Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Φακίνος Δ. Στοχαστικά Μοντέλα στην Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία και Εφαρμογές Εκδόσεις Συμμετρία 007 κωδ. 45393. Βασιλείου Π.Χ. Στοχαστικές Μέθοδοι στις Επιχειρησιακές Έρευνες Εκδόσεις Ζήτη 000 κωδ. 8 3. Δ. Φακίνου Ουρές Αναμονής η έκδ./008 Εκδόσεις ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ κωδ. 4539 4. Τ.Ι. Δάρας Π.Θ. Σύψας Στοχαστικές Ανελίξεις: Θεωρία και Εφαρμογές η εκδ./003 Εκδόσεις ZHTH κωδ. 8 Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία:. Kulkari V.G. Modelig Aalysis Desig ad Cotrol of Stochastic Systems Sprieger 999. Trivedi K. S. Probability ad Statistics with Reliability Queuig ad Computer Sciece Applicatios d ed. Joh Wiley & Sos 00. 3. G. Bolch S. M. Ross Itroductio to Probability Models Academic Press 0th ed. 009.

Περίγραμμα μαθήματος ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επανάληψη από Θεωρία πιθανοτήτων Εισαγωγικές έννοιες από Στοχαστικές Διαδικασίες και Συστήματα Αναμονής Εισαγωγή στην Στοχαστική Μοντελοποίηση Μαρκοβιανά Μοντέλα σε Διακριτό Χρόνο Μαρκοβιανά Μοντέλα σε Συνεχή Χρόνο Ασκήσεις σε DTMC και CTMC

Περίγραμμα μαθήματος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Χαρακτηριστικά Συστημάτων Αναμονής H ιδιότητα PASTA Το αποτέλεσμα του LITTLE Συστήματα Μ/Μ/ Συστήματα Μ/Μ/k Συστήματα Μ/Μ//k Συστήματα Μ/Μ/s/k και M/M/if Συστήματα Μ/Μ//k/k και M/M/s/k/k ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Εισαγωγή στις Μαρκοβιανες Διαδικασίες Αποφάσεων Εφαρμογές των Μ.Δ.Α.

Φιλοσοφία του μαθήματος «Μοντελοποίηση» Το πρώτο βήμα είναι η κατανόηση της συμπεριφοράς ενός πραγματικού συστήματος και του σκοπού της μελέτης αυτού Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να κάνουμε κάποιες παραδοχές για την δημιουργία ενός μοντέλου το οποίο να είναι απλό αλλά και αρκετά αληθινό σε σχέση με το πραγματικό σύστημα έτσι ώστε τα αποτελέσματα από την μελέτη του μοντέλου να είναι αξιόπιστα και ουσιαστικά

Φιλοσοφία του μαθήματος «Ανάλυση» Το δεύτερο βήμα είναι η προσεκτική ανάλυση του μοντέλου και ο υπολογισμός των αποτελεσμάτων Για το βήμα αυτό χρησιμοποιούνται διάφορες κατηγορίες στοχαστικών διαδικασιών όπως οι Μαρκοβιανές διαδικασίες διακριτού και συνεχούς χρόνου Μετά από μια σύντομη αναφορά στις παραπάνω διαδικασίες θα δούμε το πώς αυτές χρησιμοποιούνται σε μια ειδική κατηγορία συστημάτων τα συστήματα αναμονής Τέλος θα αναφερθούμε σε μια ακόμα κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών που είναι οι Μαρκοβιανές διαδικασίες αποφάσεων

Φιλοσοφία του μαθήματος «Σχεδιασμός» Στην πραγματικότητα ένα σύστημα περιγράφεται από ένα μικρό αριθμό από παραμέτρους και ενδιαφερόμαστε για το πώς θα φτιάξουμε τις παραμέτρους αυτές έτσι ώστε να βελτιστοποιήσουμε την απόδοση του συστήματος. Αυτό είναι ο σχεδιασμός ενός συστήματος Η απόδοση του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί σαν συνάρτηση των παραμέτρων του. Σκοπός είναι η εύρεση των κατάλληλων τιμών των παραμέτρων που ελαχιστοποιούν ή μεγιστοποιούν τις συναρτήσεις αυτές

