Φυσική Α Λυκείου Νίκοσ Αναςταςάκθσ Γενικό Λφκειο Βάμου 2008-2010

Φυσική Α Λυκείου Νίκοσ Αναςταςάκθσ Γενικό Λφκειο Βάμου 2008-2010

Περιεχόμενα Μεγζκθ Κίνθςθσ: ελίδεσ 1-4 Μετατόπιςθ, Σαχφτθτα, Μζςθ Σαχφτθτα Ευκφγραμμεσ Κινιςεισ: ελίδεσ 5-20 Ευκφγραμμθ Ομαλι Ευκ. Ομαλά Μεταβαλόμενθ 5 11 Δυνάμεισ : ελίδεσ 21-43 Βάροσ Δφναμθ Ελατθρίου Νόμοι των Δυνάμεων φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Σριβι 22 23 25 33 37 Κινιςεισ με τθν επίδραςθ του βάρουσ ελίδεσ 43-47 Κατακόρυφεσ Κινιςεισ Οριηόντια Βολι 44 45 Κυκλικι Κίνθςθ ελίδεσ 48-56 Μεγζκθ, Εξιςϊςεισ Ορμι ελίδεσ 57-67 2 οσ Νόμοσ του Νεφτωνα Η Αρχι Διατιρθςθσ τθσ Ορμισ 57 61 Ενζργεια Ζργο: ελίδεσ 61-89 Κινθτικι Ενζργεια Δυναμικι Ενζργεια (Βαρυτικι Ελαςτικι) Ζργο Δφναμθσ Σο Θεϊρθμα Μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ Η Μεταβολι τθσ Δυναμικισ Ενζργειασ Μθχανικι Ενζργεια Ιςχφσ 69 70 73 75 78 80 81

Περιεχόμενα

Μεγζκθ Κίνθςθσ Μεγέθη Κίνηςησ Γ Ο Α -3-2 -1 0 1 2 3 (m) 1. Που βρίςκεται ζνα αντικείμενο; Η κζςθ ενόσ αντικειμζνου ορίηεται ςε ςχζςθ με κάποιο ςθμείο αναφοράσ. Π.χ. Η κζςθ του ανκρϊπου είναι x A = +3m, θ κζςθ τθσ γάτασ είναι x Γ = -2m ςε ςχζςθ με το ςθμείο Ο που είναι το ςθμείο αναφοράσ. 2. Πόςο και προσ τα που μετακινείται; Η μετατόπιςθ ενόσ αντικειμζνου δείχνει πόςο ζχει αλλάξει θ κζςθ του, αλλά και προσ ποια κατεφκυνςθ. Όπου x τελ & x αρχ είναι θ τελικι και θ αρχικι του κζςθ αντίςτοιχα. Π.χ. το παραπάνω ςχιμα, θ γάτα για να φτάςει τον άνκρωπο πρζπει να μετατοπιςτεί κατά : Δx Γ = x τελγ - x αρχγ = (3 (-2))m = 5m. Αντίκετα για να φτάςει ό άνκρωποσ ςτθν γάτα, πρζπει να μετατοπιςτεί κατά: Δx A = x τελa - x αρχa = (-2 3)m = -5m. (Σο αρνθτικό πρόςθμο δείχνει ότι πρζπει να κινθκεί προσ τα αριςτερά). 3. Πόςο γριγορα γίνεται θ κίνθςθ; Η ταχφτθτα δείχνει το πόςο γριγορα και το προσ τα ποφ (κατεφκυνςθ) γίνεται θ κίνθςθ. Είναι ίςθ με τον ρυκμό μεταβολισ τθσ κζςθσ: Μονάδα τθσ ςτο διεκνζσ ςφςτθμα είναι: m/s 1

Μεγζκθ Κίνθςθσ Άλλθ ςυνθκιςμζνθ μονάδα είναι τα km/h. Ιςχφει ότι Αν ο άνκρωποσ αλλάξει κζςθ με τθν γάτα, και μετατοπιςτεί ςε χρόνο Δt = 2s, θ ταχφτθτα του κα είναι : Αντίςτοιχα θ ταχφτθτα τθσ γάτασ κα είναι : Παρατιρθςθ: Η κζςθ, θ μετατόπιςθ, θ ταχφτθτα, είναι διανυςματικά μεγζκθ, άρα εκτόσ από μζτρο ζχουν και φορά (π.χ., δεξιά, αριςτερά, πάνω, κάτω ). Η φορά τουσ δθλϊνεται με το πρόςθμο που ζχουν. Στο προθγοφμενο παράδειγμα, ο άνκρωποσ και ι γάτα ζχουν ταχφτθτα ίδιου μζτρου αλλά αντίκετθσ φοράσ. Στθ γλϊςςα των μακθματικϊν, το μζτρο μαηί με το πρόςθμο, δίνουν τθν «αλγεβρικι τιμι» του μεγζκουσ 4. Πόςθ διαδρομι ζχει διανφςει το αντικείμενο; Σο μικοσ τθσ διαδρομισ που διανφει ζνα αντικείμενο είναι το διάςτθμα s, και είναι μονόμετρο μζγεκοσ. Παίρνει πάντα κετικζσ τιμζσ. Μία κοπζλα προχωράει 100m μπροςτά και 50 μζτρα προσ τα πίςω. Σο ςυνολικό διάςτθμα που διζνυςε είναι s ολ = 150m. 5. Η ταχφτθτα κατά τθν διάρκεια μιασ διαδρομισ αλλάηει. Το αντικείμενο πθγαίνει γριγορα, αργά, ςταματάει, γυρνάει πίςω κ.λ.π. Πόςο γριγορα γίνεται θ ςυνολικι κίνθςθ; Η ςτακερι ταχφτθτα που κα ζπρεπε να ζχει το αντικείμενο ϊςτε να διανφςει το ίδιο ςυνολικό διάςτθμα (s ολ ) ςτον ίδιο χρόνο (Δt ολ ), είναι θ μζςθ ταχφτθτα του κινθτοφ: 2

Μεγζκθ Κίνθςθσ Ζνα όχθμα διανφει απόςταςθ s 1 = 200m ςε χρόνο Δt 1 = 100s. Κατόπιν ςταματάει για Δt 2 = 50s και ςτθν ςυνζχεια διανφει άλλα 400m ςε χρόνο Δt 3 = 150s. Ζτςι: Σο ςυνολικό διάςτθμα που διζνυςε είναι S ολ = (200+400)m = 600m Η ςυνολικι διάρκεια τθσ κίνθςθσ είναι Δt ολ = (100+50+150)s = 300s. Η μζςθ ταχφτθτα είναι : Παρατιρθςθ: Στο προθγοφμενο παράδειγμα: Η ταχφτθτα ςτο πρϊτο κομμάτι τθσ κίνθςθσ ιταν:. Στο δεφτερο κομμάτι τθσ κίνθςθσ είναι. Η μζςθ τιμι αυτϊν των δφο ταχυτιτων είναι ( ) που βζβαια δεν είναι ίδια με τθν μζςθ ταχφτθτα υ μ ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςθσ. 3

Φυςικι Α Λυκείου Μεγζκθ Κίνθςθσ Εφαρμογζσ Αςκιςεισ 1. το διπλανό ςχιμα, μία μπάλα μετακινείται Ο από τθν κζςθ x 1 = 4m, ςτθν κζςθ x 2 = 2m, -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) ςε χρόνο Δt 1 = 4s. τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x 3 = 6m. Η κίνθςθ τθσ αυτι διαρκεί Δt 2 = 5s. Σζλοσ, ςε χρόνο Δt 3 = 10s μετακινείται ςτθν κζςθ x 4 = -2m. Α. Να ςθμειϊςετε τισ διαδοχικζσ κζςεισ τθσ μπάλασ ςτο ςχιμα. Β. Πόςθ είναι θ μετατόπιςι τθσ ςε κάκε μία από τισ τρείσ επιμζρουσ κινιςεισ; Γ. Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτά τθσ ςε κάκε μία κίνθςθ. Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα τθσ μπάλασ για τθν ςυνολικι κίνθςθ; 2. Ζνα αυτοκίνθτο διανφει μία διαδρομι 10km ςε χρόνο 15min. Α. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτά του; Β. Μποροφμε να γνωρίηουμε τθν ταχφτθτα που είχε τθν χρονικι ςτιγμι t =10min μετά τθν εκκίνθςι του; Γ. Ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο κζλει να διανφςει τθν ίδια απόςταςθ ςτον ίδιο χρόνο, με ςτακερό μζτρο ταχφτθτασ. Πόςθ κα πρζπει να είναι θ ταχφτθτα αυτι; 4

Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ Ευθύγραμμεσ Κινήςεισ 1. Οι εξιςϊςεισ τθσ κίνθςθσ. Η ταχφτθτα υ ζχει ςτακερό μζτρο (και κατεφκυνςθ). Άρα, ςε ίςουσ χρόνουσ διανφονται ίςεσ αποςτάςεισ. Η μετατόπιςθ Δx είναι ανάλογθ του χρόνου Δt που διαρκεί θ κίνθςθ. Επειδι Δx = x τελ x αρχ, μποροφμε να γράψουμε: (1) όπου με x ςυμβολίηουμε τθν (τελικι) κζςθ ςτθν οποία βρίςκεται το αντικείμενο μετά από Δt χρονικι διάρκεια κίνθςθσ. Σο διάςτθμα που διανφει το αντικείμενο υπολογίηεται: (2) (3) Η κίνθςθ που περιγράψαμε (κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα), λζγεται και «ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ». Π.χ Ζνα τραίνο κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ = -10m/s. Αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 50m (ςε ςχζςθ με τον ςτακμό, δθλ. το ςθμείο αναφοράσ). Μετά από χρόνο Δt = 40s: Θα ζχει μετατοπιςτεί κατά Δx = υ Δt = -400m και κα ζχει διανφςει διάςτθμα s = 400m. Θα ζχει βρεκεί ςτθν κζςθ x = x αρχ + υ Δt = -350m. Σα αρνθτικά πρόςθμα ςτθν μετατόπιςθ Δx και τθν κζςθ x δθλϊνουν ότι ζχει μετατοπιςτεί αριςτερά και ζχει βρεκεί αριςτερά τθσ αρχικισ του κζςθσ. Παρατθριςεισ: Στισ εξιςϊςεισ (1) και (2) δεν χρθςιμοποιοφμε διανυςματικοφσ ςυμβολιςμοφσ. Η κίνθςθ γίνεται ςε ευκεία γραμμι και αρκεί το πρόςθμο για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ των διανυςματικϊν μεγεκϊν. Στθν ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ, θ μζςθ ταχφτθτα είναι ςυνεχϊσ ίςθ με το μζτρο τθσ ςτιγμιαίασ ταχφτθτασ. 5

Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ 2. Η γραφικι αναπαράςταςθ τθσ κίνθςθσ το διάγραμμα κζςθσ - χρόνου (x t) θ κίνθςθ αναπαρίςταται ςτον κατακόρυφο άξονα (κζςθ x) ενϊ θ χρονικι τθσ διάρκεια φαίνεται ςτον οριηόντιο άξονα (χρόνοσ t). ε ίςεσ χρονικζσ διάρκειεσ Δt, διανφεται πάντα θ ίδια απόςταςθ Δx, ζτςι το διάγραμμα είναι ευκεία γραμμι με κλίςθ ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ. Δx x t Δt Διάγραμμα κζςθσ χρόνου (για t αρχ = 0) Η εξίςωςθ από τθν οποία προκφπτει το διάγραμμα είναι: Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει τθν ταχφτθτα κίνθςθσ,. Σο διάγραμμα ξεκινάει από τθν κζςθ που βριςκόταν αρχικά τα αντικείμενο, x αρχ. Όταν το αντικείμενο απομακρφνεται από το ςθμείο αναφοράσ (0) θ απόςταςθ του αυξάνεται ενϊ, ό- ταν κινείται προσ αυτό, θ απόςταςθ ελαττϊνεται. 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 x (m) Απομάκρυνςθ από το ςθμείο αναφοράσ κλίςθ Επιςτροφι προσ το ςθμείο αναφοράσ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s) Διάγραμμα ταχφτθτασ χρόνου (για t αρχ = 0) Η ταχφτθτα είναι ςτακερι, δθλαδι, κάκε χρονικι ςτιγμι ζχει τθν ίδια τιμι: 3.5 v (m/s) 3 2.5 Μετατόπιςθ Η κλίςθ του διαγράμματοσ είναι μθδζν, αφοφ θ ταχφτθτα δεν αλλάηει. Σο εμβαδόν που ορίηεται από το διάγραμμα και τον άξονα του χρόνου, αρικμθτικά δίνει τθν μετατόπιςθ. -0.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 t (s) -0.5 6

Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ Εφαρμογι Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά με ταχφτθτα μζτρου 5m/s, προσ τθν κετικι κατεφκυνςθ. Σθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0, βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = -10m, δθλ., θ εξίςωςθ τθσ κζςθσ του είναι: x = -10 + 5 t Ζτςι, θ κζςθ του ςτισ χρονικζσ ςτιγμζσ t 1 = 2s, t 2 = 4s φαίνεται ςτον διπλανό πίνακα. Με τθν βοικειά τουσ μποροφμε να φτιάξουμε το διάγραμμα κζςθσ - χρόνου για τθν κίνθςι του. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x (m) -0.5-2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-4 -6-8 -10-12 -14 t (s) Χρόνοσ 2s 4s Θζςθ 0 10m Η κλίςθ του διαγράμματοσ x t δίνει τθν ταχφτθτα (θ κλίςθ είναι ςτακερι, όπωσ και θ ταχφτθτα): Από το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ μποροφμε να υπολογίςουμε ότι θ μετατόπιςι του για Δt = (3-1)s = 2s, είναι: Εμβαδόν = Δx = 10m Αντίςτοιχα, το διάςτθμα που ζχει διανφςει είναι S = 10m. 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 v (m/s) -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5-0.5 t (s) 7

Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ Εικόνα 1: Μελζτθ Ευκ. Ομαλισ Κίνθςθσ με τθν βοικεια Η/Υ. 8

Φυςικι Α Λυκείου Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ Εφαρμογζσ Αςκιςεισ 1. Ζνα τραίνο που αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 50m, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ = 15m/s. Α. Να υπολογίςετε τθν μετατόπιςι του μετά από Δt = 30s, κακϊσ και το διάςτθμα που κα ζχει διανφςει. Β. Ποια είναι τότε θ κζςθ του; Γ. Ποια κα ιταν θ μετατόπιςι του και ποια θ κζςθ του αν θ ταχφτθτα του ιταν υ = -5m/s; 2. Ζνασ πεηοπόροσ αρχικά βρίςκεται ςτθν αφετθρία τθσ διαδρομισ του (x αρχ = 0) και τθν χρονικι ςτιγμι t o = 0 αρχίηει να περπατάει με ςτακερι ταχφτθτα υ = 2m/s. Α. Που κα βρίςκεται τθν χρονικι ςτιγμι t = 5s; Β. Που κα βριςκόταν αν είχε ξεκινιςει 20m μπροςτά από τθν αφετθρία, μετά από ίδια χρονικι διάρκεια κίνθςθσ; Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ, Α και Β; 3. Ζνασ ποδθλάτθσ βρίςκεται 20 μζτρα αριςτερά του ςθμείου που κεωροφμε ωσ ςθμείο αναφοράσ για τθν κίνθςι του. Αρχικά κινείται για χρόνο Δt 1 = 10s με ςτακερι ταχφτθτα υ 1 = -2m/s. τθν ςυνζχεια κινείται για χρόνο Δt 2 = 5s με ταχφτθτα υ 2 = 6m/s. Α. Που κα ζχει φτάςει μετά τα πρϊτα 10s τθσ κίνθςισ του; Β. Που κα βρίςκεται ςτο τζλοσ τθσ ςυνολικισ του κίνθςθσ; Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ (Α. και Β.); Δ. Ποιο είναι το ςυνολικό διάςτθμα που ζχει διανφςει; 4. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ. Η ταχφτθτα του είναι 4m/s και θ κζςθ από όπου άρχιςε θ κίνθςι του είναι x αρχ = -10m. Αν Α. Να υπολογίςετε τθν κζςθ του τισ χρονικζσ ςτιγμζσ t 1 = 2s, t 2 = 2,5s και t 3 = 5s. Β. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για τθν κίνθςθ του αντικειμζνου. Γ. Φτιάξτε διάγραμμα ταχφτθτασ χρόνου για τθν κίνθςθ. 9

Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ Δ. Για τθν ίδια κίνθςθ, ςχεδιάςτε το διάγραμμα διαςτιματοσ χρόνου. 5. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά, με τον ζξθσ τρόπο: Αρχικά (t αρχ = 0) βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 0. Μετακινείται με ςτακερι ταχφτθτα και τθν χρονικι ςτιγμι t 1 = 5s φτάνει ςτθν κζςθ x 1 = 10m. τθν κζςθ αυτι παραμζνει ακίνθτο μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι t 2 = 7s. τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x 3 = 4m, όπου φτάνει τθν χρονικι ςτιγμι t 3 = 10s Α. χεδιάςτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου (x-t) για τθν ςυνολικι του κίνθςθ. Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του ςτα χρονικά διαςτιματα Δt A (0 5s), Δt Β (5s 7s), Δt Γ (7s 10s); Γ. χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ. Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςι του; 6. Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου περιγράφεται από το διπλανό διάγραμμα κζςθσ - χρόνου. Α. Με τθν βοικεια του διαγράμματοσ, απαντιςτε τισ επόμενεσ ερωτιςεισ. i) Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το αντικείμενο; (Αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). ii) Που βριςκόταν τθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0; 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x (m) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 t (s) iii) Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του; τθν ςυνζχεια, χρθςιμοποιϊντασ τισ απαντιςεισ ςασ ςτα προθγοφμενα ερωτιματα: Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ταχφτθτασ χρόνου (υ t ) Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ τθσ κζςθσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο Δ. Τπολογίςτε τθν κζςθ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 4s. 10

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ 1. Πωσ αλλάηει θ ταχφτθτα ( πόςο και προσ τα ποφ;) Η επιτάχυνςθ είναι το φυςικό μζγεκοσ που δείχνει το πόςο γριγορα και προσ τα ποφ αλλάηει θ ταχφτθτα, δθλαδι είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ταχφτθτασ. Η επιτάχυνςθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ωςτόςο, αν θ κίνθςθ γίνεται ςε ευκεία τροχιά (μια διάςταςθ) αρκεί το πρόςθμο τθσ για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ. Π.χ. ε μία ευκφγραμμθ κίνθςθ, κάποια ςτιγμι θ ταχφτθτα του αντικειμζνου είναι υ = 2m/s και θ επιτάχυνςθ του είναι α = - 1m/s 2. Αυτό ςθμαίνει ότι θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετθ κατεφκυνςθ. ε κάποια άλλθ περίπτωςθ, θ ταχφτθτα του αντικειμζνου είναι υ = - 4m/s και θ επιτάχυνςθ α = -4m/s 2. Σότε τα διανφςματα και ζχουν τθν ίδια φορά (και τα δφο αριςτερά) (+) v v a a v v Μονάδα επιτάχυνςθσ είναι m/s 2 (ςτο διεκνζσ ςφςτθμα S.I.) 2. Η κίνθςθ - εξιςϊςεισ. Όταν θ επιτάχυνςθ ζχει ίδια κατεφκυνςθ με τθν ταχφτθτα, το μζτρο τθσ ταχφτθτασ αυξάνεται και θ κίνθςθ είναι επιταχυνόμενθ. τθν αντίκετθ περίπτωςθ (που θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ είναι αντίρροπεσ), το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται και θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ. Όταν θ επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, οι κινιςεισ ονομάηονται «ευκφγραμμθ ομαλά επιταχυνόμενθ» και «ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ», αντίςτοιχα. Η μεταβολι τθσ ταχφτθτασ είναι ανάλογθ με του χρόνου. 11

