Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3 Τριγωνική νισότητ χωρίς πόδειξη: z z z z z z ***Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους ***Η εξίσωση: z z ρ, ρ πριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( z ) κι κτίν ρ ***Η εξίσωση z z z z πριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήμτος A( z) B( z ) Εφρμογές Γι τις διάφορες τιμές του θετικού κέριου ν ν υπολογιστεί το άθροισμ ν S i i 3 i i ( ν i S i κι =,i,-+i,-,) i Ν ρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z στις περιπτώσεις κτά τις οποίες ο z ριθμός είνι ) φντστικός ) πργμτικός z i 3 Αν γι τους μιγδικούς z, z,, zν ισχύει z z i i z z i i zν i, z i ν ν ποδειχτεί ότι κνένς πό υτούς δεν είνι πργμτικός ριθμός 4 Αν γι το μιγδικό z ισχύει z ( i), ν ρεθεί: ) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνς του z στο μιγδικό επίπεδο
) Η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή του z Εφρμογές Έστω οι συνρτήσεις ( ln κι g( Ν ρείτε τις: i) go ii) og *** Γενικά go og *** Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, τότε προφνώς, είνι συνάρτηση " " ***** Υπάρχουν, όμως, συνρτήσεις που είνι λλά δεν είνι γνησίως μονότονες πχ, g ( (Σχ 34, σελ 53), *** Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτομεί τις γωνίες Oy κι Oy
Όρι 3 Όριο κι διάτξη Αν lim (, τότε ( κοντά στο (Σχ 48) Αν lim (, τότε ( κοντά στο (Σχ 48) Αν οι συνρτήσεις 4 Ιδιότητες, g έχουν όριο στο κι ισχύει ( g( κοντά στο, τότε lim ( lim g( Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι g στο, τότε: lim( ( g( ) lim ( lim g( lim( κ ( ) κ lim (, γι κάθε στθερά κ R 3 lim( ( g( ) lim ( lim g( 4 lim ( ( lim, εφόσον lim g( g( lim g( 5 lim ( lim ( 6 lim k ( k lim (, εφόσον ( κοντά στο κι 7 ν lim[ ( ] lim ( ν, ν * Κριτήριο πρεμολής Έστω οι συνρτήσεις, g, h Αν h( ( g( κοντά στο κι Τότε: lim h( lim g( lim (, Βσικά όρι: ν ν Γι το πολυώνυμο: P( ν ν κι o ϵ R lim P( P( ) Γι ρητή συνάρτηση P( (, όπου P (, Q ( πολυώνυμ του κι o ϵ R με Q ( ) Q( 3
P( P( lim Q( Q( ), εφόσον Q ( ) ) Tριγωνομετρικά όρι Θυμάμι ότι: κι ρχικά: άρ: ημ, γι κάθε ϵ R (η ισότητ ισχύει μόνο ότν ) Όρι εκθετικής - λογριθμικής συνάρτησης Αν lim ημ ημ lim συν συν ) lim (Σχ 6, σελ 85), τότε Αν (Σχ 6, σελ 85), τότε ημ συν ) lim lim, lim limlog, lim log lim, lim limlog, lim log Απροσδιόριστη μορφές Συνέχει ( ) ( ) κι () Κι: ( ) ( ), ( ) ( ) κι Πράξεις μετξύ συνεχών συνρτήσεων, Αν οι συνρτήσεις κι g είνι συνεχείς στο, τότε είνι συνεχείς στο κι οι συνρτήσεις: g, c, όπου R c, g, g, κι ν με την προϋπόθεση ότι ορίζοντι σε έν διάστημ που περιέχει το Εφρμογές, ν Γι ποι τιμή του η συνάρτηση ( ημ είνι συνεχής;, ν Ν δειχτεί ότι η εξίσωση συν 4 έχει μι, τουλάχιστον, ρίζ στο διάστημ ( π, π) Σύνθεση συνεχών συνρτήσεων Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο ( ), τότε η σύνθεσή τους go είνι συνεχής στο 4
Θεώρημ Bolzano Έστω μι συνάρτηση, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η είνι συνεχής στο [, ] κι, επιπλέον, ισχύει ( ) ( ), τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης ( στο νοικτό διάστημ (, ) Θεώρημ ενδιάμεσων τιμών Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, ] Αν: η είνι συνεχής στο [, ] κι ( ) ( ) τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των () κι () υπάρχει ένς, τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε ) η ( Η εικόν (Δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης είνι διάστημ Θεώρημ - Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Αν είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η πίρνει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m (Σχ 69δ) Δηλδή, υπάρχουν [, ] τέτοι, ώστε, ν m ) κι M ), ν ισχύει, m ( M, γι κάθε [, ] Δλδ: Το σύνολο τιμών μις συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είνι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της κι Aν μι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ ( Α, Β) (Σχ 7), όπου ( Α lim ( κι B lim ( ) Αν, όμως, η είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ ( B, A) (Σχ 7) ( 5
Διφορικός λογισμός Θεώρημ (Πργωγισιμότητ συνέχει) Αν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό *** Αν μι συνάρτηση δεν είνι συνεχής σ έν σημείο, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο Εφρμογές Γι ποιες τιμές του ϵ R, η συνάρτηση ( 3,, είνι: i) συνεχής στο ; ii) πργωγίσιμη στο ; Ν ρεθεί το σημείο της γρφικής πράστσης της συνάρτησης ( ln, στο οποίο η εφπτομένη διέρχετι πό την ρχή των ξόνων 3 Oι ευθείες ε κι ε είνι οι εφπτόμενες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης σημεί O (, ) κι A (π,) ντιστοίχως Ν ρεθούν: i) Οι εξισώσεις των ε κι ε ii) Το εμδόν του τριγώνου που σχημτίζουν οι ε, ε κι ο άξονς των 4 Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ( ημ στ κι g ( έχουν κοινή εφπτομένη στο κοινό τους σημείο A (, ) κι ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης υτής 5 Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης ε του κύκλου C : y ρ στο σημείο του M (, y ) 6 Έν ότσλο που ρίχνετι σε μί λίμνη προκλεί κυκλικό κυμτισμό Μί συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t που η κτίν r του κυμτισμού είνι 5 cm, ο ρυθμός μετολής της r είνι cm/sec Ν ρεθεί ο ρυθμός μετολής του εμδού Ε που περικλείετι πό το κυκλικό κύμ, τη χρονική στιγμή t 7 Aν το συνολικό κόστος πργωγής μονάδων ενός ιομηχνικού προϊόντος είνι Κ ( κι η συνολική είσπρξη πό την πώλησή τους είνι E (, τότε P( E( K( είνι το συνολικό κέρδος κι K( K μ ( είνι το μέσο κόστος i) Ν ποδείξετε ότι ο ρυθμός μετολής του κέρδους μηδενίζετι ότν ο ρυθμός μετολής του κόστους κι ο ρυθμός μετολής της είσπρξης είνι ίσοι ii) Ν ποδείξετε ότι ο ρυθμός μετολής του μέσου κόστους μηδενίζετι ότν το μέσο κόστος είνι ίσο με το ορικό κόστος Πράγωγοι σικών συνρτήσεων - Κνόνες πργώγισης ( c ) ( ) ρ ρ ( ) ρ ( ( ημ συν ( c ( ) c ( ( ( g( ) ( g( ( ( g( ) ( g( ( g( 6
( συν ημ ( e ) e ( n ( a ) a na ( ) ( n ( g( ( g( ( g( ) ( g( ) ( g( ) g( ( g( Θεώρημ - Rolle Αν μι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) κι ( ) ( ) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ( ξ) Θεώρημ - Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Αν μι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ( ξ) ( ) ( ) Εφρμογές N ποδειχτεί ότι: 3 i) Η συνάρτηση ( λ ( λ ), λ ϵ R, ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ] ii) Η εξίσωση 3λ ( λ ), λ ϵ R έχει μι, τουλάχιστον, ρίζ στο διάστημ (, ) Ν ποδειχτεί ότι γι τη συνάρτηση ( γ, κι γι οποιοδήποτε διάστημ [, ], ο ριθμός, ), που ικνοποιεί το συμπέρσμ του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής, είνι το κέντρο ( του διστήμτος [, ], δηλδή είνι 3 Έν υτοκίνητο διήνυσε μί διδρομή χιλιομέτρων σε,5 ώρες Ν ποδειχθεί ότι κάποι χρονική στιγμή, κτά τη διάρκει της διδρομής, η τχύτητ του υτοκινήτου ήτν 8 χιλιόμετρ την ώρ 7
