë e udhëhequr. 4. Punë e pavarur (grupi). E D S = 1 p h F o h a B C P = n a Mësuesi/ja jep përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Më pas tregon se si mund të ndërtojmë një shumëkëndësh të rregullt. Për këtë u kërkohet nxënësve të ndërtojnë rrethin me rreze 5 cm. Me atë hapje të kompasit ndani rrethin në 6 pjesë të barabarta dhe pikat e ndarjes bashkohen në segment. D Kështu fitohet gjashtëkëndëshi i E C rregullt. Këtu brinja është sa rrezja e rrethit. o Nëse rrethi ndahet në 7, 8, 9... n pjesë të barabarta fitojmë 7, 8,...n këndësh të h F B rregullt. M Në këtë rast shumëkëndëshi quhet i brendashkruar në një rreth. 45