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ φμφωνα με τον οριςμό τθσ επιτάχυνςθσ, Άρα: και (4) Όπου υ είναι θ τελικι ταχφτθτα του κινθτοφ, που ζχει κινθκεί με επιτάχυνςθ για χρονικι διάρκεια Δt. Σα μεγζκθ υ αρχ και α τα αντικακιςτοφμε με τα πρόςθμά τουσ ςτθν εξίςωςθ (4). Αν για παράδειγμα θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο πρόςθμο, οπότε θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, θ εξίςωςθ (4) κα πάρει τθν μορφι: τθν εξίςωςθ αυτι, που μποροφμε να τθν εφαρμόςουμε γενικά ςτθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, το πρόςθμο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα ζχουν αντίκετθ φορά, και το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται. Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, όταν υπάρχει ςτακερι επιτάχυνςθ, δίνεται από τθν εξίςωςθ: Η κζςθ κα υπολογίηεται: (5) ι (6) Και ςε αυτζσ τισ εξιςϊςεισ, (5 & 6) αντικακιςτοφμε τα μεγζκθ x αρχ, υ αρχ και α με τα πρόςθμα τουσ. ε μια επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, όπου θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο πρόςθμο, μποροφμε να υπολογίςουμε το διάςτθμα που διανφει επιβραδυνόμενο το αντικείμενο, από τθν εξίςωςθ: (7) 12

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Σο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα ζχουν αντίκετο πρόςθμο. Ζτςι το διάςτθμα που κα διανφςει το κινθτό είναι μικρότερο από αυτό που κα διζνυε αν διατθροφςε τθν ταχφτθτά το ςτακερι. Αν κζλουμε να υπολογίςουμε τον χρόνο που χρειάηεται για να ςταματιςει, ζνα αντικείμενο που επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό, μποροφμε να ςκεφτοφμε ωσ εξισ: Πόςθ γίνεται θ ταχφτθτα τθν ςτιγμι που ςταματάει; μθδζν! Άρα, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, γράφουμε: Πόςο απόςταςθ διζνυςε το αντικείμενο μζχρι να ςταματιςει; Χρθςιμοποιοφμε τθν εξίςωςθ του διαςτιματοσ (7) για τθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, αντικακιςτϊντασ τον χρόνο που υπολογίςαμε πριν! ( ) Κάνοντασ τισ πράξεισ, καταλιγουμε: Παραδείγματα. 1. Μία μοτοςυκλζτα κινείται αρχικά με ταχφτθτα 30m/s. Κάποια ςτιγμι ο οδθγόσ βλζπει ζνα εμπόδιο κα αρχίηει να ελαττϊνει τθν ταχφτθτά του με ςτακερό ρυκμό 4m/s 2. Ζτςι μετά από χρόνο Δt = 2s, θ ταχφτθτά του κα ζχει γίνει: υ = υ αρχ α Δt = (30-4 2)m/s = 22m/s α Η απόςταςθ που κα ζχει διανφςει ςε αυτό τον χρόνο κα είναι: s = υ αρχ Δt ½ α Δt 2 = = (30 2- ½ 4 4)m = 52m. v αρχ Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει είναι: Η απόςταςθ που διανφει μζχρι να ςταματιςει είναι : 13

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ 2. Ζνα αυτοκίνθτο περνά μπροςτά από τον τροχονόμο που βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 2m, με ταχφτθτα υ αρχ = 15m/s και επιτάχυνςθ α = -3m/s 2. Δφο δευτερόλεπτα μετά που πζραςε από τον τροχονόμο, θ ταχφτθτα του κα είναι : υ = υ αρχ + α Δt υ = [15 +(-3) 2+m/s υ = 9m/s α v Η κζςθ ςτθν οποία κα βρίςκεται είναι: x = x αρχ + υ αρχ Δt + ½ α Δt 2 = *2+15 2 + ½ (-3) 4+m = 26m. Η μετατόπιςθ του είναι: Δx = υ αρχ Δt + ½ α Δt 2 = *15 2 + ½ (-3) 4+m = 24m. Σο διάςτθμα που διζνυςε, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ ςυνεχϊσ, υπολογίηεται: s = υ αρχ Δt - ½ α Δt 2 = *15 2 - ½ 3 4+m = 24m 3. ε μία άλλθ περίπτωςθ, ζνα αντικείμενο περνάει από τθν κζςθ x αρχ = 0 τθν χρονικι ςτιγμι t o = 0 με ταχφτθτα υ αρχ = - 4m/s και επιτάχυνςθ α = 1m/s 2. Σθν χρονικι ςτιγμι t 1 = α 2s, θ ταχφτθτά του είναι: υ 1 = υ αρχ + α t v v αρχ υ 1 = (-4 + 1 2)m/s υ 1 = -2m/s. Δθλαδι το αντικείμενο -8-6 0 ςυνεχίηει να κινείται προσ τα αρνθτικά (αριςτερά) με ταχφτθτα μζτρου 2m/s. Σθν χρονικι ςτιγμι t 2 = 4s, θ ταχφτθτά του είναι: υ 2 = (-4+1 4)m/s = 0, δθλαδι το αντικείμενο ςταματάει. Σθν χρονικι ςτιγμι t 3 = 6s: υ 3 = (-4+1 6)m/s = 2m/s. Σο αντικείμενο αφοφ ςταμάτθςε, άρχιςε να επιταχφνεται προσ τθν κετικι κατεφκυνςθ και τϊρα κινείται προσ τα δεξιά με ταχφτθτα μζτρου 2m/s. (ταχφτθτα και επιτάχυνςθ ζχουν τϊρα και τα δφο κετικό πρόςθμο). 14

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Η κζςθ του κάκε χρονικι ςτιγμι δίνεται από τθν εξίςωςθ: x = x αρχ + υ αρχ t + ½ α t 2. Ζτςι: x 1 = (-4 2 + ½ 1 4)m = -6m x 2 = (-4 4+ ½ 1 16)m = -8m x 3 = (-4 6+ ½ 1 36)m = -6m. Η ςυνολικι του μετατόπιςθ είναι: Δx ολ = x 3 x αρχ = (- 6 0)m = -6 m. Ή, χρθςιμοποιϊντασ τθν εξίςωςθ : Δx ολ = υ αρχ Δt ολ + ½ α Δt 2 ολ = (-4 6 + ½ 1 6 2 )m = -6m. 3. Διαγράμματα. Σο μζγεκοσ που διατθρείται ςτακερό είναι θ επιτάχυνςθ. Ζτςι, αν τθν παραςτιςουμε γραφικά ςε ςχζςθ με τον χρόνο, ςε κάκε χρονικι ςτιγμι θ επιτάχυνςθ κα είναι θ ίδια. Η ταχφτθτα, μεταβάλλεται με ςτακερό ρυκμό. Άρα, ςε ίςα χρονικά διαςτιματα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποςό και θ τιμι τθσ κάκε χρονικι ςτιγμι είναι ανάλογθ του χρόνου. Π.χ. Για επιτάχυνςθ α = 2m/s 2 και αρχικι ταχφτθτα υ αρχ = 0, θ ταχφτθτα και οι μεταβολζσ τθσ φαίνονται ςτον διπλανό πίνακα. (ανά 2s θ ταχφτθτα αλλάηει κατά υ(m/s t(s) Δυ(m/s) Δt(s) ) 4m/s). 0 0 0 0 Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, ςε ί- 4 2 4 0 = 4 2-0 = 2 ςουσ χρόνουσ, είναι όλο και μεγαλφτερθ (ςτθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ) ι όλο και 8 12 4 6 8 4 = 4 12 8 = 4 4-2 = 2 6-4 = 2 μικρότερθ (ςτθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ). (Εικόνα 2). 16 8 16 12 = 4 8-6 = 2 20 10 20 16 = 4 10-8 = 2 24 12 24 20 = 4 12-10 = 2 Εικόνα 2: Ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ/επιβραδυνόμενθ κίνθςθ 15

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Διάγραμμα επιτάχυνςθσ - χρόνου Η επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, για κάκε χρονικι ςτιγμι 4 3 α (m/s^2) α>0 2 Σο εμβαδόν που ορίηει θ γρ. παράςταςθ με τον άξονα των χρόνων, δίνει τθν μεταβολι τθσ ταχφτθτασ. 1-1 E=Δ 1 2 3 4 5 t (s) -2-3 α<0-4 Διάγραμμα ταχφτθτασ χρόνου Η ταχφτθτα μεταβάλλεται με ςτακερό ρυκμό 19 18 17 16 v (m/s) 15 Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει τθν επιτάχυνςθ: 14 13 12 11 10 Από το εμβαδόν του διαγράμματοσ υπολογίηουμε αρικμθτικά τθν μετατόπιςθ 9 8 7 6 5 4 3 2 τθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ, θ 1 t (s) ταχφτθτα ξεκινάει από μία αρχικι 1 2 3 4 5 τιμι και αυξάνεται. Αντίκετα, ςτθν επιβραδυνόμενθ, ελαττϊνεται από τθν αρχικι τθσ τιμι. 16

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Διάγραμμα κζςθσ χρόνου 75 x (m) 70 65 60 Επιβραδυνόμενθ 55 κίνθςθ 50 45 40 35 30 25 Επιταχυνόμενθ κίνθςθ (θ κλίςθ αυξάνεται) 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 t (s) Παρατιρθςθ Στθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ: Η κζςθ μεταβάλλεται όλο και ποιο γριγορα. Πωσ φαίνεται αυτό από το διάγραμμα; Η κλίςθ δίνει τθν ταχφτθτα, που ςυνεχϊσ αυξάνεται. Ζτςι αντίςτοιχα αυξάνεται και θ κλίςθ και το διάγραμμα τελικά ζχει τθν μορφι τθσ καμπφλθσ του ςχιματοσ ( παραβολι). Αντίςτοιχα, ςτο διάγραμμα τθσ επιβραδυνόμενθσ κίνθςθσ, θ ταχφτθτα όπωσ και κλίςθ ε- λαττϊνεται 17