Θεώρημ Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν η είνι συνεχής στο Δ κι ( γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συνρτήσεις οι, g είνι συνεχείς στο Δ κι, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ Αν ( g( γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ΣΧΟΛΙΟ Δ ν ισχύει: ( g( c Το πρπάνω θεώρημ κθώς κι το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων Γι πράδειγμ, έστω η συνάρτηση, (, Πρτηρούμε ότι, ν κι ( γι κάθε (, ) (, ), εντούτοις η δεν είνι στθερή στο (,) (, ) Εφρμογή Δίνετι μί συνάρτηση γι την οποί ισχύει ( ( γι κάθε () ( i) Ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση φ( είνι στθερή κι ii) Ν ρεθεί ο τύπος της, ν δίνετι επιπλέον ότι () e Θεώρημ πράγωγος κι μονοτονί Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι σ υ ν ε χ ή ς σε έν διάστημ Δ Αν ( σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν ( σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Εφρμογή Ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( συν, [,π] είνι γνησίως ύξουσ κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της 8
Επίσης ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση συν έχει κριώς μι λύση στο [,π] Θεώρημ κρόττ κι πράγωγος (Fermat) Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: Προσοχή ( ) Σύμφων με το προηγούμενο θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί του Δ, στ οποί η είνι διφορετική πό το μηδέν, δεν είνι θέσεις τοπικών κροτάτων Επομένως οι π ι θ ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν κ ρ ο τ ά τ ω ν μις συνάρτησης σ έν διάστημ Δ είνι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδενίζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ (ν νήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ Θεώρημ - Πράγωγος κι κρόττ Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η είνι συνεχής i) Αν ( στο, ) κι ( στο (, ), τότε το ) είνι τοπικό μέγιστο της ( ii) Αν ( στο, ) κι ( στο (, ), τότε το ) είνι τοπικό ελάχιστο της ( iii) Aν η ( διτηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε το ( ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως μονότονη στο (, ) (Σχ 35γ) ( ( ΣΧΟΛΙΑ Αν μι συνάρτηση είνι συνεχής σ έν κλειστό διάστημ [, ], όπως γνωρίζουμε (Θεώρημ 8),η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι την εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ των διστημάτων 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είνι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της Εφρμογές N ρεθεί το [, 3] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλνού σχήμτος ν έχει μέγιστο εμδό ( ln Έστω η συνάρτηση i) Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ ii) Ν ποδειχτεί ότι ln, γι κάθε 9
3 Μί ιομηχνί κθορίζει την τιμή πώλησης Π( κάθε μονάδς ενός προϊόντος, συνρτήσει του πλήθους των μονάδων πργωγής, σύμφων με τον τύπο Π( 4 6 Το κόστος πργωγής μις μονάδς είνι 4 δρχ Αν η ιομηχνί πληρώνει φόρο δρχγι κάθε μονάδ προϊόντος, ν ρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει ν πράγει η ιομηχνί, ώστε ν έχει το μέγιστο δυντό κέρδος Θεώρημ - Πράγωγος κι κρόττ Έστω μι συνάρτηση πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, ) κι έν σημείο του (, ) στο οποίο η είνι δυο φορές πργωγίσιμη Αν ( ) κι ( ), τότε