Φιλοσοφία του μαθήματος «Στοχαστικών Συστημάτων» Ο όρος «στοχαστικκό» χρησιμοποιείται για την περιγραφή φαινομένων ή γεγονότων στα οποία εμπεριέχεται κάποια τυχαιότητα ή αλλιώς έχουν κάποια τυχαία συμπεριφορά Για να χαρακτηριστεί ένα σύστημα στοχαστικό σε ένα ή περισσότερα μέρη του εμπεριέχεται κάποια τυχαιότητα Σε αντίθεση με τα προσδιοριστικά μοντέλα ή συστήματα ένα στοχαστικό σύστημα δεν παράγει πάντοτε τα ίδια αποτελέσματα ή δεν συμπεριφέρεται πάντοτε με τον ίδιο τρόπο

Φιλοσοφία του μαθήματος Μαρκοβιανές Διαδικασίες Μαρκοβιανές Διαδικασίες Αποφάσεων Συστήματα Αναμονής ουρές

Συστήματα Αναμονής Ουρά ή Σύστημα Αναμονής: Φαινόμενο που δημιουργείται όταν η τρέχουσα ζήτηση για μία εξυπηρέτηση είναι μεγαλύτερη από την τρέχουσα ικανότητα εξυπηρέτησης του συστήματος Αντικειμενικός σκοπός του προβλήματος της ουράς: Να βρεθεί μια οικονομική ισορροπία μεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους αναμονής στην ουρά

Συστήματα Αναμονής Θεωρία ουρών ή συστημάτων αναμονής: Δίνει την πληροφόρηση που χρειάζεται για μια τέτοια απόφαση με το να προσδιορίζει τα διάφορα χαρακτηριστικά του συστήματος Παρέχει ένα μεγάλο αριθμό μαθηματικών προτύπων για την περιγραφή των καταστάσεων των γραμμών αναμονής

Ενδεικτικά Προβλήματα Συστημάτων Αναμονής Η Υπηρεσία Πληροφορικής της Σχολής Θετικών Επιστημών έχει μια υπηρεσία help desk για να προσφέρει βοήθεια στους φοιτητές που εκπονούν εργασίες για τα μαθήματά τους στο υπολογιστικό κέντρο. Οι φοιτητές που θέλουν βοήθεια περιμένουν σε μια σειρά μπροστά από τον υπεύθυνο του help desk και εξυπηρετούνται με τη σειρά βάσει της σειράς άφιξής τους στο help desk. Κατά μέσο όρο στο help desk καταφτάνουν 5 φοιτητές ανά ώρα και ο υπεύθυνος μπορεί να εξυπηρετεί κατά μέσο όρο 8 φοιτητές την ώρα. Να υπολογιστούν τα παρακάτω: i. Η μέση χρήση του υπαλλήλου στο help desk ii. iii. iv. Ο μέσος αριθμός φοιτητών στο help desk Ο μέσος αριθμός φοιτητών που περιμένουν στη σειρά για να συναντήσουν τον υπεύθυνο Ο μέσος χρόνος που σπαταλάει ένας φοιτητής στο help desk v. Ο μέσος χρόνος που περιμένει ένας φοιτητής στη σειρά για να συναντήσει τον υπεύθυνο vi. Η πιθανότητα να βρίσκονται πάνω από 4 φοιτητές στο help desk