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Εφαρμογζσ Αςκιςεισ 1. Μία ςφαίρα κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s 2. Σθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 4m και κινείται με ταχφτθτα υ αρχ = 3m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι; Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε; 2. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = -2m/s 2. Σθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 0, με ταχφτθτα υ αρχ = 4m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι t; Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε; 3. Ζνα ποδιλατο κινείται ςε ευκφ δρόμο με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s 2. Σθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0 και κινείται με ταχφτθτα υ αρχ = -5m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι; Δ. Πόςο διάςτθμα κα ζχει διανφςει τότε; 4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με ταχφτθτα μζτρου υ αρχ1 = 4m/s. Κάποια ςτιγμι ο οδθγόσ αρχίηει να αυξάνει τθν ταχφτθτα του οχιματοσ με ςτακερό ρυκμό 2m/s 2, για χρονικι διάρκεια Δt = 2s. Σθν ίδια ςτιγμι ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο που αρχικά ιταν ακίνθτο, αρχίηει να επιταχφνεται με τθν ίδια επιτάχυνςθ για τθν ίδια χρονικι διάρκεια. Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν μετατόπιςθ κάκε οχιματοσ, ςε ςχζςθ με τον χρόνο. 18

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα του κάκε οχιματοσ ςτο τζλοσ τθσ επιταχυνόμενθσ κίνθςθσ; Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του κάκε ενόσ οχιματοσ ςτθν διάρκεια των 2s; 5. Μία μοτοςυκλζτα, αρχικά ακίνθτθ, αρχίηει να επιταχφνεται με επιτάχυνςθ α 1 = 1m/s 2, για χρονικι διάρκεια Δt = 1s. τθν ςυνζχεια επιταχφνεται για Δt 2 = 2s με επιτάχυνςθ α 2 = 0,5m/s 2. Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά τθσ μετά το τζλοσ του πρϊτου δευτερολζπτου; Β. Με ποια ταχφτθτα αρχίηει το δεφτερο μζροσ τθσ επιταχυνόμενθσ τθσ κίνθςθσ (Δt 2 ); Γ. Πόςθ ταχφτθτα ζχει ςτο τζλοσ τθσ κίνθςθσ τθσ; 6. Δφο οχιματα κινοφνται ςτον ίδιο ευκφ δρόμο, με επιταχφνςεισ ςτακεροφ μζτρου. Σο όχθμα Α τθν χρονικι ςτιγμι t αρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχα = 20m, ζχει ταχφτθτα υ αρχα = 8m/s και επιτάχυνςθ α Α = 6m/s 2. Tο όχθμα Β τθν ίδια χρονικι ςτιγμι βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχβ = 60m ζχει ταχφτθτα υ αρχβ = -4m/s και επιτάχυνςθ α Β = -2m/s 2. Α. Σι είδουσ κίνθςθ κάνει το κάκε όχθμα; Β. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ τθσ ταχφτθτασ και τθσ κζςθσ με τον χρόνο, για τα δφο οχιματα. Γ. Με πόςθ ταχφτθτα κα κινοφνται τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s και ςε ποια κζςθ κα βρίςκονται; Δ. Που κα βρίςκεται το κάκε όχθμα τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s; 7. Ζνα αντικείμενο κινείται αρχικά με ταχφτθτα μζτρου 6m/s και αρχίηει να επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό 3m/s 2, μζχρι να ςταματιςει. Α. Πόςο χρόνο χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει; Β. Πόςθ απόςταςθ διανφει μζχρι τότε; Γ. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάςτθκε μζχρι να υποδιπλαςιαςτεί θ ταχφτθτά του. Δ. Πόςθ απόςταςθ διζνυςε ςτον χρόνο αυτό; 8. Ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι που αρχικά ιταν ακίνθτο ςτθν κζςθ x αρχ = 0, αρχίηει να κινείται με ςτακερι επιτάχυνςθ μζτρου α = 1m/s 2. 19

Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει του χρόνου. Β. Αφοφ φτιάξετε τον κατάλλθλο πίνακα τιμϊν, ςχεδιάςτε τα διαγράμματα τθσ επιτάχυνςθσ και τθσ ταχφτθτάσ του, ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο. Γ. Τπολογίςτε (με τθν βοικεια των διαγραμμάτων) τθν μεταβολι τθσ ταχφτθτασ του και τθν μετατόπιςι του ςτο χρονικό διάςτθμα από t 1 = 2s μζχρι t 2 = 4s. Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ. 9. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ μζχρι να ςταματιςει. Αν θ αρχικι του ταχφτθτα είναι υ αρχ = +40m/s και θ επιτάχυνςθ του ζχει μζτρο 4m/s 2. Α. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου. Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ςτο οποίο φαίνεται ο τρόποσ που μεταβάλλεται θ ταχφτθτα του ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ. Γ. Με τθν βοικεια του διαγράμματοσ, υπολογίςτε τθν απόςταςθ που διανφει μζχρι να μθδενιςτεί θ ταχφτθτά του. Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου. 10. Η ταχφτθτα του κινθτοφ ςε μία ευκφγραμμθ, μεταβαλλόμενθ κίνθςθ φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. Αρχικά το αντικείμενο βρίςκεται ςτθν κζςθ x αρχ = 0. Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί ; Εξθγείςτε. Β. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του. Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του ςτα πρϊτα 4 δευτερόλεπτα τθσ κίνθςθσ; 28 v (m/s) 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s) Δ. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει του χρόνου. Ε. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ με τον χρόνο. Στ. χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ με τον χρόνο. 20

Φυςικι Α Λυκείου Οι δυνάμεισ Οι δυνάμεισ 1. Η αιτία που «ςπρϊχνει» ι «τραβάει» Αφινουμε μία πζτρα ελεφκερθ να κινθκεί και αυτι πζφτει επειδι τθν ζλκει θ γι. Η ζλξθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια τθσ δφναμθσ τθσ βαρφτθτασ ι αλλιϊσ «βάροσ». Ζνασ εργάτθσ ςπρϊχνει ζνα κιβϊτιο. Η άπωςθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια τθσ δφναμθσ που αςκεί ο εργάτθσ. Κρεμάμε ζνα βαρίδι ςτο ελατιριο και αυτό επιμθκφνεται για να κρατιςει το ςϊμα. Σο ελατιριο τραβάει προσ τα απάνω με μία ελαςτικι δφναμθ, λόγω τθσ παραμόρφωςθσ του. 2. Συμβολιςμόσ, μονάδεσ, ςχεδίαςθ Force. Μονάδα: 1N (1N = 1kg m/s 2 ) Η δφναμθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ανάλογα με το ςθμείο του ςϊματοσ ςτο οποίο α- ςκείται και τθν κατεφκυνςθ τθσ, μπορεί να προκαλζςει διαφορετικό αποτζλεςμα. Παρατιρθςθ Όταν μελετάμε τθν μεταφορικι κίνθςθ ενόσ ςϊματοσ, κεωροφμε ότι οι δυνάμεισ αςκοφνται ςτο κζντρο μάηασ του και τισ ςχεδιάηουμε εκεί. 3. Πϊσ αντιλαμβανόμαςτε ότι αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα; Σθν δφναμθ δεν τθν βλζπουμε, αντιλαμβανόμαςτε όμωσ ότι αςκείται από τα αποτελζςματα τθσ δράςθσ τθσ: Σθν ιςορροπία ενόσ ςϊματοσ, τθν αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ (...επιτάχυνςθ), τθν παραμόρφωςθ του... ε κάκε ςϊμα γνωρίηουμε ότι αςκείται το βάροσ του. Αν λοιπόν ζνα αντικείμενο ιςορροπεί, κάποια (-εσ) άλλθ δφναμθ κα αςκείται με τζτοιο τρόπο ϊςτε εξουδετερϊνει τθν δράςθ του βάρουσ. Όταν ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι αρχίηει να επιταχφνεται, ςυμπεραίνουμε ότι κάποια επιπλζον δφναμθ του αςκικθκε, ϊςτε αυτό να αρχίςει να κινείται πιο γριγορα Για να είναι τεντωμζνο ζνα ελατιριο, κάποιοσ πρζπει να το τραβιξει... 21

Οι δυνάμεισ Παρατιρθςθ Οι δυνάμεισ αςκοφνται από επαφι (όταν ακουμπάμε το ςϊμα) ι από απόςταςθ (π.χ. θ γθ ζλκει τθ ςελινθ). 4. Τι κα ςυμβεί αν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται πολλζσ δυνάμεισ; Σθν ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα τθν ονομάηουμε και ςυνιςταμζνθ ( ). Η ςυνιςταμζνθ μπορεί να αντικαταςτιςει όλεσ τισ υπόλοιπεσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα, προκαλϊντασ το ίδιο αποτζλεςμα με αυτζσ (π.χ., επιταχφνοντάσ το). το αντικείμενο του ςχιματοσ όπου F 1 =2N και F 2 = 3N αςκείται ςυνολικά δφναμθ F = F 1 +F 2 = 5N. Αν ι δυνάμεισ είχαν αντίκετθ φορά, θ ςυνολικι δφναμθ κα ι- ταν F = F 1 F 2 = -1N. F F 5. Δυνάμεισ ςτθν φφςθ o Βαρφτθτα Αςκείται ανάμεςα ςε δφο οποιαδιποτε υλικά ςϊματα και είναι πάντα ελκτικι. Η βαρυτικι δφναμθ που αςκεί θ γθ ςτα ςϊματα (...βάροσ) υπολογίηεται: Η κατεφκυνςθ του βάρουσ είναι πάντα προσ το κζντρο τθσ γθσ (κατακόρυφθ). Π.χ., θ μάηα ενόσ μακθτι είναι m = 60kg. Σο βάροσ του... w= m g δθλ., είναι περίπου 600Ν. Ζνασ αςτροναφτθσ ζχει μάηα 160kg. Σο βάροσ του ςτθν γθ είναι 1600Ν. τθν ςελινθ είναι περίπου 400Ν, ενϊ ςτο διάςτθμα... μθδζν! Όμωσ θ μάηα του είναι παντοφ θ ίδια. Παρατθριςεισ Η μάηα m είναι το μζγεκοσ που δείχνει τθν ποςότθτα φλθσ του ςϊματοσ και τθν μετράμε ςε κιλά (kg). Όςο μεγαλφτερθ είναι, τόςο ιςχυρότερθ είναι θ δφναμθ τθσ βαρφτθτασ. Η ςτακερά g είναι ίδια για όλα τα ςϊματα, λζγεται επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ και θ τιμι τθσ εξαρτάται από τον τόπο ςτον οποίο μετράμε το βάροσ. Προςεγγιςτικά είναι g=10m/s 2. 22