το ) είνι τοπικό μέγιστο Αν ( ) κι ( ), τότε το ) είνι τοπικό ελάχιστο ( ( Θεώρημ Κυρτότητ Κοιλότητ Εστω μι συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ έν διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν ( γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ Αν ( γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είνι κοίλη στο Δ ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύετι ότι, ν μι συνάρτηση είνι κυρτή (ντιστοίχως κοίλη) σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω (ντιστοίχως πάνω ) πό τη γρφική της πράστση (Σχ 39), με εξίρεση το σημείο επφής τους Θεώρημ Σημεί κμπής Αν το A (, ( )) είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είνι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε ( ) Π ι θ ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ μ π ή ς μις συνάρτησης σ έν διάστημ Δ είνι: i) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδενίζετι, κι ii) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δεν υπάρχει η (Σχ 43) Θεώρημ Ασύμπτωτες Η ευθεί y λ είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ντιστοίχως στο, ν κι μόνο ν ντιστοίχως ( λ lim R κι lim[ ( λ] R, ( λ lim R κι lim [ ( λ] R ***Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δεν έχουν σύμπτωτες
P( ***Οι ρητές συνρτήσεις, με θμό του ριθμητή P ( μεγλύτερο τουλάχιστον κτά δύο του Q( θμού του προνομστή, δεν έχουν πλάγιες σύμπτωτες ****Σύμφων με τους πρπάνω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης νζητούμε: ***Στ άκρ των διστημάτων του πεδίου ορισμού της στ οποί η δεν ορίζετι ***Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δεν είνι συνεχής ***Στο,, εφόσον η συνάρτηση είνι ορισμένη σε διάστημ της μορφής (, ), ντιστοίχως (, ) Κνόνες de l Hospital Θεώρημ ο (μορφή ) Αν lim (, lim g(, {, } κι υπάρχει το τότε: ( ( lim lim g( g( ( lim g( (πεπερσμένο ή άπειρο), Θεώρημ ο (μορφή ) Αν lim (, lim g(, {, } κι υπάρχει το ( ( τότε: lim lim g( g( ( lim g( (πεπερσμένο ή άπειρο), Εφρμογές Δίνετι η συνάρτηση 4e ( Ν ποδειχτεί ότι: e i) Η ευθεί y είνι σύμπτωτη της C στο ii) Η ευθεί y - είνι σύμπτωτη της C στο Ν ρεθούν οι σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης: ( e Μελέτη συνάρτησης κι χάρξη της γρφικής της πράστσης Στην πράγρφο υτή θ δούμε πώς, με τη οήθει των πληροφοριών που ποκτήσμε μέχρι τώρ, μπορούμε ν χράξουμε τη γρφική πράστση μις συνάρτησης με ικνοποιητική κρίει Η πορεί την οποί κολουθούμε λέγετι μελέτη της συνάρτησης κι περιλμάνει τ πρκάτω ήμτ: ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της o Eξετάζουμε τη συνέχει της στο πεδίο ορισμού της 3ο Βρίσκουμε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουμε τους πίνκες των προσήμων τους Με τη οήθει του προσήμου της προσδιορίζουμε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ της,
ενώ με τη οήθει του προσήμου της κθορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είνι κυρτή ή κοίλη κι ρίσκουμε τ σημεί κμπής 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στ άκρ των διστημάτων του πεδίου ορισμού της (ορικές τιμές, σύμπτωτες, κτλ) 5ο Συγκεντρώνουμε τ πρπάνω συμπεράσμτ σ έν συνοπτικό πίνκ που λέγετι κι πίνκς μετολών της κι με τη οήθειά του χράσσουμε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της C κτσκευάζουμε ένν πίνκ τιμών της ΣΧΟΛΙΟ ) Όπως είνι γνωστό, ν μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είνι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξον συμμετρίς τον άξον y y, ενώ ν είνι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή των ξόνων Ο Επομένως, γι τη μελέτη μις τέτοις συνάρτησης μπορούμε ν περιοριστούμε στ A, με ) Αν μι συνάρτηση είνι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ έν διάστημ πλάτους Τ Εφρμογές Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά η συνάρτηση: ( 4 4 3 Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά η συνάρτηση: 4 (
Ολοκληρώμτ Θεώρημ - Πράγουσες Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συνρτήσεις της μορφής: G( F( c, c R, είνι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρνει τη μορφή: G( F( c, c R Θεώρημ Ολοκλήρωμ γρμμικού συνδυσμού Έστω, g σ υ ν ε χ ε ί ς συνρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύουν κι γενικά ( d λ λ ( d [ ( g( ] d ( d g( d [ ( μg( ] d λ ( d μ λ g( d Θεώρημ («Σπάσιμο» διστήμτος ολοκλήρωσης) Αν η είνι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει 3 γ ( d ( d ( d Γι πράδειγμ, ν ( d 3 κι ( d 7, τότε 4 3 3 Θεώρημ Ολοκλήρωμ κι διάτξη 4 4 ( d ( d ( d ( d ( d 3 7 4 Έστω μι σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] Αν ( γι κάθε [, ] κι η συνάρτηση δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε: 3 γ 4 ( d Θεώρημ Το ολοκλήρωμ ως ντίστροφη διδικσί της πργώγισης Αν είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( ( t) dt, Δ, είνι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: ( t) dt (, a γι κάθε Δ Θεώρημ -Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι πράγουσ της στο [, ], τότε: ( t) dt G( ) G( ) 3
Εφρμογές Δίνετι η συνάρτηση: F( t dt i) Ν ρεθεί το πεδίο ορισμού της F ii) Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ η F N ρεθεί συνάρτηση τέτοι, ώστε η γρφική της πράστση ν διέρχετι πό το σημείο A (, 3) κι ν ισχύει (, γι κάθε R 3 Η είσπρξη E (, πό την πώληση μονάδων ενός προϊόντος ( ) μις ιομηχνίς, μετάλλετι με ρυθμό E( (σε χιλιάδες δρχμές νά μονάδ προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μετολής του κόστους πργωγής είνι στθερός κι ισούτι με (σε χιλιάδες δρχμές νά μονάδ προϊόντος) Ν ρεθεί το κέρδος της ιομηχνίς πό την πργωγή μονάδων προϊόντος, υποθέτοντς ότι το κέρδος είνι μηδέν ότν η ιομηχνί δεν πράγει προϊόντ 4 N υπολογιστούν τ ολοκληρώμτ i) e d ii) ημ d iii) (4 3 )lnd iv) e ημ d 5 Ο πληθυσμός P (t), t, μις πόλης, που προέκυψε πό συγχώνευση κοινοτήτων, υξάνετι με t/ ρυθμό (σε άτομ νά έτος) που δίνετι πό τον τύπο P ( t) te, t, όπου t είνι ο ριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση Ν ρεθεί ο πληθυσμός P (t) της πόλης t χρόνι μετά τη συγχώνευση, ν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήτν κάτοικοι κτά τη στιγμή της συγχώνευσης 6 N υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ e i) ( e ) d ii) εφ d 7 Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ π i) ημ( ) d ii) d 6 99 iii) ( ) d 8 Δίνετι η συνάρτηση: F( t dt i) Ν ρεθεί το πεδίο ορισμού της F ii) Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ η F 9 N υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) d ii) 4 d iii) 5 - d N ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ημ, g( συν κι τις ευθείες κι π Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της ( ln, τον άξον των κι την εφπτομένη της C στο σημείο A (e, ) 4