Ενδεικτικά Προβλήματα Συστημάτων Αναμονής Το ΤΜΟΔ αποφάσισε να αυξήσει τον αριθμό των εργασιών που χρειάζεται να γίνουν σε υπολογιστή στο πρόγραμμα σπουδών του και θέλει να διερευνήσει την επίπτωση που θα έχει αυτή η απόφαση στο υπολογιστικό του κέντρο. Για να μην υπάρχουν προβλήματα το Τμήμα σκέφτεται να διαθέσει 3 πανομοιότυπους υπολογιστές στο κέντρο αντί για που υπήρχε πριν. Το Τμήμα αναμένει ότι οι φοιτητές θα καταφτάνουν για να δουλέψουν στο υπολογιστικό κέντρο με ρυθμό 45 ανά ώρα. Επίσης έχει εκτιμηθεί ότι ο κάθε ένας από τους 3 υπολογιστές μπορεί να εξυπηρετεί 8 φοιτητές την ώρα. Να υπολογιστούν τα παρακάτω χαρακτηριστικά του συστήματος εξυπηρέτησης i. Η μέση χρήση του υπολογιστικού κέντρου για την εκπόνηση εργασιών ii. iii. iv. Η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας φοιτητής στο υπολογιστικό κέντρο Ο μέσος αριθμός φοιτητών που περιμένουν στη σειρά για να κάνουν την εργασία τους σε έναν υπολογιστή Ο μέσος χρόνος που περιμένει ένας φοιτητής μέχρι να χρησιμοποιήσει έναν από τους υπολογιστές του υπολογιστικού κέντρου v. Ο μέσος χρόνος που σπαταλά ένας φοιτητής στο υπολογιστικό κέντρο vi. Ο μέσος αριθμός φοιτητών στο υπολογιστικό κέντρο

Ενδεικτικά Προβλήματα Συστημάτων Αναμονής Ο διευθυντής του τοπικού Τμήματος Έκδοσης Αδειών Κυκλοφορίας Δικύκλων του Υπουργείου Συγκοινωνιών έχει κάποιες ανησυχίες σχετικά με την ούρα που σχηματίζεται στην υπηρεσία. Το Τμήμα χρησιμοποιεί έναν υπολογιστή σε ένα γραφείο για την έκδοση και την ανανέωση των αδειών. Βασιζόμενος σε ιστορικά δεδομένα ο διευθυντής διαπιστώνει ότι στο Τμήμα καταφτάνουν κατά μέσο όρο 9 πολίτες ανά ώρα. Επίσης υπολογίζει ότι ο υπάλληλος χρησιμοποιώντας άριστα το αντίστοιχο πρόγραμμα στον υπολογιστή μπορεί να διεκπεραιώνει άδειες την ώρα. Ο διευθυντής με βάση τα παραπάνω χαρακτηριστικά θέλει να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα που είναι σχετικά με τους δείκτες λειτουργικότητας του Τμήματος: i. Ποια είναι η μέση χρήση του υπολογιστή στο Τμήμα; ii. iii. iv. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός πολιτών στο Τμήμα; Ποιος είναι ο μέσος αριθμός πολιτών που περιμένουν στο γραφείο την σειρά τους για να εξυπηρετηθούν; Πόσο χρόνο περνάει ένας πολίτης στο Τμήμα από τη στιγμή άφιξής του μέχρι τη στιγμή που θα εξυπηρετηθεί και θα φύγει; v. Πόσο χρόνο κατά μέσο όρο περιμένει ένας πολίτης την σειρά του για να εξυπηρετηθεί;

Ενδεικτικά Προβλήματα Συστημάτων Αναμονής Η πολιτεία αποφάσισε να ενισχύσει το θεσμό του προηγούμενου Τμήματος εγκαθιστώντας 7 υπολογιστές. Ο διευθυντής της υπηρεσίας ζητάει από εσάς να υπολογίσετε τα λειτουργικά χαρακτηριστικά του Τμήματος ενώ σας ενημερώνει ότι αναμένει για τον επόμενο χρόνο να καταφτάνουν στο σύστημα 7 πολίτες ανά ώρα. Επίσης σας είναι γνωστό ότι και οι 7 υπάλληλοι που διατίθενται για κάθε έναν υπολογιστή έχουν την ίδια εργασιακή εμπειρία και τις ίδιες γνώσεις καθώς επίσης ότι και οι 7 υπολογιστές είναι ίδιοι. Έτσι ο κάθε υπάλληλος μπορεί να διεκπεραιώνει άδεις ανά ώρα. Η δουλειά σας είναι να υπολογίσετε τα ακόλουθα: i. Τη μέση χρήση του συστήματος έκδοσης και ανανέωσης αδειών ii. iii. iv. Την πιθανότητας να μην υπάρχει κανένας πολίτης μέσα στο Τμήμα Το μέσο αριθμό πολιτών που περιμένουν στη σειρά για να εξυπηρετηθούν Το μέσο χρόνο που περιμένει ένας πολίτης στη σειρά για να εξυπηρετηθεί v. Το μέσο χρόνο που περνάει ένας πολίτης στο Τμήμα από τη στιγμή άφιξής του μέχρι τη στιγμή που θα εξυπηρετηθεί και θα φύγει

