ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται περιττή σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; (5 μον.) iii. Να κατασκευάσετε ένα πινακάκι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 0,0,45,60,90. (6 μον.) Β. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) Σωστό ή (Λ) Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : i. Η εξίσωση 7x y 4 είναι γραμμική. Σ Λ ii. Αν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει μοναδική λύση τότε D 0. Σ Λ 7x y 9 iii. Το σύστημα είναι προτιμότερο να το λύσουμε 5x 4y 11 με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Σ Λ iv. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x 1,x με x1 x ισχύει f x1 f x. v. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 90 ισχύει ότι Σ Λ. Σ Λ (5x=10 μον.) Θέμα ο : Δίνεται το σύστημα: x y 9 x 7y 1. Α. Να λύσετε γραφικά το σύστημα. (7 μον.) Β. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης. (5 μον.) Γ. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. (6 μον.) Δ. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών. (7 μον.) 1
Θέμα ο : A. Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τις συμμετρίες. i. ii. iii. iv. (4x4=16 μον.) Β. Να παραστήσετε γραφικά σε ένα σύστημα συντεταγμένων, τις συναρτήσεις: x x f x x g x x (9 μον.),, Θέμα 4 ο : Α. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών Β και Γ του παρακάτω σχήματος. (1 μον.)
Β. Στο παρακάτω σχήμα είναι. Αν η τετμημένη του σημείου 4 Μ είναι -1, τότε να υπολογίσετε: i. Την τεταγμένη του σημείου Μ. ii. Το ημω και το συνω. (x4=8 μον.) Γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: (5 μον.) 6 4 6 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Ενδεικτικές) Θέμα 1 ο : Α. i. Γραμμική εξίσωση ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής x y με 0 ή 0. ii. Μία συνάρτηση f λέγεται περιττή σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε x το x, και ισχύει f x f x. iii. ισχύει ότι B. i.λ ii.σ iii. Λ iv.σ v.σ 4
Θέμα ο : Έχουμε το σύστημα x y 9 (Σ) x 7y 1 Α. Θεωρούμε τις ευθείες : x y 9 και 1 :x 7y 1. Θα κατασκευάσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες. Έχουμε τους εξής πίνακες τιμών των δύο ευθειών: ε 1 : x 1 y 4 ε : x - 0 y -1-1/7 Άρα έχουμε: Δηλαδή (x,y)=(5,). Β. x y 9 x y 9 x y 9 x 7y 1 y 9 7y 1 6y 7 7y 1 x y 9 x y 9 x y 9 x 9 1y 6 6y 7y 1 7 1y 6 y 1 1 x 5. y Δηλαδή (x,y)=(5,). 5
Γ. Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 1y 6 x y 9 x 6y 7 1y 6 1 1 x 7y 1 x 7y 1 x y 9 x y 9 y y. x 9 x 5 Δηλαδή (x,y)=(5,). Δ. Βρίσκουμε την ορίζουσα των συντελεστών του x y 9 (Σ). x 7y 1 1 Είναι: D 7 6 1 0, άρα το (Σ) έχει μοναδική λύση. -7 Θα βρούμε και τις άλλες ορίζουσες του (Σ). Έχουμε: 9 1 9 Dx 6 65 και Dy 1 7 6 1-7 1 D 65 6 D D 1 1 Τότε η λύση του (Σ) είναι: x,y D x, y, 5, Θέμα ο : Α.i.. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, 1 και στο 1, και γνησίως αύξουσα στο 1,1. Δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα. Είναι περιττή εφόσον έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ii. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,. Παρουσιάζει ολικό μέγιστο το για x=0. Είναι άρτια διότι έχει άξονα συμμετρίας τον y'y. 6
iii. Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 1 Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως 1 αύξουσα στο,. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 4 για 1 x. Δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή. iv. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,4, γνησίως αύξουσα στο 4,6, γνησίως φθίνουσα στο 6,8 και γνησίως αύξουσα στο 8,.Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -4 για x=4 και για x=8. Δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή. Β. Έχουμε τις συναρτήσεις x x, f x x και g x x. Η f είναι μετατόπιση της φ κατά μονάδες πάνω και η g μετατόπιση της φ κατά μονάδες δεξιά. 7
Θέμα 4 ο : Α. Από Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: 6 8 6 64 100 100 10. Τότε: έ ά ά 8 4 ί 10 5 ί ά ά 6 ί 10 5 έ ά ά 8 4 ί ά ά 6 ί ά ά 6 έ ά ά 8 4 6 8 4 Ομοίως είναι:,, 10 5 10 5 6 8 4 και. 8 4 6 B. i. Έχουμε: y y x 4 1 4y y=. 4 Επομένως η τεταγμένη του σημείου Μ είναι 4. 8
ii. Είναι: 1 1 Γ. 1 6 4 6. Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 9 16 9 5 5 x y 1 4 1 16 16 16 16 4 y 4 Άρα, 4 5 54 5 και 4 x 1 41 4. 5 51 5 4 9