Οι δυνάμεισ o Ελαςτικζσ δυνάμεισ Ζνα παραμορφωμζνο (τεντωμζνο ι ςυμπιεςμζνο) ελατιριο, αςκεί δφναμθ ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ του Δx (ι Δl). Η ςτακερά αναλογίασ k ζχει ςχζςθ με το είδοσ του ελατθρίου (πόςο ςκλθρό ι μαλακό είναι). Η δφναμθ και θ παραμόρφωςθ ζχουν αντίκετεσ κατευκφνςεισ (πρόςθμο -). Σο ςϊμα βάρουσ w =5N που ιςορροπεί κρεμαςμζνο από ζνα ελατιριο, δζχεται δφναμθ F ελ με μζτρο 5Ν. Η δφναμθ αυτι μεταβάλλεται. Αν τεντϊςουμε λίγο περιςςότερο το ιδθ τεντωμζνο ελατιριο, θ δφναμθ F ελ κα αυξθκεί, ςε αντίκεςθ με το βάροσ που παραμζνει ςτακερό. Παρατθριςεισ Τθν παραμόρφωςθ Δx τθν μετράμε πάντα από το φυςικό μικοσ του ελατθρίου. Επειδι θ δφναμθ του ελατθρίου είναι ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ, θ γραφικι παράςταςθ που ςυνδζει τθν δφναμθ με τθν παραμόρφωςθ κα είναι όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα. 23

Φυςικι Α Λυκείου Οι δυνάμεισ Εφαρμογζσ Αςκιςεισ. 1. Ζνα βιβλίο βρίςκεται ακίνθτο πάνω ςτο τραπζηι. Ποιεσ δυνάμεισ δζχεται; Να τισ ςχεδιάςετε. 2. Δφο ςϊματα ζχουν μάηα m 1 =5kg και m 2 =10kg. Σο βάροσ του κάκε ενόσ είναι αντίςτοιχα: Α. 5kg και 10kg Β. 5Ν και 10Ν Γ. 50Ν και 100Ν. Με ποια από τισ προθγοφμενεσ ςυμφωνείτε; 3. Πόςο βάροσ ζχει ζνα δοχείο μάηασ 50kg; Θεωρείςτε ότι g = 10 m/s 2. 4. Σραβάμε από το άκρο του ζνα ελατιριο ςτακεράσ k =200N/m και το επιμθκφνουμε κατά Δx 1 = 5cm. Α. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ςτο χζρι μασ. Β. Αν τραβιξουμε επιπλζον κατά Δx 2 = 5cm, πόςθ κα γίνει θ προθγοφμενθ δφναμθ; 5. το διπλανό διάγραμμα φαίνεται το μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ζνα ελατιριο ςε ςυνάρτθςθ με τθν παραμόρφωςι του. Α. Πόςθ είναι θ δφναμθ που αςκεί όταν θ παραμόρφωςθ είναι Δx = 2cm; Β. Τπολογίςτε τθν ςτακερά του ελατθρίου. 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 Fελ (N) Δx (cm) 1 2 3 4 5 6 7 6. Ζνα ελατιριο ζχει ςτακερά k = 100N/m. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ του μζτρου τθσ δφναμθσ του ελατθρίου ςε ςχζςθ με τθν παραμόρφωςθ του Δx. 24

Φυςικι Α Λυκείου Οι Νόμοι των Δυνάμεων Οι νόμοι των δυνάμεων 1. Η «αλλθλεπίδραςθ»: Οι δυνάμεισ ςτθ φφςθ εμφανίηονται ςε ηευγάρια: «Δράςθ Αντίδραςθ». Ζτςι, κάκε ςϊμα που αςκεί ςε ζνα άλλο μία δφναμθ -«δράςθ», δζχεται από αυτό μία αντίκετθ δφναμθ - «αντίδραςθ» (... 3 οσ νόμοσ του Νεφτωνα). Σο φορτθγό τραβάει το trailer προσ τα μπροςτά (δράςθ). Σο trailer τραβάει το φορτθγό προσ τα πίςω (αντίδραςθ). Η γθ ζλκει τθ ςελινθ υποχρεϊνοντασ τθν τα περιςτρζφεται γφρω τθσ. Η ςελινθ ζλκει τθν γθ (δθμιουργϊντασ π.χ., τθν παλίρροια ). Η γθ ζλκει το μιλο με δφναμθ w = 0,5N και το μιλο πζφτει κάτω. Αντίςτοιχα, το μιλο ζλκει τθ γθ με δφναμθ w = 0,5N προσ τα πάνω. Βζβαια, θ δφναμθ αυτι δεν είναι αρκετι για να καταφζρει να κινιςει ολόκλθρθ τθν γθ!!! Παρατθριςεισ: w w Η δράςθ και θ αντίδραςθ είναι αντίκετεσ δυνάμεισ (ίςο μζτρο, αντίκετθ φορά). Αςκοφνται πάντα ςε διαφορετικά ςϊματα, άρα, δεν εξουδετερϊνονται. 2. Ο νόμοσ τθσ αδράνειασ (ι αλλιϊσ 1 οσ Νόμοσ του Νεφτωνα): Κάκε ςϊμα ζχει από τθν φφςθ του τθν τάςθ ( αδράνεια) να παραμείνει ςτθν κινθτικι κατάςταςθ που βρίςκεται. Μάλιςτα, όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του m, τόςο ποιο δφςκολα μπορεί να αλλάξει θ κατάςταςθ αυτι Ζτςι: Αν το ςϊμα ιταν ακίνθτο, παραμζνει ακίνθτο. Αν κινοφταν, ςυνεχίηει να κινείται χωρίσ να αλλάξει θ ταχφτθτα του. Άρα, για να αλλάξει θ κινθτικι κατάςταςθ, πρζπει να εμφανιςτεί κάποιο εξωτερικό αίτιο. Και αυτό δεν είναι άλλο από τθν δφναμθ! Αντίςτροφα: Αν δεν υπάρχει καμία εξωτερικι αιτία (δθλαδι ι δεν αςκοφνται δυνάμεισ, ι αν αςκοφνται εξουδετερϊνονται), το ςϊμα ι παραμζνει ακίνθτο, ι κινείται με ςτακερι ταχφτθτα. 25

Οι Νόμοι των Δυνάμεων Σο τραπζηι, ςτθν άκρθ του δωματίου Αν δεν το μετακινιςουμε εμείσ αςκϊντασ του κάποια δφναμθ, δεν πρόκειται να κινθκεί (αφοφ το βάροσ του εξουδετερϊνεται από τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα). Ζνασ κομιτθσ που κινείται ςτο διάςτθμα Αλλάηει τον τρόπο κίνθςισ του (καμπυλϊνεται θ τροχιά του ι κινείται πιο γριγορα) μόνο όταν περάςει κοντά από κάποιο άλλο ουράνιο ςϊμα που του αςκεί ελκτικι δφναμθ. Η μπάλα του μπιλιάρδου είναι ακίνθτθ μζχρι να τθσ αςκιςουμε δφναμθ με τθν ςτζκα. Μετά κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, μζχρι να τθσ αςκθκεί ξανά δφναμθ (π.χ. λόγω ςφγκρουςθσ). Παρατιρθςθ: Η μάηα, εκτόσ από μζγεκοσ που δείχνει τθν φλθ, είναι το φυςικό μζγεκοσ που μετράει και τθν αδράνεια του ςϊματοσ. 3. Πωσ θ δφναμθ επθρεάηει τθν κίνθςθ; (ο κεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ) «Όταν ςυνολικά δεν αςκείται δφναμθ, θ ταχφτθτα του ςϊματοσ δεν αλλάηει». Άρα, όταν αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα (ι οι δυνάμεισ που αςκοφνται δεν εξουδετερϊνονται), θ ταχφτθτα του κα αλλάηει δθλ. κα αποκτάει επιτάχυνςθ. Η επιτάχυνςθ που αποκτάει είναι ανάλογθ τθσ ςυνολικισ δφναμθσ που δζχεται. Όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του ςϊματοσ, τόςο περιςςότερο αντιδράει το ςϊμα ςτθν αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ και τόςο ποιο δφςκολα επιταχφνεται. Άρα θ επιτάχυνςθ είναι αντιςτρόφωσ ανάλογθ τθσ μάηασ. Όλα τα προθγοφμενα ςυνοψίηονται ςτθν εξίςωςθ: είναι θ ςυνιςταμζνθ (ςυνολικι) δφναμθ που δζχεται το ςϊμα, m θ μάηα του και θ επιτάχυνςθ που αποκτάει. Ζνα αντικείμενο μάηασ m 1 = 2kg, αποκτάει επιτάχυνςθ α = 2m/s 2, όταν δεχτεί ςυνολικι δφναμθ F = 4N. Αν θ δφναμθ διπλαςιαςτεί (2F=8Ν) αντίςτοιχα κα διπλαςιαςτεί και θ επιτάχυνςθ του, 2α = 4m/s 2. Αν θ προθγοφμενθ δφναμθ (F =4N) αςκθκεί ςε ςϊμα διπλάςιασ μάηασ, 2m = 4kg, θ επιτάχυνςθ που κα προκαλζςει κα είναι θ μιςι από τθν α, δθλαδι α/2 = 1m/s 2. m 2m 2m2m α α F α F F 26