Μελέτη Περίπτωσης Η προϊσταμένη του Τμήματος Δανείων της NewBak δέχθηκε πρόσφατα πολλά παράπονά για αρκετούς από τους διευθυντές της στο Τμήμα. Τους τελευταίους μήνες οι διευθυντές του Τμήματος επέμεναν ότι κάτι πρέπει να γίνει σχετικά με το χρόνο που σπαταλάει το βοηθητικό τους προσωπικό περιμένοντας στη σειρά για να βγάλει φωτοτυπίες. Τη δεδομένη περίοδο το κατάστημα της NewBak διαθέτει δύο φωτοτυπικά μηχανήματα: το μηχάνημα Α που βρίσκεται στον τρίτο όροφο και το μηχάνημα Β που βρίσκεται στον τέταρτο όροφο. Και τα δύο μηχανήματα είναι ίδια και έχουν τις ίδιες δυνατότητες επεξεργασίας αλλά δεν είναι δικτυακά συνδεδεμένα με τους υπολογιστές του Τμήματος. Αυτό σημαίνει ότι αν χρειάζονται φωτοτυπίες/εκτυπώσεις στο Τμήμα τότε το βοηθητικό προσωπικό πρέπει να πάει στα μηχανήματα για να τις κάνει. Ο γραμματέας της προϊσταμένης ανέλαβε να εξετάσει το θέμα. Ο γραμματέας ανέφερε ότι κατά μέσο όρο το βοηθητικό προσωπικό πάει εργασίες στο μηχάνημα Α με ρυθμό 0 ανά ώρα και στο Β με ρυθμό 4 ανά ώρα. Κάθε ένα από τα μηχανήματα μπορεί να εξυπηρετεί φωτοτυπίες/εκτυπώσεις με ρυθμό 5 εργασίες ανά ώρα. Ο γραμματέας μετά την έρευνα που έκανε πρότεινε τα ότι θα πρέπει τα δύο μηχανήματα να ενσωματωθούν σε ένα φωτοτυπικό κέντρο που θα βρίσκεται στον τρίτο όροφο και ίσως θα πρέπει να αγοραστεί και ένα τρίτο μηχάνημα ίσο με τα προηγούμενα που θα εγκατασταθεί στο ίδιο κέντρο.

Μελέτη Περίπτωσης Εκτιμάει ότι για το επόμενο χρονικό διάστημα οι εργασίες θα φτάνουν στο φωτοτυπικό κέντρο με ρυθμό 4 ανά ώρα ενώ το κάθε μηχάνημα θα εξακολουθεί να εξυπηρετεί με ρυθμό 5 εργασίες ανά ώρα. Να ληφθεί υπόψη ότι το βοηθητικό προσωπικό που χρησιμοποιείται για τις φωτοτυπίες πληρώνεται κατά μέσο όρο με 5 ανά ώρα. i. Βρείτε τη χρήση στην αρχική περίπτωση κάθε μηχανήματος φωτοτυπικού κέντρου ii. iii. iv. Βρείτε το μέσο χρόνο αναμονής σε κάθε ένα από τα αρχικά φωτοτυπικά κέντρα Ποιο είναι το μέσο ετήσιο κόστος του βοηθητικού προσωπικού στην αρχική περίπτωση; Βρείτε τη χρήση του νέου φωτοτυπικού κέντρου με δύο μηχανήματα v. Βρείτε το μέσο χρόνο αναμονής στο νέο φωτοτυπικό κέντρο με δύο μηχανήματα. vi. vii. viii. i. Πόσο θα είναι το μέσο ετήσιο κόστος του βοηθητικού προσωπικού με το νέο φωτοτυπικό κέντρο με δύο μηχανήματα; Ποια θα είναι η χρήση του νέου φωτοτυπικού κέντρου με τρία μηχανήματα; Πόσο θα είναι το μέσο ετήσιο κόστος του βοηθητικού προσωπικού με το νέο φωτοτυπικό κέντρο με τρία μηχανήματα; Τι θα προτείνατε τελικά στην προϊσταμένη;

Τελικά Ως ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ορίζεται κάθε σύστημα οποίο παρέχει εξυπηρέτηση κάποιου είδους σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό Το σύστημα αποτελείται από τον χώρο εξυπηρέτησης και συνήθως από έναν χώρο αναμονής όπου περιμένουν οι πελάτες που δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν αμέσως Οι χρόνοι άφιξης των πελατών καθώς και οι χρόνοι εξυπηρέτησης τους σε ένα τέτοιο σύστημα είναι τυχαίοι πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ανά πάσα στιγμή μήκος της ουράς αυξομειώνεται ως συνάρτηση του χρόνου κατά τυχαίο τρόπο είναι δηλαδή μια στοχαστική διαδικασία

Στοχαστικές Διαδικασίες Τυχαία συμπεριφορά του συστήματος Μια στοχαστική διαδικασία είναι ένα πιθανοτικό μοντέλο που περιγράφει την συμπεριφορά ενός συστήματος το οποίο εξελίσσεται τυχαία στον χρόνο Παρατηρώντας το σύστημα σε διακριτές χρονικές στιγμές π.χ. στο τέλος κάθε ημέρας ή στο τέλος κάθε ώρας κλπ παίρνουμε μια στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου Παρατηρώντας το σύστημα συνεχώς μέσα στο χρόνο παίρνουμε μια στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου Μαρκοβιανές Αλυσίδες Διακριτού & Συνεχούς Χρόνου ΜΑΔΧ ΜΑΣΧ

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Διακριτού & Συνεχούς Χρόνου Μαρκοβιανή Διαδικασία είναι μια στοχαστική διαδικασία της οποίας η εξέλιξη στο μέλλον εξαρτάται μόνο από την κατάστασή της στο παρόν και δεν εξαρτάται καθόλου από το παρελθόν της Έστω Ε το σύνολο όλων των δυνατών τιμών που μπορεί να πάρει μια στοχαστική διαδικασία ή μια Μαρκοβιανή αλυσιδα: Η διαδικασία { 0} καλείται στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε. Η διαδικασία {t t 0} καλείται στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε. Για να μελετήσουμε τις στοχαστικές διαδικασίες και ειδικά τις Μαρκοβιανές αλυσίδες θα πρέπει να θυμηθούμε κάποιες βασικές έννοιες από την Θεωρία Πιθανοτήτων

Δεσμευμένη Πιθανότητα Ορισμός: Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός Α δεδομένου ότι έχει συμβεί ένα άλλο γεγονός Β συμβολίζεται με PrA B και δίνεται από την σχέση Pr A B Ορισμός: Τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα όταν Επομένως για ανεξάρτητα γεγονότα ισχύει: Pr A B Pr Pr AB Pr B με Pr A B PrA PrB Pr AB Pr B Pr Α PrB PrB B 0 PrB

Τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Μια πραγματική τυχαία μεταβλητή στον πιθανοθεωρητικό χώρο Ω F P είναι μια συνάρτηση με ορισμό στο Ω και τιμές στο ΙR έτσι ώστε να ισχύει : F Έστω Χ μία τ.μ. Εάν το σύνολο τιμών της Χ είναι το πολύ αριθμήσιμο δηλαδή πεπερασμένο ή απείρως αριθμήσιμο τότε η Χ λέγεται διακριτή τ.μ.

Δείκτρια Τ.Μ. Για κάθε Α F ορίζουμε την δείκτρια τ.μ. που συμβολίζεται A ή A A 0 A Ιδιότητες Αναπαράσταση μιας τ.μ. με την βοήθεια μιας δείκτριας. Έστω μια τ.μ. Χ :Ω Ε ΙR. Για E ορίζεται το γεγονός : για το οποίο συμβολίζουμε με p Χ την πιθανότητα p Pr

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας ή πυκνότητας Ορισμός: Το σύνολο των αριθμών p E Pr λέγεται κατανομή της τ.μ. Χ p έτσι ώστε Ιδιότητες p 0 p E p 0 3 4 5 6 7 8