Οι Νόμοι των Δυνάμεων Παρατιρθςθ: Η δφναμθ και θ επιτάχυνςθ ζχουν πάντα τθν ίδια κατεφκυνςθ. 4. Πωσ ςυνδζονται οι «εξιςϊςεισ των κινιςεων» με τον «κεμελιϊδθ νόμο τθσ μθχανικισ»; Αν, τότε δεν προκαλείται επιτάχυνςθ άρα θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι: υ = ςτακ. & Δx = υ Δt Αν και ςυγχρόνωσ είναι ςτακερι και παράλλθλθ ςτθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλείται ςτακερι επιτάχυνςθ και θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλά μεταβαλλόμενθ: υ = υ αρχ ± α Δt & Δx = υ αρχ Δt ± ½ α Δt 2 Αν χωρίσ όμωσ να παραμζνει ςτακερι, τότε προκαλείται επιτάχυνςθ που μεταβάλλεται, και δεν ιςχφουν οι γνωςτζσ εξιςϊςεισ των κινιςεων. Αν μάλιςτα θ δφναμθ ςχθματίηει γωνία με τθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλείται καμπυλόγραμμθ κίνθςθ Παρατθριςεισ Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου, κακορίηεται από τισ δυνάμεισ που του αςκοφνται. Αν γνωρίηουμε τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςε ζνα αντικείμενο και τθν αρχικι του ταχφτθτα, μποροφμε να προβλζψουμε το είδοσ τθσ κίνθςθσ που κα εκτελζςει (και να εφαρμόςουμε τισ αντίςτοιχεσ εξιςϊςεισ). Οι δυνάμεισ κεωροφμε ότι αςκοφνται ςτα ςϊματα με τζτοιο τρόπο, ϊςτε να μθν μποροφν να τα περιςτρζψουν (π.χ, ςτο κζντρο μάηασ τουσ ). Παραδείγματα: 1. ε ζνα κουτί μάηασ m = 3kg αςκοφνται ταυτόχρονα και m προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, δφο δυνάμεισ με μζτρα F 1 = 8Ν και F 2 = 7N αντίςτοιχα. o Η ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςτο κουτί είναι: ΣF = F1+F2 = 15N o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει λόγω τθσ εφαρμογισ των δυνάμεων είναι: F F o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από Δt = 2sec είναι: υ = α Δt = 5m/s 2 2s =10m/s o Η μετατόπιςι του ςτον ίδιο χρόνο είναι: 27

Οι Νόμοι των Δυνάμεων 2. το αμαξάκι του ςχιματοσ που κινείται αρχικά v αρχ με ταχφτθτα υ αρχ = 2m/s, α αςκείται μία δφναμθ μζτρου F =2N και φοράσ F m αντίκετθσ από αυτιν τθσ κίνθςθσ. Η μάηα του είναι m =0,5kg. o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει ζχει μζτρο: o Η φορά τθσ δφναμθσ άρα και τθσ επιτάχυνςθσ είναι αντίκετθ από αυτιν τθσ ταχφτθτασ, άρα θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ. o Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει (υ=0) είναι: o Η απόςταςθ που διανφει ςε αυτόν τον χρόνο είναι: o Η γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ με τον χρόνο (F-t) και τθσ ταχφτθτασ με τον χρόνο (υ-t) φαίνονται ςτα επόμενα διαγράμματα:. F (N) v (m/s) 2 1 1 2 3 4 5 6 t (s) 1-1 -2 t (s) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3. Ζνα αντικείμενο εκτελεί τθν κίνθςθ που περιγράφεται ςτο επόμενο διάγραμμα κζςθσ χρόνου. o Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι t = 6s, αφοφ θ κζςθ είναι ανάλογθ με τον χρόνο κίνθςθσ. o Η ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που δζχεται είναι μθδζν ςφμφωνα με τον 1 ο Νόμο του Νεφτωνα. Αν λοιπόν δζχεται δφναμθ τριβισ, Σ = 5Ν x (m) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 t (s) 28

Οι Νόμοι των Δυνάμεων ςυμπεράνουμε ότι δζχεται και κάποια άλλθ αντίκετθ δφναμθ που εξουδετερϊνει τθν τριβι, ϊςτε : ΣF = 0 F-T = 0 F = T = 5N o Μετά τθν χρονικι ςτιγμι t = 6s, το αντικείμενο παραμζνει ακίνθτο. Η ςυνολικι δφναμθ που δζχεται κα είναι πάλι μθδζν. Μόνο που τϊρα, αν δεν αςκείται θ τριβι, δεν κα αςκείται και θ δφναμθ. 29

Φυςικι Α Λυκείου Οι Νόμοι των Δυνάμεων Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ 1. Σο ψυγείο του ςχιματοσ βρίςκεται ακίνθτο ςτο πάτωμα. Αν γνωρίηουμε ότι θ μάηα του είναι m = 100kg, Α. πόςο είναι το βάροσ του; Β. χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που δζχεται αναφζρετε ποιοσ αςκεί τθν κάκε μία από αυτζσ. Είναι κάποιεσ από αυτζσ τισ δυνάμεισ ηεφγοσ δυνάμεων αλλθλεπίδραςθσ; (δράςθ αντίδραςθ). Γ. Τπολογίςτε τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα ςτο ψυγείο. Δίνεται ότι g = 10m/s 2. 2. Από το ταβάνι ενόσ δωματίου κρζμεται ζνα φωτιςτικό. Αν γνωρίηετε ότι το καλϊδιο αςκεί ςτο φωτιςτικό δφναμθ μζτρου F = 20N: Α. Να ςχεδιάςετε τισ παρακάτω δυνάμεισ και να υπολογίςετε τα μζτρα τουσ: i. Δφναμθ που δζχεται το καλϊδιο από το φωτιςτικό. ii. Βάροσ του φωτιςτικοφ. iii. Δφναμθ που αςκεί το καλϊδιο ςτο ταβάνι. Δ. Ποιεσ από τισ προθγοφμενεσ δυνάμεισ είναι τθσ μορφισ δράςθ αντίδραςθ; Θεωρείςτε ότι το βάροσ του καλωδίου είναι αμελθτζο. 3. Επιλζξτε τθν ςωςτι από τισ επόμενεσ ερωτιςεισ. Α. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται ςτακερζσ δυνάμεισ, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα. Β. Για να κινείται ευκφγραμμα και ομαλά ζνα αντικείμενο, πρζπει θ ςυνολικι δφναμθ που του αςκείται να είναι μθδζν. Γ. Όταν ζνα ςϊμα ιςορροπεί, δζχεται μικρότερθ δφναμθ από όταν κινείται με ςτακερι ταχφτθτα. 30

Οι Νόμοι των Δυνάμεων Δ. Αν τραβιξουμε ζνα ςϊμα αςκϊντασ του ςτακερι δφναμθ οποιαςδιποτε τιμισ, αυτό κα κινθκεί ευκφγραμμα ομαλά. 4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με ταχφτθτα ςτακεροφ μζτρου υ =20m/s. Αν γνωρίηουμε ότι θ δφναμθ που αντιςτζκεται ςτθν κίνθςι του (αζρασ, τριβζσ) ζχει μζτρο F αντ = 400Ν: F αντ F κιν Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ που βοθκάει τθν κίνθςθ του (λόγω τθσ λειτουργίασ του κινθτιρα); Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει ςε χρόνο 5min; Γ. Να φτιάξετε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ ταχφτθτασ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο. 5. Οι δυνάμεισ, και που αςκοφνται ςτο ςϊμα του διπλανοφ ςχιματοσ, ζχουν μζτρα 10Ν. 5Ν, και 15Ν αντίςτοιχα. Αν θ ταχφτθτα αρχικι του ταχφτθτα είναι υ αρχ = 4m/s, F F F Α. Να εξετάςετε τι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το αντικείμενο. Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει μετά από Δt = 0,2min; Γ. Σι κίνθςθ κα εκτελοφςε αν κάποια ςτιγμι καταργοφςαμε τθν ; 6. Η ταχφτθτα ενόσ αντικειμζνου ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. Αν θ μάηα του είναι m = 6kg, να υπολογίςετε: Α. Σο μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ του 16 v (m/s) 14 12 10 8 Β. Σο μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται. 6 4 Γ. Σθν ςυνολικι απόςταςθ που κα ζχει διανφςει ςε χρονικι διάρκεια κίνθςθσ Δt = 5s. 2 1 2 3 4 t (s) Δ. Σθν τιμι τθσ ταχφτθτασ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 2,4s. 31

Οι Νόμοι των Δυνάμεων 7. Ζνα αντικείμενο μπορεί να κινείται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο και δζχεται μία δφναμθ μζτρου F = 20N. Αν αρχικά θ ταχφτθτά του ιταν μθδζν, και θ μάηα του είναι m = 10kg, Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; Εξθγείςτε. Β. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει. Γ. ε πόςο χρόνο κα ζχει αποκτιςει ταχφτθτα υ = 6m/s; Δ. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ που δζχεται και τθσ ταχφτθτασ που αποκτάει ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ. 8. ε ζνα όχθμα μάηασ m = 500kg αςκοφνται δφο δυνάμεισ αντίκετθσ κατεφκυνςθσ, όπωσ ςτο ςχιμα. Σα μζτρα τουσ είναι F 1 = 400N και F 2 = 650N. Η F v αρχ F αρχικι ταχφτθτα του οχιματοσ τθν χρονικι ςτιγμι t = 0 ζχει μζτρο υ αρχ = 10m/s και τθν φορά τθσ. Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 το όχθμα βριςκόταν ςτθν κζςθ x o = 0. Α. Να υπολογίςετε τθν επιτάχυνςθ (μζτρο και φορά) του οχιματοσ και να εξθγιςετε το είδοσ τθσ κίνθςθσ που εκτελεί. Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει, και ςε ποια κζςθ κα βρίςκεται τθν χρονικι ςτιγμι t = 4s; Γ. Να φτιάξετε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ του οχιματοσ ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο. 9. Σα δφο αμαξάκια του ςχιματοσ ζλκονται μεταξφ τουσ με δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ και. Αν θ μάηεσ τουσ είναι m 1 = 4kg και m 2 = 8kg αντίςτοιχα και το μζτρο τθσ Α d Β αλλθλεπίδραςθσ είναι 12 Ν. Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 τα αφινουμε ελεφκερα να κινθκοφν, από απόςταςθ d = 2,25m. να υπολογίςετε: Α. Πόςθ είναι θ επιτάχυνςθ που αποκτάει το ζνα κάκε αμαξάκι; Β. Πότε ςυναντιοφνται; Γ. ε πόςθ απόςταςθ από το ςθμείο Α ςυναντιοφνται; Δ. Σι τιμζσ ταχφτθτασ ζχουν τθν ςτιγμι τθσ ςυνάντθςθσ; m 1 F F m 2 32