Συνάρτηση κατανομής Ορισμός: Έστω μία τ.μ. Χ. Η συνάρτηση F Pr λέγεται συνάρτηση κατανομής της Χ. IR Η F Χ δίνει την πιθανότητα η τ.μ. να πάρει οποιοδήποτε τιμή μικρότερη ή ίση με την. Κατά συνέπεια F y Pr y y IR Οι συναρτήσεις κατανομής και πιθανότητας είναι ισοδύναμες με την έννοια ότι εάν γνωρίζουμε την μία τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε την άλλη y Pr p F F - Τέλος μία τ.μ. είναι καθορισμένη αν ξέρουμε τις τιμές που παίρνει και τις πιθανότητες των τιμών αυτών. Δηλαδή όταν γνωρίζουμε την σ.π. ή ισοδύναμα την σ.κ. p

Ορισμός: Οι τ.μ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες εάν για οποιαδήποτε E E ισχύει Μέση τιμή Pr Y y Pr Pr Y Ορισμός: Η μέση τιμή μιας τ.μ. συμβολίζεται με ΕΧ ή Ε[Χ]. Αν η τ.μ είναι διακριτή με τιμές στο Ε και με κατανομή p E η μέση τιμή της είναι: E[ ] E p y Ιδιότητες

Ροπές. Η k-οστή ροπή. Η k-οστή κεντρική ροπή m k E[ k k μ E[ ] p k k * E k E[ ] ] E[ ] E k p 3. Διασπορά m R E[ ] Var E ΠΡΟΤΑΣΗ Εάν η Χ είναι μια τ.μ. με τιμές στο ΙΝ τότε E[ ] Pr

ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULI Χ~Βp Χαρακτηρίζει πειράματα με δυνατά αποτελέσματα {ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΑΠΟΤΥΧΙΑ} ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χ~Gp Διωνυμικά πειράματα στα οποία μας ενδιαφέρει ο αριθμός πειραμάτων μέχρι την πρώτη επιτυχία ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON ~ P Πειράματα στα οποία μας ενδιαφέρει ο αριθμός γεγονότων μέσα σε ένα χρονικό διάστημα

Συνεχής τ.μ. Συνεχής τ.μ. Έστω Χ μία τ.μ. με πεδίο ορισμού τον δειγματικό χώρο Ω και πεδίο τιμών ένα πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα της ευθείας του ΙR ή ακόμα και ολόκληρη την ευθεία. Εάν Pr 0 τιμη της τότε η τ.μ. Χ είναι συνεχής. Ορισμός: Έστω μια συνεχής τ.μ. Χ. Εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών της Χ τέτοια ώστε τότε αυτή είναι η σ.π.π. της συνεχούς τ.μ. Χ Ιδιότητες Pr f d

Ορισμός: Έστω μια συνεχής τ.μ. Χ. Εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών της Χ τέτοια ώστε F Pr f y dy IR Ιδιότητες

Συνεχείς κατανομές ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χ~U[ab] ΤΥΠΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Z~N0 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χ~ Νμσ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ~ E ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΓΑΜΜΑ Χ~ Γαβ ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL Χ~ Wβη

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Πολλαπλές ή από κοινού τυχαίες μεταβλητές Ορισμός: Έστω Χ i i = μία τ.μ. με χώρο καταστάσεων Ε i.το διάνυσμα ονομάζεται πολλαπλή τυχαία μεταβλητή με χώρο καταστάσεων Ε = Ε Ε Ε Παράδειγμα

Ορισμός: Η συνάρτηση ονομάζεται κοινή κατανομή της Διακριτές πολλαπλές τυχαίες μεταβλητές Ορισμός: Η τ.μ. είναι διακριτή αν κάθε Χ i i = είναι διακριτή τ.μ. και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ορίζεται ως: Παράδειγμα F Pr ' Pr Pr '

Συνεχείς πολλαπλές τυχαίες μεταβλητές Είναι εκείνες οι τ.μ. για τις οποίες υπάρχει η συνάρτηση τέτοια ώστε με την πολλαπλή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Παράδειγμα 3 dy dy dy y y y f F y y y f y y y f 0 f F f dy dy y y f F