Φυςικι Α Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Δυνάμεισ ςε δυο διαςτάςεισ 1. Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ Από πολλζσ δυνάμεισ μία. Μία βάρκα ςτο ποτάμι είναι δεμζνθ με δφο ςχοινιά, από τθ ο- ποία τθν τραβοφν δφο άνκρωποι. Η βάρκα δεν κινείται ςτθν κατεφκυνςθ κανενόσ ςχοινιοφ, αλλά ςτθν κατεφκυνςθ τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ 2. Υπολογιςμόσ τθσ ςυνιςταμζνθσ, ςτθν περίπτωςθ που αςκοφνται δφο δυνάμεισ και : Για τον υπολογιςμό του μζτρου τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ F χρθςιμοποιοφμε τον κανόνα του παραλλθλογράμμου: F ΣF (1) Για να υπολογίςουμε τθν διεφκυνςθ τθσ: φ κ F (2) Ειδικζσ περιπτϊςεισ : Όταν θ γωνία είναι φ = 90 ο (δυνάμεισ κάκετεσ μεταξφ τουσ): (3) F ΣF (4) κ F Όταν θ γωνία είναι φ = 0 ο (οι δυνάμεισ ομόρροπεσ): F F ΣF = F1 + F2 (5) ΣF Όταν θ γωνία είναι φ = 180 ο (αντίρροπεσ δυνάμεισ): ΣF = F1 - F2 (6) F φ F 33

φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Για F 1 = 30N και F 2 = 40N, ζχουμε: φ = 90 ο :, που είναι θ εφαπτομζνθ των 36,9 ο. φ = 0 o : ΣF = 30Ν +40Ν = 70Ν φ = 180 o : ΣF = 30Ν - 40Ν = -10Ν, δθλ. θ ζχει τθν φορά τθσ. Αν δφο δυνάμεισ είναι αντίκετεσ ( ) θ ςυνιςταμζνθ τουσ κα είναι μθδζν Παρατθριςεισ Οι προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ (3) (6) μποροφν να προκφψουν και από τισ (1) & (2) αν αντικαταςτιςουμε ςε αυτζσ τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ των αντιςτοίχων γωνιϊν. Π.χ., ςυν90 ο = 0, θμ90 ο = 1. Η (3) προκφπτει και από τθν εφαρμογι του πυκαγόρειου κεωριματοσ ςτο τρίγωνο που ςχθματίηουν οι δυνάμεισ, και. 34

Φυςικι Α Λυκείου φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ 1. τθ ςφαίρα του ςχιματοσ αςκοφνται δφο δυνάμεισ ίςου μζτρου F 1 = F 2 = 5Ν οι οποίεσ ςχθματίηουν γωνία φ = 120 o. F φ F Α. Να υπολογίςετε τθν το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δφο δυνάμεων. Β. Ποια είναι θ διεφκυνςι τθσ ςε ςχζςθ με τθν δφναμθ ; Γ. Να ςχεδιάςετε μία τρίτθ δφναμθ ζτςι ϊςτε οι τρείσ δυνάμεισ, και να ιςορροποφν. 2. Δφο δυνάμεισ με μζτρο F 1 = 4 3 N και F 2 = 4Ν αςκοφνται ςε ζνα ςϊμα μάηασ m = 2kg που αρχικά είναι ακίνθτο. F Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δφο δυνάμεων, αν ςχθματίηουν μεταξφ τουσ γωνία 90 o ; Β. Ποια είναι θ διεφκυνςθ (ςε ςχζςθ με τθν ) ςτθν οποία κα κινθκεί το ςϊμα; Γ. Πόςθ επιτάχυνςθ κα αποκτιςει; F m Δ. Αν θ γωνία των δφο δυνάμεων ιταν 30 ο, θ επιτάχυνςθ κα ιταν μικρότερθ, μεγαλφτερθ ι ίδια με τθν προθγοφμενθ τιμι; 35

φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων 1. Ανάλυςθ δφναμθσ ςε ςυνιςτϊςεσ. Από μία δφναμθ δφο δυνάμεισ υχνά, όταν μία δφναμθ αςκείται ςτο αντικείμενο, προκαλεί παραπάνω από ζνα αποτελζςματα. Σότε, αναλφουμε τθν δφναμθ ςε ςυνιςτϊςεσ (τθν χωρίηουμε ςε «μζρθ») κάκε μία από τισ οποίεσ είναι υπεφκυνθ για μία ςυγκεκριμζνθ ενζργεια: πρϊχνουμε το βιβλίο πάνω ςτο τραπζηι Η δφναμθ που αςκοφμε το μετακινεί προσ τα μπροςτά, πιζηοντάσ το ταυτόχρονα προσ τα κάτω. Ενϊ το αμαξάκι κινείται προσ τα μπροςτά, του αςκοφμε μία δφναμθ διαγϊνια ςε ςχζςθ με τθν ταχφτθτα. Ζνα μζροσ τθσ δφναμθσ ( ςυνιςτϊςα) αυξάνει το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ενϊ ταυτόχρονα ζνα άλλο μζροσ ( μια άλλθ ςυνιςτϊςα) τθσ δφναμθσ ςτρίβει το αμαξάκι. v F x F F y Σο αεροπλάνο τροχοδρομεί ςτον διάδρομο απογείωςθσ. Μία κατακόρυφθ ςυνιςτϊςα τθσ αντίςταςθσ του αζρα ςτα φτερά του, εξουδετερϊνει το βάροσ και α- πογειϊνει το αεροπλάνο. F A 2. Υπολογιςμόσ των ςυνιςτωςϊν (ςε κάκετεσ διευκφνςεισ μεταξφ τουσ). o Σχεδίαςθ: Από το άκρο του διανφςματοσ τθσ δφναμθσ που κζλουμε να αναλφςουμε, φζρνουμε δφο κάκετεσ ςτισ διευκφνςεισ (άξονεσ) όπου κα υπολογίςουμε τισ ςυνιςτϊςεσ. y x F x Σα ςθμεία ςτα οποία ςυναντάμε τουσ άξονεσ είναι τα άκρα των διανυςμάτων των ςυνιςτωςϊν. F y F φ F x 36

Φυςικι Α Λυκείου Σριβι o Μζτρο: Με δεδομζνθ τθν γωνία φ που ςχθματίηει θ δφναμθ με ζναν από τουσ δφο άξονεσ, χρθςιμοποιοφμε το θμφ για να υπολογίςουμε τθν απζναντι (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα και το ςυνφ για να υπολογίςουμε τθν προςκείμενθ (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα: Fx = F ςυνφ Fy = F ημφ Αν θ δφναμθ του ςχιματοσ ζχει μζτρο F = 50N και θ γωνία είναι φ = 30 o (θμ30=1/2 και ςυν30 ο = 3/2). Παρατιρθςθ Οι δφο ςυνιςτϊςεσ αντικακιςτοφν τθν αρχικι δφναμθ κακϊσ ςυνολικά προκαλοφν το ίδιο αποτζλεςμα με αυτιν. 3. Η τριβι: Μια «διάςθμθ» ςυνιςτϊςα! Όταν δφο επιφάνειεσ εφάπτονται, αςκοφν μεταξφ τουσ δυνάμεισ τθσ μορφισ «δράςθ αντίδραςθ». Αν οι επιφάνειεσ δεν είναι λείεσ και θ μία κινείται, ι τείνει να κινθκεί ςε ςχζςθ με τθν άλλθ, εμφανίηονται δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ (λόγω των μικρϊν ανωμαλιϊν που υπάρχουν ανάμεςα τουσ) και εμποδίηουν τθν κίνθςθ. Η ςυνιςτϊςα αυτϊν των δυνάμεων που είναι παράλλθλθ ςτισ επιφάνειεσ είναι θ τριβι, ενϊ τθν ςυνιςτϊςα κάκετα ςτισ επιφάνειεσ ςυνθκίηουμε να τθν λζμε κάκετθ αντίδραςθ. T F F A Σθν τριβι που εμφανίηεται πριν αρχίςει θ κίνθςθ τθν ονομάηουμε ςτατικι τριβι. Δεν είναι ςτακερι, αλλά είναι ςυνεχϊσ αντίκετθ με τθν δφναμθ που προςπακεί να κινιςει το ςϊμα. Όταν το ςϊμα αρχίηει να «ολιςκαίνει» (δθλ., να γλιςτράει ) θ τριβι που εμφανίηεται είναι πια ςτακερι και ονομάηεται τριβι ολίςκθςθσ. 37

Σριβι Η μζγιςτθ τιμι που μπορεί να πάρει θ ςτατικι τριβι (οριακι τριβι) υπολογίηεται από τθν ςχζςθ: Τορ = μορ FA (8) Αντίςτοιχα υπολογίηεται και θ τριβι ολίςκθςθσ: Τ = μoλ FA (9) τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ, (8 & 9) θ ςτακερά μ λζγεται ςυντελεςτισ τριβισ (οριακισ και ολίςκθςθσ αντίςτοιχα), και είναι ζνασ αρικμόσ που εξαρτάται από το είδοσ των επιφανειϊν που τρίβονται. Παρατθριςεισ: Η τριβι ολίςκθςθσ δεν εξαρτάται από τθν ταχφτθτα με τθν οποία κινείται το ζνα ςϊμα ςε ςχζςθ με το άλλο, οφτε και από το μζγεκοσ των επιφανειϊν. Όμωσ εξαρτάται από το είδοσ τουσ (υλικό, πόςο τραχιζσ είναι ) κακϊσ και τθν κάκετθ δφναμθ ανάμεςα τουσ. Η τριβι δεν εξαρτάται άμεςα από το βάροσ του ςϊματοσ. Απλϊσ θ κάκετθ αντίδραςθ είναι ςυχνά ίςθ με αυτό. Ζτςι, όταν το βάροσ είναι μεγάλο και ίςο με τθν, θ τριβι είναι επίςθσ μεγάλθ. Η τριβι ζχει φορά πάντοτε αντίκετθ από αυτιν τθσ ςχετικισ κίνθςθσ των επιφανειϊν που εφάπτονται. Συνικωσ κεωροφμε ότι ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ είναι ίςοσ με αυτόν τθσ οριακισ τριβισ. Στθν πραγματικότθτα ο ςυντελεςτισ οριακισ τριβισ είναι λίγο μεγαλφτεροσ. Παραδείγματα. 1. Ζνα ςϊμα βάρουσ w =10N κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο, χωρίσ τθν επίδραςθ κάποιασ άλλθσ οριηόντιασ δφναμθσ εκτόσ από τθν τριβι. Ο ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι μ = 0,3. o Η κάκετθ αντίδραςθ είναι: Τ F A v ΣFy = 0 FA = w = 10N. w (τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ το ςϊμα ιςορροπεί κακϊσ οφτε πετάει, οφτε αναπθδάει!) o Ζτςι θ τριβι που εμφανίηει κατά τθν διάρκεια τθσ κίνθςισ του είναι: 38

Σριβι Τ = μ FA = 3N. o Η δφναμθ αυτι αντιςτζκεται ςτθν κίνθςι του και το υποχρεϊνει να κάνει ευκ. ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ. 2. Σο αντικείμενο του ςχιματοσ δζχεται μία οριηόντια δφναμθ μζτρου F = 15N και ολιςκαίνει πάνω ςτο οριηόντιο επίπεδο. Η μάηα του είναι m = 5kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςε αυτό και ςτο επίπεδο είναι μ = 0,25. Η αρχικι του ταχφτθτα είναι υ αρχ =4m/s. o Η κάκετθ αντίδραςθ υπολογίηεται από τισ δυνάμεισ ςτον άξονα y y (κάκετα ςτθν κίνθςθ). ΣFy = 0 FA = m g = 50N o Η τριβι που εμφανίηεται είναι: Τ F A w v F Τ = μ FA = 12,5 N o Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ ςτθν διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ είναι: ΣFx = F T = 2,5 N o Λόγω τθσ δφναμθσ ςτθν διεφκυνςθ x x, το ςϊμα επιταχφνεται: o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από 6 sec, κα είναι: υ = υαρχ + α Δt = 7m/s 3. το κιβϊτιο του ςχιματοσ, αςκοφμε τθν δφναμθ ςε γωνία κ = 45 ο ωσ προσ το ο- ριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ ζχει μζτρο F = 20 2 N, το κιβϊτιο μάηα m = 6kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ (ολίςκθςθσ και οριακόσ) που F εμφανίηει με το ζδαφοσ είναι μ = 0,3. Η αρχικι ταχφτθτα του κιβωτίου είναι A μθδζν. F y F o Αρχικά αναλφουμε τθν ςε διευκφνςεισ παράλλθλα και κάκετα ςτθν κίνθςθ: Fx = F ςυν45 ο = 20Ν Fy = F ημ45 ο = 20Ν o Θζλουμε να εξετάςουμε αν θ δφναμθ αρκετι για να κινιςει το κιβϊτιο. Ζτςι πρζπει να υπο- Τ κ F x w 39

Σριβι λογίςουμε και τθν τριβι και να τισ ςυγκρίνουμε. ΣFy = 0 Fy +FA - mg = 0 FA = mg - Fy = 40N Άρα θ οριακι τριβι είναι: Tορ = Tολ = μ FA = 12N Ζτςι, επειδι F x > T ορ, το κουτί κα αρχίςει να κινείται. o Η επιτάχυνςθ που κα αποκτιςει είναι : Τριγωνομετρικζσ Γνϊςεισ α φ β θμ 2 φ + ςυν 2 φ = 1 γ φ θμφ ςυνφ εφφ 0 ο ι 0 rad 0 1 0 30 o ι π/6 rad 1/2 3/2 3/3 45 o ι π/4 rad 2/2 2/2 1 60 o ι π/3 rad 3/2 1/2 3 90 o ι π/2 rad 1 0-120 o ι 2π/3 rad 3/2-1/2-3 180 ο ι π rad 0-1 0 40

Φυςικι Α Λυκείου Δυνάμεισ Εφαρμογζσ Αςκιςεισ Σε όλεσ τισ επόμενεσ, κεωρείςτε ότι g = 10m/s 2 1. Αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F = 30N ςτο κιβϊτιο του διπλανοφ ςχιματοσ το οποίο βρίςκεται πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ αςκείται με γωνία κ =60 o ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Αν θ μάηα του κιβωτίου είναι m = 5kg: F Α. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ δφναμθσ που αςκεί το οριηόντιο επίπεδο ςτο κιβϊτιο. Β. Πόςθ επιτάχυνςθ αποκτάει; Γ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο. Δ. Αν κζλαμε να το ςυγκρατιςουμε ακίνθτο, πόςθ δφναμθ κα ζπρεπε να του αςκιςουμε ςε οριηόντια διεφκυνςθ; 2. Πετάμε το βιβλίο τθσ φυςικισ οριηόντια ςτο κρανίο με αρχικι ταχφτθτα 1m/s. Η μάηα του βιβλίου είναι m =250g. Αν ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κρανίο και το βιβλίο είναι μ = 0,2: v Α. χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα και υπολογίςτε το μζτρο τθσ κάκετθσ αντίδραςθσ που αςκεί το κρανίο ςτο βιβλίο. Β. Πόςθ είναι θ δφναμθ τθσ τριβισ που εμφανίηεται; Γ. Αςκείται δφναμθ τριβισ ςτο κρανίο; Αν ναι, πόςθ; Δ. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει το βιβλίο. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; Ε. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει. 3. το ίδιο οριηόντιο επίπεδο ςπρϊχνουμε δφο ςϊματα με μάηεσ m 1 =2kg και m 2 = 4kg, ϊςτε να αποκτιςουν τθν ίδια αρχικι ταχφτθτα και μετά τα αφινουμε ελεφκερα να κινθκοφν μζχρι να ςταματιςουν λόγω τθσ τριβισ. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτα ςϊματα και το επίπεδο είναι μ = 0,4. Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ςϊμα; Β. Ποιο από τα δφο πιςτεφετε ότι κα ζχει μεγαλφτερθ επιτάχυνςθ; 41

Δυνάμεισ Γ. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του κάκε ενόσ. Δ. χολιάςτε τθν απάντθςι ςασ ςτθν ερϊτθςθ Β., ςε ςχζςθ με αυτό που υπολογίςατε ςτθν ερϊτθςθ Γ. 4. ε ζνα οριηόντιο επίπεδο βρίςκονται δφο κουτιά από ίδιο υλικό, αρχικά ακίνθτα, το ζνα δίπλα ςτο άλλο. Σθν χρονικι ςτιγμι t =0 αςκοφμε ςτο κάκε ζνα από αυτά από μία δφναμθ οριηόντιασ διεφκυνςθσ και μζτρου F = 16N. Οι μάηεσ τουσ είναι m 1 = 4kg και m 2 = 2kg ενϊ ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηουν με το οριηόντιο επίπεδο είναι μ = 0,3. Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ζνα κουτί; Β. Τπολογίςτε τισ επιταχφνςεισ τουσ. Γ. Πόςο κα απζχουν τθν χρονικι ςτιγμι t = 3s; Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για το κάκε ςϊμα, ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων. 5. το ςϊμα του ςχιματοσ αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F = 10 2 N ςε γωνία κ = 45 ο ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Ο ςυντελεςτισ τριβισ που εμφανίηεται ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι μ = 0,25 και θ μάηα του ςϊματοσ m = 3kg. F κ Α. Πόςθ είναι θ κάκετθ αντίδραςθ που αςκεί το δάπεδο ςτο ςϊμα; Β. Τπολογίςτε τθν τριβι που εμφανίηεται. Γ. Θα κινθκεί το ςϊμα; Εξθγείςτε τθν απάντθςι ςασ. 6. Δζνουμε ζνα βαρφ κιβϊτιο με ζνα ςχοινί και το τραβάμε όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. H δφναμθ που αςκοφμε είναι 200 3Ν και το κιβϊτιο ζχει μάηα m = 30kg. Η γωνία που ςχθματίηει θ δφναμθ με το οριηόντιο επίπεδο είναι 30 ο. Σο κιβϊτιο αποκτάει επιτάχυνςθ α = 1m/s 2. κ F Α. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που επιταχφνει το κιβϊτιο; Β. Ποιο είναι το μζτρο τθσ τριβι που δζχεται το κιβϊτιο; 42

Δυνάμεισ Γ. Τπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κιβϊτιο και το δάπεδο. Δ. Πόςθ κα ιταν θ τριβι αν αςκοφςαμε τθν δφναμθ ςε οριηόντια διεφκυνςθ; 7. Πάνω ςε ζνα κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ κ = 30 ο, γλιςτρά κατεβαίνοντασ με ςτακερι ταχφτθτα ζνα αντικείμενο μάηασ m. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηεται είναι μ. Α. χεδιάςτε τισ δυνάμεισ που δζχεται το αντικείμενο και αναλφςτε το βάροσ ςε ςυνιςτϊςεσ παράλλθλα και κάκετα ςτο επίπεδο. κ Β. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ςε κάκε μία από τισ δφο προθγοφμενεσ διευκφνςεισ; Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ υπολογιςμοφ τθσ τριβισ, ςε ςυνάρτθςθ με τθν μάηα του ςϊματοσ. Δ. Με τθν βοικεια των προθγοφμενων εξιςϊςεων, υπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο. 43