Περιθώριες Κατανομές Έστω η τ.μ. ' με σ.κ. F Ορισμός: Η συνάρτηση της τ.μ. Χ i Μπορεί να υπολογιστεί ως: F i i i ' i Pr i i Ορισμός: Εάν p i υπολογίζεται από: Παράδειγμα 4 F i Pr i i ονομάζεται περιθώρια κατανομή Pr F είναι μια πολλαπλή τ.μ. τότε η συνάρτηση ονομάζεται περιθώρια σ.π.π. της τ.μ. Χ και Pr i i Pr i i i i i i i

Ανεξαρτησία Ορισμός: Έστω η πολλαπλή τ.μ.. Οι τ.μ. Χ i i = είναι ανεξάρτητες όταν ισχύει κάποια από τις ακόλουθες σχέσεις: Παράδειγμα 5 ' F F F F i p p p P f f f f

Από κοινού μέση τιμή Ορισμός: Έστω η πολλαπλή τ.μ..και μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Τότε η είναι τ.μ. Αν οι τ.μ. Χ i i = είναι ανεξάρτητες ' Pr g Y E d d f g g E Y E g g Y E E E g E g E g g E

Δεσμευμένη πιθανότητα Πολλές φορές ενδιαφερόμαστε να υπολογίσουμε πιθανότητες της μορφής: όπου Α και Β είναι δύο σύνολα Pr A Μπορεί δηλαδή να γνωρίζουμε την πιθανότητα Χ Β και να αναζητούμε την πιθανότητα Χ Α Pr A B B Pr A B Pr B πχ Pr Pr Pr F F

Ορισμός: Η δεσμευμένη σ.π.π. είναι η δεσμευμένη πιθανότητα και συμβολίζεται Θεώρημα: Εάν p Παράδειγμα 6 0 Pr p τότε p p p

F f και περιθώριες σ.π.π. f f Έστω η πολλαπλή τ.μ. Χ = Χ Χ με από κοινού σ.κ από κοινού σ.π.π. Ορισμός: Η δεσμευμένη σ.π.π. της Χ συμβολίζεται με και δίνεται: f f με f f f 0 Παραδείγματα 7 8

Θεώρημα : Ολικής Πιθανότητας Έστω Ε Ε μια διαμέριση του δειγματοχώρου Ω. Για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Ε: Έστω τώρα μια τ.μ. Χ που λαμβάνει τιμές 0. Τότε για τα ενδεχόμενα Χ = Χ = με βάση το θεώρημα ολικής πιθανότητας ισχύει: Αν Χ διακριτή Αν Χ συνεχής Pr E Pr E Παραδείγματα 9 0 j Pr E i0 j Pr E Pr E E j Pr i i Pr E Pr E f d

Δεσμευμένη μέση τιμή Στη διακριτή περίπτωση Στη συνεχή περίπτωση Παραδείγματα E Y y p y - Y E Y y f y Y Θεώρημα : Έστω ΧΥ μια δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή. Τότε: στη διακριτή περίπτωση Στη συνεχή περίπτωση Παραδείγματα 3 4 E E Y p Y y y E E Y f y Y

Μαρκοβιανές διαδικασίες αποφάσεων Οι μαρκοβιανές διαδικασίες αποφάσεων είναι κάποια απλά αλλά ισχυρά μοντέλα τα οποία εφαρμόζονται σε προβλήματα διαδοχικών αποφάσεων Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας χώρος καταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρεθεί το σύστημα που μελετάμε. Κάθε χρονική περίοδο το σύστημα βρίσκεται σε μια από αυτές και πρέπει να επιλέξουμε μια ενέργεια μέσα από ένα σύνολο δυνατών ενεργειών οι οποίες μπορούν να γίνουν με δεδομένο ότι το σύστημα βρίσκεται στην συγκεκριμένη κατάσταση Την επόμενη χρονική περίοδο η κατάσταση του συστήματος μεταβάλλεται σύμφωνα με μια κατανομή πιθανότητας η οποία εξαρτάται μόνο από το τρέχον στάδιο και την ενέργεια η οποία επιλέχτηκες όχι από το παρελθόν